传热学第二章导热基础理论
合集下载
传热学-导热理论基础
• 付立叶定律 (Fourier’s Law) • 能量守恒定律 （ The Law of Conservation of Energy ）— 热力学第一定律 （ The First Law of Thermodynamic ）
• 导入微元体的净热流量 (∆Φd) Net inflow of energy • 内热源发热量(∆Φv)Energy generation of source • 微元体内能增量(∆U)Energy storage ∆Φd+ ∆Φv= ∆U —微元体内部能量守恒
t = f ( x, y , z )
• Unsteady-state temperature field
t = f ( x, y , z , τ )
• One-dimensional steady-state temperature field
t = f (x)
Isothermal surface（等温面） Isotherm（等温线） Temperature gradient（温度梯度）
⋅
一维稳态（One-dimensional steady-state）
1 d 2 dt Φ r + = 0 2 r dr dr λ 1 1 1 − R= 4πλ r1 r2
⋅
4 导热过程的定解条件 Boundary and Initial Conditions
• 导入微元体的净热流量 (∆Φd) Net inflow of energy • 内热源发热量(∆Φv)Energy generation of source • 微元体内能增量(∆U)Energy storage ∆Φd+ ∆Φv= ∆U —微元体内部能量守恒
t = f ( x, y , z )
• Unsteady-state temperature field
t = f ( x, y , z , τ )
• One-dimensional steady-state temperature field
t = f (x)
Isothermal surface（等温面） Isotherm（等温线） Temperature gradient（温度梯度）
⋅
一维稳态（One-dimensional steady-state）
1 d 2 dt Φ r + = 0 2 r dr dr λ 1 1 1 − R= 4πλ r1 r2
⋅
4 导热过程的定解条件 Boundary and Initial Conditions
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
已知导热物体的部分温度分布，求若干未知的单值 性条件。
4
a木材 =1.5×10−7 m2 s，a铝 = 9.45×10−5 m2 s a木材 a铝 ≈ 1 600
a反应导热过程动态特性，研究非稳态导热重要物理量
1.导热微分方程的简化形式
（1）若物性参数为常数且无内热源：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
);
or
∂t = a∇2t ∂τ
tf, h qw
第二节 导热微分方程式
（4）第四类边界条件* （接触边界条件）
t1 w = t2 w
λ1
∂t1 ∂n
w
=
λ2
∂t 2 ∂n
w
导热微分方程式的求解方法
积分法、杜哈美尔法、格林函数法、拉普拉斯 变换法 、分离变量法、积分变换法、数值计算法
传热学第二章导热基础理论例题
2013-9-10 2
解：在圆柱坐标系中该问题可看作常物 性、无内热源的径向一维非稳态导热问题。
（1）根据傅立叶定律
：
t （ 200r 2 50r 3） 500 qr r r
= -40（0+2002r+503r2 ） = -40(400r+150r2 )
2013-9-10 3
2013-9-10
t tw
t x q0
x a
t y
0
y0
t y
y来自百度文库b
h（t | y b t f） 返回
7
在圆柱中心r=0，则：
2 t 1 t t a 2 r r r r 0 0.0001 800 450 0 0.08 （ ）
2013-9-10
K/s
返回
5
【例2－2】一矩
y b
形截面长柱体，常物
性、无内热源，边界
h，tf
在圆柱表面上r=0.1m，代入上式得：
t q | r 0.1 r 0.1 r =-40(4000.1+1500.01) =-1660 W/m2
式中负号意味着
t 0 r
，所以热流密
度方向指向圆柱体中心。
2013-9-10
4
（2）由导热微分方程式：
解：在圆柱坐标系中该问题可看作常物 性、无内热源的径向一维非稳态导热问题。
（1）根据傅立叶定律
：
t （ 200r 2 50r 3） 500 qr r r
= -40（0+2002r+503r2 ） = -40(400r+150r2 )
2013-9-10 3
2013-9-10
t tw
t x q0
x a
t y
0
y0
t y
y来自百度文库b
h（t | y b t f） 返回
7
在圆柱中心r=0，则：
2 t 1 t t a 2 r r r r 0 0.0001 800 450 0 0.08 （ ）
2013-9-10
K/s
返回
5
【例2－2】一矩
y b
形截面长柱体，常物
性、无内热源，边界
h，tf
在圆柱表面上r=0.1m，代入上式得：
t q | r 0.1 r 0.1 r =-40(4000.1+1500.01) =-1660 W/m2
式中负号意味着
t 0 r
，所以热流密
度方向指向圆柱体中心。
2013-9-10
4
（2）由导热微分方程式：
传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第一讲-动力工程
T a2T qv
c
a — 热扩散率(导温系数) [m2 s] c
2 — 拉普拉斯算子
Βιβλιοθήκη Baidu
a — 热扩散率（导温系数） [m2 s] c
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
第一类、第二类、第三类边界条件
(1) 第一类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值： T s Tw
s — 边界面; Tw = f (x,y,z) — 边界面上的温度
T T
grad T lim n n
T T
n0 n
n
gradT
直角坐标系：
grad T T i T j T k x y z
A
q
T T T
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向 ★
温度降度：-gradT
四、热流密度矢量
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
不同方向上的热流密度的大小不同 q W m2
q -grad T [W m2 ]
: 热导率（导热系数）W (m C)
“-”：表征热流方向沿着温度降度方向，与温度梯度 方向相反。满足热力学第二定律。
直角坐标系中：
q qxi
qy j
第2章-导热理论基础以及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热
1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用；
② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法
3、了解内容：多维导热问题
第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：
基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。 ① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布
导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。
首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；
其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。
最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。
§2—1 导热基本定律
一 、温度场
1、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。
由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。
即：),,,(τz y x f t =
其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。
2、温度场分类
1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。
2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。
第2章-导热理论基础以及稳态导热2
（１）第一类边界条件：已知导热体边界上的温度值： 稳态导热： tw= const 非稳态导热： tw = f (τ) 例： x=0, t =tw1 x=δ, t =tw2
（2）第二类边界条件: 已知物体边界上热流密度值：
t qw ( ) w 根据傅里叶定律： n t qw ( )w n
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向 的温度梯度值 稳态导热： qw= const, 非稳态导热： qw = f (τ)
特例：绝热边界面
t q w ( ) w 0 n
t ( )w 0 n
（3）第三类边界条件: 当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知 边界面周围流体的温度tf和表面传热系数h 牛顿冷却定律：qw=h(tw−tf)
其他坐标下的导热微分方程
1）圆柱坐标系中的导热微分方程：
· t 1 t 1 t t & c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
2）球坐标系中的导热微分方程：
t 1 1 t 1 t 2 t & ) 2 2 ( ) 2 ( sin ) c 2 ( r r r r r sin r sin
t ( ) w h(tw tf ) n
是第一类和第二类边界条件的线性组合
2.2.3 导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同 时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ 0 K）时的导热不适用。
传热学--导热理论基础 ppt课件
第二章 导热理论基础
第三节 热导率
（2）最佳密度 ①一般来说，保温材料的密度（实际上为折算密度）越小， 所含热导率小的介质越多，保温材料的表观热导率越小。 ②但密度太小，孔隙尺寸变大，对流传热和辐射传热的作用 增强， 表观热导率反而会增加。 ③事实上，一定温度下，某种保温材料有一最佳密度， 此时表观热导率最小。最佳密度一般由实验确定。
第三节 热导率
图2-5 λ与t的关系曲线
第二章 导热理论基础
第三节 热导率 三、保温材料（隔热材料或绝热材料）
1、定义：（P17）
凡在平均温度不高于350℃时，热导率不大于0.12 W/(m· K) 的材料称为保温材料，即λ≤0.12 W/(m· K)
2、多孔性材料是理想的保温材料。
保温材料通常呈纤维状或多孔性结构，为空隙小而多的轻 质材料，例如石棉、矿渣棉、玻璃棉、硅藻土、微孔硅酸钙、 膨胀珍珠岩、多孔砖和泡沫塑料等。
常用材料的导热系数（常温常压） 物 质 纯铜 金属固体 名 称 381～395 表2-1 热导率[W/（m· K）]
铝
含锌黄铜 钢、生铁 玻璃棉 石棉绳 软木板 泡沫塑料 锅炉水垢 烟灰 冰 霜 水 滑油 重油 氟利昂12 空气 氟利昂12蒸汽
210～233
93～116 47～58 0.03～0.042 0.099～0.209 0.044～0.079 0.041～0.056 0.58～2.33 0.058～0.116 2.21 0.47 0.55～0.67 0.148 0.119 0.088
传热学第二章-导热理论基础-3[精]
![传热学第二章-导热理论基础-3[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/5a5d095c376baf1ffc4fadf3.png)
等截面直肋片中的温度变化为一双曲
θ θ0
函数.
θL
由于肋片散入外界的全部热量都必须
通过x=0处的肋根截面，于是
0
x
h
Φx0 Addxx 0 Ac0(m)csionsm m hh(H (H ))
A c0m tam nh ) H (h m P 0tam nh )H (
l P 2 l
1
记 AL=H 为肋片纵剖面积。
Qs
1
mH 2h H H32 2h AL2H2 3
δ 0 Qx
Qx+dx
x
可见，mH与参量
1
h
2
H
3 2
AL
dx H
有关，其关系曲
线如图所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公
式计算，而直接用图查出，然后，散热量
Hc
H
2
f
Q ; 其中 Qm ax
Qmax
2h
r2 2,c
r12
b ,
r2,c r2 2
对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋 片散热量计算公式相当复杂，也可以利用肋片效率曲 线来计算。
肋片效率是衡量肋片散热有效程度的指标，但衡量肋片
使用是否合理则一般用另一个参数 f 来反映。 f —肋片 有效度，其意义是肋片的传热速率与没有肋片时具有的
传热学课件第二章导热基础理论
y
t y
z
t z
dxdydz
单位时间内微元体内热源的生成热：V V dxdydz
单位时间内微元热 力学能的增加：
dU c t dxdydz
导热微分 方程式
根据微元体的热平衡表达式 + V = dU 可得
（4）热流密度
q d
dA
nt dA
热流密度的大小和方向可 以用热流密度矢量q 表示
q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 2 导热的基本定律—傅里叶定律
图2-5 圆柱坐标系中的微元体
图2-6 球坐标系中的微元体
圆柱坐标导热微分方程式：
a（
2 r
t
2
1 r
t r
1 r2
2t
2
2t ） z 2
c
t
稳态无内热源径向一维导热时简化为
d 2t 1 dt 0 dr2 r dr
球坐标稳态无内热源一维径向导热时的 简化形式为：
传热学理论基础 ppt课件
3
ppt课件
等温面:
在温度场中，同一时刻温度相同的各点连线 称为等温线。由等温线构成的面为等温面。
t
温度梯度:沿等温面法线方向的温度增量
之比的极限。
与法向距离
t t grad t lim( ) n0 n0 n n
t n 称为温度变化率（与面积垂直）
稳定温度场与瞬态温度场:
流体的物性——
k、Cp、、、、
20C k空气 2.57 102 (W/m.o C)
换热面的几何条件
① 几何形状、截面尺寸 ② 进、出口的长度（流道）； ③ 表面的粗糙度； ④ 表面的安装位置和流动空间大小。
20C k水 59.9 102 (W/mo C)
20C kJ C 1 . 005 ( 空气
Nu
Re
hc D k
wD
C p
温度梯度比
惯性力 粘性力
Pr
Gr Ra
gD 3 t 2
Gr P r
(或 ) k a
动量扩散 热量扩散
浮升力 惯性力
2 （粘性力）
浮升力与惯性力 粘性力与热扩散
33
ppt课件
对流换热—定性温度与特征尺寸
定性温度
选择定性温度没有一定的规则,可取平均的局部温度 ,壁面温度和流体 温度的平均值, 或各点流体的平均温度
ppt课件
等温面:
在温度场中，同一时刻温度相同的各点连线 称为等温线。由等温线构成的面为等温面。
t
温度梯度:沿等温面法线方向的温度增量
之比的极限。
与法向距离
t t grad t lim( ) n0 n0 n n
t n 称为温度变化率（与面积垂直）
稳定温度场与瞬态温度场:
流体的物性——
k、Cp、、、、
20C k空气 2.57 102 (W/m.o C)
换热面的几何条件
① 几何形状、截面尺寸 ② 进、出口的长度（流道）； ③ 表面的粗糙度； ④ 表面的安装位置和流动空间大小。
20C k水 59.9 102 (W/mo C)
20C kJ C 1 . 005 ( 空气
Nu
Re
hc D k
wD
C p
温度梯度比
惯性力 粘性力
Pr
Gr Ra
gD 3 t 2
Gr P r
(或 ) k a
动量扩散 热量扩散
浮升力 惯性力
2 （粘性力）
浮升力与惯性力 粘性力与热扩散
33
ppt课件
对流换热—定性温度与特征尺寸
定性温度
选择定性温度没有一定的规则,可取平均的局部温度 ,壁面温度和流体 温度的平均值, 或各点流体的平均温度
传热学-第2章-导热的理论基础
在二维平面上等温面表现为等温线（iostherm）
8
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
内燃机活塞的温度场
9
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
埋深为 1.5m的 非保温 输油管 道周围 地层的 温度场
10
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
等温线（面）的特点： ——形象、直观 （1）同一时刻，温度不同的等温线不可能相交。因
2.1.1 温度场
按温度场是否随时间变化，可分为: 非稳定(Unsteady-state)温度场
t f (x, y, z, )
不稳定温度场、非定常温度场、瞬态温度场
6
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
按温度场在空间上的变化情况
一维温度场 t f (x, )
二维温度场 t f (x, y, )
34
2.2 物质的导热特性
绝大多数物体的导热系数与温度的关系可近似地用 如下的线性关系来表示：
0 1 bt 或 0 Bt
式中，B=λ0b；λ0为物体在某一参考温度下的导热系数； b为由实验确定的、与材料有关的温度系数(常数)，气体： b>0；固体：b<0
35
2.2 物质的导热特性
（3）气体导热系数的变化规律 气体导热的机理是依靠分子热运动的相互碰撞。由
8
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
内燃机活塞的温度场
9
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
埋深为 1.5m的 非保温 输油管 道周围 地层的 温度场
10
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
等温线（面）的特点： ——形象、直观 （1）同一时刻，温度不同的等温线不可能相交。因
2.1.1 温度场
按温度场是否随时间变化，可分为: 非稳定(Unsteady-state)温度场
t f (x, y, z, )
不稳定温度场、非定常温度场、瞬态温度场
6
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
按温度场在空间上的变化情况
一维温度场 t f (x, )
二维温度场 t f (x, y, )
34
2.2 物质的导热特性
绝大多数物体的导热系数与温度的关系可近似地用 如下的线性关系来表示：
0 1 bt 或 0 Bt
式中，B=λ0b；λ0为物体在某一参考温度下的导热系数； b为由实验确定的、与材料有关的温度系数(常数)，气体： b>0；固体：b<0
35
2.2 物质的导热特性
（3）气体导热系数的变化规律 气体导热的机理是依靠分子热运动的相互碰撞。由
传热学第二章
Q
Qd
0
qdFd
0F
2 导热基本定律－－Fourier’s Law
导热的热流密度与温度梯度成正比，即：
q gradt t n
n
—导热系数，物性值。单位为W/(m·K)。
负号是因为热流密度与温度梯度的方向相反。
热流密度为矢量，其在x、y、z轴上的投影用 傅立叶定律表示为：
qx
t x
qy
温度场：此问题的导热微分方程为：
d ( dt ) 0
dx dx
边界条件为：
x
x
0时，t
时，t
t1 t2
积分得：
dt dx
c1
0(1 bt)dt c1dx
0 (t
代入边界条件，得
b 2
t2
)
c1x
c2
c1
(t1
t2)
c2
0 (t1
b 2
t12 )
所以
b 2
t
2
t
(b 2
t12
t1)
0
(t1
t2 )
x
解之得：t
(1 b
t1)2
2q
b0
x
1 b
Βιβλιοθήκη Baidu
q稳态导热的热流密度，为常数
热流密度和热流量也可以由傅立叶 定律和所求得的温度场来确定。
传热学第二章 稳态导热
dx
dy+dy dz
dx+dx
x
2019/9/11
y 17
dΦin dQ dΦout dU
z
dz+dz
导入微元体的总热流量为
dy
dΦin dΦx dΦy dΦz
导出微元体的总热流量为
dx
dy+dy dz
dx+dx
x
dΦout dΦxdx dΦydy dΦzdz
稳态导热
t 0
直角坐标系: ( t ) ( t ) ( t ) 0
x x y y z z
1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板 两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳 为一维稳态导热问题。
2019/9/11
33
以采用平板法测量物质的导热系
数。对于图所示的大平板的一维 t1
稳态导热，流过平板的热流量与
t2
平板两侧温度和平板厚度之间的 关系为：
x
Φ A t1 t2
Φ q
A t1 t2 t1 t2
q,, ,t (t1 t2 ) 只要任意知道三个就可以
求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数
是时间和空间的函数，也可
以为给定不变的常数值
传热学第二章导热基本定律及稳态导热
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处 的温度差别越小。
a木材 1.5107 m2 s，a铝 9.45105 m2 s a木材 a铝 1 600
a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
若物性参数为常数且无内热源：
特例：绝热边界面：
qw
t n
w
0
t n
w
0
（3）第三类边界条件 当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知
任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数
tf, h
牛顿冷却定律： qw h(tw t f )
傅里叶定律： qw t nw
qw
t
n w
h(tw t f )
导热微分方程式的求解方法
q -grad t [ W m2 ]
: 热导率（导热系数） W (m C) （Thermal conductivity）
直角坐标系中：
q qxi
qy j
qz k
t i
x
t
y
j
t k
z
qx
t ; x
qy
t y
;
qz
t z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料
各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
1、气体的热导率
传热学 第二章 导热基本定律及稳态热传导
导热问题的完整数学描述：
导热微分方程 + 定解条件
传热学 Heat Transfer 常见的边界条件有三类：
1.第一类边界条件:指定边界上
的温度分布。
tw1
例：右图中
x 0, t tw1
0
x , t tw2
2.第二类边界条件:给定边界
上的热流密度。
例：右图中 x, -xt qw 0
0δ
x
对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解：
ddxt c1 tc1xc2
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x0, tt1 c2 t1
t1
x, tt2
c1
t2
t1
t2
将两个积分常数代入原通解，可 0 δ
x
得平壁内的温度分布如下
t
t1
t1
t2
传热学 Heat Transfer
四、导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量 守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。
使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条 件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描 述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边 界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边 界条件。
导热微分方程 + 定解条件
传热学 Heat Transfer 常见的边界条件有三类：
1.第一类边界条件:指定边界上
的温度分布。
tw1
例：右图中
x 0, t tw1
0
x , t tw2
2.第二类边界条件:给定边界
上的热流密度。
例：右图中 x, -xt qw 0
0δ
x
对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解：
ddxt c1 tc1xc2
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x0, tt1 c2 t1
t1
x, tt2
c1
t2
t1
t2
将两个积分常数代入原通解，可 0 δ
x
得平壁内的温度分布如下
t
t1
t1
t2
传热学 Heat Transfer
四、导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量 守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。
使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条 件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描 述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边 界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边 界条件。
2.导热基本定律
第九章导热
9-1 导热理论基础
1. 导热的基本概念
（1）温度场(temperature field)
在τ时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的温度场。
一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为
t=
f
y
),,,(τz
x
非稳态温度场:温度随时间变化的温度场，其中的导热称
为非稳态导热。
稳态温度场:温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为稳态导热。
()
,,
t f x y z
=
一维温度场二维温度场三维温度场
(),
t f xτ
=()
t f x
=
()
,,
t f x yτ
=(),
t f x y
=
()
,,,
t f x y zτ
=()
,,
t f x y z
=
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面与等温线的特征：
同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温
线不能相交；在连续介质的假设条件下，等
温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的
曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，
不可能在物体中中断。
（3）温度梯度(temperature gradient)在温度场中，温度沿x 方向的变化率(即偏导数)
0lim x t t x x
∂∂∆→∆=∆很明显,等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：
t
t n
∂=∂grad n
n —等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。
温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。
6
在直角坐标系中，温度梯度可表示为
t t t
t x y z
∂∂∂=++∂∂∂grad i j k
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 2
第一节 导热的基本概念 一、温度场 二、等温面与等温线
三、温度梯度（gradt）
2013-9-10
第二章 导热基础理论
3
一、温度场 1.概念 在某一时刻τ ，物体内所有各点 温度分布的总称，称为该物体在τ 时 刻的温度场。
一般，温度场是空间坐标和时间 的函数，在直角坐标系中可表示为： t f（x，y，z，）
t t gradt lim n n n 0 n n
℃/m
2013-9-10
第二章 导热基础理论
10
温度梯度是矢量，
其方向垂直于该点的等
温面（线）且指向温度
n
dA
gradt
t
d q n dA
d
升高的方向（与热流的
方向相反）。
在直角坐标系中的表示： t t t gradt i j k x y z
导热系数表征物体导热能力的大小，λ越 大表示物体导热能力越强。它是热力工程设 计中合理选用材料的重要依据。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 18
三、影响因素及确定
导热系数的影响因素：主要是物质的
种类、物态以及温度、密度、含水率等。 一般同种物质三态中, λ
固态＞λ 液态＞λ 气态
对于同一种物质，温度的影响最大。 大多数材料的导热系数都是通过专门的实 验测定的。 为了工程计算方便，常绘成图表以供查取。
2013-9-10
d x d x d x dx
2t 2 dxdydz x
31
第二章 导热基础理论
2t 同理：d y 2 dxdydz y 2t d z 2 dxdydz z d d x d y d z
2013-9-10 第二章 导热基础理论
返回
11
第二节 导热基本定律
傅里叶在对导热过程进行实验研 究的基础上, 于1822年提出了著名的
傅里叶定律—导热基本定律。
一、傅里叶定律的数学表达式 二、傅里叶定律的应用
2013-9-10 第二章 导热基础理论 12
一、傅里叶定律的数学表达式
t q gradt n n
2013-9-10 第二章 导热基础理论 4
2.分类
直角坐标系中温度场的分类
同样在圆柱坐标系和球坐标系中也可 分为三维、二维、一维。 求解导热问题的主要任务就是要获得 物体内的温度场。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 5
二、等温面与等温线 等温面:在同一时刻,物体内所有温度相 同的点连成的面。 等温线:等温面与平面相交所得的交线。
推导依据：热力学第一定律+傅里叶定律
导热过程中微元体的热平衡：
d y dy
d z dz
d x dx
单位时间内，导入 d dV的净导热量+dV的内热 源生成热量=dV的热力学 能变化量
x
dy dz
dx
d z
d y
d dV dU
2013-9-10 第二章 导热基础理论
15
二、傅里叶定律的应用
1.傅里叶定律建立了 q 与gradt之间的
关系，是求解导热问题的依据。若已知物体 的温度场，便可由傅里叶定律求得各点的热 流密度。 2.对一维稳态无内热源的导热问题，可 用傅里叶定律表达式直接积分求解且较方便。 3.用傅里叶定律与能量守恒定律一起可 建立描述导热问题的导热微分方程式。 4.傅里叶定律提供了热导率的定义式。
返回
26
第四节 导热微分方程式及单值性条件
一、建立导热数学模型的目的 二、导热微分方程式 三、单值性条件
2013-9-10
第二章 导热基础理论
27
一、建立导热数学模型的目的
建立导热数学模型 求解导热体的温
度场t=f (x,y,z,τ ) 计算通过导热体的 导热热流量等。 导热数学模型的组成： 导热微分方程式+单值性条件
时，其等温面就是一系列平行于平壁表面
的平面。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 7
(2) 在等温面（或等温线）的法线方 向上，温度变化率最大。 由于温差是热量传递的动力，故沿等 温面（线）无热流，热量传递只能在穿过 等温面的方向上进行。 等温面（线）的疏密可直观地反映出 物体内不同区域热流密度的相对大小。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 19
导热系数随温度的依变关系
2013-9-10 第二章 导热基础理论 20
对于大多数工程材料，可近似地认为 导热系数随温度线性变化，并表示为：
（ bt） 0 1
λ0—按公式计算的0℃时的导热系数 b—实验测定的系数，b>0或b≤0, 常取t=(t1+t2)/2 一般材料生产厂家会随材料提供其导热 系数的数值,工程中常用材料在特定温度下 的导热系数值可参看附录，查取导热系数数 值时,应注意材料的确切名称、密度、使用 温度范围等。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 21
绝热材料:习惯上把导热系数较小的材
料称为绝热材料（也称保温材料）。
绝热材料导热系数界定值的大小反映了 一个国家绝热材料的生产水平，我国标准 GB4272-92中规定，平均温度不高于350℃时， λ绝热＜0.12 W/(m· K)。
2013-9-10
第二章 导热基础理论
第二章 导热基础理论
§2-1 导热的基本概念 §2-2 导热的基本定律 §2-3 导热系数
§2-4 导热微分方程和单值性条件
2013-9-10
第二章 导热基础理论
1
基本要求
1．理解温度场、等温面（线）、温度 梯度等概念。 2．掌握傅里叶定律及其应用。 3. 掌握导热系数和热扩散率的定义、 意义、影响因素。 4．能写出典型简单几何形状物体导热 问题的数学描述表达式。
y
z
x
30
导入微元体的净导热量为 d d x d y d z
根据傅里叶定律，单位时间内，在x方向经 x=x面导入dV的热量及经x+dx面导出dV的热量
分别为： t d x dydz x
d x dx
t （t dx）dydz x x
2013-9-10 第二章 导热基础理论
返回
16
第三节 导热系数
一、定义 二、物理意义 三、影响因素及确定
2013-9-10
第二章 导热基础理论
17
一、定义 导热系数的定义式由傅里叶定律给出
q t n n
W/(m· K)
二、物理意义
由定义式知，导热系数在数值上等于单 位温度梯度时通过物体的热流密度的模值。
t
t
2
（3）稳态无内热源时简化为 2 t 0 （4）一维稳态无内热源时简化为
d 2t 0 2 dx
2013-9-10 第二章 导热基础理论 39
0
圆柱坐标系中的微元体
球坐标系中的微元体
2013-9-10
第二章 导热基础理论
40
圆柱坐标导热微分方程式：
t 1 t 1 t t t a（ 2 2 2） 2 r r r c r z
2013-9-10
第二章 导热基础理论
34
a的物理意义
1．由定义：a↑导热能力↑蓄热能力↓
非稳态导热过程中物体的热量扩散能力↑
称为热扩散率。
2．由方程：非稳态导热过程中，相同的 加热或冷却条件下，a↑物体内各部分温度 趋于均匀的能力↑。即a值大的材料其温度变 化传播得快a反映非稳态导热过程中物体的 “导温”能力称为导温系数。
W/m2
“-”号表示 q 与gradt二者方向相反
傅里叶定律表明：在导热现象中，导 热热流密度的大小正比于该点温度梯度的 绝对值；热流密度的方向与温度梯度方向 相反。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 13
在直角坐标系中的向量表达式为：
t t t q ( i j k ) x y z
2013-9-10 第二章 导热基础理论 35
不同材料的a相差很大，一般导热系数 大的材料a也大。 例如，木材的a约为1.5×10-7 铝的a约为9.45×10-5 m2/s 。 m2/s，
不锈钢的a大约是瓷的几十倍 把形状、 尺寸相同的瓷勺和不锈钢勺同时放在同一杯 开水中（勺柄漏在外面），过一会儿，不锈 钢勺柄已经烫手了而瓷勺柄还感觉不到温度 有什么变化说明不锈钢比瓷传播温度变化 的能力大得多。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 28
二、导热微分方程式
对所研究的物体作下列简化假设：
1.导热体为各向同性均匀的连续体。 2.导热体的ρ 、c和λ 都是常量。 3.导热体有均匀的内热源，内热源强 度（单位时间单位体积内的内热源生成 热）为 （W/m3）
2013-9-10 第二章 导热基础理论 29
2t 2t 2t （ 2 2 2 ）dxdydz x y z
单位时间内，微元体内热源的生成热量为：
d V dxdydz
单位时间内，微元体的热力学能变化量为：
t dU c dxdydz
2013-9-10 第二章 导热基础理论 32
将各项能量表达式代入微元体的热平 衡式整理得： 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c
2013-9-10 第二章 导热基础理论 24
物质的导热系数在数值的特点:
(1) 对于同一种物质：λ固态＞λ液态＞λ气态
(2)一般 (3)一般 λ λ
金属＞λ 非金属 纯金属＞λ 其金属合金
异性物
(4)对于各向异性物体,λ
与方向有关
2013-9-10
第二章 导热基础理论
25
2013-9-10
第二章 导热基础理论
2013-9-10 第二章 导热基础理论 36
注意：热扩散率与导热系数的联系 与区别！ 导热系数只表明材料的导热能力， 而热扩散率综合考虑了材料的导热能力和 蓄热能力，因而能准确反映物体中温度变 化的快慢。
2013-9-10
第二章 导热基础理论
37
对于非稳态导热过程，由于物体本身
不断吸收或放出热量决定物体内温度分
对一维稳态导热可写为：
W/m2
dt q x i dx
W/m2
2013-9-10
第二章 导热基础理论
14源自文库
傅里叶定律的适用范围:
对各向同性的连续体普遍适用（不论
任何形态、任何形状、是否变物性、是否
有内热源、是否稳态）。
对于非稳态导热过程，式中参数为瞬
时值。
2013-9-10
第二章 导热基础理论
布的是热扩散率
对于稳态导热过程，物体只进行热量
的传递，各点的温度不随时间而变导热
系数是决定稳态导热过程热传递的重要热
物性参数。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 38
几种特殊情况的导热微分方程简化形式 (1) 物体无内热源（ 0 ）时简化为
a 2t
（2)
t 稳态（ 0 ）有内热源时简化为
等温面（线）的特点：
(1)等温面（线）与等温面（线）互不相 交，在连续体中，等温面（线）是连续的， 或是完整的封闭曲面（线），或终止于物体 的边缘上。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 6
在形状规则的物体上，等温面（线） 的分布遵循一定的规律。 如材料均匀、大面积、等厚度的平壁， 当壁面两侧表面维持均匀的温度且不相等
2013-9-10 第二章 导热基础理论 8
物体的温度场常用等温面图或等温线图 来直观地表示。
（a）水冷的燃气轮机叶片的温度场 （b）墙角内的温度场
2013-9-10 第二章 导热基础理论 9
三、温度梯度（gradt） 采用数学上梯度的定义，把等温面 （线）某点法线方向的温度变化率称为该 点的温度梯度。 如图，则温度梯度可表示为：
导热微分方程式，实质是导热过程的能量方程
导热微分方程建立了导热过程中物体 内的温度随时间和空间变化的函数关系。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 33
令 a c
m2/s
热扩散率 (导温系数)
则导热微分方程式写成
2t 2t 2t t a( 2 2 2 ) c x y z
22
各向异性材料:在结构上有方向性的
材料称为各向异性材料。如木材、石墨、
纤维材料等。
各向异性材料在不同方向的导热系数
数值不同，如木材，沿木纹方向的导热系
数约为垂直于木纹方向的2～4倍。
对于各向异性材料，其导热系数必须
指明方向才有意义。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 23
各类物质导热系数的范围
第一节 导热的基本概念 一、温度场 二、等温面与等温线
三、温度梯度（gradt）
2013-9-10
第二章 导热基础理论
3
一、温度场 1.概念 在某一时刻τ ，物体内所有各点 温度分布的总称，称为该物体在τ 时 刻的温度场。
一般，温度场是空间坐标和时间 的函数，在直角坐标系中可表示为： t f（x，y，z，）
t t gradt lim n n n 0 n n
℃/m
2013-9-10
第二章 导热基础理论
10
温度梯度是矢量，
其方向垂直于该点的等
温面（线）且指向温度
n
dA
gradt
t
d q n dA
d
升高的方向（与热流的
方向相反）。
在直角坐标系中的表示： t t t gradt i j k x y z
导热系数表征物体导热能力的大小，λ越 大表示物体导热能力越强。它是热力工程设 计中合理选用材料的重要依据。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 18
三、影响因素及确定
导热系数的影响因素：主要是物质的
种类、物态以及温度、密度、含水率等。 一般同种物质三态中, λ
固态＞λ 液态＞λ 气态
对于同一种物质，温度的影响最大。 大多数材料的导热系数都是通过专门的实 验测定的。 为了工程计算方便，常绘成图表以供查取。
2013-9-10
d x d x d x dx
2t 2 dxdydz x
31
第二章 导热基础理论
2t 同理：d y 2 dxdydz y 2t d z 2 dxdydz z d d x d y d z
2013-9-10 第二章 导热基础理论
返回
11
第二节 导热基本定律
傅里叶在对导热过程进行实验研 究的基础上, 于1822年提出了著名的
傅里叶定律—导热基本定律。
一、傅里叶定律的数学表达式 二、傅里叶定律的应用
2013-9-10 第二章 导热基础理论 12
一、傅里叶定律的数学表达式
t q gradt n n
2013-9-10 第二章 导热基础理论 4
2.分类
直角坐标系中温度场的分类
同样在圆柱坐标系和球坐标系中也可 分为三维、二维、一维。 求解导热问题的主要任务就是要获得 物体内的温度场。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 5
二、等温面与等温线 等温面:在同一时刻,物体内所有温度相 同的点连成的面。 等温线:等温面与平面相交所得的交线。
推导依据：热力学第一定律+傅里叶定律
导热过程中微元体的热平衡：
d y dy
d z dz
d x dx
单位时间内，导入 d dV的净导热量+dV的内热 源生成热量=dV的热力学 能变化量
x
dy dz
dx
d z
d y
d dV dU
2013-9-10 第二章 导热基础理论
15
二、傅里叶定律的应用
1.傅里叶定律建立了 q 与gradt之间的
关系，是求解导热问题的依据。若已知物体 的温度场，便可由傅里叶定律求得各点的热 流密度。 2.对一维稳态无内热源的导热问题，可 用傅里叶定律表达式直接积分求解且较方便。 3.用傅里叶定律与能量守恒定律一起可 建立描述导热问题的导热微分方程式。 4.傅里叶定律提供了热导率的定义式。
返回
26
第四节 导热微分方程式及单值性条件
一、建立导热数学模型的目的 二、导热微分方程式 三、单值性条件
2013-9-10
第二章 导热基础理论
27
一、建立导热数学模型的目的
建立导热数学模型 求解导热体的温
度场t=f (x,y,z,τ ) 计算通过导热体的 导热热流量等。 导热数学模型的组成： 导热微分方程式+单值性条件
时，其等温面就是一系列平行于平壁表面
的平面。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 7
(2) 在等温面（或等温线）的法线方 向上，温度变化率最大。 由于温差是热量传递的动力，故沿等 温面（线）无热流，热量传递只能在穿过 等温面的方向上进行。 等温面（线）的疏密可直观地反映出 物体内不同区域热流密度的相对大小。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 19
导热系数随温度的依变关系
2013-9-10 第二章 导热基础理论 20
对于大多数工程材料，可近似地认为 导热系数随温度线性变化，并表示为：
（ bt） 0 1
λ0—按公式计算的0℃时的导热系数 b—实验测定的系数，b>0或b≤0, 常取t=(t1+t2)/2 一般材料生产厂家会随材料提供其导热 系数的数值,工程中常用材料在特定温度下 的导热系数值可参看附录，查取导热系数数 值时,应注意材料的确切名称、密度、使用 温度范围等。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 21
绝热材料:习惯上把导热系数较小的材
料称为绝热材料（也称保温材料）。
绝热材料导热系数界定值的大小反映了 一个国家绝热材料的生产水平，我国标准 GB4272-92中规定，平均温度不高于350℃时， λ绝热＜0.12 W/(m· K)。
2013-9-10
第二章 导热基础理论
第二章 导热基础理论
§2-1 导热的基本概念 §2-2 导热的基本定律 §2-3 导热系数
§2-4 导热微分方程和单值性条件
2013-9-10
第二章 导热基础理论
1
基本要求
1．理解温度场、等温面（线）、温度 梯度等概念。 2．掌握傅里叶定律及其应用。 3. 掌握导热系数和热扩散率的定义、 意义、影响因素。 4．能写出典型简单几何形状物体导热 问题的数学描述表达式。
y
z
x
30
导入微元体的净导热量为 d d x d y d z
根据傅里叶定律，单位时间内，在x方向经 x=x面导入dV的热量及经x+dx面导出dV的热量
分别为： t d x dydz x
d x dx
t （t dx）dydz x x
2013-9-10 第二章 导热基础理论
返回
16
第三节 导热系数
一、定义 二、物理意义 三、影响因素及确定
2013-9-10
第二章 导热基础理论
17
一、定义 导热系数的定义式由傅里叶定律给出
q t n n
W/(m· K)
二、物理意义
由定义式知，导热系数在数值上等于单 位温度梯度时通过物体的热流密度的模值。
t
t
2
（3）稳态无内热源时简化为 2 t 0 （4）一维稳态无内热源时简化为
d 2t 0 2 dx
2013-9-10 第二章 导热基础理论 39
0
圆柱坐标系中的微元体
球坐标系中的微元体
2013-9-10
第二章 导热基础理论
40
圆柱坐标导热微分方程式：
t 1 t 1 t t t a（ 2 2 2） 2 r r r c r z
2013-9-10
第二章 导热基础理论
34
a的物理意义
1．由定义：a↑导热能力↑蓄热能力↓
非稳态导热过程中物体的热量扩散能力↑
称为热扩散率。
2．由方程：非稳态导热过程中，相同的 加热或冷却条件下，a↑物体内各部分温度 趋于均匀的能力↑。即a值大的材料其温度变 化传播得快a反映非稳态导热过程中物体的 “导温”能力称为导温系数。
W/m2
“-”号表示 q 与gradt二者方向相反
傅里叶定律表明：在导热现象中，导 热热流密度的大小正比于该点温度梯度的 绝对值；热流密度的方向与温度梯度方向 相反。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 13
在直角坐标系中的向量表达式为：
t t t q ( i j k ) x y z
2013-9-10 第二章 导热基础理论 35
不同材料的a相差很大，一般导热系数 大的材料a也大。 例如，木材的a约为1.5×10-7 铝的a约为9.45×10-5 m2/s 。 m2/s，
不锈钢的a大约是瓷的几十倍 把形状、 尺寸相同的瓷勺和不锈钢勺同时放在同一杯 开水中（勺柄漏在外面），过一会儿，不锈 钢勺柄已经烫手了而瓷勺柄还感觉不到温度 有什么变化说明不锈钢比瓷传播温度变化 的能力大得多。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 28
二、导热微分方程式
对所研究的物体作下列简化假设：
1.导热体为各向同性均匀的连续体。 2.导热体的ρ 、c和λ 都是常量。 3.导热体有均匀的内热源，内热源强 度（单位时间单位体积内的内热源生成 热）为 （W/m3）
2013-9-10 第二章 导热基础理论 29
2t 2t 2t （ 2 2 2 ）dxdydz x y z
单位时间内，微元体内热源的生成热量为：
d V dxdydz
单位时间内，微元体的热力学能变化量为：
t dU c dxdydz
2013-9-10 第二章 导热基础理论 32
将各项能量表达式代入微元体的热平 衡式整理得： 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c
2013-9-10 第二章 导热基础理论 24
物质的导热系数在数值的特点:
(1) 对于同一种物质：λ固态＞λ液态＞λ气态
(2)一般 (3)一般 λ λ
金属＞λ 非金属 纯金属＞λ 其金属合金
异性物
(4)对于各向异性物体,λ
与方向有关
2013-9-10
第二章 导热基础理论
25
2013-9-10
第二章 导热基础理论
2013-9-10 第二章 导热基础理论 36
注意：热扩散率与导热系数的联系 与区别！ 导热系数只表明材料的导热能力， 而热扩散率综合考虑了材料的导热能力和 蓄热能力，因而能准确反映物体中温度变 化的快慢。
2013-9-10
第二章 导热基础理论
37
对于非稳态导热过程，由于物体本身
不断吸收或放出热量决定物体内温度分
对一维稳态导热可写为：
W/m2
dt q x i dx
W/m2
2013-9-10
第二章 导热基础理论
14源自文库
傅里叶定律的适用范围:
对各向同性的连续体普遍适用（不论
任何形态、任何形状、是否变物性、是否
有内热源、是否稳态）。
对于非稳态导热过程，式中参数为瞬
时值。
2013-9-10
第二章 导热基础理论
布的是热扩散率
对于稳态导热过程，物体只进行热量
的传递，各点的温度不随时间而变导热
系数是决定稳态导热过程热传递的重要热
物性参数。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 38
几种特殊情况的导热微分方程简化形式 (1) 物体无内热源（ 0 ）时简化为
a 2t
（2)
t 稳态（ 0 ）有内热源时简化为
等温面（线）的特点：
(1)等温面（线）与等温面（线）互不相 交，在连续体中，等温面（线）是连续的， 或是完整的封闭曲面（线），或终止于物体 的边缘上。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 6
在形状规则的物体上，等温面（线） 的分布遵循一定的规律。 如材料均匀、大面积、等厚度的平壁， 当壁面两侧表面维持均匀的温度且不相等
2013-9-10 第二章 导热基础理论 8
物体的温度场常用等温面图或等温线图 来直观地表示。
（a）水冷的燃气轮机叶片的温度场 （b）墙角内的温度场
2013-9-10 第二章 导热基础理论 9
三、温度梯度（gradt） 采用数学上梯度的定义，把等温面 （线）某点法线方向的温度变化率称为该 点的温度梯度。 如图，则温度梯度可表示为：
导热微分方程式，实质是导热过程的能量方程
导热微分方程建立了导热过程中物体 内的温度随时间和空间变化的函数关系。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 33
令 a c
m2/s
热扩散率 (导温系数)
则导热微分方程式写成
2t 2t 2t t a( 2 2 2 ) c x y z
22
各向异性材料:在结构上有方向性的
材料称为各向异性材料。如木材、石墨、
纤维材料等。
各向异性材料在不同方向的导热系数
数值不同，如木材，沿木纹方向的导热系
数约为垂直于木纹方向的2～4倍。
对于各向异性材料，其导热系数必须
指明方向才有意义。
2013-9-10 第二章 导热基础理论 23
各类物质导热系数的范围