(完整版)《复变函数》教学大纲
复变函数论教学大纲
《复变函数论》教学大纲
第一部分总则
（一）本课程基本情况
课程编号: 11101203课程类别: 学科基础适用专业: 数学教育与统计学
开课学期: 大二下总学时: 60 讲课学时: 52
习题课学时: 8 其它: 学分: 3
开课教研室: 函数论
（二）本课程的性质、目的和任务
本课程是数学专业的重要课程，是《数学分析》的后续课程，其数学基础主要是《数学分析》，其主要任务是在复数域中建立微积分理论，其思想方法与《数学分析》紧密相关。但是，《复变函数论》并非对《数学分析》内容在复数域中作简单平行推广，而是更注重研究新问题，建立新理论，因此，学生在学这门课程时，既要注意与《数学分析》的相似之处，更要注意之间的相异之处。特别许多实函数不具有而复函数具备。
（三）本课程的基本要求
通过本课程的学习，使学生进一步加深和提高对《数学分析》课程的理解。使学生掌握解析函数，复积分Cauchy定理及Cauchy积分公式，泰勒展式，罗朗展式及保形映射理论，注重参数定理及应用，使学生会用他们来解决《数学分析》不能解决的积分问题。凡书中标有*号处均略去不讲，另外关于调和函数的平均值定理与极限定理，波阿松积分与狄利克莱问题作一般了解要求。
（四）本课程与其他课程的联系和分工
本课程为数学教育专业与统计学专业课，与数学分析、积分变换有承上启下的联系，在数学物理方法和工程技术中有广泛应用。
（五）课程的结构与学时安排
使用教材：钟玉泉.《复变函数论》.第三版.北京：高等教育出版社，2004.
参考书目：1.余家荣.《复变函数论》. 北京：高等教育出版社
复变函数 课程教学大纲
复变函教课程教学大纲
一、课程的基本信息
适应对象：信息与计算科学本科专业
课程代码：15E01726
学时分配：54学时
赋予学分：3
先修课程：数学分析，高等代数
后续课程：毕业综合训练
二、课程性质与任务
复变函数是信息与计算科学专业的一门选修课程，主要研究复变函数的微分积分及映照。这门学科在工程力学，物理以及数学其它分支中有许多应用。开设本课程的任务就是使学生掌握复变函数基本内容，为进一步学习其它课程，并为从事教学、科研以及其它工作打好基础。
三、教学目的与要求
通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的微分积分及映照等有关的基本概念和基本方法, 并能应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
四、教学内容与安排
第一章复数与复变函数（6学时）
1.1复数
复数域,复数的乘辕与方根.
1.2复平面上的点集
区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.
1.3复变函数
复变函数的定义，复变函数的极限、连续性.
1.4复球面与无穷远点
第二章解析函数（10学时）
2.1解析函数的概念与柯西-黎曼条件
复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件：柯西-黎曼条件.
2.2初等解析函数
指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数
根式函数，对数函数，一般基函数，一般指数函数。
第三章复变函数积分（10学时）
3.1复积分的概念及其简单性质
复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理
柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论
柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，LioUVilIe定理，Morera 定理。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲
说明
1．本大纲适用数学与应用数学本科教学
2．学科性质：
复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：
复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：
通过本课程的学习，要求学生达到：
1．握基本概念和基本理论；
2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数
的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映
照等）；
2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：
本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表：
教学时数分配表
以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。
教学内容
第一章复数与复变函数
复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲
课程代码：112000091
课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable
课程类别：公共基础课
总学时/学分：48/3
开课学期：第三或四学期
适用对象：非数学专业本科生
先修课程：高等数学
内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务
本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求
本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数
主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
复变函数-教学大纲
《复变函数》课程教学大纲
一、课程基本信息
课程代码：16183703
课程名称：复变函数
英文名称：Complex Variables
课程类别：专业课
学时：48
学分：3
适用对象: 数学与应用数学
考核方式：考查
先修课程：《数学分析》、《解析几何》、《高等代数》
二、课程简介
本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课. 课程主要讲授单复变函数的
一些基本知识，分别从导数、积分、级数、留数、映射五个方面来刻画解析函数的性质及其应用。首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法，解析函数的罗朗展式与孤立奇点，留数理论及其应用。《复变函数论》主要讲单复变中的解析函数理论：内容包括解析函数的概念、性质、柯西一黎曼条件。柯西积分定理及柯西积分公式。解析函数的泰勒展式和罗朗展式。利用留数理论求积分，保形映射等内容。
This course is a specialized elective course in mathematics an applied mathematics. The course mainly introduces some basic knowledge of single complex functions describing the properties and applications of analytical functions from five aspects: derivative, integral, series, residue and mapping, respectively. First of all, from the complex domain, the complex variable function is introduced, and then the concept of analytic function is given. Taking it as the research object, we introduce the derivative, integral, power series representation, Laurent expansions, isolated singularity, residue theory of analytic function and its application. The theory of complex variable mainly focuses on the analytic function theory of simple complex variables: the content includes the concept and property of analytic function, Cauchy-Riemann condition. Cauchy integral theorem and Cauchy integral formula.
《复变函数论》教学大纲
《复变函数论》教学大纲
一、课程基本信息
课程编码：0601112B
中文名称：复变函数论
英文名称：Theory of Functions of Complex Variable
课程类别：专业基础及核心课
总学时：48
总学分：3
适用专业：数学与应用数学
先修课程：数学分析，高等代数，解析几何
二、课程目标
（一）具体目标
通过本课程的学习，使学生达到以下目标：
1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。【支撑毕业要求1】
2.理解复数的表示方法。【支撑毕业要求2】
3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。【支撑毕业要求3】
4.掌握留数的计算和应用。【支撑毕业要求5】
5.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。【支撑毕业要求3、4】
6.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和解决实际问题的能力。【支撑毕业要求4、6、7、8】
（二）课程目标与毕业要求的对应关系
表1 课程目标与毕业要求的对应关系
（一）课程内容与课程目标的关系
表2 课程内容与课程目标的关系
（二）具体内容
第一章复变函数的基本概念(10学时）
【学习目标与要求】
1、学习目标：
了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题。会计算复数列的极限。掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，
会计算复变函数的极限。掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲
（课程编号：）
一、教学目的和任务
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。研究复变数之间的相互依赖关系是复变函数这门课程的主要任务。本课程要求学生理解复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念，掌握解析函数的理论和方法。
二、本课程的基本要求
复变函数论是统计学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。学完本课程后，应达到下列要求：
1、明确复变函数课程的学习目的和基本要求。
2、掌握复变函数论的基本理论和方法。
3、加强学生逻辑思维能力、抽象思维能力的训练。
4、了解本课程中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能够根据不同的要求，做出正确的解释、说明和论述。
5、初步具有独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
三、课程内容、重点和要求
第一章复数与复变函数
教学内容：复数,复平面上的点集,复变函数,复平面与复球面。
本章重点：复数的运算和各种表示法；复变函数以及映射的概念。
教学要求：理解复数的概念，掌握复数的表示方法；掌握复数的四则运算及乘幂与方根；了解复平面上点集的基本概念，理解区域与约当曲线的概念；理解复变函数的概念，掌握复变函数极限与连续性；了解复球面与无穷远点的概念。
《复变函数》教学大纲
第三章
本章的主要教学内容是：
复变函数的积分（12 学时）
（一）复积分的概念及其简单性质 1. 复变函数积分的定义； 2． 复变函数积分的计算问题； 3． 复变函数积分的基本性质。 （二）柯西积分定理 1.柯西积分定理；2．柯西积分定理的古莎证明；3．不定积分；4．柯西积分定理的推 广；5．柯西积分定理推广到复周线的情形。 （三）柯西积分公式及其推论 1.柯西积分公式； 2．解析函数的无穷可微性；3．柯西不等式与刘维尔定理；4．摩 勒拉定理； *5．柯西型积分。 （四）解析函数与调和函数的关系 （五）*平面向量场--解析函数的应用(一)
第二章
本章的主要教学内容是：
解析函数（10 学时）
（一）解析函数的概念与柯西-黎曼方程 1．复变函数的导数与微分；2．解析函数及其简单性质；3．柯西黎曼方程。 （二）初等解析函数 1.指数函数；2．三角函数。 （三）初等多值函数 1.根式函数；2．对数函数；3．一般幂函数与一般指数函数；4．具有多个有限支点的 情形；5．反三角函数与反双曲函数。 本章的基本教学要求是： 理解复变函数的导数与解析的概念， 掌握复变函数可导与解析 的充要条件， 掌握及熟练应用柯西——黎曼定理判断函数的可导性与解析性。 掌握初等函数 中的指数函数，三角函数的定义和性质；了解对数函数，幂函数与反三角函数等多值函数。
1.流量与环量 ；2．无源、漏的无旋流动；3．复势。 本章的基本教学要求是：理解复变函数积分的概念、存在条件、计算方法和性质。掌握 柯西古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式，并能熟练运用它们解闭 曲线上复积分问题。 了解原函数与不定积分的概念与性质。 了解解析函数与调和函数的关系， 会从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部。掌握柯西不等式、刘维尔定理；理解摩勒拉定 理是柯西积分定理的逆定理．
复变函数 课程教学大纲
复变函数课程教学大纲
适用专业：本科数学各专业学时：50
先修课程：数学分析、高等代数制定日期：2002年9月
一、本课程的地位和作用
复变函数论是数学各专业的一门重要基础课，也是数学分析的一门后继课程。本课程用分析的、几何的、代数的等方法研究复变量的解析函数的有关问题，已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系，其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支，同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着极其重要的应用。另外，还可以利用复变函数论知识解决中学数学中的问题。学习复变函数论这门课程，可以使学生获得必要的数学知识修养，提高数学素质，锻炼逻辑思维和复杂的计算能力，并为学生学习后继课程打下良好的基础。
二、本课程的教学目标
通过讲授本课程，使学生获得：（1）复变函数的积分理论；（2）复变函数的级数理论；（3）复变函数的几何理论等方面的基本概念、基本理论和基本方法。认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。培养学生的运算能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、课程内容和基本要求
（一）复数与复变函数
1．教学基本要求
（1）详细介绍引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用；
（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。
（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。
（4）了解复平面上点集的一般概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。
（5）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。
（6）详细介绍引进扩充复平面的思想和方法，说明紧化的重要作用。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲
一、引言
复变函数是数学中重要的概念和工具之一，它在多个学科领域中具有广泛的应用。本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和相关定理，培养学生的复变函数思维和解题能力。
二、基础知识
1. 复数的基本概念
1.1 复数的定义和表示
1.2 复数的运算规则
1.3 复数平面
2. 复数函数的基本性质
2.1 复数函数的定义
2.2 复数函数的分类
2.3 复数函数的连续性
三、解析函数与调和函数
1. 解析函数的概念
1.1 解析函数的定义
1.2 拟解析函数
1.3 解析函数的运算性质
2. 调和函数的概念与性质
2.1 调和函数的定义
2.2 调和函数的性质
2.3 调和函数的应用案例
四、复变函数的微积分
1. 复变函数的导数与全纯函数
1.1 复变函数的导数定义
1.2 全纯函数的性质
1.3 Cauchy-Riemann方程
2. 积分和级数
2.1 线积分的定义
2.2 级数收敛性与收敛域
2.3 保形映射与调和函数的全纯性
五、留数理论与积分计算
1. 留数的概念与计算
1.1 留数的定义
1.2 计算留数的方法
1.3 应用案例：圆周积分计算
2. 积分计算与柯西公式
2.1 柯西公式的概念与应用
2.2 柯西积分定理与柯西奇点定理
2.3 辐角原理与Rouché定理
六、解析函数的应用
1. 解析函数在物理学中的应用
1.1 电磁场中的解析函数
1.2 流体力学中的解析函数
1.3 其他物理学领域的应用
2. 解析函数在工程学中的应用
2.1 线性系统与解析函数
2.2 信号处理与解析函数
2.3 通信系统与解析函数
七、实际案例与综合应用
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲
一、前言
复变函数是数学中非常重要的一个分支，研究和应用广泛。本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和应用，帮助学生掌握复变函数的理论和解题方法。
二、基本概念和初等函数
1. 复数的定义和运算规则
2. 复变函数的定义和性质
3. 初等函数概念及其在复变函数中的应用
三、解析函数
1. 解析函数的定义和性质
2. 函数的解析性与调和性的关系
3. 基本解析函数的引入和性质
四、级数展开
1. 幂级数的概念和性质
2. 基本初等函数的幂级数展开
3. 常用函数的级数展开
五、留数与留数定理
1. 解析函数的奇点及分类
2. 留数的定义和计算方法
3. 留数定理及其应用
六、辐角原理和主要定理
1. 辐角原理的引入和性质
2. 极大模原理的定义和应用
3. 唯一性定理和边界值问题的解决
七、复变函数的应用
1. 简单电路中的应用
2. 热传导方程中的应用
3. Laplace变换和傅里叶变换中的应用
八、论文写作与参考文献
1. 论文写作的基本要求和格式
2. 如何查找和引用相关文献
3. 导师指导与学术交流
结语
本教学大纲囊括了复变函数的基本理论和重要应用，并配有适当的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。希望通过本课程的学习，学生能够对复变函数有一个深入的理解，并能够独立解决实际问题。
复变函数大纲
《复变函数》教学大纲
数学与应用数学（师范类）专业用
一、说明部分
（一）课程的性质、目的和教学任务
复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（二）课程的教学原则和方法
1.教学原则：理论课与习题课并重的原则;单项训练与综合训练相互结合的原则;经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则;直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。
2.教学方法：教师课堂讲授为主。
（三）课程的教学内容与学时分配
1.教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用等。
2.学时分配
本课程共6章，总学时为72学时，其中包括习题课。
第一章复数及复变函数10学时
第二章复变函数14学时
第三章复变函数的积分12学时
第四章解析函数的幂级数表示10学时
第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点10学时
第六章留数理论及其应用16学时
（四）本课程大纲编写的执笔人
执笔人沈奇黑河学院数学系函数论教研室审定。
二、正文部分
第一章复数与复变函数
（一）教学目的和要求
通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
（二）教学重点
复变函数教学大纲
课程名称：（中文）复变函数（英文）Complex Analysis
课程类别：必修编号：学时：80
授课对象：本科生专业：数学与应用数学年级：二年级
一、课程目的与教学基本要求
复变函数是数学中既经典而又充满活力的一个分支。在现代数学的发展过程中，复变函数发挥了重要的作用。同时，复变函数在许多其他学科及实际工作中，具有非常广泛的应用。
复变函数是现代数学的基础之一。它在其它学科（如空气动力学、流体力学、电磁学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论及数论等）都有重要的应用。复变函数的发展，一方面，是由于数学本身的发展；另一方面，实际问题或其它学科中所提出的问题也起了很大的促进作用。本课程在讲授复变函数内容的同时，要求能讲到一些有关部门的实际背景及与其它学科的关系，让学生了解到：数学不是凭空而来，是有实际背景的；数学各分支之间不是孤立的，而是相互联系的。
本课程作为数学系各专业的必修课，是十分必要的。通过本课程的学习，学生能学到复变函数中的一些基本结果和常见方法。一方面，学生能为以后进一步的学习打下坚实的基础；另一方面，学生通过学习能应用复变函数的结果和方法解决一些数学或实际问题。
本课程安排在一学期内讲授。对于解析函数、柯西积分公式、级数、留数及其应用、分式线性变换、Schwarz引理，要求牢固掌握。对于整函数与亚纯函数、解析开拓、调和函数及狄里克来问题，要求一般掌握。对于无穷乘积、黎曼映照定理、多角形映照公式、多复变函数初步，要求一般了解。教学中要求抓住问题的实质，把具体的数学对象的数学背景与数学内涵讲清楚，让学生觉得所有的定义和定理的出现是顺其自然的。
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《复变函数》教学大纲
说明
1．本大纲适用数学与应用数学本科教学
2．学科性质：
复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：
复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：
通过本课程的学习，要求学生达到：
1．握基本概念和基本理论；
2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数
的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映
照等）；
2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：
本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表：
教学时数分配表
以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。
教学内容
第一章复数与复变函数
复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。
（一）教学内容
1．复数发展史略；
2．复数的定义及运算。
复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共
轭复数。
3．平面上的点集。
平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、
开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲
线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、
复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。
4．复球面与无穷远点。
复平面、复数的向量式、三角式与指数式、复数的乘幂与n次
方根、无穷远点与复球面、扩充复平面无穷远点的邻域。
5．复变函数。
复变函数、单值函数、多值函数、极限、连续、一致连续、柯
西收敛准则、复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系，
闭区域上连续函数的性质。
重点：复变函数及其极限与连续。
难点：无穷远点及无穷远点邻域。
（二）、教学目的和要求
1．理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2．理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。
3．进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。
第二章解析函数
解析函数是本课程的主要研究对象，解析函数的充要条件揭示了解析函数与调和函数之间的联系。
（一）、教学内容
1．解析函数的概念。
复变函数的导数、函数在一点解析的定义、函数在区域内解
析的定义、C—R条件、=解析函数的充要条件。
2．调和函数
调和函数的定义、解析函数与调和函数的关系。
3．初等函数。
（1）指数函数与对数函数。
指数函数及其重要性质、单叶函数、多叶函数、周期函数、对数函数、分枝、主值枝、枝点、枝割线。
（2）幂函数与根式函数。
幂函数、根式函数、分枝、主值枝、枝点、枝割线。
（3）三角函数、一般幂函数、一般指数函数。
重点：解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件、指数函数与指数函数的定义及其主要性质。
难点：枝点的概念。
（二）教学目的和要求
1．理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。
2．理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。
3．熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。
4．熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。
5．熟练求多值函数的枝点、及满足条件的分枝在指定点处的函数值。
6．联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。
第三章复变函数的积分
以柯西定理为基础，建立柯西公式，从而得出解析函数的各阶可导性，莫勒拉定理解决了柯西定理的逆问题，由此即可得到解析函数的另一个充要条件。
（一）教学内容
1．复积分的概念、性质和计算。
2．柯西积分定理。
单连通区域的柯西积分定理、复连通区域的柯西积分定理。
3. 柯西积分公式与高阶导数公式。
4.柯西积分定理与积分公式的应用。
柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理、不定积分、牛顿
—莱布尼兹公式、莫勒拉公理。
重点：柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。
难点：计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。
（二）教学目的和要求
1．理解复积分的概念。
2．理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，知道证明方法。
3．刘维尔定理、莫勒拉定理和代数基本定理，知道证明方法。
4．熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。
第四章解析函数的幂级数表示
幂级数是研究解析函数的重要工具之一。泰勒公式给予解析函数以明确的解析表示式。解析函数的唯一性定理是解析函数的重要特征。
（一）教学内容
1．复级数的基本概念。
复数项级数、函数项级数、一致收敛的柯西判别法、维尔斯特拉斯判别
法、和函数的连续性、逐项积分、逐项微分。
2．幂级数。
幂级数的定义、阿贝尔定理、收敛图、收敛半径、和函数在收敛圆内的
解析性。
3．解析函数的泰勒展式。
泰勒定理、初等函数的泰勒展式、解析函数的另一个充要条件。
4．唯一性定理。