北邮矩阵论 2. 第二讲 线性子空间

V1 = {( x1 , x2 , V2 = {( x1 , x2 , V3 = {( x1 , x2 , , xn ) x1 + x2 + , xn ) x1 + x2 + + xn = 0, xi ∈ R} + xn = 1, xi ∈ R} , n − 1}
, xn−1 , 0) xi ∈ R, i = 1, 2,
, xm 还不是V 的一组基，它又是线
性无关的，那么在Vn 中必定有一个向量 xm +1不能被
x1 , x2 , x1 , x2 ,
, xm 线性表出，把它添加进去，则 , xm , xm +1 必定是线性无关的．
, xm +1 ) 是m＋1维的．
由定理， 子空间 L( x1 , x2 , 由归纳假设，L( x1 , x2 ,
故 kx + ly ∈V1
（加法封闭）
＃
n元齐次线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪ a21 x1 + a22 x2 + ⎨ ⎪a x + a x + s2 2 ⎩ s1 1
+ a1n xn = 0 + a2 n xn = 0 + a sn xn = 0
的全部解向量所成集合V对于通常的向量加法 和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间 Rn 的一个子空间，称V为方程组的解空间 方程组的解空间W的维数＝n－秩(A)， 方程组的一个基础解系就是解空间V的一组基
x + y = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) ∈ V1 + V2 kx = k ( x1 + x2 ) = kx1 + kx2 ∈ V1 + V2 , ∀k ∈ K
子空间的交满足交换率与结合率
V1 ∩ V2 = V2 ∩ V1 , (V1 ∩ V2 ) ∩ V3 = V1 ∩ (V2 ∩ V3 )
+ c1n xn + c2 n x n + csn xn
( 1,0,
,0 )
( 0,1,
,0 )
( 0,0,
,1)
得到n-s个解向量 ( γ 11 , γ 12 , , γ 1s 1,0, ,0 )
( γ s1 , γ s 2 ,
, γ ss ,0,0,
,1)
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间：
包含在V1和V2中 的最大的子空间 子空间的交与和的有关性质
1、设 V1 ,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W ⊆ V1 ,W ⊆ V2 , 则 W ⊆ V1 ∩ V2 . 2）若 V1 ⊆ W ,V2 ⊆ W , 则 V1 + V2 ⊆ W .
2、设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间，则以下三
V1 ∪ V2 = {( a, 0, 0), (0, b, 0) a, b ∈ R} = {( a, b, 0) a, b ∈ R 且a, b中至少有一是0}
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如
(1, 0, 0), (0,1, 0) ∈ V1 ∪ V2
但是 (1, 0, 0) + (0,1, 0) = (1,1, 0) ∉ V1 ∪ V2
L( x1 , x2 ,
, yt )
, yt )
= L( x1 , x2 ,
4、维数公式 （定理1.6）
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，则
dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 )
矩阵分析与应用
第二讲 线性子空间
2009-9-22
本讲主要内容
线性子空间的定义 线性子空间的性质 线性子空间的交 线性子空间的和 子空间交与和的有关性质
线性子空间
设V1是数域K上的线性空间V上一个非空子 集合，且对已有的线性运算满足以下条件： 1. 如果 x , y ∈V1 ，则 x + y ∈V1 ； 2. 如果 x ∈V1 , k ∈ K ， kx ∈V1 则称V1是V的线性子空间或子空间 线性子空间也是线性空间 非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身 以及零空间 线性子空间的维数小于等于线性空间的维数
条件等价: 1) V1 ⊆ V2 包含V1和V2中的 最小的子空间
2) V1 ∩ V2 = V1 3) V1 + V2 = V2
3、 x1 , x2 , , x s ; y1 , y2,
向量，则
, yt 为线性空间V中两组 , x s ) + L( y1 , y2,
, x s , y1 , y2,
若为Rn的子空间，求出其维数与一组基. 解：V1 、V3是Rn的子空间， V2不是Rn的子空间. 事实上，V1 是n元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以，维V1 ＝n－1，①的一个基础解系
x1 + x2 + + xn = 0
η1 = (1, −1, 0, η n−1 = (1, 0,
, 0), η 2 = (1, 0, −1, 0,
是 Cn 的子空间，称为矩阵A的值域，或列空间 矩阵的零空间（核空间）
A ∈ Cm×n的n个列向量为 a1 , a2 , , an 则 设 n N ( A ) = { x | Ax = 0, x ∈ C } 是 Cn 的子空间，称为矩阵A的零空间，其维 数为A的零度，记为 n( A )
⎡1 0 1⎤ 已知 A = ⎢ ⎥ 求A的秩和零度 ⎣0 1 1⎦ 显然A的秩为2，即 rankA = 2 又由 Ax = 0 ，可以解得 T 可以得到 x = (1 1 −1) t n ( A ) = 1
,n
L ( x1 , x2 ,
, xn 生成(或张成)的子空间,记为
如果 x1 , x2 , 则 x1 , x2 ,
, xm
m < n 是线性无关组，
, xm 是生成的子空间的基
零子空间就是零元素生成的子空间
例：设V为数域K上的线性空间， x1 , x2 ,
, xm ∈ V
V1 = {k1 x1 + k2 x2 +
同样可以得到
rankA = 2,
T
n(A
T
)=0
若 A ∈ R m×n ，有
rankA + n ( A ) = n n ( A ) − n ( A
T
)= n−m
定理： 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 ∩ V2 = { a | a ∈ V1 且a ∈ V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间. 事实上， ∵ 0 ∈ V1 , 0 ∈ V2 , ∴ 0 ∈ V1 ∩ V2 ≠ ∅ 任取 x , y ∈ V1 ∩ V2 , 即 x , y ∈ V1 , 且x , y ∈ V2 , 则有 x + y ∈ V1 , x + y ∈ V2 , ∴ x + y ∈ V1 ∩ V2 同时有 kx ∈ V1 , kx ∈ V2 , ∴ kx ∈ V1 ∩ V2 , ∀k ∈ K 故 V1 ∩ V2 为V的子空间.
∀x, y ∈V1 , ∀k , l ∈ K 有 ∃kx + ly ∈V1
充分性:设 k=l=1，∀x , y ∈V1 ⇒ x + y ∈V1 取l=0， x ∈V1 , ∀k ∈ K ⇒ kx ∈V1 ∀ 必要性: ∀x ∈V1 , ∀k ∈ K ⇒ kx ∈V1 （数乘封闭）
∀y ∈V1 , ∀l ∈ K ⇒ ly ∈V1 （数乘封闭）
线性子空间V1也是线性空间 证明：必要性由定义直接得出
充分性：各运算律已在V中定义，我们只需证明
∃0 ∈V1 ∀x ∈ V1 , ∃ − x ∈ V1 实际上， 0 = 0i x ∈ V1
∀x ∈ V1 , −1 ∈ K
− x = ( −1) x ∈V1
所以线性子空间V1也是线性空间
V1是数域K上的线性空间V上一个非空子空间
ε i = (0,
, 0,1, 0
i
, 0), i = 1, 2,
,n−1
就是V3的一组基.
设 x1 , x2 , , xn 是数域K上的线性空间V的 一组向量，所有可能的线性组合的集合
V1 = {k1 x1 +
称为由 x1 , x2 ,
+ kn xn } ki ∈ K , i = 1, 2, , xn ) = {k1 x1 + + k n xn }
+ xn ) + ( y1 + y2 +
+ yn ) = 1 + 1 = 2
∴ x + y ∉ V2 ,
故V2不是Rn的子空间.
下证V3是Rn的子空间.
首先 0 = (0, 0, , 0) ∈ V3 , ∴V3 ≠ ∅
其次，∀ x , y ∈ V 3 , ∀ k ∈ K , 设 x = ( x1 , x 2 ,
子空间的和满足交换率与结合率
V1 + V2 = V2 + V1 ,
(V1 + V2 ) + V3 = V1 + (V2 + V3 )
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 = {( a, 0, 0) a ∈ R}, V2 = {(0, b, 0) b ∈ R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集
+ km xm ki ∈ P , i = 1,2,
, m}
则V1关于V的运算作成V的一个子空间． 证： ∀x ∈ V1 ⇒ x = k1 x1 + k2 x2 +
+ km xm