等腰三角形三线合一的应用举例

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等腰三角形的三线合一”定理应用

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两条边长度相等。在等腰

三角形中，存在一个重要的定理，即“等腰三角形的三线合一”定理。这个定理指出，在一个等腰三角形中，等腰线、中位线和高线三条线

段会共点于一个点，这个点被称为三角形的垂心。

等腰三角形的三线合一定理在几何学中有着重要的应用。通过这

个定理，我们可以推导出很多三角形的性质，并且可以帮助我们解决

一些几何问题。下面我们将通过几个具体的例子来展示等腰三角形的

三线合一定理的应用。

我们来看一个简单的例子。设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD

是边AC的中位线，E是边BC的中点，连接DE。我们要证明线段BD 与CE相交于垂心H。

根据等腰三角形的性质，我们知道角B和角C是等的，所以三角形ABC是等腰的。根据等腰三角形的三线合一定理，我们知道线段BD、CE和AH相交于一个点H，即三角形ABC的垂心。

接下来，我们可以利用这个性质来解决几何问题。我们可以通过

这个定理来证明等腰三角形的顶角相等，或者计算等腰三角形的面积

等等。

第二篇示例：

等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是具有对称性和稳定性，是几何学中常见的形状之一。在等腰三角形中，有一定的定理和性质可以应用，在解决几何问题时起到重要作用。

本文将重点介绍等腰三角形的三线合一定理及其应用。

一、三线合一定理的概念

在等腰三角形中，连接等腰三角形顶点与底边中点的直线被称为等腰三角形的三线合一。三线合一定理指的是在等腰三角形中，三条线段的端点在同一直线上。这是等腰三角形的一个重要性质，可以通过几何推理和证明加以验证。

等腰三角形三线合一的应用——原创两线合一补等腰

A
∠3 =∠1+∠B
∠2=∠1+∠B 求证：∠3 =∠2
AD为角平分线 AD、CD为垂线二线合一：AD E 3
ΔAEC为等腰三角形
B
∠3 =∠2
２
D１
C
两线合一现等腰翻折含两线合一的三角形补等腰
练1
两线合一现等腰翻折含两线合一的三角形补等腰
如图，D、E分别是AB、AC的中点,CD⊥AB
于D，BE⊥AC于E，求证AC=AB
CD——中线两线合一 CD——垂线翻折ΔADC
ＡＣ＝ＣＢ
C E
EB——中线两线合一
O
EB——垂线
ＡＢ＝ＣＢ
A
D
B
ＡＣ＝ＡＢ
练2
两线合一现等腰翻折含两线合一的三角形补等腰
如图，在△AEC中，∠1=∠2，AD⊥CD，F为 CE中点，DF=AE=3，则AC的长为多少？
A
二线合一的线——ＡＤ
翻折ΔADC补全等腰
C
DHale Waihona Puke Baidu
底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
底边的高与底边的中线重合————现等腰底边的高与顶角的角平分线重合——现等腰底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
两线合一现等腰
过关条件
两线合一补等腰
两线合一现等腰的内容巧补等腰三角形的应用

等腰三角形“三线合一”的应用举例

例说等腰三角形的“三线合一”

济宁市梁山县小路口镇初级中学李丽

（适用于人教版初二版 10月刊）

“三线合一”性质是等腰三角形所特有的重要性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：

如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点.

图1

（1）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的高线；

（2）若AD 是等腰△ABC 顶角∠BAC 的平分线，那么AD 是底边BC 上的中线，AD 是底边BC 上的高线；

（3）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的中线.

由此可以看出，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通.

一、证明角相等或倍数关系

例1、已知：如图2，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．

求证：DBC BAC ∠=∠2．【分析】作出等腰ABC ∆的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．

【证明】作BAC ∠的平分线AE ，则有BAC ∠=∠=∠21

21．

∵AC AB =，21∠=∠，∴BC AE ⊥（三线合一）．

∴︒=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥，

∴︒=∠+∠90C DBC ．

∴DBC ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．

等腰三角形三线合一性质应用

等腰三角形专题

基本知识总结：

1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可）

2、性质：①等边对等角

②三线合一

3、判定：等角对等边

常见题型：

1、等腰三角形的构造型问题：

（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角

（2）找点问题

例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB

∆为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？

n • •

A B

变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？

变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？

2、三线合一的性质应用（知二即知三）

应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系

例1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.

例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.

变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作

AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥

等腰三角形的三线合一

第9页，共11页。
5.过D点作DO∥BC交CA的延长线于O点，并延长DE交BC于F点． 6.过C点作DE的平行线，交BA的延长线于 R点 7.过D点作AC的平行线，交BC的延长线于H点，并延长DE交BC于F点．
第10页，共11页。
拓展提高:课本背后的性质
已知： AB=AC,DE⊥AB,DF⊥A C, 求证：DE+DF是一个定值.
等腰三角形的三线合一
第1页，共11页。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）
(1)∵AC=AB,且D为CB的中点， ∴AD⊥CB,AD平分∠CAB.
第2页，共11页。
(2)∵AC=AB,且AD平分∠CAB， ∴ D为CB的中点,AD⊥CB.
第3页，共11页。
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E 在 AC上，D 在BA的延长线上， AD=AE，
连接DE．求证：DE⊥BC．
D
A
E
B
C
第7页，共11页。
Biblioteka Baidu
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E 在 AC上，D 在BA的延长线上， AD=AE，
连接DE．求证：DE⊥BC．
图中AR这条线段的引出可以看成是：
第11页，共11页。
(3)∵AC=AB,且AD⊥CB， ∴ D为CB的中点,AD平分∠CAB.

利用等腰三角形的“三线合一”性质解题

分析要证明CD＝AB+BD，可以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，趁下来的问题只要能证明DE＝DB，CE＝AE即可，而由已知条件结合等腰三角形的“三线合一”性质和等腰三角形顶角的外角与底角的关系即证.
证明以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，则AE＝AB，即∠AEB＝∠ABC.
分析由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以要证明DE＝DF，只要证明点D是∠BAC的平分线上的点，于是连结AD，而由AB＝AC，BD＝CD即可证明AD是∠BAC的平分线.
证明连结AD.因为AB＝AC，BD＝CD，所以AD是等腰三角形底边BC上的中线，即AD又是顶角的平分线.
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF.
因为AD⊥BC，所以AD是BE的中线，即DE＝BD.
又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C，
而∠∠AEB＝∠CAE+∠C，所以∠CAE＝∠C，即CE＝AE＝AB，
故CD＝AB+BD.
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明.
一、证明线段相等
例1如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.

等腰三角形性质_三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】

例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。求证：AD 垂直平分EF 。

例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。

例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。

图1

分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB

=12

α，又∠

EAC C C

=-=-9090°∠，∠°∠β，所以

∠，EAC ==

ββα1

。例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =12

，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

图2

分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ， ∴BD BC =12

“三线合一”的性质在等腰三角形中的八种应用

AB＝AC， BD＝CE，
∴BD＝CE. 在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL)．
∴∠ACE＝∠B.
返回
应用
4
利用“三线合一”证明线段相等
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为
BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝
AF.求证DE＝DF
返回
应用
5
利用“三线合一”证明垂直
5．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，
E是AD上一点，且EA＝EC.求证EB⊥AB.
证明：如图，过点E作EF⊥AC于点F.
∵AE＝EC，∴AF＝
1 2
又∵AB＝ AC，∴AF＝AB.
∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.
1 AC. 2
又∵AE＝AE，
返回
应用
2
利用“三线合一”求线段长度
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝ DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且
△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，
∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
第13章轴对称
双休作业(六)
2
“三线合一”的性质在等腰三角形中

解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)

解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'

作辅助线压轴题三种模型全攻略

【考点导航】

【典型例题】

【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】

【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】

【类型三巧用“角平分线+垂线合一”

构造等腰三角形】

【典型例题】

【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】

1如图，

在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，过D 作直线DE 交直线AB 与E ，过D 作直线DF ⊥DE ，并交直线AC 与F ．(1)

若E

点在线段AB 上(非端点)，则线段DE 与DF 的数量关系是

；(2)若E 点在线段AB 的延长线上，请你作图(用黑色水笔)，此时线段DE 与DF 的数量关系是

，请说明理由．【答案】(1)DE =DF

(2)图见解析，DE =DF ，理由见解析

【分析】(1)连接AD ，先根据等腰直角三角形的性质可得AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°，AD ⊥BC ，再根据垂直的定义、等量代换可得∠BDE =∠ADF ，然后根据三角形全等的判定证出△BDE ≅△ADF ，根据全等三角形的性质即可得出结论；

(2)分①当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，②当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时两种情况，参考(1)的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．

【详解】(1)解：如图，连接AD ，

∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，

∴AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°,AD ⊥BC ，

七年级下册等腰三角形中三线合一的应用题型归纳

专题13 等腰三角形中三线合一的应用

题型一利用三线合一求角度

【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．

【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C=180°−∠BAC

2=180°−100°

=40°；

∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝100°，

∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝50°．

题型二利用三线合一求线段

【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．

【详解】解：∵DE垂直且平分AB，∴AD＝BD，

∵△BDC的周长为22∵BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝22，

∵BC＝10，

∴AC＝12，∴AB＝AC＝12．

题型三利用三线合一证线段（角）相等

【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

【详解】解：（1）证明：连接AD

∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴AD=BC

=BD＝CD且AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，{BD=AD

等腰三角形三线合一考点总结

等腰三角形、等边三角形三线合一考点总结

在等腰三角形中，中线、角平分线、高三线合一

作辅助线证明

1、如图，点D，E在△ABC的边AB上，CA＝CB，CD＝CE，求证：AD＝BE.

2、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：AE＝AF

3、如图，△ABC中，CA＝CB，D是AB的中点，∠CED＝∠CFD＝90°，CE ＝CF.求证：∠ADF＝∠BDE

4、如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，O为AB的中点，D，E分别在AC，BC上，且OD⊥OE.求证：CE＋CD＝AC

5、如图，四边形ADBC中，BC＝2BD，AB平分∠DBC，AB＝AC，求证：AD ⊥BD

6、如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系．

7、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E.若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．

8、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长．

9、如图,在△ABC中,∠C=90∘,∠B=30∘，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为为多少？

10、如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出所有全等的直角三角形，并说明理由．

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是BC的中点，连结AD，AE.

专题13 等腰三角形中三线合一的应用(原卷版)

七年级数学下册解法技巧思维培优

专题13 等腰三角形中三线合一的应用

题型一利用三线合一求角度

【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．

题型二利用三线合一求线段

【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．

题型三利用三线合一证线段（角）相等

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

题型四利用三线合一证垂直

【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．

题型五利用三线合一证线段的倍数关系

【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．

题型六利用三线合一证线段的和差关系

【典例6】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，试说明：AB+BD＝CD．

巩固练习

1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练

姓名

例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD ＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

A D

变3：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF ．

D B C

F A

M N D C B A

N D C B A

(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点．求证：BE=CF ． D B C

F A

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

等腰三角形“三线合一”的应用举例教程文件

等腰三角形“三线合一”的应用举例

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例说等腰三角形的“三线合一”

济宁市梁山县小路口镇初级中学李丽

（适用于人教版初二版 10月刊）

如图1，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点.

图1

（1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；

（2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；

（3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.

一、证明角相等或倍数关系

例1、已知：如图2，在ABC

∆中，AC

AB=，AD

BD⊥于D．求证：

∠2．

DBC

BAC∠

线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．

【证明】作BAC ∠的平分线AE ，则有BAC ∠=∠=∠21

21．

∵AC AB =，21∠=∠，∴BC AE ⊥（三线合一）．

∴︒=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥，

∴︒=∠+∠90C DBC ．

∴DBC ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．

【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决．

等腰三角形三线合一性质应用

等腰三角形专题

基本知识总结：

2、性质：①等边对等角

②三线合一

3、判定：等角对等边

常见题型：

1、等腰三角形的构造型问题：

（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角

（2）找点问题

例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？

n • •

A B

变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？

变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？

2、三线合一的性质应用（知二即知三）

应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系

例1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.

例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.

变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥

等腰三角形的三线合一”定理应用

等腰三角形的三线合一定理是指等腰三角形的顶点角平分线、

中线和高线三条线段重合于同一条直线。这个定理在解决等腰三角

形相关问题时非常有用，可以应用在几何证明和计算等各个方面。

首先，我们来看一下在几何证明中如何应用这个定理。假设我

们需要证明一个三角形是等腰三角形，我们可以利用三线合一定理

来证明。首先，我们找到顶点角的平分线，然后找到底边的中线和

高线，如果它们三条线段重合于同一条直线，那么我们就可以得出

这个三角形是等腰三角形的结论。

其次，在计算中，我们也可以利用这个定理来简化问题。比如，如果我们已知等腰三角形的一条腰和底边的长度，我们可以利用三

线合一定理来快速求出顶点角的平分线、中线和高线的长度，从而

简化计算过程。

除此之外，我们还可以利用三线合一定理来解决一些实际问题。比如在建筑设计中，如果我们需要确定一个三角形地基的形状，我

们可以利用这个定理来确保地基的三条边符合等腰三角形的条件，

从而保证地基的稳定性。

总的来说，等腰三角形的三线合一定理在几何证明、计算和实际问题中都有着重要的应用价值。通过灵活运用这个定理，我们可以更快更准确地解决各种与等腰三角形相关的问题。