10-(3)毕奥—萨伐尔定律

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毕奥-萨伐尔定律及其应用

dB 0 Idl sin
4 r2
上式中，μ0称为真空导电率，其值为μ0＝4π×10–7N·A–2磁感应强度dB的方向垂直于Idl和r所组成的平面，并沿Idl×r的方向。即当右手弯曲，四指从Idl方向沿小于π的角转向r时，伸直的大拇指所指的方向为dB的方向。也就是说，dB、Idl、r这3个矢量的方向符合右手螺旋法则，如下图所示。因此，可将上式写成
在载流线圈的中心O处（x＝0）的磁感应强度的大小为
B 0I
2R
若x R，即场点P在远离原点O的x轴上，则 R2 x2 3/2 x3
由式（8-7）可得
B
0 IR 2
2x3
由于线圈电流的面积为S ＝πR2，于是上式可写成
B
0 IS
2x3
在此，我们引入磁矩m来描述载流线圈的性质。定义m＝IS ＝ISen，en是圆电流平面的正法线单位矢量，它与电流I的流向遵守右手螺旋定则。在国际单位制中，磁矩的单位为安·米2 （A·m2）。
物理学
毕奥－萨伐尔定律及其应用
1.1 毕奥－萨伐尔定律
1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔通过实验得到了长直载流导线周围磁场与电流的定量关系。在此基础上，数学家拉普拉斯将毕奥和萨伐尔的实验结果归纳成数学公式，总结出电流元产生磁场的基本规律——毕奥－萨伐尔定律。
毕奥–萨伐尔定律指出：电流元Idl在真空中某点P所产生的磁感应强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流元和从电流元到P点的矢径r之间的夹角的正弦成正比，与电流元到点P的距离r的平方成反比，即

毕奥萨伐尔定律

1820年，法国物理学家比奥特（Biot）和萨瓦特（Savart）通过实验，测量了一条长直电流线附近的小磁针的力定律，并发表了一篇论文，题为“传递给运动中的金属的电的磁化力”。后来被称为比奥-萨瓦特定律。后来，在数学家拉普拉斯（Laplace）的帮助下，该定律以数学公式表示。

毕奥-萨伐尔定律：载流导线上的电流元Idl在真空中某点P的磁感度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl和从电流元到P点的位矢r之间的夹角θ的正弦成正比，与位矢r的大小的平方成反比。

dB的方向垂直于Idl和r所确定的平面，当右手弯曲，四指从方向沿小于π角转向r时，伸直的大拇指所指的方向为dB的方向，即dB、Idl、r三个矢量的方向符合右手螺旋法则。

叠加原理：

与点电荷的场强公式相似，毕奥——萨伐尔定律是求电流周围磁感强度的基本公式．磁感强度B也遵从叠加原理．因此，任一形状的载流导线在空间某一点P的磁感强度B，等于各电流元在该点所产生的磁感应强度dB的矢量和。

特点：

从课程论和物理学课自身特点的角度来分析毕奥-萨伐尔定律，它体现的学科特点有以下几点：（1）是稳恒电流磁场的关键知识点；（2）具有高度的抽象性；（3）使用数学工具的复杂性；（4）掌握“方法”比掌握“内容”更重要；（5）在探索知识的过程中体现“把握本质联

系，揭示事物发展内在规律性”的唯物辩证法观点。

毕奥-萨伐尔定律

(3)
P
a a
P
物理系

a
P
(4)载流导线延长线上任一点的磁场 Idl // r , Idl r 0 B 0
南京理工大学应用
I
10.3 毕奥—萨伐尔定律例2：一正方形载流线圈边长为 b, 通有电流为 I，求正方形中心的磁感应强度 B。解：O 点的 B 是由四条载流边分别产生的，它们大小、方向相同，
南京理工大学
dN nS dl
应用物理系
d B 0 q r 0 单个运动电荷的磁场 B 2 d N 4π r 对于负电荷，按规定电流 I 沿方向, 电荷 q 应取为|q|,
10.3
毕奥—萨伐尔定律
故 q q ( ) q. 因此, 上式对负电荷也适用.
(square current loop)
2
B B1 B2 B3 B4 4B1 0 I 根据 B1 （cos 1 cos 2） 4πa b 其中 a , 1 , 2 3 2
4
4
b
1
B o
I
b
0 I 3 2 20 I B4 cos cos 4b / 2 4 4 b
I
o
R
x
*
B

简述毕奥萨伐尔定律

毕奥萨伐尔定律（Biossa-Fawer's law）是建筑物力学中的一项定律，它说明：支撑结构的垂直载荷或拉力大小与支撑结构的尺寸（或它的力学状态）之间存在着一定的关系。换句话说，支撑结构的尺寸可以用来测量它所体现的垂直载荷或拉力的大小。

这个定律的定义是：一个结构件的最大垂向力（准确来说是最大结构备载）等于其端点的距离乘以另一个剪切力。它可以用数学表达式来描述：F=Ld，其中F是结构的最大垂向力，L是其端点的距离，d是另一个剪切力。

毕奥萨伐尔定律还可以用来测量结构或系统的弯曲和扭转力，它可以用来确定结构或系统的最大受力情况，以便更好地设计其结构和系统。这个定律也可以用来建立系统的力学分析，以便确定每个受力点的力和力矩。

毕奥-萨伐尔定律

• 这是安培根据实验的种种表现作出的重要的抽象
安培花了两、三个月的时
间集中力量研究电流之间的相互作用。安培以极精巧的实验和相当高超的数学技巧结合起来，做了四个实验。
• 第一个实验，安培用一无定向秤检验对折通电导线有没有作用力，结果是否定的，从而证明当电流反向时，它产生的作用也相反。
• 认识电流大小时，用水流进行类比。认识电压时，用水压进行类比。研究电流的形
成原因时，将电流与水流相比较，从分析水流的形成来入手分析电流的形成。
12级通信工程一班二组制作
• 从1820年7月奥斯特发表电流的磁效应到12月安培提出安培定律，这期间仅仅经历了四个多月时间。但电磁学却经历了从现象的总结到理论的归纳这一大飞跃，从而开创了电动力学的理论。这些成就的取得不仅体现了科学家作为时代领路人的极强的洞察力, 也是一个负责任的电磁学奠基人。这充分说明创新要注意相关领域的最新发展。
3、安培的四个示零实验
示零实验，就是结果显示为零的实验，示
零实验常常与补偿法联系在一起，补偿法的定义如下：某系统受某种作用产生A效果，受另一种同类作用产生B效应，如果由于B 效应的存在而使A效应显示不出来，就叫B 对A进行了补偿。示零法在试验中具有独特的作用，大大提高了测量精度，修正系统误差，为理论提供依据。
在1820年毕奥和萨伐尔通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律发表了题为运动中的电传递给金属的磁化力的论文在数学家拉普拉斯的帮助下将电流载体转换为电流元的情况并得出了毕奥萨伐尔定律的数学表达式

10-3 毕奥-萨伐尔定律-2

10.3 毕奥—萨伐尔定律
第10章稳恒磁场
静电场: dq
dE
磁
场：
Idl
?
dB
E
dE
B dB
1820年，法国科学家毕奥、萨伐尔和拉普
拉斯在实验基础上，分析总结出电流元产生磁
场的规律：毕奥—萨伐尔定律。
电流元 Idl
大小： Idl
I
Idl电流元
方向：线元上通过的电流的方向。
1
10.3 毕奥—萨伐尔定律
0I
8R
第10章稳恒磁场
（4）
BA
0I
4πd
d *A
（5） I
R1
R2
*o
B0
0I
4 R2
0I
4 R1
0I
4 π R1
20
10.3 毕奥—萨伐尔定律
第10章稳恒磁场
R Io
B0
dB
0 4
Idl R2
B 0 Idl 0I dl 0I 2R 0I
l 4 R2 4R2
4R 2
2R
B0
o
I
b
a
a
R
I
c
d
第10章稳恒磁场
R
I e o dc
b
r
I
f
Bo=
oI 3
2R 4

毕-萨定理

0I
4 a
sin d
0I
4 a
cos 1 cos 2
10- 3
毕奥—萨伐尔定律 0I B cos 1 cos 2 讨论: 4 a 1.无限长载流直导线的磁场：
1 0, 2 ;
B
l 第10章 2 稳恒磁场
B
0I
2R
10- 3
毕奥—萨伐尔定律
第10章
稳恒磁场
v
I
例:一个电子作圆周运动，求在圆心处产生的磁场
B0
0I
2R

0
ve
0 ve 2 R 2 2R 4 R
4）x=0处部分弧段，弧长为 l ，则
B0
0 NI
2R

l 2 R

0 NIl
4 R
2
10- 3
稳恒磁场
I
例4：如图，两根导线沿半径方向引到铁环上的A、B两点， I2 并在很远处与电源相连，求环中心的 0 NIl B0 磁感应强度 2 4 R
解： B 0 0
A
I1
B
例b：一导线弯曲成如图的形状，求 B 0 B2 B o B1 B 2 B 3 B3 b o c 0 I 0 I 0 I d
2
P *
r
Id l

毕奥-萨伐尔定律

详细描述
在三维空间中，磁场和电流分布可以更加复杂，但毕奥-萨伐尔定律仍然适用。通过引入矢量磁位和矢量场强，可以描述三维空间中的磁场分布和电流产生的磁场。
对非恒定电流的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初适用于恒定电流产生的磁场，但通过修正公式，该定律也可以应用于非恒定电流的情况。
详细描述
对于非恒定电流，需要考虑时间变化率对磁场的影响。通过引入时变电导率和时变磁导率，可以描述非恒定电流产生的磁场。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础，它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线性运动。
磁力线的描绘
毕奥-萨伐尔定律可以用来描绘磁力线。磁力线是描述磁场分布的一种方式，它们表示磁场的方向和强度。
详细描述
毕奥-萨伐尔定律由法国物理学家毕奥和萨伐尔提出，它指出在磁场中，电流会产生磁场，并且电流的大小和方向会影响产生的磁场的大小和方向。
毕奥-萨伐尔定律的重要性
总结词
毕奥-萨伐尔定律在电磁学中具有重要地位，是电磁场理论的基础之一。
详细描述
毕奥-萨伐尔定律是电磁学中的一个基本定律，它揭示了电流与磁场之间的相互作用关系，是理解电磁波、电机、变压器等电磁系统工作原理的基础。此外，毕奥-萨伐尔定律在无线电技术、电力工程和通信等领域也有广泛应用。

毕奥-萨伐尔定律公式

毕奥-萨伐尔定律公式是描述电磁感应现象的重要公式之一，它是由法国物理

学家毕奥和英国物理学家萨伐尔分别独立提出的，因此也被称为毕萨定律。

该定律表述了当一个闭合电路中的磁通量发生变化时，该电路内会产生电动势。具体来说，如果一个电磁感应器中的磁通量Φ发生变化，那么在该感应器两端就

会产生一个电动势E，其大小与磁通量变化率的绝对值成正比。

毕奥-萨伐尔定律公式可以用一个简单的公式来表达：

E = -dΦ/dt

其中，E是感应电动势的大小，Φ是穿过感应电路的磁通量，t是时间，d/dt表示对时间的导数运算。公式中的负号表示感应电动势的方向与磁通量变化的方向相反。

需要注意的是，该定律只适用于闭合电路中的感应电动势。对于非闭合电路，根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势大小与闭合电路中的相同，但方向可能不同。

总的来说，毕奥-萨伐尔定律公式是电磁学中一个非常重要的公式，广泛应用

于各种电磁感应现象的分析和设计中。

毕奥萨伐尔定律

的电压成反比。
磁场与电流的关系
总结词
磁场与电流之间相互作用的关系。
详细描述
磁场与电流之间存在相互作用的关系。当导线中流过电流时，导线周围会产生磁场。这个磁场的方向与电流的方向有关，可以根据右手定则来判断。同样地，当磁场变化时，导线中也会感应出电流，这就是法拉第电磁感应定律的应用。
电磁场与麦克斯韦方程组
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下的适用性，即通过实验手段测量物理量以验证理论的准确性。
02
毕奥萨伐尔定律的物理意义
电场与磁场的概念
电场
是电荷及变化磁场周围空间里存在的一种特殊物质，电场对放入其中的电荷有电场力的作用。
磁场
是传递实物间磁力作用的场，磁场对运动电荷或电流有磁场力的作用。
毕奥萨伐尔定律与磁场强度
毕奥萨伐尔定律
描述电流元在空间任意点激发的磁场强度的计算公式。
磁场强度
表示磁场在空间某点单位体积内磁场的强弱程度，用H表示，单位为安培/米(A/m)。

电磁学-03毕奥—萨伐尔定律

4π

l
r
2
4π r 0 I cos dl dB x 2 4π r
dB
0 Id l
2
B
0 IR 2π R B dl 3 0 4π r 2 0 IR
（ 2 x R ）2
2 2 3
电源电动势 B— S萨伐尔定律定律 11 一 –§ 23 毕奥 —
第十一章稳恒磁场
r2 0 Idz sin B dB 2 CD 4π r 4π
解 dB
x 轴的负方向 0 Idz sin
x
o
C
z r0 cot , r r0 / sin 2 dz r0d / sin 0 I 2 B sin d 4π r0 1
π 1 2 2 π
BP
0 I
4π r
I
o
r
* P
电源电动势 B— S萨伐尔定律定律 11 一 –§ 23 毕奥 —
第十一章稳恒磁场
例2 圆形载流导线的磁场. 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
电源电动势 B— S萨伐尔定律定律 11 一 –§ 23 毕奥 —
0 Idl r dB 3 4π r
1
第十一章稳恒磁场

6. 3 毕奥——萨伐尔定律及其应用

解：任取一 I d l
各 d B 关于 x 轴对称
x
0 Idl R dB =dBcos(90 ) = —— —
4 r2
Bx d Bx 0
0
2 R
r
B
B Bx
x
2 R
0
0 IR2 0 IR d l = ————— 2+ x2)3/2 3 2( R 4 r 0I B0= —— 2R
L L
或：大小 B
B B B
2 x 2 y
2 z
标明方向！
关键是求出 d B
0 I d l r dB 4 r 3
(6-11)
——毕奥-萨伐尔定律
例：判断下列各点磁感应强度的方向和大小. 1 方向如图示： 8

2
大小
7 R 6 5
Id l

3
4
0 I d l sin dB 4 r2 1、5 点： dB 0
L
④ 合成
L B Bxi By j Bz k
2 B x2 B y B z2 关键是求出 d B
L
或：大小 B
标明方向！
D
2
1．载流直导线的磁场
0I (cos cos ) B= —— 1 2 4a
(6-16')

大学物理10.3 毕奥-萨伐尔定律Xiao

B 0 Ld B L 4 π I d l r0 r
2
分量式：
磁场矢量：
dB x , B y dB y , B z L L B B xi B y j B zk Bx

dB
L
z
磁场大小： B
南京理工大学
Bx By Bz
I
o 4 10 T m / A
真空磁导率.
•大小： dB
0 Idl sin
2
P* r

Id l
•方向： l r的方向。 Id
dB
4 r 为 Id l 与 r 之间的夹角.
dB
r 和
r
的方向垂直于 l Id
理工大学应
B
B
工大
3）x 0 4）x R
南京理
0I
2R
2
0R I
2x
学
3

0 IS
2πx
用
3

理
0m
2 x
系
3
应
物
例6. 一无限长直载流导线被弯成如图所示的形状，通以电流I，求圆心处的磁场 B o
(a )
3 2 R 2
O
解：对于图a，B1 B3 0, BO B2 圆弧在O处的磁场（方向）：

毕奥-萨伐尔定律

dB 方向均沿
z
D
2
解 dB
x 轴的负方向 0 Idz sin
4π r
2
dz
I
z
1
r
x
o
r0
C
0 Idz sin B dB CD r 2 4 π dB z r0 cot , r r0 / sin 2 * dz r0d / sin P y 0 I B sind
平方成反比； dB垂直于 Idl 和 r 所组成的平面，
Idl r dB k 3 r
其中: k = 0 /4 真空磁导率 : 0=410-7TmA-1 1
毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)
Id l
dB
4π r 0 Idl r dB 4π r 3
毕奥萨伐尔定律(Biot-Savart’s law)
电流元 Idl是电流与导线元的乘积，导线形状任
意，导线元在空间有各种取向，电流元是矢量。电流元产生磁场规律遵从毕奥萨伐尔定律。电流元在空间某点产生的磁感应强度大小与电流
元大小成正比，与电流元和由电流元到点 P的矢
量间夹角正弦成正比，与电流元到点 P 的距离的指向满足右手定则。
4π d
R
o （ 3） I R
B0
0 I
4R

毕奥—萨伐尔定律

在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律 [1]（英文：Biot-Savart Law）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。

定律文字描述：电流元I d l在空间某点P处产生的磁感应强度d B的大小与电流元I d l的大小成正比，与电流元I d l所在处到P点的位置矢量和电流元I d l之间的夹角的正弦成正比，而与电流元I d l到P点的距离的平方成反比。

该定律在静磁近似中是有效的，并且与安培的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-Baptiste Biot和FélixSavart命名。

10-3毕-萨定理

解 dB =
x 轴的负方向 µ 0 Idz sin α
x
C
a β β2 o 1 P y
sin α = cos β r = a sec β
z = atgβ ∴ dz = a sec 2 β dβ
1010- 3
毕奥—萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律
10章第10章稳恒磁场
µ 0 Ia sec 2 βdβ cos β µ 0 I dB = = cos βdβ 2 2 4π 4πa a sec β µ0 I β µI B = ∫ dB = cos β dβ = 0 (sin β 2 − sin β 1 ) 4πa ∫β 4πa
10章第10章稳恒磁场， x 宽度为
dx
（2）取如图的一个小面元，距离原点位置为）取如图的一个小面元，
L
dS = l 2 dx
dΦ m = BdS = [
I
µ0 I
L 2π ( + x ) 2
µ0 I
L 2π ( + x ) 2
+
µ0 I
L 2π ( − x ) 2
µ0 I
L 2π ( − x ) 2
By = ∫ dBy Bz = ∫ dBz
Bx = ∫ dBx
B = B x i + B y j + Bz k
1010- 3