04逻辑代数的公式和运算法则

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逻辑代数运算法则

逻辑代数是一种数学工具，用于处理逻辑推理和判断的问题。它基于布尔代数的原理，使用逻辑运算符（如与、或、非等）来操纵逻辑值（真或假）。下面是一些常见的逻辑代数运算法则：

1. 同一律（Identity Laws）：

- 对于与运算（AND）：任何与真值（true）相与得到的结果都与原来的值相同。也就是说，对于任意逻辑值p，p与真值（true）的结果等于p。

- 对于或运算（OR）：任何与假值（false）相或得到的结果都与原来的值相同。也就是说，对于任意逻辑值p，p或假值（false）的结果等于p。

2. 吸收律（Absorption Laws）：

- 对于与运算（AND）：p与（p或q）的结果等于p。换句话说，如果p为真，则p与任意逻辑值q的或运算结果都等于p本身。

- 对于或运算（OR）：p或（p与q）的结果等于p。换句话说，如果p为真，则p或任意逻辑值q的与运算结果都等于p本身。

3. 分配律（Distribution Laws）：

- 对于与运算（AND）：p与（q或r）的结果等于（p与q）或（p与r）。换句话说，与运算可以分配到或运算上。

- 对于或运算（OR）：p或（q与r）的结果等于（p或q）与（p或r）。换

句话说，或运算可以分配到与运算上。

4. 德摩根定律（De Morgan's Laws）：

- 对于与运算（AND）：非（p或q）的结果等于（非p）与（非q）。换句话说，两个值的或运算的非等于这两个值分别取非后进行与运算。

- 对于或运算（OR）：非（p与q）的结果等于（非p）或（非q）。换句话说，两个值的与运算的非等于这两个值分别取非后进行或运算。

(完整版)逻辑代数的基本公式和运算规则

逻辑代数的基本公式和运算规则

一、基本公式

表1.3.1中若干常用公式的证明1．证明： 2. A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A1=A

证明：

推论：

二、运算规则

1．代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。利用代入规则，反演律能推广到n个变量，即:

2．反演定理对于任意一个逻辑函数式F，若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果为。这个规则叫反演定理运用反演定理时注意两点：① 必须保持原函数的运算次序。② 不属于单个变量上的非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。例如：

其反函数：

3．对偶定理对于任意一个逻辑函数F，若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到F的对偶式F′。

例如：

其对偶式：

对偶定理：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。

逻辑代数的基本公式和常用公式

一．基本定义与运算

代数是以字母代替数,称因变量为自变量的函数,函数有定义域和值域。——这些都是大家耳熟能详的概念。如

或；

当自变量的取值（定义域）只有0和1（非0即1）函数的取值也只有0和1（非0即1）两个数——这种代数就是逻辑代数，这种变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数。

逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。其规定：

1．所有可能出现的数只有0和1两个。

2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。

与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为（为与运算符，后用代替）

00＝0 01＝0 10＝0 11＝1 或

00＝0 01＝0 10＝0 11＝1

或运算（逻辑或、逻辑加）定义为（为或运算符，后用＋代替）

00＝0 01＝1 10＝1 11＝1 或

0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1

非运算（取反）定义为：

至此布尔代数宣告诞生。

二、基本公式

如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：

A A＝A A+A=A

A0＝0 A+0=A

A1＝A A+1=1

=+=

上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公

式即告成立。现以=+为例进行证明。对A、B两个逻辑变量，其所有可能的取值为00、01、10、11四种（不可能有第五种情况）列表如下：

逻辑代数运算法则

0
0
1
1
0
1
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1
1
0
1
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1
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0
0
主二、逻辑代数的基本定律
题
（1）原变量吸收公式 AABA
逻辑
（2）反变量吸收公式 AABAB
代
数运
（3）冗余律
A B + A C + B C D = A B + A C
算
法源自文库
则
证明：
ABACBCABACBC(AA)
ABACABC ABC
(ABAB)C(ACABC)
数字电子技术之
逻辑代数运算法则
主讲教师：谢永超
湖南铁道职业技术学院作品
学习导入
逻辑代数有什么法则呢？
本次课主要内容
逻辑代数基本运算规则
第一点
逻辑代数的基本定律
逻辑代数的基本定理
第二点
第三点
主一、逻辑代数的运算规则
题
1.基本公理：
逻
（1）1=0 ；0=1
（2）1·1=1；0+0=0
辑代
ABAC
主三、逻辑代数的基本定理
题
1.代入定理：在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑表达式代入
式中所有A的位置，则等式依然成立。

电工电子技术基础知识点详解3-1-2-逻辑代数运算法则

逻辑代数及其运算法则

1.逻辑代数

逻辑代数又称布尔代数，它是分析与设计逻辑电路的数学工具。它虽然和普通代数一样也是用字母表示变量，但变量的取值只有“0”和“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。这里的“0”和“1”不再表示数量的大小，而是代表两种相互对立的逻辑状态。逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系，这是它与普通代数本质上的区别。

在逻辑代数中只有“与”运算（逻辑乘）、“或”运算（逻辑加）和“非”运算（求反）三种基本运算。根据三种基本逻辑运算可以导出逻辑运算的一些法则。

2.逻辑代数运算法则

(1) 常量与变量的关系

自等律 A A =+0 A A =⋅1 0-1律 A A =+1 00=⋅A 互补律 1=+A A 0=⋅A A 重叠律 A A A =+ A A A =⋅ 还原律 A A =

(2) 逻辑代数的基本运算法则交换律 A B B A +=+ A B B A ⋅=⋅

结合律 )()(C B A C B A ++=++

)()(C B A C B A ⋅⋅=⋅⋅ 分配律 C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)(

)()()(C A B A C B A +⋅+=⋅+

证：

BC A BC

C B A BC C B A A BC AC AB AA C A B A +=+++=+++=+++=+⋅+)1()()()( 反演律（摩根定律） B A B A ⋅=+

证：

B A B A +=⋅

证：

(3) 简化逻辑函数常用公式 (1)A B A A =⋅+ (2)A B A A =+)(

证：A B A AB A AB AA B A A =+=+=+=+)1()( (3)AB B A A =++)( (4)B A B A A +=+

逻辑代数的基本运算法则

逻辑代数是描述、分析和简化逻辑线路的有效的数学工具，它又称为开关代数或布尔代数。

逻辑代数的变量（简称逻辑变量）的取值范围只有“0”或“1”。“0”与“1”不表示数量的多少，而是表示具体问题的两种可能。例如，用“0”与“1”代表开关线路中开关的断开和接通，电压的低和高，晶体管的截止和导通，信号的无和有两种物理状态。

一个复杂的开关线路总是由若干个开关元件组成。这种相互联系的关系反映到数学上就是几种逻辑运算。逻辑加、逻辑乘和逻辑非。这三种逻辑运算反映了实际中开关元件之间最基本的联系。

(1)逻辑加（“或”运算），或门对应的逻辑运算是“逻辑加”C=A+B。

(2)逻辑乘（“与”运算），与门对应的逻辑运算是“逻辑乘”C=A ×B。

(3)逻辑非（“非”运算），“逻辑非”运算和非门相对应，记为B=。

逻辑代数的基本公式和常用公式

一．基本定义与运算

代数是以字母代替数,称因变量为自变量的函数,函数有定义域和值域。——这些都是大家耳熟能详的概念。如

或；

1．所有可能出现的数只有0和1两个。

2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。

与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为（为与运算符，后用代替）

00＝0 01＝0 10＝0 11＝1 或

00＝0 01＝0 10＝0 11＝1

或运算（逻辑或、逻辑加）定义为（为或运算符，后用＋代替）

00＝0 01＝1 10＝1 11＝1 或

0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1

非运算（取反）定义为：

至此布尔代数宣告诞生。

二、基本公式

如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：

A A＝A A+A=A

A0＝0 A+0=A

A1＝A A+1=1

=+=

上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公

式即告成立。现以=+为例进行证明。对A、B两个逻辑变量，其所有可能的取值为00、01、10、11四种（不可能有第五种情况）列表如下：

逻辑代数的基本定律及规则

文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关

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一、逻辑代数相等：

假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。在实际中，可以通过列真值表来判断。

二、逻辑代数的基本定律：

在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。由此推出10个基本定律如下：

1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ

2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；

Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ

3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；

Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）

4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝Ａ

Ａ＋1＝1 ；Ａ·0＝0

5.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝0

6.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ

7.对合律＝Ａ

8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝Ａ

Ａ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢ

ＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ

9.反演律＝·；＝＋

10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；

(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）

上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。

三、逻辑代数的基本规则：

逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。

1.代入规则：

在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。

利用代入规则可以扩大定理的应用范围。

例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋

2.反演规则：

逻辑代数的基本公式和运算规则

逻辑代数的基本公式和

运算规则

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

逻辑代数的基本公式和运算规则

一、基本公式

表1.3.1中若干常用公式的证明1．证明： 2. A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A1=A

证明：

推论：

二、运算规则1．代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。利用代入规则，反演律能推广到n个变量，即:

其反函

数：

3．对偶定理对于任意一个逻辑函数F，若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到F的对偶式F′。

例如：

其对偶

式：

对偶定理：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。

逻辑代数的基本运算规则有

逻辑代数是一门研究命题和命题之间关系的学科，它通过对命题进行逻辑运算，从而得到新的命题。逻辑代数的基本运算规则包括与运算、或运算、非运算和异或运算。

与运算是逻辑代数中最基本的运算之一，它表示两个命题同时为真时，结果才为真。与运算的运算规则是简单直接的，即如果两个命题都为真，则结果为真；否则，结果为假。例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P与Q的与运算结果可以表示为P ∧ Q。当且仅当P和Q都为真时，P ∧ Q的结果为真。

或运算是逻辑代数中另一个重要的运算，它表示两个命题中至少有一个为真时，结果为真。或运算的运算规则是通过考虑两个命题的真值来确定的。如果两个命题中至少有一个为真，则结果为真；否则，结果为假。例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P和Q的或运算结果可以表示为P ∨ Q。当且仅当P和Q中至少有一个为真时，P ∨ Q的结果为真。

非运算是逻辑代数中的一种运算，它表示对一个命题的否定。非运算的运算规则是简单明了的，即如果一个命题为真，则其否定为假；反之，如果一个命题为假，则其否定为真。例如，假设有一个命题P表示“今天下雨”，那么P的否定可以表示为¬P。当且仅当P为

假时，¬P的结果为真。

异或运算是逻辑代数中的一种特殊运算，它表示两个命题中只有一个为真时，结果为真。异或运算的运算规则是通过考虑两个命题的真值来确定的。如果两个命题中只有一个为真，则结果为真；否则，结果为假。例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P和Q的异或运算结果可以表示为P ⊕ Q。当且仅当P和Q中只有一个为真时，P ⊕ Q的结果为真。

逻辑代数基本运算规则和基本定律

逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。

逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。这是它与普通代数的本质区别。

注意：在逻辑代数中，只有加、乘、非运算，没有减、除、移项运算。

1、逻辑代数基本运算规则

；；；

；；；；。

2、基本定律

交换律

结合律

分配律

―――――注意：普通代数不成立

反演律即摩根定理

可以推广到多变量

吸收律

逻辑代数的运算公式和规则

① 保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号 ② 不属于单个变量上的非号有两种处理方法
• 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 • 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变
基本运算规则
• 对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：
1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”； 2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”
• 函数式中有“”和“⊙”运算符，求反
函数及对偶函数时，要将运算符“”换成 “⊙”， “⊙”换成“”。
重叠律反演律还原律合并律吸收律消因律包含律
证明方法
利用真值表
例：用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 1
1
0
0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
利用基本定律
例：证明包含律 AB AC BC AB AC成立
公式可推广： AB AC BCDE AB AC
逻辑代数的运算公式和规则
• 三个基本运算规则
• 代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果等
式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻BC辑替函代数B 式，则此等式依然成立

逻辑代数基本公式及定律

A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
AA
（1）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
四、分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
||
1
长中含短,
口诀：
留下短。
（6）
原(反)变量
反(原)变量
2. 反变量的吸收：
添冗余项
A+AB=A+ B
证明：左式 A AB AB A B( A A) =右式
||
1
长中含反, 口诀：
去掉反。
（7）
互为反变量
3.混合变量的吸收： A B + A C + BC=AB+AC
反号不动
A ( B C D E)
A (B C D E)

F2 A B A C A D E
与或式
（14）
常用公式
AB A B 1.消去公式：A+
2.吸收公式：

逻辑代数的运算规则

逻辑代数的三个规则

1、代入规则

在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立，这一规则称之为代入规则。

2、反演规则

已知一逻辑函数F，求其反函数时，只要将原函数F中所有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”。这就是逻辑函数的反演规则。

3、对偶规则

已知一逻辑函数F，只要将原函数F中所有的“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”，而变量保持不变、原函数的运算先后顺序保持不变，那么就可以得到一个新函数，这新函数就是对偶函数F'。

其对偶与原函数具有如下特点：

1.原函数与对偶函数互为对偶函数；

2.任两个相等的函数，其对偶函数也相等。这两个特点即是逻辑函数的对偶规则。

逻辑运算的常用公式

逻辑代数的总结

基本逻辑运算：

与（或称“积”）---符号（&、•、无、∧、∩）

或（或称“和”）---符号（| 、＋、∨、∪）

非（或称“反”）---符号（! 、）

0-1律：

0•A=0 0＋A=1

1•A=A 1＋A=A

同一律：

A•A=A A＋A=A

互补律：

A•A=0 A＋A=0

反演律

A•B =A＋B B=A•B

还原律

A =A

√⊕⊙••＋A=0

2、常用公式

交换律：

A•B=B•A A+B=B+A

结合律：

A•(A•B)=(A•B)•C A＋(A＋B)=(A＋B)＋C 分配律：

A•(A＋B)=A•B＋A•C A＋(A•B)=(A＋B)•(A＋C)吸收律：

A•(A+B)=AB A+(A•B)=AB

逻辑函数代数的运算法则

逻辑函数代数的运算法则包括以下几个方面：

1. 否定律（Negation Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x')

= f'(x)，即一个逻辑函数的否定等于其补函数。

2. 同一律（Identity Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x, x) = f(x)，即逻辑函数与自身进行“与”运算其结果不变。

3. 不变律（Null Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x, 1) =

f(x)，f(x, 0) = 0，即逻辑函数与真值1进行“与”运算结果不变，与假值0进行“与”运算结果为0。

4. 吸收律（Absorption Law）：对于任意逻辑函数f(x)和g(x)，有f(x, f(x, g(x))) = f(x, g(x))，f(x, g(x, f(x))) = f(x)，即逻辑函数

与自身进行“或”运算不变，进行“与”运算在错误情况下也能保

持结果。

5. 分配律（Distribution Law）：对于任意逻辑函数f(x)，g(x)，h(x)，有f(x, g(x, h(x))) = f(x, g(x))，f(x, g(x)) ' h(x) = f(x, g(x)) '

f(x, h(x))，即逻辑函数的“与”操作在“或”操作上分配，相同地，“或”操作在“与”操作上分配。

6. 排中律（Excluded Middle Law）：对于任意逻辑函数f(x)，

有f(x) ' f(x') = 1，即一个逻辑函数与其否定进行“或”运算的结

果为真值1。

7. 确定律（Definition Law）：对于任意逻辑函数f(x)和g(x)，

逻辑代数运算的基本规则

(A B) (A B) A
A BC (A B)(A C)
注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。
பைடு நூலகம்
偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
Y AB CDE
Y ( A B )(C D E)
Y ABC DE
Y A BC D E
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要记忆的公式数目减少一半。例如：
AB AB A
A(B C) AB AC
逻辑代数运算的基本规则
（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。
例如：已知等式 AB A B ，用函数Y=AC代替等
式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC)B AC B A B C
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”， “0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：
Y AB CDE
Y ( A B)(C D E )
Y ABC DE