函数极值的几种求法

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求极值的方法

在数学中，求极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值，对于优化问题和最优化理论具有重要意义。本文将介绍几种常见的求极值的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一数学问题。

首先，我们来介绍一种常见的求极值的方法——导数法。对于一个函数f(x)，如果要求其极值，可以先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0，解出方程得到临界点，再通过一阶导数的符号变化来判断极值的位置。如果f'(x)>0，那么f(x)在x点附近取得极小值；如果f'(x)<0，那么f(x)在x点附近取得极大值。这种方法适用于绝大多数函数，而且求导的过程相对简单，因此被广泛应用。

其次，我们来介绍一种更为直观的求极值的方法——二阶导数法。对于一个函数f(x)，如果要求其极值，可以先求出它的一阶导数f'(x)，然后再求出f'(x)的导数f''(x)，即二阶导数。如果

f''(x)>0，那么f(x)在x点附近取得极小值；如果f''(x)<0，那么f(x)在x点附近取得极大值。这种方法相对于导数法来说，更加直观和简单，适用于一些特定类型的函数。

除了导数法和二阶导数法，还有一种常见的求极值的方法——拉格朗日乘数法。这种方法主要用于带有约束条件的极值问题，通过引入拉格朗日乘子来构造新的函数，然后求出新函数的驻点，最终得到极值点。这种方法在一些优化问题中有着重要的应用，能够有效地解决带有约束条件的极值问题。

另外，还有一些特殊函数的极值求解方法，比如三角函数、指数函数、对数函数等。针对不同类型的函数，可以采用不同的方法来求极值，比如利用周期性、对称性、单调性等特点来简化求解过程。

求极值的方法与技巧

一、求函数极值的最基本方法

1、用微积分中的导数（Derivatives）法。即要求函数极值问题，可

以将其转化为求解极值点，也就是求求函数的导函数为0时，函数的值最

大最小的解，即求函数的极值点。

2、用泰勒展开（Taylor Series）法。这是一种利用因式分解法求函

数极值。如果一个函数f(x)可以被表示为f(x)，则它就可以按一定形式

分解成：f(x)=a₁+a₂x+a₃x2+a₄x3....，在这种分解的基础上，再算出

f'(x)=a₂+2a₃x+3a₄x2....，将f'(x)的值设置为0，即可求出此时函数f(x)的极值点。

3、用函数增减（Functional Increasing and Decreasing）法：研

究函数的单调增减性，通过对函数的单调增减性来判断函数的极大值和极

小值。

根据单调性原理，函数在单调递增的区间或单调递减的区间内，极值

只有一个，该函数极值即为极大值或极小值。当函数在同一区间内的一些

点发生折点时，这个折点对应的函数值，即为函数在整个区间的极值，此

时的折点为函数的极值点。

二、极值点的确定方法

1、求解函数的单调性。单调性主要是指函数在其中一区间上的曲线

轨迹是单调递增或者是单调递减的。当函数在区间内的特定点发生折点时，这个折点就是函数的极值点。

2、求解导函数的

高考复习专题四—求极值的六种方法

高考复习专题四—求极值的六种方法高中学生可以体会

1.极值的定义

极值（extremum）是指函数在其中一区间的最大值或最小值。也就是说，当函数在一定范围内取得最大（或最小）值时，该值称为該函数在该范围上的极值。

2.求极值的六种方法

（1）最值法

即直接从函数的图形上来确定函数最大值和最小值，只要找到这样的定义域点，使它是图的最高点或最低点，那么该点就是函数的极大值或极小值点。

（2）十字法

即使用十字观测的方法，通过求解相邻两点的切线的斜率，搭配图形定义域，确定函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。

（3）观察法

即对函数进行全面性的观察，然后根据函数的规律，用数值验证的方法，确定该函数的最大值和最小值。

（4）求导数法

即通过求解函数的导数，然后观察函数的单调性，从而求得函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。

（5）二分法

即把定义域分成二份，根据函数的单调性，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。

（6）逐段求和法

即把定义域分成多份，根据函数的单调性，对每一点分段求解，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。

函数极值求解题技巧

在数学中，求解函数的极值是一个经常遇到的问题。极值是指在一定区间内，函数取得最大值或最小值的点。解决函数极值问题的方法有很多，下面介绍一些常用的技巧。

1.求导法

求导法是求解函数极值的基本方法之一。主要步骤如下：

（1）对给定的函数，将其关于变量求导，得到导数函数。

（2）将导数函数置为0，求解方程。

（3）解得方程的解即为函数的极值点。

（4）通过二阶导数来判断极值的类型：若二阶导数大于0，则该点是极小值点；若二阶导数小于0，则该点是极大值点；若二阶导数等于0，则需要进一步分析。

2.边界值法

边界值法适用于区间上包含有限个点的情况。主要步骤如下：

（1）在区间的边界处计算函数值。

（2）比较边界处的函数值，找出最大值或最小值。

（3）这些最大值或最小值都可能是函数的极值。

3.对称性法

对称性法适用于具有一定的对称性质的函数。主要步骤如下：

（1）根据函数的对称性特点，找出函数取极值的位置。

（2）通过计算函数在取极值位置的导数，判断极值的类型。

4.二分法

二分法适用于函数在一个区间上单调递增或单调递减的情况。主要步骤如下：

（1）找出一个区间，使得函数在该区间上单调递增或单调递减。

（2）取区间的中点，计算中点的函数值。

（3）根据函数值的大小关系，确定下一次迭代的区间。

（4）重复以上步骤，直到找到函数的极值。

5.最大值和最小值的性质

对于连续函数，最大值和最小值都会在闭区间内取得。所以可以先计算出闭区间的边界值，再计算函数在闭区间内的驻点，最终比较这些值找出极值。

6.二次函数的极值

对于二次函数，其形式为y=ax^2+bx+c。当a>0时，函数开口向上，最小值在顶点处取得；当a<0时，函数开口向下，最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为-b/2a，代入函数求得最大值或最小值。

求极值的方法

在数学中，求极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值，对于解决实际问题和优化设计都具有重要的意义。在本文中，我们将介绍几种常见的求极值的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

一、导数法。

求极值的常用方法之一就是利用导数。对于给定的函数，我们首先求出它的导数，然后找出导数为零的点，这些点就是函数的极值点。具体来说，如果函数在某点的导数为零，并且在这点的左侧导数由负变正，右侧导数由正变负，则该点就是函数的极大值点；反之，如果左侧导数由正变负，右侧导数由负变正，则该点就是函数的极小值点。

二、二阶导数法。

除了利用一阶导数来求极值外，我们还可以利用二阶导数。对于给定的函数，我们首先求出它的二阶导数，然后判断二阶导数的符号。如果二阶导数大于零，则函数在该点处取得极小值；反之，

如果二阶导数小于零，则函数在该点处取得极大值。

三、拉格朗日乘数法。

对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。具体来说，如果我们要求函数在一定约束条件下的极值，我们可以构造拉格朗日函数，然后利用拉格朗日乘数法来求出函数的极值点。

四、综合运用法。

在实际问题中，有时候我们需要综合运用多种方法来求解极值问题。例如，对于带有多个变量的函数，我们可以先利用偏导数来求出函数的梯度，然后再利用梯度下降法来求解函数的极值点。

在求极值的过程中，我们需要注意一些常见的误区。首先，我们需要注意判断函数的定义域，因为函数的极值点必须在其定义域内。其次，我们需要注意判断函数的边界点，因为函数的极值点可能出现在边界上。最后，我们需要注意判断函数的驻点，因为函数的极值点也可能是其驻点。

求极值的三种方法

一、直接法。先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值

二、导数法

（1）、求导数f'(x)；

（2）、求方程f'(x)=0的根；

（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。

扩展资料：

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

1、求极大极小值步骤：

求导数f'(x)；

求方程f'(x)=0的根；

检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

函数的极值与最值的求解方法

函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。极值是指函

数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义

域内的最大值或最小值。正确地求解函数的极值与最值对于解决实际

问题和优化算法具有重要意义。本文将介绍一些常见的函数极值与最

值的求解方法。

一、导数法求函数极值

导数法是求解函数极值的常用方法之一。对于一元函数，我们可以

通过求取其导数来确定函数的极值点。具体步骤如下：

1. 求取函数的导数。

根据函数的表达式，求取其一阶导数。对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。

2. 解方程求取导数为零的点。

导数为零的点对应着函数的极值点。将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。

3. 判断极值类型。

在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判

断该点处的极值类型。若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数

小于零，则为极大值。

二、边界法求函数最值

边界法是求解函数最值的一种有效方法。当函数在闭区间上连续且

有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。具体步骤如下：

1. 确定函数定义域的闭区间。

根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。

2. 计算函数在端点处的取值。

将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。

3. 比较函数取值找到最值。

对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数

取值最小的端点。

三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值

当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求

解函数的极值。该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤

函数极值的求解方法

函数的极值，就是函数在某一区域内达到的最大值或最小值,取得极值的(自变量)点叫做极值点。从函数的图象上来看,极值点的切线与x轴平行,所以也可以说,切线与x轴平行的点就是函数的极值点。同一个函数的极值点可以有多个,且大小不一定都相等,所以极值点中可能有函数的最大值与最小值,这又不同于函数在某一区域的最大最小值。

一、利用二次方程的判别式求极值

在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。

例：求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。

解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x ∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法≥0，解之得：-1≤y≤1∴函数y= 求函数极值的若干方法值域为[-1，1]。

二、利用倒数关系求极值

对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

三、利用重要不等式求极值

对于一类各项积为定值，且每一项的符号相等的函数极值，可考虑用重要不等式解决。

四、利用换元法求极值

有些无理函数，往往用以上方法无法求出极值，此时可试用换元法求之。

五、用解析法求极值

形如y=求函数极值的若干方法其中(f(x)、g(x)是关于的二次式，且二次项系数为1)的函极值，直接用纯代数法非常困难，因为要平方两次才能去掉根号。但若借助与解析法，将求函数极值的若干方法分别视作平面直角坐标系内两

点的距离，利用平面图形性质，便可简捷求解。

函数极值的求解方法

函数极值是许多数学问题中的关键，它们可以帮助我们确定函

数的最大值或最小值。在现实生活的许多场景中，寻找函数的极

值可以帮助我们做出更好的决策。然而，函数极值的求解方法并

不是那么容易的事情。在本文中，我们将探讨一些常见的函数极

值求解方法。

一. 常数法

常数法是最简单的寻找函数极值的方法。这个方法认为，如果

一个函数在某一个点处取得了最大值或最小值，那么这个点的一

阶导数应该等于零。因此，我们只需要求出函数的一阶导数，然

后令它等于零，就可以求出函数的极值点。

常数法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。然而，这个方法也有缺点，因为函数可能在极值点处不连续，或

者在这些点处存在重复的极值。此外，它也无法处理高次导数。

二. 二分法

二分法是另一个寻找函数极值的方法。这个方法认为，如果一

个函数在某个区间内单调递增，那么它在这个区间的左端点处取

得最小值，在右端点处取得最大值。因此，我们可以通过二分法

来不断缩小区间，直到确定函数的极值。

二分法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。此外，它也可以处理高次导数和函数不连续的情况。然而，这个

方法需要反复迭代，所以运算速度可能不够快。

三. 牛顿法

牛顿法是一种迭代算法，用于逼近函数的极值点。这个方法认为，如果一个函数在某个点上有极值，那么它在这个点的一阶导

数应该等于零。我们可以通过不断迭代来逼近函数的极值点。

牛顿法的优点在于其快速收敛和可以处理高次导数的能力。然而，这个方法有一些缺点。首先，它需要一个初始点。如果初始

点不好选择，那么该算法可能会失败。其次，当函数有多个极值

计算函数极值的方法

计算函数极值的方法，主要有几种：一是微分法；二是关联函数法；三是拉格朗日法，以及常用的圆锥法。

1、微分法：

即将函数的参数进行调整，并根据函数的导数相等或为0的原理，来求得函数的极值点。具体来说，可以计算出函数f(x)的导数f '(x)，并设置f'（x）= 0，求解出f（x），因此即可找出极值点。

2、关联函数法：

通过把函数的极值问题重新定义为某种关联函数的极值的搜索问题，然后借助关联函数的性质求得变量的极值。这是一种特殊的求极值方法，只有当函数可以重新定义为关联函数时，才能使用此方法。

3、拉格朗日法：

这是一种优化算法，即把求极值问题转化为一个最优化问题，通过求解最优点，来求得函数的极值点。

4、圆锥法：

圆锥法也称为泰勒-展开式法，是在函数f（x）的某一点处对f （x）做一次二阶导数的展开。展开后的表达式可以用圆的形

式表示，因此这种方法称为圆锥法。

以上是求取函数极值的方法，可以根据函数的特性，选择合适的方法来计算函数的极值点。

求函数最值极值的方法

1、配方法:形如的函数，根据一次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。由于,.≥0,求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。

4、利用均值不等式，形如的函数,及≥s，注意正,定,等的应用条件，即:a,b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。

5、换元法:形如的函数，令,反解出x,代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。还有三角换元法,参数换元法。

6、数形结合法形:如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同-坐标系作出它们的图象，观察其位置关系,利用解析几何知识求最值。求利用直线的斜率公式求形如的最值。

7、利用导数求函数最值:首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(x)的关系:若f(x)=f(-x),偶函数;若f(x)=-f(-x),奇函数。

求极值的方法有多少种类型

求极值的方法有以下几种类型：

1. 导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，然后判断该点是极大值还是极小值。

2. 二阶导数法：通过求函数的二阶导数，判断二阶导数的符号来确定极值点的类型。

3. 等式法：将函数的表达式转化为一个等式，然后通过解等式的方法找到极值点。

4. 梯度下降法：通过迭代的方式，不断地调整自变量的取值，使得函数的值逐渐趋近于极小值。

5. 约束条件法：在一定的约束条件下，找到函数的最大值或最小值。

6. 极值判别法：通过判别式来判断函数的极值点的类型。

7. 极值定理：根据极值定理，如果函数在一个区间内连续且可导，并且在该区间的端点处的函数值不等于无穷大，则在该区间内一定存在极值点。

8. 拉格朗日乘数法：在一定的约束条件下，通过引入拉格朗日乘子，将求极值的问题转化为求解方程组的问题。

9. 条件极值法：在满足一定的条件下，求解函数的最值。

10. 数值优化法：通过计算机的数值计算方法，找到函数的最值近似解。

高等数学求极值的方法

高等数学中，求极值的方法有以下几种：

1. 导数法：对于一元函数，求解其导数，然后按照导数的性质判断临界点的类型（最大值、最小值还是拐点），再根据函数在临界点和区间端点的取值情况确定极值。

2. 条件极值法：对于含有一个或多个约束条件的极值问题，可以通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件求解导数为零的点，然后根据约束条件和拉格朗日函数在这些点上的取值情况确定极值。

3. 二阶导数法：对于二次函数，可以利用二阶导数的符号判断极值点的类型（凹点还是凸点），然后根据函数在极值点和区间端点的取值情况确定极值。

4. 参数法：对于含有参数的函数，可以通过求导数并整理化简后，推导出关于参数的方程，进而求解参数值对应的极值点。

5. 函数图像法：通过观察函数的图像，寻找函数的极大值和极小值。

求函数极值的若干方法

函数极值是数学分析中非常基础和重要的概念之一，研究函数的极值有助于我们了解函数的性质和行为。在实际应用中，函数的极值问题也具有广泛的应用，比如优化问题、最优化问题等。下面我将介绍一些常用的方法来求解函数的极值。

1.导数法：

导数法是求解函数极值的最常用方法之一、对于定义在开区间上的函数，极值点一定是函数的驻点，也就是导数为零或不存在的点。因此，我们可以通过求函数的导数来找到极值点。具体的步骤如下：

a.求取函数的导数。

b.令导数等于零，并解方程得到可能的极值点。

c.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最小值。

2.高阶导数法：

导数法能够找到函数的驻点，但并不能保证驻点就是极值点。通过计算函数的高阶导数，我们可以进一步判断驻点的类型，从而确定是否为极值点。具体步骤如下：

a.求取函数的导数。

b.计算导数的导数，即求高阶导数。

c.令高阶导数等于零，并解方程得到可能的极值点。

d.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最

小值。

3.二次型理论：

对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过二次型理论来求解极值点。

a.分别求取函数在区间端点和驻点处的函数值。

b.比较函数值，找到函数的最大值和最小值。

4.单峰函数的分段法：

对于单峰函数，即在一些区间上具有唯一的极值点的函数，我们可以

通过分段法来求解极值点。具体步骤如下：

a.将函数的定义域分为若干个小区间。

b.求取每个小区间内的驻点，并比较函数值。

c.找到最大值和最小值，即为函数的极值点。

5.约束条件法：

对于有约束条件的函数极值问题，我们可以使用拉格朗日乘子法来求解。具体步骤如下：

求极值的方法

求极值的方法有很多种，以下给出几种常见的方法：

1. 寻找零点：对于一元函数，可以通过求导并令导数为零，然后解方程找到函数的零点，即可找到函数的极值点。通过判断零点的二阶导数的符号，可以确定该点是极大值点还是极小值点。

2. 利用函数性质：对于一些简单的函数，根据函数的性质可以直接得到其极值点。例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx +

c$，当$a>0$时，函数的极小值点在顶点处，当$a<0$时，函数的极大值点在顶点处。

3. 利用辅助函数：对于一些复杂的函数，可以构造辅助函数来求极值。例如，对于分式函数$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，可以

构造辅助函数$F(x) = g(x) - \lambda h(x)$，其中$\lambda$为待

定常数。然后，求辅助函数的导数，并令导数为零，解方程得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。

4. 使用拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的极值问题，可以使用拉格朗日乘子法。首先，将约束条件写成一个方程组，将目标函数与方程组进行组合，构造拉格朗日函数。然后，对拉格朗日函数求偏导，并令偏导数为零，解方程组得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。

不同的函数和问题类型，适用的求极值方法也可能有所不同，需要根据具体情况选择合适的方法。同时，在求解过程中需要

注意辅助函数和方程的合理性，以及解的存在性和唯一性等问题。

求极值的方法

在数学中，求函数的极值是一个非常重要的问题，它涉及到函

数的最大值和最小值。对于一个实数函数，我们希望找到它的极大

值和极小值，这样我们就能够更好地理解函数的性质和特点。在本

文中，我们将介绍几种常见的求极值的方法，希望能够帮助读者更

好地理解这一问题。

一、导数法。

求解函数的极值通常可以通过求导数的方法来进行。对于一个

函数f(x)，我们可以先求出它的导数f'(x)，然后找出f'(x)的零

点和间断点，这些点就是函数f(x)的可能极值点。接下来，我们可以通过二阶导数的符号来判断这些可能的极值点是极大值还是极小值。如果f''(x)>0，那么f(x)在该点取极小值；如果f''(x)<0，

那么f(x)在该点取极大值。

二、边界法。

对于一个闭区间[a,b]上的函数f(x)，我们可以通过求解f(a)

和f(b)来找出函数在该区间上的极值。具体来说，如果f(a)和f(b)

中有一个是极大值或极小值，那么该值就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的极值。这种方法适用于一些特殊的函数和区间，可以帮助我们

快速找到函数的极值。

三、拉格朗日乘数法。

在求解带有约束条件的极值问题时，我们可以使用拉格朗日乘

数法来进行求解。假设我们要求解函数f(x,y)在条件g(x,y)=c下

的极值，我们可以构造拉格朗日函数

L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L(x,y,λ)的偏导数来找到极值点。这种方法适用于多元函数的极值问题，可以帮助

我们更好地理解带有约束条件的极值问题。

四、数值法。

对于一些复杂的函数，我们可能无法通过解析的方法来求解它