功率谱估计模型法.
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i 1
i
此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存 在谱谷点。
平稳随机信号的参数模型
ARMA模型：
H ( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
q
此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在 谱峰、谱谷
系统模型
对于一阶全极点传递函数
系统模型
极点位置在[0 π/2]内时
系统模型
极点位置在[π/2 π]内时
系统模型
对于二阶的全零点系统
H ( z ) 1 az bz
1
2
零点的位置没有限定要求，那么其幅度响应
当零点在[0 π/2]内时
在零点在[π/2 π]内时
AR模型估计功率谱密度
如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不 变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随 机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱 密度满足下式：
Байду номын сангаас
Pyy ( w) Pxx ( w) | H h ( w) |
2
其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密 度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。
1 H ( z) 1 1 az
传递函数所对应的幅度响应实际上是：
|z| 1 | H ( z ) | | z a | | z a |
当a>0
当a<0
系统模型
对于二阶的全极点传递函数
H ( z)
1 1 az 1 bz 2
其对应的幅度响应？ 由于传递函数中，a、b均为实数，且要求极点在单位 圆内，因此传递函数的极点应该是共轭对称的。
Pxx (w) | H (w) |
2
2
平稳随机信号的参数模型
因此我们利用确定性系统传递函数H(z)的特性 去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参数模 型功率谱估计。 参数模型功率谱估计的步骤：
对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA 模型 根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确 定H(z)的参数 利用H(z)估计x(n)的功率谱。
m 1 m0
AR模型估计功率谱密度
将等式右侧的累加项移到等式左侧，这样上式 就可以写成方程组的形式：
p rxx (m) ak rxx (m k )=0 k 1 p r (0) a r (k ) 2 xx k xx k 1
1 1 ai z
i 1 p i
因此有h(0)=1
AR模型估计功率谱密度
rxx (m) ak rxx (m k ) rxu (m)
k 1 p
根据上式以及rxu(m)的求解：
p ak rxx (m k ) k 1 rxx (m) p a r (k ) 2 k xx k 1
而h(m)为系统H(z)的脉冲响应，由于H(z)为因 果系统，因此：
h(0) h(m) 0 m0 m 1
这样，互相关函数rxu(m)为：
2 h(0) rxu (m) 0 m0 m 1
AR模型估计功率谱密度
由于h(0)为系统H(z)的脉冲响应，而：
H ( z)
x(n) u (n) ak x(n k )
k 1 p
等式两边同乘以x(n-m)，同时取期望运算
E[ x(n) x(n m)] E{[u (n) ak x (n k )] x (n m)}
k 1 p
rxx (m) ak E[ x( n k ) x( n m)] E[u ( n) x( n m)]
AR模型估计功率谱密度
由于系统输入u(n)为白噪声信号，因此：
2 ruu (m) E[u (n)u (n m)] 0 m0 else
这样rxu(m)为：
rxu (m) 2 h(k ) (k m)
k 0
2 h ( m)
AR模型估计功率谱密度
k 1
p
AR模型估计功率谱密度
rxx (m) ak rxx (m k ) rxu (m)
k 1 p
这里首先考虑rxu(m)的求解
rxu (m) E[ x(n)u (n m)] E{[ h(k )u (n k )]u (n m)}
k 0
这里h(k)为H(z)的无限长脉冲响应
平稳随机信号的参数模型
H(z)的模型：
AR模型：auto-Regressive
H ( z)
1 1 ai z i
i 1 p
此模型只有极点，没有零点，对应其幅度谱结构存 在谱峰
平稳随机信号的参数模型
MA模型：Moving-Average
q
H ( z ) 1 bi z
平稳随机信号的参数模型
如果系统输入为白噪声信号u(n)，其功率谱密度 为常数σ2，则输出信号功率谱密度Pxx(w)完全由 系统传递函数|H(w)|2决定，因此我们通过对H(w) 进行建模，从而得到输出信号的功率谱密度。
u(n)
H(z)
x(n)
平稳随机信号的参数模型
在上图中，输入u(n)为白噪声信号，其方差为 σ2 ，则系统输出x(n)的功率谱密度Pxx(w)为：
假设u(n)、x(n)都是宽平稳的随机信号，其中 u(n)为白噪声，方差为σ2，推导H(z)的模型参数 ai与数据x(n)的关系，即所谓AR模型的正则方 程(Normal Equation)。
H ( z)
1 1 ai z
i 1 p i
AR模型估计功率谱密度
根据输入、输出、系统脉冲响应的关系
功率谱估计
--参数估计方法
周期图法的不足
估计方法的方差性能差
在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算
分辨率低
样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据 中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)
参数模型功率谱估计
MA模型 AR模型 ARMA模型
平稳随机信号的参数模型
i
此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存 在谱谷点。
平稳随机信号的参数模型
ARMA模型：
H ( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
q
此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在 谱峰、谱谷
系统模型
对于一阶全极点传递函数
系统模型
极点位置在[0 π/2]内时
系统模型
极点位置在[π/2 π]内时
系统模型
对于二阶的全零点系统
H ( z ) 1 az bz
1
2
零点的位置没有限定要求，那么其幅度响应
当零点在[0 π/2]内时
在零点在[π/2 π]内时
AR模型估计功率谱密度
如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不 变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随 机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱 密度满足下式：
Байду номын сангаас
Pyy ( w) Pxx ( w) | H h ( w) |
2
其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密 度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。
1 H ( z) 1 1 az
传递函数所对应的幅度响应实际上是：
|z| 1 | H ( z ) | | z a | | z a |
当a>0
当a<0
系统模型
对于二阶的全极点传递函数
H ( z)
1 1 az 1 bz 2
其对应的幅度响应？ 由于传递函数中，a、b均为实数，且要求极点在单位 圆内，因此传递函数的极点应该是共轭对称的。
Pxx (w) | H (w) |
2
2
平稳随机信号的参数模型
因此我们利用确定性系统传递函数H(z)的特性 去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参数模 型功率谱估计。 参数模型功率谱估计的步骤：
对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA 模型 根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确 定H(z)的参数 利用H(z)估计x(n)的功率谱。
m 1 m0
AR模型估计功率谱密度
将等式右侧的累加项移到等式左侧，这样上式 就可以写成方程组的形式：
p rxx (m) ak rxx (m k )=0 k 1 p r (0) a r (k ) 2 xx k xx k 1
1 1 ai z
i 1 p i
因此有h(0)=1
AR模型估计功率谱密度
rxx (m) ak rxx (m k ) rxu (m)
k 1 p
根据上式以及rxu(m)的求解：
p ak rxx (m k ) k 1 rxx (m) p a r (k ) 2 k xx k 1
而h(m)为系统H(z)的脉冲响应，由于H(z)为因 果系统，因此：
h(0) h(m) 0 m0 m 1
这样，互相关函数rxu(m)为：
2 h(0) rxu (m) 0 m0 m 1
AR模型估计功率谱密度
由于h(0)为系统H(z)的脉冲响应，而：
H ( z)
x(n) u (n) ak x(n k )
k 1 p
等式两边同乘以x(n-m)，同时取期望运算
E[ x(n) x(n m)] E{[u (n) ak x (n k )] x (n m)}
k 1 p
rxx (m) ak E[ x( n k ) x( n m)] E[u ( n) x( n m)]
AR模型估计功率谱密度
由于系统输入u(n)为白噪声信号，因此：
2 ruu (m) E[u (n)u (n m)] 0 m0 else
这样rxu(m)为：
rxu (m) 2 h(k ) (k m)
k 0
2 h ( m)
AR模型估计功率谱密度
k 1
p
AR模型估计功率谱密度
rxx (m) ak rxx (m k ) rxu (m)
k 1 p
这里首先考虑rxu(m)的求解
rxu (m) E[ x(n)u (n m)] E{[ h(k )u (n k )]u (n m)}
k 0
这里h(k)为H(z)的无限长脉冲响应
平稳随机信号的参数模型
H(z)的模型：
AR模型：auto-Regressive
H ( z)
1 1 ai z i
i 1 p
此模型只有极点，没有零点，对应其幅度谱结构存 在谱峰
平稳随机信号的参数模型
MA模型：Moving-Average
q
H ( z ) 1 bi z
平稳随机信号的参数模型
如果系统输入为白噪声信号u(n)，其功率谱密度 为常数σ2，则输出信号功率谱密度Pxx(w)完全由 系统传递函数|H(w)|2决定，因此我们通过对H(w) 进行建模，从而得到输出信号的功率谱密度。
u(n)
H(z)
x(n)
平稳随机信号的参数模型
在上图中，输入u(n)为白噪声信号，其方差为 σ2 ，则系统输出x(n)的功率谱密度Pxx(w)为：
假设u(n)、x(n)都是宽平稳的随机信号，其中 u(n)为白噪声，方差为σ2，推导H(z)的模型参数 ai与数据x(n)的关系，即所谓AR模型的正则方 程(Normal Equation)。
H ( z)
1 1 ai z
i 1 p i
AR模型估计功率谱密度
根据输入、输出、系统脉冲响应的关系
功率谱估计
--参数估计方法
周期图法的不足
估计方法的方差性能差
在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算
分辨率低
样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据 中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)
参数模型功率谱估计
MA模型 AR模型 ARMA模型
平稳随机信号的参数模型