一般项级数

s2n
1 2 1
1 2 1
11 n 1 n 1
22 21 31

2 n 1

2 1
1 2


n
1 1

s2n 无上界,
lim
n
s2
n不存在,
故级数()发散.
前页 后页
返回
二、绝对收敛级数及其性质
若级数
u1 u2 un
(5)
un的和数s 它的所有正项组成的级数的和数,
n 1
减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数.
前页 后页 返回
例1 级数
n 2
n1 n!
2!
n
n!
的各项绝对值所组成的级数是
n
2
n
.
n!
2!
n!
应用比式判别法,对于任意实数 ,都有
§3 一般项级数
由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论.
一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
前页 后页 返回
一、交错级数
若级数的各项符ห้องสมุดไป่ตู้正负相间, 即
u1 u2 u3 u4 (1)n1 un
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ). 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 从而数列{S2m1}是递减的, 而数列{S2m }是递增的. 又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套.由区间套定理,存
(2n 1)!
1 10

2 102

3 103

4 104


(1)n1
n 10n

. (4)
前页 后页 返回
注:莱布尼茨审敛法中,"un "的条件不能去掉. 如
1 1 1 1 . ()
2 1 2 1
n 1 n 1
其通项un 0,但不满足条件"un ", 于是,部分和子列 :

n 1
n
n 1
n
前页 后页 返回


定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1



若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级 数两大类.
前页 后页 返回
下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.
1.级数的重排
我们把正整数列{1,2,…,n, …}到它自身的一一映射
f : n k(n)称为正整数列的重排, 相应地对于数列
{un } 按映射 F : un uk(n) 所得到的数列{uk(n) }称为

原数列的重排. 相应地称级数 uk(n)为级数(5)的重
n1

排.为叙述上的方便,记 vn uk(n) ,即把级数
前页 后页 返回
在惟一的实数 S, 使得
lim
m
S2
m1

lim
m
S2m

S.
所以数列 {Sn } 收敛, 即级数 (1) 收敛.
推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为
Rn un1 .
前页 后页 返回
例 1 判别级数 (1)n n 的收敛性.
lim un1 lim 0,
u n n
n n 1
因此, 所考察的级数对任何实数 都绝对收敛.
前页 后页 返回
注: (1).定理12.12的作用,
一般项级数
正项级数
(2)定理12.12的逆定理不真, 例如 :
(1)n1 1 ,

而
(1)n1 1
(1)
(un 0, n 1, 2, ), 则称为交错级数.
定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足:
(i) 数列{un} 单调递减;
(ii)
lim
n
un

0,
则级数(1)收敛.
前页 后页 返回
证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项 和偶数项分别为
S2m1 u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ),
un )
un pn qn , 0 pn un , 0 qn un .



un pn 且 qn
n 1
n 1
n 1


un ( pn qn )
n 1
n 1

推论 :当 un 时, n 1

umr
um1 um2 umr
um1 um2

umr
因此由柯西准则知级数(5)也收敛.
对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
前页 后页 返回
(法2)
记 pn
1 2 ( un
un ), qn
1 2 ( un
1). (1)n1 1;
n 1
n

2). (1)n1
1
;
n 1
(2n 1)!
3).
n1
(1)n1
n 10n
.
1 1 1 (1)n1 1 ;
(2)
23
n1
1 1 1 1 (1)n1 1 ; (3)
3! 5! 7!
n2 n 1
解:

x
x
1


2
(1 x) x ( x 1)2
0
(x 2)
故函数 x 单调递减, un un1 , x 1
又
lim
n
un

lim
n
n n 1
0.
原级数收敛.
前页 后页 返回
Ex : 验证下列级数为莱布尼茨型级数,从而皆收敛.
各项绝对值组成的级数
u1 u2 un
(6)
收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.
定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的.
证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对
于任意正数 ,总存在正数 N ,使得对n N和任意正
前页 后页 返回
整数 r, 有 由于
um1 um2
uk
(
n
写
)
n1
作
v1 v2 vn ,
(7)
前页 后页 返回
定理12.13 设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S, 则任
意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.