24.4.1弧长和扇形的面积导学案

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(导学案)24.4.1弧长和扇形的面积

24.4.1 弧长和扇形面积(第1课时)【学习目标】1、了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．2、通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=2180n Rπ和扇形面积S扇=2360n Rπ的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．【学习过程】一、温故知新：1．圆的周长公式是。

2．圆的面积公式是。

3．什么叫弧长？二、自主学习：自学教材P120----P121，思考下列内容：1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______。

2°的圆心角所对的弧长是_______。

4°的圆心角所对的弧长是_______。

……n°的圆心角所对的弧长是_______。

2、什么叫扇形？3、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

……设圆的半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

4、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？三、典型例题：例1、（教材121页例1）例2：如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求A B的长（•结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）四、巩固练习：1、教材122页练习第1题，2、教材122页练习第2题，3、习题24.4第1题填空。

（答案写在教材上）五、总结反思：【达标检测】1、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π2、如图所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（） A ．1 B ．π CDπ（第2题图）（第3题图）（第4题图）3、如图所示，OA=30B ，则A D 的长是B C 的长的_____倍．4、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB ∠为120，OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为。

24.4.1弧长及扇形面积公式导学案

24.4弧长一、明确目标：1．经历探索弧长计算公式的过程；2．掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题．学习重点会用公式解决问题．学习难点探索弧长计算公式；用公式解决实际问题．二、自主学习：在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？____每位运动员弯路的展直长度相同吗？___________三、合作解疑：1.弧长公式的推导：①半径为R的圆,周长是_____________;②圆的周长可以看作是_______度的圆心角所对的弧;③1°圆心角所对弧长是_____________；④n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？n°的圆心角所对的弧长为l，则l=________________.（这就是弧长公式，请记住）；2.针对训练：②已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为__________②（随州市中考）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为____。

③750的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是________cm.3.典例分析：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l (单位：mm，精确到1mm，π取3.14) 针对训练：有一段弯道是圆弧形的，道长是12m,弧所对的圆心角是810，求这段圆弧的半径（精确到0.1m，π取3.14）。

四、检测：A组1.已知扇形的圆心角为150o，半径为6，则扇形的弧长是（）A. 3πB.4πC.5πD.6π2.（枣庄中考)钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( )A. B. C. D.3.(泰安中考）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC 若∠ABC=120°， OC=3，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．5π4.如图同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（）（A）1∶1 （B）1∶2 （C）2∶1 （D）1∶45.制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料。

人教版九年级数学上册《24.4.1弧长和扇形面积》导学案

数学九年级上<24.4弧长和扇形面积>导学案【学习目标】知识与技能：1、掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；过程与方法：通过弧长和扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；情感与态度：在弧长和扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．学习重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用．学习难点：弧长,扇形面积公式的灵活应用．一、探究活动1：（前置性作业）已知⊙O半径为R，求圆心角n°的弧长温馨提示：圆周长C=2πR；则1°圆心角所对弧长= ；n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；所以n°圆心角所对弧长= ．探究活动2：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形面积温馨提示：圆面积S=πR2；圆心角为1°的扇形的面积= ；圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；所以圆心角为n°的扇形的面积=．探究活动3：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？请结合弧长公式和扇形的面积公式推导S扇形= l R新知盘点：预习质疑：二、合作探究：㈠交流展示㈡学以致用1.在半径为1cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长是___________。

2.在⊙O 中，如果120°的圆心角所对的弧长是ccm 34，则⊙O 的半径是___________。

3.⊙O 的半径为3cm ，弧长为2πcm 的弧所对圆心角度数是___________；9.如图80504，正方形边长为a ，弧的半径为a ，阴影部分面积为（）。

A 、（π-1）a 2B 、（π2 -1）a 2C 、12( π-1) a 2D 、14(π-12) a 24.如图，⊙O 的半径为10cm 。

（1）如果∠AOB=120°，求弧AB 的长及扇形AOB 的面积；（2）已知弧BC=25cm ，求∠COB 的度数。

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《24.4弧长和扇形面积》导学案教学历程：一、创设情境制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.(单位：mm,精确到1mm)如何求AB 的长呢？二、探究新知(1)1.你还记得圆周长的计算公式吗？2.圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？3.1°的圆心角所对弧长是多少？2。

的圆心角所对的弧长呢？n的圆心角呢？明晰：若设。

半径为R, n。

的圆心角所对的弧长为1,贝皿=哩180 温馨提示：°I _ mtR(1)在应用弧长公式180 ，进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1。

圆心角的倍数，它不带单位。

(2)题目中若没有写明精确度，可用“丸”表示弧长。

(3)在弧长公长中，已知1、n、R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

你学会了吗？你能根据孤长公式计算出本节开头的孤长吗?三、小小行家看“门道"有一段弯道是圆弧形的,道长是12m,弧所对的圆心角是81°、,求这段圆弧的半径Ro （精确到0. Im）四、探究新知（2）知识点1、什么是扇形？由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形O1. （口答）下列各图中，哪些图形是扇形？为知识点2、如何求圆半径为R,圆心角为n。

的扇形面积呢?1.你还记得圆面积公式吗？2.圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积?3.1°的圆心角所对的扇形面积是多少？2°的圆心角呢？n的圆心角呢?明晰：扇形面积公式s —〃• 7lR2或s = ；IR360 2五、我自信我能行例、如图，水平放置的一个圆柱形排水管道的横截面半径为0.6m, 其中水高0. 3cm,求截面上有水部分的面积（结果精确到0.01cm2）.C（第1题）六、爱拼才会赢变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm, 其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积。

（精确到0.01cm2）七、点击中考（2013,武汉）如图，。

《24.4 弧长和扇形面积》教案、导学案

《24．4 弧长和扇形面积》教案【教学目标】1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．【教学过程】一、情境导入在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？二、合作探究探究点一：弧长【类型一】求弧长在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.解析：根据弧长公式l＝nπr180，这里r＝1，n＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l＝120·π·1180＝23π.方法总结：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝nπR180，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵的长为________cm.解析：连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－2×60°＝60°.∴BC ︵的长为60×π×6180＝2π.方法总结：根据弧长公式l ＝n πR 180，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对的圆心角n 的大小．【类型二】利用弧长求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2，解得R ＝2.(2)根据弧长公式得n ×π×1180＝π3，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．【类型三】求动点运行的弧形轨迹如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l ＝3×120π×2180＋2×90π×3180＝4π＋3π.故填(4＋3)π.方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．探究点二：扇形面积【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120×32π360＝3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝12lr ，其中l 是弧长，r 是半径．【类型二】求运动形成的扇形面积如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC 绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )A ．π B. 3 C.3π4＋32 D.11π12＋34解析：在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝1，由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB 1和扇形ACA 1，∴S 扇形BCB 1＝90·π·12360＝π4，S 扇形ACA 1＝90·π·（3）2360＝3π4，∴S 总＝π4＋3π4＝π.故选A.【类型三】求阴影部分的面积如图，半径为1cm 、圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．πcm 2 B.23πcm 2C.12cm 2D.23cm 2 解析：设两个半圆的交点为C ，连接OC ，AB ，根据题意可知点C 是半圆OA ︵，OB ︵的中点，所以BC ︵＝OC ︵＝AC ︵，所以BC ＝OC ＝AC ，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积，又OA ＝OB ＝1cm ，即图中阴影部分的面积为12cm 2，故选C.方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.《24.4 弧长和扇形面积(第1课时)》教案【教学内容】1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目．【教学目标】了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．【重难点、关键】1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．2．难点：两个公式的应用．3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．【教具、学具准备】小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．【教学过程】一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？老师点评：（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2（3）弧长就是圆的一部分．二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……5．n °的圆心角所对的弧长是_______．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n °的圆心角所对的弧长为360n Rπ 例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长（结果精确到0.1mm ）分析：要求AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．解：R=40mm ，n=110 ∴AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ）因此，管道的展直长度约为76.8mm ．问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（小黑板），请同学们结合圆心面积S=πR2的公式，独立完成下题：1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．……5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．老师检察学生练习情况并点评1．360 2．S扇形=1360πR2 3．S扇形=2360πR2 4．S扇形=25360Rπ5．S扇形=2360n Rπ因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（•结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．解：AB 的长=60180π×10=103π≈10.5 S 扇形=60360π×102=1006π≈52.3 因此，AB 的长为25.1cm ，扇形AOB 的面积为150.7cm 2．三、巩固练习课本P122练习．四、应用拓展例3．（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．（2）尝试与思考：如图a 、b 所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．(a) (b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长ECB O为a 的正n 边形的中心O 点处，若将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ，这时正n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD•分别交于点M 、N ，连结OA 、OD ．∵四边形ABCD 是正方形∴OA=OD ，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO ，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点M 与点A （点B ）重合时，点N 必与点D （点A ）重合，此时AM+AN 仍为定值a ．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．（2）120°；70° （3）360n ︒；正n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是Sn．五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念．3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π4．运用以上内容，解决具体问题．六、布置作业1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7． 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（）A ．1B ．πCD π(1) (2) (3)3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A ．12πmB ．18πmC ．20πmD ．24πm 二、填空题 1．如果一条弧长等于4πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，• 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍．三、综合提高题1．已知如图所示，AB 所在圆的半径为R ，AB 的长为3πR ，⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．2．如图，若⊙O 的周长为20πcm ，⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ，⊙A 在⊙O•内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动6周回到原来的位置，而⊙A 只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD ，AB=1，AD=3，将画刷以B 为中心，按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置（A ′点转在对角线BD 上），求屏幕被着色的面积．答案:一、1．B 2．D 3．D 二、1．45°16πR 2．3 三、1．连结OD 、O ′C ，则O ′在OD 上由AB l =3πR ，解得：∠AOB=60°，由Rt △OO ′C•解得⊙O ′的半径r=13R ，所以⊙O ′的周长为2πr=23πR ．2．⊙O 、⊙A 、⊙B 的周长分别为20πcm ，4πcm ，4πcm ，可求出它的半径分别为10cm 、•2cm 、2cm ，所以OA=8cm ，OB=12cm ，因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，所以⊙A 滚动回原位置经过距离为2π×8=16π=4π×4，而⊙B 滚动回原位置经过距离为2π×12=24π=4π×6．因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为S ，则S=S △ABD +S 扇形BDD`+S △BC`D`=S 矩形ABCD +S 扇形BDD`，连结BD ′，在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，∴S=16π·22+1+23π．《24.4.1 弧长和扇形面积》教案R.布置作业：A组：P122页练习：1，2，P124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7．B组：P122页练习：1，2，P 124页习题24.4：2，3，5，6．学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B组补充作业：已知：如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作14圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．让学生逐渐的学会总结。

弧长和扇形的面积导学案

O B AO B AA BO A B O A BO 图 124.4 弧长和扇形的面积第1课时弧长和扇形的面积（1）学习目标：1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积。

2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养运用已有知识探究问题获得新知的能力。

3、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。

重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

课前预习1：1．圆的周长公式是。

2．圆的面积公式是。

3．什么叫弧长？。

4．扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________ 5．扇形面积的计算公式为S=______________或S=______________6．一段长为2的弧所在的圆半径是3cm ，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积为_________。

7．已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，此圆弧的长度为_____。

课前预习2：一、创境激趣如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的41,所以铁轨的长度l ≈（米）. 二、自主探究1、发现弧长和扇形的面积的公式（1）弧长公式的推导。

问题：如下图，你能计算出各圆心角对的弧长分别是圆周长的几分子之几吗？180° 下图圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n °探索：①圆心角是180°，占整个周角的21，因此它所对的弧长圆周长的_____________；②圆心角是90°，占整个周角的41，因此它所对的弧长圆周长的_____________；③圆心角是45°，占整个周角的_______，因此它所对的弧长圆周长的____________； ④圆心角是1°，占整个周角的________，因此它所对的弧长圆周长的____________； ⑤圆心角是n °，占整个周角的______ ，因此它所对的弧长圆周长的____________；（这里关键是1°圆心角所对的弧长是多少？进而求出n °的圆心角所对的弧长。

九年级数学：24.4 弧长和扇形面积(1) 导学案

24.4 弧长和扇形面积(1)授课时间：2020.11.05 审核人：学习目标：1. 了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式．2. 探索n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR 180和扇形面积S 扇形＝n πR 2360的计算公式，并应用这些公式解决相关问题．重点：n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180，扇形面积S 扇形＝n πR 2360及它们的应用．难点：两个公式的应用．一、自学指导．自学：阅读教材P 111～112，完成学案。

二、提出问题：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线组成的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．如何求弧AB 的长？三、合作探究：活动一、1. 你还记得圆周长的计算公式吗？2. 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？3. 1°的圆心角所对的弧长是多少？4. n °的圆心角所对的弧长呢？展示归纳：1、弧长公式：2、你能根据上面的弧长公式，算出本节开头的弧长吗？R·n °1°O活动二、1、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做 .2、你还记得圆面积公式吗？3、圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？4、 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？5、 n °的圆心角所对的扇形面积呢？四、应用展示：例1 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m 2）。

五、练习、巩固：1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m ，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R （精确到0.1m ）。

2．已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧长AB ︵的长是 _。

3．一个扇形所在圆的半径为3 cm ，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为_ 。

24.4.1弧长和扇形的面积导学案

24.4.1弧长和扇形的面积导学案学习历程：探究1 弧长的计算1、半径为3cm的圆的周长：。

请你写出圆的周长计算公式：；2、圆的半径为3cm，那么，1°的圆心角所对的弧长是3、若在半径为R的圆中， 1°的圆心角所对的弧长是2°的圆心角所对的弧长是3°的圆心角所对的弧长是n°的圆心角所对的弧长是4、计算弧长的公式：。

体会公式：在你得到的半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长计算公式中，n的意义是什么？哪些量决定了弧长？5、新知应用（1）、在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长l= ；（2）、75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为．探究 2 扇形面积的计算1、认识概念：是扇形.2、半径为3的圆的面积。

写出半径为R的圆的面积公式3、（1）、若将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成个小扇形，每个小扇形的圆心角为（2）、如果圆的半径为R，那么，圆心角1°的扇形面积等于；圆心角2°的扇形面积等于；圆心角3°的扇形面积等于圆心角n°的扇形面积等于；4、计算扇形面积的公式：体会公式：在你得到的半径为R 的圆中，n °圆心角所对的扇形面积计算公式中，n 的意义是什么？哪些量决定了扇形面积？5、新知应用（1）、若扇形的圆心角n 为50°，半径为R=1，则这个扇形的面积，S 扇= ;（2）、若扇形的圆心角n 为60°, 面积为π32,则这个扇形的半径R= ; （3）、若扇形的半径R=3, S 扇形＝3π,则这个扇形的圆心角n 的度数 ; 探究 3 扇形的面积与弧长的关系1、如果扇形的半径为R ，圆心角为n °.那么，扇形的弧长是扇形面积是；由此,得到扇形面积计算公式: S 扇形＝ .2、新知应用：若扇形的半径R=2㎝,弧长π34=l ㎝，则这个扇形的面积，S 扇= ; 小结：你这节课有什么有什么收获？达标测试: 共3题, 正确题，达标率1、一条弧所对的圆心角为120°，半径为3，那么这条弧长为．（结果用π表示）2．圆心角为120°的扇形的半径为5cm ，它的面积为 .3、已知⌒CD 的长为20πcm ，半径为2cm ，那么扇形COD 的面积是．能力提升：如图，⊙A 、 ⊙B 、 ⊙C 、 ⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积。

弧长和扇形面积导学案

（n是圆心角的度数，R是半径）
（2） ( 是弧长)
通实际问题导入新课
明确学习目标
任务一：设圆的半径为R，
（1）圆的周长可以看作___度的圆心角所对的弧．
（2）90°的圆心角所对的弧长是.
（3）60°的圆心角所对的弧长是_．
（4）1°的圆心角所对的弧长是_．
策略：学生互相补充
研习
24.4.1弧长和扇形面积
1.知道扇形的概念；
2.会n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式.
弧长公式：
（n是圆心角的度数，R是半径）
通过亲自动手实践、探究感受有特殊到一般的学习方法，培养学生的探究能力以及数学结论的确定性.
通过解决实际问题，培养学生的应用意识
扇形面积公式:
（1）
多边会议
学生先独立探究，然后小组讨论、交流、报告.给出弧长公式.
学生解决情境问题，与同学交流答案及思路.
学生通过多边会议解决任务二给出扇形面积的两个计算公式.
问题：有部分学生探究补充n°.圆心角所对的弧长.
策略：先小组讨论，讨论不出的通过组间交流解决.
问题：忽略了两
段直管部分
策略：教师点拨
问题：扇形面积的第二个公式有得学生推导不出来.
时习
1弧长公式的应用
2.扇形面积公式的应用
题后巩固1、教材112页第2题
课后提高2、教材112页第3题
圆心角n°的扇形面积等于；
多媒体给出问题板书课题
教师解读目标
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流，并鼓励学生大胆的去尝试.
教师点拨：
要明确公式中的n的含义.
教师点拨：
展直长度还有剩余两段直管部分.
教师根据学生的回答补充总结.

24.4 弧长和扇形面积(1) 导学案

麟游县九成宫中学数学学科导学案班级九（3）科目数学课题24.4 弧长和扇形面积（1）课型问题解决课主备教师熊建辉上课教师熊建辉备课时间上课时间11月日（星期）共课时，第课时本期总计第课时学习目标知识目标：了解扇形的概念，理解nº的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积计算公式，并应用这些公式解决一些题目．情感目标：通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．重难点重点：弧长和扇形面积计算公式及其它们的应用．难点：两个公式的应用．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程导学准备教师准备：一案三单学生准备：并预习本节内容完成问题导读评价单。

核心问题主要导学过程教学环节时间导学内容教师行为期望的学生行为修改或补充创设情境呈现目标3分钟复习引入在生活中我们可以看见许许多多正多边形形状的物体，请问：1.什么叫正多边形？2.它有什么特点？正多边形在生活中应用是非常广泛的，这节课我们就结合圆来研究正多边形，看一看它还有什么结论？（1）激励评价学生；（2）检查、引导学生完成导读评价.对本节课内容有初步认识，并认真完成导读单.预习评价小组展示5分钟交流自己预习的收获，自己迷惑的知识点。

引导学生交流，及时点拨，产生较深的问题.学生积极参与，自主合作，生生讨论，小组交流自己获得的初步知识点.小组合作讨论解决问题15分钟应用弧长公式和扇形面积计算公式解决相关问题。

通过预习同学们生成了一些问题，下面请大家走进《问题解决——评价单》，并根据问题分组讨论探究。

教师巡视，个性化指导，解疑答难。

1.小组成员合作交流解决问题，完成《问题解决——评价单》。

2. 学生能充分交流。

学生讲解清楚。

展示交流解决疑难10分钟学生展示交流自己成果下面请各小组在黑板展示你们的讨论结果，其他小组的同学可以进行补充质疑。

九年级数学上册 24.4.1 弧长和扇形面积导学案 (新版)

24.4.1弧长和扇形面积预习案一、预习目标及范围：1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 预习范围：P111-113 二、预习要点1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 1°的圆心角所对的弧长是_______。

2°的圆心角所对的弧长是_______。

4°的圆心角所对的弧长是_______。

……n °的圆心角所对的弧长是_______。

2、什么叫扇形？3、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。

设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。

设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。

……设圆的半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。

4、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？三、预习检测1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为_______.2、已知扇形的圆心角为300，面积为23cm π，则这个扇形的半径R=____．3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20cm π ，则扇形的面积为__________．4、如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为个平方单位．探究案一、合作探究活动内容1：探究1：弧长公式的推导思考:(1)半径为R的圆,周长是多少？2)1°的圆心角所对弧长是多少？（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？(4) n°的圆心角所对弧长l是多少？明确; C=2πR ;2360180R Rππ=; n倍;180n Rlπ=探究2：扇形及扇形的面积由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.思考(1)半径为R的圆,面积是多少？（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少?（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍？（4）圆心角为n °的扇形的面积是多少?明确：S =πR 2；2360R π；n 倍；2360n R π探究3:扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？11180221802n R R n R S R lR ππ=⋅=⋅⋅=扇形活动2：探究归纳1.弧长公式: 180n Rl π= 用弧长公式180n Rl π=，进行计算时，要注意公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.2. 扇形面积公式若设⊙O 半径为R ，圆心角为n °的扇形的面积2=360n R S π扇形①公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.活动内容2：典例精析例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm ，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB 的长1009005001570(mm),180l ⨯⨯π==π≈因此所要求的展直长度l =2×700+1570=2970（mm ）. 答：管道的展直长度为2970mm ．例2 ：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.3cm ，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm ）讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？答案：（1）阴影部分（2）线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.（3）阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3,∴ OD＝OC- DC＝0.3，∴ OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.有水部分的面积：S＝S扇形OAB- S ΔOAB22120π10.6360210.12π0.630.320.22(m )AB OD =⨯-•=-⨯⨯≈二、随堂检测1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 .2.如图，Rt △ABC 中，∠C =90°, ∠A =30°,BC =2,O 、H 分别为AB 、AC 的中点，将△ABC 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过的面积为（）A.77338π- B ．47338π+ C. π D.433π+ 3.如图，⊙A 、 ⊙B 、 ⊙C 、 ⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，则图中阴影部分的面积是 .4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.9cm ，求截面上有水部分的面积.A C O H C 1A 1H 1O 1参考答案预习检测： 1.43π 2. 6cm3.2240 cm π 4. π 随堂检测 1. 2π 2. C 3. 212cm π 4. 解：()22=24010.60.30.6336020.240.0930.91cm .OABS S ππ+=⨯+⨯⨯=+≈△扇形弓形的面积。

《24.4.1 弧长和扇形面积》导学案

24.4.1 弧长和扇形面积(1)探究1：（1）1°圆心角所对弧长是多少？（2）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？（3）n°圆心角所对弧长是多少？例1、制作弯形管道时,经常要先按中心线计算”展直长度”,再下料,试计算如图所示的弯形管道的长度,即弧AB的长度.( R=50，R=30)练习1:1.已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

2.有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R。

探究2：（1）半径为R的圆，面积是多少?（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少?（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍？（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?例2、如图,已知扇形OAB的半径为10cm,∠AOB=60o,求弧AB的长和扇形OAB的面积.[变式]如图,已知扇形OAB圆心角为60o, 弧AB长为4πcm,求扇形OAB的面积.例3、如图,水平放置的圆柱形排水管道横截面半径是0.6m,水面高为0.9m,求横截面上有水部分的面积.练习2：1.长度为2的弧半径为3/π,则它的圆心角为度,此扇形的面积为,当圆心角增加30度时,弧长增加 .扇形面积增加 .2.如图1,AB=3OB,则弧AD的长是弧BC长的倍.3.如图2,正△ABC边长为2,弧EF切BC于点D,则弧EF的长为 .4.如图3,⊙P半径PA是⊙Q直径,⊙P的半径PC交⊙Q于B,则弧AC和弧AB的长度关系为 .5.如图,AB是半圆O的直径,点E是BA延长线上一点,C和D是半圆的三等分点,若半径为R,求图中阴影部分面积.6、(2010吉林)正方形ABCD边长为3,请填表正方形CEFG边长 1 3 4△BFD的面积正方形ABCD边长为a,CEFG边长为b,猜想△BFD的面积为.[实践与应用]1.如图,公园内有5座半圆形的小桥,PM=QM,两名小孩甲,乙分别从P,Q两处出发以相同速度从桥上奔向点M,谁先到达M? .变式、（杭州）如图,5个圆的圆心在同一直线上,且互相相切,若大圆直径为12,4个小圆大小相等,则这5个圆的周长之和为( )A.48πB.24πC.12πD.6π2.农村常常建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜大棚,尺寸如下图,则搭建这样一个塑料大棚至少需要塑料薄膜的面积为 .3.如图,是一个由两条半径为9m的等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一条弧的圆心,则游泳池的周长是m.4.图中各圆半径均为1,依次连接各圆圆心组成多边形.(1)图A中被三角形覆盖的弧长是,被覆盖的扇形面积是;(2)图B中被四边形覆盖的弧长是,被覆盖的扇形面积是;(3)图C中被五边形覆盖的弧长是,被覆盖的扇形面积是;(4)按此规律,被”n边形”覆盖的弧长是,被覆盖的扇形面积是 .感谢您的阅读，祝您生活愉快。

九年级数学： 24.4.1弧长和扇形面积导学案11

八级下册数学科导学案主备人：审核组长：一、学习目标：知识与技能1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长过程与方法1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力情感、态度与价值观1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用二、学习重难点：1、弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积2、运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积三、预习感知1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？4．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．5．1°的圆心角所对的弧长是_______．6．2°的圆心角所对的弧长是_______．7．4°的圆心角所对的弧长是_______．……8．n°的圆心角所对的弧长是_______．四、合作探究1.弧长公式：半径为R圆的周长是_______，它可以看作______度的圆心角所对的弧长．1°的圆心角所对的弧长是_______； 2°的圆心角所对的弧长是_______； ……即n °的圆心角所对的弧长公式为 l=_________.根据弧长公式，要想求弧长，必须知道哪些量？你能解决课本例题1（24.4-1）的问题吗？2.扇形的面积公式：（1）什么叫做扇形？扇形的大小与什么有关？（2）圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积. 设圆的半径为R. 1°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=____________； n °的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______________.3.比较扇形的面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？___________213602=⨯==R R n S π扇形即S 扇形=_______________.五、检查反馈：1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62.已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面圆上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图(10)所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是( )ππππ3．如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的弧EF上，OA=3,1=2,则扇形OEF的面积为____________.4.图中的粗线CD表示某条公路的一段，其中AmB是一段圆弧，AC、BD是线段，且AC、BD分别与圆弧相切于点A、B，线段AB＝180m，∠ABD＝150°．（1）画出圆弧的圆心O；（2）求A到B这段弧形公路的长．5.如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，，．（1）求∠AOC的度数；（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当时，求动点M所经过的弧长．6.如图，，切⊙O于，两点，若，⊙O的半径为，则阴影部分的面积为___________.∠∠¼AmB¼AmB4OC=60OAC∠=oMAO CAOS S=△△PA PB A B60APB=o∠37.如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为__________.六、感悟成功颗粒归仓1、知识归纳：2、感悟生成：：ABC︒=∠90ACB︒=∠30B6=BCC A'A ABBCA BAPBO。

弧长和扇形面积(教案、导学案、课后反思)

24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积【知识与技能】经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.【过程与方法】通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.【情感态度】通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用.【教学重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.一、情境导入，初步认识问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问：（1）这只羊的最大活动面积是多少？（2）如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算AB的长吗？求出弯道的展直长度.【教学说明】通过这样两个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而引入课题。

同时，这也是本节中最常见的两种类型.二、思考探究，获取新知1.探索弧长公式思考 1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.小练习：①应用弧长公式求出上述弯道展直的长度.②已知圆弧的半径为50cm，圆心角为60°，求此圆弧的长度.答案：①500π+140(mm) ②50π/3(cm)2.扇形面积计算公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.小练习：①如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的23/36.②扇形面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的度数是240°；③扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是：2S/r.【教学说明】这几个小练习是帮助学生理解扇形面积公式的推导，加深对公式以及扇形面积和弧长之间的转化关系的记忆.三、典例精析，掌握新知例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交AB于点C.∵OC=0.6，DC=0.3，∴OD=OC-DC=0.3在Rt△OAD中，OA=0.6，OD=0.3，由勾股定理可知：3Rt △OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.∴有水部分的面积为：S=S扇形OAB -S△OAB=0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m2).例2如图，⊙O1半径是⊙O2的直径，C是⊙O1上一点，O1C交⊙O2于点B，若⊙O1的半径等于5cm，AC的长等于⊙O1周长的110，则AB的长是cm.分析：由AC的长是⊙O1周长的1/10可知：∠AO1C=36°，∠AO2B=2∠AO1B=72°，O2A=5/2，∴AB的长l=72π/180×5/2=π.【教学说明】例1是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或和，因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了，例2是结合弧长公式和圆有关知识进行求解.可由学生合作交流完成.四、运用新知，深化理解完成教材第113页练习3个小题.【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.五、师生互动，课堂小结通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.1.布置作业：从教材“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积一、新课导入1.导入课题：情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.问题：怎样求一段弧的长度呢？这就是这节课我们所要研究的问题(板书课题).2.学习目标：（1）能推导弧长和扇形面积的计算公式.（2）知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.3.学习重、难点：重点：弧长公式及扇形面积公式与应用.难点：阴影部分面积的计算.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第111页的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：注意公式的推导和记忆.（4）自学参考提纲：①圆的周长公式是什么？C＝2πR.②弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系？圆可以看作是360度的圆心角所对的弧.1°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？1360n°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？n360所以在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的公式是n R lπ=180.③由弧长公式可知，一条弧的弧长l、圆心角度数n和圆半径R，在这三个量中，已知其中的两个，就可求出第三个.如已知l 和n ，则R ＝l n π180；已知l 和R ，则n ＝l Rπ180. ④计算图中弯道的“展直长度”.解：由弧长公式，得AB 的长l π⨯⨯=100900180≈1570(mm). 因此所要求的展直长度L=2×700+1×1570=2970(mm).2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）弧长公式、公式的书写格式及其变形.（2）有一段弯道是圆弧形的，道长是12米，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R （精确到0.1米）.解：由n l R π=180得l R .n .π⨯==≈⨯180180128581314 (米).1.自学指导：（1）自学内容：教材第112页到第113页“练习”之前的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①圆的面积公式是什么？S ＝πR 2②什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？圆的面积可以看作是圆心角为 360 度的扇形面积.圆心角为1°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？1360圆心角为n°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？n 360所以在半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S 扇形的公式是扇形＝n R S π2360. ③试推导扇形的面积公式扇形S lR =12（这里的l 指扇形的弧长，R 指半径）. 扇形n R n R S R lR ππ===21136021802. ④如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到0.01m 2）.a.怎样求圆心角∠AOD 的度数？在Rt △ADO 中，OD=OC-DC=0.3m,OA=0.6m.∴∠A=30°.∴∠AOD=60°.∴∠AOB=2∠AOD=120°.b.阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-△AOB 的面积.c.写出本题的解答过程.解：如图，连接OA 、OB,作弦AB 的垂直平分线，垂足为D,交AB 于点C ，连接AC. ∵OC ＝0.6m,DC ＝0.3m,∴OD ＝OC-DC ＝0.3（m ）.∴OD ＝DC.又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线.∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°.∴扇形有水部分的面积＝＝＝（）OAB OAB S S S .AB?OD ....m ππ-⨯--⨯⨯≈2212011060120630302236022. 2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例2中∠AOD 时遇到的困难情况. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）扇形面积公式及推导过程和公式的变形.（2）求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差.（3）练习：已知正三角形ABC 的边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，以12a 为半径的圆相切于点D 、 E 、F ，求图中阴影部分的面积S.解：连接AD,则AD ⊥BC, AD a =3.∴阴影扇形ABC AFEa S S S BC?AD a a ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯=-⨯=-222160131233236048. 三、评价 1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，然后由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是4π.2.(10分)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ，则此弧所在的圆半径是6cm.3.(10分)一个扇形的弧长为20πcm ，面积是240πcm 2，则扇形的圆心角是150°.4.(20分)如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度.（π取3.142）解：π⨯⨯+⨯≈901000300026142180（mm ）. 答：图中管道的展直长度约为6142mm.5.(20分)草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m ，求它能喷灌的草坪的面积.解：()S m ππ⨯⨯==222202022003609. 答：它能喷灌的草坪的面积为m π222009. 二、综合应用（20分）6.(20分)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，求贴纸部分的面积. 解：扇形ABC S ππ⨯⨯==212030300360 (cm 2), 扇形（）ADE S ππ⨯⨯-==212030*********(cm 2), ∴贴纸扇形扇形ABC ADE S S S πππ=-=-=10080030033(cm 2). 答：贴纸部分的面积是π8003cm 2. 三、拓展延伸（共10分）7.(10分)正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.解：方法一：阴影（）＝a S a a a ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22222122. 方法二：阴影＝a S a a ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22241222. 答：图中阴影部分的面积为a π⎛⎫- ⎪⎝⎭212.。

用 24.4 弧长和扇形面积(第1课时)导学案

24.4 弧长和扇形面积(第1课时)【学习目标】1、了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．2、通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=180n R π和扇形面积S 扇=2360n Rπ的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．【教学过程】一、情景导入有一个用围墙围起来的正方形草场，用一根绳子将一头羊拴在围墙的一角，绳子展直的最大长度是4米。

请你想一想，这只羊能吃到草的最大面积是多少？二、探索新知请同学们自学课本第110——112页，并完成以下问题：在同圆或等圆中，圆心角越大，所对的弧的长度越，所对的扇形的面积越。

（1）圆的周长公式是；圆的面积公式是；（2）1°的圆心角所对的弧长是______； 1°的圆心角所对的扇形面积是______．（3）2°的圆心角所对的弧长是______； 2°的圆心角所对的扇形面积是______．（4）3°的圆心角所对的弧长是_______； 3°的圆心角所对的扇形面积是______． ……（5）n °的圆心角所对的弧长是； n °的圆心角所对的扇形面积是______．（6）用弧长表示扇形的面积，其公式为。

三、交流互补，形成结论。

四、巩固练习1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π2．如果一条弧长等于4πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．3．如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A ．πB ．1.5πC ．2πD ．2.5π4. 如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和是___________.B ''A ''C 'A 'l A C5．如图，把Rt △ABC 的斜边AB 放在直线L 上，按顺时针方向在L 上转动两次，使它转到△A ″B ″C ″的位置上，设BC=1，∠BAC=30°，则顶点A 运动到A ′的位置时，点A 经过的路线有多长？顶点A 运动到A ″的位置时，点A 经过的路线有多长？6．扇形的半径为6 cm ，面积为9π cm 2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为____五、检测2．如图，一块含有30º角的直角三角形ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到 A ’B ’C 的位置。

九年级上数学导学案第二十四章24.4弧长和扇形面积1(人教版)

弧长和扇形面积 1 导教案学习目标知识与技术（1）经历研究弧长和扇形面积计算公式的过程，培育学生的研究能力.（2）认识弧长和扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的数学运用能力 .过程与方法联合生活中的应用弧长和扇形面积计算的实例，经过弧长、扇形面积和圆的周长和面积的关系，研究弧长和扇形面积的计算公式，而后运用公式解决有关的问题 . 感情、态度与价值观（1）经历研究弧长和扇形面积计算公式，让学生体验数学活动充满着研究和创建，感觉数学的谨慎性以及数学结论的正确性 .（2）经过用弧长和扇形面积计算公式解决实质问题，让学生体验数学与人类生活的亲密关系，激发学生学习数学的兴趣，提高它们的学习踊跃性，同时提高学生的应用能力 .要点：经历研究弧长和扇形面积计算公式的过程，运用公式解决有关的问题.难点：运用弧长和扇形面积公式解决有关的问题.学习过程一、创建情境，导入新课1、在田径二百米跑竞赛中，每位运动员的起跑地点同样吗？每位运动员弯路的展直长度同样吗？2、制造弯形管道时，常常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就波及到计算弧长的问题二、新课研究 1：1、问题：（ 1）半径为 R的圆 , 周长是多少？（2）圆的周长能够看作是多少度的圆心角所对的弧？（3）1°圆心角所对弧长是多少？2、结论：若设⊙ O 半径为 R， n°的圆心角所对的弧长为l，则 l=3、应用：(1)解决上述引入问题 .(2)追踪训练 .①. 已知弧所对的圆心角为900，半径是 4，则弧长为 ______②.已知一条弧的半径为9，弧长为8，那么这条弧所对的圆心角为___.③、钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过 40 分钟 , 分针针端转过的弧长是 ____ 研究 2：1、扇形的观点：（ 1 ）以以下图，由构成圆心角的两条和圆心角所对的围成的图形叫做.（2）. （口答）以下各图中，哪些图形是扇形？2、问题：（1）假如圆的半径为R，则圆的面积为.（2）圆的面积能够看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？（3）l°的圆心角对应的扇形面积为.3、结论：若设⊙ O半径为 R， n °的圆心角所对的扇形的面积为.S，则S=4、研究弧长与扇形面积的关系：比较扇形面积公式和弧长公式,你能用弧长 (l) 来表示扇形的面积 (S)吗?5、追踪练习：（1）已知扇形的圆心角为120°，半径为 2，则这个扇形的面积为 ____．（ 2）已知半径为 2 的扇形，面积为4，则它的圆心角的度数为. 3三、能力提高1、如图、水平搁置的圆柱形排水管道的截面半径是，此中水面高，求截面上有水部分的面积 .变式：如图、水平搁置的圆柱形排水管道的截面半径是，此中水面高，求截面上有水部分的面积.追踪训练1、已知扇形的圆心角为2、已知扇形的圆心角为3、已知扇形的圆心角为120°，半径为 2，则这个扇形的面积为_______. 300，面积为 3 ∏，则这个扇形的半径R=____．1500，弧长为 20 ∏cm，则扇形的面积为__________．四、总结提高1.学习这节课，你有哪些收获？2.你对本节课还有什么迷惑？。

弧长和扇形面积(1)导学案

24.4弧长和扇形面积（1）导学案一、学习目标1.理解并掌握弧长和扇形面积的计算公式；能计算弧长与扇形的面积；2.能运用弧长与扇形面积公式解决实际问题；3、体会转化思想在数学解题中的作用。

二、自主学习1、阅读教材的“思考”，推导弧长公式：设圆的半径为R，则（1）圆的周长可以看作是______度的圆心角所对的弧长，即______；（2）1°的圆心角所对的弧长是______，2°的圆心角所对的弧长是______，23°的圆心角所对的弧长是______，，n°的圆心角所对的弧长是______。

由此我们可以得到：n°的圆心角所对的弧长为l=___________.（反复读五遍）2、阅读教材，了解扇形的概念，类比弧长公式的推导，完成扇形面积公式的推导：在半径为R的圆中，（1）圆的面积可以看作是______度的圆心角所对的扇形面积，即______；（2）1°的圆心角所对的扇形面积是______，2°的圆心角所对的扇形面积是______，…，n°的圆心角所对的扇形面积是______。

＝______ （反复读五遍）由此可以得出：n°的圆心角所对的扇形面积是S扇形3、比较扇形面积公式和弧长公式，思考它们之间有什么关系？(写出结论并读五遍)4、阅读例1，想一想弓形的面积如何计算？（请与同学交流）5、自学检测：（1）已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，则圆弧的长度为______。

（2）若长为π6的弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在的圆半径是________。

（3）半径为30cm，圆心角是120°的扇形面积是______。

（4）若一个扇形的弧长是2πcm，半径10cm，则扇形的面积是______。

（5）弧长18π，面积45π的扇形的半径是______。

（6）教材112页练习第1、2、3题。

三、合作探究1、弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是_______。