高中数学 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题
新高考高中数学1.2.3充分条件、必要条件类型题
命题判断、充分条件、必要条件类型题数学思想：集合与补集，数型结合、正难则反一、判断命题的真假例1：（正面）设集合A，B，有下列四个命题。
①A⊈B⇔与对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B=φ；③A⊈B⇔B⊆A⊆⊆A⊈B⇔⊆⊆x⊆A⊆⊆⊆x⊆B⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆ ⊆ ⊆点评：正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要。
例2：判断下列命题的真假.（反面）（1）若a>b，则ac2>bc2；（2）正项等差数列的公差大于零。
解：（1）假命题，当c=0时，ac2=b c2；（2）假命题，如数列20，17，14，11，8.点评：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可。
例3：（利用等价命题判断命题的真假）命题“若a>-6，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4因为原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题。
因为其逆命题若“a>-3，则a>-6”为真命题，故选B。
点评：因为原命题与其逆否命题的真假性保持一致，原命题的否命题与原命题的逆命题也互为逆否命题，所以判断原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的真假性时，只需判断两组逆否命题中的各一个命题的真假性即可。
四种命题中，真命题的个数只能是0，2或4个。
二、判断充分条件、必要条件以及充要条件的方法例4：（集合思想）已知p:|x|<1.q:x2+x-20<0，试判断┐p是┐q的什么条件。
解：设p、q对应集合P，Q，则P={x|-1<x<1），Q={x|-5<x<4）.因为P⫋Q，所以p=>q，且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件。
所以┐q➩┐p，┐p⇏┐q，所以┐p是┐q的必要不充分条件。
点评：若给出两个条件，通过数轴或者veen图得到两个条件的范围大小，从而得出结论。
高中数学第三讲 充分条件和必要条件练习北师大版选修21
高中数学第三讲充分条件和必要条件练习北师大版选修21一、考试说明理解必要条件、充分条件的意义，会分析四种命题的相互关系二、基础知识建构1、“若p则q”是真命题，即p⇒q；“若p则q”为假命题，即p⎭q.2、(1)若①，则p是q的充分不必要条件.(2)若p⎭ q, 但p⇐q,则p是q的②.(3)若③,则p是q的充分条件，也是必要条件,也是充要条件(一般要回答是充要条件)(4)若④,则p是q的既不充分也不必要条件.3、证明p是q的充要条件,分两步：证明：①充分性,把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.②必要性,把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以,p是q的充要条件.4、充分条件、必要条件常用判断法(1)定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断；(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题的逆否命题进行判断；(3)集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B、，则：若A⊆B,则p是q的充分条件；若A B,则p是q的充分非必要条件；若A⊇B,则p是q的必要条件；若A B,则p是q的必要非充分条件；若A=B,则p是q的充要条件若A∑B,且A⎛B,则p是q的非充分又非必要条件.5、当p⇒q时,称条件p是条件q的充分条件，意指为使q成立,具备条件p就足够了，“充分”即“足够”的意思,当p⇐q时,也称条件p是条件q的必要条件，因为q⇒p等价于非p⇒非q,即若不具备q,则p必不成立,所以要使p成立必须具备q .“必要”即“必须具备”的意思. “若p则q”形式的命题，其条件p与结论q之间的逻辑关系有四种可能：(1)p⇒q但q⇒p 不一定成立：这时,p是q的充分而不必要条件；(2)q⇒p但p⇒q不一定成立：这时,称p是q 的必要而不充分条件；(3)p⇒q且q⇒p：这时,称p是q的充分且必要条件；(4)p⇒q不一定成立且q⇒p不一定成立：这时,称p是q的既不充分也不必要条件.6、由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断7、一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案
q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
充分条件、必要条件与命题的四种形式
学案三 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、目标要求理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
二、知识梳理1、充要条件（1）定义：(2)若p ⇒q ，但q ⇒/p,则p 是q 的若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则p 是q 的2、四种命题（1）命题的四种形式：原命题： 逆命题：否命题： 逆否（2）四种命题的关系如下：三、基础训练1、a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件2、在ABC ∆中条件A 〉B 是B A 22cos cos <的 条件3、“ab<0”是方程a c by x =+22表示双曲线的 条件4、(2008山东文)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。
在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ）A 、 3B 、 2C 、 1D 、 0 四、典例精析例1（2007山东 理）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是① p:62>-<m m 或; q:32+++=m mx x y 有两个不同的零点。
② p:1)()(=-x f x f ；q:)(x f y =是偶函数。
③ p:βαcos cos =；q:βαtan tan =。
④ p:A =B A ；q:AC B C U U ⊆。
A. ①② B.②③ C.③④ D.①④例2已知p:2311≤--x ；q:).0(01222>≤-+-m m x x 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
例3已知数列{n a }的前n 项和)10(≠≠+=p p q p s n n 且，求数列{n a }成等比数列的充要条件。
五、综合训练一、选择题1、 条件p:∣x+1|>2;条件q:x>2,则p ⌝是q ⌝的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2、 是⎩⎨⎧>>3321x x ⎩⎨⎧>>+9x x 6x x 2121成立的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件3、四个条件b>0>a,0>a>b,a>0>b,a>b>0中，能使ba 11<成立的充分条件的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 (C)3 （D ）44、已知真命题“a c b ⇒≥>d ”和“a<b f e ≤⇔”,那么“d c ≤”是“f e ≤”的（ ）（A ）充分条件 （B ） 必要条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5、下列四个命题：（1） “若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题，（2） “相似三角形的周长相等”的否命题，（3） “若a 1≤,则方程0222=++-a a ax x 有实根”的逆命题，（4） “若,B B A =⋃则B A ⊇”的逆否命题其中真命题的是 （ ）A (1)(2) B(2)(3) C (1)(3) D （3）（4）6、已知=a,=b,=c,则a+b+c=0是A,B,C 三点构成三角形的是（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7、 已知222111,,,,,c b a c b a 均为非零实数，不等式0022221121>++>++c x b x a c x b x a 和的解集分别为集合M 和N,那么“212121c c b b a a ==”是 “M=N ”的( )（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8、 设有如下三个命题：甲：相交的直线l,m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l,m 中至少有一条与平面β相交;丙：平面α与平面β相交。
高中数学命题与充要条件练习题附答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a －b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a2R＞b2R，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．5．有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ．①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”． 因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．6．(2018·石家庄模拟)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A ．7．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B ．8．命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B ．要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C ．10．(2018·惠州第三次调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C ．11．(2018·贵阳检测)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A ．12．(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a ＞14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．命题p 等价于0＜a ＜4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝01＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＜0，则0≤a ＜4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件，故选A ． 13．下列命题中为真命题的是________． ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题．解析：对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故④为假命题．答案：②14．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：115．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②1．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝⎛⎭⎫0，π6⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2ab D ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/ x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.3．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B ．由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B ．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞25．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 6．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数． 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。
高考数学第一章 第三节 充分条件、必要条件与命题的四种形式 我来演练
一、选择题1．(2011·福建高考)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件．答案：A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B3．(2012·深圳调研)已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a |2＝1，a ＝±2.因此，p 是q 的充分不必要条件． 答案：A4．下列命题中是真命题的是 ( )A ．若向量a ，b 满足a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a <b ，则1a >1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 解析：对于选项A ，若向量a 、b 满足a·b ＝0，不能得出a ＝0或b ＝0，因此A 不正确．对于选项B ，如取a ＝－2，b ＝1，此时有a <b ，且1a <1b ，因此B 不正确．对于选项C ，如取b＝0，a ＝0，c ＝1，此时有b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列，因此C 不正确．对于选项D ，sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，因此D正确．答案：D5．下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题．答案：A二、填空题6．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假7．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－1三、解答题8．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形．(2)p：x，y是实数，xy>0；q：|x＋y|＝|x|＋|y|.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵xy >0⇒x ，y 同正或同负∴当⎩⎨⎧ x >0y >0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |， 当⎩⎨⎧x <0y <0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |， ∴xy >0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |，但反之不能推出，如当x ＝0，y ＝2时，有|x ＋y |＝|x |＋|y |成立，xy >0却不成立．∴p 是q 的充分不必要条件．10．求方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 解：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根．当a ＝0时，x ＝－12适合条件． 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a ≥0，∴a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a <1时，若方程有且仅有一负根，则1a <0，∴a <0.综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.。
高中数学新教材A版1.4 充分条件、必要条件经典练习题
1.4充分条件、必要条件1. 充分条件；2.必要条件；3. 充分条件与必要条件的应用；4. 充要条件的判断；5. 充要条件的证明；6. 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围；7. 充要条件的探求一、单选题1．（2019·全国高一课时练习）“0x ≠”是“0x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末）1x =-是1x =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题1:3x p y =-⎧⎨=⎩，命题:2q x y +=；则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·山东济宁高一月考）设x ∈R ，则“05x <<”是“1213x <+<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020·上海高一课时练习）设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2019·清华附中上庄学校高一期中）已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020·浙江高一课时练习）设a ∈R ，则a >4的一个必要不充分条件是（ ） A ．a >1B ．a <1C ．a >5D ．a <59．（2020·辽宁沈阳高一期末）“x y =”是“x y =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．（2020·全国高一课时练习）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件二、多选题11．（2019·全国高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件12．（2020·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为21x <的一个充分不必要条件的有（ ） A ．1x <B ．01x <<C ．10x -<<D ．11x -<<13．（2019·山东中区济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件14．（2019·山东省淄博第七中学高一月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是（ ） A ．AB A =B ．U UC A C B ⊇ C ．U C B A φ⋂=D ．U C A B φ⋂=三、填空题15．（2020·全国高一）“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种）16．（2020·全国高一）设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____．17．（2020·全国高一）已知集合{}12A x x =-<<，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.18．（2020·上海）“0x >”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为________. 19．（2019·全国）（1）“2230x x --=”的______条件是“3x =”； （2）“0a =”的______条件是“0ab =”．20．（2020·全国）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“210x -=”是“||10x -=”的______；（2）“5x <”是“3x <”的_______.21．（2018·浙江镇海中学高二期末）设条件():0p x m m ≤>，:14q x -≤≤，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为____，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为____. 四、解答题22．（2020·上海高一课时练习）试判断“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的什么条件.23．（2020·上海高一课时练习）设A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，则D 是A 的什么条件？24．（2020·全国高一课时练习）设U 为全集，,A B 是集合，判断“存在集合C ，使得,UA CBC ⊆⊆”是“AB =∅”的什么条件？25．（2020·全国高一）设集合{}2|320A x x x =-+=，{}|1B x ax ==，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合.26．（2020·全国高一单元测试）已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥． （1）当3a =时，求AB ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．27．（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．1.4充分条件、必要条件1. 充分条件；2.必要条件；3. 充分条件与必要条件的应用；4. 充要条件的判断；5. 充要条件的证明；6. 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围；7. 充要条件的探求1．（2019·全国高一课时练习）“0x ≠”是“0x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】0x ≠时0x >或0x <，所以“0x ≠”是“0x >”的必要而不充分条件，选B.2．（2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末）1x =-是1x =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】若1x =-，则1x =，故“1x =-”是“1x =”的充分条件.若1x =，则1x =±，推不出1x =-，故“1x =-”是“1x =”的不必要条件. 故“1x =-”是“1x =”的充分不必要条件. 故选：A.3．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题1:3x p y =-⎧⎨=⎩，命题:2q x y +=；则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=，所以p 是q 的充分条件；因为当2x y +=时， x 可能为1，y 也可能为1，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是q 的必要条件， 所以p 是q 的充分不必要条件，4．（2019·山东济宁高一月考）设x ∈R ，则“05x <<”是“1213x <+<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由1213x <+<解得01x <<，所以“05x <<”是“01x <<”的必要不充分条件. 故选B.5．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵:3p x <，:13q x -<<∴q p ⇒，但，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 6．（2020·上海高一课时练习）设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为N ⊆M.所以“a ∈M”是“a ∈N”的必要而不充分条件．故选B ．7．（2019·清华附中上庄学校高一期中）已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】{|1}x x >{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B. 点睛：p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ： p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .8．（2020·浙江高一课时练习）设a ∈R ，则a >4的一个必要不充分条件是（ ） A ．a >1 B ．a <1C ．a >5D ．a <5【答案】A 【解析】由题意，当a >4时，a >1是成立，当a >1成立时，a >4不一定成立，所以a >4是a >1的必要不充分条件，故选A.9．（2020·辽宁沈阳高一期末）“x y =”是“x y =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 因x y=x y =但x y =⇒x y =．10．（2020·全国高一课时练习）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件【答案】A 【解析】方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确． 二、多选题11．（2019·全国高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件【答案】ABC 【解析】 由AB B =得B A ⊆，所以“B =∅”可推出“A B B =”，反之不成立，A 选项正确；解方程2230x x --=，得1x =-或3x =，所以，“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”，B 选项正确；“m 是有理数”可以推出“m 是实数”，反之不一定成立，C 选项正确； 解方程1x =，得1x =±，则“1x =”是“1x =”必要条件，D 选项错误. 故选：ABC ．12．（2020·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为21x <的一个充分不必要条件的有（ ） A ．1x < B ．01x <<C ．10x -<<D ．11x -<<【答案】BC 【解析】解不等式21x <，可得11x -<<，{}11x x -<< {}1x x <，{}11x x -<< {}01x x <<，{}11x x -<< {}10x x -<<，因此，使得21x <的成立一个充分不必要条件的有：01x <<，10x -<<. 故选：BC.13．（2019·山东中区济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD 【解析】对于A ，因为“a b =”时ac bc =成立，ac bc =，0c时，a b =不一定成立，所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 错，对于B ，1a =-，2b =-，a b >时，22a b <；2a =-，1b =，22a b >时，a b <，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故B 错，对于C ，因为“3a <”时一定有“5a <”成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，C 正确；对于D“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D 正确. 故选：CD14．（2019·山东省淄博第七中学高一月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是（ ）A ．AB A =B ．U UC A C B ⊇ C ．U C B A φ⋂=D ．U C A B φ⋂=【答案】ABC 【解析】由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ．由 A ⊆B 可得A ∩B ＝A ，故A ∩B ＝A 是命题A ⊆B 的充要条件，故A 满足条件． 由U U C A C B ⊇可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U U C A C B ⊇，故U U C A C B ⊇ 是命题A ⊆B 的充要条件，故 B 满足条件．由U C B A φ⋂=，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U C B A φ⋂=，故U C B A φ⋂= 是命题A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．由U C A B φ⋂=，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故④U C A B φ⋂=不是命题A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ． 三、填空题15．（2020·全国高一）“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种） 【答案】必要不充分. 【解析】由1x >，一定有0x >；反之，当0x >时，不一定有1x >； 所以，“0x >”是“1x >”成立的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.16．（2020·全国高一）设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____． 【答案】充要 【解析】由题意知，r q ⇒，q s ⇔，s t ⇒，t r ⇒，所以r t ⇔． 故答案为：充要17．（2020·全国高一）已知集合{}12A x x =-<<，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞ 【解析】由x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件, 得：AB ,即1112m m +>-⎧⎨+>⎩,即1m ,故答案为：()1,+∞.18．（2020·上海）“0x >”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为________. 【答案】2x =（答案不唯一） 1x >-（答案不唯一） 【解析】“0x >”的充分非必要条件可以为2x =；一个必要非充分条件可以为1x >-； 故答案为：2x =（答案不唯一）；1x >-（答案不唯一） 19．（2019·全国）（1）“2230x x --=”的______条件是“3x =”； （2）“0a =”的______条件是“0ab =”． 【答案】充分非必要 必要非充分 【解析】（1）当“2230x x --=”时，3x =或1x =-，故不能推出“3x =”；当“3x =”时，“2230x x --=”.故“2230x x --=”的充分非必要条件是“3x =”.（2）当“0a =”时，“0ab =”；当“0ab =”时，可能0,0a b ≠=，故不能推出“0a =”.故“0a =”的必要不充分条件是“0ab =”.故填：（1）充分非必要；（2）必要非充分.20．（2020·全国）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“210x -=”是“||10x -=”的______；（2）“5x <”是“3x <”的_______. 【答案】充要条件 必要不充分条件 【解析】（1）设{}2|10{1,1}A x x =-==-，{|||10}{1,1}B x x =-==-，所以A B =，即“210x -=”是“||10x -=”的充要条件.（2）因为由“5x <”不能推出“3x <”；由“3x <”能推出“5x <”； 所以“5x <”是“3x <”的必要不充分条件. 故答案为：(1)充要条件;(2)必要不充分条件.21．（2018·浙江镇海中学高二期末）设条件():0p x m m ≤>，:14q x -≤≤，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为____，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为____. 【答案】1 4 【解析】由()0x m m ≤>得：m x m -≤≤p 是q 的充分条件 14m m -≥-⎧⇒⎨≤⎩01m ⇒<≤m ∴的最大值为1 p 是q 的必要条件 14m m -≤-⎧⇒⎨≥⎩4m ⇒≥m ∴的最小值为4四、解答题22．（2020·上海高一课时练习）试判断“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的什么条件. 【答案】必要非充分条件 【解析】当10x -=时，有(1)(3)0x x --=，可知10(1)(3)0x x x -=⇒--=； 当(1)(3)0x x --≠时，一定有10x -≠，故(1)(3)010x x x --≠⇒-≠， 即“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的必要条件.又当10x -≠时，取3x =，可得(1)(3)0x x --=.所以10(1)(3)0x x x -≠--≠.因此，“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的必要非充分条件.23．（2020·上海高一课时练习）设A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，则D 是A 的什么条件？ 【答案】必要非充分条件【解析】因为D 是C 的必要非充分条件，所以C D ⇒，D C ⇒/.又因为B 是C 的充要条件即B C ⇔，∴B D ⇒，D B ⇒/.所以D 是B 的必要非充分条件.又因为A 是B 的充分非必要条件即A B ⇒，B A ⇒/，∴A D ⇒.假设D A ⇒，则D A B C ⇒⇒⇒，与D C ⇒/矛盾，∴D A ⇒/.所以D 是A 的必要非充分条件.24．（2020·全国高一课时练习）设U 为全集，,A B 是集合，判断“存在集合C ，使得,U A C B C ⊆⊆”是“A B =∅”的什么条件？【答案】充要条件.【解析】作图如下:令p ：存在集合C ，使,U A C B C ⊆⊆，:q A B ⋂=∅. 由图可知，p q ⇒，反之亦成立，所以“存在集合C ，使,U A C B C ⊆⊆”是“A B =∅”的充要条件.25．（2020·全国高一）设集合{}2|320A x x x =-+=，{}|1B x ax ==，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合. 【答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵{}{}2|3201,2A x x x =-+==， 由于“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件.∴B A .当B =∅时，得0a =；当B ≠∅时，由题意得{}1B =或{}2B =.当{}1B =时，得1a =；当{}2B =时，得12a =.综上所述，实数a 组成的集合是10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭.26．（2020·全国高一单元测试）已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥． （1）当3a =时，求A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）01a <<【解析】（1）∵当3a =时，15{|}A x x =-≤≤，{|1B x x =≤或4}x ≥，∴{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）∵{|1B x x =≤或4}x ≥，∴{|14}R B x x =<<，由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件得A 是R B 的真子集，且A ≠∅，又{|22}(0)A x a x a a =-≤≤+>，∴21,24,a a ->⎧⎨+<⎩，∴01a <<．27．（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【答案】见解析【解析】（1）证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+()()221a b a ab b =+--+0=．（2）证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b +--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠． 因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．。
高考数学充分条件、必要条件与命题的四种形式
高考数学充分条件、必要条件与命题的四种形式2021高考各科复习资料2021年高三开学差不多有一段时刻了，高三的同学们是不是差不多投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大伙儿系列预备了2021年高考复习，2021年高考一轮复习，2021年高考二轮复习，2021年高考三轮复习都将连续系统的为大伙儿推出。
一、选择题1.(2021·高考江西卷)关于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc 2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.ab ac2bc2，缘故是c可能为0，而若ac2bc 2，则能够推出ab，故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，故选B.2.(2 011·高考福建卷)若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：选A.由a=2能得到(a-1)(a-2)=0，但由(a -1)(a-2)=0得到a=1或a =2，而不是a=2，因此a=2是(a-1)·(a-2)=0的充分而不必要条件.3.设全集U={x∈N*|x≤a}，集合P={1,2,3}，Q={4,5,6}，则“a∈[6,7)”是“?UP=Q”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.若a∈[6,7)，则U={1,2,3,4,5,6}，则?UP=Q;若?UP=Q，则U ={1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a7，故选C.4.(2021·高考天津卷)设集合A={x∈R|x-20}，B={x∈R|x0}，C={x∈R |x(x-2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.A={x|x-20 }={x|x2}=(2，+∞)，B={x|x0}=(-∞，0)，∴A∪B=(-∞，0)∪(2，+∞)，C={x|x(x-2)0}={x|x0或x2}=(-∞，0)∪(2，+∞)，A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
高中数学命题及其关系、充分条件与必要条件 基础过关专题训练(2)
专题训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件基础过关一、选择题1．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c2．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A ．ac 2>bc 2B ．a b >1C ．a －c >b －cD ．a 2>b 24．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题 5．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2020·皖南八校联考)“1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >18．在等比数列{a n }中，“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]10．(2020·南昌市第一次模拟)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 B ．(0,1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，＋∞ D ．[2，＋∞)二、填空题11．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为________。
高中数学充分条件与必要条件充分条件与判定定理必要条件与性质定理充要条件(含解析)北师大版选修1_1
课时分层作业(二) 充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下面四个条件中，使“a >b ”成立的充分条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a ＋1>bA [“p 的充分条件是q ”即“q 是p 的充分条件”，亦即“q ⇒p ”．因为a >b ＋1⇒a >b ，故选A.]2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1A [由f (x )＝x 2＋mx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋1－m 24，∴f (x )的图像的对称轴为x ＝－m 2，由题意：－m2＝1，∴m ＝－2.]3．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R ，q ：－1<a <－12，则p 是q 的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．不能确定B [p 所对应的集合为A ＝{a |－1<a <0}，q 所对应的集合为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1<a <－12， ∴B ⊆A ，∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．]4．设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [|x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2. 由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件．] 5．有下述说法：①a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充要条件；②a ＞b ＞0是1a ＜1b的充要条件；③a ＞b ＞0是a 3＞b 3的充要条件．其中正确的说法有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，a 2＞b 2⇒|a |＞|b |⇒/a ＞b ＞0，故①错． a ＞b ＞0⇒1a ＜1b ，但1a ＜1b ⇒/a ＞b ＞0，故②错．a ＞b ＞0⇒a 3＞b 3，但a 3＞b 3⇒/a ＞b ＞0，故③错．]二、填空题 6．“cos α＝－32”是“α＝56π”的________条件． [解析] α＝56π时，cos α＝－32，反之不一定成立，故应是必要不充分条件．[答案] 必要不充分7．若“p ：x >a ”是“q ：x >1或x <－3”的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． [解析] p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且qp .设A ＝{}x |x >a ，B ＝{}x |x >1或x <－3，则A ⊆B ，但B A .如数轴所示，易知a ≥1.[答案] [1，＋∞)8．直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1垂直的充要条件是________． [解析] l 1⊥l 2，则2×3＋m ×(－1)＝0，即m ＝6. [答案] m ＝6 三、解答题9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5x －24<0，得－3<x <8， ∵N 是M 的必要条件， ∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，∴－2≤a ≤7.即a 的取值范围是[－2,7]．10．已知p ：ab ≠0，a ＋b ＝1；q ：ab ≠0，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.求证：p 是q 的充要条件．[证明] ①先证充分性成立． ∵ab ≠0，a ＋b ＝1， ∴b ＝1－a .∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0. ②再证必要性成立． ∵ab ≠0， ∴a ≠0且b ≠0.∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0. ∴(a 2－ab ＋b 2)·(a ＋b －1)＝0. ∵a 2－ab ＋b 2≠0， ∴a ＋b ＝1.由①②知，p 是q 的充要条件．[能力提升练]1．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x sin x <1知x sin 2 x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立．] 2．若A ：log 2a <1，B ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A 是B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由log 2a <1，解得0<a <2；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a －2<0，解得a <2.因为命题：“若0<a <2，则a <2”是真命题，而“若a <2，则0<a <2”是假命题，所以“0<a <2”是“a <2”的充分不必要条件，所以A 是B 的充分不必要条件，选A.]3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则“f (x )－f (－x )x<0”是“2x>4”成立的________条件． [解析] ∵f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，∴f (x )－f (－x )＝2f (x )，∴f (x )－f (－x )x <0即f (x )x<0，又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，∴x ∈(2，＋∞)，又∵f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，∴x ∈(2，＋∞)∪(－∞，－2)，因为2x>4⇔x >2，所以前者是后者的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．[解析] 如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2>0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝Na 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. [答案] 既不充分也不必要5．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .[解] 依题意得a >0.由条件p ：|x －1|>a ， 得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a . 由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0，或x >2， 此时必有x <12，或x >1.即p⇒q，反之不成立．∴最小正整数a为1.。
充分条件,必要条件与命题的四种形式
解得 m≤3.
方法感悟
方法技巧 1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的 关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写； 在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的 真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假， 逆命题与否命题同真或同假来判定． 2．充要关系的几种判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
【解析】 条件的否定是“f(x)不是奇函数”，结 论的否定是“f(－x)不是奇函数”，故该命题的否 命题是“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 ”．故选B. 【答案】 B
【名师点评】 本题考查了命题的否命题，对于命
题“若 A，则 B”，其否命题是“若綈 A，则綈 B”，
“fx是奇函数”的否定是“fx不是奇函数”，而 不是“fx是偶函数”，因为函数按照奇偶性分类 除了奇函数和偶函数外，还有其他的非奇非偶函 数，试想一下该命题的逆否命题是什么？
否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角 形，真命题．
逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等， 假命题． (2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1， 真命题． 否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真 命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1， 真命题．
失误防范 1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结 论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区 别．(如例1) 2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系 的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不 要混淆．(如例2)
真题透析
例 (2010年高考天津卷)命题“若f(x)是奇函数， 则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
《充分条件、必要条件、充要条件的判断基础题》【高中数学人教A版必修1(新课标)】练习题
《充分条件、必要条件、充要条件的判断》基础题1．“a >b >0”是“a 2>b 2”成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B ．【解析】由不等式的性质知，当a >b >0时，a 2>b 2成立；反之则不成立，例如：取a ＝-3，b ＝1，显然a 2>b 2，而a >b >0不成立．故选B ．2．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ．【解析】当1<x <2时，224x <<,∴p ⇒q ；但由21 , x>得0x >，q ∴不能推出p ，故选A ． 3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α．“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B ．【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“m ∥β”是“α∥β”的必要条件， 若“m ∥β”，则“α∥β”不一定成立，反例如图所示，m⊂α，m∥β，而α与β相交，故“m∥β”不是“α∥β”的充分条件，故选B．4．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】若y＝f(x)是奇函数，则f(-x)＝-f(x)，∴|f(-x)|＝|-f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，所以必要性成立，反之，若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，但它不是奇函数，所以充分性不成立，故选B．。
新教材高中数学第2章常用逻辑用语午练4充分条件必要条件充要条件
午练4 充分条件、必要条件、充要条件1. 已知,，则“”是“,”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”其中的“积跬步”是“至千里”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. “为有理数”是“为有理数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.5. （多选题）如果命题“”是真命题，那么下列说法一定正确的是( )A. 是的充分条件B. 是的必要条件C. 是的必要条件D. 是的充分条件6. （多选题）以下四种说法，其中正确的是( )A. “是实数”是“是有理数”的必要不充分条件B. “”是“”的充要条件C. “”是“”的充分不必要条件D. “”是“”的必要不充分条件7. 设计如图所示的电路图.若条件“开关闭合”，条件“灯泡亮”，则是的条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）.8. 若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为.9. 已知,，条件，条件.（1）若，且，求的范围，并判断是的什么条件；（2）若，且，求的范围，并判断是的什么条件.10. 设命题实数满足，命题实数满足，其中.（1）若，且命题和均为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.午练4 充分条件、必要条件、充要条件1. B[解析]取，满足，但不满足,，故“”不是“,”的充分条件.若,，则，故“”是“,”的必要条件.故“”是“,”的必要不充分条件.故选.2. B[解析]荀子的名言表明“积跬步”未必能“至千里”，但要“至千里”必须“积跬步”，所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选.3. A[解析]为有理数，则一定为有理数；但为有理数，不一定为有理数，比如3为有理数，但是无理数.所以“为有理数”是“为有理数”的充分不必要条件.故选.4. D[解析]若不等式的一个充分条件为，则，所以解得,即实数的取值范围是.故选.5. AC[解析]因为命题“”是真命题，所以是的充分条件，是的必要条件.故选.6. AC[解析]当是实数时，可能为有理数，可能为无理数，而当为有理数时，一定为实数，所以“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件，正确；当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，错误；当时，成立，而当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，错误.故选.7. 充分不必要[解析]由题图知，开关闭合时灯泡就会亮，而灯泡亮时，不一定是闭合，也可能是开关闭合，所以是的充分不必要条件.8. 1[解析]解不等式得.因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得.9. （1）解因为，所以.又,所以.此时真包含于，所以是的充分不必要条件.（2）因为，所以.又,所以.此时真包含于，所以是的必要不充分条件.10. （1）解当时，命题，命题.又命题和均为真命题，所以解得.故实数的取值范围是.（2）命题，命题.要使是的充分不必要条件，则解得.故实数的取值范围是.。
高中数学教师资格证笔试练题：充分条件和必要条件(练习)
1.4 充分条件和必要条件一、单选题1．“23x -<<”的一个充分条件是（ ） A ．24x -<< B ．03x << C ．32x -<<D ．33x -<<2．设x ∈R ，则x ＞2的一个必要而不充分条件是（ ） A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞3D ．x ＜33．已知x ，y 为实数，则“3x ≥，2y ≥”是“6xy ≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x ，y ∈R ，x y x y +=+成立的充分不必要条件是（ ） A ．0xy > B ．0xy ≥ C ．0xy <D ．0xy ≤5．“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，则C 是A 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要不充分条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设集合(){},,U x y x R y R =∈∈，若集合(){},20,A x y x y m m R =-+>∈，(){},0,B x y x y n n R =+-≤∈，则()()2,3U A B ∈⋂的充要条件是（ ）A ．1m >-，5n <B ．1m <-，5n <C ．1m >-，5n >D ．1m <-，5n >9．22530x x --<的必要不充分条件可以是（ ） A ．132x -<<B ．14x -<<C ．02x <<D ．23x -<<10．（2020-2021学年山东省日照市五莲县高一上学期期中）一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）A ．0a <B ．2a <-C ．1a <-D ．1a <11．已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则（ ） A ．p 是q 的充分条件 B ．p 是s 的必要条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件12．下列叙述中正确的是（ ）A ．若,,,a b c R ∈则“22ab cb >"的充要条件是“a c >”B ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C ．若,,,a b c R ∈则“20ax bx c ++≥对x ∈R 恒成立"的充要条件是“240b ac -≤”D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件三、填空题13．已知△ABC ，△A 1B 1C 1，两三角形对应角相等是△ABC ≌△A 1B 1C 1的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 14．设p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)15．已知:p 4x a -<；:q (2)(3)0x x --<，若q 是p 的充分条件，则a 的取值范围为_______.16．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}40C x x x =∈->R ，则“x A B ∈”是“x C ∈”的_______条件．(填：充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要)17．指出下列命题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：{6x x >或}3x <；q ：2{|60}x x x --<； （2）p ：a 与b 都是奇数；q ：a b +是偶数；（3）p ：103m <<；q ：方程2230mx x -+=有两个同号且不相等的实根.18．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |m ﹣2＜x ＜m +2，m ∈R}，集合B ＝{x |﹣4＜x ＜4}． （1）当m ＝3时，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．设集合{}1,2A =，（1）请写出一个集合B ，使“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的必要条件；（2）请写出一个集合B ，使“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的充分条件．20．已知集合{}}{22331,2,1,24A y y x x xB x x m ==-+≤≤=+≥:p x A ∈，q ：x B ∈，并且p 是q 的充分条件，求m 的取值范围.21．已知:p 实数x 满足集合{}|11A x a x a =-≤≤+，q ：实数x 满足集合{2B x x =≤-或}3x ≥.（1）若1a =-，求A B ；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.参考答案1．B解：“23x -<<”的一个充分条件就是集合{}|23x x -<<的一个子集即可， 所以 B 选项满足题意. 2．A因为2x >，一定有1x >成立，但是当1x >时，2x >不一定成立，即2x >的一个必要而不充分条件是1x >． 3．A因x ，y 为实数，且3x ≥，2y ≥，则由不等式性质知6xy ≥，命题“若3x ≥，2y ≥，则6xy ≥”是真命题，当6xy ≥成立时，“3x ≥，2y ≥”不一定成立，比如1x =，10y =，满“6xy ≥”，而不满足“3x ≥，2y ≥”，即命题“若6xy ≥，则3x ≥，2y ≥”是假命题， 所以“3x ≥，2y ≥”是“6xy ≥”的充分不必要条件. 4．A0x y x y xy +=+⇒≥，显然00xy xy >⇒≥，但00xy xy ≥>，易判断A 正确5．A先考虑充分性：因为两个角是对顶角，所以这两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件； 再考虑必要性：两个角相等，但是这两个角不一定是对顶角，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的非必要条件； 所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分不必要条件. 6．B因为A 是B 的充分不必要条件，所以A B ⇒且B 推不出A ， 而B 是C 的充要条件，所以B C ⇔，所以,A C C ⇒推不出A ， 所以C 是A 的必要不充分条件， 7．A根据充分条件的定义可知如果p 是r 的充分不必要条件p ⇒r , s 是r 的必要不充分条件，可知r s ⇒, , 同理q 是s 的必要条件,,s q ⇒所以p ⇒q , 且反之不成立，可知p 是q 成立的充分不必要条件，8．A由题意，可得()()20,0U x y m A B x y x y n ⎧⎫-+>⎧⎪⎪⋂=⎨⎨⎬+->⎩⎪⎪⎩⎭，因为()()2,3U A B ∈⋂，所以2230230m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩，解得1,5m n >-<，反之亦成立，所以()()2,3U A B ∈⋂的充要条件是1,5m n >-<． 9．BD212530(21)(3)032x x x x x --<⇔+-<⇔-<<,即22530x x --<的充要条件是132x -<<，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，观察选项发现132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭是{}23{|14}x x x x -<<-<<，的真子集， 10．BC若方程()24300ax x a ++=≠有一个正根1x 和一个负根2x ，则121612030a x x a ∆=->⎧⎪⎨=<⎪⎩，解得0a <， 则一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为(),0-∞的真子集，故BC 正确，AD 错误.11．AD解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒.p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件.12．BD对于A ， 因为22ab cb >可得a c >，当a c >，0b =时，有22ab cb =，所以若,,,a b c R ∈则“22ab cb >"是“a c >”的充分不必要条件，故A 错；对于B ，方程20x x a ++=有一个正根和一个负根，则120140x x a a =<⎧⎨∆=->⎩ ，整理得0a <，所以“1a <”是“0a <”的必要不充分条件，故B 正确；对于C ，当0a >时，“20ax bx c ++≥对x ∈R 恒成立"的充要条件是“240b ac -≤”，故C 错； 对于D ，当“1a >”是“11a <”成立，当“11a <”得“1a >或0a <”，故“1a >”是“11a<”的充 分不必要条件，D 正确．13．必要不充分由两三角形对应角相等，对应边可能成任意的比例，不一定对应相等，所以△ABC ≌△A 1B 1C 1不一定成立，所以“两三角形对应角相等”是“△ABC ≌△A 1B 1C 1”不充分条件；由△ABC ≌△A 1B 1C 1必然有对应角相等，所以“两三角形对应角相等”是“△ABC ≌△A 1B 1C 1”必要条件；所以“两三角形对应角相等”是“△ABC ≌△A 1B 1C 1”必要不充分条件. 14．必要不充分由于{2x x 或}1x <-{2x x ⊆或23x ⎫<⎬⎭，故p 是q 的必要不充分条件.15．16a -≤≤记{}{}|||4|44A x x a x a x a =-<=-<<+，{}{}|(2)(3)0|23B x x x x x =--<=<<， 因为q 是p 的充分条件，所以B A ⊆，所以421643a a a -≤⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩. 16．必要不充分因为集合{}{}202A x x x x =∈->=∈>R R ，{}0B x x =∈<R ，所以()(),02+A B ⋃=-∞∞，而(){}()()40,04+C x x x =∈->=-∞∞R ，因为C ()A B ，所以“x A B ∈”是“x C ∈”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.17．（1）必要不充分条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件. （1）∵2{|60}{|23}x x x x x --<=-<<，∴{6x x >或}3x <不能推出{|23}x x -<<，而{|23}x x -<<能推出{6x x >或}3x <， ∴p 是q 的必要不充分条件；（2）∵a .b 都是奇数能推出a b +为偶数，而a b +为偶数不能推出a .b 都是奇数， ∴p 是q 的充分不必要条件；（3）∵2230mx x -+=有两个同号不等实根，∴030m ∆>⎧⎪⎨>⎪⎩，∴41200m m ->⎧⎨>⎩，∴103m <<，∴p 是q 的充要条件.18．（1）A ∩B ＝{x |1＜x ＜4}，A ∪B ＝{x |﹣4＜x ＜5}；（2）[﹣2，2]．（1）当m ＝3时，A ＝{x |1＜x ＜5}；∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜4}，A ∪B ＝{x |﹣4＜x ＜5}；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集；∴2424m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：﹣2≤m ≤2，当2m =-时，40{|}A x x -＝＜＜，当2m =时，04{|}A x x ＝＜＜，A 是B 的真子集都成立， 所以实数m 的取值范围是：[﹣2，2]．19．（1）{}1,2,3B =（答案不唯一）；（2）{}1B =（答案不唯一）（1）由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，由此可得{}1,2,3B =符合题意.（2）由于于“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，由此可知{}1B =符合题意.20．)33,,44⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎢⎦⎣⎝.由题意，{}23371,222416A y y x x x yy ⎧⎫==-+≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭， }{}{221|1B x x m x x m =+≥=≥-，命题p 是命题q 的充分条件，27116A B m ∴⊆∴-≤，，解得34m ≥或34m ≤-，实数m 的取值范围是)33,,44⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎢⎦⎣⎝21．（1）{0x x ≤或}3x ≥；（2）3a ≤-或4a ≥. （1）因为1a =-，所以{}20A x x =-≤≤A B ={0x x ≤或}3x ≥；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集， 所以12a +≤-或13a -≥， 所以3a ≤-或4a ≥.故答案为：（1）{0x x ≤或}3x ≥；（2）3a ≤-或4a ≥.。
充分条件、必要条件与命题的四种形式
【解】 (1)逆命题：全等三角形的面积相等，真 命题． 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角 形，真命题． 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等， 假命题． (2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1， 真命题． 否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真 命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1， 真命题． (3)逆命题：若实数x、y全为零，则x2＋y2＝0， 真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则实数x、y不全为零，真 命题． 逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0， 真命题．
解： ∵“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件， ∴S P.
1－m≥－2 1－m>－2 ∴ 或 . 1＋m<10 1＋m≤10
解得 m≤3.
方法感悟 方法技巧 1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的 关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写； 在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的 真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假， 逆命题与否命题同真或同假来判定． 2．充要关系的几种判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
充分条件与必要条件的判定 判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利 用定义．如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，原命题 (或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可 称q是p的必要条件；如果q⇒p，则p叫做q的必要条 件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要 的，也可称q是p的充分条件；如果既有p⇒q，又有 q⇒p，记作p⇔q，则p叫做q的充分必要条件，简称 充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题) 都成立，命题中的条件是充要的．
a＝b，
即“a＝b”只是“ac＝bc”的充分不必要条件；
高中数学 1.4 充分条件与必要条件 课后练习、课时练习
一、单选题1. 若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值可能有几个（）A．0 B．1 C．2 D．32. 若a，b为实数，则成立的一个充分不必要条件是（）．A．B．C．D．3. 下列结论错误的是（）A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”4. 已知，则“”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5. 若集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件6. “”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题7. 下列说法中正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．“”的必要不充分条件是“”C．“是实数”的充分不必要条件是“是有理数”D．“”是“”的充分条件8. 不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．或三、填空题9. 已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．10. “两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．11. 不等式成立的充要条件是______.12. 用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空：（1）“是有理数”是“是实数”的______；（2）“”是“”的______；（3）“”是“”的______；（4）“”是“”的______．四、解答题13. 判断下列命题的真假:(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)是的必要不充分条件;(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.14. 已知命题，，，.试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系.15. 已知集合，集合，.（1）若“”是真命题，求实数取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.16. 已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足．(1)若，则是的什么条件？(2)若是的必要条件，求的取值范围．。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题(含解
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充分条件、必要条件与命题的四种形式一、选择题1．“a＝2”是“直线（a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析因为两直线平行，则(a2－a）×1－2×1＝0，解得a＝2或－1，所以选A.答案A2．已知命题p：∃n∈N，2n＞1 000，则綈p为( )．A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N,2n＞1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n＜1 000解析特称命题的否定是全称命题．即p:∃x∈M，p(x)，则綈p:∀x∈M，綈p（x)．故选A。
答案A3.与命题”若a M∉"等价的命题是（ )∈,则b MA。
若a M∉∉,则b MB。
若b M∈∉,则a MC.若a M∈∉,则b MD。
若b M∉∈,则a M解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可.故选D. 答案 D4．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π"的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析函数y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π⇔a＝1或a＝－1,所以“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A。
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充分条件、必要条件与命题的四种形式
1．选择题：
(1)“1、x 、9成等比数列”是“x ＝3”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
(3)若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．填空题
(4)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a ＋b i )(c ＋d i )为实数的充要条件是________
(5)“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”、或“既不充分又不必要”填空)
(6)⎩⎨⎧>>1121x x 是⎩⎨⎧>>+122
121x x x x 的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、或“既不充分又不必要”填空)
3．解答题
(7)下列四个命题
①设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题2)2
(:2
22b a b a q +≤+，则p 是q 成立的充分不必要条件； ②“tan α ＝1”是“4
π=α”的充要条件； ③“a ＝1”是“函数f (x )＝｜x －a ｜在区间[1，＋∞)上为增函数”的必要不充分条件；
④设f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的充分而不必要的条件中．写出正确命题的序号并说明理由．
(8)已知数列{a n }和{b n }满足)(21221*N ∈++++++=
n n
na a a b n n ，求证：{a n }是等差数列的充要条件是{b n }是等差数列．本题可利用公式为： 6
)12)(1(21222++=+++n n n n
(9)已知p ：｜x －4｜≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范
围．
答案：充分条件、必要条件与命题的四种形式
(1)C (2)B 提示：a ＝－2时，两直线平行．
(3)C (4)ad ＋bc ＝0
(5)解：a ＝－1时，函数y ＝cos2ax －sin2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x 的最小正周期为π成立，所以答案充分不必要．
(6)x 1＞1且x 2＞1⇒x 1＋x 2＞2且x 1x 2＞1，但当取3,2121==x x 时，⎩⎨⎧>>+1
22121x x x x 成立， 而⎩⎨⎧>>1
121x x 不成立(1211<=x 矛盾!) ∴填“充分不必要”
(7)解：①命题p ：a ＝b 是命题2)2
(:2
22b a b a q +≤+等号成立的条件，故应为充分不必要条件． ②若“tan α＝1”，则4ππ+=k α，α不一定等于4π；而若“4
π=α”则tan α＝1， 所以“tan α＝1”是“4
π=α”的必要不而充分条件． ③若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；
而若f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则a ≤1，
所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件
④若“f (x )，g (x )均为偶函数”，则“h (x )为偶函数”；
而取f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝1＋2x ，得h (x )＝x 2＋1为偶函数，而f (x )为非奇函数也非偶函数，g (x )为奇函数，所
以应为充分而不必要的条件；
综上可知，正确的命题序号是①④．
(8)证明：①(必要性)设{a n }成等差数列，公差为d ，∵{a n }成等差数列 ∴n
na a a b n n +++++++= 321221＝n n n d n a +⋯++-+⋯++++⋯++21])1(3·22·1[)21(1＝ d n a 32)1(1⋅-+ 从而d d n a d n a b b n n 3
232)1(32111=---⋅+=-+为常数 故{b n }是等差数列，公差为d 3
2 ②(充分性)设{b n }是等差数列，公差为d ′，则b n ＝(n －1)d ′
∵b n (1＋2＋…＋n )＝a 1＋2a 2＋…＋na n ①
b n －1(1＋2＋…＋n －1)＝a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n ②
①－②得 12
)1(2)1(---+=
n n n b n n b n n na ])2([2
1])1([212121111d n b n d n b n b n b n a n n n '-+--'-++=--+=- d n b '-+=2
3).1(1 从而得d a a n n '=-+231为常数，故{a n }是等差数列 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列
(9)分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．
解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件． p ：|x －4|≤6⇒－2≤x ≤10；
q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇒[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 ①
∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式的|x －4|≤6解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)
解集的子集 又∵m ＞0 ∴不等式①的解集为1－m ≤x ≤1＋m
∴,9110121⎩
⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-m m m m ∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．。