雨中行走问题模型

数学建模之雨中行走问题模型

摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。就淋雨量与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少；若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。

关键词：淋雨量，数学模型，降雨的方向。

正文

1.问题的提出

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量；（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，问跑步速度v 为多大时可使淋雨量最少。

（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）

2.问题的分析

总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积、单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。

再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。

淋雨量（V ）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S ）×淋浴时间（t ） ①

时间（t ）=跑步距离（d ）÷人跑步速度（v ） ②

由①② 得： 淋雨量（V ）=ω×S ×d/v

3.合理假设

3.1模型的假设

（1）人身体的表面非常复杂，为了使问题简单化，假设将人视为一个长方体，并设其高1.5m(颈部以下)，宽0.5m,厚0.2m.其前、侧、顶的面积之比为1:b:c, （2）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）此人在雨中跑步应为直线跑步；

（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；

（5）设雨速为常速且方向不变，选择适当的空间直角坐标系，使人行走的速度为(u,0,0）设雨的速度为(,,)x y z v v v v =,人行走的距离为d=100米。

在上述假设下，再有数学分析中曲面积分的通量概念，显然，单位时间内的淋雨量正比于()

()||,|0|,|0|1,,||||||x y z x y z u v v v b c u v v b v c ---⋅=-+⋅+⋅，从而总淋雨量正比于()()||.........................(3.1)x u d

R u v a u

=

-+ 其中||||0y z a v b v c =⋅+⋅≥，于是该问题抽象成如下数学问题： 在d,x v ,a 已知条件下，求()u R 的最小值。 3.2变量限定

m u :跑步的最大速度

v :雨的速度

w :单位时间内的降雨量

:Q 总的淋雨量

u :跑步速度

θ

:雨线方向与人体夹角

s :人可以被雨淋到的全身面积

m

d

t u =

:雨中行走的最短时间

4.模型的构建与求解

由于这个模型的特殊性，用图解法求解更方便些，分以下几种情况进行讨论： 4.1不考虑雨的方向

这是最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，降雨淋遍全身，那么淋雨的面积

()221.5*0.5 1.5*0.20.5*0.2 2.2s m =++=

淋雨的时间100

205

m d t s u =

== 而降雨量41

2/10/18

w cm h m s -==

⨯ 所以总的淋雨量4431

2.22010 2.441018

Q stw m --==⨯⨯

⨯≈⨯。 4.2考虑雨的方向；分雨从迎面和背面吹来两种情况，但雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为θ 。如图1和图2。

图1 雨从迎面吹来 图2 雨从背面吹来

由此建立总淋雨量与速度u 之间的关系表达式。

x v =sin v θ,cos z v v θ=。

4.2.1当x v >0时（即雨从背面吹来的情况），

()u R =()()()()()()()().................(3.2)x x x x x x d v a d

v u a d u v u u

d a v d u v a d u v

u

u +⎧-+=-<⎪⎪⎨

-⎪-+=->⎪⎩

再将x v 与a 进行比较： 1）当x v >a 时，()

u R u 的图形如图

3所示，由图可知， x u v =时，()u R 的最小值为

min x

da

R v =

图3 当x v >a 时，()u R u 的图形

2）当x v

能小（接近d ）.

图4 x v

4.2.2当x v <0时（即雨从迎面吹来的情况），这是有

()u R =()()()||||...........................5.3x x d v a d

u v a d u u

+++=

+ 此时无论x v 为何值，()u R 都无最小值，即只有当u 尽可能大时，()u R 才会尽可能小，

()u R u 的图形如图5所示。

4.2.3当x v =a 及x v >0时，分别为式（3.1）和式（3.2）的特例。

所以综上所述，当x v >a>0时，即雨从背面吹来时，只要x u v =就可使前后不淋雨，从而总淋雨量最少，而其他情况都应使u 尽可能大，才能使淋雨量尽可能少，显然，这也符合人们的生活常识，

5.模型的结果分析

综合上面的分析，我们得到的结论是：

1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。