(完整word版)二次根式,分母有理化

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第16章二次根式专题复习--分母有理化专题(共18张ppt)

x y 的有理化因式是 x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
展示方式：学生起立回答，要求说清楚过程，其余同学直接站起来补充（自学+展示2+2min）
指出下列各式的有理化因式
(1) 2 3
(1) 2 3
(2)2 3 (3) a 1 (4) x2 1 (5) 27
22 5
0.1;
算 2 2 9x 6 x 2x 1;
3
4
x
3 3 x 2x .
32
程序设计：自学、合学+展示（4+4min）
展示方式：每组派学生代表演板，要写清楚过程，
其余同学直接站起来纠错，小组内组长负责纠错
拓展探索
怎样计算下式？观察所得的积是否含有二次根式？
x y x y x y
自学探究化简 1 8
2a
（2） 2 a2b 3
在二次根式的运算中，最后结果一定要求分母中不含有二次根式.
把分母中的根号化去,使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有理化。
展示方式：学生起立回答，要求说清楚过程，其余同学直接站起来补充（自学+展示2+2min）
知识应用
计 1 3 40
每周习惯：调整自我，适应课堂。每日一言：勇于展示，走向成功。课前准备：课本、练习本、双色笔

二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义

二次根式基本运算、分母有理化

中考要求

内容基本要求

略高要求

较高要求

二次根式的

理解二次根式的加、减、乘、除运算法则

会进行二次根式的化简，会进行二次根

化简和运算

式的混合运算（不要求分母有理化）

例题精讲

板块一二次根式的乘除

最简二次根式：二次根式

a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：

⑴ 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶ 分母中不含二次根式

二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．

二次根式的乘法法则： a bab （ a 0 ， b 0 ）

二次根式的除法法则

： a

（ a 0 ， b

0 ）

利用这两个法则时注意

a 、

b 的取值范围，对于

a b ， a 、 b 都非负，否则不成立，

如 (7)(5)( 7) ( 5)

一、二次根式的加减 1.同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：

a x

b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并．

【例 1】若最简二次根式 3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ 。

【例 2】下列二次根式中，与

a 是可以合并的是（

） A ． 2a

B ． 3a 2

C ． a 3

D ．

a 4

【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：

⑴ 2x 3 y 和 2x 3 yz

⑵

2b 和 a

a 2b

⑶

27 x 和 3xy ⑷ 4 a

b 2

和

二次根式计算——分母有理化(可编辑修改word版)

1 48 1 1

2 12

2 2 -1 5 + 3

5 - 3

3 3

3 2 - 2 3

1、把下列各式分母有理化

知识点四：二次根式计算——分母有理化

-4 3 （1）（2）

3 7 （3）（4）-

1 3

5 50

2、把下列各式分母有理化

2x 2

（1）（2）（3）x （4）-

8x3 y a -b

3、把下列各式分母有理化：

（1）（2）（3）（1）

a -b(a ≠b)

4、已知x = ，y =

x +y

，求下列各式的值：（1）（2）x

x -y

2- 3xy +y2

a2 b5

b2 a5

a +b

2 -

3 2 + 3 2 + 3 2 - 3

二次根式分母有理化

二次根式分母有理化是初中代数的重要内容,也是同学们的难点,本文介绍几种有理化方法。供同学们学习时参考。

一。常规基本法

例1。化简

解：原式

评注:这是最基本最常用的方法,解法的关键是准确判断分母的有理化因式。

二. 分解约简法

例2. 化简

解：原式

评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。

例3。化简

解：原式

评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以

；若分两种情况讨论又比较繁琐。注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论.

例4。化简

解：

评注:注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简.

例5。化简.

解：原式

评注：把1转化为,再用平方差公式“因式分解"即能约分。

三. 巧用通分法

例6. 化简

解：原式

评注：注意到本题两“项"互为倒数,且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。

四。裂项约简法

例7. 化简

解:原式

评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。

例8. 化简

解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。

故原式

评注:本题解法中，先计算原式的倒数,明显方便多了.

五. 等比性质法

例9。化简

解：

评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错,注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解

二次根式,分母有理化(可编辑修改word版)

上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案

年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日

课题1:二次根式分母分子有理化课时 2 第 1 课时

（本章总课时：11）

课型新授

学习目标1.理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化

2.能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的

元一次方程和一元一次不等式.

3.在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。

一

（涵盖教学

目标的三个

维度）

教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。

教学过程教师活动学生活动教学设

计说明

一、复习

引入新课回顾如何将

分母有理化

二、典例讲解、

巩固练习一、解答题(共15 道，每道8 分)

1.已知a<0，化简—

答案：解：原式=

∵∴ 从而

求得：又∵a<0, ∴a=-1.

解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a 的值，代入求解

易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式

试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算

2.若，求

答案：解：∴

∵0

从而

解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,从

而再开方求出结果

易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号

试题难度：三颗星知识点：完全平方公式

3.化简：（1）（2）

答案：（1）原式= =

（2）原式===

解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方

易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式

试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算

二次根式分母有理化

二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。供同学们学习时参考。

一. 常规基本法

例1. 化简

解：原式

评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。

二. 分解约简法

例2. 化简

解：原式

评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。

例3. 化简

解：原式

评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以

；若分两种情况讨论又比较繁琐。注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。

例4. 化简

解：

评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。

例5. 化简.

解：原式

评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。

三. 巧用通分法

例6. 化简

解：原式

评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。

四. 裂项约简法

例7. 化简

解：原式

评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。

例8. 化简

解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。

故原式

评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。

五. 等比性质法

例9. 化简

解：

评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解

[数学]-专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原版)

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）

第一部分典例精析+变式训练

类型一分母有理化

技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•曲阳县期末）把

√3a √12ab 化去分母中的根号后得（） A ．4b

B ．2√b

C ．12√b

D ．√b 2b 变式训练

1．（2022春•东莞市期中）化简：

√8= ． 2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a 化成最简二次根式，结果是．技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母

典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．

例如：化简

√2+1．解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．

上述化简的过程，就是进行分母有理化．

【问题解决】

（1）化简2−√3的结果为：；

（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n 进行分母有理化的结果为：；（3）若有理数a ，b 满足

√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．

变式训练 1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．

2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝．

技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简

典例3 化简：

3332

变式训练：

1.化简： 222

4(2)2

4x x x x x

分母有理化及最简二次根式

实例解析
例如，将分式$frac{1}{sqrt{2}}$有理化，可以乘以$sqrt{2}$，得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
又如，将分式$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}}$有理化，可以分子分母同乘以$sqrt{2}$，得到$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{6}}{2}$。
进阶练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{7}}{sqrt{7} - sqrt{7}}$。
解析
同样将分子分母同乘以$sqrt{7} + sqrt{7}$，得到$frac{sqrt{7} times (sqrt{7} + sqrt{7})}{(sqrt{7} - sqrt{7}) times (sqrt{7} + sqrt{7})} = frac{7 + 7}{0} = frac{-14}{infty} = 0$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法

二次根式专项训练-最简有理数分母有理化

二次根式专项训练-最简有理数分母有理

化

二次根式专项训练 - 最简有理数分母有理化

概述

本文档旨在提供一个专项训练，帮助学生掌握最简有理数分母

有理化的技巧。最简有理数分母有理化是解决二次根式中分母中包

含根号的问题，使其变为有理数的过程。

问题描述

下面是一系列的问题，每个问题都涉及到最简有理数分母有理化。请仔细阅读问题，并给出解答。

1. 分解下列各式中的因式：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$。

2. 将分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化。

3. 将分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$进行分母有理化。

4. 将分数$\frac{4}{\sqrt{5}}$进行分母有理化。

解答

1. $\sqrt{2}$的因式分解为$\sqrt{2}$本身。

$\sqrt{3}$的因式分解为$\sqrt{3}$本身。

$\sqrt{5}$的因式分解为$\sqrt{5}$本身。

2. 分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分母有理化过程如下：

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$的分母有理化过程如下：

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot

二次根式分母有理化的方法与步骤

二次根式分母有理化的方法与步骤如下：

1. 将分母中的二次根式化简为最简形式。

2. 找到分母中二次根式的共轭复数，即将分母中二次根式的符号改为相反数。

3. 分母中二次根式的共轭复数作为分子，分母中二次根式的实部平方减去虚部平方作为新的分母。

4. 将分式化简至最简形式。

二次根式的分母有理化

二次根式的分母有理化导学目标：1.理解有理化因式的概念。

2.掌握二次根式分母有理化的方法。一、课堂预习：

1、填空（1）

（2）

=2)2(=-+)32)(32(（3）（4） =2)3(=-+)12)(12(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的乘积 ___________，我们就说这两个代数式。例如互为有理，与551212-+与化因式。

二、预习检测：1、请写出下列各式的有理化因式

232332827２＋33

22-2、本节重点：（１）化简一个式子时，如果分母是二次根式，采用分子，分母同乘以分母有理化因式的方法，例如3

333

232

应该怎样化简呢？由前面的我们已经知道的有

理化因式是2

2321

32)3(23

2)32)(32()

32(122-=-=--=-+-⨯可以使分母不含二次根式，从而达到分母有理化，将式

子化简。

三、当堂导学：

例1．把下列各式分母有理化

（１）（２）（３）（4）221323-211-3

23-例2、计算：（1）（2）121

2--1

3+--四、当堂检测：1、将下列各数的分母有理化

（1）（2）（3） (4)

(5)

238

31-251-2

2、计算：323

2131-+-+

二次根式分母有理化

二次根式分母有理化就是初中代数的重要内容,也就是同学们的难点,本文介绍几种有理化方法。供同学们学习时参考。

一、常规基本法

例1、化简

解:原式

评注:这就是最基本最常用的方法,解法的关键就是准确判断分母的有理化因式。

二、分解约简法

例2、化简

解:原式

评注:分母提取“公因式”后可直接约分,避免分母有理化,从而简化运算。

例3、化简

解:原式

评注:由于的有理化因式可能为零,所以不能将分子分母同乘以

;若分两种情况讨论又比较繁琐。注意到本题的结构特征,故改用“分解因式”约简的方法,达到分母有理化而又避免讨论。

例4、化简

解:

评注:注意到7可分拆为4+3,与可配成,从而与分母约分而获得巧解,避繁就简。

例5、化简、

解:原式

评注:把1转化为,再用平方差公式“因式分解”即能约分。

三、巧用通分法

例6、化简

解:原式

评注:注意到本题两“项”互为倒数,且分母互为有理化因式的结构特征,故采用直接通分,同时又达到了分母有理化的效果,使化简更为简捷。

四、裂项约简法

例7、化简

解:原式

评注:裂项就是本题的关键,做题时要善于观察、分析,找到解题最佳途径。

例8、化简

解:将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。

故原式

评注:本题解法中,先计算原式的倒数,明显方便多了。

五、等比性质法

例9、化简

解:

评注:若用常规方法,分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错,注意到本题的结构特征,可用等比性质巧解

分母有理化的公式

一、有理化分母的方法

有理化分母的一般方法有以下几种：

1.有理数分母乘法法：

当分母是含有一个根号时，可用一个含有相同根号的数乘以分子和分母，使分母中的根号消失。例如：

$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac {2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

2.有理数分母差法：

当分母是含有两个根号时，可以利用差的平方公式将根号消去。例如：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdo

t\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-

\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

3.分母倒数法：

当分母是含有两个根号时，可将其倒数展开成两个有理数相加的形式。例如：

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdo

t\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-

\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

二、常用的有理化公式与例题

1.二次根式的有理化：

当分母是含有平方根时，可以用以下公式进行有理化：

$(a\pm b)\cdot(a\mp b)=a^2-b^2$

例如：

$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\ sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(word完整版)二次根式知识点总结及常见题型,推荐文档

（B） 1 （D） b c 1
第8页
cb
0 1a
图图 3图
习题 22. 化简: 4x 2 4x 1
2
2x 3 .
例 13. 把 a 1 中根号外的因式移到根号内,结果是
【
a
】
（A） a
（B） a
（C） a
（D） a
分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以
应用与书写规范:∵ A B 2 C 0 ,
A ≥0, B 2 ≥0, C ≥0
∴ A 0, B 0, C 0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.
第1页
（2）
A B2
AB
A B
BA AA
B B;主要用于二次根式的化简.
（3） A
B
A2 B A 0
,其中 B ≥0;
A2 B A 0
习题 4. 若函数 y wenku.baidu.com
1 2x ,则自变量 x 的取值范围是__________.
x
习题 5. 已知 b 3a 12 8 2a 1 ,则 ab _________.
第2页
例 3. 若 a 1 b 2 4b 4 0 ,则 ab 的值等于
【
】（A） 2
（B）0
（C）1
（D）2
解:由函数 y m 3x n 2 的图象可知:

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原卷版)

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）

第一部分典例精析+变式训练

类型一分母有理化

技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a

√12ab

化去分母中的根号后得（） A ．4b B ．2√b C ．

√b D ．

√b 2b

变式训练

1．（2022春•东莞市期中）化简：√8

= ．

2．（2021春•龙山县期末）把

√12

√2a

化成最简二次根式，结果是．技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】

把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简√2+1

．

解：

√2+1

√2−1)(√2+1)(√2−1)

√2−1．

上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简

2−√3

的结果为：；

（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n

进行分母有理化的结果为：；

（3）若有理数a ，b 满足√2−1

√2+1

=2√2−1，求a ，b 的值．

变式训练

1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5

= ．

2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7

的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝．

技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：

3332

变式训练： 1.化简：

24(2)

x x x x x

(完整word)知识点094分母有理化(填空题),推荐文档

一、填空题（共82小题）

1、（2009•上海）分母有理化：=．

考点：分母有理化。

分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以．

解答：解：==．

点评：本题比较容易，考查分母有理化的方法．

2、（2008•上海）化简：=2+．

考点：分母有理化。

分析：本题只需将原式分母有理化即可．

解答：解：==2+．

点评：本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键．

3、（2008•贵港）观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：

=2006．

考点：分母有理化。

专题：规律型。

分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：

+…+=，然后利用平方差公式计算．

解答：解：∵，，，…

∴原式=（+…+）（）

=（）（）

=2008﹣2

=2006．

故本题答案为：2006．

点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．

4、（2007•厦门）计算=．

考点：分母有理化。

专题：计算题。

分析：运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．

解答：解：原式==．

点评：主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．

注意最简二次根式的条件是：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；

②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．

上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．

5、（2006•厦门）计算：（）0+•（）﹣1=2．

考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。

分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（）0=1，（）﹣1=．考查知识点：负指数幂、零指数幂、二次根式的化简．

(完整word版)二次根式,分母有理化

第16章 二次根式专题复习--分母有理化专题(共18张ppt)

二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义

二次根式计算——分母有理化(可编辑修改word版)

二次根式分母有理化

二次根式,分母有理化(可编辑修改word版)

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