排队问题-数学建模
数学建模：排队论2
无顾客
无顾客
n
无顾客 1 个顾客
n
1 个顾客 无顾客
n
1 个顾客 1 个顾客
n
9
上述四种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
概率
A
n
无顾客 无顾客 pn (t )(1 t )(1 t )
B
n+1
无顾客 1 个顾客 pn1(t )(1 t )t
时刻 t 顾客数
0 1 0
区间[ t，t + △t )
时刻 t + △t
到达顾客 离开顾客 顾客数
无顾客
无顾客
0
无顾客 1 个顾客
0
1 个顾客 1 个顾客
0
16
上述三种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
A
0
无顾客
无顾客
B
1
无顾客 1 个顾客
D
0
12
dpn (t ) dt
pn1(t )
pn1(t )
(
)
pn (t )
解上述方程的解是很困难的。这里只研究系统达到平
稳状态的情况，即系统运行了无限长时间之后，状态
概率分布不再随时间变化，显然此时 dpn (t ) 0
dt
13
由此可得，当 n≥1 时：
pn1 pn1 ( ) pn 0，n 1
第四节 单服务台负指数分 布排队系统
讨论单服务台的排队系统，并设定： 顾客到达过程服从泊松分布。 顾客服务时间服从负指数分布。
2
排队问题-数学建模
第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。
本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。
针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。
由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。
以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。
针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。
可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。
所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。
针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。
根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。
针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。
关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。
数学建模排队论
数学建模排队论
排队论是一种数学理论，它研究的是人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
在排队论中，数学建模被广泛应用于分析和优化这些系统的性能和效率。
排队系统的基本构成包括到达过程、服务过程和队列规则。
到达过程指的是顾客或流量进入系统的过程，它可以用概率分布来描述。
服务过程指的是系统为每个顾客提供服务的时间，同样也可以用概率分布来描述。
队列规则则规定了顾客在等待队列中的顺序以及他们被服务的顺序。
在排队系统中，我们通常关注两个主要的性能指标：平均等待时间和平均队列长度。
平均等待时间指的是顾客在进入系统后需要等待多长时间才能接受服务的时间平均值，而平均队列长度则指的是在某个时间点等待服务的顾客数量的平均值。
为了分析和优化排队系统的性能，我们可以使用数学模型进行建模。
其中最常用的模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等。
这些模型分别描述了不同的到达过程、服务过程和队列规则，并且可以计算出各种性能指标。
例如，M/M/1模型表示到达过程和服务过程都是泊松分布，并且只有一个服务窗口。
在这种情况下，我们可以使用该模型计算出平均等待时间和平均队列长度，并比较不同服务率下的性能指标。
M/M/c模型则表示到达过程和服务过程都是泊松分布，但是有c个服
务窗口。
在这种情况下，我们可以研究如何合理分配服务窗口的数量以优化系统的性能。
数学建模排队论是一种非常有用的工具，它可以用来分析和优化人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解这些系统的性能和效率，从而为实际应用提供指导。
数学建模-排队论(二)
基本的排队模型
一、随机服务过程基本组成 二、随机服务记号方案 三、排队论的重要公式
一、基本组成
排队系统
输入 来源
顾客
队列
服务机构 服务完离开
排队系统的三个基本组成部分
输入过程 (顾客到达规律) 排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务) 服务机构 (服务机构的设置，服务台的数量，
服务的方式，服务时间分布等)
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务(FCFS)；后来先服务(LCFS)；随 机服务(RSS)；有优先权的服务(PS)；排队模 型中也用到服务中的“一般规则（GD）”它 包括前三种排队规则。
基本排队模型－服务规则
服务机构可以有一个，也可以有多个； 对于多个服务台可以是并列、串列、混合
排列； 服务方式可以是一个或成批； 服务时间分布：
排队论
（Queueing Theory）
排队等候随机服务现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等
一系列等待现象比比皆是
排队论的基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理论 是研究由顾客、服务机构及其排队现象所 构成的一种排队系统的理论。
若 时,即 1 此时顾客在 系统中的逗留时间服从参数为 的
指数分布。
三、排队论的重要公式
平均到达率：单位时间 平均队长： 内到达顾客的平均数 平均服务率：单位时间 内被服务顾客的平均数 平均等待时间： 服务强度：/
AB AB AB
A
B
第t时刻有 n-1个顾客
Pn1(t) Pn1(t)
服务率问题、顾客满意问题）
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模核酸检测排队问题是一个典型的排队论问题。
排队论是数学的一个分支，主要研究排队等待和系统服务的问题。
以下是一个简单的数学模型来描述这个问题：1. 模型假设：假设核酸检测点只有一个，即只有一个服务台。
到达过程服从泊松分布，即每单位时间到达的人数是一个随机变量，且这个随机变量服从泊松分布。
服务时间服从指数分布，即每个人接受核酸检测所需的时间是一个随机变量，且这个随机变量服从指数分布。
2. 排队系统的表示：M/M/1表示：到达过程是泊松分布（M表示"Markovian"，即到达是相互独立的），服务时间也是指数分布（第二个M表示"Markovian"），并且只有一个服务台（1）。
3. 系统状态：系统状态可以用一个非负整数n 来表示，表示当前排队等待的人数。
4. 系统平衡方程：系统的平衡方程组为：P(0) = ρP(1) + (1 - ρ)P(0)其中 P(n) 表示系统中有 n 个人在等待的概率，ρ 是平均到达率与平均服务率之比。
5. 求解平衡方程：求解平衡方程可以得到 P(0), P(1), P(2), ... 等。
6. 性能指标：系统通常关注的性能指标包括：平均排队长度、平均等待时间、平均忙期等。
这些都可以通过求解平衡方程得到。
7. 扩展模型：如果考虑多个核酸检测点（服务台），则模型变为 M/M/c，其中 c 是服务台的数量。
如果考虑到达率和服务率随时间变化的情况，则模型会更复杂。
8. 实际应用：根据这个模型，可以预测在某个时间段内需要多少个核酸检测点来满足需求，或者预测某个时间段内的平均排队长度等。
这个模型提供了一个基本的框架来描述核酸检测排队问题，但实际情况可能更复杂，需要考虑更多的因素。
数学建模排队论模型
数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。
排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。
一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。
顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。
队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。
等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。
系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。
排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。
单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。
多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。
二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。
在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。
顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。
服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。
为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。
首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。
根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。
例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。
如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。
三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。
首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模摘要：一、背景介绍二、核酸检测排队问题描述三、数学建模思路和方法四、模型求解与分析五、结论与展望正文：正文一、背景介绍随着新冠疫情的不断发展，核酸检测已经成为疫情防控的重要手段。
在实际检测过程中，采样点和检测机构的数量、检测速度等因素都会影响排队等待的时间。
为了有效减少等待时间，提高检测效率，本文针对核酸检测排队问题进行数学建模，旨在寻求最优的采样点和检测机构数量以及检测速度。
二、核酸检测排队问题描述假设某地区有多个核酸检测采样点，每个采样点可以采集到的样本数量有限。
同时，样本需要送到检测机构进行检测，检测机构的数量和检测速度也会影响整个检测过程。
在排队等待检测的过程中，每个采样点的样本到达检测机构的时间和排队等待时间之和称为总等待时间。
我们需要找到合适的采样点和检测机构数量以及检测速度，使得总等待时间最小。
三、数学建模思路和方法为了描述核酸检测排队问题，我们可以建立一个数学模型。
首先，我们设xij 表示第i 个采样点采集的样本送到第j 个检测机构进行检测，其中i=1,2,...,m；j=1,2,...,n。
同时，我们设f_i 表示第i 个采样点的样本到达检测机构的时间，g_j 表示第j 个检测机构的检测速度。
排队等待时间可以用一个矩阵H 来表示，其中H[i][j] 表示第i 个采样点的样本在第j 个检测机构排队等待的时间。
我们的目标是最小化总等待时间，即求解以下优化问题：min ∑(xij * H[i][j])s.t.∑xij = 1 (i=1,2,...,m) # 每个采样点的样本数量之和为1xij ≥ 0 (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) # 变量非负四、模型求解与分析通过数学建模的方法，我们可以求解出最优的采样点和检测机构数量以及检测速度。
在得到最优解之后，我们可以根据实际情况调整采样点和检测机构的工作策略，从而有效降低排队等待时间，提高检测效率。
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模核酸检测是目前疫情防控中非常重要的一项措施，它能够快速、准确地检测出人体内是否存在新冠病毒。
然而，由于疫情的爆发，核酸检测的需求量大大增加，导致排队人数激增，排队时间也大大延长。
为了解决这一问题，我们可以运用数学建模的方法，通过对排队系统的分析和优化，来减少排队时间，提高核酸检测的效率。
首先，我们可以将核酸检测排队系统看作一个典型的排队论问题。
在这个系统中，人们排队等待核酸检测，每个人需要的检测时间是不同的，同时还受到其他因素的影响，比如核酸检测点的服务速度和人流量等。
为了建立模型，我们需要确定一些基本参数，比如平均服务速度、到达率以及排队长度。
通过对这些参数的测量和分析，可以得出排队系统的性质和特点。
其次，我们可以运用排队论中的一些经典模型来描述核酸检测的排队系统。
比如，我们可以使用M/M/1模型来描述只有一个服务台的情况，其中M表示到达过程和服务过程都是符合泊松分布的，1表示只有一个服务台。
通过这个模型，我们可以计算出系统的排队长度、平均等待时间和平均逗留时间等指标。
此外，如果有多个服务台，我们还可以使用M/M/c模型来进行模拟和计算。
除了基本的排队论模型，我们还可以考虑一些改进策略来优化核酸检测的排队系统。
例如，我们可以引入优先级机制，将一些特殊人群或者紧急情况优先安排，以减少其等待时间。
此外，我们还可以通过增加服务台的数量来提高服务效率，或者设置预约系统来避免过多人群集中在某个时间段内。
这些方法都可以在一定程度上提高核酸检测的排队效率。
最后，我们需要通过数据收集和分析来验证我们的模型和改进策略的有效性。
通过实际的排队时间和排队长度的测量，我们可以与模型计算的结果进行比较，从而评估我们的模型的准确性。
同时，我们还可以通过实际操作中的调整和改进来不断优化排队系统，使其更加适应实际情况。
综上所述，通过数学建模的方法来解决核酸检测排队问题是可行的。
通过对排队系统的分析和优化，我们可以减少排队时间，提高核酸检测的效率。
数学建模-排队论
①模型特点
顾客总体为m个，每个顾客到达并经过服 务台后，任然回到原来总体，所以任然可 以到来。
②系统的稳态概率 Pn ；
1
P0 m m! ( )i
i0 (m i)!
Pn
m! (m n)!
(
)n
P0
,1
n
m
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值）
Ls m (1 P0)
排队论
（Queueing Theory）
生活中处处可见的排队现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航、港口等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等一系
列现象 大型网游登陆前的排队等等
基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理 论，是研究由顾客、服务机构及其排队 现象所构成的一种排队系统理论。
PnP10
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
n 1
(3)
这是关于 Pn 的差分方程，表明了各状态间的转移 关系，可以用下图表示：
0
1
n-1
n
n+1
由上式可得 Pn ( / )n P0 令 / 1（否则队列将
排至无限远），由概率性质知
Pn 1
n0
将
Pn
的关系带入，
P0
n
n0
1
P0 1
求 limPn(t) Pn，此时系统的状态概率分布不再随时间变化 n
（4）利用 Pn 求系统运行指标
①队长：系统中的顾客数，期望记为 Ls ②排队长：系统中排队等待覅物的顾客数，期望记为 Lq ③逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，期望记为 Ws ④等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，期望记
数学建模--排队论
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离
开系统。
课件
3
排队的形式：
顾客到达 队列 服务完成后离去 服务台
服务台1 顾客到达 队列
队列1
服务台2 服务台s
服务完成后离去
顾客到达
队列2 队列s
服务台1 服务台2
服务完成后离去 服务完成后离去 服务完成后离去
服务台s 课件
4
随机服务系统：
排队系统 输入 来源 顾客 队列 服务机构 服务完离开
课件
5
二、排对系统的描述
系统由三个部分组成：
输入过程 排队和排队规则 服务机制
M/D/1
D/M/1
M/E k/1
课件
30
结束语
排队论是专门研究带有随机因素，产生 拥挤现象的优化理论。也称为随机服务 系统。 排队论应用十分广泛。
课件
31
n 1
1
因此：
pn (1 )
n
n 0,1,
课件
23
②几个主要数量指标 平均队长：
L npn n(1 )
n n 0 n 0
1
平均排队长：
Lq (n 1) pn L (1 p0 ) L
(-数学建模)排队论模型
最简单流应 x(t):t具0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0 t1 t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
的分布只取决于 t1,t2, 而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
对互不交接的时间区间序列 a i,b i ( 1 i， n )
(-数学建模)排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
2020/7/22
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等 待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
x(bi)是x(a一i)组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 liP m xr (a t)x(a ) 1 0
t
t
即在t时间内，事件发生多于1次的概率为 o(。t)
2020/7/22
定理1设 x(t):t是0 最简单流，则对任何 和a0 t 0
都有 P x (a r t) x (a ) k (k )ke t (k 0 ,1 ,2 , ) k !
2020/7/22
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一 顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显 然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服 务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是 最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待 的时间愈短愈好。
我们把满足这一分布规律的随机过程 x(t):t0
称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别
飞机排队问题_数学建模
问题一飞机排队问题(1)问题机场通常都有用“先来后到”的原则分配飞机跑道.即当飞机准备离开登机口时,驾驶员电告地面控制中心,加入等候跑道的行列.假设控制塔可以从快速反应数据库中得到每架飞机的如下信息:1)预定离开登机口的时间;2)实际离开登机口的时间;3)机上乘客人数;4)预定在下一站转机的人数和转机时间;5)到达下一站的预定时间.又设共有7种飞机,载客量从100人起以50人递增,最大的飞机载客量为400人.这7种飞机可能分属不同的航空公司.试开发和建立一种能使乘客和航空公司双方都满意的数学模型,以安排飞机起飞的先后次序.(2)假设1)机场控制塔上有一个快速反应的数据库,该库中存贮着每一架飞机的正点起飞时间,正点抵达目的地的时间,乘客数量,飞行距离等信息,其他一些有用的参数,可以根据数据库中已有数据估计出来.2)所有飞机都在同一专用跑道上起飞,任何一种飞机在跑道上起飞所需要的时间相同,这样可以把时间划分成间隔为△的起飞时段.3)标号为i的飞机在第j个时段起飞所需费用与先前起飞的飞机无关,仅与其安排的次序有关.这一假设使我们可以把总费用作为飞机调度排序的线性函数.4)所有飞机从登机口到跑道起点的时间相同.5)记τ为使飞机尚能正点到达目的地所推迟起飞的最长时间.同时假定,当飞机的误点时间超过τ时,则飞机将以最大的安全速度飞行.6)如果飞机推迟起飞的时间超过τ,则机上所有下站转机的乘客都将耽误转机.7)因误点而要求改航的赔偿费对每一个乘客都是相同的.(3)记号及意义△: 飞机起飞的时间间隔;t 最早起飞的飞机离港时间;dt : 正点起飞的时间;A T : 正点到达目的地的时间; t: 晚点时间;τ: 最大允许晚点起飞的时间;k: 各种类型的飞机因晚点起飞而引起耗油的费用常数;av V : 平均飞行速度; m ax V : 最大的安全飞行速度;r: 要求改航的乘客的赔偿费; π: 下站转机的乘客数; P: 乘客总数;: 由于晚点起飞所引起的乘客不满意程度的增长率;a: 全体乘客由于飞机晚点起飞所引起的不满意度折合成美元的折合率; b: 耽误转机的乘客不满意度折合成美元的折合率. ★分析与建模若有n 架飞机都要求在时刻正点起飞,并且认为所有飞机都有直通跑道.我们以总费用最小作为目标来安排飞机起飞的次序.总费用由两部分组成,即航空公司的费用和乘客不满意程度所折合的费用.设ij c 为标号i 的飞机在第j 个起飞时段起飞的费用,引入状态变量ij x ,其定义为⎩⎨⎧=，其它个起飞的飞机第当标号为0,1j i x ij则总费用为∑∑===ni nj ijij x c Z 11为了保证每一架飞机只安排在一个时段内起飞及每一个时段△内只有一架飞机起飞,因此对状态变量ij x 增加约束条件:∑==iijn i x,...,2,1,1∑===nj ijn j x1,...,2,1,1由假设条件可知,ij c 与ij x 无关,因而总费用C 是一个线性函数.这是一个指派问题.假定每隔△时间只有一架飞机离开登机口加入到请求起飞的行列中,这样就保证总有飞机请求起飞.每隔△时间,执行一次程序,以安排在当前状态下最优的起飞次序.这里需要说明一点,该程序运行时间极短,不到一分钟便可完成,因此,如果数据发生变化时,如飞机晚点进港等, 几乎可以立即决策. ★下面来分析费用系数的确定问题.总费用应包括航空公司的费用和乘客的不满意度所折合的费用.首先把基本费用视为0,即设飞机在正点起飞时的费用为0,仅考虑由于飞机晚点起飞所导致的额外费用.航空公司的费用主要由两部分组成.一部分为额外的汽油费,这个费用主要是由于飞机晚点起飞时,要在空中快速飞行所额外消耗的汽油费;另一部分为耽误了转机的乘客需要改航时的赔偿费.若飞机晚点起飞,为了正点抵达目的地,它必须在空中以更快的速度飞行,这样由于风阻力的增大和其它因素,就要增加汽油的消耗.我们不太清楚速度的增加如何引起耗油费和增加,但当飞机加速过程结束,在空中以最大安全速度飞行时,额外的耗油费将是一个常数.为简单起见,选用线性函数来表示额外的油耗费,其公式为:⎩⎨⎧><=τττt k t kt t F ,,)(其中,t 为飞机晚点起飞的时间,显然当飞机正点起飞时,t =0,若t 0为首架起飞的时刻,d t 为正点起飞的时刻,△为起飞的时间间隔,则第j 个起飞的飞机晚点起飞的时间为:d t j t t -∆-+=)1(0由于τ为最长的晚点起飞时间,即当晚点起飞的时间超过τ以后,即使在空中以最大速度飞行,也不能正点抵达目的地,因此max V d t T d A --=τ其中A T 为正点抵达目的地的时刻,d 为飞行距离, m ax V 为最大的安全飞行速度.d 可用公式来表示av d A V t T d )(-=其中d t 为正点起飞时刻, av V 为正点起飞时平均飞行速度.常数k 与油价、单位晚点时间油耗的增加率及最大安全飞行速度有关,同时还应与飞行距离有关,当然飞行距离越长,额外的油耗就越大.由于飞行距离为τ--d A t T ,乘以最大安全飞行速度,则有:⎩⎨⎧>--<--=τττττt t T k t t t T k t F dA d A ,)(,)()(下面再计算改航旅客的赔偿费.为简单起见,由假设条件,记每一个改航旅客的赔偿费用为一个常数r(若赔偿不同,则令r 为赔偿的期望值).由于当飞机晚点起飞时,所有下站转机的乘客都将改航,则改航的赔偿费为:)()(τπ-=t u r t Rπ为转机旅客总数,u(t)为单位阶梯函数,即⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(s s s u费用系数中还应考虑乘客的不满意程度.一般地,飞机晚点起飞的时间越长,旅客就越抱怨,其不满意程度就越大.如果晚点时间只有1~2分钟,旅客就不会太不满意.但是,随着晚点时间的增加,旅客会非常生气,而不满意度会急骤增加,因此我们选用指数函数描述旅客的不满意程度.这个不满意程度对机上每一旅客都是如此,但对下站要转机的乘客,还需要追加另外的不满意度,用D(t)表示总的不满意程度所折合的费用,则)()1()(τπα-+-=t u b e ap t D tp 为机上乘客总数,π为下站转机的乘客总数,为了保证在正点起飞时乘客的不满意度为0,因而采用了)1(-te α的形式,显然t=0时,D(0)=0. α为乘客不满意度的增长率,a,b 为折合率,)1(-t e ap α代表全体乘客不满意度折合的费用,)(τπ-t u b 为下站转机乘客追加的不满意度所折合的费用,这一项只有当τ≥t 才起作用.综上所述，费用系数ij c 应为额外油耗费、赔偿费、及不满意度所折合的费用之和)()()(t D t R t F c ij ++=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-+--<≤-+--<∞=τππττττααt b r e ap t T k t t e ap t t T k t t c t dA d t d A d ij ,)1()(),1()(,t 和τ由下式给出max0)()1(v V t T t T j t t t avd A d A d ---=∆-+-=τ2）计算实例为了执行简单，再作一些假设。
数学建模之排队问题
排队问题教程一：复习期望公式()i i p a X P ==，∑=ii i p a EX ，()()∑=ii i p a g X Eg二：排队问题单个服务台排队系统问题（比如理发店只有一个理发师情况）：假定顾客到达时间间隔()λ/1~e X 分钟，每个顾客接受服务的时间长度为()μ/1~e Y 分钟，假定1）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客到达的概率为()2t o t ∆+∆λ 2）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客到达的概率为()2t o ∆ 3）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客接受完服务离开概率为()2t o t ∆+∆μ 4）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客离开的概率为()2t o ∆用()t p n 表示在t 时刻，没有离开的顾客数（由于指数分布无记忆性，正在接受服务的顾客还需要接受的服务时间和任何一个顾客的接受服务时间同分布）。
记t 时刻在服务系统总人数n 的概率为()t p n ，则在t t ∆+时刻在服务系统总人数n 的概率()t t p n ∆+由以下几个不相容部分构成a)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，也没有顾客离开，概率 ()t p t o t t o t n ))(1))((1(∆-∆-∆-∆-μλb)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，有1顾客离开，概率 ()t p t t n ⋅∆⋅∆μλc)：t 时刻有n-1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，没有顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(-∆-∆-∆μλd)：t 时刻有n+1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，有1个顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(+∆-∆-∆λμ e)：其他情况，概率()t o ∆由上面分析，()()()()()()()t o t p t t t p t t p t t t t p ∆+∆-⋅∆+⋅⋅∆-+⋅∆⋅∆=∆+1000111λμλμλ()()[]()()()t o t p t o t t t p t o t t t t t o t t o t t p t t p n n n n ∆+∆-∆-∆+∆-∆-∆+∆⋅∆+∆-∆-∆-∆-=∆++-11))(1())(1())(1))((1(λμμλμλμλ，1≥n简写()()()()()()00111p t t t p t t t p t o t λμλ+∆=-∆⋅+∆⋅-∆+∆()()[]()()()t o t p t t p t t t t p t t p n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆-∆-=∆++-11)1)(1(μλμλ即()()()()()t o t p t t p t t p t t p ∆+⋅∆+⋅∆⋅-=-∆+1000μλ()()()()()()()t o t p t t p t t t p t p t t p n n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆+-=-∆++-11μλμλ因此得到()()()()t p t p t p 100⋅+⋅-='μλ()()()()()()t p t p t p t p n n n n 11+-⋅+⋅++-='μλμλ假定()k t k p t p −−→−∞→，()()0−−→−∞'→t k t p 得到 010=⋅+⋅-p p μλ()011=⋅+⋅++-+-n n n p p p μλμλ把0p 当作已知，求解通项n p >将p(1)用)0(/p μλ代入得()()()n n n n p p p p μλμλλμμλμ001=→-+-=再，由1=∑kkp，我们得到()10=∑∞=n np μλ，>因此μλμ-=0p ， nnn p p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μλμλμμλ0 问题1：系统平均有几个人没有离开？解答：系统有n 个人没有离开的概率n p ，因此，系统中滞留人数平均∑∞=0n n np>问题2：系统中排队等待服务平均有几个人？()∑∞=-11n npn>问题3：系统中平均每个人排队等待时间？解答：当一个顾客进入系统中，发现前面已经有n 个顾客在系统中，则他排队等待的平均时间就是这n 个顾客的平均服务时间总和（由于指数分布无记忆特性，不管正在接受服务的顾客已经服务了多少时间，其还要接受的服务时间依然服从相同的指数的分布）因此系统中平均每个人排队等待时间为nn pn∑∞=0μ>问题4：系统中每个顾客逗留时间平均？解答：每个顾客平均排队用时+每个顾客平均服务用时为所求 >。
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模摘要：一、引言二、核酸检测排队问题的背景和挑战三、基于粒子群优化的核酸检测排队模型四、模型的参数和结果分析五、结论正文：一、引言随着新冠病毒的全球传播，核酸检测已成为控制疫情传播的重要手段。
在大规模核酸检测中，排队问题成为了一个突出的挑战。
如何有效地安排核酸检测排队，减少人员的等待时间，成为了研究人员关注的焦点。
本文旨在探讨核酸检测排队问题的数学建模方法。
二、核酸检测排队问题的背景和挑战核酸检测排队问题的主要挑战在于如何在有限的检测资源下，合理地安排检测顺序，使得所有人的等待时间最小。
在实际应用中，核酸检测排队问题具有以下特点：1.检测人员到达的时间不确定，且间隔时间服从泊松分布；2.采样台的工作人员需要定期休息，每次休息时间为10 分钟；3.每个人的采样时间（不含排队时间）服从负指数分布，平均需要30 秒；4.排队按照先来后到的原则进行，队伍长度无限制。
三、基于粒子群优化的核酸检测排队模型为了解决核酸检测排队问题，本文采用了基于粒子群优化的排队模型。
粒子群优化算法是一种基于自然界中鸟群觅食行为的优化算法，具有较强的全局搜索能力。
在本文中，我们将核酸检测排队问题看作是一个优化问题，目标是最小化所有人的等待时间总和。
模型的参数设置如下：1.泊松分布的参数：人员到达的平均频率和方差；2.负指数分布的参数：人员采样时间的平均值；3.工作人员休息的时间间隔：1 小时。
四、模型的参数和结果分析通过粒子群优化算法，我们可以得到核酸检测排队的最优解。
在此基础上，我们可以分析模型的参数对排队结果的影响。
1.泊松分布的参数：人员到达的平均频率和方差对排队结果有较大影响。
当平均频率增大时，排队人数会增多，等待时间也会相应增加；当方差增大时，排队的波动性会增强，极端情况下可能会出现较长的等待时间。
2.负指数分布的参数：人员采样时间的平均值对排队结果也有影响。
当平均值增大时，每个人的采样时间会增加，排队人数会相应减少，但每个人的等待时间会相应增加。
数学建模中的排队论问题
数学建模中的排队论问题数学建模是运用数学方法来解决实际问题的一种学科，而排队论则是数学建模中的一个重要问题。
排队论是研究人们在排队等待时所产生的等待时间、服务时间、队列长度等问题的数学理论。
在各个领域中，排队论都有广泛的应用，例如交通运输、生产调度、服务管理等。
排队论的基本概念包括顾客、服务台、队列、到达率、服务率等。
顾客是指等待服务的个体，可以是人、机器或其他物体。
服务台是为顾客提供服务的地方，可以是柜台、服务窗口或机器设备。
队列是顾客排队等待的区域。
到达率是指单位时间内到达队列的顾客数量。
服务率则是指单位时间内服务台完成服务的顾客数量。
排队论的目标是通过数学模型来分析和优化排队系统，以提高效率和服务质量。
常用的排队论模型有M/M/1, M/M/c, M/M/∞等，其中M表示到达率和服务率满足泊松分布，1表示一个服务台，c表示多个服务台，∞表示无穷多个服务台。
在现实生活中，排队论的应用非常广泛。
以交通运输为例，交通流量大的道路上常常出现拥堵现象。
排队论可以用来研究交通信号灯的时序控制，从而减少交通阻塞和等待时间。
排队论还可以应用于生产调度问题，如工厂的生产线、餐馆的点餐队列等，通过优化排队系统可以提高生产效率和顾客满意度。
除了基本的排队论模型，还有许多扩展模型用于解决更复杂的实际问题。
例如，考虑到顾客的不满意程度，可以引入优先级排队模型。
考虑到服务台设备可能发生故障，可以引入可靠性排队模型。
排队论也可以与优化算法相结合，寻找最佳的服务策略和资源配置。
在数学建模中，解决排队论问题通常需要进行数学推导、建立数学模型、进行仿真实验以及进行实际数据的拟合和验证。
通过数学建模的方法，可以对排队系统的性能进行全面评估，从而提出改进方案和决策策略。
综上所述，数学建模中的排队论问题在实际应用中具有重要的意义。
通过研究排队论，可以优化排队系统，提高效率和服务质量。
随着科技的进步和数据的丰富，排队论的研究将在各个领域中得到更广泛的应用和发展。
数学建模排队论2
（2）系统的运行指标
队长： LS
Lq
,
队列长：
Lq
(n c)Pn
nc1
k 1
kPk c
(c)c c!(1 )2
P0 ,
逗留时间： wS
LS
(c)c c!(1 )2
P0
1
，
等待时间： wq
Lq
(c)c
c!(1 )2
P0 .
32
2020年4月26日
2、系统容量有限制：M/M/c/N/∞
1、标准型：M/M/1(M/M/1/∞/∞）
（2）系统的运行指标
1）平均顾客数（队长）：因为系统的状态为 n ，即
系统中有 n 个顾客，由定义得
LS
nPn
n0
n(1 ) n
n1
1
2）排队长（等待的平均顾客数）：
L q
(n 1)Pn
n1
LS
2
1
10
1、标准型：M/M/1(M/M/1/∞/∞）
n 1 n2...0 n n1. . .1
p0 1
1
Cn
n1
排队问题的求解
已知: 顾客到达间隔时间分布, 服务时间分布. 求: 队长: Ls -- 系统中的顾客数. 排队长(队列长): Lq -- 队列中的顾客数. Ls = Lq + 正在接受服务的顾客数 逗留时间: W s-- 顾客在系统中的停留时间 等待时间: Wq -- 顾客在队列中的等待时间. Ws = Wq + 服务时间 忙期, 损失率, 服务强度.
当 n c 时为 c ，当 n c 时为 n 。 令 称为系统的服务强度，即服务机构的平均
c
利用率。
当 1时，就会出排队现象，即有顾客在排队等待。
数学建模排队论
数学建模排队论
排队论是数学中的一个分支，主要研究排队系统的性质与特征。
排队系统是指存在一个或多个顾客到达某个服务设施，并等待服务的过程。
排队论的目标是通过数学方法研究这些系统的行为和性能，并提供优化方案。
排队论的主要研究内容包括：排队模型的建立、排队系统的性能度量、排队系统的稳定性与稳定条件、排队系统的解析解和数值解等。
排队模型通常包括顾客到达过程、服务设施的服务过程和排队规则等要素，用以描述各种不同类型的排队系统。
排队论的应用广泛，包括但不限于以下领域：
1. 交通流量分析：排队论可用于研究交通流量的稳定性和优化信号控制。
2. 队列管理：排队论可以应用于零售业、餐馆等地方的队列管理，用以提高服务效率和顾客满意度。
3. 通信网络：排队论可以用于分析数据包的排队和延迟问题，优化网络资源利用率。
4. 生产与制造：排队论可以用于分析生产线上的工人排队和设备故障等因素，优化生产效率。
5. 医疗系统：排队论可以应用于研究医院门诊和急诊的排队问题，优化资源分配和患者等待时间。
总之，排队论是一门重要的数学理论，通过研究排队系统的性能与优化方法，可以提高各种系统的效率和质量，对于实际问题的解决有着重要的应用价值。
( - 数学建模)排队论模型
（- 数学建模）排队论模型第五讲排队论模型【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数服从泊松分布。
修理一台机器平均花费20元。
现有技术水平不同的修理工人A 和B，A种修理工平均每天能修理1.2台机器，每天工资3元；B种修理工平均每天能修理1.5台机器，每天工资5元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。
问工厂录用哪种工人较合算？本讲主要内容1. 排队论的基本概念2. 单服务台的排队模型3. 多服务台的排队模型4. 排队系统的最优化问题5. 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题5.1 排队论的基本概念5.1.1 什么是排队系统排队论也称随机服务系统理论，它是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，在实际中有广泛的应用。
它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。
现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。
排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：（1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
（2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。
由顾客和服务员就组成服务系统。
（3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。
为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：1.输入过程即顾客来到服务台的概率分布。
排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。
我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。
所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。
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第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。
本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。
针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。
由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。
以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。
针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。
可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。
所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。
针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。
根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。
针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。
关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。
该模型显著特点是：服务设施是一个或者多个，需要被服务的人是无限制的，因此被服务者需要等待一段时间，因此会出现排队现象，被服务者的到来是完全随机的。
因此排队论又称为随机服务系统理论，它是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
排队系统又称服务系统。
服务系统由服务机构和服务对象构成。
排队系统包括三个组成部分：输入过程：考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
本题是病人随机到达且服从泊松分布。
排队规则：分为等待制、损失制和混合制三种。
当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。
在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。
如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。
有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。
本题中不考虑优先制，而是先到先服务，且队伍可以无限长，不考虑容量问题。
服务机构：可以是一个或多个服务台。
多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。
服务时间一般也分成确定型和随机型两种。
而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。
本题的服务台(医生)是有限且唯一的，诊断时间是随机的，且服从负指数分布。
排队论主要研究排队系统运行的效率，估计服务质量。
因此，研究排队问题，首先要确定判断系统运行优劣的基本量化指标，并求出这些指标的概率分布和数学特征。
要研究的系统运行指标主要有：1、排队模型的表示X/Y/Z/A/B/CX—顾客相继到达的间隔时间的分布；Y—服务时间的分布；M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔兰分布；Z—服务台个数；A—系统容量限制(默认为∞)；B—顾客源数目(默认为∞)；C—服务规则(默认为先到先服务FCFS)。
2、排队系统的衡量指标队长Ls—系统中的顾客总数；排队长Lq—队列中的顾客数；逗留时间Ws—顾客在系统中的停留时间；等待时间Wq—顾客在队列中的等待时间；忙期—服务机构两次空闲的时间间隔；服务强度ρ；稳态—系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。
3、到达间隔时间与服务时间的分布泊松分布；负指数分布；爱尔兰分布；Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。
泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为λ。
负指数分布又称指数分布。
泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔）服从指数分布。
指数函数的一个重要特征是无记忆性。
这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。
即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
如果指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为1/λ。
根据以上资料，解决本题的科室的工作状态问题，只需要运用排队论中最简单的单服务台，即M/M/1/∞/∞模型即可。
下面通过对该问题进行排队论模型嵌套进行求解。
三、模型假设1.首先确定医生的接待能力、病人的客源为无限大，且排除医生，病人的心理因素及插队等意外情况的发生。
2.排队只排一排，根据先到先得的原则，且每次医生只看一个病人，且每个病人肯定能得出诊断。
3.假设每段时间到来的病人数基本稳定，不会出现剧增和很长一段时间无人看病的问题。
四、符号说明符号意义n 任意时刻t内到达的病人数（个）Ls 平均病人数（个）Lq 等待的平均病人数（个）Ws 病人的平均看病（包括等待时间）时间(h) Wq 病人平均排队等待时间(h)λ单位时间内到达病人的平均数（个/h）μ单位时间内能诊断完的病人的平均数（个/h）m 座位数（个）T 看病耽误的时间(h)Q 损失的钱(元)ρ服务强度五、模型建立与解决：问题1模型建立与解决问题1模型建立：已知病人的到来服从Poisson流，即服从参数为λ的泊松分布，其中λ表示单位时间内到达病人的平均数。
医生诊断时间服从参数为μ的负指数分布，其中μ表示单位时间内能诊断完的病人的平均数。
1)设任意时刻t内到达的病人数为n的概率为P n(t)，病人的到来服从泊松分布，因此单位时间内病人的到达数服从X~P(λ)，则时间间隔△t为内病人到来的数目为G~P(λ△t)。
则△t内1个病人到达的概率为P(G=1)=λ△t*e-λ△t=λ△t+o△t，反之没有病人到达的概率为P(G=0)=1-λ△t*e-λ△t=1-λ△t+o△t2)由于医生的诊断时间Y~E(μ)，故病人被诊断时，1个病人被诊断完的概率为P{Y≤Δt }=1 -e-μ△t=μΔt + o(Δt)，没有被诊断完的概率为1-μΔt + o(Δt)。
3)在t+△t时刻考虑n个病人到来的概率P n(t+△t)，△t足够小的情况下，有以下4种情况：①t时刻系统中有n个病人到来，没有病人到来且没有病人诊断完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][ 1-μ△t+o(△t)]= (1-λ△t-μ△t)+o(△t)；②t时刻系统中有n+1个病人到来，没有病人到来且有1个病人诊断完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][μ△t+o(△t)]=μ△t+o(△t)；③ t时刻系统中有n-1个病人到来，有1个病人到来且没有病人诊断完毕，其概率为：[λ△t+o(△t)][1-μ△t+o(△t)]= λ△t+o(△t)；④其他状态的概率为o(△t)。
由于四种情况相互独立且不可能同时发生，所以得到系统中有n个病人到来的概率P n(t+△t)满足：P n(t+△t)= P n(t)(1-λ△t-μ△t)+P n+1(t)μ△t+P n-1(t)λ△t+ o(△t)移项整理，两边同除以△t，得：=λP n-1(t)+μP n+1(t)-(λ+μ)P n(t)+令△t→0，得:=λP n-1(t)+μP n+1(t)-(λ+μ)P n(t) n=1，2…当n=0 时，因为:P0(t+△t)= P0(t)(1-λ△t)+ P1(t)(1-λ△t)μ△t+ o(△t)所以有:= -λP0(t)+μP1(t)对于稳态情形，与t无关，其导数为零。
因此，得到:问题1模型求解：这是关于Pn 的差分方程，也反映出了系统状态的转移关系，即每一状态都=(λ/μ)n(n≥1)是平衡的，求解得:=(λ/μ)，递推可得P由概率的性质知=1，将上式代入λ/μ<1 时可得到=1-λ/μ，P=(1-λ/μ)(λ/μ)n因为病人到达规律服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ的负指数分布，其期望值就分别为λ，1/μ。
所以λ表示单位时间内平均到达的病人数，μ表示单位时间内能诊断完的病人数。
如果令ρ=λ/μ，这时ρ就表示相同时间内病人到达的平均数与能被诊断的平均数之比，它是刻画诊断效率和医院利用程度的重要标志，称ρ为服务强度。
上面在ρ<1的条件下得到了稳定状态下的概率Pn，n=0，1，2，…其实，如果ρ>1，可以证明排队长度将是无限增加的，即使ρ=1的情况下，P0(t)也是随时间而变化的，系统达不到稳定状态. 因此，这里只讨论ρ<1 时情况，从上面的推导知：P n=(1-ρ) ρn n=1,2…则服务系统的运行指标为：(1) 队长（平均病人数）：由于系统的状态为n 时即系统中有n个病人，由期望的定义得:(2) 排队长：（等待的平均病人数）=λ/(μ-λ)可以证明，病人在系统中看病时间服从参数为μ- 的负指数分布。
因此，有(3) 系统中病人的平均看病时间：(4) 系统中病人的平均等待时间：=题目中每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson 流，诊断时间服从负指数分布。
可以得到医院平均病人数：(人)医院等待的平均病人数：(人)病人的平均看病（包括等待时间）时间：h病人平均排队等待时间：h医院当中没有病人的概率为：1-=0.2病人到来不需要等待的概率即是医院中没有病人的概率问题一结论：由上结果可得，病人到来不需要等待的概率为0.2，医院平均病人数为4人，医院等待的平均病人数为3.2人，病人的平均看病（包括等待时间）时间为1h，病人平均排队等待时间为0.8h。