第6章 连续信源熵和信道容量
2.4连续信源熵
2.4 连续信源熵信源的数学模型信源的信息测度–随机变量、随机序列–简单离散信源：H(X)–离散无记忆信源：H ∞(X)–离散有记忆信源：H ∞(X)= H L (X)=H(X)离散信源≤H L (X) ≤H(X)复习输出消息取值上连续的信源，如语音，电视信源等，对应的数学工具为连续型随机变量或随机过程。
连续信源输出的状态概率用概率密度来表示。
连续信源的数学模型(,)()()()1ba X ab p x p x p x dx ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=∫并满足定义∫−=ba c dxx p x p X H )(log )()(1) 连续熵为相对熵，其值为绝对熵减去一个无穷大量(因为连续信源有无穷多个状态）2) 连续熵不具有非负性，可以为负值；4) 尽管连续信源的绝对熵为一个无穷大量，但信息论的主要问题是信息传输问题，因此，当分析其互信息量时是求两个熵的差，当采用相同的量化过程时，两个无穷大量将被抵消，因而不影响分析。
3) 连续熵不等于一个消息状态具有的平均信息量，其值是有限的，而信息量是无限的；连续熵连续变量的联合熵和条件熵222()()log ()(/)()log (/)(/)()log (/)c xyc xyc xyH XY p xy p xy dxdyH X Y p xy p x y dxdyH Y X p xy p y x dxdy=−=−=−∫∫∫∫∫∫连续熵(;)()(|)()(|)()()()C C C C C C C I X Y H X H X Y H Y H Y X H X H Y H X Y =−=−=+−平均互信息量–连续熵可为负值（连续熵的相对性所致）–可加性–平均互信息的非负性，对称性，信息处理定理)/()()/()()(Y X H Y H X Y H X H XY H ccccc+=+=连续熵的性质()()()()()()()()()()|||,(;)0(;)(;)(;)(;)c c c c c c c c c c c c c c c H X Y H X H Y X H Y H X YH Y X H Y H X Y H X H Y I X Y I X Y I Y X I X Z I X Y =+=+≤≤+≥=≤最大连续熵定理连续信源与离散信源不同，1)它不存在绝对最大熵;2)其最大熵与信源的限制条件有关。
2.5 熵速率和信道容量
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.5 熵速率和信道容量
三、无噪信道中的信道容量
2. 离散无噪信道的信道容量 离散无噪信道的信道容量 设离散无噪信道具有 种电平， 设离散无噪信道具有 K 种电平，即可传输 K 个不同 信道 的矩形脉冲， 的矩形脉冲，从而可传输 K 个不同的消息符号，则 个不同的消息符号， 信道容量 C = max{H′( X)} = max{nH( X)}.
2.10
为 0.01 秒, “划” 的长度为 0.04 秒。 “点” 和 “划” 出现 划 的概
试求信息速率为多少？ 率分别为 0.75 和 0.25, 试求信息速率为多少？ 若 “点” 和 解 (1) H ′( x ) ≈ 46.35875 (bit / s ) . 出现的概率相等，信息速率又为多少？ “划”出现的概率相等，信息速率又为多少？ (2) 设每秒可传输 n 个消息，则 个消息， 个， 秒， 0.5 × n × 0.01 + 0.5 × n × 0.04 = 1 (秒)，⇒ n = 40 (个)， 信息速率为： 信息速率为： ′( x ) = 40 × log 2 = 40 (bit / s ) . H 注 本例说明 虽然等概时熵最大 但熵速率不一定是最大的 本例说明, 虽然等概时熵最大, 但熵速率不一定是最大的, 因此, 利用熵速率刻画信源以及信道的特性要更好一些。 因此 利用熵速率刻画信源以及信道的特性要更好一些。 6
+∞
= −2 w ∫
+∞
−∞
p( x ) log p( x ) . (bi t / s)
9
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.5 熵速率和信道容量
三、无噪信道中的信道容量
1. 信道容量的概念 信道容量的概念 信道容量主要用来刻画信道对信息熵的最大传输能力，即 信道容量主要用来刻画信道对信息熵的最大传输能力， 信道每秒钟到底能将多大的信息熵传递给信宿。 信道每秒钟到底能将多大的信息熵传递给信宿。 每秒钟到底能将多大的信息熵传递给信宿 对于无噪信道，它在自己可以传输的基本前提下， 对于无噪信道，它在自己可以传输的基本前提下，有能力 可以传输的基本前提下 以最大信源熵速率把信源的信息传递给信宿。 最大信源熵速率把信源的信息传递给信宿。 把信源的信息传递给信宿 对于有噪信道，它在自己可以传输的基本前提下， 对于有噪信道，它在自己可以传输的基本前提下，即使能 可以传输的基本前提下 以最大信源熵速率将信源的信息进行传递，但由于噪声的 以最大信源熵速率将信源的信息进行传递， 影响，实际传递给信宿的熵速率会降低。 影响，实际传递给信宿的熵速率会降低。因此这时要考虑 所谓的最大接收熵速率 最大接收熵速率。 所谓的最大接收熵速率。 10
连续信源和信道
b
a q(x)log
1 q(x)
dx
log( b
b
a)a q(x)dx
b
a q(x)log
1 q( x)(b
a)
dx
log
b
a q(x)
1 q(x)(b
a)
dx
log 1
0
（2） 平均功率受限时，限制随机变量x 的平均功
率或方差，即 2 p(x)(x m)2 dx
定理：若连续随机变量的方差一定，则x服从正态 分布时的微分熵最大，
1 N
N2
xi
i 1
Ps
定理：平均功率受限的时间离散、恒参、可加高斯
噪声信道的容量为： （还是单个随机变量的）
C
1 2
log( 1
Ps
2
)
Ps 是输入平均功率的上限， 2 是均值为0的高斯噪
声的方差。最佳输入分布是均值为0、方差为 Ps 的高
p(x | y)x pX (x)x
pXY (xy)log
p(x | y) dxdy h(X ) h(X p(x)
|Y)
I (X ;Y | Z)
pXYZ (xyz) log
pXY|Z (xy | z) pX|Z (x | z) pY|Z ( y |
dxdydz z)
I(XY;Z)
(Y EY )2 ] DX DY E( X EX )(Y EY ) DX DY E( X EX )E(Y EY ) DX DY
独立的
如果对输入功率不加限制，互信息可能任意大。 所以我们研究平均功率受限的可加噪声信道。也就是
2
xi
xN xi2 p(x)dx xi xi2 p(xi )dxi ,
2.6连续信源的熵
2.6连续信源的熵所谓连续信源就是指其输出在时间上和取值上都是连续的信源。
见图2.6.1。
各采样值的概率可用其概率分布密度函数来确定。
图2.6.2表示一个连续信源输出的幅度和其概率分布密度的关系。
设各种采样值之间无相关性，信源熵可写成：])(log[)(dx x p dx x p i ii ∑[例2.6.1]一连续信源，其输出信号的概率分布密度如图2.6.3所示，试计算其熵。
连续信源的熵不再具有非负性，这与离散信源显然不同。
同样可以定义两个连续变量的联合熵：⎰⎰-=dxdy xy lbp xy p XY H )()()(以及定义两个连续变量的条件熵；⎰⎰-=dxdy y x lbp xy p Y X H )/()()/( ⎰⎰-=dxdy x y lbp xy p X Y H )/()()/(连续信源的共熵、条件熵、单独熵之间也存在如下关系：)()()(Y H X H XY H +≤2.6.1三种特定连续信源的最大熵与离散信源不同，求连续信源的最大熵需要附加条件，常见的有三种。
1．输出幅度范围受限（或瞬时功率受限）的信源2．输出平均功率受限的信源 3．输出幅度平均值受限的信源 (1)限峰值功率的最大熵定理若代表信源的N 维随机变量的取值被限制在一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布的连续信源具有最大熵。
设N 维随机变量∏=∈Ni iib a X 1),( iia b>其均匀分布的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∉-∈-=∏∏∏===Ni i i Ni i i Ni i i a b x a b x a b x p 111)(0)()(1)(除均匀分布以外的其他任意概率密度函数记为)(x q ，并用[]X x p H c),(和[]X x q H c),(分别表示均匀分布和任意非均匀分布连续信源的熵。
在1)()(11112121==⎰⎰⎰⎰N b a b a N b a b a dx dx dxx q dx dx dxx p N NN N的条件下有[]⎰⎰-=1112)(log)(),(b a Nb ac dx dx x q x q X x q H NN⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=111111121212)()(log)()(log)()()()(1log )(b a Nb a b a N b a b a Nb a dx dx x q x p x q dx dx x p x q dx dx x p x p x q x q NNNNN N令0,)()(≥=z x q x p z显然运用著名不等式1ln -≤z z 0>z 则]),([11)(log1)()()()(1log)(]),([1211121111X x p H a bdx dx x q x p x q dx dx a bx q X x q H c Ni i ib a Nb a b a N Ni i ib ac N N NN=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--≤∏⎰⎰⎰∏⎰==则证明了，在定义域有限的条件下，以均匀分布的熵为最大。
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
6.1 单符号连续信源的熵与微分熵
1、单符号连续信源
定义
信源发出的消息为单一符号，这些符号随机取值于 一个连续域
表示
连续型随机变量X
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX
随机变量X的取值x为信源发出的消息
定义
对应于单符号连续信源和单符号连续信宿的信道
表示
信源——连续型随机变量X 信宿——连续型随机变量Y
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX 随机变量X的取值x为信源发出的消息
Y y [c, d] 通常[c, d] [a , b] dP(Y y) p( Y y) p( y) dY 随机变量Y的取值y为信宿收到的消息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息 与信道容量
教学内容和要求
理解单符号连续信源及其模型，理解其熵，掌握 其微分熵 理解单符号连续信道及其模型，掌握其平均互信 息，理解其信道容量 掌握高斯信道的信道容量，香农公式
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
微分熵不能作为信息度量，平均互信息——微分熵 差，具有信息度量的意义 信宿每收到一条消息所含信源一条消息的平均信息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
I(X; Y) h(X) h(X / Y)
以信宿为参考，利用信宿的微分熵和信道的噪声 微分熵来度量信道中传输的平均信息 以信源为参考，利用信源的微分熵和信道的损失 微分熵来度量信道中传输的平均信息
2.7 连续有噪信道中的熵速率和信道容量
13
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.7 连续有噪信道中的熵速率和信道容量
例 某连续信道及信源的带宽均为 w = 5000 Hz，信道中存在 ， 加性零均值高斯噪声。 加性零均值高斯噪声。 信源的平均功率为 P = 18，噪声 ， 的平均功率为 N = 6。 。 (1) 求该信道的信道容量； 求该信道的信道容量；
a = −b , ⇒ 2 a = − 3b ,
a = 1/ 3, ⇒ b = −1 / 3 .
即连续信源的概率密度函数为
1e 3 p( x ) = 0,
− x 3,
x ≥ 0, x < 0,
15
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.7 连续有噪信道中的熵速率和信道容量
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.7 连续有噪信道中的熵速率和信道容量
二、连续有噪信道中的信道容量
3. 香农公式 首先，由于信道的噪声为加性(高斯)噪声， 噪声为加性 分析 首先，由于信道的噪声为加性(高斯)噪声，因此有
C = max{H′(Y )}− H′(Z) .
∀p( x)
H(Z) = log 2πe N .
12
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.7 连续有噪信道中的熵速率和信道容量
已知一个平均功率受限的连续信号， 例 已知一个平均功率受限的连续信号，通过带宽 w = 1 M Hz 的高斯白噪声信道，试求： 的高斯白噪声信道，试求： (1) 若信噪比为 15，信道容量为多少 ，信道容量为多少? (2) 若信道容量不变，信噪比降为 7，信道带宽应为多少 若信道容量不变， ，信道带宽应为多少? 解 香农公式 C = w log (1 + P / N ) . (1) 信噪比为 P / N = 15，带宽为 w = 1 MHz =106 Hz， ， ， 故信道容量为 C = 106 log (1 + 15) = 4 × 106 (bit / s ). (2) 信噪比为 P / N = 7， 信道容量为 C = 4 × 106 , ， 故带宽应为 w =
2.4 连续信源的熵
+∞ +∞
−∞ −∞
p( x ) log p( x )dx − lim log ∆ ；
∆ →0
(2) 连续信源的相对熵定义为 连续信源的相对熵 相对熵定义为
H相 ( X ) = −∫
+∞ −∞
p( x ) log p( x )dx
记为
H(X ).
即连续信源的相对熵简称为连续信源的熵。 即连续信源的相对熵简称为连续信源的熵。 连续信源的熵 8
16
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.4 连续信源的熵
三、连续信源的最大熵
2. 瞬时功率 或幅值)受限 瞬时功率(或幅值 受限 或幅值 约束条件 − V ≤ x ≤ V ,
∫
V
−V
p( x )dx = 1 .
结论 若信源输出的幅值限定在区域 [ −V ,V ] 内，则当输出 信号的概率密度是均匀分布时，信源具有最大熵。 信号的概率密度是均匀分布时，信源具有最大熵。 H max ( X ) = ln 2V ( na t )
∂F ∂ϕ 1 令 = −[1 + ln p( x )] + λ 1 = 0 , + λ1 ∂p ∂p
⇒ ln p( x ) = λ 1 − 1 ,
⇒ p( x ) = e λ 1−1 ,
代入
∫
V
−V
p( x )dx = 1 得
λ 1−1
∫
V
−V
e λ 1−1dx = e λ 1−1 2V = 1 ,
= log 2V (bi t ) .
1. 连续信源的离散化(逼近) 连续信源的离散化(逼近)
~ 离散化(或者说量化)为离散信源 或者说量化 连续信源 X 被离散化 或者说量化 为离散信源 X ：
第二章基本信息论7_熵速率和信道容量
R = n[ H ( X ) − H ( X / Y )] = 10000 × (1 − 0.0808) = 9192 比特/秒 < 9900 比特/秒
五、离散有噪信道的信道容量
♦ 离散有噪对称信道的信道容量
p p 信道矩阵为： N − 1 ⋮ p N −1 其中： p = 1 − p
p( y / x )：p(收 / 发) = p(1/ 0) = p(0 /1) = p = 0.01 p (收 / 发) = p(1/1) = p (0 / 0) = 1 − p = 0.99
p ( xy ) = p ( x ) p ( y / x )
1 p (01) = p (0) p (1/ 0) = p = 0.005 = p(10) 2 1 p (00) = p (0) p(0 / 0) = (1 − p ) = 0.495 = p (11) 2 H ( X / Y ) = − ∑∑ p ( xy )log p ( x / y ) p (0) = p (1) = 0.5 x y 且对称信道，则 1 1 = − p log p − (1 − p )log(1 − p ) p ( x / y ) = p ( y / x ) 2 2 1 1 − p log p − (1 − p )log(1 − p ) 2 2 = − p log p − (1 − p )log(1 − p ) = 0.0808 比特/符号
R = n ⋅ I ( X ;Y ) = I ' ( X ;Y )
= n [ H ( X ) − H ( X / Y )] = H ' ( X ) − H ' ( X / Y ) = n [ H (Y ) − H (Y / X ) ] = H (Y ) − H (Y / X )
第二章基本信息论6_连续信源的熵
P( x )
1/ 2
1 dx1 3
0
x
P( x )
2 dx2
6 x
二、连续信源熵的性质
连续信源熵可正可负
H ( X )
1
p( x )log p( x )dx
1 1 lb dx 1比特/采样 3 2 2
2.6 连续信源的熵
一、连续信源熵的定义
连续信源：输出在时间和取值上都是连续的信源
连续信源
采样
离散信源
求信源熵
若连续信源的频带受限，为W，则根据采样定理， 只要采样频率大于2W，则连续信源经采样离散 后，不损失任何信息。 p( x ) 将连续信源离散化为离散 信源，其信源熵为：
p( xi )dx log p( xi )dx
1
3
x
H ( X ) p( x )log p( x )dx
P( x )
1 1 lb dx 2 4 4 2比特/采样
6
1/ 4
0
2
信息量放大了2倍？
6 x
dx2 2dx1
1 1 lb lb dx2 2dx1 1 1 lb lb 2 dx1 1 1 lb dx1
H max ( X ) ln 2 e ln 2 eP 奈特/采样
1.433lb 2 eP 比特/采样
3、输出幅度平均值受限的信源
连续信源X输出非负信号的平均值受限，当其输 出信号幅度为指数分布时，输出最大熵，最大熵 随着X的数学期望（均值）的增大而增大。
信道容量知识总结
信道容量是信道的一个参数，反映了信道所能传输的最大信息量，其大小与信源无关。
对不同的输入概率分布，互信息一定存在最大值。
我们将这个最大值定义为信道的容量。
一但转移概率矩阵确定以后，信道容量也完全确定了。
尽管信道容量的定义涉及到输入概率分布，但信道容量的数值与输入概率分布无关。
我们将不同的输入概率分布称为试验信源，对不同的试验信源，互信息也不同。
其中必有一个试验信源使互信息达到最大。
这个最大值就是信道容量。
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数（称信道的数据传输速率，位速率），以位/秒（b/s）形式予以表示，简记为bps。
通信的目的是为了获得信息，为度量信息的多少（信息量），我们用到了熵这个概念。
在信号通过信道传输的过程中，我们涉及到了两个熵，发射端处信源熵——即发端信源的不确定度，接收端处在接收信号条件下的发端信源熵——即在接收信号条件下发端信源的不确定度。
接收到了信号，不确定度小了，我们也就在一定程度上消除了发端信源的不确定性，也就是在一定程度上获得了发端信源的信息，这部分信息的获取是通过信道传输信号带来的。
如果在通信的过程中熵不能够减小（不确定度减小）的话，也就没有通信的必要了。
最理想的情况就是在接收信号条件下信源熵变为0（不确定度完全消失），这时，发端信息完全得到。
通信信道，发端X，收端Y。
从信息传输的角度看，通过信道传输了I(X;Y)=H(X)-H(X|Y) ,( 接收Y前后对于X的不确定度的变化)。
I该值与两个概率有关，p(x),p(y|x)，特定信道转移概率一定，那么在所有p(x) 分布中，max I(X;Y)就是该信道的信道容量C(互信息的上凸性）。
入与输出的互信息量的最大值，这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
[3]X代表已传送信号的随机变量空间，Y代表已收到信号的随机变量空间。
代表已知X的情况下Y的条件机率。
我们先把通道的统计特性当作已知，p Y | X(y | x)就是通道的统计特性。
《信息论》(电子科大)第六章 连续信源与连续信道
电子科技大学
H c ( X) = ∫ p( x)lbp ( x)dx
a
b
相对熵不能反映连续信源的平均不确定 度. 定义相对熵的目的: 定义相对熵的目的: 在形式上与离散信源熵统一; ①在形式上与离散信源熵统一; 熵差具有信息测度的意义. ②熵差具有信息测度的意义.
电子科技大学
同理,可以定义其它相对熵: 同理,可以定义其它相对熵: 两个连续随机变量的联合熵
b b
= lb (b a ) + lbe [ ∫
b
a
= lb (b a )
b 1 dx ∫ p( x )dx ] a ba
电子科技大学
平均功率受限条件下的最大熵定理 随机变量的平均功率被限定, 随机变量的平均功率被限定,则均值为 零,方差为该平均功率的高斯分布的连 续信源具有最大熵, 续信源具有最大熵,即
p( x ) = 1 2π σ
2 (xm)2 2σ 2
e
,∞ < x < ∞
其中,m = E[ X] = ∫ xp( x)dx 其中 ,
σ = E[( X m ) ] = ∫ ( x m ) p( x)dx
2 2 2
∞
∞ ∞
H c ( X) = ∫ p( x)lbp ( x)dx ∞ (xm )2 ∞ 1 2σ 2 e )dx = ∫ p( x )lb ( 2 ∞ 2π σ
∫
b
a
p( x)dx = 1
电子科技大学
H c ( X) = ∫ p( x)lbp ( x)dx
ba dx = ∫ p( x )lbp ( x ) a ba
b
b
a
1 dx = ∫ p( x )lb (b a)dx + ∫ p( x)lb a a (b a)p( x ) b b 1 dx = lb (b a)∫ p( x)dx + lbe ∫ p( x) ln a a (b a)p( x) b 1 ≤ lb (b a ) + lbe ∫ p( x )[ 1]dx a (b a)p( x)
信息论连续信道和波形信道的信道容量
4
• 在加性信道中信道传递概率密度函数就是噪声的 概率密度函数。条件熵 h(Y/X)就是噪声源的熵 h(n)（即噪声熵）。 • 一般的多维加性连续信道的信道容量为： 一般的多维连续信道的信道容量为：
max maxII ;Y ) max[ h) (Y h X )] /N (比特 /N个自由度） C (( XX ;Y ) max[ h(Y ) h (n )( ]Y /(比特 个自由度）
Ps Ct W log(1 ) 3300log(1 100) N0W 21972 (比特 / 秒)
计算结果约为 22000 比特/秒。实际信道可以达到的最大信道 传输率约为 19200 比特/秒，稍小于理论值（这是由于串扰、 回声等干扰因素所导致）。
18
(2) 当噪声功率 N00 时，信道容量Ct 趋近于无穷， 这意味着无干扰连续信道的信道容量为无穷大。 (3) 增加信道带宽（也就是信号的带宽）W，并不能无 限制地使信道容量增大。当带宽W增大时，信道容量Ct 也开始增大，到一定阶段后Ct 的加大就缓慢了，当 W 时Ct 趋向于一极限值
22
（5）无错误通信的传输速率的理论极限值 香农公式对实际通信系统有着十分重要的指导意义。 它给出了达到无错误通信的传输速率的理论极限值， 称为香农极限。 • 香农公式的另外一种描述形式是：
Ct P log(1 s ) W N0W (bit / s / Hz )
给出了频带利用率和信噪比的关系。
Ps C Ct lim W log(1 ) T T N0W
(比特 / 秒)
21
1）若传输时间T确定，则扩展信道的带宽可以降低对信噪比 的要求；反之，带宽变窄，就要增加信噪功率比。在实际通 信系统中通过采用调制解调的方法实现上述互换。
通信基础知识｜信道容量
通信基础知识｜信道容量写在前面：关于信道容量相关的定义与理论，最经典的是与AWGN信道相关的香农公式，随着移动通信系统的发展，通信信道越来越复杂，在香农公式研究的基础上实际上又有很多展开的研究，包括平坦衰落信道、频率选择性等信道的容量、又包括收发端是否已知信道信息条件下的容量。
本篇文章将相关的资料加以记录整理，供个人学习使用。
1 相关定义•香农容量（各态历经容量、遍历容量）：系统无误传输（误码率为0）下，能够实现的最大传输速率；香农定义该容量为在某种输入分布\(p_X(x)\)下，信息传递能够获得的最大平均互信息\(I(X;Y)\)，也即\(C_{\rmergodic}=\max_{p_X(x)}I(X;Y)\)；如果信道衰落变化很快，在一个编码块内，所有的信息会经历所有可能的衰落，那么此时通常用各态历经容量来定义capacity，为每种可能衰落下，信道容量的统计平均值•中断容量：系统在某个可接受的中断概率下的最大传输速率（注意信噪比越小，中断概率越大，于是可接受的最大中断概率对应着一个最小的信噪比），有\(P_{\rm outage}=P(\gamma<\gamma_{\min})\)；如果信道衰落变化较慢，在一个编码块内，信息经历相同的衰落，而不同编码块内信息经历不同的衰落，此时通常用中断容量来讨论capacity2 影响信道容量的因素•信道种类：AWGN信道、平坦衰落信道、频率选择性衰落信道、时间选择性衰落信道等•信道信息对于收发端是否已知：收发端已知信道衰落分布信息CDI、接收端已知信道实时的状态信息CSIR、收发端都已知信道实时的状态信息CSIRT3 SISO信道容量AWGN信道：最简单的加性高斯白噪声AWGN信道的（香农）信道容量，即是经典的香农公式：\(C=B\log(1+\frac{S}{N})\)，其推导见通信基础知识 | 信息熵与香农公式，注意两个条件：高斯分布的信源熵最大、信号与噪声不相关平坦衰落信道：对于平坦衰落信道模型\(y=hx+n\)来说，信道的抽头系数可以写为\(\sqrt{g[i]}\)，其中\(g[i]\)为每时刻的功率增益系数，信噪比此时考虑信道的衰落作用，为\(\gamma=\frac{S|h|^2}{N}\)•CDI：求解困难•CSIR：经过衰落的信道\(h\)的作用，相比AWGN信道，平坦衰落信道的信噪比会随之随机下降o各态历经容量：\(C_{\rmergodic}=B\int_0^{\infty}\log(1+\gamma)p(\gamma)d\gamma\)，由于平坦衰落信道中的信噪比\(\gamma\)相比AWGN信道都是下降的，不难判断有\(C_{\rm fading}<C_{\rm AWGN}\)o中断容量：\(C_{\rmoutage}=B\log(1+\gamma_{\min})\)，平均正确接受的信息速率为\(C_{\rm right}=(1-P_{\rmoutage})B\log(1+\gamma_{\min})\)•CSIRT：根据香农公式，信道容量与接收信号功率、噪声功率、信号带宽相关。
信源及信源熵课件
编码的方式和格式取 决于应用场景和需求 。
编码的目的是为了便 于信息的存储、传输 和处理。
信源编码的原理
信源编码是对信源输出的符号或数据 进行压缩编码，以减少存储空间和传 输带宽。
信源编码的目标是在保证信息无损的 前提下，尽可能地减小编码后的数据 量。
差分编码
02
通过消除信号中的冗余信息，降低信号的复杂性，提高信号传
输的效率和可靠性。
深度学习在信源编码中的应用
03
利用深度学习算法对信源进行自动编码，提高编码的自适应性
和智能化水平。
信源熵的新应用
信息隐藏
利用信源熵将秘密信息隐 藏在普通数据中，实现隐 蔽通信和数据保护。
数据加密
通过改变数据熵值，增加 数据破解的难度，保护数 据的机密性和完整性。
LZ77编码
基于字典的压缩算法，通过查找已输出的字符串在字典中的匹配项， 替换为较短的指针，实现数据压缩。
BWT编码
将信源输出按字节进行排序并连接成一个字符序列，通过游程编码和 差分编码等技术实现数据压缩。
04
信源的应用
在通信系统中的应用
信源编码
通过将信源输出的消息转换为二进制 或其它形式的数字信号，实现数字通 信，提高通信系统的传输效率和可靠 性。
信源编码的原理基于信息论和概率统 计的知识，通过对信源输出的概率分 布进行分析，采用适当的编码方式实 现数据压缩。
常见信源编码方式
Huffman编码
基于信源符号出现概率的编码方式，通过为出现概率高的符号分配较 短的码字，实现数据压缩。
算术编码
将信源输出区间划分为若干个子区间，每个子区间对应一个符号，通 过小数形式的码字表示输出区间的范围，实现高压缩比。
2信道及其容量
信源
编码器
输 入 X
信道
输 出 Y
译码器
信宿
干扰源
输入输出关系：转移概率 p(y|x) 信道描述：1. 输入集合 2. 输出集合 3. 输入输出的转移概率分布 研究目标：从信道的输出了解信道的输入
7
• 按信道输入出符号分类 输入、输出空间＝状态集合＋时间集合
( X , Y取值集合) (T )
'
————疑义度熵速率 ————散布度熵速率
例：n＝1000码元/秒，P(0)=P(1)=1/2
0
X
15 / 16 1 / 16 1 / 32
0
Y
H ( X ) 1bit / 码元
1
31 / 32
1
H(X ) 和 R Y x ) y p ( ) 完成： p ( y 的转换 x
计算
H ( X ) p( xy) log p( x ) Y y X Y
1 p
p10 p01 p p00 p11 1 p
0
0
0
0
对称删除信道
e
1 1 1
e
1
p01 p10 0 pe 0 pe1
③ 、Z信道
0
0
p10 p
1 1
磁盘掉磁
2.3 互信息
定义：
log p(
1 xi
为疑义度（单个）
yj
)
不同于转移概率
p(
yj
注意：收到
y j 后，对 xi 的不确定程度
yi ) 1
xi
)
如果：无噪 p ( xi 有噪
p(
xi
yi
) 1
第六章 连续信道及其容量
式中上确界是在给定输入约束下对所有 输入分布来求的
10
可加波形信道
若信道干扰是可加白高斯噪声z(t)，简记 为AWGN，它的功率谱均匀地分布在比 信号带宽更宽的频带上。则在0≤t ≤T内， 噪声也可通过正交函数集表示成
11
可加波形信道
若信道输入功率不超过S，即
由前面结论
12
可加波形信道
其x1, x2,...是均值为0、方差Sn=ST/N 的统计独立高斯随机变量，上式等 号成立，
效带宽越宽，信道容量越大； 信道容量与信道上的信号噪声比有关，信噪比越大， 信道容量也越大，但其制约规律呈对数关系 ； 信道容量C,有限带宽W和信噪比可以相互起补偿作用。 应用极为广泛的扩展频谱通信，多相位调制等都是以此 为理论基础。 当信道上的信噪比小于1时（低于0db），信道的信道 容量并不等于0，这说明此时信道仍具有传输消息的能 力。也就是说信噪比小于1时仍能进行可靠的通信，这 对于卫星通信、深空通信等具有特别重要的意义。
4
6.2 波形信道
若信道的输入和输出是任意的时间函数， 就称作是波形信道或时间连续的连续信 道。
若信道输出 y(t)=x(t)＋z(t) ，就称为可加 波形信道。
5
可加波形信道
对于任意给定的x(t)，信道的输出将主要由信 道噪声决定。一般假定z(t)的均值为零，则y(t) 的均值将等于x(t)的均值。 在有限通信时间段[0，T]上，若x(t)、y(t)都是 平方可积函数，它们可通过一组完备的正交 函数集{1(t)，2(t)，…，}展开成
2
时间离散的无记忆连续信道
（3）转移概率密度 p(y|x))=p(y1|x1)p(y2|x2)…p(yN|xN)，
则称该信道为时间离散的无记忆连续信道。如 果进一步有 （4）p(yn|xn)=p(ym|xm)3
高等数学1 信道容量
高等数学1 信道容量
信道容量是指在给定的带宽和信噪比条件下，信道中最大可传输的信息量。
在高等数学中，通常用香农公式来计算信道容量。
香农公式为：
C = B * log2(1 + S/N)
其中，C表示信道容量，B表示信道的带宽，S表示信道传输
中的平均信号功率，N表示信道传输中的平均噪声功率。
该公式的含义是，信道容量与信道带宽成正比，与信噪比成对数关系。
当信噪比增大时，信道容量也会增大。
而当信噪比较小时，信道容量会接近于0，表示信号的信息无法可靠地传输。
需要注意的是，香农公式是基于理想条件下的计算，实际情况中可能会有噪声和其他因素的影响，因此实际传输的信道容量可能会小于理论值。
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x m
6.1.3 连续信源熵的性质和定理 1
连续信源熵可为负值 连续信源熵的可加性
2
H c ( XY ) H c ( X ) H c (Y X ) H c ( XY ) H c (Y ) H c ( X Y )
推广到N个变量的情况
H c ( X1 X 2
X N ) H c ( X1 ) H c ( X 2 X1 ) H c ( X 3 X1 X 2 ) H c ( X N X1 X 2 XN )
C max Ic ( X ;Y ) max Hc ( X ) Hc ( X Y ) max Hc (Y ) Hc ( X )
此情况下最大熵信源统计特 性与白噪声(均匀噪声)相同
(6.1.34)
18
2
限平均功率的最大熵定理
平均功率为P，均值m受限情况下，当信源 概率密度函数为正态分布时，具有最大熵。
p( x)
1 e 2 ( x m )2 2 2
,
p ( x )dx
q ( x )dx 1
第 6 章
连续信源熵和信道容量
1
6.1
连
续
信
源
熵
第6章
6.2
熵
功
率
6.3
连 续 信 道 的 信 道 容 量
2
平稳信源
统计特性与时间起点无关的 连续信源。
连续 信源
非平稳信源
遍历的随机过程
连续信源的分类
统计平均以概率1等于时间平
均的平稳随机过程。
3
时间平均：
1 lim T 2T
T
T
x(t )dt x(t )
x m
均值
(x 0)
0
H c ( X )
0
p( x) log 2 p( x)dx
0
log 2 m
p( x)dx log 2 e
0
1 p ( x) log 2 ( e )dx m x p ( x) dx log 2 (me) m
13
H c ( X ) log(bi ai )
i 1
N
(6.1.11)
Hc ( X N )
11
H c ( X1) H c ( X 2 )
2
高斯分布的连续信源的熵
概率密度函数： 均值：m
p( x)
1 e 2
( x m )2 2 2
xp( x)dx
H ( X ) p (ai ) log p (ai ) p (ai ) log p (ai ) p (ai ) log
i 1 i 1 n
lim H ( X )
n
0
p ( x) log p ( x)dx lim log
统计平均：
E X t i xp( x)dx
E X ti x (t )
满足上述条件的{x(t)}称为遍历的随机过程。
4
6.1.1 连续信源熵的定义
计算连续信源熵的两种方法：
1
2
将连续信源离散化，再用离散熵计算；
先进行抽样，再把抽样序列看作量化 单位△趋于0时的情况， 然后定义计算信源熵。
证明过程和方法与离散信源类似。
(6.1.30a) (6.1.30b)
连续信源的平均互信息量也满足对称性。
I c ( X ;Y ) I c (Y ; X )
连续信源的平均互信息量还满足数据处理定理。
(6.1.31)
I c ( X ; Z ) I c ( X ;Y ), I c ( X ; Z ) I c (Y ; Z )
并满足
p( x)dx 1
ba n
p ( x)
a
a (i 1)
xi
a i
b
x
6
图6.1.1 概率密度函数
中值定理：
P(a (i 1) X a i)
n i 1 n
a i
a ( i 1)
p( x)dx p( xi )
n
0
p ( x)dx
7
连续信源熵(相对熵)定义：
为了在形式上与离散信源熵统一，定义连续信源熵。
H c ( X )
熵差仍然具有信息的特征:
p( x) log p( x)dx
(6.1.6)
Ic ( X ; Y ) Hc ( X ) Hc ( X Y ) 1 a xb p ( x) b a x b, x a 0 b b 1 1 H c ( X ) p( x) log 2 p( x)dx log 2 dx a a ba ba log 2 (b a) , (b a) 1 均匀分布的连续信源熵
具有最大连续熵。
因为噪声是一个最不确定的随机过程，而最大的信息量只能从 最不确定的事件中获得。
3 均值受限条件下的最大连续熵定理
连续信源输出非负信号的均值受限条件
下，指数分布的连续信源具有最大熵。
21
1 m p ( x) e , x 0 m
x
H c max X log 2 me
xp( x)dx
2
xq( x)dx m
2 2
( x m) p( x)dx ( x m) q( x)dx
19
1 p ( x) H c q( x), x q( x)log 2 q( x)dx q( x)log 2 dx q ( x) p ( x)
最大熵 实际熵
(6.2.1)
实际信源熵可理解为最大熵与信息变差之间的差值
Hc [q( x), X ] H c [ p( x), X ] I p,q
均值为0，平均功率P受限的最大熵为
1 H c [ p ( x), X ] log 2 2eP 2
(6.2.2)
(6.2.3)
如果受限的平均功率下调为 P，则 1 1 H c [ p ( x), X P ] log 2 2eP log 2 2eP H c [ p( x), X ] 2 2
一维概率密度函数(边缘概率密度函数)：
dF ( x) p( x) pX ( x) dx dF ( y ) p( y ) pY ( y ) dy
F ( x ) : X的概率分布函数。
F ( y) :
Y的概率分布函数。
5
单变量连续信源的数学模型为：
R X : p ( x)
均值
连续信源不存在绝对的最大熵。连续最大熵与信源的限制条件 有关。在不同的限制条件下，有不同的最大连续熵。
22
6.1
连6章
6.2
熵
功
率
6.3
连 续 信 道 的 信 道 容 量
23
信息变差(信源冗余度) I p,q H c [ p( x), X ] H c [q( x), X ]
14
证明：
H c ( XY ) p( xy ) log 2 p( xy )dxdy
R2
p( xy ) log 2 p( x)dxdy p( xy ) log 2 p( y x)dxdy
R2 R2
p ( xy )dy log 2 p ( x)dx p ( xy ) log 2 p ( y x)dxdy
(6.1.32)
16
4
最大连续熵定理 1 限峰值功率的最大熵定理 若代表信源的N维随机变量取值被限定在一定范围 内，在有限定义域内均匀分布的连续信源有最大熵。
X (ai ; bi ), bi ai
i 1
N
1 N (ai ; bi ) p( x) i 1 0
log 2 22
p ( x)dx log e
( x m) 2 2 p( x) dx log 2 e 2 2 2
12
高斯信源的熵仅与方差有关。
原因
3
影响信源的整体特性，m对整体特性无影响。
2
指数分布的连续信源的熵
1 p ( x) e m
R2 R2
p ( x) log 2 p( x)dx p ( xy ) log 2 p( y x)dxdy
R R2
H c ( X ) H c (Y X )
15
3
平均互信息量的非负性
I c ( X ;Y ) H c ( X ) H c ( X Y ) 0 I c (Y ; X ) H c (Y ) H c (Y X ) 0
任 意 分 布
p ( x) q( x)log 2 p( x)dx q( x)log 2 dx q ( x)
q( x)log 2
1 22
dx q( x)log 2 e
( x m )2 2 2
R2
9
6.1.2 几种特殊连续信源的信源熵 1
均匀分布的连续信源的熵 一维： log 2 (b a) N维：
X X1 X 2 X N
1 N (bi ai ) p( x ) i 1 0
x (bi ai )
i 1 N
N
x (bi ai )