2020届江西省名校联盟高三第六次联考数学(理)试卷

2020届江西省名校联盟高三第六次联考数学试卷（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设，其中x ，y 是实数，则A ．1B ．C ．D ．23．若101a b c >><<，，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <4．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-5．若,x y 变量满足3420,20,10,x y x y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则使2z x y =+取得最小值的最优解为（ ）A ．(3,1)--B ．68,77⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2,1)-D ．86,77⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知函数232()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且满足(21)(3)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1a <-或2a > B ．1a 2-<< C ．2a >D ．2a <7．已知0a >，且，函数()log (6)a f x ax =-，则“13a <<”是“()f x 在(1,2)上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．函数的图像大致是（ ）A. B. C. D.9．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，且1,22b a b =+=，则=a （） A ．1B ．2CD ．10．在锐角三角形ABC 中，1cos ,7,67A AB AC π⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭AB BC ⋅（ ） A ．40-B ．40C ．34-D ．3411．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7=5，S 5=-55，则nS n 的最小值为（ ） A ．343-B ．324-C ．320-D ．243-12．已知函数()f x 的导函数()'f x 满足()()()ln 'x x x f x f x +<对1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．()()21e f f >B ．()()2e 1ef f > C ．()()21e f f < D ．()()e 1e f f <二、填空题（每小题5分，共20分）13．设1()cos 0x f x x x ≤≤=<⎪⎩，，则12()f x dx π-=⎰________.14．函数()25,2,3sin ,2,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的值域为________．15．若存在等比数列{}n a ，使得()123169a a a a +=-，则公比q 的取值范围为___．16．已知函数()()[]()2,,0,62013,0,2,6,2,,ln x x f x x x x x x ⎧⎪-∈-∞⎪=-+-∈⎨⎪⎪∈+∞⎩()()2g x ax a R =-∈满足：①当0x <时，方程()()f x g x =无解；②当0x >时，至少存在一个整数0x 使()()00f x g x ≥.则实数a 的取值范围为___________．三、解答题（70分）17．（10分）已知不等式0342<+-x x 的解集是A . （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）函数()()2log f x a x =-)(R a ∈的定义域为集合B ,若,B A ⊆求a 的取值范围; （Ⅲ）不等式222ax x a --0>R a ∈(且)0≠a 的解集为C ，若,φ≠⋂C A 求a 的取值范围. 18．（12分）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asin A-csin C=b(sinA －sin B ）． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若边长c=4，求△ABC 的周长最大值．19．（12分）已知函数()21sin cos 222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求a 的取值范围； （2）若先将()y f x =的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，求函数()13y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点之和．20．（12分）已知数列{}n a 满足()*1102n n a a n N +-=∈，且234,2,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()*11111n n n b n N a a +=-∈--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 21．（12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？22．（12分）已知函数()ln 1f x x x ax a =++-. （1）求证：对任意实数a ，都有min [()]1f x ≤；（2）若2a =，是否存在整数k ，使得在(2,)x ∈+∞上，恒有()(1) 2 1f x k x k >+--成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.（ 2.71828e =）数学试卷（理科）参考答案1．D因为23{|430}={|13},2A x x x xx B x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<故选D.2．B 因为所以故选B.3．C 用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ．4．D 2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D. 5.C 联立直线方程：342010x y y +-=⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()2,1B -.本题选择C 选项.6．B 由函数的解析式易知函数为偶函数，且当0x ≥时，232()3x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数在区间[)0,+∞上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式()()213f a f ->即()()213f a f ->，结合偶函数的单调性可得不等式213a -<，求解绝对值不等式可得a 的取值范围为12a -<<.本题选择B 选项.7．A,且，为减函数. 若在上单调递减，则.且，则.是的充分不必要条件. 故选.8．C 因为为奇函数，所以排除B,D ，当且时，，排除A9．B 由题意可得：2222222444cos 412443a b a a b b a a b a a π+=+⋅+=+⨯⨯+⨯=-+=， 则：220a a -=，据此可得：2a =. 本题选择B 选项. 10．A 由同角三角函数基本关系可得43sin 67A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos cos 66A A ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1172⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由余弦定理可得2124943BC =+-=,则cos B ==，结合平面向量数量积的定义可得：740AB AC ⎛⋅==- ⎝.11．A ∵()11a 655a 2d 55d +=⎧⎨+=-⎩解得1a 194,d =-⎧⎨=⎩∴()232nn n n 1S 19n 42n 21n,nS 2n 21n ,2-=-+⨯=-∴=-设()()()()32f x 2x 21x x 0,f x 6x x 7,=->=-'当0<x<7时，()f x 0,'<当x>7时，()f x 0'>,故n nS 的最小值为f(7)=-343. 故选：A. 12．A 令()f x gx 1lnx，=+由（x+xlnx ）f ′（x ）<f （x ），1x ,e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，得（1+lnx ）f ′（x ）1x-f （x ）<0，g ′（x ）()()()()21f'x 1lnx f x x 1lnx +-=+，则g ′（x ）<0，故g （x ）在1x ,e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭递减；故ge g1<,即()()f e f 121<,∴()()2f 1f e >，故选：A13．14π+，由题意得，1022()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，1表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故14π=，又022cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ--==--=⎰，所以10022()cos 14f x dx xdx πππ--=+=+⎰⎰. 所以本题答案为14π+.14．(5,3]- 由题()x x 2,f x 25≤=-单调递增，∴()(]f x 5,1∈--,又()f x =[]3sinx 3,3∈-,故函数的值域为(][](]5,13,35,3--⋃-=-，故答案为(]5,3-.15．⎫⎛⋃⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，()2231a a a q q +=+，()2211a q q 6a 90∴+-+=.当2q q 0+=时，易知q 1=-满足题意，但q 0≠；当2q q 0+≠时，()23636q q 0=-+≥，解得11q 22--≤≤，综上，11q 0,22⎡⎫⎛--+∈⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦.故答案为⎫⎛⋃⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦16．33e a -<≤ 绘制函数()f x 的图像如图所示，函数()g x 恒过点()0,2-，（1）当0x <时，方程()()f x g x =无解，考查临界情况，当0x <时，()()ln f x x =--，()()111f x x x=-⋅-=--'，设切点坐标为()()00,ln x x --，切线斜率为01k x =-，故切线方程为()()0001ln y x x x x +-=--，切线过点()0,2-， 则：()()00012ln 1x x x -+-=-⋅-=，解得：30x e =-，故切线的斜率331k e e -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， 据此可得3a e ->，（2）当x ≥0时 1x =时2620131x x -+-=，点()()0,2,1,1-两点连线的斜率21301k --==-，2x =时2620133x x -+-=，62x =，点()()0,2,2,2-两点连线的斜率325202k +==-，据此可得3a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围为33e a -<≤.17．解: （Ⅰ）);3,1(=A （Ⅱ）3≥a ; （Ⅲ）设=)(x g 222ax x a --0.10>a 时,760)3(>⇒>a g ; 0.20<a 时,;20)1(-<⇒>a g则a 的取值范围是).,76()2,(+∞⋃--∞18．（Ⅰ）由已知，根据正弦定理，asin A-csin C=（a -b ）sin B 得，a 2-c 2= b （a -b ），即a 2+b 2-c 2=ab ． 由余弦定理得cos C==． 又C ∈（0，π）．所以C=．（Ⅱ）∵C=，，A+B=，∴，可得：a =sin A ，b =sin B=sin （－A ），∴a +b +c =+sinA+sin （－A ） =+sin A+（cos A+sin A ）=8sin （A+）+4 ∵由0＜A ＜可知，＜A+＜，可得：＜sin （A+）≤1．∴△ABC 的周长a +b +c 的最大值为12．19．（1）()1cos2sin 226fx x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需()min f x a ≥即可 ∵32x ππ-≤≤，∴552666x πππ-≤-≤， ∴当262x ππ-=-，即6x π=-时， ()f x 有最小值1-，故1a ≤-.（2）依题意可得()sin g x x =，由()103g x -=得1sin 3x =，由图可知，1sin 3x =在[],3ππ-上有4个零点： 1234,,,x x x x ，根据对称性有34125,2222x x x x ππ++==，从而所有零点和为12346x x x x π+++=.20．（1）由1102n n a a +-=知()*12,n n a n N a +=∈∴数列{}n a 是等比数列，且公比为2q =. 234,2,a a a +成等差数列，()()32411122,24228a a a a a a ∴+=++=+ 12a ∴= 2n n a ∴=（2）122311111111n T a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 11111111111n n n a a a a ++⎛⎫+⋯+-=- ⎪----⎝⎭ 1111111221n n ++=--=--- 易知n T 单调递减，123n T T ∴≤=- 当n →+∞时，1n T →- n T ∴的取值范围为213n T -<≤-21．（1）由总成本万元，可得每台机器人的平均成本，当且仅当，即当时，等号成立，所以，若使每台机器人的平均成本最低，应买台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量.当时，台机器人的日平均分拣量为，当时，日平均分拣量有最大值件．当时，日平均分拣量为（件）．台机器人的日平均分拣量的最大值为件．若传统人工分拣件，则需要人数为（人）．日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少.22．解：（1）证明：由已知易得()(1)ln 1f x a x x x =-++，所以()1ln f x a x '=++令()1ln 0f x a x '=++=得：(1)a x e -+= 显然，(1)(0,)a x e -+∈时，()f x '<0，函数f （x ）单调递减；(1)(,)a x e-+∈+∞时，()f x '>0，函数f （x ）单调递增，所以min [()]f x (1)(1)()1a a f e a e -+-+==-- ，令min ()[()]t a f x =，则由(1)()10a t a e -+'=-+=得1a =-，(,1)a ∈-∞-时，()t a '>0，函数t （a ）单调递增；(1,)a ∈-+∞时，()t a '<0，函数t （a ）单调递减，所以max [()](1)1111t a t =-=+-=，即结论成立.（2）由题设化简可得ln (2)x x x k x +>-，令()ln (1)2t x x x k x k =+-+，所以()ln 2t x x k '=+- 由()ln 2t x x k '=+-=0得2k x e -=①若22k e -≤，即2ln 2k ≤+时，在(2,)x ∈+∞上，有()0t x '>，故函数单调递增 所以()(2)22ln 20t x t >=+> ②若22k e ->，即2l n2k >+时， 在2(2,)k x e -∈上，有()0t x '<，故函数在2(2,)k x e -∈上单调递减，在2(,)k x e -∈+∞上，有()0t x '>.故函数在2(,)k x e -∈+∞上单调递增，所以，在(2,)x ∈+∞上，22min ()()2k k t x t e k e --==-故欲使ln (2)x x x k x +>-，只需22min ()()20k k t x t e k e--==->即可 令22()2,()2k k m k k e m k e --'=-∴=-, 由2()20k m k e -'=-=得2ln2k =+所以，2ln 2k >+时，()0m k '<，即()m k 单调递减又422(4)2480m e e -=⨯-=-> 423(5)25100m e e -=⨯-=-< 故max 4k =。