抽象函数练习题
【练习】《赋值法解决抽象函数问题》进阶练习
进阶练习A ．基础训练一、判断函数的奇偶性1、已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ，x ≠0），对任意非零实数x 1x 2都有f （x 1x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），试判断f （x ）的奇偶性。
二、讨论函数的单调性2、 设f （x ）定义于实数集R 上，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意x ，y ∈R ，有f （x ＋y ）= f （x ）f （y ），求证f （x ）在R 上为增函数。
三、求函数的值域3、 已知函数f （x ）在定义域x ∈R ＋上是增函数，且满足f （xy ）=f （x ）＋f （y ）（x 、y ∈R ＋），求f （x ）的值域。
四、判断函数的周期性4、 函数f （x ）定义域为R ，对任意实数a 、b ∈R ，有f （a ＋b ）=2f （a ）f （b ），且存在c >0，使02=⎪⎭⎫ ⎝⎛c f ，求证f （x ）是周期函数。
五、求函数的解析式5、 设对满足| x |≠1的所有实数x ，函数f （x ）满足x x x f x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1313，求f （x ）的解析式。
参考答案：1、解：取x 1＝－1，x 2＝1得f （－1）= f （－1）＋（1），所以f （1）=0 又取x 1=x 2=－1，得f （1）=f （－1）＋f （－1）， 所以f （－1）=0再取x 1=x ，x 2=－1，则有f （－x ）= f （x ），即f （－x ）=f （x ） 因为f （x ）为非零函数，所以f （x ）为偶函数。
2、证明：由f （x ＋y ）=f （x ）f （y ）中取x =y =0得f （0）=f2（0）。
若f （0）=0，令x ＞0，y =0，则f （x ）=0，与f （x ）＞1矛盾。
所以f （0）≠0，即有f （0）=1。
当x ＞0时，f （x ）＞1＞0，当x <0时，f （－x ）>1>0，而0)(1)(φx f x f -=，又x =0时，f （0）=>0，所以f （x ）∈R ，f （x ）>0。
2022届新高考数学抽象函数专题练习
专题8 抽象函数一、单选题1．函数()f x 是R 上的增函数，点()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，则()11f x +<的解集为（ ） A ．()[),14,−∞−+∞ B ．()[) ,12,−∞−+∞ C ．1,2D ．()1,42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f −的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．1−3．单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x xf k f ⋅+−−<恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1− B ．()1−∞C ．(1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =−，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32B ．12C ．12−D ．32−5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y −=−，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m << ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则()()()()0122020f f f f ++++的值为（ ）A ．2−B ．1−C ．0D ．17．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f −=−，则()()20172016f f += A ．2−B ．1−C ．0D ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <−的解集为（ ） A ．()0,e B ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =−，且(2)(2)f x f x +=−，当[1,1]x ∈−时，)()lnf x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈−时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()()11f x f x −=−+，且当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+−，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()201820212f f +=−C ．函数()2log 1y x =+的图象与函数()f x 的图象有且仅有3个交点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =−+11．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '.下列命题正确的有（ ） A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数 B ．若函数()'f x 是偶函数，则()f x 是奇函数 C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数 D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=−x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]−−上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]−上有3个零点 三、填空题13．写出一个满足()()2f x f x =−的奇函数()f x =______.14．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =−，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =−，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x =+，在区间[)1,1−上，(),102,015x a x f x x x +−≤<⎧⎪=⎨−≤<⎪⎩，其中a ∈R .若5922f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________.四、解答题17．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y −=−.（1）求()()22f xg x −的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.18．已知函数()f x 满足对,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f =． （1）求(0)f 与(2)f −的值；（2）写出一个符合题设条件的函数()f x 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于x 的不等式(21)1()1f x f x +≥−．19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的x ，总有f x Tf x 成立，则称()f x 为周期函数且周期为T .已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，证明：()f x 是周期函数.20．已知函数()()y f x x =∈R ．（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)=−y f x 为R 上偶函数，求(3)(5)f f −+的值；（2）若函数()()y g x x =∈R 满足1(3)2g x +=x ∈R 恒成立，函数()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；（3）对于函数()y f x =，()()y k x x =∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a+=−．参考答案1．C【解析】解法一：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以函数()f x 的草图如图所示.由图象得，()()11111013f x f x x +<⇔−<+<⇔<+<，即12x −<<.解法二：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以当03x ≤≤时，()11f x −≤≤.又已知()11f x +<，即()111f x −<+<， 所以013x <+<，解得12x −<<. 故选：C2．A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =−+，则有()21f t t t =−+=，解可得1t =−，则()21f x x =−−，故(2)413f −=−=； 故选：A. 3．B【解析】因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()3392(3392)0x x x x x xf k f f k ⋅+−−=⋅+−−<又对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+， 所以(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，由()f x 为R 上单调增函数可得33920x x x k ⋅+−−<，令30x t =>，即2(1)20k t t +−−<恒成立， 即21k t t+<+，而2t t +≥，当且仅当2t t=，即t =所以1k +<1k <， 故选：B 4．D【解析】因为()f x 满足()()2f x f x −=，所以()f x 的图像关于x=1对称. 又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =−=−−， 所以()()()42f x f x f x +=−+=， 所以()f x 为周期函数，且周期T =4. 所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭32−.故选：D 5．A【解析】任取12x x <，由已知得()120f x x −>，即()()120f x f x −>，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m −>−，即()22f mx x f −>()22m x m −，所以2222mx x m x m −<−，即()22220mx m x m −++<，即()()20mx x m −−<，又因为0m << 所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 6．D【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x −=， 又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =−−，所以()(2)f x f x −=−−，则()(2)f x f x =−+，得(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 即(4)()f x f x +=−，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，由[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则(0)1,(1)0f f ==，(2)(0)1f f =−=−，(3)(3)(1)0f f f =−==，则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==故选：D 7．D【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数， (0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x −+=+=−−，则(4)()f x f x +=−，则(8)(4)()f x f x f x +=−+=， 则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称， 则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =−−=−−=，(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==，则(2017)(2016)011f f +=+=， 故选D ． 8．C【解析】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=−−=−−+−=−+⎣⎦， 所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧−+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+−∞∞，上的单调递增， 又因为不等式()()ln 1f x f <−，所以ln 10x x <−⎧⎨>⎩，即10x e <<，故选：C. 9．CD【解析】由题设知：2221()ln(1)lnln(1)()1f x x x x x f x x x−=++==−+−=−+−，故()f x 在[1,1]x ∈−上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=−=−，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4， A ：(2021)(50541)(1)ln(21)0f f f =⨯+==−≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD 10．ACD【解析】对于A 选项，由已知条件可得()()()()1113f x f x f x f x +=−−=−−=−， 所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，A 选项正确；对于B 选项，()()()2018202f f f ==−=，()()202110f f ==，则()()201820212f f +=，B 选项错误；对于C 选项，作出函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象如下图所示：当[]0,1x ∈时，()[]221922,024f x x x x ⎛−=+⎫−=−∈− ⎪⎝⎭，结合图象可知，()22f x −≤≤.当3x >时，()2log 12x +>，即函数()2log 1y x =+与函数()f x 在()3,+∞上的图象无交点， 由图可知，函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象有3个交点，C 选项正确； 对于D 选项，当[]3,4x ∈时，[]41,0x −∈−，则[]40,1x −∈，所以，()()()()()2244442918f x f x f x x x x x =−=−=−+−−=−+，D 选项正确. 故选：ACD. 11．AC【解析】解：由导数的定义：()()()=lim x f x x f x f x x ∆→+∆−∆'选项A ：()()()()()()00=lim=lim=x x f x x f x f x f x x f x f x xx∆→∆→−+∆−−−−∆∆∆''−，即()f x '是偶函数，故A 正确；选项B ：如()sin 1f x x =+不是奇函数，而()cos f x x '=为偶函数；故B 错误， 选项C ：()()()()()()00=lim=limx x f x T x f x T f x x f x f x T f x xx∆→∆→++∆−++∆−=∆∆''+即()f x '也是周期函数，故C 正确；选项D ：如()sin f x x x =+不是周期函数，但()1cos f x x '=+是周期函数；故D 错误， 故选：AC. 12．AB【解析】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =−，得(2)0f −=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =−=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]−−上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]−上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB 13．πsin2x （答案不唯一） 【解析】取()sin2f x x π=，下面为证明过程：显然，其定义域为R ； 由()sin sin ()22f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin 2f x x π=为奇函数；又()(2)sin 2sin sin ()222f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫−=−=−== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故答案为：sin 2x π（答案不唯一）.14．1【解析】由题意，()()f x f x −=−且(2)()f x f x −=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x −=+=−=−−=−，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x −≤<，则01x <−≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =−，∴1()()(21)12xxf x f x −=−−=−−=−， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====−=−，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=.故答案为：115．3【解析】()(2)f x f x =−，(2)()f x f x ∴+=−，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=−=−+=−+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===−=−=−(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．16．25− 【解析】因为()()2f x f x =+， 所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫−=−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9112210f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11210a −+=，解得35a =， 所以()()()25315f a f f ==−=−. 故答案为：25− 17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，()()()()()()22f x g x f x f x g x g x −=−()()01f x x f =−==.（2）由（1）知()()22001f g −=，∴()()220010g f =−=，即()00g =，∴()()()()()()()000f x f x f f x g g x f x −=−=−=，又因为()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数.18．（1）(0)0f =，(2)4f −=−；（2）31(,](,)22−∞−+∞（答案不唯一）. 【解析】（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，令1,1x y ==−，得(0)(1)(1)f f f =+−，因为(1)2f =，所以(1)2f −=−，令1x y ==−，得(2)(1)(1)4f f f −=−+−=−，（2）答案不唯一，例如：()2f x x =满足条件.由(21)1()1f x f x +≥−，得2(21)2(21)23110212121x x x x x x +++≥⇔−=≥−−−， 解得：32x ≤−或12x >， 故解集为31(,](,)22−∞−+∞ 19．证明见解析【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x −=−，∵()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，所以()()f a x f a x +=−，∴(2)[()][()]()()f a x f a a x f a a x f x f x +=++=−+=−=−.从而(4)(2)()f a x f a x f x +=−+=.∴()f x 是周期函数，且周期为4a .20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数，所以(1)(1)f x f x −=−+，所以()(2)0f x f x −++=，又因为()f x 满足(1)=−y f x 为R 上偶函数，所以(1)(1)f x f x −−=−，所以()(2)f x f x −=−，所以有(2)(2)0f x f x −++=，所以(2)(2)f x f x +=−−，所以(4)()f x f x +=−，所以(8)(4)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 的一个周期为8，所以(3)(5)2(5)f f f −+=，在()(2)0f x f x −++=中令1x =−，得(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，在(4)()f x f x +=−中令1x =，得(5)(1)f f −=，所以(5)(1)0f f =−=，所以(3)(5)0f f −+=；（2）因为11(3)22g x +=≥，所以1(6)2g x +=12=因为[]11(3)1(3)122g x g x ⎡⎡+−+=+−⎢⎢⎣⎣ 21()()4g x g x =−+ 21()2g x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦，所以111(6)()222g x g x +==+−()g x =，所以函数()g x 的一个周期为6，因为()()()h x f x g x =+，所以(24)(83)(64)()()()h x f x g x f x g x h x +=+⨯++⨯=+=，所以()h x 是周期函数，一个正周期为24；（3）充分性：当12b x x a +=−时，12b x x a=−−， 此时()()221222222b b b f x f x a x b x c ax bx c f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−=−−+−−+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以充分性满足；必要性：因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x ，所以(())()f k x f x =，所以22(())()a k x bk x c ax bx c ++=++，所以22()[()]0a k x x b k x x ⎡⎤−+−=⎣⎦，又因为()k x x =不恒成立，所以[()]0a k x x b ++=，所以()b k x x a =−−，又因为()()12f x f x =，且()()()11f k x f x =，所以()()()21f k x f x =，因为12x x ≠，所以1212()b b k x x x x a a +=−−+≠−， 所以()12k x x =，即12b x x a −−=，也即12b x x a +=−， 所以必要性满足．所以：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a +=−．。
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
1 1、分段函数已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____.2、画出下列函数的图象（请使用直尺）(1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=23、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。
4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式观察法(1)221)1(xx x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f待定系数法（4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。
（复合函数的解析式）---代入法（5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。
5、抽象函数的定义域的求解1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。
2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。
练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。
2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。
3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。
4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； D P CPA P B。
抽象函数单调性
x 0时，f (x) 0，f (1) 2（1）令x y 0，则f(0+0)=f (0) f (0)，f (0) 0.
(1)求f (0)、f (3)的值； (2)判定f (x)的单调性.
f(1)=2 f(3)=f (2) f (1) f(1+1)+f (1) 3 f (1) 6
f (x2 x1) 0 即f (x1) f (x2 ) f (x)在R上为增函数.
例2、已知定义在0, 上的函数f (x)满足：①对任意的x, y 0, ，
都有f (x y) f (x) f ( y)；②当0 x 1时，f (x) 0.
(1)判断并证明的单调性
(2)已知f (9) 2,且f ( 1) f (x), x
f (x1) f (x2 x1) f (x1)-1
f (x2 x1)+1 x2 x1 0,当x 0时, f (x) 1
f (x2 x1)+1 0 即f (x1) f (x2 ) f (x)在R上为增函数.
（2）解： f (4) f (2)+f (2)-1，f (4)=5 5 2 f (2) 1，f (2)=3
2、如何判断抽象函数的单调性. 判断抽象函数的单调性，仍然要紧扣单调性的定义，并且适当
运用题设条件. 一般地，若f(x)满足：
f (x y) f (x) f ( y), 则f (x1) f (x1 x2 x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 );
f (x y)
f (x)
f ( y), 则f (x1)
(3)求不等式f (x 1) 6的解集（. 2）任取x1, x2 R，且x1 x2
f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 x1 x1)
抽象函数定义域的求法例题.doc
抽象函数的定义域1、已知f ( x)的定义域，求复合函数 f [ g x ] 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f (x) 的定义域为x a, b ，求出f [ g( x)] 中 a g (x) b 的解x的范围，即为f [ g( x)] 的定义域。
2、已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，求 f (x) 的定义域方法是：若 f [ g x ] 的定义域为 x a, b ，则由a x b 确定 g (x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。
3、已知复合函数 f [ g (x)] 的定义域，求 f [h(x)] 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义域。
4、已知 f (x) 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例 1、已知函数 f ( x) 的定义域为15，，求f (3 x 5) 的定义域．解： f ( x) 的定义域为15，，1≤ 3x 5≤ 5 ， 4 ≤x≤ 10 ．3 3故函数 f (3 x 5) 的定义域为4 10．3，3练习：若函数y f ( x) 的定义域为1,2 ，则f (log2x)的定义域为。
2解：依题意知：1log 2 x 2 解之，得： 2 x 4 2∴ f (log 2 x) 的定义域为x | 2 x 4例 2、已知函数f (x2 2x 2) 的定义域为0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域．分析：若 f g (x) 的定义域为m ≤ x≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g( x) 的范围即为 f (x) 的定义域．这种情况下， f ( x) 的定义域即为复合函数 f g ( x) 的内函数的值域。
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Hale Waihona Puke 学年 课级 时
必修 1 12 课时
学 时
校 间
2017
第1章
抽象函数
作业完成情况：
优 □
良□
中□
差□
《抽象函数》目录
一、求表达式方法.................................................................................................................................................... 2 1.换元法 ........................................................................................................................................................... 2 2.拼凑法 ........................................................................................................................................................... 2
教 学 步 骤 及 内 容
3.待定系数法 ................................................................................................................................................... 2 4.利用函数性质法 ........................................................................................................................................... 3 5.方程组法 ....................................................................................................................................................... 3 5.赋值法 ........................................................................................................................................................... 3 二、抽象函数常见考点解法综述 ............................................................................................................................ 5 1.定义域问题 ................................................................................................................................................... 5 2.求值问题 ....................................................................................................................................................... 5 3.值域问题 ....................................................................................................................................................... 5 4.奇偶性问题 ................................................................................................................................................... 6 5 单调性问题 ................................................................................................................................................... 6 6.对称性问题 ................................................................................................................................................... 7 7.求参数的取值范围 ....................................................................................................................................... 7 8.解不定式 ....................................................................................................................................................... 7 9.周期问题 ....................................................................................................................................................... 7 三、抽象函数五类题型及解法 ................................................................................................................................ 9 1.线性函数型抽象函数 ................................................................................................................................... 9 2.指数函数型抽象函数 .................................................................................................................................. 10 3.对数函数型抽象函数 .................................................................................................................................. 11 4.幂函数型抽象函数 ...................................................................................................................................... 12 5.三角函数型抽象函数 .................................................................................................................................. 13 四、巩固练习........................................................................................................................................................... 15
定义域,抽象函数习题
定义域抽象函数一．选择题（共30小题）1．（2011•江西）若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．（0，+∞）2．（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）3．（2009•陕西）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1] D．（﹣1，0]4．使代数式有意义的x的取值范围为（）A．|x|≥1 B．﹣1＜x＜1 C．|x|＞1 D．x≠±15．设a∈（0，1），则函数y=的定义域是（）A．（1，2] B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，2]6．函数y=的定义域为（）A．[﹣3，4] B．（1，4] C．（1，）∪（，4] D．（﹣3，）∪（，4]7．函数的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D．[1，+∞）8．函数的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，+∞）9．函数的定义域是（）A．B．C．D．10．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则f（2x﹣2）的定义域为（）A．[0，1] B．[log23，2] C．[1，log23] D．[1，2]11．（2011•江西）若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．12．（2010•湖北）函数的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）13．（2010•广东）函数f（x）=lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）14．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．15．（2005•湖南）函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，+∞）16．函数的定义域为（）A．∅B．R C．[﹣1，1] D．x=117．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，2log23] B．（3，+∞）C．（3，2log23] D．（2log23，+∞）18．已知，则f（x）的定义域是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[0，1）∪（1，2] D．19．函数的定义域为（）A．（，1]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，）D．（，1）20．若两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y=x2，x∈{﹣3，3}为同族函数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．已知函数f（x）的定义域是（0，1），那么f（2x）的定义域是（）A．（0，1）B．（，1）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）22．设f（x）=，则f（）+f（2x﹣1）的定义域为（）A．[﹣3，3] B．[﹣3，3）C．[﹣1，]∪[，2] D．[﹣1，]∪（，2）23．（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）24．函数y=f（x）与y=g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f（x）+f（﹣x）=0，g （x）g（﹣x）=1，且x≠0，g（x）≠1，则F（x）=+f（x）（）A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数25．函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对于定义域内的任意x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，则的值为（）A．B．C．2 D．﹣226．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，﹣1+2）B．（﹣∞，﹣1+2）C．（﹣∞，﹣1）D．[﹣1+2，+∞）27．已知函数y=f（x），对于任意两个不相等的实数x1、x2，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）成立，且f（0）≠0，则f（﹣2009）•f（﹣2008）…f（2008）•f（2009）的值是（）A．0 B．1 C．2 D．328．已知f（x+y）=f（x）﹣f（y）对于任意实数x都成立，在区间[0，+∞）单调递增，则满足的x取值范围是（）A．B．C．D．29．函数f（x）的定义域为R+，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=（）A．B．C．D．30．定义在R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R，且f（1）=2，有下面的四个式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②f[]；③n（n+1）；④n（n+1）f（1），则其中与f（1）+f（2）+…+f（n）相等的有（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④答案与评分标准一．选择题（共30小题）1．（2011•江西）若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．（0，+∞）考点：函数的定义域及其求法。
《抽象函数》专题练习
专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。
求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。
3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。
专题：抽象函数的对称性练习题
例1、()y f x =对一切实数x 满足(4)()f x f x +=-，若方程()0f x =恰好有4个不同的实根、则这些实根之和为（ ）。
（A ）0； （B ）2； （C ）4； （D ）8。
例2.f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，f (x) = －12x ，则f (8.6 ) = _________例3：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数*例4：函数()f x 满足条件()(6)f x f x =--和()(2)f x f x +-，若()(2000)f a f =-，[5,9]a ∈，且()f x 在[5，9]上单调，则a 的值为（ ）（A ）5；（B ）6；（C ）7；（D ）8。
**例5：设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x －1)和g -1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
（A ） 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。
1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。
2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。
3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。
4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________对称。
抽象函数的奇偶性单调性问题
例3：定义在实数集合上的函数y=f(x),f(0)≠ 0， 当x>0时.f(x)>1,对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)f(b)
(1)求证:f（0）=1
(2)求证:定义在实数集合上的函数y=f(x)恒有 f(x)>0
(3)求证:函数y=f(x)是R上的增函数。 (4)若f(x).f(2x)>1求x的取值范围;
a 1 0
1 a 9 8
练习3： 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)
(1) 求证:f(x)是奇函数
（2） 如果x∈R+时，f(x)＜0，并且 f(1)=-0.5,求f(x)在区间［-2，6］上的
最值
练习4： f (x)是定义在R上的函数，对任意的 x1, x2
y
(2)当f(3)=1时f(a)>f(a-1)+2.求a取值范围;
证明（１）
f (a) f (a 1) 2
f (x) f (y x ) f (y) f ( x)
y
y
f ( x ) f (x) f (y) y
（２）由已知得
f ( a ) f (9) a 1
a
a 1
9
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
∴0<x
例4：已知当x>0时,f(x)>0且f(x-y)=f(x)-f(y), 求证:y=f(x)是增函数
练习1 :已知y=f(x)当x>0时f(x)>1且. f(x+y)=f(x)+f(y)-1求证y=f(x)是R上的增函数。
练习2:已知y=f(x) 定义域是R+,且y=f(x)是增函数,
抽象函数单调性例题【“两模型”突破抽象函数单调性】
抽象函数单调性例题【“两模型”突破抽象函数单调性】对抽象函数单调性的证明,主要体现在以下两种类型,现举例分析，供读者参考。
一、“和”型抽象函数单调性证明例1 定义在[WTHZ]R[WTBX]上的函数y=f（x），f（0）≠0,当x>0时，f（x）>1，且对于任意的a,b∈R,有f（a+b）=f（a）·f（b）。
（1）证明：f（0）=1；（2）证明：f（x）是R上的增函数。
分析：（1）令a=b=0，代入抽象函数，即可求出f（0）的值；（2）设x1，x2∈[WTHZ]R[WTBX]，且x10，所以f（－x）>1 ，即 1f(x) >1,这时00。
设x∈[WTHZ]R[WTBX],且x10，x2=(x2－x1)+x1，故f(x2)=f［（x2－x1）+x1］=f（x2－x1）·f（x1），又x2－x1>0，f（x2－x1）>1,f（x1）>0，所以f(x2)>f（x1），即f(x)在[WTHZ]R[WTBX]上是增函数。
点评：对于f（x+y）=f（x）+f（y）与f（x+y）=f （x）·f（y），这种“和”型抽象函数的单调性证明，要把x2变换为x2=(x2－x1)+x1，然后利用抽象函数的性质，去判断f(x2)与f（x1）的大小，从而得到抽象函数在定义域上的单调性。
二、“积”型抽象函数单调性证明例2 已知函数f（x）的定义域是（0,+∞），当x>1时，f（x）>0，且f（x·y）=f（x）+f（y）。
(1)求f（1）的值；(2)证明：f（x）在定义域上是增函数。
分析：(1) 令x=y=1，代入抽象函数，即可求得f（1）的值；(2)设x1,x2∈（0,+∞），且x11,f(x2x1)>0，所以f(x2)>f（x1），即f(x)在（0,+上是增函数。
点评：对于f（x·y）=f（x）+f（y）与f（x·y）=f （x）·f（y），这种“积”型抽象函数的单调性证明，要把x2变换为x2=x2x1·x1，然后利用抽象函数的性质，去判断f(x2)与f（x1）的大小，从而得到抽象函数在定义域上的单调性。
13用抽象函数的定义域和值域
1 x ） ⑧则函数f (( ) ) 的定义域为 [-1，+∞ ； 1 2 ⑨则函数f(log x)的定义域为 ；[ , 2]
2
2
⑩则函数
f (log 1
2
x)的定义域为
.
1 [ , 2] 4
练习
2.①已知函数f(x+1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为[0，4] ；
1 2.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，求函数 y f ( x 2) 的定义域。 解析：∵y=f(x+1)的定义域为[-2,3]， 1 2 x 2x 1 0 0 x x ∴-2≤x≤3， , , 1 3x 1 3x 0 0 ∴-1≤x+1≤4， x x
2
练习
3.已知 f(x)的定义域是[0,4]，求： (1)f(x )的定义域； (2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
解 ∵f(x)的定义域为[0,4]，
2
2
(1)有 0≤x ≤4，∴－2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[－2,2]． 0≤x＋1≤4， (2)有 ∴1≤x≤3. 0≤x－1≤4， 故 f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
练习
1 1 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求 y f ( x ) f ( x ) 定义域。 3 3
1 2 , 3 3
典型例题 例2 若函数y=f(2x)的定义域为 [1, 2]，则函数f(log2x)的定义域为 解：∵函数y=f(2x)的定义域为[1, 2]， 。
(2)已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域．
抽象函数经典习题(含详细解答)
抽象函数经典习题经典习题11. 若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为( )A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12⎛ ⎝ D.12⎡⎢⎣ 2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )A ．102B ．99C ．101D ．100 3. 定义R 上的函数()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =+==且则（）AB ．2C ．4D ．64. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。
若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________.5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是__________.6. 已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a •=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .8. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
抽象函数-题型大全(例题-含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学()f x 生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方x ()f x 法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ,求.(211xf x x =++()f x 解：设,则∴∴1x u x =+1u x u =-2()2111u u f u u u -=+=--2()1x f x x-=-2.凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求(())()f g x h x =()h x ()g u .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
()f x 例2：已知，求3311(f x x xx+=+()f x 解：∵又∵22211111()(1)()((3)f x x x x x xx x x x +=+-+=++-11||||1||x x x x +=+≥∴，(||≥1)23()(3)3f x x x x x =-=-x 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知二次实函数，且+2+4,求.()f x 2(1)(1)f x f x x ++-=x ()f x 解:设=，则()f x 2ax bx c ++22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c++-=+++++-+-+=比较系数得∴22222()24ax bx a c x x +++=++2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当 >0时,,求y ()f x x ()lg(1)f x x =+()f x 解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。
【高考数学】抽象函数的奇偶性_单调性问题
1 ) f( ) n 2 ( n 1) ( n 2) 1 3n 1
n 1 2n 3 2
思考题： 设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，当x>0时,f(x)>1;对任意 的x,y∈R有f(x+y)=f(x)f(y)成立， 1 解不等式 f ( x)
f ( x 1)
解： x∈R由已知得
y
(2)当f(3)=1时f(a)>f(a-1)+2.求a取值范围;
例4，已知y=f(x)是定义在Ｒ上的函数 当x>0时,f(x)>0且f(x-y)=f(x)-f(y), 求证:y=f(x)是增函数 证明:设任意x1,x2Ｒ且x1<x2即x2-x1>0 由已知得f(x2-x1)>0 即f(x2-x1)= f(x2)-f(x1)>0 所以y=f(x)是增函数
1 1 1 f ( ) f ( ) f ( 2 ) 5 11 n 3n 1 1 1 1 1 1 1 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2 3 3 4 n 1 n2 1 1 n 1 f ( ) f ( ) f( ) f( ) 2 n2 2n 3 2
；
f ( x2 )
并写出一个满足以上条件的函数.
解：（Ⅰ）令 x1 x2 0 ，则 f(0)=f(0)f(0)f(0)[f(0)-1]=0…..2分 （直接得出f(0)=1给2分） 下证f(0)≠0，假设有f(x0)=0， 则f(x0+2)=f(x0)f(2)=0，f(x0+3)=f(x0)f(3)=0这样 x0+2≠x0+3，但有f(x0+2)=f(x0+3)=0与已知条件 矛盾，∴f(x0)≠0即f(0)=1 ……..4分 x x x 2 （Ⅱ)又 ， f ( x) f ( ) f ( ) [ f ( )] 0 ….3分
专题-高考中的抽象函数-教师版
高考中的抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y) ;幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或]》对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx&)y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为11≤≤-x 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
；例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：),)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12 ） ￥2.(2)(4)(6)(2000)()()(),(1)2,(1)(3)(5)(1999)f f f f f x y f x f y f f f f f +==++++如果且则的值是 。
专题 求函数、抽象函数和复合函数的定义域(可编辑)
求函数、抽象函数和复合函数的定义域注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.【例1】求下列函数的定义域：（1）62+=x y ；（2）2322---=x x x y ；（3）52210++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ；（4）x y --=113. 解：（1）[-3，+∞）；（2）{x |0≤x 且21-≠x }；（3）{x |5-≠x 且21≠x }；（4）{x |1≤x 且0≠x }1. 抽象函数：没有给出具体解析式的函数.2. 复合函数：如果函数()t f y =的定义域为A ，函数()x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数()()x g f y =为()t f 和()x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，()x g t =叫做内层函数，()t f y =叫做外层函数.【例2】已知函数()32+=x x f ，求()2-f ，()3f ，()a f ，()12+a f 的值. 解：()2-f =-1；()3f =9；()32+=a a f ；()52122+=+a a f【例3】已知函数()x f 的定义域为{x |11<<-x }，则函数()12+x f 的定义域为___（-1，0）____.【例4】已知函数()1+x f 的定义域为[-3，1]，则()12-x f 的定义域为___[3-，3]____.【例5】已知()12-x f 的定义域为[-1，3]，则()x f 的定义域为___[-1，8]____.练习：1. 函数()1312+---=x x x f 的定义域为____[21，3]____. 2. 函数()()220+-=x x x f 的定义域为____{x |2->x 且2≠x }____. 3. 函数()()012++=x x f 的定义域为___[-2，+∞）_____. 4.（新课标Ⅱ卷）已知函数()x f 的定义域为（-1，0），则()12+x f 的定义域为（ B ）A.（-1，1）B.（-1，21-）C.（-1，0）D.（21，1）5. 已知函数()x x f =，则()1-x f 的定义域为（ B ）A.（-∞，+∞）B.[1，+∞）C.（-∞，1]D.[0，+∞）6. 已知函数()x f 的定义域为[0，2]，则()()12-=x x f x g 的定义域为___[0，1）____. 7. 已知函数()12-x f 的定义域为[-3，3]，则()x f 的定义域为___[-7，5]____.8.已知函数()x f 的定义域为[-2，1]，则()()()x f x f x g -+=的定义域为___[-1，1]____.9. 已知函数()3+x f 的定义域为[-5，-2]，则()()11-++x f x f 的定义域为___[-1，0]____.10. 设函数()11-=-x x f ，则函数()x f 的定义域为___[0，+∞）_____. 11. 设函数()1-=x x f ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 42的定义域为（ B ） A.[21，4] B.[2，4] C.[1，+∞） D.[41，2] 12. 已知函数()1+x f 的定义域为[0，3]，则()23-x f 的定义域为___[1，34]____.。
抽象函数
抽象函数几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）2. 幂函数型的抽象函数f （x ）＝x a ----------------f （xy ）＝ f （x ）f （y ）；f （y x ）＝)()(y f x f 3. 指数函数型的抽象函数f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)()(y f x f 4. 对数函数型的抽象函数f （x ）＝log a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （y x ）＝ f （x ）－f （y ）5. 三角函数型的抽象函数f （x ）＝t gx-------------------------- f （x ＋y ）＝)()(1)()(y f x f y f x f -+ f （x ）＝cot x------------------------ f （x ＋y ）＝)()(1)()(y f x f y f x f +-例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1)＝ －2求f (x )在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2－x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解. 分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号.、例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1].（1） 判断f （x ）的奇偶性；（2） 判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3） 若a ≥0且f （a ＋1）≤39，求a 的取值范围.分析：（1）令y ＝－1；（2）利用f （x 1）＝f （21x x ·x 2）＝f （21x x ）f （x 2）； （3）0≤a ≤2.例4设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得f （x 1）≠f （x 2）；对任何x 和y ，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）成立.求：（1） f （0）；（2） 对任意值x ，判断f （x ）值的符号.分析：（1）令x= y ＝0；（2）令y ＝x ≠0.例5设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求：（1） f （1）；（2） 若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围.例6已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），（1） 求证：f （1）＝f （－1）＝0；（2） 求证：f （x ）为偶函数；（3） 若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f （x ）＋f （x －21）≤0.例7已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：（1） 当x ＞0时，0＜f （x ）＜1；（2） f （x ）在x ∈R 上是减函数.练习题：1.已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）对任意实数x 、y 都成立，则（ ）（A ）f （0）＝0 （B ）f （0）＝1（C ）f （0）＝0或1 （D ）以上都不对2. 若对任意实数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（ ）（A ）f （1）＝0 （B ）f （x1）＝ f （x ） （C ）f （yx ）＝ f （x ）－f （y ） （D ）f （x n ）＝nf （x ）（n ∈N ） 3.已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足：f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，则当x ＞0时，f （x ）的取值范围是（ ）（A ）（1，＋∞） （B ）（－∞，1）（C ）（0，1） （D ）（－1，＋∞）4.函数f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x 1、x 2都有 f （x 1－x 2）＝)()(1)()(2121x f x f x f x f +-，则f （x ）为（ ） （A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f （x ）对任意实数x 、y 满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2[f （x ）＋f （y ）]，则函数f （x ）是（ ）（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函。
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抽象函数补充练习题
1.已知函数)12(+x f 的定义域为()+∞,1，求)(x
e f 的定
义域_________.
2.设函数)(x f 满足()01(2)(≠=-x x x
f x f ，求)(x f 的值域____________.
3.已知定义在R 上的函数)(x f 在区间()2,∞-上单调递减，在区间()+∞,2上单调递增，求)lg (x f -的单调增区间____________和单调减区间_____________.
4.已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减，0)2(=f ，则
0)1(>-x f 的解集为_____________.
5.若偶函数)(x f 在()+∞,0上是减函数，且0)2(=f ，则不等式
0)
()(>-+x
x f x f 的解集为____________.
6.已知)(x f 是定义在()1,1-的奇函数，且)(x f 在[)1,0上是减函数，如果0)32()2(>-+-m f m f ，那么实数m 的取值范围为____________.
7.已知函数)(x f 定义域为R 且在R 上是增函数，
()()2,3,2,0B A -是其图像上的两点，那么2
)1(<+x f 的解集为______________.
8.已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 的奇函数，且在()∞+，0上为增函数，0)2(=-f ，则不等式0)(<x xf 的解集为_____________.
9.设函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞-上是增函数，并有)123()12(2
2
-+-<++a a f a a f ，则实数a 的取值范围为___________.
10.若函数)(x f 定义域为R 且在R 上是减函数，则
)3(-=x f y 的单调递减区间为___________.
11.函数))((R x x f y ∈=是奇函数，且当()+∞∈,0x 时是
增函数，若0)1(=f ，则不等式0)2
1
(≤-x f 的解集为
____________.
12.已知定义在R 上的函数)(x f ，在区间()+∞,4上是减函数，且函数)4(+x f 是偶函数，则（
）
)3()2(.f f A >)5()2(.f f B >)
5()3(.f f C >)
6()3(.f f D >13.已知函数)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数，
()+∞∈∀,0,y x ，)()()(y f x f xy f +=，且1)3(=f ，
不等式2)1()(+->a f a f 的解集为___________.14.函数()R x x f ∈)(满足①2)1(=f ；②R y x ∈∀,，
xy y f x f y x f 2)()()(++=+.则)3(-f =__________.
15.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且R x ∈∀，
)3()()6(f x f x f +=+，2)1(=f ，则.
__)2017(=f 16.如果定义在R 上的函数)(x f 满足R y x ∈∀,，
)
()()(y f x f y x f =+，且
2
)1(=f ，则
._________)
2016()
2017(......)2()3()1()2()0()1(=++++f f f f f f f f 17.已知函数)(x f 满足)
(1)
(1)1(x f x f x f -+=
+，且
2004)0(=f ，则)2017(f =___________.
18.设R R f →:，且R y x ∈∀,，)()(y xf xy f =，
4)3(=f ，则________)(=x f .
19.设R R f →:，
R y x ∈∀,，)()()(y f x f y x f -=+，则________)(=x f .
20.函数)(x f 定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则下列说法一定正确的是（
）
)(.x f A 是偶函数)(.x f B 是奇函数)
2()(.+=x f x f C )3(.+x f D 是奇函数
21.已知)(x f 是实数集上的减函数，若0≤+b a ，则下列不等式成立的是（
）
[])()()()(.b f a f b f a f A +-≤+)()()()(.b f a f b f a f B -+-≤+)()()()(.b f a f b f a f C -+-≥+[]
)()()()(.b f a f b f a f D +-≥+22.已知函数)(x f 定义域为R ，且满足①R y x ∈∀,，
)()()(y f x f y x f +=+；②0>∀x ，0)(<x f ；③2)1(-=f .
（1）判断)(x f 奇偶性；（2）求)(x f 在[]3,3-的最值.
23.)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数，且满足①
1)2(=f ，②()+∞∈∀,0,y x ，)()((x f y f y
x
f =+.解
不等式2)3
1
(
)(≤--x f x f .
24.已知定义在R 上的函数)(x f 满足①R y x ∈∀,，2)()()(++=+y x f y f x f ，
②当0>x 时，2)(>x f ，③5)3(=f .解不等式3
)32(2
<--a a f 25.已知函数)(x f ，R y x ∈∀,，)()()(y f x f xy f =，且1)1(=-f ，9)27(=f ，当10<<x 时，()1,0)(∈x f .（1）判断函数奇偶性；
（2）判断函数)(x f 在()+∞,0上单调性，并证明！（3）若0≥a ，且39)1(≤+a f ，求a 取值范围.
26.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且R b a ∈∀,，当
0≠+b a 时，都有
0)
()(>++b
a b f a f ，
（1）若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小关系；（2）若0)23()1(≥-++m f m f ，求m .
27.()R x x f ∈)(满足R y x ∈∀,，)()()(y f x f y x f =+，且)()(,2121x f x f x x ≠≠∃.（1）求)
0(f （2）对任意R x ∈，判断)(x f 正负.
28.设定义在R 上的函数)(x f 满足①当0>x 时，
1)(>x f ；②0)(,>∈∀x f R x ；③2)1(=f ；④R y x ∈∀,，)()()(y f x f y x f =+.
（1）解不等式4)3(2
>-x x f ；（2）解方程[]1)2()3(2
1
)(2
+=++
f x f x f .真∙尖子生题库：
29.已知R R f →:，R y x ∈∀,，只要0≠+y x ，就有
y
x y f x f xy f ++=
)
()()(成立，则函数))((R x x f ∈（
）
.A 是奇函数不是偶函数.B 是偶函数不是奇函数.C 既是奇函数又是偶函数
.D 既不是奇函数也不是偶函数
30.已知定义在R 上的函数)(x f 满足；①R y x ∈∀,，
)()()1()1(y f x f y x f y x f -+-=++；②)(x f 在区
间[]1,0上单调递增.（1）求)1(),0(f f ；（2）求)(x f 的零点；（3）解不等式1)(>x f .。