线性规划
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。它在
实际问题中具有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。本文将对线性规划的相关知识点进行总结，包括线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用场景等方面。
一、线性规划的基本概念
1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。目标函数通常表示为一个关于决策变量的数学表达式。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。约束条件可以包括等式约束和不等式约束。
3. 决策变量：线性规划的解决方案通常涉及一组决策变量，这些变量的值可以
被调整以满足约束条件并优化目标函数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。可行解的集合构成了可行域。
二、线性规划模型的建立
1. 建立目标函数：根据问题的具体要求，将目标转化为数学表达式，并确定是
最大化还是最小化。
2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，定义需要优化的变量。
4. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法
1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图形方法进行求解。通过绘制约
束条件的直线和目标函数的等高线，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，适用于多维线性规划
问题。通过迭代计算，找到目标函数的最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。整数规划问题通常比线性规划问题更复杂，求解难度更大。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
标题：线性规划知识点总结
引言概述：
线性规划是运筹学中的一种最基本的数学规划方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。通过线性规划，可以优化资源分配，最大化利润或者最小化成本。本文将对线性规划的基本概念、线性规划模型、解决方法、应用领域和优缺点进行总结。
一、基本概念
1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或者最小值的决策变量的取值。
1.2 决策变量和目标函数：线性规划中，决策变量是需要确定的未知数，而目标函数则是需要优化的目标，通常是最大化利润或者最小化成本。
1.3 约束条件：线性规划模型中的约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束或者不等式约束，用来限制决策变量的取值范围。
二、线性规划模型
2.1 标准形式和非标准形式：线性规划模型可以分为标准形式和非标准形式，标准形式要求目标函数是最小化形式，约束条件是等式约束；非标准形式则没有这些限制。
2.2 线性规划的矩阵形式：线性规划可以用矩阵形式表示，目标函数和约束条件可以用矩阵的乘法来表示，这样可以简化问题的求解过程。
2.3 整数规划和混合整数规划：在实际应用中，有时需要考虑变量的取值只能是整数的情况，这时就需要用到整数规划或者混合整数规划。
三、解决方法
3.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题的经典方法，通过不断挪移顶点来找到最优解，是一种高效的求解方法。
3.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，用于在一定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。线性规划常被应用于经济、生产、管理等领域，旨在优化资源的利用，实现目标的最大化或最小化。本文将对线性规划的基本概念、问题建模、解决方法以及应用领域进行总结。
一、基本概念
1.1 目标函数
目标函数是线性规划的核心部分，通常用来衡量系统的效益。它是一个关于决策变量的线性函数，其形式可以是最大化或最小化。
1.2 约束条件
约束条件用来限制决策变量的取值范围，确保问题的解满足实际情况。约束条件可以是等式约束或不等式约束，也可以包含多个条件。
1.3 决策变量
决策变量是问题中的未知数，决策者需要根据实际情况确定其取值范围，以达到最优解。
二、问题建模
2.1 目标函数的确定
根据实际问题确定目标函数，并明确最大化或最小化的目标。
2.2 约束条件的设定
根据问题的实际情况，将约束条件转化为线性等式或不等式，并将其表示成一组数学表达式。
2.3 决策变量的确定
根据问题的要求，确定决策变量的取值范围，可用数学符号表示。
三、解决方法
3.1 图形法
图形法是线性规划中最直观的解法，适用于二维或三维线性规划问题。通过绘制等式或不等式的图形，找出目标函数的最优解。
3.2 单纯形法
单纯形法是一种高效的解法，适用于多维线性规划问题。通过构建初始可行解，通过迭代计算，逐步接近最优解。
3.3 整数规划
整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量取值为整数。其求解方法包括分支定界法、割平面法等。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
一、概述
线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性
目标函数。它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理科学、工程等。本文将对线性规划的基本概念、模型构建、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念
1. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
3. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
4. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
三、模型构建
1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的要求，构建一个线性函数作为目标函数。
3. 约束条件：根据问题的限制条件，构建一系列线性等式或不等式作为约束条件。
四、解法
1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，找出目标函
数的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，找出最优解。
3. 整数规划法：适用于决策变量需要为整数的线性规划问题，通过限制变量的取值范围，找出最优解。
4. 网络流法：适用于网络优化问题，通过建立网络模型，找出最优解。
五、应用
1. 生产计划：线性规划可以帮助企业制定最优的生产计划，以最小化成本或最大化利润。
2. 资源分配：线性规划可以帮助政府或组织合理分配资源，以满足各方面的需求。
3. 运输问题：线性规划可以帮助解决物流运输问题，以最小化运输成本。
4. 投资组合：线性规划可以帮助投资者选择最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义
线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：
$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$
其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。在线性规划中，会涉及到许
多变量，这些变量需要受到一些限制。这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。例如：
$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$
$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$
这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立
在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：
1. 决策变量：它是模型求解的关键。决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还
线性规划知识点总结
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一、概述
线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于解决线
性约束下的最优化问题。它的基本思想是通过线性目标函数和线性约束条件，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
二、基本概念
1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。目标函数通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1, c2, ..., cn为常数，x1,
x2, ..., xn为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，用于表示问题的解。决策变
量通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，用于限定解的可行域。约束
条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ..., am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为常数，b1, b2, ..., bm为
常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或最小）值的解称为最优解。
三、线性规划的解法
线性规划问题可以通过以下几种方法求解：
1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数
的等高线图，找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。它从一个可行解开始，每次迭代都朝着更优的方向移动，直到找到最优解或证明问题无解。
线性规划知识点总结
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一、引言
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。它在
各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念
1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为
等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立
1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。例如，最大化利润、最小
化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。约束条件通常表示
为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法
1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。首先绘制约束
条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
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一、概述
线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。它在各个领域中都有广
泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。
二、基本概念
1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。通常用Z表示，可以是利润、成本等。
2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线
性不等式或等式表示。例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。
3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2
等表示。决策变量的取值决定了问题的解。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立
线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。以下是一
个简单的线性规划模型示例：
假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。已知每单位A产品
的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。同时，公司有两个限制条件：1）每天
生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。
决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。
目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。
约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。
四、求解方法
线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯
线性规划
约束方程的标准型
（1）目标函数最大 （2）约束条件为等式方程 （3）决策变量非负 （4）资源限量非负
3
三、线性规划的关键技术
（2）4X1-2X2-3X3=-6
-பைடு நூலகம்X1+2X2+3X3=6
4
方程→矩阵
三、线性规划的关键技术
图解法
5
三、线性规划的关键技术
6
三、线性规划的关键技术
解
X1
X2
X3
X4
X5
Z
基可行解
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 5 0 10 5 5 2
0 4 0 5 0 2.5 4 4
5 5 0 5 -5 0 0 3
10 2 5 0 0 0 -3 0
4 0 4 -1 4 1.5 0 0
5 17 10 20 15 17.5 22 19
√ √ √ × × √ × √
7
线性规划简介
一、什么是线性规划
二、线性规划的特征
三、线性规划的关键技术
1
一、什么是线性规划
针对一定规划基于线性约束的实现一些特定目标。
二、线性规划的特征
1.目标函数
2.线性约束方程（矩阵）
2
三、线性规划的关键技术
1.确定决策变量 2.模型建立——目标函数建立 3.约束方程 4.线性规划求解 线性规划单纯形法 目标函数
线性规划
• 目标函数即为总运费f
10x11
12x12
9x13
8x21
11x22
13x23
x11 x 21 x12 x 22 x13 x 23 35 55
• 建材厂C1、 C2的输出量应分别为建材厂C1、 C2的产量
x11
x 21 x 22 x 23
26 38 26
• 各工地的沙石需求量应当为从各建材厂接收到沙石的总量 • 运输量xij为一非负值
线性规划问题的特征
均可以用一组设计变量来表示一种实施方案
每个问题都有一定的约束条件，这些条件可以用一组线性等式或者线性不等式 表达 在上述前提下，一般都有一个目标函数，该函数用于衡量方案的优劣，可以表 达为设计变量的一个线性函数，我们的目的一般为使得目标函数达到最大值或 者最小值
线性规划问题的标准型
线性规划
百度文库
引言
什么是线性规划
如果最优化问题三要素中的目标函数和约束条件都是线性的，则该最优化问题 称为线性规划问题
线性规划的应用和发展
线性规划（Linear Programming，简写成LP）是最优化理论和方法中的重要 领域之一。其理论上的完整性、方法上的有效性以及应用上的广泛性，较其他 分支都成熟的多，同时很多实际问题都可以转化为线性规划来解决 线性规划的要点就是在满足线性约束条件的前提下，使预定的线性目标函数达 到最优。现在线性规划已不仅仅是一种数学方法，在理论上，它启发了诸如对 偶、凸性等最优化理论的核心概念，在实际中更是大量被运用于经济学和管理 学领域，成为科学决策的一个有效手段 乔治· 丹齐格（G. B. Dantzig）被认为是线性规划之父。自从1947年他提出求 解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在应用上也日益 深入，成为科学与工程领域广泛应用的数学模型。特别是在计算机能处理海量 约束条件和设计变量的线性规划问题之后，线性规划就更加受到青睐
线性规划的十种类型
线性规划的十种类型
线性规划是一种优化问题的数学方法，其目标是找到一组决策变量的
最佳值，以使目标函数在一组约束条件下达到最大（最小）值。线性规划
问题可以分为以下十种类型。
1.单目标线性规划：在单目标线性规划中，只有一个目标函数需要最
大化或最小化。例如，最大化营销利润或最小化生产成本。
2.多目标线性规划：多目标线性规划包含两个或更多个目标函数，需
要在多个目标之间进行权衡。例如，同时最大化销售额和最小化生产成本。
3.约束线性规划：在约束线性规划中，问题除了目标函数外，还有一
些约束条件需要满足。例如，生产项产品所需的原材料数量不能超过供应
商的可用数量。
4.混合整数线性规划：在混合整数线性规划中，决策变量可以为实数
或整数。该问题既包含线性约束条件，又包含整数约束条件。例如，在生
产计划中考虑到机器的整数需求。
5.二次线性规划：在二次线性规划中，目标函数为二次函数，但约束
条件为线性函数。例如，在市场分析中，为了最大化利润，需要考虑产品
价格和销售量之间的二次关系。
6.敏感性分析：敏感性分析用于确定目标函数和约束条件的变化情况下，最优解如何随之变化。例如，在成本或需求变化时，优化生产或库存
计划。
8.资源分配：资源分配问题涉及到如何最优地分配有限资源，以满足
不同的需求。例如，在项目管理中，如何分配时间、金钱和人力资源以最
大化项目成功。
9.增益线性规划：增益线性规划是在优化问题中引入风险和不确定性
的一种方法。例如，在金融领域，如何在市场波动和风险条件下最大化回报。
10.竞争性线性规划：竞争性线性规划涉及到多个参与者之间的竞争
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
一、概述
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。它的目标是找到一组决策变量的值，使得目标函数达到最大或者最小值。线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，可以匡助决策者做出最优的决策。
二、基本概念
1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、x3等表示。
2. 目标函数：线性规划的优化目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或者等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值组合。
5. 最优解：使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。
三、标准形式
线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解，标准形式包含以下要素：
1. 目标函数：通常是最大化或者最小化一个线性函数。
2. 约束条件：一组线性不等式或者等式。
3. 非负约束条件：决策变量的取值必须大于等于零。
四、线性规划的求解方法
线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：
1. 图形法：适合于二维线性规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。
2. 单纯形法：适合于多维线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
3. 内点法：适合于大规模线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
4. 整数规划法：适合于决策变量为整数的线性规划问题，通过搜索算法来寻觅最优解。
五、线性规划的应用
线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 生产计划：确定最优的生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足需求。
2. 运输问题：确定最优的运输方案，以最小化运输成本或者最大化运输效率。
线性规划的定义解析
线性规划的定义解析
线性规划是数学和计算机科学领域中的一种优化方法，用于解决线性约束条件下的最大化或最小化问题。它的应用非常广泛，包括生产计划、物流管理、金融投资、资源分配等多个领域。本文将对线性规划进行详细解析，介绍其基本概念、数学模型和求解方法。
一、基本概念
线性规划是在一定的约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值的过程。为了方便分析，我们首先引入以下几个基本概念：
1.决策变量：线性规划中需要决策的量，通常用$x_1, x_2, ...,
x_n$表示，它们代表了问题的不同方面或要求。
2.目标函数：线性规划的目标函数是一个线性表达式，用于衡量问题的目标，可以是最大化或最小化一个指标。常用的形式为$Z =
c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$。
3.约束条件：线性规划中的约束条件是一组限制性条件，限制了决策变量的取值范围。常见的约束条件形式为$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$，$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2$，...，$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \leq b_m$。
二、数学模型
线性规划问题可以通过建立数学模型来描述。其标准形式可以表示为：
最大化：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$
约束条件：
$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
标题：线性规划知识点总结
引言概述：
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。在实际应用中，线性规划被广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等方面。本文将对线性规划的基本概念、解法、应用等知识点进行总结，帮助读者更深入了解线性规划的相关内容。
一、线性规划的基本概念
1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（最小）值的变量取值。
1.2 线性规划的标准形式：线性规划的标准形式包括一个目标函数和一组线性约束条件，目标函数是要最大化或最小化的线性函数，约束条件是一组线性不等式或等式。
1.3 线性规划的解的存在性：线性规划问题存在解的条件是可行域非空，即约束条件构成的可行域至少包含一个可行解。
二、线性规划的解法
2.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一，通过不断移动顶点来搜索最优解。
2.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的另一种解法，通过构建原问题和对偶问题之间的关系，可以得到原问题的最优解。
2.3 整数规划：整数规划是线性规划的一个扩展，要求变量的取值必须是整数，通常使用分支定界法等方法求解。
三、线性规划的应用
3.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，确定生产量和资源分配，以最大化利润或降低成本。
3.2 运输优化：线性规划可以用于解决运输问题，确定最优的运输方案和运输成本，提高运输效率。
3.3 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，如人力、物资等资源的合理分配，以达到最佳利用效果。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
一、概述
线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。它的目标是在一组线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
二、基本概念
1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
三、标准形式
线性规划问题可以转化为标准形式，其标准形式如下：
最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ
约束条件：
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≥ b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≥ b₂
...
aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≥ bₙ
x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0
其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
四、线性规划的解法
1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法找到最优解。通过绘制约束条件的直线，找到可行解区域，并通过目标函数的等高线找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。它通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
线性规划
优点：简单 易行，适用 于大规模线 性规划问题
缺点：计算 量大，对初 始基的选取
敏感
内Baidu Nhomakorabea法
基本思想：通过 迭代求解，找到
最优解
步骤：
判断收敛：判断 当前点是否满足
收敛条件
优点：收敛速度 快，稳定性好
初始化：选择一 个初始点
更新最优解：如 果满足收敛条件，
更新最优解
适用范围：适用 于大规模线性规
线性规划的优缺点
优点： 缺点：
适用于解决线性 问题
计算速度快，易 于实现
结果精确，易于 解释
只能解决线性问 题，不适用于非
线性问题
计算复杂度高， 对于大规模问题
可能难以求解
结果可能不唯一， 需要进一步分析 才能得到最优解
图解法
A
图解法是一种直观、形象的求解 线性规划问题的方法。
图解法通过画图，将线性规划问
划问题
迭代求解：通过 迭代公式，更新
当前点
重复步骤b-d， 直到找到最优解
生产计划
线性规划在生产计划中 的应用
线性规划可以帮助确定 最优的生产方案
线性规划可以优化生产 成本和生产效率
线性规划可以帮助解决 生产过程中的约束问题
资源分配
线性规划在 资源分配中
的应用
线性规划的 目标函数和
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线性规划模型的描述
单位产品的生产时间（小时）
车间 1 门 1 窗 0
每周可获得的生产 时间（小时）
4
2
3
0
3
2
2
12
18
单位利润（元）
300
500
问题： • 该工厂如何安排这两种新产品的每周生产计划，才能使总 利润最大？ • 如果要增加资源，首先应该增加哪种资源？ • 这些资源出租或出售，应如何定价？ • 如果产品市场价格发生变化、产品加工工艺发生改变，原 生产方案是否需要调整？
x1+x2 +x3 +x4 +x5 +x6 =100（有钱不要留着最好不出小于号）
0.04x1+0.05x2+0.09x3+0.07x4+0.06x5+0.08x6 ≥6.5 （ 0.22x1+0.07x2+0.12x3+0.08x4+0.15x5+0.08x6 ）/1million≥12(12%) 4x1+10x2 +2x3 +10x4 +4x5 +6x6 (/1million)≥700(7%) x1、x2 、x3 、x4 、x5 、x6 ≥0
可行域无界
唯一解
无穷解
唯一解
无穷解
无解
一定无解
线性规划问题基本理论及方法
单纯形法求解步骤：
将线性规划模型转化为标准型（目标函数求极大、
约束条件为等式、决策变量大于0）； 找出初始基本可行解（即：m个约束条件中存在m个 单位列向量，组成单位矩阵）； 检验初始基本可行解是否为最优解？（若所有非基 变量的检验数σj≤0，则基本可行解为最优解）； 如果不是最优解，进行迭代，求出新的基本可行解 。（根据最小比值原则选择出基变量和进基变量）
线性规划问题建模求解实例分析
产品甲 产品乙 产品丙 工时限制 单件铸造工时（小时） 单件机加工工时（小时） 单件装配工时（小时） 自产铸件成本（元/件） 外协铸件成本（元/件） 机加工成本（元/件） 装配成本（元/件） 产品售价（元/件） 5 6 3 3 5 2 3 23 10 4 2 5 6 1 2 18 7 8 2 4 3 2 16 8000 12000 10000
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EXCEL表格模型有关的四类单元格：
• 数据单元格：单位利润（C4：D4）、 可用工时（G7：G9）、 单位消耗（C7：D9) • 可变单元格：每周产量（C12：D12） • 输出单元格：实际使用（E7：E9） • 目标单元格：总利润 （G12）
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应用EXCEL工具求解线性规划问题
应用EXCEL工具求解线性规划问题
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课堂练习2 :
某公司受人委托,准备用120万元投资A和B两中基金,其中:A基金的 单位投资额为50万元,年回报率为10%, B基金的单位投资额为100万元, 年回报率为4%.委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上 要求投资风险最小50x1 *10%+100x2*4%.minz=8x1+3x2据测定每单位A 基金的投资风险指数为8,每单位B基金的投资风险指数为3,风险指数越 大表明投资风险越大.委托人要求在基金B中的投资额不少于30万元.为 了使总的投资风险指数最小,该公司应该在基金A(x1)和B(x2)中各投资多 少单位?这时每年的回报金额是多少?
现有资源有限，如何合理安排，使以最少的人力、物力完成任务
？ 任务确定后，如何计划、安排，使在完成任务的前提下，资源消 耗最低？
可解决生产调度、合理下料、配料问题、产品配套问题、 运输问题等问题。
线性规划问题基本理论及方法
数学模型：有三个要素组成：
决策变量：一组定值代表所给问题的一个具体解决
表达式。
x=(x1,x2,x3,…,xn)
明确目标函数：写出目标函数的最大值（或最
小值）。
线性规划问题基本理论及方法
max( min ） )z
11 1
cx
1
12
22
1
c 2 x 2 ... c n
1n n 1
x
n
S.t
a x a x ... a x
21 1 2 2n
a x a x ... a x (, )b
主要内容
线性规划问题基本理论及方法
应用EXCEL工具求解线性规划问题 线性规划问题建模求解实例分析 线性规划问题的影子价格及灵敏度 分析
线性规划问题基本理论及方法
线性规划（Linear Programming）:运筹学中理论最完善、 方法最成熟、应用最广泛的一个分支。 1939年，前苏联数学家康脱洛维奇（L.V.Kantorovich)提出 ，1947年，美国数学家丹捷格（G.B.Dantring)提出线性规 划的求解方法—单纯形法。 主要研究两类问题：
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课堂练习1：
某家具制造厂生产五种不同规格的家具.
每件家具都要经过机械成型、打磨、上漆等几
个主要生产工序.每件家具的每道工序所使用
的时间及每道工序的可用时间、每种家具的利
润等数据如下表。问工厂应如何安排生产，才 能使总利润最大？
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线性规划问题建模求解实例分析
例2： 某工厂生产A、B种产品，均需经过两道工序，每生产1吨A 产品需要经过第一道工序加工2小时，第二道工序加工3小时； 每生产1吨B产品需要经过第一道工序加工3小时，第二道工序加 工4小时。可供利用的第一道工序工时为15小时；第二道工序工 时为25小时。 生产产品B的同时可产出副产品C，每生产1吨产品B，可同 时得到2吨产品C而不需要外加任何费用。副产品C一部分可以赢 利，但剩下的只能报废，报废需要有一定的费用。 出售产品A每吨能赢利400元；出售产品B每吨能赢利800元； 出售副产品C每吨能赢利300元；当剩余的产品C报废时，每吨 损失费为200元。经市场预测，在计划期内产品C的最大销售量 为5吨。 问：如何安排A、B两种产品的产量可使工厂总盈利最大？
方案。一般要求其非负。
约束条件：反映所给问题的客观限制及完成任务的
具体要求，一般表示为一组决策变量的线性等式或
不等式。
目标函数：问题所要达到的目标。一般表示为决策
变量的线性函数，取最大值或最小值。
线性规划问题基本理论及方法
建模步骤：
确定决策变量：根据决策问题，确定 找出约束条件：找出所有的限制条件，写出其
图解法求解步骤：
建立x1Ox2平面直角坐标系。 将所有约束条件的临界值（直线）标于坐
标系中，得出可行域（所有可行解的集合） 。
给目标函数赋一值，在坐标系中划出相应
直线，在可行域中移动，找出其极值方向的 交点，即为该问题的最优解。
线性规划问题基本理论及方法
解的性质:
线性规划问题的可行域都是凸多边形（可能无
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2）复制、粘贴方法： 在E7中输入：C7*$（保持不变）
C$12+D7*$D$12 复制E7单元格到E8、E9 3）公式法：
在E7中输入： =SUMPRODUCT（C7：D7，$C$12：$D$12）
复制E7单元格到E8、E9
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（3）总利润计算：
3、求解及结果
单击“求解”，开始规划求解。弹出“规划求解 结果”对话框。选择“保存规划求解结果”。
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4、电子表格显示结果： 单击“确定”，在电子表格的可变单元格、 输出单元格及目标单元格出现求解结果。
建模求解要点回顾
输入数据 标识数据 每个数据对应唯一单元格 在电子表格中显示完整模型 数据、公式分离 保持简单化 使用相对和绝对地址简化公式并复制 使用边框、底色区分单元格类型
生产工序
成型 所需时间 一 3 4 2 2.7 二 4 3 3 3 三 6 5 3 4.5 四 2 6 4 2.5 五 3 4 3 3
可用时间 （小时）
3600 3950 2800
打磨
上漆
利润（百元）
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例2：某公司有100万元资金可供投资,该公司有六个可选的投 资项目,其各种数据见下表.该公司的目标:投资风险最小,每年 红利至少6.5万元,最低平均增长率为12%,最低平均信用度为7.
投资项目
1 2 3 4
风险(%)
18 6 10 4
红利(%)
4 5 9 7
增长率(%)
22 7 12 8
信用度
4 10 2 10
5
6
12
8
6
8
15
8
4
6
应用EXCEL工具求解线性规划问题
假设： xi为每种投资项目的投资额。 建立线性规划模型如下：
MinZ=0.18x1+0.06x2+0.10x3+0.04x4+0.12x5+0.08x6
2、主要求解结果
■两种新产品每周的产量；
■两种新产品每周各实际使用的工时 （不能超过计划工时）； ■两种新产品的总利润
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3、主要结果的计算方法
（1）两种新产品的每周产量：C12、D12，试验 解为0。 （2）实际使用工时计算（三种方法） 1）分别在E7、E8、E9中输入相应的计算公 式： E7：C7*C12+D7*D12 E8：C8*C12+D8*D12 E9：C9*C12+D9*D12
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应用EXCEL工具求解线性规划问题
二、在EXCEL电 子表格中求解 线性规划问题
1、求解参数设置： “数据”——” 规划求解“，弹 出“规划求解参 数”对话框，设 置求解相关参数。
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2、约束的设置： 单击 “添加”，弹出“添加约束”， 添加约束条件。
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应用EXCEL求解线性规划问题
线性规划能 做什么？
“
线性规划模型的描述
例1：某工厂生产两种新产品：门和窗。经测算，每生 产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小时； 每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。而车 间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车 间2为12小时、车间3为18小时。已知每扇门的利润为 300元，每扇窗的利润为500元。根据市场调查得到的 这两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定 价可确保所有的新产品均能销售出去。问：该工厂如 何安排这两种新产品的生产计划，才能使总利润最大？
线性规划问题基本理论及方法
求解步骤：
找出初始基本可行解（一般选择原点）； 检验初始基本可行解是否为最优解； 如果不是，寻找新的基本可行解； 再次进行检验，直到找出最优解为止。
对于两个变量的线性规划问题，可用图解法 ；对于两个以上变量问题，采用单纯形法求 解。
线性规划问题基本理论及方法
2
n
(, ) b2
…
a x a x ... a x (, )b x , x , x ,...,x 0
m1 1 m2 2 mn n 1 2 3 n
m
线性规划问题基本理论及方法
例1：假设：每周各生产门和窗x1、x2个。 建立线性规划模型如下： Max Z=300x1+500x2 x1≤4 2x2≤12 3x1+2x2≤18 x1、x2≥0
单纯形法计算过程在单纯形表中具体实现。
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应用EXCEL求解线性规划问题步骤：
建立线性规划 数学模型 建立EXCEL 表格模型
EXCEL求解 结果分析
应用EXCEL 求解
应用EXCEL工具求解线性规划问题
一、在EXCEL电子表格中建立线性规划模型 1、把相关数据输入到EXCEL电子表格中
界）；
可行域的顶点为基本可行解，若存在最优解，
一定在顶点上达到；
如果同时在两个顶点达到最优解，该直线上任
意一点均为最优解，此时为无穷多最优解。
求解原理：从可行域中的某一顶点开始，逐一
进行比较，使目标函数最优的顶点即为最优解。
线性规划问题基本理论及方法
解的类型：
解的结果
有可行域
无可行域
可行域有界
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三、线性规划问题解的表现
EXCEL建模求解，其解的结果在“规划 求解结果”对话框中提示： 1、唯一最优解为“找到一个解”
2、无穷多最优解为“满足条件有多个解”
3、无解为“未找到可行解”
线性规划问题建模求解实例分析
（一）生产计划问题 例1：某工厂生产甲、乙、丙三种产品，都要经过铸造、 机加工(包括本场和外包的)和装配三个车间。甲、乙 两种产品的铸件可以外包协作，也可自行生产，但 产品丙必须在本厂铸造才能保证质量。数据见表。 问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品 应各生产多少件？甲、乙两种产品的铸件应由本公 司铸造和由外包协作各多少件?
在G12单元格输入公式：
=C4*C12+D4*D12
或：
=SUMPRODUCT（C4：D4，C12：D12）
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在电子表格中建立线性规划模型步骤总结
收集问题数据；
在电子表格中输入数据（数据单元格）；
确定决策变量单元格（可变单元格）； 输入约束条件左边的公式（输出单元格）使用 SUMPRODUCT函数简化输入； 输入目标函数公式（目标单元格）。使用SUMPRODUCT （乘积和）函数简化输入。