随机过程汪荣鑫第二章答案
(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答
1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：
01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ
定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=========----;
1,1,
3;0,1,2;
1,0,1;
0,0,01111n n
n n n n n n
n X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;
0,0,01其它n n n Y ξξ
试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明理由。 解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定
1+n X 的概率特性，即我们有：
}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+
因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=p q
p q p q p q
P 0
000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。（也可以利用02
>P 判定此链是不可约的遍历链）
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
第一章习题解答
随机过程习题解答
1. 设随机变量X 服从几何分布，即：P(X =k) = pq
,k =0,1,2,山。求X 的特征函
数, EX 及 DX 其中0 ：：： p <1,q 亠p 是已知参
数。
E(e jtx ) 八 e jtk pq
k -0
QO
二 p '
k - 0
二 p' (qe
k =0
jtk
又 T E(X)
二
kpq
k =0
D(X) (其中 则 0 S(t)dt 二
jt )
k
1 - qe jt
k
= p' kq
k ±0
= E(X 2)-[E(X)]-q
p 2
CO CO '、' nx n 八(n 1)x
n -0 n ~0
S(x)八(n 1)x n
n =0
cd
八x n )
n -0
o O
z
k =0
.(n 1)t n dt
□0
z
n =0
S (x)
-J
S(t)dt
n =0
同理&k 2
k =0
dx 0
(1 - x)2
1 (1 - x)
2 1 - x (1 - X)2
QO
QO
k
x k 八(k 1)x k -2二 kx k - ' x
k =0
k -0
k =0
od
令 S(x)八(k 1)2x k
k =0
.S(t)dt 二' (k - 1)2t k dt 二' (k - 1)x k 1
k =0
k =0
k =1
2、(1)求参数为(p,b)的丨分布的特征函数，其概率密度函数为
p
b p J ±x
x e , x 0
P(x)=】(p)
b 0, p 0
I 0,xW0
(「( p)「e —x x p ・dx)
(2) • E(X)」f x'(0)=吕
j
b
2
、 1 f - p(p 1)
E(X ) 2 f x (0)
随机过程第二章作业及参考答案
第二章 平稳过程
2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]
02π，上均匀分布的随机变量。试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}
12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}
0X t t ≥，不是平稳过程。 证明：
由题意，U 的分布密度为：()1
0220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它
数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦
()()2220
00
1111
sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t π
π
ππππππ=⋅==-=--⎰
⎰.
相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
()()()220
0111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du π
π
τττππ
⎛⎫=⋅+⋅=
⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
⎰
⎰ ()()2220
00
1
1
11
cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t π
π
π
ττττπ
π
ττ⎡⎤
=-
+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣
⎦
⎰
()()11
sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ
=-
+++.
（1）若t T ∈，而{}1
2T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，
因此，(){}
随机过程-第二章 随机过程
且
x x itx itx 1 1 x2 2 2 itY (t ) iY (t ) ( it x ) e dx e d ( itx ) 0 （利用留数定 2 2 2 '
2 2
理：围道积分
C
1 0, , 1 ；即将 e z 做泰勒级数展开，其中任何不是 CZ 1 形式 Z
1 n
j1 ,,t jn
(u j1 ,, u jn )
（2）相容性 对于 m n ，有
t ,,t
1
m ,tm1 ,,tn
(u1 ,, um ,0,,0) t1 ,,tm (u1 ,, um )
注：有限维分布族与有限维特征函数族互相唯一决定。
定理 2.1： 存在定理 （Kolmogorov 定理） ： 设分布函数族 Ft1 ,,tn ( x1 ,, xn ), t1 ,, tn , n 1
1 1 n n 1 1 n n 1 n
1
n
称为随机过程 X (t ), t T 的有限维特征函数族。 有限维特征函数族具有两个性质：
-2-
（1）对称性 对 (1, 2,, n) 的任一排列 ( j1 , j2 ,, jn ) ，有
t ,,t (u1 ,, un ) t
Ft j ,,t j ( x j1 , , x jn )
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案
随机过程部分习题答案
习题2
2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均
值和相关函数。解因)1,0(~N V
，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以
),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数
)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==
][22b btV bsV stV E +++=
2b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t
，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，
}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
随机过程 汪荣鑫 答案
∴
( 0 , 0
其它
1 2 1 0 2
1 2
1 ) 2
m x t EX (t )
1 2 1 0 2
0 1
cos td
1 sin t t
0
m x (t ) EX (t ) EX a （常数）
R x (t , t ) EX (t ) X (t ) EX 2 DX ( EX ) 2 2 a 2 R x ( )
∴ 该随机过程是平稳随机过程。 2．设随机过程 X (t ) sin Ut ，其中 U 是在[0，2π ]上均匀分布的随机变量。试证 （1）若 t T ，而 T {1,2, } ，而 {X (t ), t 1,2, } 是平稳过程； （2）若 t T ，而 T [0,) ，而 {X (t ), t 0} 不是平稳过程。 证明： （1）∵ 该随机过程 X (t ) sin Ut 的数学期望为
EX 2 t (t ) EY 2 t (t ) 2 EZ 2 1 t (t ) t (t ) 2
自相关函数
Rx (t , t ) Rx ( )
∴ 该随机过程不是平稳随机过程。 （8）设有随机过程 X (t ) X （随机变量） ，则 EX a, DX 2 。 解：∵
《随机过程》第二章习题
t 时刻用电，而在 (t , t t ) 内停止用电的概率为 t o(t ) ； （2）若一焊工在 t 时刻
没有用电，而在 (t , t t ) 内用电的概率为 t o(t ) 。每一焊工的工作情况是相互
中国科学院大学 2014～2015 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
S 0 { 0} 为吸收态集， 为瞬时态集， 且转移矩阵为 P
~
P P0 ， 其中 P0 ( I P) e ， 0 1
e (1,1,1) 。定义从瞬时态集到吸收态集的首达时间为：
inf{ n : n 0, X n S 0 } 。
（1） 试求概率 P{ X 0 0, X 1 1, X 2 1} ； （2） 计算 p 01 ；
( 2)
中国科学院大学 2014～2015 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
（3） 试求首达概率 f 00 , n 1,2,3, ；
(n)
（4） 写出四个状态的常返性、周期性；此链是否遍历？说明理由。 9、 考虑三个状态的齐次马氏链，其转移概率矩阵为
1 4 1 P 3 0
3 4 1 3 1 4
0 1 3 3 4
（1） 计算概率： P{ X 0 0, X 1 1, X 2 1} ； （2） 计算 p01 , p12 。 4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以 n 表示前 n 次抛掷出的最大点数，试证明
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度
（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；
（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当的时候，和线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为
，且是一个周期为T的函数，即，试求方差
函数。
解：由定义，有：
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数，为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：
因此有：
且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且
所以。
（4）由于：
所以因此
当时，
当时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
（2）
当i=j 时；否则
令，则有
第三讲作业：
随机过程复习题二及其答案
随机过程复习题二及其答案
一、选择题
1. 随机过程的定义是什么？
A. 一系列随机变量的集合
B. 一系列确定变量的集合
C. 一个随机变量
D. 一个确定变量
2. 什么是马尔可夫链？
A. 一个具有时间序列的随机过程
B. 一个具有空间序列的随机过程
C. 一个具有独立同分布的随机过程
D. 一个具有时间依赖性的随机过程
3. 随机过程的期望值定义为：
A. \( E[X(t)] \)
B. \( E[X] \)
C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,t) \, dx \)
D. \( \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \)
4. 以下哪个不是随机过程的属性？
A. 期望
B. 方差
C. 协方差
D. 导数
5. 什么是平稳随机过程？
A. 随机过程的期望随时间变化
B. 随机过程的方差随时间变化
C. 随机过程的统计特性不随时间变化
D. 随机过程的协方差随时间变化
答案：
1. A
2. A
3. A
4. D
5. C
二、简答题
1. 解释什么是遍历定理，并给出其在随机过程分析中的应用。
2. 描述什么是泊松过程，并解释其主要特点。
3. 简述什么是布朗运动，并解释其在金融领域中的应用。
三、计算题
1. 给定一个随机过程 \( X(t) \)，其期望 \( E[X(t)] = t \)，方差 \( Var[X(t)] = t^2 \)，计算 \( E[X^2(t)] \)。
2. 假设一个马尔可夫链 \( \{X_n\} \) 有状态空间 \( S = \{1, 2, 3\} \)，转移概率矩阵 \( P \) 为：
随机过程第二章期末练习题
3
1 T 2T
T
T
x(t )dt
， lim
1 T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
。
8、若平稳随机过程 X (t ) 的相关函数为 RX ( ) 为 。
1 2| | 1 e ，则该过程的直流功率 4 4
2 | |
9、若各态经历随机过程 X (t ) 的均值为正，相关函数为 R X ( ) X e 则对于任意样本函数 x(t ) ，必有 lim
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
第二章练习题 判断题
确定信号为特殊的随机信号， 如果称某个确定信号为平稳的， 意味着该信号为常量。 （V） 则该随机过程一定隐含周 若平稳随机过程的功率谱密度函数在 0 处含有冲激， 期性。 （X） 平稳随机过程一定是各态历经的。 （X） 平稳随机过程经过线性变换后一定是平稳的。 （V） 如果平稳随机过程的任意样本函数是连续的， 则该过程依均方意义连续， 反之亦然。 若平稳随机过程的协方差函数 K X ( ) 不满足 K X () 0 ，则该过程必定隐含周期 性。 （V） 对随机过程作重复多次的观测时， 各次所得到的时间 t 的函数具有相同的形式。 （X） 可用研究多维随机变量的方法来研究随机过程。 （V） 数学期望和方差不仅描述了随机过程在各个时刻上取值的特性， 还能反映随机过程 不同时刻取值之间的内存联系。 （X） 具有相同的数学期望和方差的两个随机过程统计特性相同。 （X） 自相关函数的绝对值越大，表示相关性越强。 （V） 一般而言，自相关函数的两个时刻相隔越远，自相关函数的绝对值就越小。 （V） 自相关函数可以反映随机过程两个时刻之间的相关性，协方差函数则不能。 （X） 二阶矩过程的自相关函数必定存在。 （V） 平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。 （V） 如果随机过程 X(t)的任意 n 维概率密度在时间上平移任意△t 后，此函数不变，则 称 X(t)为广义平稳随机过程。 （X） 狭义平稳随机过程的任意维概率密度与时间起点无关， 即 X(t)与 X(t+△t) 有相同的 统计特性。 （V） 广义平稳随机过程必定是狭义平稳的，而狭义平稳的随机过程则未必是广义平稳 的。 （X） 相关时间小， 意味着相关系数随τ的增大而迅速减小， 这说明随机过程随时间而激 烈变化；反之，相关时间大，则说明随机过程随时间变化缓慢。 （V） 自相关函数是实偶函数。 （X） 设随机过程 X(t)=u sin(ω t+Φ)，其中 u 和ω 皆为常数，Φ为 [0,2π]上均匀分 m m 0 0 布的随机变量，则 X(t)为一平稳随机过程。 （V） 设随机过程 X(t)=At，A 为在[0,1]上均匀分布的随机变量，则 X(t)是平稳过程。 （X） 设随机过程 Z(t)=Xcost+Ysint，－∞<t< ∞，其中 X，Y 为相互独立的随机变量，并 分别以概率 2/3、1/3 取值-1 和 2。则 Z(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随 机过程。 （X） 设随机过程 X(t)=X (k) ，k=…-2, -1,0,1,2…， X (k)为相互独立且具有相同分布的随
（解答）《随机过程》第二章习题
（解答）《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程习题解答
1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：
01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ
定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：
=========----;
1,1,
3;0,1,2;
1,0,1;
0,0,01111n n
n n n n n n
n X ξξξξξξξξ ===-;,1;
0,0,01其它n n n Y ξξ
试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明理由。解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定
1+n X 的概率特性，即我们有：
}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+
因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：
=p q
p q p q p q
P 0
000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。（也可以利用02
>P 判定此链是不可约的遍历链）
（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案
1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概
念和性质。
答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在
时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下：
1.1 基本概念：
- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移
到下一个状态的概率。用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个
方形矩阵，维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分
布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π
为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质：
- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态
的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率
大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。遍历性保证了马尔可夫链具有
长期稳定的性质。
- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素
都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间
都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。反之，则称它是可约的。不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
《随机过程》第二章题目与答案
第二章
一、填空题
1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四类.
2、＿＿是随机过程{X(t)，t∈T}在时刻t的平均值，＿＿是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度，而＿＿和＿＿则反映随机过程{X(t)，t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度.
3、若随机变量x服从（01）分布，即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=＿＿.
4、若随机变量X服从参数为的指数分布，则其特征函数g(t)=＿＿.
5、若随机变量X服从退化分布，即p(X=c)=1，其中c为常数，则其特征函数g(t)=＿＿.
二、计算题
1、已知Γ分布，X～Γ(α，β)，
若
其中α，β>0，试求Γ分布的特征函数.
2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数.
3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一，二维概率密度族.
4、设随机过程：0),sin()cos(
)(>+=t t Z t Y t X θθ，其中Y 、Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0，DY=DZ=δ2，求{X(t)，t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数.
5、设随机变量Y 具有概率密度f(y)，令
)0,0(,)(>>=-Y t t X e
Yt
，
求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t)，R x (t 1,t 2).
6、设随机过程Z t =，t 0，其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的，且服从
随机过程课后习题答案
标准教材：
随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著
索书号：O211.6/Z35-2
备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）
工程随机过程/彭秀艳编著
索书号：TB114/P50
历年试题（页码对应备用教材）
2007
一、习题0.7（1）
二、习题1.4
三、例2.5.1—P80
四、例2.1.2—P47
五、习题2.2
六、例3.2.2—P99
2008
一、习题0.5
二、习题1.4
三、定理2.5.1—P76
四、定理2.5.6—P80
五、1、例2.5.1—P80
2、例2.2.2—P53
六、例3.2.3—P99
2009（回忆版）
一、习题1.12
二、例2.2.3—P53
三、例1.4.2与例1.5.5的融合
四、定理2.5.3—P76
五、习题0.8
六、例3.2.2
2010
一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1
三、例2.1.4
四、例2.2.2
五、习题2.6
六、习题3.3
引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式
()2
22E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
证明：
()()()()2
222
2
22
2
2220
440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
例1.4.2 解法详解
已知随机过程(){}
,X t t T ∈的均值为零，相关函数为
()12
1212,,,,0a t t t t e
t t T a --Γ=∈>为常数。求其积分过程
()(){}
《应用随机过程》第二次作业和参考答案
由题设随机变量 Θ 与 A 相互独立，于是 cos( + Θ) 与 A 也相互独立，又
cos( + Θ) cos( + Θ) 也相互独立，所以，由期望的性质可得
EX(t) = E[A cos( + Θ)] = EA ∙ E cos( + Θ) = 0
又因为
E cos( + Θ) cos( + Θ)
= 1 +
三、给定一个随机过程{X(t), t ∈ T}和任意实数x，定义另一个随机过程{Y(t), t ∈ T}，其
中
Y(t) = D
1,
0,
() ≤
() >
"
（3） X(t)的均值函数# (t)与# (1)，方差函数# " (t)与# " (1).
参考答案：由题意可知：
!
(1) . X!/# = #
0， #
1，
!
!
,
X! = #
#
−1， #
1，
!
#
0, ≤ 0
1
1
F ( ; , = .!/# ≤ 1 = 2 ,
2 # 0
故得
$ (, ) = E# [cos( + Θ) cos( + Θ)]
= # cos ( − )