高三数学小题整理
2021届高三数学新高考小题狂练(1)(答案解析)
2021届新高考小题狂练（1）-答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】B 【解析】{}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算. 2. 【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 考点：全称命题与特称命题 3. 【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=：则1z =：故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4. 【答案】C 【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．5. 【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 6. 【答案】A 【解析】分析：先求出A：B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴：y 轴交于A ：B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2：0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7.【答案】C 【解析】分析：首先根据g ：x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解：将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-：并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时：满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-：之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤：即1a ≥-：故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 8. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 【答案】ABD 【分析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题. 11. 【答案】AC【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB 为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项， 由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题. 12. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误；对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】16 【解析】 分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意：没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解】由360a b -+=可知36a b -=-：且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ：20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.【综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15.【答案】 (1). 1- (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=：解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±：由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，：222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.【答案】 【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin 22x x =-=-代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==，所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.。
高三文科数学小综合专题练习--应用问题
高三文科数学小综合专题练习——应用问题一、选择题1. 某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍.10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数是A.640B.1280C.2560D.51202. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区的时间为A.5.0小时B.1小时C.5.1小时D.2小时 3. 客车从甲地以h km 60的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以h km 80的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系图象中，正确的是4. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻，两车的位置相同D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t （分钟）与打出电话费s （元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差A.10B.20C.30D.340二、填空题6. 某人向东走了x 千米，然后向右转0120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好tOB As 50 100 15013千米，那么x 的值是___________.7. 里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅是001.0，则此次地震的震级为_________;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.8. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦时）低谷月用电量 （单位：千瓦时） 低谷电价 （单位：元/千瓦时）50及以下的部分 568.0 50及以下的部分 288.0 超过50至200的部分 598.0 超过50至200的部分318.0超过200的部分 668.0 超过200的部分 388.0若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9．有一批材料可以建成m 200的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大 面积为________．(围墙厚度不计)10．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增00x ，八月份销售额比七月份递增00x ，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________． 三、解答题11. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的C B A ,,三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求DEF ∠的余弦值。
(新高考)2020高考数学小题考法专训(一)三角函数的图象与性质
小题考法专训（一） 三角函数的图象与性质A 级——保分小题落实练一、选择题1．若角α的终边经过点P (1，3)，则cos α＋tan α的值为( ) A.1＋232 B ．－1＋32C.1＋32D ．－1＋232解析：选A 因为角α的终边经过点P (1，3)，所以x ＝1，y ＝3，r ＝|OP |＝2，所以cos α＝x r ＝12，tan α＝y x ＝3，所以cos α＋tan α＝1＋232，故选A.2．(2019·安阳模拟)若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝( )A ．－1B ．1C ．－25D ．－1或－25解析：选C 由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α＞0，即cos α＝3sin α－1，则cos 2α＝1－sin 2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝35，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－25，故选C.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝( ) A.13 B ．－13C.222D ．－23解析：选B 由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13.故选B.4．(2020届高三·广州调研)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象，则f (x )＝( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －π6C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π3D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋π3解析：选 B 由题设知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6.设12x ＋π3＝t ，则x ＝2t －2π3，所以f (t )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫2t －2π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6t －π6.故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π6.故选B. 5．A ＝{sin α，cos α，1}，B ＝{sin 2α，sin α＋cos α，0}，且A ＝B ，则sin 2 019α＋cos2 018α＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析：选C 当sin α＝0时，sin 2α＝0，此时集合B 中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A ＝{sin α，0,1}，B ＝{sin 2α，sin α，0}，此时sin 2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.6.(2019·南昌模拟)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π＜φ＜π)的图象向左平移π3个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝2π3B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝1，φ＝－π3D ．ω＝1，φ＝2π3解析：选A 函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π＜φ＜π)的图象向左平移π3个单位后可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋πω3＋φ. 由函数的图象可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π. 根据周期公式可得ω＝2， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3. 由图知当y ＝－1时，x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝π12，∴函数的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，－1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝－1.∵－π＜φ＜π，∴φ＝2π3.故选A.7．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)和g (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，则f (x )的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，332D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32 解析：选D 因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω＝2，f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.根据余弦函数的图象可知，当2x ＋π3＝π，即x ＝π3时，f (x )min ＝－3；当2x ＋π3＝π3，即x ＝0时，f (x )max ＝32，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32，故选D.8．已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0＜θ＜π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π解析：选A 因为0＜θ＜π，所以π3＜π3＋θ＜4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值， 所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，故选A.9．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 解析：选D 由已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ，其图象的对称轴方程是x ＝k π2(k ∈Z)，所以A 、C 错误；f (x )＝2cos 2x 的单调递减区间是2k π≤2x ≤π＋2k π(k∈Z)，即k π≤x ≤π2＋k π(k ∈Z)，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以B 错误，D 正确．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 解析：选B 法一：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，所以ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4ω＋π6，2π3ω＋π6，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋π6≥2k π－π2，k ∈Z ，2π3ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω≤－8k ＋83，k ∈Z ，ω≤3k ＋12，k ∈Z.又ω＞0，所以0＜ω≤12，选B.法二：取ω＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6＝－sin π12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12，不满足题意，排除A 、C 、D ，选B.11．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象与函数g (x )的图象关于x ＝π8对称，则g (x )具有的性质是( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：选B 由题意得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －π2＝sin(－2x )＝－sin 2x ，最大值为1，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确，C 错误；周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称，故D 错误．12．(2020届高三·西安摸底)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若x 1x 2＜0，且f (x 1)＋f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫4π3，＋∞解析：选 B f (x 1)＋f (x 2)＝0⇔f (x 1)＝－f (x 2)，|x 2－x 1|可视为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )，函数y ＝－f (x )的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象如图所示，设A ，B 分别为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的两个相邻交点，因为x 1x 2＜0，且当直线y ＝m 过f (x )的图象与y 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，直线为y ＝32，|AB |＝π3，所以当直线y ＝m 向上移动时，线段AB 的长度会增加，当直线y ＝m 向下移动时，线段AB 的长度也会增加，所以|x 2－x 1|＞π3.故选B.二、填空题13．已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，则所得函数g (x )的最小正周期为________，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4的值为________．解析：f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度， 可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π3＝2sin 2x 的图象， 再向上平移1个单位长度得到函数y ＝g (x )＝2sin 2x ＋1的图象，则T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＋1＝3.答案：π 314.(2019·重庆七校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．解析：由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0,1)代入，可得A sin φ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.答案：－115．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1， ∴π4·ω－π6＝2k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋23，k ∈Z. 又ω＞0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.答案：2316．已知ω＞0，在函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω的值为________．解析：令sin ωx ＝cos ωx ，得sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4＝0，所以ωx －π4＝k π，k ∈Z ，即x ＝1ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4.如图，当k ＝0时，x 1＝π4ω，y 1＝22；当k ＝1时，x 2＝5π4ω，y 2＝－22.由勾股定理，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(3)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4ω－π4ω2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＝3.化简得ω2＝π2.又ω＞0，所以ω＝π.答案：πB 级——拔高小题提能练1．[多选题]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则下列命题正确的是( )A ．函数y ＝g (x )的图象的相邻对称轴之间的距离为π2B ．函数y ＝g (x )的图象关于x ＝11π12对称C ．函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫7π24，0对称 D ．函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π12内为单调减函数 解析：选ABD 由T ＝2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，函数g (x )的周期T ＝2π2＝π，则y ＝g (x )的图象的相邻对称轴之间距离为T 2＝π2，故A 正确；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12＋π6＝cos2π＝1，即函数y ＝g (x )的图象关于x ＝11π12对称，故B 正确；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π24＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋π6＝cos 9π12＝cos 3π4≠0，即函数y ＝g (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24，0对称，故C 错误；当0＜x ＜5π12时，π6＜2x ＋π6＜π，此时g (x )为减函数，故D 正确．2.(2020届高三·河北九校联考)如图直角坐标系中，角α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，角β⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜β＜0的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12的值为( ) A ．－513B ．－1213C.513D ．1213解析：选D 因为sin β＝－513＞－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜β＜0， 所以－π6＜β＜0.又0＜α＜π2，S △AOB ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ＝34，所以∠AOB ＝π3，所以∠AOB ＝α－β＝π3，即α＝β＋π3.sin α2⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α＋12cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＋π6＝cos β＝1213. 3．(2019·湘东六校联考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B 因为ω＞0，π＜x ＜2π， 所以ωπ＋π6＜ωx ＋π6＜2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值， 所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)上单调， 所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ＜π，0＜ω＜1，则π6＜ωπ＋π6＜7π6. 当π6＜ωπ＋π6＜π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0＜ω≤16； 当π2≤ωπ＋π6＜7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B. 4.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是________．解析：由题中函数f (x )的部分图象可得，函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－2，所以A ＝2，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若f (x )＝a在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上，函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，2 5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝________，函数f (x )的单调递增区间为________． 解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.则f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin π3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z.答案：3＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z。
2023届高考数学重点专题三轮冲刺双空题小题压轴练(解析版)
双空题小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023秋·广东清远·高三统考期末)设函数f x =-x 2+4x ,x ≤4,log 2x -4 ,x >4, 若关于x 的方程f x =t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3x 4-4x 3+x 4 =，2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为.【答案】 -15 15【分析】画出f x 的图象，结合图象求得x 1，x 2，x 3，x 4的关系式，根据基本不等式求得正确答案.【详解】画出f x 的图象如下图所示.由图可知x 1+x 2=4，其中x 2>2>x 1>0.因为-log 2x 3-4 =log 2x 4-4 ，即x 3-4 x 4-4 =1，整理得x 3x 4-4x 3+x 4 =-15.且x 4>5>x 3>4，所以2+x 1 2-x 2 =-2+x 1 -2+x 2 ≥-2+x 1-2+x 222=-4，当且仅当2+x 1=-2+x 2,x 1=2-2,x 2=2+2时等号成立，此时t =2，又因为4x 3+14x 4=4x 3-4 +14x 4-4 +17≥24x 3-4 ⋅14x 4-4 +17=19，当且仅当4x 3-4 =14x 4-4 ,x 3=174,x 4=8时等号成立，此时t =2.所以2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为-4+19=15.故答案为：-15；15【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.2.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，PF =3FQ ，则直线l 的斜率为若FQ =1，点A 为抛物线C 上的动点，且点A 在直线l 的左上方，则△APQ 面积的最大值为.【答案】33【分析】空1：设直线l 的方程为x -p2=my ，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长PQ，若面积最大，则高最大，则点A到直线l的距离最大，则转化为直线与抛物线相切的问题.【详解】设直线l的方程为x-p2=my，P x1,y1，Q x2,y2，联立抛物线方程y2=2px p>0得y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm①，y1y2=-p2②，∵|PF|=3|FQ|，则y1=-3y2，代入②式得-3y22=-p2，解得y2=±33p，∵P在第一象限，故Q在第四象限，故y1>0,y2<0，故y2=-33p，y1=3p，则y1+y2=3p-33p=2pm，解得m=33，故直线l的斜率k=3，∵y22=2px2，即13p2=2px2，则x2=16p，若|FQ|=1，则|FQ|=16p+p2=1，则p=32，故抛物线方程为y2=3x，此时y1=332，x1=94，x2=16p=14，而PQ=x1+x2+p=14+94+32=4，若要△APQ的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切，此时切点位置即为A点位置，故设切线方程为：x-t=33y，t<33，将切线方程与抛物线方程联立得y2-3y-3t=0，则Δ=3+12t=0，解得t=-14，此时切线方程为：x-33y+14=0，直线l的方程为x-33y-34=0，则两直线的距离d=14+341+13=32，此时△APQ面积最大值为12×4×32=3.故答案为：3；3.【点睛】结论点睛：设抛物线方程为y2=2px p>0，若倾斜角为α直线l经过焦点F交抛物线于P x1,y1,Q x2,y2，则有以下结论：(1)x1x2=p24；(2)y1y2=-p2；(3)PQ=2psin2α=x1+x2+p.3.(2023·广东深圳·统考一模)设a>0，A2a,0，B0,2，O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P(该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为．【答案】 x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 445##0.8【分析】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，易得圆心在线段OA 的垂直平分线，且通过DA ⊥AB 可得k DA =a ，得到直线DA 的方程即可求出圆的方程；先求出以OB 为直径的⊙C ，然后两圆进行相减得到公共弦方程y =aa 2+1x ，代入⊙C 可得点P 横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1，然后用对勾函数即可求得最值【详解】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，且圆心在线段OA 的垂直平分线x =a 上，⊙D 与直线AB 相切于A ，则DA ⊥AB ，由k AB =2-00-2a =-1a可得k DA =a ，所以直线DA 为y =a x -2a ，将x =a 代入直线DA 可得圆心为D a ,-a 2 ，r D =AD =2a -a2+0+a 2 2=a 2+a 4，所以所求的圆的标准方程为x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4①；以OB 为直径的圆的圆心C 0,1 ，半径为1，则⊙C 的方程为x 2+y -1 2=1②，①-②可得-2ax +2a 2+1 y =0，即y =aa 2+1x 为⊙C 与⊙D 的公共弦所在直线的方程，将y =a a 2+1x 代入⊙C 可得1+aa 2+12x 2-2a a 2+1x =0，因为交点P 在第一象限，所以x ≠0，所以x =2a 2+1a+aa 2+1，令m =a 2+1a =a +1a ≥2，(当且仅当a =1时取等号)则1m =aa 2+1所以交点P 的横坐标x =2m +1m ,m ≥2由对勾函数可得y =m +1m 在2,+∞ 内单调递增，所以当m =2时，y =m +1m取得最小值，为52，所以交点P 的横坐标的最大值为x =252=45故答案为：x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4；45【点睛】关键点睛：本题的关键是求出交点P 的横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1后，利用换元法、构造函数法，结合对勾函数的单调性进行解题.4.(2023秋·广东·高三校联考阶段练习)数学家康托(Cantor )在线段上构造了一个不可数点集--康托三分集.将闭区间0,1 均分为三段，去掉中间的区间段13,23，余下的区间段长度为a 1；再将余下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为a 2.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列a n 表示第n 次操作后余下的区间段长度.(1)a 4=；(2)若∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，则实数λ的取值范围是.【答案】1681； 503,+∞ .【分析】由题意直接求出a 1，a 2，a 3，a 4.归纳出数列a n 为等比数列，求出a n =23n.利用分离常数法得到λ≥n 2⋅23n -4.记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，判断出单调性，求出g 5 =503最大，即可求出λ的取值范围.【详解】由题意可知：a 1=23，a 2=a 1×23=232，a 3=a 2×23=233，a 4=a 3×23=234.所以a 4=1681.所以数列a n 为首项a 1=23，公比q =23的等比数列，所以a n =a 1×q n -1=23n.因为∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，且a 4=1681，所以λ≥n 2⋅23n⋅8116=n 2⋅23n -4恒成立，只需λ≥n 2⋅23n -4max记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，显然，g n >0.所以g n +1g n =n +1 2⋅23 n +1-4n 2⋅23n -4=2n +1 23n2.令g n +1 g n ≤1，即2n +1 23n2≤1，即n 2-4n -2≥0，解得：n ≥2+6.因为n ∈N ∗，所以n ≥2+6，可以取包含5以后的所有正整数，即n ≥5以后g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗递减.而g 1 =12⋅231-4=278,g 2 =22⋅232-4=9,g 3 =32⋅233-4=812,g 4 =42⋅234-4=16,g 5 =52⋅235-4=503，所以g 1 <g 2 <g 3 <g 4 <g 5 .综上所述：当n =5时，g 5 =503最大.所以λ≥503，所以实数λ的取值范围是503,+∞ .故答案为：1681；503,+∞.【点睛】求数列最值的方法：(1)利用函数单调性求出最值；(2)利用数列的性质求出最大项或最小项.5.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x =2x +1，记f 2x =f f x =22x +1 +1=4x +3为函数f x 的2次迭代函数，f 3x =f f f x =42x +1 +3=8x +7为函数f x 的3次迭代函数，⋯，依次类推，f nx =f f f ⋅⋅⋅f x ⋅⋅⋅ n 个为函数f x 的n 次迭代函数，则f nx =；f 10032 除以17的余数是．【答案】 2n x +1 -1 0【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n 项和公式即可推出f nx 的表达式；第二空，将f 10032 化为33×17-125-1，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.【详解】由题意，f nx =2nx +2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+20=2nx +1-2n1-2=2n x +1 -1，所以f 10032 =33×2100-1=33×1625-1=33×17-1 25-1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517-1 -1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517 -34=1733C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2又33C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2为正整数，所以f 10032 除以17的余数为0，故答案为：2n x +1 -1;0【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将f 10032 利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 有公共焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60°，则1e 21+3e 22=；I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，且GP ⋅IP =0，x 轴上点A ,B 满足AI =λIP ，BG =μGP ，则λ2+μ2的最小值为．【答案】 4 1+32【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出PF 1 ,PF 2 ，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I 为△F 1PF 2的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出λ =e 1及μ =e 2，代入λ2+μ2中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：PF 1 -PF 2 =2m ，由椭圆的定义：PF 1 +PF 2 =2a ，可得：PF 1 =m +a ,PF 2 =a -m ，又∠F 1PF 2=60°，由余弦定理得：PF 12+PF 2 2-PF 1 ⋅PF 2 =FF 2 2=4c 2，即m +a 2+a -m 2-m +a ⋅a -m =4c 2，整理得：a 2+3m 2=4c 2，所以：a 2c 2+3m 2c 2=4⇒1e 21+3e 22=4；②I 为△F 1PF 2的内心，所以IF 2为∠PF 1F 2的角平分线，则有PF 1 AF 1=IP AI，同理：PF 2AF 2=IP AI，所以PF 1 AF 1 =PF 2 AF 2=IP AI，所以IP AI=PF 1 +PF 2 AF 1 +AF 2=2a 2c =1e 1，即AI =e 1IP ，因为AI =λIP，所以AI =λ IP ，故λ =e 1，I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，即F 1G 为∠PF 1B 的角平分线，则有GB PG=BF 2 PF 2=BF 1 PF 1，又BF 2 ≠BF 1 ，所以BGPG =BF 1 -BF 2PF 1 -PF 2=2c2m =e 2，即BG =e 2GP ，因为BG =μGP ，所以BG =μ GP ，故μ =e 2，所以λ2+μ2=e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=141+3+3e 21e 22+e 22e 21≥144+23e 21e 22⋅e 22e 21=1+32，当且仅当3e 21e 22=e 22e 21⇒e 2=3e 1时，等号成立，所以λ2+μ2的最小值为1+32，故答案为：4，1+32.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，(1)直接法：由题意知道a ,c 利用公式求解即可；(2)一般间接法：由题意知道a ,b 或b ,c 利用a ,b ,c 的关系式求出a ,c ，在利用公式计算即可；(3)齐次式方程法：建立关于离心率e 的方程求解.7.(2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，⋯，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477)．【答案】5007294【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，所以A 2B 1=23，B 2B 1=13,由勾股定理有：A 2B 2=A 2B 1+B 1B 2=232+132=53，设第n 个正方形A n B n C n D n 的边长为l n ，则l 1=1，l 2=23l 12+13l 1 2=53l 1，⋯⋯，l n =23l n -12+13l n -1 2=53l n -1，所以l n =53n -1l 1=53n -1，所以第7个正方形的周长是4l 7=4×536=4×5336=4×125729=500729，第n 个正方形的面积为ln 2=532n -2=59n -1，则第1个正方形的面积为l 12=59=1，则第2个正方形的面积为l 22=591=59，则第3个正方形的面积为l 32=59 2，⋯⋯则第n 个正方形的面积为l n 2=59n -1，前n 个正方形的面积之和为S n =1+591+⋯+59n -1=1-59 n1-59=941-59n，当n =1时，S 1=941-591=1，当n =2时，S 2=941-592=149，当n =3时，S 3=941-593=15181，当n =4时，S 4=941-594=1484729>2，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.8.(2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习)△ABC 中，AB =AC =3,BC =2，沿BC 将△ABC 折起到△PBC 位置，P 点不在△ABC 面内，当三棱锥P -ABC 的体积最大时，三棱锥P -ABC 的外接球半径是；当PA =2时，三棱锥P -ABC 的外接球表面积是.【答案】654 15815π【分析】根据图形，得出面ABC 外接圆的半径为r ，而后利用勾股定理求出三棱锥P -ABC 的外接球半径；结合余弦定理，二倍角公式以及同角关系，求出OE ，再由勾股定理得出R 2，进而求出三棱锥P -ABC 的外接球表面积.【详解】由题知，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，设△ABC 的外接圆的圆心为E ，△PBC 的外接圆的圆心为F ，三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，连接OE ，OF 如图所示，要使三棱锥P -ABC 的体积最大时，即要使得点P 到平面ABC 的距离最大，只有当平面ABC ⊥平面PBC 时，体积最大，即点P 到BC 的距离最大，三棱锥体积最大.此时，四边形OEDF 是正方形，假设△ABC 外接圆的半径为r ，则在△BDE 中，由勾股定理得：r 2-1+r =AD =22，解得r =928，所以OE =DF =DE =r 2-1=728，∴R =OE 2+r 2=654.当PA =2时，由上述可知，结合余弦定理cos ∠EDF =8+8-22×22×22=78，由二倍角公式cos ∠ODE =154，∴tan ∠ODE =1515，∴OE =1515×728=730120，∴R 2=OE 2+r 2，∴三棱锥P -ABC 的外接球表面积为S =4πR 2=158π15.故答案为：654；158π15.9.(2023春·云南·高三校联考开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M ，N 的距离之比为定值λ(λ≠1,λ>0)的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0),N (4,0)，点P 满足|PM ||PN |=12．则点P 的轨迹方程为；在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA =3,BC =6,AC =2AB ，该三棱锥体积的最大值为．【答案】 (x +4)2+y 2=16 12【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解；根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点，结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】设P (x ,y ),|PM ||PN |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，所以x 2+8x +y 2=0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16；三棱锥的高为SA =3，当底面△ABC 的面积最大值时，三棱锥的体积最大，BC =6，AC =2AB ，取BC 靠近B 的一个三等分点为坐标原点O ，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取B (-2,0),C (4,0)，由题设定义可知A (x ,y )的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16，所以A 在圆(x +4)2+y 2=16的最高点处(-4,4)，S △ABC =12×6×4=12，此时，V S -ABC max =13×3×12=12．故答案为：(x +4)2+y 2=16；12.【点睛】解决此题的关键是第一空主要利用求点的轨迹方程的步骤即可；第二空要使该三棱锥体积的最大值，只需要将问题转化为求底面△ABC 的面积最大值，再利用阿波罗尼斯圆的特点即可.10.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知抛物线E ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，现有不同的三点A ，B ，C 在抛物线E 上，且AF +BF +CF =0，AF +BF +CF=12，则p 的值是；若过点P 1,-2 的直线PM ，PN 分别与抛物线E 相切于点M ，N ，则MN =.【答案】 4172##8.5【分析】根据向量的坐标运算化简可得y A +y B +y C =32p ，再利用抛物线的定义求出p ，根据切线的方程可求出直线MN 的方程，根据直线过焦点利用弦长公式y 1+y 2+p 求解.【详解】设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),F 0,p2，则AF +BF +CF =-x A -x B -x C ,p 2-y A +p 2-y B +p2-y C =0,∴p 2-y A +p 2-y B +p 2-y C =0，即y A +y B +y C =32p ，又AF +BF +CF =y A +p 2+y B +p 2+y C +p 2=32p +32p =3p =12，解得p =4.设M (x 1,y 2),N (x 2,y 2)，由x 2=8y 可得y =x4，则k PM =x 14,k PN =x 24，所以直线PM 的方程为y -y 1=x14(x -x 1),即x 1x =4(y +y 1)①，同理直线PN 的方程为x 2x =4(y +y 2)②由直线均过点P 可得x 1=4(-2+y 1)，x 2=4(-2+y 2)，即直线MN 的方程为x =4(-2+y )，过焦点F (0,2)，联立x 2=8y x =4(-2+y ) ，消元得2y 2-9y +8=0，所以y 1+y 2=92，∴MN =y 1+y 2+p =92+4=172，故答案为：4；17211.(2023·安徽淮北·统考一模)已知双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，则其方程为，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左右焦点，E 为右顶点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(其中点A 在第一象限)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME -NE 的取值范围是．【答案】 x 24-y 212=1 -433,433【分析】①将点代入方程中求出λ，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴切于双曲线的右顶点E ，设直线AB 的倾斜角为θ，可用θ表示ME -NE ，根据A ,B 两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得ME -NE 的取值范围【详解】①由双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，所以52-36=λ⇒λ=2所以方程为x 24-y 212=1②如图：设△AF 1F 2的内切圆与AF 1,AF 2,F 1F 2分别切于H ,D ,G ，所以|AH |=|AD |,|HF 1|=|GF 1|,|DF 2|=|GF 2|，所以|AF 1|-|AF 2|=|AH |+|HF 1|-|AD |-|DF 2|=|HF 1|-|DF 2|=|GF 1|-|GF 2|=2a ，又|GF 1|+|GF 2|=2c ，所以|GF 1|=a +c ,|GF 2|=c -a ，又|EF 1|=a +c ,|EF 2|=c -a ，所以G 与E (a ,0)重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ.则∠EF 2M =π-θ2，∠EF 2N =θ2，|ME |-|NE |=c -a tan π-θ2-c -a tanθ2=c -a ⋅sin π2-θ2 cos π2-θ2 -sin θ2cos θ2=c -a ⋅cos θ2sin θ2-sin θ2cos θ2 =(c -a )⋅cos 2θ2-sin 2θ2sin θ2⋅cos θ2=c -a 2cos θsin θ，当θ=π2时，|ME |-|NE |=0，当θ≠π2时，由题知，a =2.c =4.ba=3.因为A ,B 两点在双曲线的右支上，∴π3<θ<2π3，且θ≠π2，所以tan θ<-3或tan θ>3，∴-33<1tan θ<33.且1tan θ≠0，ME -NE =4-2 ⋅2tan θ=4tan θ∈-433,0 ∪0,433，综上所述，|ME |-|NE |∈-433,433.故①答案为：x 24-y 212=1;-433,433【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴同时切于双曲线的右顶点E ,并将ME -NE 用直线AB 的倾斜角θ表示出来是解题关键.12.(2023春·重庆·高三统考开学考试)定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上四点，AB =CD =23，则AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为.【答案】 0,2 4【分析】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，则由题可知E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF 范围；根据V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d (d 为点A 到平面CDE 距离，)，求出S △CDE ,d 的最大值即可得体积最大值.【详解】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，∴OA =OC =2.∵AB =CD =23，且E ,F 分别是AB ,CD 的中点，∴OE ⊥AB ，OE ⊥CD ，且AE =CF =3，∴OE =OF =1，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，若以EF 为直径作球，则0<EF ≤OE +OF =2，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E 是AB 中点，∴V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d ，d 为点A 到平面CDE 距离，d ≤AE =3，又S △CDE =12CD ⋅h ，h 为点E 到CD 距离，h ≤EF ≤2，∴V A -BCD ≤23×23×22×3=4，当且仅当E ,O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立.故答案为：(0，2]；4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E 和F 的轨迹，数形结合可得EF 的范围；根据E 是AB 中点，则A 与B 到平面CDE 的距离相等，据此将三棱锥A -BCD 的体积转化为三棱锥A -CDE 体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.13.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，过点F 作倾斜角为θ(θ为锐角)的直线交抛物线于A ，B 两点，如图，把平面ADF 沿x 轴折起，使平面ADF ⊥平面BDF ，则三棱锥A -BDF 体积为；若θ∈π6,π3，则异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为．【答案】4377,155【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得AF =p 1-cos θ，BF =p1+cos θ，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角.【详解】过B 作BM ⊥x ,BN ⊥准线，垂足为M ,N ,在Rt △BMF 中，MF =BF cos θ，又BN =BF =DF -MF =p -BF cos θ⇒BF =p 1+cos θ，MB =BF sin θ=p sin θ1+cos θ同理可得，AF =p1-cos θ过A 作AH ⊥x 于H ,由于平面ADF ⊥平面BDF ，且交线为DF ，AH ⊂平面ADF ,所以AH ⊥平面BDF ,且AH =AF sin θ=p sin θ1-cos θ，故三棱锥的体积为13S △BDF AF =13×12DF BM AH =16p p sin θ1+cos θp sin θ1-cos θ=p 36=86=43，AD =p 1-cos θ 2+p sin θ1-cos θ2=p 1-cos θ1+sin 2θ，BF =p1+cos θ且MB =p sin θ1+cos θ，FH =p cos θ1-cos θ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，B p 2-p cos θ1+cos θ,-p sin θ1+cos θ,0 ,A p 2+p cos θ1-cos θ,0,p sin θ1-cos θ，p =2即B 1-cos θ1+cos θ,-2sin θ1+cos θ,0 ,A 1+cos θ1-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ，D -1,0,0 ,F 1,0,0 ,DA =21-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ,BF =2cos θ1+cos θ,2sin θ1+cos θ,0 ,DA ⋅BF =21+cos θ 2cos θ1-cos θ =4cos θsin 2θ所以cos DA ,BF =DA ⋅BFDA BF =4cos θsin 2θp 1-cos θ1+sin 2θp 1+cos θ=cos θ1+sin 2θ=1-sin 2θ1+sin 2θ=-1+21+sin 2θ，当θ∈π6,π3时，sin θ∈12,32 ⇒sin 2θ∈14,34 ⇒1+sin 2θ∈54,74 ，所以cos DA ,BF =-1+21+sin 2θ∈77,155 ，由于DA ,BF为锐角，所以异面直线AD ，BF 所成角的角等于DA ,BF ，故异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为77,155故答案为：43，77,155【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用14.(2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知数列a n 满足：①a 1=5；②a n +1=a n +2,n 为奇数3a n +2,n 为偶数 .则a n 的通项公式a n =；设S n 为a n 的前n 项和，则S 2023=.(结果用指数幂表示)【答案】 a n =3n +32-4,n 为奇数 3n +22-2,n 为偶数2×31013-6079【分析】当n 为奇数时令n =2k -1,k ∈N *可得a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时令n =2k ,k ∈N *，可得a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，即可得到a 2k -1+4 是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n 为奇数时a n +1=a n +2，令n =2k -1,k ∈N *，则a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时a n +1=3a n +2，令n =2k ,k ∈N *，则a 2k +1=3a 2k +2=3a 2k -1+2 +2=3a 2k -1+8，则a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，当k=1时a1+4=9，所以a2k-1+4是以9为首项，3为公比的等比数列，所以a2k-1+4=9×3k-1=3k+1，所以a2k-1=3k+1-4，则a2k=a2k-1+2=3k+1-4+2=3k+1-2，当n为奇数时，由n=2k-1,k∈N*，则k=n+12，所以a n=3n+12+1-4=3n+32-4，当n为偶数时，由n=2k,k∈N*，则k=n2，所以a n=3n2+1-2=3n+22-2，所以a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，所以S2023=a1+a3+⋯+a2023+a2+a4+⋯+a2022=32+33+⋯+31013-4×1012+32+33+⋯+31012-2×1011=321-310121-3-4×1012+321-310111-3-2×1011=2×31013-6079故答案为：a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，2×31013-607915.(2023秋·河北张家口·高三统考期末)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b，则△ABC面积的最大值是；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为．【答案】 3；34,2 .【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cos A，再表示出sin A，再利用S△ABC=12bc sin A可得答案；对于第二空，利用r=2S△ABCabc，R=12⋅asin A可得答案.【详解】因a，b，c在三角形中，则由三角形三边关系可得c+b=4b>4c-b=2b<4⇒1<b<2，又利用余弦定理有：cos A=b2+c2-a22bc =10b2-166b2，又cos2A+sin2A=1，sin A>0，则sin A=1-cos2A=1-100b4+256-320b236b4=4-b4+5b2-43b2.得S△ABC=12bc sin A=2-b4+5b2-4=2-b2-522+94≤3，当且仅当b2=52，即b=102时取等号.则△ABC面积的最大值是3；对于第二空，因S△ABC=12a+b+cr，则r=2S△ABCa+b+c=bc sin A4+4b=3b2sin A4+4b，又asin A=2R⇒R=a2sin A=2sin A，则rR=6b24+4b=32⋅b21+b=32⋅1+b-121+b=32b+1+1b+1-2，因1<b<2，则2<b+1<3.令f x =x+1x，其中x∈2,3，因f x =x2-1x2>0，则f x 在2,3上单调递增，故52<b+1+1b+1<103，得rR∈34,2.故答案为：3；3 4 ,2.16.(2023秋·河北保定·高三统考期末)定义在R上的两个函数f x 和g x ，已知f x +g1-x=3，g x +f x-3=3．若y=g x 图象关于点1,0对称，则f0 =，g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=．【答案】 3 0【分析】①根据题意，利用方程法得到f x =f-2-x，通过赋值得到f0 =f-2，根据y=g x 的图象关于点1,0对称得到g1-x+g1+x=0，即可得到f x -g1+x=3，再利用方程法得到f x +f x-2=6，令x=0，得到f0 +f-2=6，然后求f0 即可；②利用方程法得到g x =-g x-2，整理可得g x =g x-4，得到4是g x 的一个周期，然后根据g x =-g x-2得到g1 +g2 +g3 +g4 =0，最后再利用周期求g1 +g2 +g3 +⋯+g1000即可.【详解】由g x +f x-3=3可得g1-x+f-2-x=3，又f x +g1-x=3，所以f x =f-2-x，令x=0，所以f0 =f-2；因为y=g x 的图象关于点1,0对称，所以g1-x+g1+x=0，又f x +g1-x=3，所以f x -g1+x=3，因为g x +f x-3=3，所以g1+x+f x-2=3，f x +f x-2=6，令x=0，所以f0 +f-2=6，则f0 =3；因为f x -g1+x=3，所以f x-3-g x-2=3，又g x +f x-3=3，所以g x =-g x-2，g x-2=-g x-4，则g x =g x-4，4是g x 的一个周期，因为g3 =-g1 ，g4 =-g2 ，所以g1 +g2 +g3 +g4 =0，因为g x 周期是4，所以g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=0.故答案为：3，0.17.(2023秋·江苏·高三统考期末)已知数列a n､b n满足b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k其中k∈N*，b n 是公比为q的等比数列，则a n+1a n=(用q表示)；若a2+b2=24，则a5=.【答案】 q2 1024【分析】根据已知得出a k=b2k-1，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，即可得出a n+1a n=q2，根据已知得出a2=b3，可得到b1q1+q=24，根据已知得出a3=b2,b5=a3，结合条件即得.【详解】∵n=2k-1时，b n=a n+12，即a k=b2k-1，k∈N*，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，∵b n是公比为q的等比数列，∴b2n+1b2n-1=q2，即a n+1a n=q2；∵q2>0，∴a n中的项同号，∵n=2k时，b n=a n+1，∴a n+1≥0，则a n中的项都为正，即a n>0，∴b n=a n+12>0，∴q>0，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a2=b3，∴a2+b2=b2+b3=24，∴b1q1+q=24，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a3=b2,b5=a3，∴b22=b5，即b21q2=b1q4，∴b1=q2，∴q31+q=24,q4-16+q3-8=0，解得q=2，∴a5=b24=q10=1024.故答案为：q 2；1024.18.(2023秋·山东潍坊·高三统考期中)在△ABC 中，点D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，且AD =λAC ，则实数λ的取值范围为；若△ABC 的面积为1，当BC 最短时，λ=.【答案】 0,43 2105##2510【分析】过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，由题设易得BD =2DC 、AC =EC 、△ADB ∼△EDC ，在△ACE 中应用三边关系求λ的取值范围，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2，由三角形面积公式得b 2sin2θ=1，且AE =2AC ⋅cos θ得cos θ=3λ4，进而可得b 2=83λ16-9λ2，应用余弦定理得到BC 关于λ的表达式，结合其范围求BC 最小时λ对应值即可.【详解】由△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，即BD =2DC ，如上图，过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，又AD 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠CAE =∠AEC ，即AC =EC ，且△ADB ∼△EDC ，故ED AD=CD BD =12，若AC =EC =b ，又AD =λAC ，则AD =λb 且λ>0，ED =λb2，△ACE 中，AC +EC =2b >AE =3λb 2，可得λ<43，故0<λ<43；由角平分线性质知：S △ABD S △ACD =ABAC =2，则AB =2AC =2b ，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2 ，则S △ABC =12AB ⋅AC sin2θ=b 2sin2θ=1，又AE =2AC ⋅cos θ，即3λb 2=2b cos θ，则cos θ=3λ4，故sin θ=16-9λ24，所以b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=3λb 216-9λ8=1，可得b 2=83λ16-9λ2，由BC 2=5b 2-4b 2cos2θ=9b 2-8b 2cos 2θ=12(2-λ2)λ16-9λ2=12⋅(λ2-2)2-9(λ2-2)2-20(λ2-2)-4，令t =1λ2-2∈-92,-12 ，则BC 2=12⋅1-9-20t-4t 2=12-141t+522-16，所以t =-52时BC 2min =12×14=3，即BC min =3，此时λ2=85，即λ=2105.故答案为：0<λ<43，2105.【点睛】关键点点睛：注意过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到BC 关于λ的表达式是求最值的关键.19.(2023秋·山东德州·高三统考期末)如图所示，已知F 1、F 2分别为双曲线x 24-y 212=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，则∠AF 2O 的取值范围为；记△AF 1F 2的内切圆O 1的面积为S 1，△BF 1F 2的内切圆O 2的面积为S 2，则S 1+S 2的取值范围是．【答案】π3,2π3 8π,403π【分析】分析可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出m 的取值范围，可求得∠AF 2O 的取值范围；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，分析可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，推导出圆O 1、圆O 2的半径r 1、r 2满足r 1r 2=4，求得r 1∈233,23 ，利用双勾函数的单调性可求得S 1+S 2的取值范围.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，在双曲线x 24-y 212=1中，a =2，b =23，则c =a 2+b 2=4，故点F 24,0 ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，所以，直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x =my +43x 2-y 2=12可得3m 2-1 y 2+24my +36=0，由题意可得3m 2-1≠0Δ=242m 2-4×36×3m 2-1 >0 ，解得m 2≠13，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2-1，y 1y 2=363m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +8=-24m 23m 2-1+8=-83m 2-1>0，可得m 2<13，x 1x 2=my 1+4 my 2+4 =m 2y 1y 2+4m y 1+y 2 +16=-12m 2+163m 2-1>0，可得m 2<13，所以，-33<m <33，且α∈0,π 当-33<m <0时，tan α=1m ∈-∞,-3 ，此时α∈π2,2π3，当m =0时，AB ⊥x 轴，此时α=π2，当0<m <33时，tan α=1m ∈3,+∞ ，此时α∈π3,π2 ，综上，π3<α<2π3，不妨设点A 在第一象限，则∠AF 2O =α∈π3,2π3；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1G ，F 2G =F 2N ，所以，AF 2 +F 1F 2 -AF 1 =AN +F 2N +F 1G +F 2G -AM +F 1M =F 2N +F 2G =2F 2G =2c -2a ，则F 2G =c -a =2，所以点G 的横坐标为4-2=2.故点O 1的横坐标也为2，同理可知点O 2的横坐标为2，故O 1O 2⊥x 轴，故圆O 1和圆O 2均与x 轴相切于G 2,0 ，圆O 1和圆O 2两圆外切.在△O 1O 2F 2中，∠O 1F 2O 2=∠O 1F 2G +∠O 2F 2G =12∠AF 2F 1+∠BF 2F 1 =90°，O 1O 2⊥F 2G ，∴∠GO 1F 2=∠F 2O 1O 2，∠O 1GF 2=∠O 1F 2O 2=90°，所以，△O 1GF 2∽△O 1F 2O 2，所以，O 1G O 1F 2=O 1F 2 O 1O 2，则O 1F 2 2=O 1G ⋅O 1O 2 ，所以F 2G 2=O 1F 2 2-O 1G 2=O 1G ⋅O 1O 2 -O 1G 2=O 1G ⋅O 2G ，即c -a 2=r 1⋅r 2，则r 1⋅r 2=4，由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1=12∠AF 2F 1∈π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=2tan ∠O 1F 2F 1∈233,23，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+16r 21，其中r 1∈233,23 ，令f x =x +16x ，其中x ∈43,12 ，则f x 在43,4 单调递减，在4,12 单调递增.因为f 4 =8，f 43=f 12 =403，则当x ∈43,12 时，f x ∈8,403 ，故S 1+S 2=πr 21+16r 21∈8π,40π3 .故答案为：π3,2π3；8π,40π3.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.20.(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)如图所示，一个平面内任意两两相交但不重合的若干条直线，直线的条数与这些直线将平面所划分的区域个数满足如下关系：1条直线至多可划分的平面区域个数为2；2条直线至多可划分的平面区域个数为4；3条直线至多可划分的平面区域个数为7；4条直线至多可划分的平面区域个数为11；一般的，n n ∈N * 条直线至多可划分的平面区域个数为；在一个平面内，对于任意两两相交但不重合的若干个圆，类比上述研究过程，可归纳出：n 个圆至多可划分的平面区域个数为.【答案】 n 2+n +22n 2-n +2【分析】根据当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，推导出a n =a n -1+n n ≥2 ，利用累加法求得a n ；利用类比的方法可求得n 个圆至多可划分的平面区域个数.【详解】当这些直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，已知a 1=2,a 2=4，当n ≥2时，因为第n 条直线l 与前n -1条直线至多新增n -1个交点，且新增的这n -1个交点均在l 上，按沿l 的方向向量方向排布将这n -1个交点依次记为A 1,A 2,⋯，A n -1，对于线段A m -1A m m ∈N * ，且2≤m ≤n -1 ，和以A 1和A n -1为端点且不经过A 2,A 3⋯,A n -2的两条射线，均能将前n -1条直线所划分的区域一分为二，故将新增n 个区域，故a n =a n -1+n n ≥2 ，故a n =a 1+a 2-a 1 +a 3-a 2 +⋯+a n -a n -1 =2+2+3+⋯+n =1+n n +1 2=n 2+n +22，故n 条直线至多将平面划分的区域个数为n 2+n +22；同理，当这些圆两两相交，且任意三个圆均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 个圆可划分的平面区域个数为b n ，已知b 1=2,b 2=4，当n ≥2时，因为第n 个圆C 与前n -1个圆至多新增2n -1 个交点，且新增的这2n -2个交点均在C 上，按沿C 的逆时针方向排布将这2n -2个交点依次记为B 1,B 2,⋯,B 2n -2，对于弧B k -1Bk (k ∈N *，且2≤k ≤2n -2)，和弧B 2n -2B 1，每一段弧均能将前n -1个圆所划分的区域一分为二，故将新增2n -2个区域，故有b n =b n -1+2n -2n ≥2 ，故b n =b 1+b 2 -b 1 +b 3-b 2 +⋯+b n -b n -1=2+2+4+⋯+2n -2 =2+n n -1 =n 2-n +2，故n 个圆至多可划分的平面区域个数为n 2-n +2.故答案为：n 2+n +22;n 2-n +2.【点睛】关键点点睛：确定当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，关键点就是要推导出当增加一条直线时新增的区域个数，从而得到a n =a n -1+n n ≥2 .21.(2023·山东青岛·统考一模)设函数f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足f 0 =1，f 1 =0，对任意的x ，y ∈Z 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则f 3 =；f 12+22+⋅⋅⋅+20232f 12+f 22 +⋅⋅⋅+f 20232=．【答案】 011011【分析】由f x +y +f x -y =2f x f y 结合已知函数值，通过代入特殊值计算f 3 ；推导出函数f x 周期T =4，通过已知函数值，分析f 12+22+⋅⋅⋅+20232 f 12 +f 22 +⋅⋅⋅+f 20232中自变量的数据特征求值.【详解】令x =y =1，f (2)+f (0)=2f 2(1)，∴f 2 =-1，。
高三数学专题复习 平面向量解题必会知识与方法整理试卷
高三数学专题复习——平面向量解题必会知识与方法整理必备知识： 1. 向量的基本概念。
2. 向量线性运算的几何运算（三角形法则和平行四边形法则）和坐标运算。
3. 两个定理：平面向量基本定理和向量共线定理。
4. 一个定义：平面向量数量积的定义及几何意义。
5. 极化恒等式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a解题方法与策略示例 一 回归定义解题1.在ABC ∆中，若2||AC AB AC ⋅>，则有（ ）A ．||||AC BC >B ．||||BC AC > C ．||||AC AB >D ．||||AB BC >2.已知平面向量2,1,,==βαβα，()βαα2-⊥，则βα+2的值是3.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =4.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93-- 5．已知a ＝（5，4），b ＝（3，2），则与2a －3b 平行的单位向量为二 运用平面向量几何背景解题6. 已知P 是ABC ∆内一点,且满足=++PC PB PA 320,记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆ 的面积依次为1S 、2S 、3S ,则1S :2S :3S 等于（ ） A ．3:2:1B ．9:4:1C ．3:2:1D ．2:1:37.若b a ,是两个非零向量,且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ,则b 与b a -的夹角的取值范围是8. 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，向量c 满足0c)(b c)(a =-⋅-,则|c| 的最大值为（ ）A . 1 B. 2 C. 2 D. 229. 已知平面向量α，β （α≠ 0，α≠β ）满足|β |=1，且α与β- α的夹角为 120°，则|α| 的取值范围是10. 若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是11．非零向量OA 与OB ，对于任意的,t R ∈OA tOB +的最小值的几何意义为 . 12. 已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA +OB |=|OA -OB |,其中O 为原点,则实数a 的值为13、如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一个动点．若OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋3y 的取值范围是________．三 利用向量的坐标运算解题14. 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0c)(b c)(a =-⋅-,则|c| 的最大值为（ ）A . 1 B. 2 C. 2 D.2215.已知向量a ，b 是单位向量，0⋅=a b ．向量c 满足||1--=c a b ，则||c 的取值范围是（ ）A ．[221]B ．222]C ．212 D ．21216.给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心||OA 为半径的劣弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为_____．17. 设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B∙→P 0C ，则（ ） A ．∠ABC =90︒ B ．∠BAC =90︒ C ．AB =AC D ．AC =BC18. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，4AB =，E 是 BCD ∆内部任意一点，AE 与BD 交于点F ，则AF BF ⋅的最小值是 ．FDAEO PQA19. 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c +⋅+≤，则||a b c +-的最大值为________．四. 根据平面向量基本定理，选好基底，进行运算20. 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x ，y ∈R ．若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于 ．21. 若等边ABC ∆的边长为2,平面内一点M 满足CA CB CM 2131+=,则=⋅MB MA （ ）A ．98B ．913C ．98-D ．913-22.在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若·=1,则AB 的长为 .五．运用数量积的几何意义运算23.已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦B A 长是3，P 圆O 上的任意一点， 则AP AB ⋅的最大值为________．24.如图所示的等腰梯形ABCD 中,已知AB=2,CD=4,则·等于 .25.正三角形ABC 中,D 是边BC 上的点,AB=3,BD=1,则·= .26.如图，两个半径分别为1和2的同心圆，点P 、Q 分别是大圆和小圆上 的一个动点，过点P 作小圆的一条切线，切于点A ，则PA PQ 的取值 范围是 .27．如图，已知圆M ：22(3)(3)4x y -+-=，ABC ∆为圆M 的内接正三 角形，E 为边AB 的中点，当正ABC ∆绕圆心M 转动，同时点F 在边AC 上运动时，ME OF ⋅的最大值是 。
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高三数学试题答案及解析1.已知，，若向区域上随机投1个点，这个点落入区域的概率=【答案】【解析】略2.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边洗定一点C，测出AC的距离为50m，，后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略3.已知直线平面，直线平面，则m是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】略4.抛物线的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】略5.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________【答案】144【解析】略6.已知全集合，集合，则P等于A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：甲： 78 76 74 90 82乙： 90 70 75 85 80（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【答案】解：（1）………………3分（2）从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况如下：（78，90）（78，70）（78，75）（78，85）（78，80）（76，90）（76，70）（76，75）（76，85）（76，80）（74，90）（74，70）（74，75）（74，85）（74，80）（90，90）（90，70）（90，75）（90，85）（90，80）（82，90）（82，70）（82，75）（82，85）（82，80）共有25种，而甲大于乙的情况有12种，．．………………8分（3），，而，．，，选甲参加更合适．………………12分【解析】略8.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】略9.下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是A．B．C．D．【答案】C【解析】略10.（本小题共15分）已知函数。
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高三数学试题大全高三数学试题大全一、数列与数列求和数列是数学中经常出现的一种数值排列，通过观察数列的规律，我们可以找到数列的通项公式，从而计算数列中任意一项的值。
1.1 等差数列等差数列是最简单的数列之一，它的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。
例如，给定等差数列的首项a1=2，公差d=3，我们可以计算得到该等差数列的前5项的值为2，5，8，11，14。
1.2 等比数列等比数列是指数列中，任意一项与它前一项的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项的值，a1表示首项的值，q表示公比。
例如，给定等比数列的首项a1=1，公比q=2，我们可以计算得到该等比数列的前5项的值为1，2，4，8，16。
1.3 数列求和在数学中，求数列的和是一个重要的问题。
对于等差数列，数列的前n项和可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2；对于等比数列，数列的前n项和可以表示为：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，我们可以计算得到它的前3项和为12。
二、函数与方程函数和方程是高中数学中重要的概念，它们用于描述数学关系和解决实际问题。
2.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用数学公式、图像或数据表来表示。
例如，给定函数f(x) = x + 2，我们可以计算出f(1) = 3，f(2) = 4，f(3) = 5。
2.2 方程的解方程是数学中常用的描述等式的工具，它包含一个或多个变量，并且我们需要求解变量的值使得方程成立。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过移项和化简来求解x的值，得到x = 2。
2.3 一次函数与二次函数一次函数是指函数的最高次数为1的多项式函数，它的表达式一般为y = kx + b，其中k和b为常数。
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高三数学试题答案及解析1.某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若，则奖励玩具一个；②若，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】用数对表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间与点集一一对应.得到基本事件总数为（Ⅰ）事件包含的基本事件共有个，即计算即得.（Ⅱ）记“”为事件，“”为事件.知事件包含的基本事件共有个，得到事件包含的基本事件共有个，得到比较即知.试题解析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集一一对应.因为中元素个数是所以基本事件总数为（Ⅰ）记“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即所以，即小亮获得玩具的概率为.（Ⅱ）记“”为事件，“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即所以，则事件包含的基本事件共有个，即所以，因为所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【考点】古典概型2.已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线方程为_____【答案】【解析】略3.函数的定义域为。
【答案】【解析】略4.设、、是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.．(本小题满分12分)已知集合，，(1)在区间上任取一个实数，求“”的概率；(2)设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率.【答案】（1）由已知，， (2)分设事件“”的概率为，这是一个几何概型，则。
…………………………………………………………5分（2）因为，且，所以，，基本事件由下表列出，共12个：共有12个结果，即12个基本事件：1，2，3，4，0，1，2，3，1，0，1， 2 …………………………9分又因为，设事件为“”，则事件中包含9个基本事件，…………………………11分事件的概率。
高三数学题
高三数学题高考数学要提高分数就离不开做题，而做题的核心首先得选题，选题是提高成果的第一步，也是格外关键的一步，今日我在这给大家整理了〔高三数学〕题，接下来随着我一起来看看吧!高三数学题根本不等式1.假设xy0，那么对xy+yx说法正确的选项是()A.有值-2B.有最小值2C.无值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，那么xy的值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.x≥2，那么当x=____时，x+4x有最小值____.答案：244.f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0时，求f(x)的值.解：(1)∵x0，∴12x，4x0.∴12x+4x≥212x?4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，∴当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，∴-x0.那么-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x?(-4x)=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.∴当x0时，f(x)的值为-83.一、选择题1.以下各式，能用根本不等式直接求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.3.m、n∈R，mn=100，那么m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n2≥2mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;④∵x，y∈R，，xy0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2(-xy)(-yx)=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从根本不等式成立的条件考虑.①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合根本不等式的条件，故①的推导过程正确;②虽然x，y∈(0，+∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的;③∵a∈R，不符合根本不等式的条件，∴4a+a≥24a?a=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合根本不等式的条件，故④正确.5.a0，b0，那么1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.x、y均为正数，xy=8x+2y，那么xy有()A.值64B.值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.∴xy≥64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.答案：18.假设x0，y0，且x+4y=1，那么xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.答案：大1169.(2022年高考山东卷)x，y∈R+，且满足x3+y4=1，那么xy的值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，∴x+10.∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5≥2(x+1)?4x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.∴x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，∴x-10.∴(x-1)+9x-1+2≥2(x-1)?9x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，∴y有最小值8.11.a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.当且仅当a=b=c时取等号. 12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度肯定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽视不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，那么宽为200x米.总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200=800×(x+225x)+12000≥1600x?225x+12000=36000(元)当且仅当x=225x(x0)，即x=15时等号成立.数列一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.1.在等差数列{an}中，假设a1+a2+a12+a13=24，那么a7为()A.6B.7C.8D.9解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.答案：A2.假设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33-S22=1，那么数列{an}的公差是()A.12B.1C.2D.3解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，应选C.答案：C3.数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈正整数集)，那么a2022等于()A.1B.-4C.4D.5解析：由，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…故{an}是以6为周期的数列，∴a2022=a6×335+1=a1=1.答案：A4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A.d0B.a7=0C.S9S5D.S6与S7均为Sn的值解析：∵S5又S7S8，∴a80.假设S9S5，那么a6+a7+a8+a90，即2(a7+a8)0.∵a7=0，a80，∴a7+a80.假设不成立，故S9答案：C5.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，假设S3=3a3，那么公比q的值为()A.-12B.12C.1或-12D.-2或12[解析：设首项为a1，公比为q，那么当q=1时，S3=3a1=3a3，适合题意.当q≠1时，a1(1-q3)1-q=3?a1q2，∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0，解得q=1(舍去)，或q=-12.综上，q=1，或q=-12.答案：C6.假设数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1，数列{an}的项为第x项，最小项为第y项，那么x+y等于()A.3B.4C.5D.6解析：an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45，∴n=2时，an最小;n=1时，an.此时x=1，y=2，∴x+y=3.答案：A7.数列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈正整数集)，那么该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25解析：∵3an+1=3an-2，∴an+1-an=-23，即公差d=-23.∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).令an0，即15-23(n-1)0，解得n23.5.又n∈正整数集，∴n≤23，∴a230，而a240，∴a23a240.答案：C8.某工厂去年产值为a，方案今后5年内每年比上年产值增加10%，那么从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A.1.14aB.1.15aC.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a解析：由，得每年产值构成等比数列a1=a，wan=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.答案：C9.正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7?a14的值为()A.25B.50C.100D.不存在解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10.又a70，a140，∴a7?a14≤a7+a1422=25.答案：A10.设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈正整数集，点an，S2nSn()A.在直线mx+qy-q=0上B.在直线qx-my+m=0上C.在直线qx+my-q=0上D.不肯定在一条直线上解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即qx-my+m=0.答案：B11.将以2为首项的偶数数列，按以下〔方法〕分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，那么第n组的首项为()A.n2-nB.n2+n+2C.n2+nD.n2-n+2解析：由于前n-1组占用了数列2,4,6，…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n-1)n2+1项，等于2+(n-1)n2+1-1?2=n2-n+2.答案：D12.设m∈正整数集，log2m的整数局部用F(m)表示，那么F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是()A.8204B.8192C.9218D.以上都不对解析：依题意，F(1)=0，F(2)=F(3)=1，有2个F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2，有22个.F(8)=…=F(15)=3，有23个.F(16)=…=F(31)=4，有24个.…F(512)=…=F(1023)=9，有29个.F(1024)=10，有1个.故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29，①那么2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②①-②，得-T=2+22+23+…+29-9×210=2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2，∴T=8×210+2=8194，m]∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=8194+10=8204.答案：A其次卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分.13.假设数列{an}满足关系a1=2，an+1=3an+2，该数列的通项公式为__________.解析：∵an+1=3an+2两边加上1得，an+1+1=3(an+1)，∴{an+1}是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列，∴an+1=3?3n-1=3n，∴an=3n-1.答案：an=3n-114.公差不为零的等差数列{an}中，M=anan+3，N=an+1an+2，那么M与N的大小关系是__________.解析：设{an}的公差为d，那么d≠0.M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d20，∴M答案：M15.在数列{an}中，a1=6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an-1)在直线x-y=6上，那么数列{ann3(n+1)}的前n项和Sn=__________.解析：∵点(an，an-1)在直线x-y=6上，∴an-an-1=6，即数列{an}为等差数列.∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n，∴an=6n2.∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1.答案：6nn+116.观看下表：123434567 45678910…那么第__________行的各数之和等于20222.解析：设第n行的各数之和等于20222，那么此行是一个首项a1=n，项数为2n-1，公差为1的等差数列.故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=20222，解得n=1005.答案：1005三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.(10分)数列{an}中，a1=12，an+1=12an+1(n∈正整数集)，令bn=an-2.(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn;(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.解析：(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12，∴{bn}是等比数列.∵b1=a1-2=-32，∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n.(2)an=bn+2=-32n+2，Sn=a1+a2+…+an=-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2=-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3.18.(12分)假设数列{an}的前n项和Sn=2n.(1)求{an}的通项公式;(2)假设数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)，且cn=an?bnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.解析：(1)由题意Sn=2n，得Sn-1=2n-1(n≥2)，两式相减，得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).当n=1时，21-1=1≠S1=a1=2.∴an=2(n=1)，2n-1(n≥2). (2)∵bn+1=bn+(2n-1)，∴b2-b1=1，b3-b2=3，b4-b3=5，…bn-bn-1=2n-3.以上各式相加，得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.∵b1=-1，∴bn=n2-2n，∴cn=-2(n=1)，(n-2)×2n-1(n≥2)，∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1，∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n=2n-2-(n-2)×2n=-2-(n-3)×2n.∴Tn=2+(n-3)×2n.19.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)假设从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来挨次组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式.解析：(1)依题意，得3a1+3×22d+5a1+5×42d=50，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得a1=3，d=2.∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1，即an=2n+1.(2)由，得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1，∴Tn=b1+b2+…+bn=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban-2n=(b-1)Sn.(1)证明：当b=2时，{an-n?2n-1}是等比数列;(2)求通项an.新课标第一网解析：由题意知，a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1，两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，即an+1=ban+2n.①(1)当b=2时，由①知，an+1=2an+2n.于是an+1-(n+1)?2n=2an+2n-(n+1)?2n=2an-n?2n-1.又a1-1?20=1≠0，∴{an-n?2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)当b=2时，由(1)知，an-n?2n-1=2n-1，即an=(n+1)?2n-1当b≠2时，由①得an+1-12-b?2n+1=ban+2n-12-b?2n+1=ban-b2-b?2n=ban-12-b?2n，因此an+1-12-b?2n+1=ban-12-b?2n=2(1-b)2-b?bn.得an=2，n=1，12-b[2n+(2-2b)bn-1]，n≥2.21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部打算在24小时内另筑起一道堤作为其次道防线.经计算，假如有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起其次道防线，但是除了现有的一辆车可以马上投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样间续工作，才能保证24小时内完成其次道防线，请说明理由.解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，那么an-an-1=-13.所以各车的工作时间构成首项为24，公差为-13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车.设还需组织(n-1)辆车，那么a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.所以n2-145n+3000≤0，解得25≤n≤120，且n≤73.所以nmin=25，n-1=24.故至少还需组织24辆车间续工作，才能保证在24小时内完成其次道防线. 22.(12分)点集L={(x，y)|y=m?n}，其中m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈正整数集.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;(3)设cn=5n?an?|PnPn+1|(n≥2)，求c2+c3+c4+…+cn的值.解析：(1)由y=m?n，m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，得y=2x+1，即L：y=2x+1.∵P1为L的轨迹与y轴的交点，∴P1(0,1)，那么a1=0，b1=1.∵数列{an}为等差数列，且公差为1，∴an=n-1(n∈正整数集).代入y=2x+1，得bn=2n-1(n∈正整数集).(2)∵Pn(n-1,2n-1)，∴Pn+1(n,2n+1).=5n2-n-1=5n-1102-2120.∵n∈正整数集，(3)当n≥2时，Pn(n-1,2n-1)，∴c2+c3+…+cn=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.高三怎么学数学1、用好课本1.对数学2113概念重新生疏，5261深刻理解其内涵与外延4102，区分简洁混淆的1653概念。
高三一轮数学复习备考试卷归纳
高三一轮数学复习备考试卷归纳高三年级数学复习试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分..1.若复数的实部与虚部相等，则实数()A(A)(B)(C)(D)2.已知，猜想的表达式为().A.B.C.D.3.等比数列中，，则“”是“”的B(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4.从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有B(A)种(B)种(C)种(D)种5.已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间()上有零点，则的值为A(A)或(B)或(C)或(D)或6.已知函数，其中.若对于任意的，都有，则的取值范围是D(A)(B)(C)(D)7.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则BA.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，8.如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A(A)线段(B)圆弧(C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列的公差不为，其前项和是.若，，则______.510.的展开式中的系数是.16011.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.12.在直角坐标系中，点与点关于原点对称.点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______.13.数列的通项公式，前项和为，则___________。
301814.记实数中的_大数为，_小数为.设△的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为(ⅰ)若△为等腰三角形，则______;1(ⅱ)设，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题共14分)已知函数.(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)讨论的单调性;(III)若存在_大值，且，求的取值范围.(18)(共14分)解：(Ⅰ)当时，..所以.又，所以曲线在点处的切线方程是，即.(Ⅱ)函数的定义域为，.当时，由知恒成立，此时在区间上单调递减.当时，由知恒成立，此时在区间上单调递增.当时，由，得，由，得，此时在区间内单调递增，在区间内单调递减. (III)由(Ⅱ)知函数的定义域为，当或时，在区间上单调，此时函数无_大值.当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时函数有_大值._大值.因为，所以有，解之得.所以的取值范围是.16.(本小题满分13分)已知函数的一个零点是.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设，求的单调递增区间.(Ⅰ)解：依题意，得，………………1分即，………………3分解得.………………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得.………………6分………………7分………………8分………………9分.………………10分由，得，.………………12分所以的单调递增区间为，.………………13分117.(本小题满分13分)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n-2(2)证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga[(1+1)(1+)…(1+)]而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)…(1+)(_)①当n=1时，已验证(_)式成立.②假设n=k(k≥1)时(_)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(_)式成立由①②知，(_)式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snlogabn+1,当0a1时，snlogabn+1 p=18.(本小题满分13分)已知函数，，其中.(Ⅰ)求的极值;(Ⅱ)若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解：的定义域为，………………1分且.………………2分①当时，，故在上单调递减.从而没有极大值，也没有极小值.………………3分②当时，令，得.和的情况如下：↘↗故的单调减区间为;单调增区间为.从而的极小值为;没有极大值.………………5分(Ⅱ)解：的定义域为，且.………………6分③当时，显然，从而在上单调递增.由(Ⅰ)得，此时在上单调递增，符合题意.………………8分④当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意.……9分⑤当时，令，得.和的情况如下表：↘↗当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意.………………11分当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意.综上，的取值范围是.………………13分19.(本小题满分14分)如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为.(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点.记△的面积为，△(为原点)的面积为，求的取值范围.19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为.………………1分设，则.………………2分将代入，解得.………………3分所以椭圆的离心率为.………………4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，椭圆的方程可设为.………………5分设，.依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得.………………7分则，，.………………8分因为，所以，.………………9分因为△∽△，所以………………11分.………………13分所以的取值范围是.………………14分(20)(本小题共13分)设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.(Ⅰ)若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的_大值;(Ⅱ)若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的_大值.(20)(共13分)解：(Ⅰ)依据题意，当时，取得_大值为2.(Ⅱ)①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的_大值，其中.由，得.当且仅当，且时，达到_大值，于是.②当不是中的“元”时，计算的_大值，由于，所以.，当且仅当时，等号成立.即当时，取得_大值，此时.综上所述，的_大值为1.高三数学复习试题整理一、选择题。
高三数学专题训练《数列》解析版
一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10可得d ＝3，a 1＝－4，所以S 10＝－4×10＋10×92×3＝95.答案：C2．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.答案：C3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，a 3＝4.答案：A4．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1≠d ，若这个数列的前40项和是20m ，则m 等于( )A ．a 1＋a 20B ．a 5＋a 17C ．a 27＋a 35D ．a 15＋a 26解析：S 40＝40(a 1＋a 40)2＝20(a 1＋a 40)＝20m ，m ＝a 1＋a 40＝a 15＋a 26.答案：D5．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( )A.b aB.b 2a2C.b 2aD.ba2解析：记等比数列{a n }的公比为q ，依题意得a 15＋a 16＝a 5q 10＋a 6q 10＝(a 5＋a 6)q 10，q 10＝a 15＋a 16a 5＋a 6＝b a，a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)q 20＝a ×(b a)2＝b 2a，选C. 答案：C6．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( )A.53B.35 C ．－53D ．－35解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q ＝158①a 21q 3＝－98 ②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－(1q)4]1－1q＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.答案：C7．(2010·江西九校联考)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )A ．200B ．2C ．－2D ．0解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n＋2＝0，a n ＋2a nq ＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B8．(2010·西安八校二联)已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8>a 8S 9B ．a 9S 8<a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．a 9S 8与a 8S 9的大小关系与a 1的值有关 解析：依题意得，a 9S 8－a 8S 9＝a 1q 8·a 1(1－q 8)1－q－a 1q 7·a 1(1－q 9)1－q＝－a 21q 7>0，因此a 9S 8>a 8S 9，选A.答案：A9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴b n ＝ln a n 是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2， ∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 答案：C10．(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1000项等于( )A ．42B ．45C ．48D ．51解析：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n 段n 个数，设a 1000＝k ，则a 1000在第k 个数段，由于第k 个数段共有k 个数，则由题意k 应满足1＋2＋…＋(k －1)<1000≤1＋2＋…＋k ，解得k ＝45.答案：B11．(2010·湖北八校联考)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：依题意，∵a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (n ∈N *)，∴k ≠0，①正确，排除B ，C 选项，又由于公差是0的等差数列不是等差比数列，②错误，排除A ，选择D.答案：D12．(2009·湖北高考)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列 解析：由题意，记a 1＝{5＋12}＝5＋12－[5＋12]＝5＋12－1＝5－12，a 2＝[5＋12]＝1，a 3＝5＋12，若为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，不满足；若为等比数列，则(a 2)2＝a 1a 3，有12＝5－12×5＋12，∴是等比数列但非等差数列，选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝__________.解析：由a 4＋a 6＝6，得a 5＝3，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝10，∴a 1＝1.∴4d ＝a 5－a 1＝2，d ＝12.答案：1214．(2009·重庆一诊)已知数列{a n }是等比数列，且a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10＝128，则a 15·a 2a 10＝__________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则依题意得a 71·q 42＝128，a 1·q 6＝2，a 7＝2，a 15·a 2a 10＝a 2·q 5＝a 7＝2.答案：215．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的13等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．解析：设构成等差数列的五个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则⎩⎨⎧5a ＝1003(a ＋d )＝3(2a －3d )解得⎩⎨⎧a ＝20d ＝5，则最少的一份为a －2d ＝10.答案：1016．数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则A 2005＝__________.解析：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－12，…，数列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则A 2005＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2002×a 2003×a 2004)×a 2005＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3的值； (2)求此数列的通项公式； (3)求此数列的各项和S . 解：(1)由题意知⎩⎨⎧12S 2＋13S 3＝22S 2·3S 3＝36，解得S 2＝2，S 3＝3.(2)⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝4q ＝－12或⎩⎨⎧a 1＝1q ＝1(舍去)．∴a n ＝4·(－12)n －1.(3)∵|q |＝|－12|＝12<1.∴S ＝41－(－12)＝83.18．(12分)已知函数f (x )＝x3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)记S n (x )＝x a 1＋x 2a 2＋…＋eq \f(x n ,a n )，求S n (x )．(1)证明：∵a n ＋1＝f (a n )，∴a n ＋1＝a n3a n ＋1.∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3.∴{1a n}是以1a 1＝1为首项，3为公差的等差数列．∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)解：S n (x )＝x ＋4x 2＋7x 3＋…＋(3n －2)x n ，① 当x ＝1时，S n (x )＝1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.当x ≠1时，xS n (x )＝x 2＋4x 3＋…＋(3n －5)x n ＋(3n －2)x n ＋1，②①－②，得(1－x )S n (x )＝x ＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n －(3n －2)x n ＋1＝3(x ＋x 2＋…＋x n )－2x －(3n －2)x n ＋1＝3x (1－x n )1－x－2x －(3n －2)x n ＋1，S n (x )＝3x －3x n ＋1(1－x )2－2x ＋(3n －2)x n ＋11－x.19．(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n >42＋4n 成立的n 的最小值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，① 又a 2＋a 3＋a 4＝28，将①代入得a 3＝8.所以a 2＋a 4＝20.于是有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12.又{a n }是递增的，故a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n .(2)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1，S n ＝n 2＋3n2.故由题意可得n 2＋3n2>42＋4n ，解得n >12或n <－7.又n ∈N *，所以满足条件的n 的最小值为13.20．(12分)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款．(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元)(参考数据：lg1.7343＝0.2391，lg1.05＝0.0212,1.058＝1.4774)解：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．(1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×800元＝800000元＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1. 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1， ∴1.05n ≥1.7343.两边取对数整理得n ≥lg1.7343lg1.05＝0.23910.0212＝11.28，∴取n ＝12(年)．∴到2014年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x 元， ∵到2010年底公寓共使用了8年，依题意有(1000x10000－18)[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x －18)1.058－11.05－1≥500×1.059.∴x ≥10(18＋25×1.0591.058－1)＝10(18＋25×1.05×1.47741.4774－1)＝10×(18＋81.2)＝992(元)故每生每年的最低收费标准为992元．21．(12分)若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝a n －1＋a n －22(n＝3,4，…)．(1)求c 的值．(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)由题设，当n ≥3时，a n ＝c 2a n －2， a n －1＝ca n －2，a n ＝a n －1＋a n －22＝1＋c 2a n －2， ∴c 2＝1＋c 2. 解得c ＝1或c ＝－12. (2)当c ＝1时{a n }是一个常数数列，a n ＝1.此时S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当c ＝－12时，a n ＝(－12)n －1(n ∈N *)． 此时S n ＝1＋2(－12)＋3(－12)2＋…＋n (－12)n －1.① －12S n ＝－12＋2(－12)2＋3(－12)3＋…＋(n －1)(－12)n －1＋n (－12)n .② ①－②，得(1＋12)S n ＝1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1－n (－12)n ＝1－(－12)n 1＋12－n (－12)n .∴S n ＝19[4－(－1)n 3n ＋22n －1]． 22．(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.(1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16(25)n －1. (文)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(理)(1)由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想，数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，已证命题成立．②假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，易知x n >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2， 也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．(2)当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立； 当n ≥2时，易知0<x n －1<1，∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12， ∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝(1＋11＋x n －1)(1＋x n －1) ＝2＋x n －1≥52， ∴|x n ＋1－x n |＝|11＋x n －11＋x n －1|＝|x n －x n －1|(1＋x n )(1＋x n －1)≤25|x n －x n －1|≤(25)2|x n －1－x n －2|≤…≤(25)n －1|x 2－x 1|＝16(25)n －1. (文)(1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2 ＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时09 基本不等式及其应用
课时09 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．2．（·上海交大附中高三期末）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031xxaf x a =+>+的最小值为5，则a =______. 4．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______. 5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab++的最小值为__________. 二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x xxx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.（能力题）一、单选题1．（·上海）若直线l：212x yb a a b+=++经过第一象限内的点11(,)Pa b，则ab的最大值为A．76B．422-C．523-D．632-2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*Nk∈，,,Rx y z+∈，若222()5()k xy yz zx x y z++>++，则对此不等式描述正确的是A．若5k=，则至少存在．．．．一个以,,x y z为边长的等边三角形B．若6k=，则对任意满足不等式的,,x y z都存在．．．以,,x y z为边长的三角形C．若7k=，则对任意满足不等式的,,x y z都存在．．．以,,x y z为边长的三角形D．若8k，则对满足不等式的,,x y z不存在．．．以,,x y z为边长的直角三角形3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm，所有棱长的总和为24cm.那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（）.A．1arccos3B．2arccos3C．3arccos9D．6arccos9二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c=++（0a>），若存在0x∈Z，满足1|()|2019f x≤，则称x为函数()f x的一个“近似整零点”，若()f x有四个不同的“近似整零点”，则a的取值范围是________5．（·上海高三一模）已知0a b>>，那么，当代数式216()ab a b+-取最小值时，点(,)P a b的坐标为________6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC中，2Aπ∠=，3AB=，4AC=，E为三角形ABC内一点，且22AE=，若AE AB ACλμ=+，则34λμ+的最大值等于___________.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．210里B．410里C．610里D．810里二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC，其中()1OA a a=>，函数23y x=交BC于点P，函数12y x-=交AB于点Q，当AQ CP+最小时，则a的值为_______三、解答题3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005xy x=-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.课时10 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．【答案】5；【分析】设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，蓄水池总造价为()W h，由题意可得500()402W h ah ah=+，然后基本不等式求出()W h的最小值即可．【详解】设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为()W h，则由题意可得20500x yxyh+=⎧⎨=⎩，500()2()22()2402W h a xh yh axy ah x y axy ah ah∴=++=++=+，500()2402400W h ah a ah∴⋅=，∴当且仅当5h=时，()W h取最小值，即5h=时，()W h取最小值.故答案为：5．2．（·上海交大附中高三期末）若1x>，则函数211x xyx-+=-的最小值为___________.【答案】3【分析】由2111111x xy xx x-+==-++--，及1x>，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x xx xy xx x x x-++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以()1111211311y x x x x =-++≥-⋅+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031x xaf x a =+>+的最小值为5，则a =______. 【答案】9【分析】配方得()()303113131x x xx a af x a =+>=++-++，结合基本不等式即可求解 【详解】()()3031121593131xxx x a a f x a a a =+>=++-≥-=⇒=++，当且仅当3log 2x =时等号满足， 故答案为：94．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______. 【答案】4 【分析】由已知得11a b a ba b b a b a+++=+++，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =，所以11224a b a b a b a b a ba b ab b a b a ab b a b a++++=++=+++≥⋅+=， 当且仅当1a b ==等号成立， 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab++的最小值为__________. 【答案】15【分析】由a b ab +=可得1bb a，将它们替换目标式中的ba、ab ，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题设知：1bba+=，即1bba，又a bab+=且0,0a b>>，∴64646412()()116115ba ab a ba ab a b a b++=+-+≥+-=-=++，当且仅当8a b+=时等号成立.故答案为：15.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a<≤∈R亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天）的变化的函数关系式近似为()10af xy=，其中302,()3727,xx xf x xx x x+⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩RR，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值.【答案】（1）5天内；（2）min2086m=-.【分析】（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x的取值范围，从而得解；（2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求.【详解】依题意得a=2,321040%4302xxx+⎧⨯≥⨯=⎪-⎨⎪≤≤⎩，解得12x≤≤，2(7)1040%427xx⨯-≥⨯=⎧⎨<≤⎩，解得25x≤≤，15x∴≤≤，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）依题意得3()42[7(4)]43xmf x x mx+≥⇒-++⨯≥-；在[]0,2x∈上恒成立，3(22)(3)62433x x xx m mx x+---+≥⇒≥-+，设(28)(6)243[3,5],3202()t tt xxt m tt t--=+∈=-⇒≥=-+2086m≥-，min2086m∴=-.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.（能力题）一、单选题1．（·上海）若直线l：212x yb a a b+=++经过第一象限内的点11(,)Pa b，则ab的最大值为A．76B．422-C．523-D．632-【答案】B【分析】直线2:12x ylb a a b+=++经过第一象限内的点1(Pa，1)b，可得a，0b>，211(2)()a b a b a b+=++．2211()(2)()121baab abb ba b a b a ba a⨯=+=++++⨯+．令0bta=>，21()121tg tt t=+++，(0)t>再利用基本不等式计算可得．【详解】解：直线2:12x ylb a a b+=++经过第一象限内的点1(Pa，1)b，则a，0b>，211(2)()a b a b a b+=++．22121()(2)()2121bb a aab abb ba b a b a b a b a ba a⨯∴=+=+=++++++⨯+．令0bta=>，()()()()211221()121121t t ttg tt t t t+++=+=++++22214231t tt t++=++21231tt t =+++11312t t=+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅+=+，当且仅当12t t =即22t =时取最小值；1114221322213t t∴+≤+=-+++即()max 24222g t g ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形 【答案】B【详解】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx +++++=++≥++， 对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx x y z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,2x y z ===时，()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A ．1arccos 3 B ．2arccos 3 C ．3arccos 9 D ．6arccos 9【答案】D【解析】设三条棱a b c ≤≤454ab ac bc ∴++=，6a b c ++=，222272a b c ++= ()22222452264a b c a bc a a a ⎡⎤++≥+=+--⎢⎥⎣⎦整理可得2430a a -+≤12a ∴≤≤∴最短棱长为1，体对角线长为36226cos 936θ== 故选D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________【答案】21(0,]2019 【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围. 【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤. 故答案为21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值. 5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________【答案】(22,2)【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤= ⎪⎝⎭； 所以222166426416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即222a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号， 此时(,)P a b 的坐标为：()22,2．故答案为：()22,2．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题． 6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________. 【答案】1【分析】先以直角建系,将22AE =转化为221(3)(4)2λμ+=,然后结合基本不等式求最值. 【详解】在直角三角形ABC 中,2A π∠=,故以A 点为原点,以,AB AC 为,x y 轴正方向建系:则(3,0),(0,4)AB AC ==,所以(3,4)AE AB AC λμλμ=+=, 因为22AE =,所以()()22134(0,0)2λμλμ+=>>, 又2221(3)(4)(34)2342λμλμλμ+=+-⋅⋅=所以22134(34)2342()22λμλμλμ++-=⋅⋅≤⋅(当且仅当1342λμ==时等号成立), 所以22134(34)2()22λμλμ++-≤⋅, 解得341λμ+≤,故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量,考查基本不等式,需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角,垂直等条件时,可以考虑建系应用坐标求解.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．210里B ．410里C ．610里D ．810里 【答案】D 【分析】根据题意得EF GF GA EB ⋅=，进而得4 2.510EF GF EB GA ⋅=⋅=⨯=，再结合基本不等式求4()EF GF +的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知1200EB =步=4里，750GA =步=2.5里．由题意，得EF GF GA EB⋅=， 则4 2.510EF GF EB GA ⋅=⋅=⨯=，所以该小城的周长为4()8810EF GF EF GF +≥⋅=，当且仅当10EF GF ==时等号成立.故选:D ．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：EF GF GA EB⋅=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______【答案】3【分析】通过函数解析式得到,P Q 两点坐标，从而表示出AQ CP +，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件13a a=，求解得到结果. 【详解】依题意得：,3a P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则4111223333a a a AQ CP a a a +=+=+≥⋅=当且仅当13a a =即3a =时取等号，故3a = 本题正确结果：3 【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于a 的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.三、解答题 3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.【详解】（1）2000245y x x x =+-，[60,110]x ∈ 2000224165x x≥⋅-= 当且仅当20005x x=时，即100x =取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.。
高三文科数学高考复习试题（附答案）
高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。
2022学年高三上(编号：1-25)向量小题汇编(教师版)
2022学年高三上（编号：1-25）向量小题汇编（教师版）一、选择题1：（2023届如皋市高三上期初调研解析第4题）1：黄金分割（Golden Sec tion ）是一种数学上的比例关系，黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0．618，就像圆周率在应用时取3．14一样．高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹．人民还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0．618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0．618处，能使琴声更加柔和甜美．黄金矩形（Golden Re tan c gle ）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1．618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达⋅芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分510.618-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．在矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，BF AC ⊥，DH AC ⊥，AE BD ⊥，CG BD ⊥，512BE BO -=，则BF = （ ）A 355510BG -++B 355510BG --+C 515510BG --+ D 3555BG -+ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理及其应用、向量的加法、减法、数乘运算分析：本题考查数学文化、平面向量的线性运算与平面向量基本定理，属于基础题． 解析：因为512BE BO -=，所以5510BO BG +=，因为 ()515122BF BA AF BA AO BA BO BA --=+=+=+- 5135512235BA BOBO -+-=+-． 所以35525BF BA BG -=+，故选D2：（2023届如皋市高三上期初调研解析第5题） 2：（2022⋅全国⋅月考试卷）在ABC ∆中，3,2,3AB AC A π===，过ABC ∆的外心O 的直线（不经过点A ）分别交线段,AB AC 于,DE ，且,AD AB AE AC λμ==，则λμ+的取值范围是（ ）A ．11461310⎤+⎥⎣⎦ B ．11462315⎤+⎥⎣⎦C ．14361310⎤+⎥⎣⎦ D ．14362315⎤+⎥⎣⎦ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理的应用，利用导数求函数的最值（不含参）、平面向量共线定理与三点共线问题、余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用分析：本题考查了正弦、余弦定理的综合应用、平面向量基本定理以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于难题．解析：在ABC ∆中，由余弦定理得2227BC AB AC AB AC BAC +-⋅⋅∠ 再由正弦定理得2212sin BC AO BAC ==∠，即21AO ． 设BAO θ∠=，则2cos 221ABAO θ==，解得sin 27θ=作平行四边形AFOG ，如图，在AFO ∆中，2,333AFO AOF OAG ππππθ∠=-=∠=∠=-． 由正弦定理得：2sinsin 33AF AOππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 即2131423322127AF ⎫=-⨯=⎝． 再由正弦定理：2sin sin 3FO AOπθ=，解得13FO AG ==． 故41,96AFAG AF AB AB AG AC AC AC AC====． 因为,,O D E 三点共线，结合向量加法的平行四边形法则，的 ()()411196AO t AD t AE t AB t AC AB AC λμ=+-=+-=+． 由平面向量基本定理得()49116t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．解得()49161t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．结合01,01λμ<≤<≤可解得4596t ≤≤．令()()4145,96196f t t t t λμ=+=+≤≤-．则()()224145',99661f t t t t =-+≤≤-． 由()'0f t =可得826t -=48269⎛- ⎝⎭上()f t 单调递减，在区间82656⎫-⎪⎪⎝⎭上()f t 单调递增，由4138261146523,910615f f f -+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．知λμ+的取值范围是11462315⎤+⎥⎣⎦。
2020高考数学题型整理分类《(18)函数的概念与性质》解析版(含历年真题)
（十八） 小题考法——函数的概念与性质A 组——10＋7提速练一、选择题1．(2019届高三·杭州四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9解析：选C 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－2)＝19.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos (6π＋x )，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22，则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C 选项．故选D. 4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、C 、D ，故选B.5．(2019届高三·镇海中学测试)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3x ＋a (a ∈R)，则f (－2)＝( )A ．－1B ．－5C ．1D ．5解析：选D 因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝1＋a ＝0，即a ＝－1. 故f (x )＝log 2(x ＋2)－3x －1(x ≥0)， 所以f (－2)＝－f (2)＝5.故选D.6．(2018·诸暨高三期末)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且f (x )为奇函数，g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则下列四个命题中错误的是( )A ．y ＝g (f (x )＋1)为偶函数B ．y ＝g (f (x ))为奇函数C ．函数y ＝f (g (x ))的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (g (x ＋1))为偶函数解析：选B 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (2＋x ).选项A ，g (f (－x )＋1)＝g (－f (x )＋1)＝g (1＋f (x ))，所以y ＝g (f (x )＋1)为偶函数，正确； 选项B ，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (2＋f (x ))， 所以y ＝g (f (x ))不一定为奇函数，错误；选项C ，f (g (－x ))＝f (g (2＋x ))，所以y ＝f (g (x ))的图象关于直线x ＝1对称，正确； 选项D ，f (g (－x ＋1))＝f (g (x ＋1))，所以y ＝f (g (x ＋1))为偶函数，正确． 综上，故选B. 7．函数y ＝ln |x |x 2＋1x2在[－2,2]上的图象大致为( )解析：选B 当x ∈(0,2]时，函数y ＝ln |x |＋1x 2＝ln x ＋1x 2，x 2>0恒成立，令g (x )＝ln x ＋1，则g (x )在(0,2]上单调递增，当x ＝1e 时，y ＝0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ＝ln x ＋1x 2<0，x ∈⎝⎛⎦⎤1e ，2时，y ＝ln x ＋1x 2>0，∴函数y ＝ln x ＋1x 2在(0,2]上只有一个零点1e ，排除A 、C 、D ，只有选项B 符合题意．8．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：选C 法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A ∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )， 满足f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 若a ≤0，∵a >b >c ，∴b <0，c <0，则有a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，∴a >0成立． 若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾， ∴c <0成立．∵a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0， ∴[a ＋f (m 1)]·[a ＋f (m 2)]＝0， ∴m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两根， ∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0， 而a >0，c <0，∴3a －c >0，∴b ≥0.故选A.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A. 二、填空题11．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (0)＝________，f (6)＝________. 解析：函数f (x )在[－1,1]上为奇函数，故f (0)＝0， 又由题意知当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2. 答案：0 212．(2018·台州第一次调考)若函数f (x )＝a －22x－1(a ∈R )是奇函数，则a ＝________，函数f (x )的值域为____________．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a －22－x －1＝－⎝⎛⎭⎫a －22x －1恒成立， ∴a ＝12x －1＋12－x －1＝12x －1＋2x 1－2x ＝1－2x 2x －1＝－1.∴f (x )＝－1－22x－1，当x ∈(0，＋∞)时，2x >1， ∴2x －1>0，∴12x－1>0，∴f (x )<－1； 当x ∈(－∞，0)时，0<2x <1， ∴－1<2x －1<0，∴12x－1<－1， ∴－22x －1>2，∴f (x )>1， 故函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：－1 (－∞，－1)∪(1，＋∞)13．(2018·绍兴柯桥区模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －2)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0， ∴f (2)＝f (－2)＝0，则不等式f (x －2)>0，等价为f (|x －2|)>f (2)， ∴|x －2|<2，即－2<x －2<2，即0<x <4， ∴x 的取值范围是(0,4)． 答案：(0,4) 14．已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x－2)≤g (x )，则m 的取值范围是________．解析：作出函数y 1＝e |x－2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由e x －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：⎝⎛⎦⎤1，72＋ln 2 15．在实数集R 上定义一种运算“★”，对于任意给定的a ，b ∈R ，a ★b 为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a ★b ＝b ★a ；(2)a ★0＝a ；(3)(a ★b )★c ＝c ★(ab )＋(a ★c )＋(c ★b )－2c . 关于函数f (x )＝x ★1x ，有如下说法： ①函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3； ②函数f (x )为偶函数； ③函数f (x )为奇函数；④函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； ⑤函数f (x )不是周期函数． 其中正确说法的序号为________．解析：对于新运算“★”的性质(3)，令c ＝0，则(a ★b )★0＝0★(ab )＋(a ★0)＋(0★b )＝ab ＋a ＋b ，即a ★b ＝ab ＋a ＋b .∴f (x )＝x ★1x ＝1＋x ＋1x ，当x >0时，f (x )＝1＋x ＋1x ≥1＋2 x ·1x ＝3，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，∴函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (1)＝1＋1＋1＝3，f (－1)＝1－1－1＝－1，∴f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f (x )＝1＋x ＋1x 的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f (x )＝1＋x ＋1x 不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的序号为①④⑤.答案：①④⑤16．(2018·镇海中学阶段性测试)已知函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x ＋e24x －2，g (x )和f (x )的图象关于原点对称，将函数g (x )的图象向右平移a (a >0)个单位长度，再向下平移b (b >0)个单位长度，若对于任意实数a ，平移后g (x )和f (x )的图象最多只有一个交点，则b 的最小值为________．解析：由f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x ＋e 24x －2，知x >0，f (x )≥ln e －2＝－1，∴f (x )min ＝－1，此时x ＝e2. 在同一直角坐标系中，作出f (x )，g (x )的图象(图略)，若对于任意的a ，平移后g (x )和f (x )的图象最多只有一个交点，则平移后g (x )的图象的最高点不能在f (x )图象的最低点的上方，则1－b ≤－1，则b 的最小值为2.答案：217．(2017·山东高考)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3； ④f (x )＝x 2＋2.解析：设g (x )＝e x f (x )，对于①，g (x )＝e x ·2－x ， 则g ′(x )＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x (1－ln 2)>0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求； 对于②，g (x )＝e x ·3－x ，则g ′(x )＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x (1－ln 3)<0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求； 对于③，g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数g (x )在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求； 对于④，g (x )＝e x ·(x 2＋2)，则g ′(x )＝[e x ·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x ·[(x ＋1)2＋1]>0， 所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求． 综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④B 组——能力小题保分练1．(2019届高三·浙江新高考名校联考)函数f (x )＝ln |x |＋12x 2的大致图象是( )解析：选A 因为f (－x )＝ln |－x |＋12(－x )2＝ln |x |＋12x 2＝f (x )，所以f (x )是偶函数，于是其图象关于y 轴对称，排除D ；当x >0时，f (x )＝ln x ＋12x 2，f ′(x )＝1x ＋x ≥2，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>2，且f ′(x )是减函数，当x >1时，f ′(x )>2，且f ′(x )是增函数，因此，当x 趋近于0或x 趋近于＋∞时，曲线较陡，因此排除C.故选A.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝x 2－2ln |x | B ．f (x )＝x 2－ln |x | C ．f (x )＝|x |－2ln |x | D ．f (x )＝|x |－ln |x |解析：选B 由图象知，函数f (x )是偶函数，四个选项都是偶函数，故只需考虑x >0时的图象即可．对于选项A ，当x >0时，f (x )＝x 2－2lnx ，所以f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ，因此f (x )在x ＝1处取得极小值，故A 错误；对于选项B ，当x >0时，f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，因此f (x )在x ＝22处取得极小值，故B 正确；对于选项C ，当x >0时，f (x )＝x －2ln x ，所以f ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，因此f (x )在x ＝2处取得极小值，故C 错误；对于选项D ，当x >0时，f (x )＝x －ln x ，所以f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，因此f (x )在x ＝1处取得极小值，故D 错误．故选B.4．定义：F (x )＝max{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，G (x )＝min{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，其中max{m ，n }表示m ，n 中的较大者，min{m ，n }表示m ，n 中的较小者．已知函数f (x )＝2ax 2＋bx ⎝⎛⎭⎫|b ||a |≤4，则下列说法一定正确的是( )A ．若F (－1)＝F (1)，则f (－1)>f (1)B ．若G (1)＝F (－1)，则F (－1)<F (1)C ．若f (－1)＝f (1)，则G (－1)>G (1)D ．若G (－1)＝G (1)，则f (－1)>f (1)解析：选B 依据题意，由|b ||a |≤4可得f (x )＝2ax 2＋bx 的图象的对称轴x ＝－b4a ∈[－1,1]，由F (－1)＝F (1)知f (－1)＝F (1)，F (1)为f (t )在t ∈[－1,1]上的最大值，无法排除f (－1)＝f (1)的可能，所以A 错误；由G (1)＝F (－1)＝f (－1)知，f (t )在t ∈[－1,1]上的最小值为f (－1)，所以F (－1)＝f (－1)<F (1)，B 正确；由f (－1)＝f (1)可知，f (x )＝2ax 2，当a <0时，显然G (－1)＝G (1)，所以C 错误；由G (－1)＝G (1)知，f (－1)＝G (1)，G (1)为f (t )在t ∈[－1,1]上的最小值，无法排除f (－1)＝f (1)的可能，所以D 错误．5．(2018·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R }，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }．首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4， 解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊆B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合． 答案：⎣⎡⎭⎫－2，14 6．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－2， 令t ＝x ＋1x ，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|PA |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2， 由题意知，2a 2－4a ＋2＝8， 解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．②当a >2时，(|PA |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2. 由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍去)， 综上知，a ＝－1，10. 答案：－1，10。
高三数学复习练习题及答案x
停课辅导期间数学专用材料一、集合与简易逻辑1．已知集合A={x| －2≤x ≤7 }, B={x|m+1＜x ＜2m －1｝，若A ∪B=A ，B≠∅,则函数m 的取值范围是____ A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4 D ． m ≤42．已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。
则实数P 的取值范围为 。
3．命题“若△ABC 有一内角为3π，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ）A ．与原命题真值相异B ．与原命题的否命题真值相异C ．与原命题的逆否命题的真值不同D ．与原命题真值相同【参考答案】1. P ∈（－4，＋∞） 2. D 3. D二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
4．判断函数f(x)=(x －1)x x-+11的奇偶性为_______________5．函数y=3472+++kx kx kx 的定义域是一切实数，则实数k 的取值范围是_________6．设函数f(x)=132-+x x ,函数y=g(x)的图象与函数y=f －1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，则g （3）=_____________7. 方程log 2(9x －1－5)－log 2(3 x －1－2)－2=0的解集为______________【参考答案】4. k ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈43,0 5. 非奇非偶 6. g ( 3 ) = 27 7. ｛x x = 2｝三、数列8．x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 9．已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =a n －1(a 0,≠∈a R ),则数列｛a n｝___________ A.一定是A ²P B.一定是G ²PC.或者是A ²P 或者是G ²PD.既非等差数列又非等比数列10．A ²P ｛a n ｝中, a 1=25, S 17=S 9,则该数列的前____项之和最大，其最大值为_____。
随机抽样与用样本估计总体 小题专练—2023届高考数学重难点二轮专题训练(含解析)
专题36随机抽样与用样本估计总体小题专练一、单选题1. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是，，，，，则高一参赛学生的成绩的众数、中位数、平均成绩分别为( )A. B. C. D.2. 某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占比例依次分为，，，，五个等级，等级，等级，等级，，等级共其中等级为不合格，原则上比例不超过该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有名学生，则估计该年级拿到等级及以上级别的学生人数为（）A. B. C. D.3. 下面规定一个学生数学成绩优秀的标志为连续次数学考试成绩满分分均不低于分现有甲、乙、丙三位学生连续次数学考试成绩的记录数据记录数据都是正整数情况：甲学生：个数据的中位数为，众数为乙学生：个数据的中位数为，总体均值为丙学生：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．则可以断定数学成绩优秀的学生为( )A. 甲、丙B. 乙、丙C. 甲、乙D. 甲、乙、丙4. 从，，，，，，，中随机取两个数，这两个数一个比大，一个比小的概率为，已知为上述数据中的分位数，则的取值可能为( )A. B. C. D.5. 中国居民膳食指南数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是( )A. B. C. D.6. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间小时党员人数则该单位党员一周学习党史时间的众数及第百分位数分别是( )A. ，B. ，C. ，D. ，7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据下图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定二、多选题8. 已知样本数据，，，的平均数为，方差为，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，则得到的新样本数据的平均数和方差分别是( )A. 新样本数据的样本平均数为B. 新样本数据的样本平均数为C. 新样本数据的样本方差为D. 新样本数据的样本方差为9. 某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了名男生的米体能测试成绩单位：秒，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．由直方图推断，下列选项正确的是( )A. 直方图中的值为B. 由直方图估计本校高三男生米体能测试成绩的众数为秒C. 由直方图估计本校高三男生米体能测试成绩不大于秒的人数为D. 由直方图估计本校高三男生米体能测试成绩的中位数为秒10. 图为年月日通报的天内省区市疫情趋势，则下列说法正确的是（）A. 无症状感染者的极差大于B. 确诊病例的方差大于无症状感染者的方差C. 实际新增感染者的平均数小于D. 实际新增感染者的第百分位数为11. 若甲组样本数据，，，数据各不相同的平均数为，方差为，乙组样本数据，，，的平均数为，则下列说法正确的是( ) A. 的值为 B. 乙组样本数据的方差为C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同三、填空题12. 工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续天生产的手套数依次为，，，，单位：万只，若这组数据，，，，的方差为，且，，，，的平均数为，则该工厂这天平均每天生产手套万只．13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前名的学生成绩依次是：，，，，，，，，，，这名同学数学成绩的分位数是．14. 定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续次数学考试成绩均不低于分满分分”现有甲乙丙三位同学连续次数学考试成绩的数据数据都是正整数的描述：甲同学的个数据的中位数为，总体均值为；乙同学的个数据的中位数为，众数为；丙同学的个数据的众数为，极差为，总体均值为．则数学成绩一定优秀的同学是．15. 若，，，这个数据的样本平均数为，方差为，则，，，，这个数据的方差为．16. 某同学次测评成绩的数据从小到大排列如下：，，，，，，，，，已知成绩的中位数为，若要使标准差最小，则的值是．答案和解析1.【答案】解：由频率分布直方图得：高一参赛学生的成绩的众数为：，的频率为：，的频率为，中位数为：，平均数为：．故选：．2.【答案】解：由题中两图可知等级所占比例为，所以等级及以上级别所占比例为，所以估计等级及以上级别的学生人数为．故选：．3.【答案】解：对于第十三届全国人大女代表所占比重为，第十一届为，提高个百分点，A正确；对于第十三届全国政协女委员所占比重为，第四届为，提高个百分点，B正确；对于从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为，高于，C错误；对于第十三届全国人大代表的人数约为人，不高于人，D正确．故选：．4.【答案】解：在中，甲同学：个数据的中位数为，众数为，所以前三个数为，，，则后两个数肯定大于，故甲同学数学成绩优秀，故成立；在中，个数据的中位数为，总体均值为，可以找到很多反例，如：，，，，，故乙同学数学成绩不优秀，故不成立；在中，个数据的中位数为，总体均值为，总体方差为，假设有一个数据小于，设为，则此时方差大于，且数据越小，整体方差越大，故所有数据均不低于．数学成绩优秀有甲和丙个同学．故选A．5.【答案】解：从，，，，，，，中随机取两个数有种，一个数比大，一个数比小的不同结果有，于是得，整理得：，解得或，当时，数据中的分位数是第个数，则，解得，所有选项都不满足；当时，数据中的分位数是第个数，则，解得，选项A，，不满足，满足．故选：．6.【答案】解：因为，，所以该地中学生的体重的中位数在内，设该中位数为，则，解得．7.【答案】解：党员人数一共有，学习党史事件为小时的人数最多，故学习党史时间的众数为，由，则第百分位数是第和个数的平均数，第，个数分别为，，所以第百分位数是．故选：．8.【答案】解：首先将茎叶图的数据还原：甲运动员得分：乙运动员得分：对于，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于，甲数据从小到大排列：处于中间的数是，所以甲运动员得分的中位数是，同理求得乙数据的中位数是，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于，不难得出甲运动员的得分平均值约为，乙运动员的得分平均值为，因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；对于，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定．可以算出甲的方差为：，同理，得出乙的方差为：，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确．故选：．9.【答案】解：设样本数据，，，的方差为，新样本数据的方差为，因为，所以新样本数据的平均数，新样本数据的方差为．故选AD．10.【答案】解：由概率统计相关知识可知，各组频率之和为，所以，解得，故A错误；测试成绩的众数是直方图中频率最高组的中点，即故B正确；由图可知，成绩不大于秒的人数为故C正确；设中位数是，则，解得：，故D错误．故选：．11.【答案】解：对于，，且日与日确诊病例的差值不超过，所以无症状感染者的极差必然大于，故A正确；对于，相比较而言，确诊病例数比无症状感染者数波动性小，所以确诊病例的方差小于无症状感染者的方差，故B错误；对于，实际新增感染者的平均数，所以C错误；对于，因为天内省区市的实际新增感染者数从小到大分别为：，，，，，，，，，，，，，，又，不是整数，所以实际新增感染者的第百分位数为为第位，即为，所以D正确．故选AD．12.【答案】解：对于选项A由两组数据的平均数可知，，，故选项A正确，对于选项B，，，，，故选项B正确，对于选项C因为随着的增大而增大，所以若为甲组数据的中位数，则为乙组数据的中位数，故选项C错误，对于选项D因为随着的增大而增大，所以甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故选项D正确，故选：．13.【答案】解：依题意得，设，，，，的平均数为，根据方差的计算公式有，，即，又，．故答案为．14.【答案】解：将学生成绩从低到高排列为，，，，，，，，，，，分位数为第个数据与第个数据的平均数即15.【答案】乙解：在中，甲同学的个数据的中位数为，总体均值为，如，，，，，故甲同学的数学成绩不一定优秀；在中，乙同学的个数据的中位数为，众数为，所以前三个数为，，，则后两个数肯定大于，故乙同学的数学成绩一定优秀；在中，丙同学的个数据的众数为，极差为，总体均值为，最大值与最小值的差为，若最大值为，则最小值为即，，，，，故丙同学的数学成绩不一定优秀．综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙．故答案为：乙．16.【答案】解：，，，这个数据的样本平均数为，方差为，，，，，，，这个数据的方差：．故答案为：．17.【答案】解：因为，，，，，，，，，的中位数为，则，所以，因为成绩的平均数为，要使标准差最小，即方差最小，因为，则有，当且仅当，即时，等号成立，此时标准差取得最小值，且符合题意，所以，故答案为．。
高三数学试题大全
高三数学试题答案及解析1.（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。
（1）求证：；（2）求二面角D—CB1—B的平面角的正切值。
【答案】【解析】略2.(本题满分14分)已知数列的首项，且当时，，数列满足（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；(Ⅱ) 若（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）证明略（2）实数的取值范围是【解析】略3.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件，那么…………1分．……………………3分所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为．……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件，那么…………5分，……………………7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是．……………8分（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么…………9分；；；；．（写错三个没分）所以ξ的分布列为…………12分．………………13分（方法二）依题意, ……………………10分所以ξ的分布列为，．即01234……12分所以．……………………13分【解析】略4.已知抛物线x2=2py(p＞0)与双曲线－=1(a＞0, b＞0)有相同的焦点F，点B是两曲线的一个交点，且BF⊥y轴，若L为双曲线的一条渐近线，则L的倾斜角所在的区间可能是A．(，)B．(，)C．(，π)D．(，)【答案】C【解析】略5.设平面区域是双曲线的渐近线和抛物线的准线所围成的三角形（含边界与内部）。
高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）
⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。
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高三数学整理提纲(二）
9.线性与非线性规划： 需画好图，理解不等式表示的平面区域含义，理解目标函数的几何意义，利用线性变换转化目标函数使之具有明显的几何意义。
,,z x y z x y z x y =+=+=+对于线性目标函数是否会处理？
对于含参数的线性目标函数如何分类讨论？
x 240340,a 0y ax y y +-≤⎧⎪+-≥=⎨⎪≥⎩
(1).若不等式组表示的平面区域为等腰三角形，则
（2）．已知(1,2),(2,1)A B -，O 为坐标原点．若直线:2l ax by +=与ABO ∆所围成 区域（包含边界）没有．．
公共点，则a b -的取值范围为 ．
（3）设,a b ∈R ,关于,x y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是_______________
（4）已知三个正实数满足，则的取值范围为_______ （5）.已知1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
i 设z=kx+y,若z 的最大值为12，求k
ii 设z=x+my 有无穷个点（x,y ）使z 取得最小值，求m
iii 若z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，求a 的范围
10. 三角函数、解三角形 ：关注正切函数性质、边角转换
(1). 设 ， ， 分别为三内角 ， ， 的对边，面积 .若
，则 的最大值是__________.
（2）．函数tan()(04)4
2
x y x ππ=-<<的图像如图所示，A 为图像 与x 轴的交点,过点A 的直线l 与函数的图像交于C 、B 两点.则()OB OC OA +⋅=（ ）
A.-8
B.-4
C.4
D.8
11.数列：等差（比）数列注重基本量法，性质运用要灵活，注意公式运用条
件，如：“n≥2”“q≠1”
公式的函数特点，如等差的和 2n S An Bn =+，等比的和n n T A Aq =-
（1）．在等差数列{}n a 中，若2228610216a a a a a ++=，则46a a = ． {}{}{}{}n 2n b ,b n ,1,n n n n n n n q a q a S T T S a +==
(2).已知等差数列,等比数列的公比为设，的前项和分别为和若则,,a b c 2,2b a c b a b c a <+≤<+≤a b
（3）．设,n n A B 分别为等比数列{},{}n n a b 的前n 项和. 若121n n n A B =+，则74
a b = ． 12.基本不等式： 注意“一正二定三相等”“就地改造”及时利用换元，消元思想——减少元的个数，化为一元函数 ，利用转化思想——将等式转化为不等式，同时注意判别式法的应用。
对称或轮换对称问题“口算法”；“万能K 法（先化齐次再判别式法）”
绝对值不等式需掌握含两个绝对值不等式的解法及恒成立问题，还可联系向量不等式； 柯西不等式
1.）已知,a b R +
∈，
且满足ab b a 24log )2(log =+，则b a +8的最小值为 ． 2）若正实数x,y 满足(x+1) (y+2)=8，求x+y 的最小值
3）．2>0,b>0,3a+b=a ,2a ab b ++已知a 且满足则的最小值为
4）．已知正实数a 、b 满足2a+b=1，则4a 2 +b 2+1ab
的最小值为 ． 5）．已知实数x ，y 满足x y -=，则x y +的最大值为 ．
6）36x,12x x 12y y y +=+++已知正数满足
求的最小值 7）．若226461x y xy ++=，,x y R ∈，则22x y -的最大值为 ．
8）．已知实数y x ,满足194=+y x ,则1132+++y x 的取值范围是 ．
9）.对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(|||||||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，则实数x 的取值范围是________。
13.直线与圆：（相切与相交都离不开圆心到直线的距离d= ）
会求点关于直线的对称点吗？
（1）直线与圆相交于、两点，且，
则 ．
(2).在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为
22
8150x y x +-+=， 若直线l ：230kx y k ---=与圆C 相交于,A B 两点，使ABC ∆为直角三角形，则k = ；
若直线l 上至少存在一点，使得以该点为圆心，0.5为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值为 ．
14.平面向量：可考虑几何作图；平方化模基底运算；建系坐标运算。
几何作图会作向量的加法，减法，数乘，点乘图，并区分定点，动点，画出动点的轨迹。
“等高线”、“极化恒等式”是“特殊”技巧;特别关注“投影”
向量不等式：（1）数量积不等式________________,(2)模不等式 __________________ 03=+-y ax 4)2()1(22=-+-y x A B AB ==a
“基底法”（斜坐标） “坐标法”（直角坐标）
“几何法”（明晰基底系数的斜坐标意义，转化为线性规划问题，选择填空题以端点为“模特元”定界）
（1）.平面向量数量积的几种形式: 1):||||cos a b a b θ∙=定义形式
12122):a b x x y y ∙=+坐标形式
3):||.a b b a a ∙几何形式就是在方向上的投影与的乘积（可作图）
2214):[()()]4
a b a b a b ∙=+--极化恒等式（化为一中线向量） （2）三角形中向量性质：已知三角形ABC ，P 、G 为三角形ABC 所在平面上的点。
①1
3()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的______心； ②PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的_____心；
③||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔ABC ∆____心；||||(
)(0)AB AC AB AC λλ+≠所
在直线过ABC ∆____心. （3）
设平面向量，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是______________
（4）.已知为的外心，,若(,为实数)，则的最小值为
．
（5）.设b a ,为向量，若b a -与a 的夹角为4π，b a -与b 夹角为65π|
|b = (6)a 5,1,421,a b b a b =≤-≤⋅已知a,b 满足求最小值
(7). 设 为
所在平面上一点，且满足 .若的面积为8，则的面积为__________.
(8)2OMN A OM B ON AB MN OA OM
OP xOA y OB →→→
∆==+在中，点在线段上，点在线段上，且， 若当终点P 落在四边形ABNM 内（含边界）时,x+y 的取值范围 ，222=3
,x ABO O OP xOA y OB P ABD y π→→→
∆∠=++（9）是以为顶点的等腰三角形，ABD 为正三角形（D 与O 在异侧），(点在的内部含边界)，求的取值范围 a 2a-3b 2,3a+2b 1a 5b b ==+=(10)已知a,b 满足当取最大值时，______ )()1,()1,2(R ∈-=-=λλ，O ABC ∆22,(0),120AB a AC a BAC a
==>∠=AO xAB yAC =+x y x y +。