高中数学 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题

充分条件、必要条件与命题的四种形式

1．选择题：

(1)“1、x 、9成等比数列”是“x ＝3”的( )

A ．充分必要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )

A ．充分必要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

(3)若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．填空题

(4)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a ＋b i )(c ＋d i )为实数的充要条件是________

(5)“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、

“充要”、或“既不充分又不必要”填空)

(6)⎩⎨⎧>>1121x x 是⎩⎨⎧>>+122

121x x x x 的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、或“既不充分又不必要”填空)

3．解答题

(7)下列四个命题

①设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题2)2

(:2

22b a b a q +≤+，则p 是q 成立的充分不必要条件； ②“tan α ＝1”是“4

π=α”的充要条件； ③“a ＝1”是“函数f (x )＝｜x －a ｜在区间[1，＋∞)上为增函数”的必要不充分条件；

④设f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的充分而不必要的条件中．写出正确命题的序号并说明理由．

(8)已知数列{a n }和{b n }满足)(21221*N ∈++++++=

n n

na a a b n n ，求证：{a n }是等差数列的充要条件是{b n }是等差数列．本题可利用公式为： 6

)12)(1(21222++=+++n n n n

(9)已知p ：｜x －4｜≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范

围．

答案：充分条件、必要条件与命题的四种形式

(1)C (2)B 提示：a ＝－2时，两直线平行．

(3)C (4)ad ＋bc ＝0

(5)解：a ＝－1时，函数y ＝cos2ax －sin2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x 的最小正周期为π成立，所以答案充分不必要．

(6)x 1＞1且x 2＞1⇒x 1＋x 2＞2且x 1x 2＞1，但当取3,2121==x x 时，⎩⎨⎧>>+1

22121x x x x 成立， 而⎩⎨⎧>>1

121x x 不成立(1211<=x 矛盾!) ∴填“充分不必要”

(7)解：①命题p ：a ＝b 是命题2)2

(:2

22b a b a q +≤+等号成立的条件，故应为充分不必要条件． ②若“tan α＝1”，则4ππ+=k α，α不一定等于4π；而若“4

π=α”则tan α＝1， 所以“tan α＝1”是“4

π=α”的必要不而充分条件． ③若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；

而若f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则a ≤1，

所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件

④若“f (x )，g (x )均为偶函数”，则“h (x )为偶函数”；

而取f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝1＋2x ，得h (x )＝x 2＋1为偶函数，而f (x )为非奇函数也非偶函数，g (x )为奇函数，所

以应为充分而不必要的条件；

综上可知，正确的命题序号是①④．

(8)证明：①(必要性)设{a n }成等差数列，公差为d ，∵{a n }成等差数列 ∴n

na a a b n n +++++++= 321221＝n n n d n a +⋯++-+⋯++++⋯++21])1(3·22·1[)21(1＝ d n a 32)1(1⋅-+ 从而d d n a d n a b b n n 3

232)1(32111=---⋅+=-+为常数 故{b n }是等差数列，公差为d 3

2 ②(充分性)设{b n }是等差数列，公差为d ′，则b n ＝(n －1)d ′

∵b n (1＋2＋…＋n )＝a 1＋2a 2＋…＋na n ①

b n －1(1＋2＋…＋n －1)＝a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n ②

①－②得 12

)1(2)1(---+=

n n n b n n b n n na ])2([2

1])1([212121111d n b n d n b n b n b n a n n n '-+--'-++=--+=- d n b '-+=2

3).1(1 从而得d a a n n '=-+231为常数，故{a n }是等差数列 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列

(9)分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．

解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件． p ：|x －4|≤6⇒－2≤x ≤10；

q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇒[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 ①

∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式的|x －4|≤6解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)

解集的子集 又∵m ＞0 ∴不等式①的解集为1－m ≤x ≤1＋m