复变函数复习 (2)
数学-《复变函数》复习资料
《复变函数》 复习资料1
一、判断题
1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）
2.
3.
4.
5.
6.
7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。 （ ）
8.
9.
10.
二、解答题
1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1
||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z
到2
z 各项）. 2.利用留数定理计算复积分I =2
1
a
z z e dz =⎰
+
1()()n n z dz
z a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自
然数).
3.利用留数定理计算实积分θθ
θ
π
d ⎰
-20
cos 452cos 4.
三、解答与证明题
1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z
≤
-，求()
(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数
2
11
x
+当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422
111
x x x
却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：21
0(1)sin ,(21)!
n n n z z n ++∞
=-=+∑ 1z <.
3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C ,在C 上 ()1z ϕ<试证 在C 内部2
()3z z z ϕ=+只有一个根0z .
4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧
复变函数复习重点
复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.
2.复数的表示
1）
模：z =
2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；
主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x
之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x
=；
当0,arg arctan 0,0,arg arctan y
y z x
x y y z x ππ⎧
≥=+⎪⎪
<⎨
⎪<=-⎪⎩
； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算
1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±
2.乘除法：
1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则
()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；
()()()()11221111212
1221
22
22
2222
2222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。 2）若1
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一）
三 . 计算题（ 40 分）：
dz
1、
|z z 0 | 1 ( z z )n
__________. （ n 为自然数）
f ( z)
1
2.
sin 2 z cos 2
z _________.
3. 函数
sin z
的周期为 ___________.
f (z)
1
4. z 2 1 ，则
f ( z)
的孤立奇点有 __________.
设 5. 幂级数
nz n
的收敛半径为 __________.
n 0
6. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.
lim z n
lim
z 1
z 2 ... z n
7. 若 n
，则 n
n ______________.
Res(
e
z
8.
n
,0)
z
________，其中 n 为自然数 .
9.
sin z
的孤立奇点为 ________ .
z
10. 若
z
lim
f (z) ___
是
f (z) 的极点，则
z z
.
1. 设
( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}
内的罗朗展式 .
1
dz.
2.
|z| 1
cos z
f ( z) 3 2 7
1
，其中 C { z :| z |
3} ，试求 f '(1 i ).
3.
d
设
C
z
w
z 1
4. 求复数 z 1 的实部与虚部 .
四 . 证明题 .(20 分 )
1. 函数
f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .
2. 试证 :
f (z)
z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两
复变函数复习题答案
复变函数复习题答案
《复变函数》考试试题（一）参考答案一．
判断题
1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题
1.
21
01i n n π=??
≠?
； 2. 1；3. 2k π，()k z ∈；4. z i =±； 5. 1 6. 整函数； 7.
ξ； 8.
1
(1)!
n -； 9. 0；10. ∞.
三．计算题. 1. 解因为
01,z << 所以01z <<
111()(1)(2)12(1)2
f z z z z z ==-
----0
01()22n
n n n z z ∞
∞===-∑∑. 2. 解因为
2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z π
ππ
π
→
→=
+
===--, 2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z
π
ππ
π
→-
→-=-
-
===-. 所以
22
2
1
2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z ππ
π==-=
=+=?.
3. 解令
2()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z
()2()c f z dz i z z
λπ?λ==-?
.
所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+.
4. 解令
z a bi =+, 则
222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b
w z z a b a b a b -+-+=
=-=-=-+++++++++.
复变函数的有关复习
L
f tdt
1 Fs 1
s
s
f -10
L f (t 0 ) eτs F (s)
L e At f (t) F (s A)
（6）初值定理 （7）终值定理
lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
lim f (t) lim s F(s)
t
s0
L[ f (t )] eat estdt esatdt
0
0
1 sa
e (sa)t
0
1 (01) sa
1 sa
（3）正弦函数
f(t)
0 sinωt
t0 t 0
L f(t) sin t estdt
1
e jt e jt est dt
0
0 2j
1
e -(s-j)t e(s j)t dt
(t)
1(t ) t t2 2
e at
sin t cos t
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
3 L变换重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
L f t s F s f 0
（3）积分定理 （4）实位移定理 （5）复位移定理
2 拉氏变换的定义
复变函数总复习资料
复变函数的定义与性质
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
在工程中的应用
用于信号处理、控制系统分析、数字电路设 计等。
06
复变函数的解析性
解析性的定义与性质
解析函数的性质
解析函数在其定义域内具有无限 阶导数；
解析性定义：如果一个复函数在 某区域内的任意点都可微，则称 该函数在该区域内解析。
解析函数在其定义域内具有连续 的偏导数；
解析函数在其定义域内具有局部 性质，即如果一个函数在某一点 的邻域内解析，则该函数在该点 的任意邻域内都解析。
复变函数总复习资料
• 复数与复变函数 • 复变函数的极限与连续性 • 复变函数的导数与微分 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的解析性
01
复数与复变函数
复数的概念与性质
总结词
复数是实数域的扩展，具有实部和虚 部两个部分。
详细描述
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 是实部，$b$ 是 虚部，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。 复数具有加法、减法、乘法和除法等运算性 质，并且满足共轭、模等性质。
复变函数期末考试复习题及答案详解
最新范本,供参考！
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||0
0)(z z n
z z dz
__________.（n 为自然数）
2.=+z z 2
2
cos sin
_________.
3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n n nz ∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ
=∞
→n n z lim ，则=
+++∞→n z z z n
n (i)
21______________.
8.
=)0,(
Re n z
z e
s ________，其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z 是)(z f 的极点，则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}
1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 1
1||⎰=z dz z
3. 设
⎰
-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2，其中
}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
4. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，
那么它在
D 内为常数.
2. 试证
: ()f z =
在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两
复变函数总复习
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f (z)在单连通区域Ｄ内解析，G(z)
为 f (z) 的一个原函数，则
z2 f (z)dz G
４、柯西z1 积分公式
(
z2
)
G(
z1
)
设函数 f (z)在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
于Ｄ， z0 为Ｃ内任一点，则
1 f (z)
复变函数可导与解析的判别方法 （1）利用可导与解析的定义及运算法则 （2）利用可导与解析的充要条件
❖ 初等函数
1、指数函数 ez ex yi ex (cos y i sin y)
性质： （1） ez e x ， Argez y 2k (k 0, 1, 2, ) （2）对任意的 z1 , z2 ，有加法定理 ez1 • ez2 ez1z2
f (z0 )
2 i
c
dz z z0
５、解析函数的高阶导数公式
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数，它的n
阶导数为
f (n) (z0 )
n!
2 i
c
f (z) (z z0 )n1 dz
(n 1, 2,
)
其中 c 为函数 f (z) 的解析区域Ｄ内围绕 z0 的任 意一条简单闭曲线，而且它的内部全含于Ｄ。
f (z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
复变函数期末考试分章节复习题
第一章复习题
1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（ ） A. -2 B. 1 C. 8 D.
14
2. z=2-2i ，|z 2
|=（ ） A. 2 B.
8 C. 4 D. 8
3. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（ ） A.x 2-y 2+2xy
B.x 2-y 2-2xy
C.x 2+y 2+2xy
D.x 2+y 2-2xy
5. arg(2-2i)=（ ） A.43π-
B.4π-
C.4π
D.4
3π 6．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3
arg π
=
w B ．6
arg π
=
w C ．6
arg π
-
=w
D ．3
arg π
-
=w
7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z
z
+=_
，则a 2+b 2的值（ ）
A ．等于0
B ．等于1
C ．小于1
D ．大于1
8．设1
1z i
=
-+，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（ ）
A. e 2+2x
B. e |2i+2z|
C. e 2+2z
D. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（ ）
A. e 2x
B. e y
C. e 2x cosy
D. e 2x siny
11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1
D.Im z<0
12. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||0
0)(z z n
z z dz
__________.（n 为自然数）
2.=+z z 2
2
cos sin
_________.
3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n n nz ∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ
=∞
→n n z lim ，则=
+++∞→n z z z n
n (i)
21______________.
8.
=)0,(
Re n z
z e
s ________，其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z 是)(z f 的极点，则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}
1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 1
1||⎰=z dz z
3. 设
⎰
-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2，其中
}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
4. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，
那么它在
D 内为常数.
2. 试证
: ()f z =
在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两
复变函数(第二章)
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
对复平面内的所有点z 都是连续的;
(2) 有理分式函数 P(z) w , 其中 P ( z ) 和 Q( z ) 都是多项式, Q( z )
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
故 arg z在负实数轴上不连续；
下证f(z)在复平面上除去原点和负实数轴的区域上连续。
y
再设 z0 C \ {Re z 0, Im z 0} .
0 0, 使得角状域 arg z0 0 arg z0 0 与负实数轴不相交。
z0
0
argz0
x
0 0 , 取 | z0 | sin( )，则当| z z0 | 时，
arg z0 arg z arg z0
所以
| arg z arg z0 | ，
即 f ( z ) 在 z0 连续。
复变函数的一致连续
结论
1.4 复变函数的导数与微分
则 u iv ( x iy )2 x 2 y 2 2 xyi ,
于是函数 w z 2 对应于两个二元实变函数 :
u x2 y2 ,
v 2xy.
5.复变函数的几何表示 复变函数w=f(z)涉及四个实变量x,y,u,v，因此不 能用一个二维平面或者一个三维空间来表示了。 由于函数实际上是一种对应、映射或者变换， 因此可以用两个平面来表示一个复变函数。
复变函数复习要点
复变函数复习要点
第一章复习要点
1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；
2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；
3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；
4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。
5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。
第二章复习要点
1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；
2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；
3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；
4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；
复变函数与积分变换复习题汇总(答案)
复变函数与积分变换复习题汇总(答案) 复变函数与积分变换复习题汇总(答案)
一、填空
2(cosisin)2ei41、33，
2、(2k12)i
3、
1212i，
1212i
4、6xyi(3x23y2)
5、z0，二级极点
6、43
7、x[(2)(2)]
8、1ss，Re(ss0)0
09、110、0
11、
tan1bax12、z1，本性，z，可去13、mn
14、nzn1，1
015、2ki
16、(t)12[(t2)(t2)]
二、证明题
1、ux2vxy
yx2xuy0vxyvyx当xy0时，f(z)才可导，即f(z)仅在z0可导
f(z)处处不解析
2、|sin2i||ei(2i)ei(2i)2i||e2e22|1|cos2i|同理可证。三、判断正误
1、×
2、×
3、×
4、√
5、×
6、√
7、√√10、×11、×四、计算题
1、由Cauclcy-Rieman方法易知，f(z)在复平面上处处解析且f"(z)(3x23y2)i6xy或f(z)(xiy)3z3
f"(z)3z2
2、左式11dz2i[231dz24)zi]0C(z4)ziC(z或：左式
Res[f(z),zi]Res[f(z),zi]03、a在c处解析，左式=0
a在c处解析，za是三级极点
左式2i2!(sinz)""zaisina
4、f(z)2i(3271)"z2i[6z7]
f"(z)12if"(1i)12i
15、f(z)z12(1nz1n11z1)()022、×9、121122n36、左式
22z(z1)zz0z2z3(111)21|1zz2z31zz|
12jt2jtF(2sincost)F(sin2t)F(ee)7、
《复变函数》复习大纲及例题
《复变函数》复习大纲及例题
1.复数的简单加减乘除运算、共轭复数、模
2.复数的三角表示式、指数表示式
例：1-=；
例：23i +=
.
3.复数的对数或乘幂运算例：
对数()
1Ln -+的主值为
；
i i 的主值为
.
4.幂级数的收敛半径
例：
幂级数n n ∞
=的收敛半径为3.
5.复数的幂或方根运算例5-1：求()13
1i -的值.解：
例
5-2：求
)
5
5i 的值.
解：
)
56
5
5
6322i
e
i
e π
π--⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
=.6—9.灵活运用柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶求导公式、留数定理、
留数的规则I、II、III求积分6.柯西-古萨基本定理
例6-1沿指定曲线的正向计算积分：
2
cos ,:1C
z
zdz C z =⎰ .
解：()2cos f z z z =在复平面内处处解析，由柯西—古萨基本定理可知
2
cos 0C
z zdz =⎰ .56
552cos sin
266i i e πππ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
3
arctan 2
33cos arctan sin arctan 22i i e
⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 5ln 26
i π
+
2
e
π-(
)
1
1136
4
3
2244cos sin ,0,1,2.3312k k i k i e πππππ-⎡⎤-+-+⎫⎢⎥+=⎪⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦
-==
7.柯西积分公式（或留数定理、规则）例7-1沿指定曲线的正向计算积分：
12,:322C dz C z z z i ⎛⎫+= ⎪+-⎝
⎭⎰ .解：1
211222262222C C C
dz dz dz i i i z z i z z i πππ⎛⎫+=+=+⋅=
复变函数复习资料
《复变函数》考试复习模拟卷
注意：（以通信专业考过复变函数的经验，挂科的情况比较多，题目题型都是以大题的形式出现，本类复习模拟卷，主要是让大家熟悉知识点，考试题型并非如此；另本模拟卷可能涉及我们没讲的知识点，大家可以忽略，还有共有14套卷子比较多，大家有选择的去做一
下 祝大家考出好成绩）
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20分）：
1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )
2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )
3.若
}
{n z 收敛，则
} {Re n z 与
}
{Im n z 都收敛. ( )
4.若f(z)在区域D 内解析，且
0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )
5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )
7.若
)
(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C
0)(=⎰
C
dz z f .
( )
10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）
1、 =-⎰=-1||0
0)(z z n
z z dz
__________.（n 为自然数）
2.
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.
复变函数期末考试复习题及答案详解
8. ________，其中n为自然数.
9. 的孤立奇点为________ .
10.若 是 的极点，则 .
三.计算题（40分）：
1. 设 ，求 在 内的罗朗展式.
2.
3. 设 ，其中 ，试求
4. 求复数 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分)
1. 函数 在区域 内解析. 证明：如果 在 内为常数，那么它在 内为常数.
三、证明题（20分）
1、方程 在单位圆内的根的个数为6.
2、若函数 在区域 内解析， 等于常数，则 在 恒等于常数.
3、若 是 的 阶零点，则 是 的 阶极点.
６．计算下列积分．（８分）
(1) ； (2) ．
７．计算积分 ．（６分）
四. 证明题. (20分)
1. 证明函数 除去在 外，处处不可微.
2. 设 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当 时
，
证明: 是一个至多n次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题（六）
一、填空题（20分）
1.若 ，则 ___________.
2.设 ，则 的定义域为____________________________.
《复变函数》考试试题（一）
1、 __________.（ 为自然数）
2. _________.
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复变函数复习
第一章 复数与复变函数
1.复数的表示
(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.
(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量OP 来表示.
(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +==
复数的辐角Argz=θ, ()x
y
Argz tg = , 复数的辐角的主值argz
Argz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π 当0=z 时,|z|=0,辐角没有意义.
当∞=z 时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角.
argz(0≠z )与反正切x y Arctg 的主值x y arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22
ππ
x y arctg 的关系：
第一、四象限 x
y
arctg z =arg x ﹥0
第二象限 π+=x y
arctg z arg x ﹤0,y ﹥0
第三象限 π-=x
y
arctg z arg x ﹤0,y ﹤0
正虚轴 2
arg π
=
z x=0,y ﹥0 负虚轴 2
arg π
-
=z x=0,y ﹤0
负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0
(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时 2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 =
x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=
(1)相等 z 1= z 2 ⇔ x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)
()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i
(4)除法 2
22
121z z z
z z z ⋅⋅==
22
222
121y x y y x x +++i
2
2
222
112y x y x y x +-()
212
1θθ-=
i e r r )]sin()[cos(21212
1
θθθθ-+-=
i r r (z 2≠0) (5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==
特别 |z|=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公
式)
(6)方根 ,2sin 2cos
1
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+++=
n
k i n k r z n n π
θπθ ()1,,2,1,0-=n k (7)共轭 z = x-iy=re -i θ , 2
1z z ±=
1z 2
z ±,
121z z z =2
z ,
2
1
21z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ;
z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .
注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.
(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:
2
121z z z z ⋅= ,
()2121Argz Argz z z Arg +=
2121
z z z z = , Arg ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛21z z =21Argz Argz - (z 2≠0)
3.复变函数的概念
复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.
4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.
第二章 解析函数
1. 复变函数的导数
(1)定义 函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数
()()()()()0
00000000
lim
lim lim z z z f z f z z f z z f z w
dz
dw
z f z z z z z z --=∆-∆+=∆∆==
'→→∆→∆= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导 连续
(3)求导法则 若f(z),g(z)在点z 可导,则()1
-='
b b
bz
z
(b 为复数);
()()[]()()z g z f z g z f '±'='
±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'='
;
()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21
,()0≠z g .
()[]{}()()z g w f z
g f ''='
,其中 ()z g w = . ()()
w z f ϕ'=
'1
,其中()z f w =与()w z ϕ=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ϕ. 2.解析函数