线性代数试题4
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc
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(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵（C）正定矩阵Fra bibliotek（D）正交矩阵
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数试卷4
线性代数试卷（4）一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B2. 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12241031.3x A 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x()8143701222226321.444-==⨯ij a A 设,又ij A 是ij a的代数余子式,则=+++44434241A A A A5.若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6.设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为7.设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211,则=x9.设非齐次线性方程组b AX =的两个解为)(,,2121ξξξξ≠A 的秩为1-n ,则b AX =的一般解=ξ . [][][]1,4,2,1,0,,0,2,1,1,2,1.10321--==-=αααt 已知向量组 的秩为2,则=t .二. (8分)计算n 阶行列式b a a a a b a a a a b a D n n n n ---=212121三.(8分)求矩阵X 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡1041120112201117241X四.(10分)设[][][][]10,2,1,2,4,1,5,1,3,6,3,11,5,5,10,2,3,2,1,24321-==-=-=αααα求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (12分)问常数b a ,各取何值时, 方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=++++=+-=+++,5853,34232,12,1432143214324321x a x x x b x x a x x x x x x x x x无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型 ()323121232221321222222,,x x x x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量432,,,1αααα线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组4321,,,ββββ线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iI A i均不可逆.试讨论A是否相似于对角阵,并说明理由.。
线性代数练习4(答案)
习题4 逆矩阵 （答案）一、单项选择题1.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( b )时，B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆2.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( b )。
(a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)( (c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A3.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( d )。
(a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1*+=n A A (d) 1*-=n A A 4.A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列=--*12)2(A A (a )。
(a) 827- (b) 278- (c) 827 (d) 278 5.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ d ）。
（a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=6.设,,,A B C E 为同阶方阵，E 为单位矩阵，若ABC E =，则（ b ）。
（a ）ACB E = （b ）CAB E = （c ）CBA E = （d ）BAC E =二、填空题1.设A 为n 阶方阵,E 为n 阶单位阵,且2A E =,则行列式=A 1或-12.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100020101A ，则行列式12(3)(9)A E A E -+-的值为-43.设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21232321A ，则行列式=11A _1______ 4.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3=A ，则=*A 815.若)(ij a A =为15阶矩阵，则A A T的第4行第8列的元素是i8151i i4a a ∑=⋅ 三、计算题1. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. 2. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 4. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1 )21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).5. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 四、证明题1. 设A k =O (k 为某个正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 （E-A ）(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1）=E(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1）-A(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1） =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1）-(A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k ）=E-A k =E 所以：(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.2. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E , 或 E E A A =-⋅)(21, 所以A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(所以(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-. 3. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*. 证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A .又111()*||A A A E ---=, 所以11()*||A A A --= 所以(A*)-1=(A -1)*.。
南京邮电大学《线性代数与解析几何》期末试卷4
0
−1 1 0 1 −1 0
1
0
当 = 2 时， A − E = 1 − 1 0 → 0 0 0 2 = 1 , 3 = 0 ,
0 0 0 0 0 0
=
25
，故所求平面方程为： 24x + 18 y + 25z − 7 = 0 .
8
五、证明： r ( B) min{ m, n} = n , 又 n = r ( I ) = r ( AB) r ( B) , 故有 r ( B) = n , 即矩阵 B 的
列向量组线性无关.
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0 0 0 1
（3）当 = 1 时，同解方程组为 1 + 2 + 3 = 1 ， 通解为：
X = (1, 0 , 0 )T + k1 (1, − 1, 0 )T + k2 (1, 0 , − 1)T , k1 , k2 R
1 − a 1 + a 0
4. 解：
（1）二次型的矩阵 A = 1 + a 1 − a 0 , r ( A) = 2 A = 0 a = 0 .
4 = −31 + 2 + 3 .
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《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷四
a 1 1
3. 解： A = 1 a 1 = (a + 2)(a − 1) 2 ,
1 1 a
（1）当 ≠ −2且 ≠ 1 时，方程组有唯一解；
1 1 −2 4
线性代数1-8试题2011.10.11
《线性代数》试题1一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每题只有一个正确答案，错选、多选或未选均不给分。
）1. 若1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111211132122212331323133232323a a a a a a a a a a a a ++=+【 】 A ．2 B. 4 C. 8 D.16 2．设A 是n 阶方阵，且3A =，则13A =【 】 A ．113n -B ．13n -C ． 3nD ．13．设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭且，则A 的伴随矩阵A *=【 】 A ．d b ca ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭4．设给向量组 321,,:αααA ； :B 4321,,,αααα ， 则下列命题中正确的是【 】A.若A 线性无关，则B 线性无关；B. 若B 线性无关，则A 线性无关；C.若A 线性无关，则B 线性相关；D. 若B 线性相关，则A 线性相关。
5．设21,ηη是非齐次线性方程组β=Ax 的解，则下列向量中齐次线性方程组0=Ax 的解的是【 】.A ． 121233ηη+ B ．12ηη+ C ．12ηη-D ． 122ηη-6．设λ是可逆阵A 的一个特征值，则23A -必有一个特征值是【 】A ．23λB ．32λC ．13λD ．23λ二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1.四阶行列式|a |D ij =中,含有因子1221a a 且带负号的项为 2．若方阵A 满足2230A A E +-=，则=-1A .3．设三阶方阵A 等价于122111231-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭，则()R A =____ _4．设101n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则nA = 5．若2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与00xB y ⎛⎫= ⎪⎝⎭相似，则x = ，y = 。
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。
It was last revised on January 2, 2021第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ ） A. m+n B. -(m+n) C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）A. –6B. 6C. 2D. –2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0C. A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解 η1-η2是Ax=b 的一个解 9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 =0D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 =A T 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ ） 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数第4,5章综合练习题和答案
第4，5章 综合练习题 一、填空题1.已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，100B 01000a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的一个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的一个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦有二重特征值1，则A 的另一个特征值是______.5．二元二次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的一个特征值为0，则A =7. 二次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α ，则与21,αα 等价的正交向量组为___________.12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. 用配方法把二次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .二、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性无关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同一个对角矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(B)120210002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(C)120240001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D)200012023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同一个对角矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7． 二次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8． 设001A 010100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ； （C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 都不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征值 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭成立的P 是（ ）（A ）（123,,ααα） （B）（132,,ααα） （C）（321,,ααα） （D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（ ）（A）存在非奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对角矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（ ），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式 （D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同 14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（ ）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零 （D）各阶顺序主子式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成立的为（ ）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）A. A 的任n 个特征向量线性无关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性无关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶方阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不一定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（ ） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（ ）（A）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（B）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D）11222⎛⎫⎪-⎝⎭ 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 同时可逆或不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征向量 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶方阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（ ）。
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误:×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵,则 B A B A +=+。
……………………（ )2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。
……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ） 二、填空题：（每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB 。
5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵，则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA 。
9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时,A 的行向量组线性无关.10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分,共16分）1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ,求4131211132A A A A +-+。
2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .四、（10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc
充 1：当 A 列 秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩 乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列 秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行 秩（或 B 可逆 ），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列 秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用 明 次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此 矩 AB 和 B 的列向量 有相同的 性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确 同解 .同理当 B 行 秩（或B 可逆） ， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元 性方程 有解, 且其系数矩 的秩r, 当 ______, 方程 有唯一解;当 ______ , 方程 有无 多解 .解：假 方程A m × n x = b, 矩 的秩 r ( A) r .当 r n , 方程 有惟一解 ; 当 r n , 方程 有无 多解 .4. 在 次 性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基 解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程 只有零解。
线性代数练习册第四章习题及答案（本）
线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。
北京科技大学线性代数期末考试试卷4及答案
（1）向量组的秩是 3，且α1,α2 ,α4 可以构成一个极大线性无关组。
（2）α3 = 3α1 − 2α2 。
（3）极大无关组必然含有α4 ，其余三个向量任选两个即可，因此，有三个极大线性无关组。
六、（本题 12 分）
当 λ ≠ 1, −2 时，方程组有唯一解。
当 λ = −2 时，系数矩阵的秩是 2，增广矩阵的秩是 3，方程组没有解。
（2）特征值为 1，1，－8
⎛ −2 2 −1⎞
⎛1 0 0 ⎞
（3）构造矩阵
P
=
⎜ ⎜
1
0
−2
⎟ ⎟
，则
P
−1 AP
=
Λ
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
。
⎜⎝ 0 1 2 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 −8⎟⎠
（4）由于ϕ (Λ ) = O ，因此ϕ ( A) = Pϕ (Λ ) P−1 = O 。
八、（本题 10 分） 略
系， k1, k2 是任意常数，则 Ax = b 的通解可以表示为
。
（A）
k1α1
+
k2α
2
+
1 2
(β1
−
β
2
)
（B）
k1α1
++
β2
)
（C） k1β1 + k2 β2 + α1
（D）
k1β1
+
k2 β 2
+
1 2
(α1
+
α2
)
5. 设 n 维向量组α1,α2 ,",αm (m ≥ 2) 线性无关，则
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1⎞
线性代数练习4
T
S ABC
x1 1 x2 2 x3
y1 1 y2 1 . y3 1
证明：因为 AB x2 x1 , y 2 y1 ,0
AC x3 x1 , y3 y1 ,0，从而
x x1 AB AC 0,0 2 x3 x1
y 2 y1 y3 y1
y 5 x 1, 点，直线 y 2 x 3 .
2
2、 将 xOz 坐标面上的抛物线 z 5 x 绕 x 轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程. 解：抛物线 z 5 x 绕 x 轴旋转一周所生成的曲面方程为：
2
( y 2 z 2 ) 5x
3、 将 xOy 坐标面上的双曲线 4 x 9 y 36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求生成的两个旋
6 求下列直线的方程： (1) 经过 A( 1，0，-1)，B( 1，1，3)两点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 过点 A( 1，-1，2)与直线
x y 2z 1 0 平行. x 2 y 3z 2 0
解： （1）方向向量为 AB 0,1,4 所以直线的方程为
x 1 y z 1 0 1 4
4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的： （1） x
2
y2 z2 1； 4 4
5,1,0 ,
也即点 M0( 4，-3，1)在平面 x+2y -z-3=0 上的投影点.
习题 4—5
1、 指出下列方程在平面直角坐标系与空间直角坐标系中各表示什么图形： （1） x y 2 y 0 ；圆，圆柱面
2 2
（2） x 2 y ；抛物线，抛物柱面
2
（3） 4 x 2 y 1；直线，平面 （4）
线性代数课本习题答案 (4)
11
22
rr
11
22
rr
11
22
rr
又 , , , 线性无关, 故k 0, k 0, , k 0, 从而有k 0, k 0, k 0, , k 0 , , , 线性相关,和题设矛盾.
12
r
1
2
r
1
2
r
12
r
故k 0, 于是k k k
k 0 k k k
kk k 1 2
2m
a n1
a n2
,
于是就有秩
, , 12
a nm
a a
11
12
, n
=秩
a 21
a 22
a a m1 m 2
a 1n
a a
11
21
a 2n
=秩
a 12
a 22
a
mn
a a
1m
2m
a n1
a n2
.
a
nm
, 按 n
如果从k k k 0可以推出所有系数k , k , , k 全为0, 那么称向量组 , , , 线性无关.
12
n
, , 12
a x a x
11 1
12 2
, 线性无关 n
ax 21 1
ax 22 2
am1
x 1
ax m2 2
a x 0 1n n
a x 2n n
0
只有零解(唯一解)
a x 0 mn n
a a
11
12
秩
a 21
a m1
a 22
a m2
a 1n
a 2n
a mn
n(向量组所含向量的个数,也即未知量的个数)
工程数学线性代数试题4
线性代数题库15套1一 选择题（每小题4分，共16分）1. A ，B 为三阶方阵，矩阵X 满足AXA BXB BXA AXB E -=-+则 ( ) .(A)221()X A B -=-; (B)11()()X A B A B --=-+；(C)11()()X A B A B --=+- (D) 以上答案都不对. 2. A 、B 、C 为n 阶方阵，且AB C =,A 、B 、C 的列向量组分别为12,,,n ααα⋅⋅⋅；12,,,n βββ⋅⋅⋅；12,,,n γγγ⋅⋅⋅. 若12,,,n γγγ⋅⋅⋅线性相关，则( ) .(A) 12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关; (B) 12,,,n βββ⋅⋅⋅线性相关；(C) （A ）与(B)都成立； (D) (A)或(B)成立.3. 设,A B 为三阶矩阵，且2(32)3r A A E ++=，若()2r B =则()r AB B +=( ).(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D) 无法判断．4. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232γγαA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322γγβB ，其中32,,,γγβα均为三维行向量，已知18=A ，2=B ，则=-B A ( ) .(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D)4.二. 填空题（每小题4分，共16分）5. 设A 、B 为n 阶非零矩阵，AB O =，且A 的阶梯形为1000n E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则矩阵B 的秩= . 6. 已知1111111111111a D b c =，则此行列式的所有代数余子式之和,1n ij i j A ==∑. 7. 已知(1,1)T x =是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 011的一个特征向量，则=a . 8. 为已知A 是3阶方阵，123,,ααα是三维线性无关的向量. 若112A ααα=+，223A ααα=+，313A ααα=+，则A 的行列式等于 .三. 计算下列各题（每小题7分，共28分）9. 计算n 阶行列式0111110111110111110111110D = .10. 若二次型21232221321282),,(x ax x x x x x x f +++=正定，求a 的取值范围.11. 已知(1,1,1),(1,0,1)T T αβ==，且T A αβ=.求4A .12. 已知201030202A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100010000B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵X 满足22AX B BA X +=+，求X ．四. 解答下列各题（13,14题每14分，15-17题每题4分，共40分） 13. 求a 使方程组123123121x x x x x ax ++=⎧⎨++=⎩与12312323334(2)1x x x a x x a x a ++=⎧⎨+++=+⎩有公共解，并求公共解.14. 已知二次型2212313121323(,,)222T f x x x X AX x x ax x x x bx x ==++++的秩为2，(1,1,1)T α=是A 的特征向量.（1）求a ,b 的值；（2）求123(,,)f x x x 经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.15. 设12,,,t ααα⋅⋅⋅是线性方程组Ax O =的基础解系，向量β满足A b O β=≠.证明12,,,,t αααβ⋅⋅⋅线性无关.16. 已知A 是n 阶方阵且可对角化，问2B A A E =++可否对角化？证明你的结论.17.已知A 为n 阶矩阵.证明方程组Ax O =与T A Ax O =的解相同.。
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《线性代数 》试卷A一.填空题（每小题4分，共20分）。
1.已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P += 2.设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=3.设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：4.若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=5.231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：二.选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）。
A ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ ）。
A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。
则（ ）。
A ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ ）。
A ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A ，矩阵A T为正交矩阵， B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三，解答题（每小题6分，共30分）1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。
3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B 。
4、求向量组1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)αααα====的一个最大无关组。
5.求向量ω=（1，2，1）在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标。
6、（12分）求方程组123451234512345223273251036x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）。
7、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22123122313(,,)22f x x x x x x x x x =++-四、证明题（6分） 设0β≠，12,,,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是线性方程组AX β=的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。
《线性代数 》试卷A 参考答案一 填空题(1) 2-22006(2) λ12···λn 2 (3) r(A)=r(A,B)< n (4) t=-8 (5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答题 (1) A ·A*=|A|·E, |A|·|A *|=|A 3||A *|=|A|2=|A ·A ’|=|A ·A -1|=1(2)3)1)(3(1010000101111)3(1111111111111)3(111111111111-+=---+=+=a a a a a a aa a a aa a a(3)由AB=A-B ，有A E A B A B E A 1)(,)(-+==+，111203312021()2100,330021002A E --⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭1242003333020212402000333300111000022B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021*********012142110011210121214321αααα 而021120011101020011101121≠-=== 故{1α，2α，3α}为一个极大无关组（5）令ω=（1，2，1）=x α+y β+z γ， 则有：121=++=-+=+z y x z y x z x 解得： 21023-===z y xω的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,236 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000001012102112114048404048402112116131051237213211221A 原方程组同解下面的方程组： 122243254321=--=++-+x x x x x x x x即： 432543212122x x x x x x x x ++=--+=+令0543===x x x ,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(ηηηηηηηa a a +++-=-==通解为。
7.解：1λ,2λ,1λ)1λ)(2λ)(1λ(1λ0101λ111λλ11011110Χ'Χ),,(321321===+====A EA A x x x f当11=λ时，由()03211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110当12λ=时，由()03212=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111当13-=λ时，由()03213=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛616162,313131,21210 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=61312161312162310U ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100020001'AU U若,UY =X 则2322212'y y y A -+=X X 。
六，证明证：设0)()(11=+++⋅⋅⋅++ηηξηξb a a r r ，则0)(111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a r r r ， 于是：0))((111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a A r r r , 即：0)(1=++⋅⋅⋅+ηA b a a r但0≠=βηA ，故 η)(1b a a r ++⋅⋅⋅+=0。
从而 r r a a ξξ+⋅⋅⋅+11=0。
但r ξξ，，⋅⋅⋅1线形无关，因此r a a ,,1⋅⋅⋅全为0，于是b=0,由此知： ηηξηξ,,,1+⋅⋅⋅+r 线形无关。
《线性代数 》试卷B一、填空题（每小题4分，共20分）。
1． 已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则20061()T P A A A P -+= 2．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( T A )=3．设A 是n m ⨯矩阵，则方程组B AX =对于任意的m 维列向量B 都有无数多个解的充分必要条件是：4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩不为3，则t=5．23151315227()5439583x D x xx =，则0)(=x D 的全部根为：二、选择题（每小题4分，共20分）1．n 阶行列式111110100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）。
B ， 1-， B ，(1)n -C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次列变换相当于（ ）。
B ， 左乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}n M X AX X R ==∈。
则（ ）。
A ，M 是m 维向量空间， B ， M 是n 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间， D ，M 是n-r 维向量空间 4．若n 阶方阵A 满足，2A =E ，则以下命题哪一个成立（ ）。
A ， ()r A n =， B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A ，矩阵-A T 为正交矩阵， B ，矩阵-1A -为正交矩阵 C ，矩阵A 的行列式是实数， D ，矩阵A 的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵， 求det (E-2A )2．计算行列式a b b b b a b b b b a b b b b a。
3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A-B 。
4、求向量组1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)αααα====的的秩。
5、向量ω在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标（4，2，-2），求ω在,,αββγγα+++下的坐标。
四、（12分）求方程组123451234512345223273251036x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）。
五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123123(,,)4f x x x x x x =+六、证明题（6分） 设0β≠，12,,,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是线性方程组AX β=的一个解，求证对于任意的常数a ，12,,,,r a a a ξηξηξηη+++线性无关。
《线性代数 》试卷B 参考答案一 填空题（1） 2-2-5*22005（2）λ1···λn（3）m=r(A)=r(A,B)< n （4）t=-8 （5））1,2,-3 二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以 det (E-2A )= det （E-A ）· det （E+A ） =0（2）311(3)111000(3)(3)()000a b b b b b b b a b b a b b a b b b a b b a b b b b a b b ab b ba b a b a b a b a b a b=+=-+=+---(3)由AB=A-B ，有A E A B A B E A 1)(,)(-+==+，111203312021()2100,330021002A E --⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭1242003333020212402000333300111000022B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4248003333020248420000333300111000022A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021100110101012142110011210121214321αααα而021120011101020011101121≠-=== 故秩为3。