广东省深圳实验学校高中部2020-2021学年度第一学期第二阶段考试高二数学试卷
深圳实验学校2020_2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题
广东省深圳实验学校2020—2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题时间:120分钟 满分：150分第一卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈若000()()lim 2h f xh f x h h→+--=，则'()f x =( ）A ．'0()1f x = B ．'0()2f x = C ．'0()4f x = D ．'()f x 不确定．2．已知等差数列{}na 满足244aa +=，3510aa +=,则它的前6项的和6S=（ ）A ．84B ．42C ．21D ．143．在ABC ∆中，点()2,0A -、 点()2,0B ，且||AB 是||AC 和||BC 的等差中项,则点C 的轨迹方程是（ )A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=(4)x ≠±C ．2216460x y +=D ．2216460x y +=(8)x ≠± 4． 数列 ,)1n (211,,3211,211+++++++的前2020项和2020S 等于 A ．10102022 B ．20202021C ．20202022D ．404020215．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2020年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元）（ ） A ．5(1)a r + B ．)]1()1[(5r r ra +-+C ．6(1)a r +D ．)]1()1[(6r r ra +-+6．)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）A B CD7．已知等差数列{}{},nna b 的前n 项和分别为,nnS T ,若对于任意的自然数n ，都有481nnS n Tn -=+，则()3153111572a a a b b b b ++=++( ）A. 3 B 。
2021-2022学年广东省深圳实验学校高二上学期第一阶段考试数学试题(Word版)
广东省深圳实验学校2021-2022学年高二上学期第一阶段考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．以两点(3,1)A 和(5,5)B 为直径端点的圆的方程是 A ．22(1)(2)10x y B ．22(1)(2)25x yC ．22(1)(2)5x y D ． 22(1)(2)100x y2.“直线1:(1)3l ax a y +-=与2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直”是“3a =-”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.在三棱锥O ABC -中，M 是OA 的中点，P 是ABC ∆的重心，设OA a =，OB b =，OC c =，则MP =A ．111263a b c -+B ．1132a b c -+ C ．111633a b c -++D ．1132a b c -+-4.已知向量()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a ，b ，c 共面，则实数λ= A ．627B ．647C ．607D ．6575．经过两直线280x y +-=与210x y -+=的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 A ．10xy 或230x y -= B ．10x y --=或230x y -= C ．10x y --=D ．230x y -=6．已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay 上任意一点作圆C 的切l 的斜率为 A ．4B ．4C ．34-D ．43-7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A MC E ，则线段AM 的长的最小值为A B C ．1D8.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F分别是棱AD ,11B C 的中点.若点P 为侧面正方形11ADD A 内（含边界）的动点，且存在,x y R ∈使1B P xBE =+成立，则1B P 与侧面11ADD A 所成角的正切值最大为 A ． 2B. 1C.2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列命题中，是假命题的是A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan C. 若直线倾斜角243，，则斜率k 的取值范围是,31,D. 若直线的斜率为tan ，则直线的倾斜角为10.已知空间向量,,i j k 都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是 A ．向量++i j k 的模是3 B. +,,i j ij k 可以构成空间的一个基底C. 向量++i j k 和k 向量+i j 与k j 共线11．以下四个命题表述正确的是 A ．直线(3)4330()m x y m m R 恒过定点(3,3)B ．圆224xy 上有且仅有3个点到直线:20l x y 的距离都等于1C ．曲线221:20C x y x与曲线222:480C x y x y m恰有三条公切线，则4mD ．已知圆22:1C xy ，点P 为直线24x y +=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则直线AB 经过定点11(,)4212．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，O 为1A C 的中点.点P满足1BP BC λ=，其中[]0,1λ∈，则 A ．对[]0,1λ∀∈时，都有11A P OB ⊥ B ．当13λ=时，直线1A P 与AB 所成的角是30° C ．当12λ=时，直线1A P 与平面111A B CD ．当12λ=时，直线1A P 与1OB 相交于一点Q ，则112PQ QA = 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．两平行直线1:3450l x y 与2:60l x by c 间的距离为3，则b c _______． 14．已知平面的法向量为(2,2,1)n ，点(,3,0)A x 在平面内，若点(2,1,4)P 到平面的距离d 为103，则x ． 15．已知向量(1,1,0)a，(1,0,2)b，且ka b 与2a b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为 ．16．过点(3,1)P -作动直线(1)(1)0m x n y -+-=的垂线，垂足为点M ，若已知定点(3,3)N ，那么MN 的最小值为 ．四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分） 如图，已知平行六面体1111ABCDA B C D 的底面ABCD 是正方形，且1160C CBC CD ，1CD ，12CC ，O 为1BC 与1B C 的交点，设CDa ，CBb ,1CC c（1）用a ，b ，c 表示1AC ，BD 和AO（2）求异面直线1A C 与DA （3）证明BD平面11CAA C ．18．（本题满分12分）已知圆C 的圆心C 在直线30x y -=上，且与x 轴相切，直线0x y -=与圆C 交于A 、B 两点，且ABC ∆（1）求圆C 的方程；（2）当圆C 的圆心在第一象限时，过点4,1P （）作圆C 的切线，求切线方程．19．（本题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD 中，平面PAD 平面ABCD ，PAPD ，PA PD ，ABAD ，1AB ，2AD ，5AC CD． （1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM //平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分） 如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BADE 平面ACFD ，ABAC ，3AB ，112ADDFFCAC ． （1）求证：AB 平面ACFD （2）求二面角F BE D21.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O xy ，点A ，B 是直线0()x y m m R与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．（1）若ABC 为正三角形，求直线AB 的方程； （2）若直线30xy 上存在点P 满足0AP BP ，求实数m 的取值范围．22.（本题满分12分）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ,BC 的中点，将正方形ABCD 沿EF 折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为60，点M 在线段AB 上(包含端点)运动，连接AD ．（1）若M 为AB 的中点，直线MF 与平面ADE 的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60？若存在，求此时二面角MEC F 的余弦值；若不存在，请说明理由．高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1 2 3 4 5 6 7 8 BACDBCBD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.12-或48 14. 1-或11- 15. ()7,22,5⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭; 16. 252-四、解答题 17.解：因为1111ABCDA B C D 是平行六面体，所以11CA CD DA AA a b c ，1AC a b cAO =AC CO =111()=222a bb c a b c ,BD a b …………………3分 由知：1AC a b c ，而DA b因为1CD ，底面ABCD 是正方形，所以1a b，,90a b又因为1160C CB C CD，12CC ，所以2c，,,60a cb c ，因此2221222AC a bcab ac bc2221+1+2+0+212cos60212cos6010若异面直线1A C 与DA 所成角为， 则111coscos,AC DA AC DAAC DA ()210510110a b c b 因此异面直线1A C 与DA 10分 9 10 11 12 ABDBCBCDACD（3）因为ABCD 是正方形，所以BD AC ,又1()BD CC a b c a c b c =12cos6012cos60所以1BDCC ,又1AC CC C ,所以BD 平面11CAA C …………………………10分18.解：（1）设圆心C 的坐标为)3,(t t ，则半径为t 3．∴圆心C 到直线0x y -=的距离为t t t d 223=-=，t t t AB 72)2()3(222=-=．则2142722121t t t d AB S ABC =⋅⨯=⋅=∆， 由14=∆ABC S ,解得1±=t ．符合条件的圆C 的方程为()()()()9319312222=+++=-+-y x y x 或．……6分（2）当切线的斜率存在时，设过点(4,1)P 的圆的切线方程为1(4)y k x ，即410kx y k ，由点到直线的距离公式得圆心1,3（）到直线的距离2341=31k k dk ，解得512k，所以切线方程为51(4)12y x 即51280x y 当直线斜率不存在时，直线方程为4x ，圆心1,3（）到直线的距离是3，是圆的切线 综上，过点(4,1)P 的圆的切线方程为51280x y 和4x………………………12分19．（1）取AD 的中点O ，连接PO , CO ，因为PA PD ，所以PO AD又因为PO 平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO 平面ABCD ，所以POOC .因为ACCD ，所以CO AD .以,,OC OA OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意得，(0,1,0)A ,(1,1,0)B ,(2,0,0)C (0,1,0)D ,(0,0,1)P (0PD ，-1,-1)，(2PC ，0,-1)设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z ，则00n PD n PC，即020y z x z ，令2z ，则1x ，2y ，所以(1,2,2)n ，又(1,1,1)PB ，设PB 与平面PCD 所成角为，则1223sincos ,393n PB n PBn PB ，所以直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为33…………………………………6分 (2)设M 是棱PA 上一点，不妨设存在0,1，使得AMAP 因此点0,1,)M （，(1,,)BM因为BM平面PCD ，所以要使BM //平面PCD ，则0BM n，即(1,,)1,2,2)0（，解得1=4，所以在棱PA 上存在点M ，使得BM //平面PCD ，此时14AM AP ………………………………………………………………………………12分20. 证明：连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DGAC 交AC 于点G ，因为112AD DF FCAC ，所以12AG ,32DG ，32CG , 60DAC ，所以=3CD ，所以222AD CD AC ，即CD AD ，又因为平面ABED 平面ACFD ，且平面ABED平面=ACFD AD ，平面CD平面ACFD ，所以CD 平面ABED ，又AB平面ABED ，所以CD AB ，又因为AB AC , AC CD C ， ,AC CD 平面ACFD所以AB 平面ACFD …………………………………………………………………5分解：如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ，由（1）知AB 平面ACFD所以AB AH ,ABAC ,以A 为原点，以,,AB AC AH 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ,13(0,2D ,33(0,2F ,(0,2,0)C , 所以(3,2,0)BC,13(0,,)22CF ，设平面FBE 的法向量为(,,)n x y z ，则00n BC n CF即32013022x y y z ，令2x ，则(2,3,3)n ， 由（1）知CD平面BED ，所以33(0,,)22CD 是平面BED 的一个法向量，则93322cos,443n CD n CDn CD设二面角FBE D 的平面角为，又二面角F BE D 的平面角为锐角， 3cos 4，所以二面角F BE D 分 21.解：（1）由ABC 为正三角形，得223AOB ACB 所以6ABO BAO，所以原点O 到直线AB的距离11sin62d 12，解得22m 或22m ， 所以直线AB 的方程为2220x y 或2220x y ．…………………………5分（2）方法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y 因为0AP BP，所以点P 在以AB 为直径的圆上，由题知过原点且与直线0()xy m m R 垂直的直线方程为+=0x y ， 联立00x y x y m 得22m xm y， 所以以AB 为直径的圆的方程为222)()1222m m m x y （，其中22m又点P 在直线30xy 上，即直线与圆有公共点，2312m m ，即222310m m ， 解得311322m．综上，实数m 的取值范围是311322，．……………………………………12分 方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y联立直线AB 与圆O 方程，得221x y x y m消去y 得222210xmx m ①所以1x ，2x 是①的两个解，判别式22=2)42(1)0m m （，即22m ，且12+x x m ，21212m x x 设点(,)P x y ，则11(,)AP x x y y ，22(,)BP x x y y ,由0AP BP ，得1212()()()()0x x x x y y y y ② 将3yx，11y x m ，22y x m 代入②，整理得2212121222(3)2(3)()(3)0x x x m x x x m x x m又12+x x m ，21212m x x ，所以22223320x x m m关于x 的方程22223320xx m m 有实数解， 因此2223)42(32)0m m （，即222310m m ，解得311322m．综上，实数m 的取值范围是311322，． ……………………………12分 22.解：（1）因为直线MF 平面ABFE ，故点O 在平面ABFE 内，也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线(即直线AE )上，延长EA ，FM 交于点O ，连接OD ，如图所示．因为//AO BF ，M 为AB 的中点，所以OAM ≌FBM ，所以OM MF ，2AO BF,故点O 在EA 的延长线上且与点A 间的距离为2,连接DF 交EC 于点N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是DF 的中点． 连接MN ，则MN 为DOF 的中位线，所以//MN OD ， 又MN平面EMC ，OD平面EMC ，所以直线//OD 平面EMC ．……………4分(2)如图，由已知可得EF AE ，EFDE ，又EA DE E ，所以EF平面ADE ，且60DEA所以平面ABFE ⊥平面ADE ,因为60DEA ,DE AE ，所以ADE 为等边三角形，取AE 的中点H ，连接DH ，则DH AE ,所以DH 平面ABFE ,过点H 作直线//HT EF ,以H 为坐标原点，以,,HA HT HD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，(1,0,0)E ,(0,0,3)D ,(0,4,3)C ,(1,4,0)F ,所以(1,0,3)ED,(1,4,3)EC设(1,,0)04)M t t （，则(2,,0)EMt , 设平面EMC 的法向量为(,,)mx y z ，00m EM m EC即20430x ty x yz，取2y ，则x t ，83t z，所以平面EMC 的一个法向量为8(,2,)3tm t ， 要使直线DE 与平面EMC 所成的角为60， 则2283cos,sin 602824()3DE mt t ， 即22332419t t ，整理得2430t t ，解得1t 或3t 所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60, 取ED 的中点Q ，连接QA ，则QADE ,所以QA 平面CEF则QA 为平面CEF 的一个法向量，易得13(,0,)22Q ，1,00A （，），所以33=(,0,)22QA 设二面角M EC F 的大小为，222242cos ,841934()3QA m t t QA mt QA mtt ，当1t 时，易知为钝角，1cos4，当3t 时，易知为锐角，1cos 4， 综上，二面角M EC F 的余弦值为14. ………………………………12分。
2020-2021学年深圳市实验学校高二数学下学期1-3次段考卷合集练附答案解析
C27 27
(a 3)
能被
9
整除的正整数
a
的最小值，则
x
1 x
n
的展开式
中，下列结论正确的是( )
A. 第 7 项系数最大
B. 第 6 项系数最大
C. 末项系数最小
D. 第 6 项系数最小
12．关于多项式
1
2 x
x
6
的展开式，下列结论正确的是(
)
A. 各项系数之和为 1
B. 各项系数的绝对值之和为 212
.
当
2k
r
0(0
k
r
6,
r, k
Z)
时为常数项，所以多项式
1
2 x
x
6
的展开式中有常数项，故
C
不正确.
当
2k
r
3, 0
k
r
6, r, k
Z
k 时，r
3, 3
或
k r
4, 5,
(1)3 C36C33 20
(1)4 C56C54 21
40 ，所以
x3
的系数为
40，
故 D 正确）.
16.解：四个盒子放球的个数如下:
（ k N* ），求集合{x | dk
x
dk1, x Z}的元素个数（写出具体的表达式）.
深圳实验学校高中部 2020-2021 学年度第二学期第一阶段考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
C
B
D
广东省深圳实验学校高中部2020-2021学年第一学期高二数学作业20201124(数列综合较难)
) A.3 B.2 C. 2 D. 1 33
8． 在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，若 1 , 1 , 1 依次成等差 tanA tanB tanC
数列，则（ ）
A. a, b, c 依次成等差数列
B. a , b, c 依次成等差数列
C. a2 , b2 , c2 依次成等差数列
B. a , b, c 依次成等差数列
C. a2 , b2 , c2 依次成等差数列
D. a3, b3, c3 依次成等差数列
9．设数列 an的前 n 项和为 Sn ．且满足
an Sn
1
1
，则
S
n
的取值范围是
C
A． (,1) B． 0,
C．
1 2
,1
D．
1 2
,
10．成等差数列的三个正数的和等于12 ，并且这三个数分别加上1, 4,11 后成为等比数列
2
1 2
an 1 (n
N)
，且
a1
1 .（1）证明：数列
1 an
为等差数
列，并求数列
an
的通项公式；（2）若记
bn
为满足不等式
1 2n
ak
1 2n1
(n
N
)
的正整
数
k
的个数，设 Tn
1
(1)n bn
bn
bn (1)n
，求数列1 9a2 3n an n2 , (n N * ) .
．（1）求证：数列
1
an
1 是等比数
列；（2）设 bn 2n anan1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn ．
2. 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化 速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某 地区 2012 年人口总数为 45 万，专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将发生如下变 化：从 2013 年开始到 2022 年每年人口比上年增加 0.5 万，从 2023 年开始到 2032 年每年人 口为上一年的 99% . (1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an 的表达式(注：2013 年为第一 年)； (2)若新政策实施后 2013 年到 2032 年的人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则 继续实施．问 2032 年后是否需要调整政策？(0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)
广东省深圳实验学校高中部2020学年高二数学上学期期中试题
深圳实验学校高中部2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ，+a b ，-a bC ．+a b ，-a b ，cD ．+a b ，++a b c ，c3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ．设11A B =u u u u r a ，11A D =u u u u r b ，1A A =u u u rc ，则下列向量中与12B M u u u u r相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=A ．1212||||g n n n nB ．1212|||||g |n n n nC ．1212|||g |n n n n D ．1212|||||g |n n n n7．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上18．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是A ．22B ．2C ．322D ．2210．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A ．3010B ．12C ．3015D ．151011．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为 A ．2B ．3C ．3D ．612．已知空间直角坐标系O xyz -中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA u u u r ，PB u u u r ，PC u u ur 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是 A ．O 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面 B ．O 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面C ．P 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面D ．P 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
深圳实验学校高中部2020—2021学年度第一学段考试高二数学试卷
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第一学段考试高二数学试卷高二数学(理)试卷时刻：120分钟满分：150分第一卷(选择题 满分50分)一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确, 请把正确的结论填涂在答题卡上.每小题5分，满分50分.1. 若命题”的逆命题是q ，命题"的逆否命题是r,则g 与厂的关系是(A)互为逆命题.(B)互为否命题. (C)互为逆否命题.(D)不能确定.2. 已知正方体ABCD-A }B {C {D }中，点F 是侧面CDDQ 的中心，若AF = AD+xAB+yAA if 则x-y 等于(A) 一丄.(B) 0・ (C)丄. (D) 1・2 23. 已知4(-4,6,-1八3(432),则下列各向量中是平而AO3的一个法向量的是(A) (0,1,6).(B)(—12—1)・ (0(-15436). (D)(15,4-36)・4. 设M = e R y x 2+ax+\ > o}, N =制玉 wR,(a-3)x+1 = o},若命题 p :a eM ,命题q: u 已N ,那么命题"是命题g 的7.设p 是双曲线二一二=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y = 0, cr 9仟、厲分别是双曲线的左、右焦点.若|P 川=3,则|P/s| =(A)充分不必要条件. (B) 必要不充分条件. (C) 充要条件.5. 若方程2伙$ -2)x 2 +k 2y 2 +k 2-k (A) (-^O ,-A /2) U(A /2,-+<O ). (C) (-2,-72)U(V2,2)U(2,3).2 26.设£为双曲线—+ — = 1的藹心率,2 rn (A) (-6-1)・(B)(0,6)・(D) 既不充分又不必要条件.•6 = 0表示椭圆，则&的取值范畴是(B) (-2,-阿 U (血,3). (D) (-2,3).且e e (1,2),则实数加的取值范畴为(C) (+l). (D) (-6,0).(A) 1 或5・(B)6・(C)7・(D)9・v2 v2h + c& 已知c是椭圆r +亠=1(«>b>0)的半焦距，则——的取值范畴是cr Zr a(A) (1,+s). (B)[运,w). (C)(1,V2] . (D)(1,V2).9. 椭圆C, : —+ — = 1的左准线为/,左.右焦点分别为抛物线C\的4 3准线为/,焦点是竹，6与C?的一个交点为P,则『巧I的值等于4 8(A) 一・(B)-・(C)4・(D)8・3 310. 抛物线y2 = 2px与直线a.x+y-4 = 0交于两点A、其中点A的坐标是(1,2),设抛物线的焦点为F,则\FA\ + \FB\等于(A) 7・(B)3A/5・(C)6・(D)5・深圳实验学校高屮部2005-2006学年度第二学段考试高二数学(理)试卷第二卷(非选择题满分100分)二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11・写出命题"BxeR^x2-x + 2> 0"的否定：_____________________________________ .12. 已知7 = (1,2,-1), b = (-2,3,0),若(〃叼+5)丄(a-b),则实数〃？ = ______________ :若(na^b)H(a-b),则实数“ =________________ .(第1空2分，第2空3分)213. 以双曲线X2- —= -1的对称中心为顶点，双曲线的焦点为焦点的抛物线的方3程是____________ .14•椭圆—+ -^— = 1的离心率是丄，则两准线间的距离为9 8 + 77? 2三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本题满分12分）设双曲线C的方程为—-y2 =1 ,直线/的方程是4y = kx+1 >当£为何值时，直线/与双曲线C（I）有两个公共点？（1【）仅有一个公共点？（【【【）没有公共点？16. （本题满分12 分）设N = ^x2+（aS）-8a<o}.命x + 3题p:xeM ,命题q ; x已N・（I）当a = -6时，试判泄命题p是命题g的什么条件；（II）求“的取值范畴，使命题〃是命题q的一个必要但不充分条件.17. （本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底而ABCD为正方形,AB=2, PA = y[2, PD = y/6 , PC =届,BQ 丄PC.(I )求证：平而PCD丄平面QBD：(II )求直线AC与平而PBC所成角的正弦值.18・(本题满分14分)已知正方体ABCD-A^QD,的棱长为3・(I )问在棱上是否存在点E,使异而直线£>£与色(7所成角的余弦为讣、斥, 若存在，指出点E的位置，若不存在，说明理由；(H)当点£在棱GD上，且D\E = 1时，求二面角B\—DE— G的余弦值.19. (本题满分14分)已知点A(LO),动点M到点A的跑离比到y轴的距离多1・（I ）求动点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在如此的点3,过点8的任意直线与点M的轨迹相交于P、Q两点时，使得线段P0的中点到原点O的距离恒为P0长度的一半？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.20. （本题满分14分）已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线/,交椭圆于A、3两点，若椭圆上存在一点C,使四边形QACB 为平行四边形.（I）求椭圆的离心率：（II）若AOAC的而积为15丫§,求那个椭圆的方程.深圳实验学校高屮部2005-2006学年度第二学段考试高二数学（理）参考答案一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确, 请把正确的结论填涂在答题卡上.每小题5分，满分5（）分.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（第12题第1空2分，第2空3 分）.12. in = — x /? = —1 ： --- 2_ 14. 12 或三.解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步 骤.215. （本题满分12分）设双曲线C 的方程为罕-于=],直线/的方程是4y = kx+\.当k 为何值时，直线/与双曲线C（I ）有两个公共点？ （II ）仅有一个公共点？（III ）没有公共点？ 2解：把y = kx+1 代入—-v 2= 1 得:（1 -4/r 2）x 2 -3kx-8 = 0............. （*）4 当1一4/=0,即k=±丄时，方程（*）为一次方程，只有一解.2/o Fy i当 1一4/ 工0且厶=（一8£）2—4（1一4/）（一8）>0,即一 —<Z:< —且《工± —2 2 2时，方程（*）有两个不等实根.当 1一碌2工0且厶=（一洙）2一4（1一4/：2）（—8） = 0,即k = +—时，方程（*）有2两个相等实根.当 1一 4/H0 且厶=（一洙）2-4（1一4戸）（一8）<0,即 k<- —或二时，方2 2程（*）没有实根.因此，（I ）当—且土丄时，直线/与双曲线c 有两个公共点：2 2 211. Vx e /?,x 2 -x + 2 < 0；13. x 2 = 8yglcx 2 = -8y :(H)当k = ±-或k = ±空时，直线/与双曲线C仅有一个公共点：2 2/J(III)当k<_[或《>丄「时，直线/与双曲线C没有公共点.2 216. (本题满分12 分)设三>1], N =\xx2+(aS)Sa<o},命x + 3题p'.x^M ,命题c/:xe N .(I )当a = -6时，试判定命题p是命题q的什么条件；(II)求"的取值范畴，使命题"是命题g的一个必要但不充分条件.解：M={A|X<-3<¥>5},N = {^(x-8)(x + a)<0}.(I )当a = -6时，N = {Y|6 < x < 8).•.•NuM,二当xeN时，有xwM,但xwM时不能得岀x已N .因此，命题"是命题g的必要但不充分条件.(II)当ov—8时，?/={A-|8<X<-«},有N uM,满足命题”是命题q的必要但不充分条件. 当“>一8 时，/V = {x|-«<x<8),要使N uM,须一a >5,即一8<a<-5.当« = -8时，N = {8},满足命题"是命题q的必要但不充分条件.因此，"的取值范畴是"V—5・17. (本题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为正方形, PAB=2, PA =迈,PD =屁 PC = V10 , BQ丄PC. A\(I )求证：平而PCD丄平而QBD；(II)求直线AC与平面P3C所成角的正弦值.(I )证明：•・・ AD = AB = ZAC = 2x/2 ,PA =迈,PD =联,PC =、而,・••有PC2 = PA2 + AC2f PD2 = PA2 + AD2.则PA 丄AD, PA±AC.・・・PA丄底而ABCD.・•・BC = CD,・・・MBC竺HPDC・则由30丄PC,得D0丄PC, 因此，PC丄平而QBD.• PC u平面PCD, ••・平面PCD 丄平而I)(II)法一：过A 作AM 丄PB,垂足为M,连CM.•/ PA 丄底而 ABCD, BCu 底面43CD, .•.BC 丄 PA又•.• BC 丄 AB,二 3C 丄平而 PAB ，BC 丄 AM , 则AM 丄平而PBC.因此，ZACM 为AC 与平而PBC 所成的角. 在直角AAMC 中，AM =卜；=半，&C = 2“. siiiZACM = — = 21. /法二：依(I )可知，PA 丄底而ABCD.x '以A 为坐标原点，AB. AD. AP 所在的直线分別为x 轴、y 轴、z 轴建殳空间 直角坐标系，则A(0,0,0).C(2,2,0), P(0,0,V2), B(2,0,0),/. AC = (2,2,0), BC = (0,2,0), ~PB = (2,0,』).设平面PBC 的法向量为n = (x, y, z),BCii = 0・x + 2 ・y + 0・ < =0,・血•历= 2x + 0y -辰=0. 令 x = l,解得 y = 0.z = y[2 ・COS V疋斤 >= “ "- = 和I・・・直线AC 与平而PBC 所成角与向量疋和法向量丘所成角是互余关系. 直线AC 与平而PBC 所成角的正弦值为总.618. （本题满分14分）已知正方体ABCD-A^C^的棱长为3・（I ）问在棱GD 上是否存在点E ，使异而直线DE 与5C 所成角的余弦为讣、/§, 若存在，指出点E 的位置，若不存在，说明理由；（II ）当点E 在棱G9上，且D\E = 1时，求二面角B\—DE — C\的余弦值.解：（I ）如图所示，以点£＞为坐标原点, DA . DC.分别为x、八z轴，建立空间直角坐标系.设存在满足题意的点E,且D 、E = f, 那么 ZXOQO), E(0』,3), C(0,3,0),目(3,3,3). • •旋=(0厶3), 阪= (3,0,3)・ •.•昭％所成角的余弦为箱6 2・••存在点E, E 的坐标为(0丄3)或0£ = 1时，DE 与QC 所成角的余弦为一、你・(II) CB 丄 T 【liiDEC],二 CB = (3,0.0)为丫 [们 DEC 】的法向屋，记为® =(3,0,0)・ 设平而B {ED 的法向屋:为n 2 =(aj^c)»取 c = l,解得 a = 2,b = —3,故 n 2 = (2,—3,1). -* — /?. V14• •COSV 厲” >=—:———= ----- ・I 7 2 —• —• rj> - n /二而角B 厂DE-C,的余弦值为岁.19. (本题满分14分)已知点A(l,0),动点M 到点4的距离比到y 轴的距离多1. (I )求动点M 的轨迹方程；(II)在x 轴上是否存在如此的点B,过点B 的任意直线与点M 的轨迹相交于戶、 0两点时，使得线段P0的中点到原点O 的距离恒为PQ 长度的一半？若存在，求岀 点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(I )依题意，点M 到点A 的距离等于到直线x = -l 的距离，因此点M 的轨迹/. cos< DE, CB, >=H-H3、伍肿+ 9v DB 、 = (3,33)，DE = (04,3)，/.DBi n 2 =3a + 3b + 3c = 09 DE^=b + 3c = 0 ・是以A 为焦点，以兀=一1为准线的抛物线，方程为y 2 =4x.(II)当线段PQ 的中点到点O 的距离为P0长度的一半时，AAOB 为宜角三角形, ZPOQ =90° .假设存在满足条件的点3 ,点〃坐标为(“,0).当过点3的直线垂直于x 轴时，依题意有BP=BQ=BO,则点P 的坐标为点P(“,d)在抛物线b =4.r±, /. o = 4. 下面证明点3(4,0)满足条件.当过点B 直线不垂直于x 轴时，设该直线的斜率为k 伙H0)，则直线方程为y =心一4),又设P 、0两点的坐标为P (册，》)、g(x 2,y 2).k op 'k OQ =-1 => —• —= -1, + =0. (1)把)1=«(州一4)、y 2 =k(x 2 -4)代入⑴中,得（1 + &［）牙［开三 _4&三（工］+X 2） + 16^2 = 0 ・ (2)2 — A Y 由卜 "' 消去y ,得宀一（加+4）x + 16l =0, ）,=心一4）「则(2)的左边=（1 + 鸟2）・ 16—4*2 肚 宀 + 加=16 + 16^2 —32£2 _16 + 16比2 =0.・•・（2）式对任意k 恒成立.因此，存在满足条件的点3,点B 坐标为(40)・20. (本题满分14分)已知椭圆的中心在原点O,焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线人交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C,使四边形OAC3为 平行四边形.(I)求椭圆的离心率： (II) 若△O4C 的面积为15、你,求那个椭圆的方程.解：(I )设椭圆方程为二+二=1 (a>b>0),cr b-X] +x 2 = 加+4 ~T~~直线l:y = x-c , B(x 2,y 2), AB 中点为(%儿)・由上+ ^T ，得y = x-c(a 2 +b 2)x 2 -2a 2cx + a 2(c 2 - 庆)=0=>册 +x ? =" I tr +lr_A -+X 2 _ /c 、.― -b 2c 丿吠-一---儿一"一;Th_ 2b 2 f* ・・•四边形OAC3为平行四边形，・・・兀。
广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高二上学期第一阶段考试数学试卷
深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期第一阶段考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知(2,1,3)=a ，(4,2,)x =--b ，且⊥a b ，则x =A ．103B ．103-C ．6-D ．62．已知直线1l ：sin y x α=⋅，2l ：3y x a =+，则1l 与2l A ．通过平移两直线可能会重合B ．不可能会垂直C ．通过绕1l 上某点旋转可以重合D ．可能与x 轴围成等腰直角三角形3．已知A ，B ，C ，D 是平面α内不共线的四点，P 为平面α外一点，若1123PA PB PC xPD =++，则x =A ．21B ．31C ．41D ．614．已知(2,0,0)OA = ，(0,3,0)OB = ，(0,0,6)OC =，则以下与平面ABC 平行的向量是A ．(1,2,1)-B ．(1,2,1)--C ．(1,2,1)--D ．(1,2,1)5．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点坐标为(1,1)-，则直线AB 的方程为A ．210x y +-=B ．0x y +C ．230x y -+=D ．1y =6．已知点(2,0)A ，(0,2)B ，点C 在圆2220x y x ++=上，则△ABC 的面积的最小值为A ．3+B ．3C ．2D ．37．已知圆心在y 轴上的圆C 与直线3460x y --=相切，且截直线3410x y ++=所得的弦长为C 的方程为A ．22764(225x y ++=B ．22764()225x y ++=，或223()42x y ++=C ．22(1)4x y +-=D ．22(1)4x y +-=，或22516(225x y ++=8．已知直线l ：210x y λλ+--=，圆C ：221x y +=，O 为坐标原点．①若直线l 与圆C 相切，则l 的方程为3450x y -+=②点O 到直线l③若圆C 关于直线l 对称，则2λ=-④若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则当17λ=-或1-时，△OAB 的面积有最大值以上说法正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳实验学校2021-2022学年高二上学期第一阶段考试数学试题(wd无答案)
广东省深圳实验学校2021-2022学年高二上学期第一阶段考试数学试题一、单选题1. 以两点和为直径端点的圆的方程是（）A．B．C．D．2. “直线与互相垂直”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 在三棱锥中，M是的中点，P是的重心．设，，，则（）A．B．C．D．4. 已知向量，，，若，，共面，则实数（）A．B．C．D．5. 经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）A．或B．或C．D．6. 已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线．若切线长的最小值为，则直线的斜率为（）A．4B．-4C．D．7. 在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M 是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（）A．B．C．1D．8. 如图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点.若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且存在使成立，则与侧面所成角的正切值最大为（）A．B．C．D．二、多选题9. 下列命题中，是假命题的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为10. 已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A．向量的模是B．可以构成空间的一个基底C．向量和夹角的余弦值为D．向量与共线11. 以下四个命题表述正确的是（）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．曲线与曲线恰有三条公切线，则D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点12. 已知直三棱柱中，，，O为的中点.点P满足，其中，则（）A．对时，都有B．当时，直线与所成的角是30°C．当时，直线与平面所成的角的正切值D．当时，直线与相交于一点Q，则三、填空题13. 两平行直线与间的距离为3，则___________ .14. 已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则 ________ .15. 已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为 _____ ．16. 过点作动直线的垂线，垂足为点M，若已知定点，那么的最小值为 ________ .四、解答题17. 如图，已知平行六面体的底面是正方形，且，，，为与的交点，设，，.（1）用，，表示，和；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）证明：平面.18. 已知圆C的圆心C在直线上，且与x轴相切，直线与圆C 交于A、B两点，且的面积为.（1）求圆C的方程；（2）当圆C的圆心在第一象限时，过点作圆C的切线，求切线方程 .19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值.（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.20. 如图，在三棱台中，平面平面，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.21. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：x2+ y2=1，点A，B是直线x- y+ m=0( m∈R)与圆O的两个公共点，点C在圆O上.（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；（2）若直线x- y- =0上存在点P满足，求实数m取值范围.22. 如图1，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上（包含端点）运动，连接.图1图2（1）若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.。
广东省深圳实验学校高中部2023-2024学年高二上学期第一阶段数学试题
深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟满分：150分命题人：陈素玲审题人：彭新春一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若直线l 1:x -2y +3=0与l 2:2x +ay -2=0平行，则l 1与l 2的距离为()A.55B.255C.455D.52.已知A 1,-2,1 ，B 1,-5,4 ，C 2,3,4 ，则AC 在AB上的投影向量为()A.(0,-2,2)B.(0,2,-2)C.(0,-1,1)D.0,1,-13.已知n=(1,2,2)为平面α的一个法向量，点A (1,0,0)为α内的一点，则点P (3,1,1)到平面α的距离为()A.2B.43C.1D.234.点P -2,-1 到直线l :1+3λ x +1+λ y -2-4λ=0λ∈R 的距离最大时，直线l 的方程为()A.3x +2y -5=0B.3x +2y +8=0C.2x -3y -2=0D.2x -3y +1=05.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P -ABCD 为阳马，PA ⊥平面ABCD ，且EC =2PE ，若DE =xAB +yAC +zAP，则x +y +z =()A.13B.1C.53D.26.已知实数x ,y 满足x +y +1=0，则x 2+y 2-2y +1+x 2-2x +y 2-4y +5的最小值为()A.10B.32C.25D.57.如图，二面角α-l -β等于120°，A ,B 是棱l 上两点，BD ,AC 分别在半平面α,β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =1,AC =2,BD =3，则CD 的长等于()A.22B.23C.4D.258.正四面体的棱长为3，点M ,N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM ⋅PN的最大值为()A.2B.94C.3D.52二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是()A.两条不重合直线l 1,l 2的方向向量分别是a=2,3,-1 ,b =-2,-3,1 ，则l 1∥l 2B.直线l 的方向向量a =1,-1,2 ，平面α的法向量是u=6,4,-1 ，则l ⊥αC.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=2,2,-1 ,v =-3,4,2 ，则α⊥βD.直线l 的方向向量a =0,1,1 ，平面α的法向量是u=1,0,1 ，则直线l 与平面α所成角的大小为60°10.如图,在底面为正方形的四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AP =AB =1,则下列说法正确的是()A.异面直线PB 与AC 所成的角为60°B.直线PD 与平面PAC 所成的角为30°C.平面PBD 与平面PAB 的夹角为30°D.点C 到面PBD 的距离为3311.设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my +1=0和过定点B 的动直线mx -y -3m +4=0交于点P (x ,y )，则下列说法正确的是()A.平面上存在定点Q 使得PQ 的长度为定值B.PA +PB 的最大值为8C.PA ⋅PB 的最大值为32D.点P 到直线AB 的距离的最大值为2212.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 为边AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，点A 折至A 1处(A 1∉平面ABCD )，若M 为线段A 1C 的中点，平面A 1DE 与平面DEBC 所成锐二面角α，直线A 1E 与平面DEBC 所成角为β，则在△ADE 折起过程中，下列说法正确的是()A.存在某个位置，使得BM ⊥A 1DB.ΔA 1EC 面积的最大值为22C.sin β=2sin αD.三棱锥A 1-EDC 体积最大时，三棱锥A 1-EDC 的外接球的表面积16π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l 1:mx -y +1=0，l 2:3m -2 x +my -2=0，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为.14.已知向量a =(2,-1,2)，b =(-1,2,-2)，c =(5,-1,λ)，若a ,b ,c 三向量共面，则实数λ=.15.在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在侧面AA 1B 1B 内，F 是AA 1的中点，若D 1E ⊥CF ，则ΔEBC 的面积的最小值为.16.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 是正方体表面上一动点，且PA =2PA 1，则点P 形成的轨迹的长度为.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)请求出满足题意的直线方程：(1)过定点(1,3)且在两坐标轴上截距相等的直线；(2)求经过直线l 1:x -3y -4=0和l 2:2x +y -1=0的交点，且与直线l 3:4x -3y +5=0垂直的直线的方程．18.(本题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，且∠A 1AD =∠A 1AB =60°，AB =AA 1=2，AD =1，O 为AC 与BD 的交点，设AB =a ，AD =b ，AA 1 =c.(1)用a ，b ，c表示A1O ，BD 1 ；(2)求异面直线A 1O 与BD 1所成角的余弦值.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=4．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3．(1)证明：B2C2⎳A2D2；(2)求点B1到平面A2C2D2的距离；20.(本题满分12分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⎳CD，AB⏊AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．(1)求平面B1CE与平面B1C1E夹角的余弦值；(2)线段C1E上是否存在点M使得直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，若存在，请求出EMEC1的值，若不存在，请说明理由．已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线l 1,l 2均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线l 1,l 2是一组“P λ共轭线对”，如直线l 1:y =2x ,l 2:y =-12x 是一组“O -1共轭线对”，其中O 是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.(1)已知l 1,l 2是一组“O -3共轭线对”，求l 1,l 2的夹角的最小值；(2)已知点Q -1,-2 ，直线l 1,l 2是“Q -2共轭线对”，当l 1的斜率变化时，求原点O 到直线l 1,l 2的距离之积的取值范围.22.(本题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥AB ，且PB =PD ，底面ABCD 是边长为23的菱形，∠BAD =π3.(1)证明：面PAC ⊥面ABCD ；(2)若直线CP 与平面ABCD 所成角的正弦值为55，点Q 为棱PC 上的动点，求平面ABQ 与平面PBC 夹角的正弦值的最小值.深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第一阶段考试高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.12345678CDAABBDC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9101112ACABDABDBD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.0或114.415.85516. 8π9+3π3四、解答题17.解：(1)y =3x ，y =-x +4(2)y =-34x -14(1)①截距均为0：设直线方程：y =kx ，∵直线过定点(1,3)∴k =3，∴y =3x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分②截距不为0：设直线方程：xa +y a=1,∵直线过定点(1,3)∴1a +3a =4a=1∴a =4∴x4+y 4=1即y =-x +4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分综上，满足题意直线方程为y =3x ，y =-x +4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)设l 1,l 2的交点为A ，直线斜率为k联立x +3y -4=02x +y -1=0 ，解得x =1y =-1 ，所以l 1,l 2的交点为A (1,-1),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分∵直线与直线l 3:4x -3y +5=0垂直，直线l 3的斜率为43∴k ⋅43=-1∴k =-34⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分由点斜式可得，y +1=-34(x -1)整理得y =-34x -14或3x +4y +1=0. ⋯⋯⋯⋯10分的底面ABCD 是矩形，且∠A 1AD =∠A 1AB =60°18.解：(1)因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是平行六面体，所以A 1O =A 1A +AO =-c +12(a +b )=12a +12b -c ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分BD 1 =BA +AD 1 =-a +b +c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)因为CD =1，底面ABCD 是矩形，所以a =2,b =1，<a ,b>=90°又因为∠A 1AD =∠A 1AB ，CC 1=2，所以c =2，<a ,c>=<b ,c >=60°，因此A 1O =14a 2+14b 2+c 2+12a b +a c +b c =32，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分BD 1 =a 2+b 2+c 2-2a b -2a c +2b c =7，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分A 1O ⋅BD 1 =12a +12b -c⋅(-a +b +c )=-3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分若异面直线A 1O 与BD 1所成角为θ，则cos θ=cos <A 1O ,BD 1 > =A 1O ⋅BD 1A 1O ⋅BD 1 =277，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因此异面直线A 1O 与BD 1所成角的余弦值为277．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19.(1)以C 为坐标原点，CD ,CB ,CC 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0),C 2(0,0,3),B 2(0,1,2),D 2(1,0,2),A 2(1,1,1),∴B 2C 2 =0,-1,1 ,A 2D 2=0,-1,1 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵B 2C 2 =A 2D 2 ,∴B 2C 2 ⎳A 2D 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵B 2C 2,A 2D 2不在一条直线上，∴B 2C 2⎳A 2D 2. ⋯⋯⋯⋯6分(2)法一：设平面A 2C 2D 2的一个法向量为m=(x ,y ,z )，A 2C 2 =(-1,-1,2),A 2D 2=(0,-1,1),所以A 2C 2 ⋅m=-x -y +2z =0A 2D 2 ⋅m=-y +z =0，设z =1，则x =1,y =1，所以m=(1,1,1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因为B 1(0,1,4),C 2B 1=(0,1,1), ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分所以点B 1到平面A 2C 2D 2的距离d =C 2B 1 ⋅m m=23=233. ⋯12分法二：∵B 2C 2⎳A 2D 2∴A 2,B 2,C 2,D 2四点共面点B 1到平面A 2C 2D 2的距离可转化为点B 1到平面A 2B 2C 2的距离，设为d ，⋯⋯⋯⋯7分∵A 2B 2=2=B 2C 2,A 2C 2=6,∴ΔA 2B 2C 2为等腰三角形，S ΔA 2B 2C 2=12×6×2-32=32⋯⋯⋯9分又∵V B 1-A 2B 2C 2=V C 2-A 2B 1B2∴13S ΔA 2B 2C 2⋅d =13S ΔA 2B 1B 2⋅1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分即32⋅d =1∴d =233，所以点B 1到平面A 2C 2D 2的距离为233⋯⋯⋯⋯⋯12分20.如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得B (0,0,2),C (1,0,1),B 1(0,2,2),C 1(1,2,1),E (0,1,0)(1)B 1C 1 =(1,0,-1),B 1E =(0,-1,-2),B 1C=(1,-2,-1)．⋯⋯⋯1分设平面B 1CE 的法向量n 1 =(x ,y ,z )，则B 1C ⋅n 1=x -2y -z =0B 1E ⋅n 1 =-y -2z =0 令z =1，则x =-3,y =-2，∴平面B 1C 1E 的一个法向量为n 1=(-3,-2,1)．⋯⋯⋯⋯3分设平面B 1C 1E 的法向量n 2 =(x ,y ,z )，则B 1C 1 ⋅n 2=x -z =0B 1E ⋅n 2 =-y -2z =0令z =1，则x =1,y =-2，∴平面B 1C 1E 的一个法向量为n 2=(1,-2,1)．⋯⋯⋯⋯⋯5分于是cos <n 1 ,n 2 >=n 1 ⋅n 2n 1 ⋅n 2=214×6=2121平面B 1CE 与平面B 1C 1E 夹角的余弦值为2121. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)AE =(0,1,0),EC 1 =(1,1,1)，设存在符合题意的点M ，且EM =λEC 1=(λ,λ,λ),0≤λ≤1，则AM =AE +EM=(λ,λ+1,λ)．⋯⋯⋯⋯⋯7分平面ADD 1A 1的一个法向量m为(0,0,1)，⋯⋯⋯⋯⋯8分设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ=cos <AM ,m > =AM ⋅mAM ⋅m=λ3λ2+2λ+1=26∴15λ2-2λ-1=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分∴(3λ-1)(5λ+1)=0，∴λ=13或-15(舍去)⋯⋯⋯⋯11分∴存在点M 使得直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，此时EM EC 1=13.⋯12分21.(1)设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为-3k，两直线的夹角为α，则tan α=k --3k1+-3=12k +3k≥3，∵α∈0,π2 ∴π3≤α<π2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分等号成立的条件是k =±3，所以直线l 1,l 2的夹角最小值为π3；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)设l 1:y +2=k x +1 ，l 2:y +2=-2kx +1 ，其中k ≠0，故d 1d 2=k -21+k 2×-2k -2 1+4k2=2k 2-2 k 2+1 k 2+4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分=2k 4-4k 2+4k 4+5k 2+4=21-9k 2k 4+5k 2+4=21-9k 2+4k2+5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分由于k 2+4k 2+5≥9(等号成立的条件是k 2=2)，故1-9k 2+4k2+5∈0,1 ，d 1d 2∈0,2 .⋯⋯⋯⋯⋯12分22.解：(1)连接BD 交AC 于点O ，连接PO .因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ,且O 为BD 的中点.∵PD =PB ，所以PO ⊥BD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又∵AC ,PO ⊂平面APC ，且AC ∩PO =O ，所以BD ⊥平面APC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又BD ⊂平面ABCD ，所以，平面APC ⊥平面ABCD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2)法一：设点P (0,m ,n )，则CP =(0,m -3,n ),AB =(3,3,0),DP=(3,m ,n )∵PD ⊥AB ∴DP ⋅AB=3+3m =0∴m =-1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵直线CP 与平面ABCD 所成角的正弦值为55，平面ABCD 的一个法向量m =(0,0,1)∴cos <CP ,m > =CP ⋅mCP ⋅m=n (m -3)2+n 2=55即(m -3)2=4n 2，解得n =2或-2(舍去)∴P (0,-1,2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分法二：过P 做PH ⊥AC 交AC 于点H ，∵平面APC ⊥平面ABCD ，PH ⊥AC ，平面APC ∩平面ABCD =AC ，∴PH ⊥面ABCD ，∵AB ⊥PD ,AB ⊥PH ,PH ,PD ⊂面PHD ，PH ∩PD =P ，∴AB ⊥面PHD ,∵DH ⊂面PHD ,∴AB ⊥DH ，∴H 为DH ,AO 的交点，∵ΔABD 为等边三角形∴H 为ΔABD 的重心，⋯⋯⋯⋯⋯4分∴OH =13OA =13×32×23=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∵PH ⊥面ABCD ，∴∠PCH 即为直线CP 与平面ABCD 所成角，在ΔPCH 中，sin ∠PCH =PH PH 2+16=55,解得PH =2,∴P (0,-1,2)⋯6分以O 为原点，OB ,OC 所在直线为x ,y 轴建立如图所示坐标系BP =(-3,-1,2),BC=(-3,3,0)，设平面PBC 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则BP ⋅n 1=-3x 1-y 1+2z 1=0BC ⋅n 1 =-3x 1+3y 1=0，令z =2，则x =3,y =1，∴平面PBC 的一个法向量为n 1=(3,1,2)．⋯⋯⋯⋯⋯7分设PQ =λPC=(0,4λ,-2λ),λ∈[0,1],则AQ =AP +PQ =(0,4λ+2,2-2λ),AB=(3,3,0),设平面ABQ 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则AB ⋅n 1=3x 2+3y 2=0AQ ⋅n 1 =(4λ+2)y 2+(2-2λ)z 2=0，令x =3，则y =-1,z =2λ+11-λ，∴平面ABQ 的一个法向量为n 2 =3,-1,2λ+11-λ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分设平面ABQ 与平面PBC 夹角为θ，于是cos θ=cos <n 1 ,n 2 > =n 1 ⋅n 2 n 1 ⋅n 2=2+2⋅2λ+11-λ22×4+2λ+11-λ 2 =1+2λ+11-λ2×4+2λ+11-λ2，⋯9分令2λ+11-λ+1=t (t >2)，则cos θ=t 2×(t -1)2+4=t 2×t 2-2t +5=12×5t 2-2t +1，⋯⋯⋯⋯⋯10分当1t =15即t =5,λ=12时，(cos θ)max =104，⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分此时(sin θ)min =64，∴平面ABQ 与平面PBC 夹角的正弦值的最小值为64. ⋯⋯12分。