(完整word版)二次根式,分母有理化
专题六 最简二次根式及分母有理化
专题六 最简二次根式及分母有理化1、二次根式的重要性质 ：注1：式子中a a =2中的a 可以取任意实数，同时注意与a a =2)(的区别。
注2：中a 既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解的多项式，等等，总之它是一个整体概念。
2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式成为同类二次根式4、分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
5、有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
6、熟记一些常见的有理化因式：a 的有理化因式是a ；b n a +的有理化因式是b n a -；的有理化因式是b a -；b n a m +的有理化因式是b n a m -；33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。
例1、填空题1、当 _________时，；2、当 时，，当 时， ；3、若a a -=-1)1(2，则 ________；4、 当 时，=2)2(a a ；5、当a +2<0时，442++a a 的化简结果是 ；6、238nm 化为最简二次根式是 ；例2、选择题（1）如果x x =-2成立，那么（ ）（A ）x =0 （B ）x <0 （C ）x ≥0 （D ）x ≤0 （2） 下列各式中正确的是（ ） （A ）112-=-a a （B ）baab b = （C ）b a b a +=+2)( （D ）24a a =（3）下列各组中，是同类二次根式的是（ ）（A ）2与6 （B 3与9 （C ）2与8 （D ）3与6 例3、（1）化简232a （ ） （2）若1≤a ≤2，化简2122-++-a a a（3）化简1216822+--++x x x x （4-<x <1）例4、将下列各式分母有理化。
二次根式专项训练-最简多项式分母有理化
二次根式专项训练-最简多项式分母有理
化
背景信息：
在数学中，根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负数。
而二次根式是指根式中指数为2的情况，即a的平方根。
目标：
本文档旨在提供关于最简多项式分母有理化的二次根式专项训练。
有理化定义：
有理化是指将根式的分母进行有理数化的过程，其中有理数是可以表示为p/q的形式，其中p和q都是整数，且q不为零。
最简多项式分母有理化：
最简多项式分母有理化是指将二次根式的分母进行化简为最简的多项式。
步骤：
1. 确定二次根式的分母。
2. 判断分母是否含有二次根式。
3. 若分母含有二次根式，应考虑将其有理化为最简的多项式。
4. 根据有理化公式，进行分母的有理化操作。
5. 化简得到最简的多项式分母。
范例：
假设有以下二次根式：√a / (√b + √c)，其中a、b、c为非负数。
步骤：
1. 分母为√b + √c。
2. 分母含有二次根式。
3. 将分母进行有理化操作。
4. 根据有理化公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2，可以得到√b + √c
的有理化形式为(b - c) / (√b + √c)。
5. 化简得到最简的多项式形式分母为：b - c。
总结：
通过本文档的二次根式专项训练，你将了解到最简多项式分母有理化的步骤和方法。
掌握这些技巧可以帮助你在解决数学问题中更加便捷地处理二次根式。
备注：
本文档的信息仅供参考，具体操作仍需要以教材或相关资料为准。
二次根式的分母有理化课件
分母有理化的概念
通过有限的步骤将二次根式的分母转换为有理数，使得计算更简便。能够简 化二次根式的运算和推导过程。
分母有理化的步骤和方法
1
步骤一：找到不含开方的因式
将分母中的二次根式化简为不含开方的因式，如将√3转化为2√3/3。
2
步骤二：用适当的有理数乘以分母
将分母的每一项与适当的有理数相乘，使得分母中的二次根式消失，母的某些项
解决方法：仔细检查，确保每一项都被正确有 理化。
错误：未合并同类项
解决方法：整理分母，合并同类项，确保化简 后的分母正确。
错误：错误地进行有理化操作
解决方法：复查步骤，并进行适当的修正。
错误：计算错误
解决方法：仔细计算，避免粗心导致错误。
分母有理化的应用场景
1 高等数学
有理化分母是解决高等数 学中复杂方程和公式的关 键步骤。
2 物理学
在物理学中，有理化分母 的技巧可以简化力学和电 磁学等领域的计算。
3 工程学
在工程学中，有理化分母 的方法能够简化工程设计 和分析中的复杂计算。
分母有理化的练习题和解析
通过一系列练习题和解析，巩固对分母有理化的理解和应用。
结论和要点
分母有理化是解决二次根式运算和推导等问题的重要技巧，在高等数学和相 关学科中有广泛应用。
3
步骤三：化简分母
整理分母中的项，使得每个项都是有理数，如合并同类项。
分母有理化的实例演示
Example 1
有理化分母的步骤在解决二次方 程中起到关键作用。
Example 2
在将分数进行运算时，有理化分 母可以简化计算过程。
Example 3
在数学课堂中，有理化分母是一 个常见的考点。
二次根式基本运算根式加减分母有理化讲义
学习必备欢迎下载二次根式基本运算、分母有理化内容基本要求 略高要求 较高要求二次根式的 化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式、W （。
> 0 ）中的a 称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.二次根式的乘法法则：a a - 口 =x 嬴（a > 0 ， b > 0 ）二次根式的除法法则：f 二利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围，对于abb = 'Ji •、J 如 1：'（一7） • （—5）中 \：（—7） • \；（-5） 一、二次根式的加减1 .同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 合并同类二次根式：a--x + b<x = （a + b ）%：'x .同类二次根式才可加减合并.【例1】若最简二次根式怎二5与V 0T 3是可以合并的二次根式，则a =—。
【例2】下列二次根式中，与、应是可以合并的是（）学习必备 欢迎下载b 都非负，否则不成立， A . 21a B . v 3a 2 C . a a 3 置要求【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式:【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数） 淳・,友…i° ； 2、而；^；史.【例4】若最简二次根式a +b 石Tb 与a7~2bb 是同类根式，求—a 2b 的值.【巩固】若a ,b 为非负数，a +b 4b 与石二b 是可以合并的二次根式，则a ,b 的值是（ ）A . a = 0, b = 2B . a = 1, b = 1C . a = 0, b = 2 或a = 1, b = 1D . a = 2, b【例5】已知最简根式a 、,：.五万与a -b 7是同类二次根式，则满足条件的a , b 的值（ ）A .不存在B .有一组C .有二组D .多于二组【巩固】若a 4与最简二次根式瓜K 为同类二次根式，其中a , b 为整数，则a =, b 二【例6】 方程、X +。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
二次根式 的性质4-分母有理化
成果应用
例1.化去下列各式分母中的根号
1 1
23 1 3
2 3 3 3
6
4 3 2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
52 6
2 5
4 12 5
83
15 24
5 3
3 2
3 3 2
3
23
2
3 3 6 7
3 31 6 77
3 1
3 2
3
3
2
2 3
2
3 2
6 3 2
2 33 2
3 22 33 2 2 33 22 33 2
12 5 6 6
2 5 6 6
分母有理化
将分母中的根号化去，叫作分母有理化.
分母有理化
1 2 =
5 1
2 5 =
7 2
解：1 2 = 5 1
2 51
2
= 51 5 1
5 1 4
=
5 1 2
= 51 22
解：2 5 = 7 2
5 7 2 7 2 7 2
5 7 2 =
1
1
1
+
+
+
1
21 3 2 2 3 52 6 5
2 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 1 5 3 7 5 3 7 11 3
解：1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
21 3 2 2 3 52 6 5
= 2 1+ 3 2+2 3+ 5 2+ 6 5
= 6 1
2 1 +
1
+
1
二次根式,分母有理化(可编辑修改word版)
上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日课题1:二次根式分母分子有理化课时 2 第 1 课时（本章总课时：11）课型新授学习目标1.理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2.能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的元一次方程和一元一次不等式.3.在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。
一（涵盖教学目标的三个维度）教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学过程教师活动学生活动教学设计说明一、复习引入新课回顾如何将1分母有理化x二、典例讲解、巩固练习一、解答题(共15 道，每道8 分)1.已知a<0，化简—答案：解：原式==∵∴ 从而求得：又∵a<0, ∴a=-1.解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a 的值，代入求解易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算2.若，求答案：解：∴∵0<a<1∴∴从而解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,从而再开方求出结果易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号试题难度：三颗星知识点：完全平方公式3.化简：（1）（2）答案：（1）原式= ===（2）原式=====解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算4.答案：解：原式===3-1 =2解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性试题难度：三颗星知识点：完全平方公式5. 若a、b 为有理数，且满足等式，求a+b 的值答案：解：∵∴等式右边= 对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a 和b 的值，从而求出a+b 的值易错点：完全平方公式试题难度：五颗星知识点：实数的综合运算6. 化简：(1) (2)答案：解：（1）原式=| |—==(2)原式==解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式试题难度：二颗星知识点：实数的综合运算7.若，求的值答案：解：===|a|-|b|其中，∴原式==2解题思路：先化简，在求值易错点：分母有理化试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算8.若，求的值答案：解：对等号左端分子有理化：=由得：已知:从而解出：∴a=5 代入原式得：解题思路：根据已知条件的特点，想到用分子有理化，进而解一个方程组得出 a 的值，从而代入要求解的式子里，用完全平方式得出结果易错点：分子有理化 试题难度：五颗星知识点：完全平方公式9.答案：=解题思路：化简求值，注意观察特点易错点：平方差公式 试题难度：二颗星知识点：平方差公式10. 已知，求 x2y2，答案：解：从而==解题思路：利用分母有理化和完全平方式求解易错点：分母有理化，完全平方公式试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算11. 若,则ab 的值为？答案：解：=解题思路：观察到 b 可以分解为两个因式乘积，从而可以进行约分易错点：因式分解试题难度：二颗星 知识点：因式分解--提取公因式 12. 比较大小：（1）设，则a 、b 、c 之间的大小关系是？（2）（2011 上海）如果 a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. a ＋c ＞b ＋c B. c －a ＞c －bC. ac ＞bcD. （3）通过估算比较与 1.5 的大小（4）比较与 2.9 的大小答案：解：（1）由,得：a<b<c （2）不妨取 a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A为正确选项（3），其中由于，所以（4）∵29>24.389，∴解题思路：不同类型的数比较大小，要根据其特点选择不同的方法， 第一题可以看到两根号下的数相加和相同，这个时候要想到用同时 n 次方，这里是同时平方； 第二道题是选择题，不需要书写步骤， 用特殊值代入更为简便，还可以保证正确率 第三道题利用形似 法，第四道题利用的同时 n 次方。
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
二次根式中分母有理化
二次根式中分母有理化1. 什么是二次根式有理化？嘿，大家好！今天我们来聊聊二次根式中分母有理化的事儿。
这听上去有点复杂，但别担心，我们一步一步来，就像做菜一样，慢慢加料，搞定它！1.1 二次根式的基本概念二次根式，其实就是根号下有数字的那种，比如说√2、√5。
这些根号有个特点，就是它们的分母一般不会是个特别整齐的数。
你会发现，如果分母里也有根号，那就需要动点手脚，让它看起来更简洁。
1.2 为什么要有理化？有理化的意思是，把根号从分母里“赶”出来，这样分母就不再有根号了。
这样做有啥好处呢？首先，这样的表达更规范，数学里经常要求我们用这种方式来写答案。
其次，这让计算变得更简单，不容易出错。
2. 怎么做分母有理化？好啦，接下来我们就要实际操作了，跟着我一起来看看吧！2.1 单根号分母的有理化假设我们有一个分数，像是1/√2。
看着有点让人头疼对吧？但其实处理起来很简单。
我们要做的就是乘上一个合适的数，让分母里的根号“消失”。
在这个例子里，我们可以把分数的分子和分母都乘上√2。
这样：[ frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} ]。
为什么这么做呢？因为分母√2 × √2 就变成了 2，根号就“消失”了，整个分数就变得清爽多了。
2.2 两个根号相乘的分母有理化有时候分母里会有两个根号相乘，比如1/√(2√3)。
这时，我们就得先把根号化简一下，然后再用类似的方法处理。
首先，化简一下根号。
√(2√3) 可以写成√2 × √√3。
然后，我们要让分母变得整齐。
先把1/√2 和1/√√3 分开来处理。
对了，先处理第一个根号：[ frac{1}{sqrt{2}} ]。
我们已经知道处理方法啦，就是乘上√2/√2：[ frac{sqrt{2}}{2} ]。
接下来，对付第二个根号，我们先化简成1/√3。
用相同的法子，乘上√3/√3：[ frac{sqrt{3}}{3} ]。
二次根式分母有理化
二次根式分母有理化就是初中代数的重要内容,也就是同学们的难点,本文介绍几种有理化方法。
供同学们学习时参考。
一、常规基本法
例1、化简
解:原式
评注:这就是最基本最常用的方法,解法的关键就是准确判断分母的有理化因式。
二、分解约简法
例2、化简
解:原式
评注:分母提取“公因式”后可直接约分,避免分母有理化,从而简化运算。
例3、化简
解:原式
评注:由于的有理化因式可能为零,所以不能将分子分母同乘以
;若分两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征,故改用“分解因式”约简的方法,达到分母有理化而又避免讨论。
例4、化简
解:
评注:注意到7可分拆为4+3,与可配成,从而与分母约分而获得巧解,避繁就简。
例5、化简、
解:原式
评注:把1转化为,再用平方差公式“因式分解”即能约分。
三、巧用通分法
例6、化简
解:原式
评注:注意到本题两“项”互为倒数,且分母互为有理化因式的结构特征,故采用直接通分,同时又达到了分母有理化的效果,使化简更为简捷。
四、裂项约简法
例7、化简
解:原式
评注:裂项就是本题的关键,做题时要善于观察、分析,找到解题最佳途径。
例8、化简
解:将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。
故原式
评注:本题解法中,先计算原式的倒数,明显方便多了。
五、等比性质法
例9、化简
解:
评注:若用常规方法,分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错,注意到本题的结构特征,可用等比性质巧解。
二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义
二次根式基本运算、分母有理化中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根化简和运算式的混合运算（不要求分母有理化）例题精讲板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴ 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶ 分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则： a bab （ a 0 ， b 0 ）二次根式的除法法则： a a（ a 0 ，b 0 ）b b利用这两个法则时注意a 、 b 的取值范围，对于aba b ， a 、 b 都非负，否则不成立，如 (7)(5)(7) ( 5)一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并．【例 1】若最简二次根式3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ 。
【例 2】下列二次根式中，与 a 是可以合并的是（）A ．2a B．3a 2C．a3D． a 4【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴2x3 y和 2x3 yz ⑵2b和aa 2b⑶27 x和 3xy ⑷ 4 a3 b2 和 a2 b34 y85 5【例 3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）127 ；48 ；20；1125；1y； y x ．5 2 x x y【例 4】若最简二次根式 a b 2a b与 a 2b 是同类根式，求a2b的值．【巩固】若 a ，b 为非负数， a b 4b 与3a b 是可以合并的二次根式，则 a ，b 的值是（）A ． a 0 ，b 2 B． a 1，b 1 C． a 0，b 2 或 a 1，b 1 D． a 2 ，b 0【例 5】已知最简根式 a2a b与a b 7 是同类二次根式，则满足条件的a ,b 的值（）A ．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a b4与最简二次根式3a b 为同类二次根式，其中a，b为整数，则a ______，b________；b【例 6】方程x y 1998 的整数解有组 .【巩固】在 1 ， 2 ， 3 ，⋯，1999 这 1999 个式子中，与2000 是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例 7】化简：a26a 9a210a 25【例 8】计算：48 1 2 17527 81 1【巩固】 (3 0.5 4 1.5)( 0.24 4 )2 2【例 9】3x y y x x3 yxy3x y【例 10】计算： 5 2 8 7 18【巩固】计算：1 1 2 12315348 3 3【巩固】计算：2 1 240.5 2 63 8【例 11】计算：8 2 0.251150 2 728 31 1【巩固】(27) (12 45)3 5【例 12】先化简后求值。
二次根式的化简及计算精编WORD版
二次根式的化简及计算精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】二次根式的化简及计算一、学习准备：1、平方根：如果 x2 = a，那么x叫做a的平方根。
若0a≥, 则a的平方根记为．2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
若0a≥, 则a的算术平方根记为_____．3100的_______，结果为_______．②表示4964的_______，结果为_____．③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________．__________，__________．二、阅读理解4、二次根式的概念：”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。
在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。
5、积的算术平方根= = . =× = ，所以一般地a b = (0,0)a b ≥≥（注意：公式中,a b 必须都是非负数）积的算术平方根，等于 ．=例1、化简:（1 （2 （3 （4）0,0)a b ≥≥即时练习：计算（1 （2（3（4）6、二次根式的乘法=(0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥≥．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。
例2、计算 （1 （2）即时练习：计算（1（2 （3）(-7、商的算术平方根== ，23= == (0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于 。
化简（1 （2（3即时练习：化简（1 （2（3课堂检测1、计算:（1 （2 （3（42、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c.（1）如果6,9,a b c ==求； （2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求3、计算：（1 （2）（3 （44、化简（1 （2（38．根式分母有理化例1：把下列各式化为最简二次根式（1（2（3）即时练习：把下列和各式化为最简二次根式（1（2（3（4）x（2例2、把下列各式分母有理化:（1（3（2即时练习：把下列各式分母有理化课堂检测1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由（1（2（3）32、把下列各式化为最简二次根式（1）（2）（3（4（23、把下列各式分母有理化:（19.同类二次根式概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。
二次根式分母有理化
二次根式分母有理化二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。
供同学们学习时参考。
一.常规基本法2例1.化简務评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。
二.分解约简法评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。
例3.化简解：原式原式解:菽-4 ；若分zy 与"丿两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征，故改 用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。
例4.化简4 + 4^/3 + (J5)3 _ (2 4历『_ 2 + 疗 2 +祈■ =避繁就简。
例5.化简解：原式（希+局弟-屈=石+乔三. 巧用通分法 例6.化简（-+1 —亠/^）斗（｛兀+1 解：原式 （“/忙 +1 + 兀+1 —评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通 分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。
=寓-评注：由于 可能为零，所以不能将分子分母同乘以解: 原式二评注：注意到7可分拆为4+3,与 ，从而与分母约分而获得巧解,评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。
的有理化因式四.裂项约简法点+ 2厉-击例7.化简］占+1 175-77 73 + 75_2 —2■ F评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
（需+厉）（历- &）例8.化简羽+ 2韻-肃解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。
评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。
五•等比性质法例9.化简朋一用••邑11=^5解: ・述-5^3评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式：■ I ■ ::则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。
二次根式的化简：分母有理化
a b 2、a b的有理化因式为 _____________ ；
an b 3、a n b的有理化因式为 _____________ ； a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ；
m a n b ； 5、m a n b的有理化因式为 _____________
课堂训练：《天府前沿p37第10题》
1 、分母有理化
2、有理化因式
（1）各种典型的有理化因式；
（2）化简分母较复杂的二次根式
课后作业：
1、完成起航二次根式第四课时；
2、预习二次根式加减运算。
1 1 例3、已知：x , 则x 的值等于多少？ x 5 2
1 1 变式、已知： x ,y 求值： 10 3 10 3
(1) x y xy
2
2
(2) x xy y
2
2
1 1 1 1 例4、化简 1 2 2 3 32 99 100
1 1 1 变式： ( ) ( 2009 1) 2 1 3 2 2009 2008
找出下列各式的有理化因式
(1) a b (4)5 2 (6)3 2 6
2
(2) 12
(3) 5 2
ห้องสมุดไป่ตู้
(5) 7 10 (7)2 3 8 11
2
(8)a x a ( x a)
有理化因式确定方法如下：
例2、将下列各式分母有理化：
2 (1) 6
2
1 (2) 12
10 (3) 2 5
有根号呢？
温馨提示：联想平方差公式
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次 根式互为有理化因式
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上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案
年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日
课题1:二次根式分母分子有理化课时2 第1课时
（本章总课时：11）
课型新授
学习目标（涵盖教学目标的三个维度）1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化
2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式.
3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。
教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学过程教师活动学生活动教学设
计说明
一、复习
引入新课回顾如何将
x
1分母有理化
二、典例讲解、
巩固练习一、解答题(共15道，每道8分)
1.已知a<0，化简—
答案：解：原式=
=
∵∴从而
求得：又∵a<0, ∴a=-1.
解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a的值，代入求解
易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式
试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算
2.若，求
答案：解：∴
∵0<a<1∴∴
从而
解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,
从而再开方求出结果
易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
3.化简：（1）（2）
答案：（1）原式
===
=
（2）原式
====
=
解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方
易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式
试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算
4.
答案：解：原式
=
=
=3-1 =2
解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果
易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
5. 若a、b为有理数，且满足等式
，求a+b的值
答案：解：∵
∴等式右边=对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4
解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a和b的值，从而求出a+b的值
易错点：完全平方公式
试题难度：五颗星知识点：实数的综合运算
6. 化简：(1)
(2)
答案：解：（1）原式
=||—==
(2)原式==
解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解
易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式试题难度：二颗星知识点：实数的综合运算
7. 若，求的值
答案：解：
===|a|-|b |其中，∴原式
==2
解题思路：先化简，在求值
易错点：分母有理化
试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算
8.若，求的值
答案：解：对等号左端分子有理化：
=由
得：已
知:从而解出：
∴a=5代入原式得：
解题思路：根据已知条件的特点，想到用分子有理化，进而解一个方程组得出a的值，从而代入要求解的式子里，用完全平方式得出结果
易错点：分子有理化
试题难度：五颗星知识点：完全平方公式
9.
答案：
=
解题思路：化简求值，注意观察特点
易错点：平方差公式
试题难度：二颗星知识点：平方差公式
10. 已知，求x2y2，
答案：解：
从而
=
=
解题思路：利用分母有理化和完全平方式求解
易错点：分母有理化，完全平方公式
试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算
11.若,则ab的值为？
答案：解：
=
解题思路：观察到b可以分解为两个因式乘积，从而可以进行约分易错点：因式分解
试题难度：二颗星知识点：因式分解--提取公因式
12. 比较大小：（1）设
，则
a、b、c之间的大小关系是？（2）（2011上海）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A. a＋c＞b＋c B. c－a＞c
－bC. ac＞bc D. （3）通过估算比较
与1.5的大小（4）比较与2.9的大小
答案：解：（1）
由
,得：a<b<c（2）不妨取a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A为正确选项（3），其中由于，所以
（4）
∵29>24.389，∴
解题思路：不同类型的数比较大小，要根据其特点选择不同的方法，第一题可以看到两根号下的数相加和相同，这个时候要想到用同时n次方，这里是同时平方；第二道题是选择题，不需要书写步骤，用特殊值代入更为简便，还可以保证正确率第三道题利用形似法，第四道题利用的同时n次方。
易错点：比较大小方法的选择
试题难度：四颗星知识点：实数大小比较
13. 已知整数x、y满足，那么整数对（x，y）
的个数是？
答案：解：移项：等式两边同时平方：
系数化为1：这
里有题意可知，x，y均为整数，要想使y为正整数，那么x因数
里必含有2和另外一个平方数，x可以取2，8，18，32，50逐个
代入验证：当x=2时，y=8满足题意，当x=18时，y=2满足题意，
当x=50时，y=0满足题意，从而整数对（x，y）有三个
解题思路：将y分离出来，放在等式左边，对x进行讨论，可以达
到事半功倍的效果
易错点：分离y，对x进行讨论
试题难度：五颗星知识点：平方根
14. 已知与的小数部分分别是a和b，求
的值
答案：∵，∴的整数部分为12，的
小数部分为，的整数部分为
5，的小数部分为；∴
解题思路：先对进行估值，然后求出和的
整数部分和小数部分，从而求出（a+3）（b-4）的值
易错点：和的小数部分表示
试题难度：四颗星知识点：实数的性质
四、课堂
小结与
评价
二次根式分母分子有理化常用的解题方法。