等腰三角形三线合一的应用举例

例说等腰三角形的“三线合一”
济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽
（适用于人教版初二版 10月刊）
“三线合一”性质是等腰三角形所特有的重要性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：
如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点.
图1
（1）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的高线；
（2）若AD 是等腰△ABC 顶角∠BAC 的平分线，那么AD 是底边BC 上的中线，AD 是底边BC 上的高线；
（3）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的中线.
由此可以看出，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。

下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通.
一、证明角相等或倍数关系
例1、已知：如图2，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．
求证：DBC BAC ∠=∠2． 【分析】作出等腰ABC ∆的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．
【证明】作BAC ∠的平分线AE ， 则有BAC ∠=∠=∠21
21．
∵AC AB =，21∠=∠，∴BC AE ⊥（三线合一）．
∴︒=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥，
∴︒=∠+∠90C DBC ．
∴DBC ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．
【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决．
二、证明线段相等
例2、如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE ＝DF .
C
图3
【分析】：依题意，DE 和DF 分别为点D 到∠BAC 两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D 在∠BAC 的平分线上，这只要证明AD 是∠BAC 的平分线.
【证明】：连接AD .
∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线.
∴AD 平分∠BAC . ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，
∴DE ＝DF .
【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多．因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决．
三、证明线段垂直
例3、如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AD ＝AE ，求证：DE ⊥BC .
图4
【分析】：注意到△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC 垂直.要证明DE ⊥BC ，应先证明DE 与这条高平行.
【证明】：过A 作AF ⊥BC 于F .
∵AB ＝AC ，AF ⊥BC 于F ，
∴AF 是等腰三角形△ABC 底边BC 上的高线.
∴AF 平分∠BAC .
∴∠BAC ＝2∠BAF .
∵AD ＝AE ，
∴∠D ＝∠AED .
∴∠BAC ＝∠D ＋∠AED ＝2∠D .
∴∠BAF ＝∠D ，DE ∥AF .
∴DE ⊥BC .
【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；
（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线． B D
C C F
B。