7.5 用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
结构力学章节习题及参考答案
习题3.1是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ）
(4)习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题 2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）
习题7.2填空题
（1）习题5.2(1)图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。
(3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB=______。
习题 7.2(1)图习题 7.2(2)图 习题 7.2(3)图
(4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA=________，CBC=________。
1. 超静定结构在支座移动作用下产生的内力与刚度
1. 超静定结构在支座移动作用下产生的内力与刚度A. 无关B. 相对值有关C. 绝对值有关D. 相对值绝对值都有关2. 用力法计算超静定结构时，其基本未知量为A. 杆端弯矩B. 结点角位移C. 结点线位移D. 多余未知力3. 力法典型方程是根据以下哪个条件得到的A. 结构的平衡条件B.多余约束处的位移协调条件C. 结构的变形条件D. 同时满足A、B两个条件4.用力法计算图示结构时，不能作为基本结构的是图A.B.C.D.5. 在力法方程的系数和自由项中A. 恒大于零B. 恒大于零C. 恒大于零D. 恒大于零图示结构的超静定次数是A. 12B. 10C. 9D. 67.图示结构的超静定次数是A. 2B. 4C. 5D. 6下图所示对称结构的等代结构为A.B.C.D.9.关于下图所示对称结构，下列论述正确的是A. A点线位移为零B. AB杆无弯矩C. AB杆无剪力D. AB杆无轴力10.下图所示对称结构的等代结构为A.B.C.D.1. 用力法计算超静定结构，选取的基本结构不同，所得到的最后弯矩图也不同。
A. 错误B. 正确2.图示超静定结构去掉杆件①、②、③后为一静定梁，故它是三次超静定结构。
A. 错误B. 正确3. 超静定结构的内力与材料的性质无关。
A. 错误B. 正确4. 同一结构的力法基本体系不是唯一的。
A. 错误B. 正确5. 求超静定结构的位移时，可将虚拟单位荷载加在任意静定的基本体系上。
A. 错误B. 正确6. 超静定次数一般不等于多余约束的个数。
A. 错误B. 正确7.图示两个单跨梁，同跨度同荷载。
但横截面形状不同，故其内力也不相同。
A. 错误B. 正确8.在下图所示结构中若增大柱子的EI值，则梁跨中点截面弯矩值减少。
A. 错误B. 正确9. 超静定结构的内力状态与刚度有关。
A. 错误B. 正确10. 力法典型方程是根据平衡条件得到的。
A. 错误B. 正确1.下载计算题，完成后将正确答案（A、B、C或D）写在答题框中。
用力法计算超静定结构.
解：力法方程
x1 11 x1 1 p 0 k
例题3
p
A
B k 8m 8m 原结构
C
D k 8m 2m p
A
B k
C x2
D x1
x1 x x 11 1 12 2 1P k 21 x1 22 x2 1 P 0
1P M 1M P N 1NPl ds E1 I 1 EA 4 5ql 384E1 I1
ql 2 8
2 2 1 2 l 5 l ( ql ) E1 I1 3 8 2 8 4
0
0
0
x1
1 p
11
5ql 4 384E1 I 1 3 l h s3 48E1 I 1 E 2 A2 2h 2 E 3 A3
x1
11
3 ql 8
试选取另一基本结构求解： x1
q 2 EI l x1=1 原结构 2 ql/8 基本结构 2 ql/8 5ql/8 3ql/8 M l图 1 2 ql/8 MP图 q
1 M图
Q图
解：力法方程
11 x1 1 p 0
1 1 l 21 l ( )( ) EI 2 3 3 EI
基本结构(3)
二、超静定刚架的计算
力法方程:
11 x1 12 x2 1 P 0 21 x1 22 x2 2 P 0
式中:
11
1 1 2 64 ( 4 4) ( 4) EI 2 3 3 EI
22
1 1 2 l 81 ( 3 3) ( 3) [(3 4) 3] 2 EI 2 3 EI 2 EI
超静定结构内力计算.pptx
μ
MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm
传递弯矩：
c MCB= 0
c
MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm
最后杆端弯矩：
MCB= 0
MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm
MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm
MBC= MFBC＋ MμBC = －46.3kNm
M
f AB
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
P A
3 Pl 16
B
M
f BA
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
f AB
1 8
ql 2
M
f BA
1 8
ql 2
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1、计算各杆的固端 弯矩Mf
MfAB=0
M
f BA
1 8
ql 2=1/8×4×62=18
MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5 MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5
所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！
由于A、B、C为固定端支座，所以 其位移均已知为零，不需作为未知量； 而同一刚结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个独立的结 点转角未知量。故上图刚架只有一个 结点转角未知量。
第5页/共24页
2、独立结点线位移
在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。
A
SAB = 3 i
B
A
SAB = i
θ =1
= B
A
B
当θ ≠ 1时: MAB = SAB θ
哈工大结构力学题库四章
第四章 力 法一 判 断 题1. 图示结构，据平衡条件求出B 点约束力，进而得图示弯矩图，即最后弯矩图。
（ ）（X ）题1图 题2图2. 图示结构用力法求解时，可选切断杆件2，4后的体系作为基本结构。
（ ）（X ）3. 图a 结构，支座B 下沉a 。
取图b 中力法基本结构，典型方程中1C a ∆=-。
（ ） （X ）题3图 题4图4. 图a 所示桁架结构可选用图b 所示的体系作为力法基本体系。
（ ）（√）5. 图a 结构，取图为力法基本结构，1C l θ∆=。
（ ） （X ）题5图 题6图6. 图a 结构的力法基本体系如图b ，主系数3311/(3)/()l EI l EA δ=+。
（ ）（X ）7. 图示结构用力法解时，可选切断1，2，3，4杆中任一杆件后的体系作为基本结构.（ ）（X ）题7图 题9图 8. 图示结构受温度变化作用，已知α，h ，选解除支杆B 为力法基本体系(设B X 向上为正)，典型方程中自由项2121()/(4)t a t t l h ∆=--。
（ ）（X ）9. 图a 结构，力法基本体系如图b ，自由项412/(8)P ql EI ∆=-。
（ ）（X ）题10图 题11图10.图示超静定梁在支座转动1A ϕ=时的杆端弯矩26.310AB M KN m =⨯⋅，22( 6.310)EI KN m =⨯⋅。
（ ）（√） 11. 图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线胀系数，典型方程中2121()/(2)t a t t l h ∆=--。
（ ）（X ）题12图 题13图 12. 图a 结构，取力法基本体系如图b 所示，则1/C l ∆=∆（ ）。
（X ）13. 超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
（ ）（√）14. 图示结构的超静定次数为4。
（ ）（X ）题15图 题16图15. 图示结构，选切断水平杆为力法基本体系时，其3112/(3)h EI δ=。
7.5 用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
l
(6)上述计算结果表明：在支 座位移时，超静定结构将产生 内力和反力，其内力和反力与 各杆件刚度的绝对值成正比。
3iD AB 3i l
B
A
3iD AB l2
M图
3iD AB l2
二、温度变化时的内力计算
在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第i个 方程的一般形式为
代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由 项计算公式
ΔiZ FN Dl
可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起 的结构的自内力有很大的影响。
X1=1
Dt Δ1t AM t 0 AFN h
M 1图
A
1
C
D
B
2 1 l l
AB段 BC段 CD段 AB段 BC段 CD段
t0=0℃ t0=2.5℃ t0=10℃ Dt=30℃ Dt=25℃ Dt=10℃
Δ1t
FN 1图
C
2 l
D
10 1 1 30 ( 1 l ) 10 ( 1 l ) l 2 2
1第一种解法此梁为一次超静定以下分别采用三种基本体系求解allrightsreserved重庆大学土木工程学院allrightsreserved重庆大学土木工程学院2第二种解法取支座a的反力偶作为多余未知力xallrightsreserved重庆大学土木工程学院3第三种解法将梁ab中点截面c改为铰结取该截面上的弯矩作为多余未知力x其中力法方程为allrightsreserved重庆大学土木工程学院以上选取三种不同基本结构得出三个不同的力法方程
l3 X 1 q l a 3EI
l a X1 q 3EI l
§7-5 用力法计算超静定结构在
二、温度变化时超静定结构的计算
温度变化时若体系中无支座移动或弹性支 座的存在， 座的存在，则对应于第i多余约束处的位移 条件可以描述为： 条件可以描述为：
基本结 构在温 度变化 时的I处 时的 处 位移
∆ i = x1δ i 1 + x 2δ 2 i + ⋅ ⋅ ⋅ + x iδ ii + ⋅ ⋅ ⋅ + x nδ ni + ∆ it = 0
X2 = − 6EI ∆ AB 2 l
解得 5）最后内力图为
X1 = −
6EI ∆ AB , 2 l
在支座位移影响下，超静定结构可能将产生内力和反力， 可能将产生内力和反力 在支座位移影响下 ， 超静定结构 可能 将产生内力和反力 ， 其内 力和反力与各杆的弯曲刚度EI的实际值有关 且成正比。 有关， 力和反力与各杆的弯曲刚度 的实际值有关，且成正比。
X1 = − ∆ 1c
δ 11
=−
M = M1X1
2c 3 EIc =− 3 2l 3 l 3 EI
例
图示两端固定梁AB之间产生了竖向相对位移△ 图示两端固定梁 之间产生了竖向相对位移△AB，试用力 之间产生了竖向相对位移 法分析其内力并作弯矩图和剪力图。 为常数 为常数。 法分析其内力并作弯矩图和剪力图。EI为常数。
解：1)选择基本体系，如图所示。 1)选择基本体系，如图所示。 选择基本体系 2）力法典型方程为 δ 11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1c = 0 ） δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2c = 0 3）作单位弯矩图，由图乘法求得各系数为 作单位弯矩图，
l , δ 11 = 3EI
l l , δ 12 = δ 22 = − δ 22 = 3EI 6EI
电大土木工程力学形成性考核答案
土木工程力学（本）形成性考核册作业一一、选择题（每小题2分，共20分）1．三刚片组成几何不变体系的规则是（）A 三链杆相联，不平行也不相交于一点B 三铰两两相联，三铰不在一直线上C 三铰三链杆相联，杆不通过铰D 一铰一链杆相联，杆不过铰2．在无多余约束的几何不变体系上增加二元体后构成（）A 可变体系B 瞬变体系C 无多余约束的几何不变体系D 有多余约束的几何不变体系3．瞬变体系在一般荷载作用下，（）A产生很小的内力 B不产生内力C产生很大的内力 D不存在静力解答4．已知某体系的计算自由度W=-3，则体系的（）A自由度为3 B自由度等于0C 多余约束数等于3D 多余约束数大于等于35．不能作为建筑结构使用的是（）A无多余约束的几何不变体系B有多余约束的几何不变体系C 几何不变体系 D几何可变体系6．图示桁架有几根零杆（）7．下图所示结构的弯矩图形状应为（）A 折线B 圆弧C 双曲线D 抛物线二、判断题（每小题2分，共20分）1．多余约束是体系中不需要的约束。
（⨯）2．如果体系的计算自由度大于零，那么体系一定是几何可变体系。
（∨）3．两根链杆的约束作用相当于一个单铰。
（⨯）4．一个体系是有n个自由度的几何可变体系，那么加入n个约束后就成为无多余约束的几何不变体系。
（⨯）题2-7图2．解： 3．解：4．解：四、绘制下图所示各结构的弯矩图。
（每小题10分，共30分） 1．⨯ ⨯作弯矩图如下：2．作弯矩图如下：3．解：作弯矩图如下：土木工程力学（本）形成性考核册作业二一、选择题（每小题2分，共10分）1．用力法计算超静定结构时，其基本未知量为（ ）A 杆端弯矩B 结点角位移C 结点线位移D 多余未知力2．力法方程中的系数ij δ代表基本体系在1=j X 作用下产生的（ ） A i XB j XC i X 方向的位移D j X 方向的位移 3．在力法方程的系数和自由项中（ ） A ij δ恒大于零 B ii δ恒大于零 C ji δ恒大于零D iP ∆恒大于零4．下列哪一条不是图乘法求位移的适用条件？（ ） A 直杆 B EI 为常数 C P M 、M 至少有一个为直线形 D P M 、M 都必须是直线形5．下图所示同一结构在两种不同荷载作用下，它们之间的关系是（ ） A A 点的水平位移相同 B C 点的水平位移相同 C C 点的水平位移相同 D BC 杆变形相同二、判断题（每小题2分，共10分）1．静定结构由于支座移动引起的位移与刚度无关。
温度改变、支座移动力法
温度改变、支座移动力法超静定结构由于存在多余约束，当周围温度有改变或支座移动 时，结构均将引起弹性变性而产生内力。
用力法分析这些非荷载因素作用下的超静定结构，其基本原理及 步骤与荷载作用下的相同，差别只是力法方程中的自由项不再是由荷 载产生，而是由温度、支座移动等因素产生的。
一、温度改变下超静定结构的内力计算列因素产生:图示结构，其外侧温度升高 t 1，内侧温度升高t 2，并设t^t 2。
t 1t 2t lt 2取图示基本体系，则基本结构在1.温度改变:d t ,t 1t22.多余未知力 X i ： 6iX i ,右 2l X i X i3.多余未知力 X 2： 62X 2X 261X1X i/^22X262X 2 X 2t 2X i§116 22 由叠加原理，协调条件，可得力法方程例题：图示结构，各杆长都是 L ,梁截面为矩形，截面高度 线膨胀系数为a 。
求（1）绘弯矩图（2）求杆A 端转角-150C B +250CIL5）由于基本结构（静定）在温度改变时不产生内力，故11 X 1 +§12X 2 +21 X1+ 6 22 X 2 +OO -150C +250CA 1解: 1）两次超静定结构X i2）基本结构，多余未知力3）求各系数△t =40°t 。
=50M 1图 N 1图0(. A t — — △it(±)——J MidL +2 utoNidLh . ai t=W (±)-；^%+£ 40a 『2 1 2 1-r L 目严—05<^LX i =1△2t=送(±)字《帀+送h4g 1 2= ----- L 2-5aL = 195tL4L 3L 33EI 212EI4）解力法方程，得：X 1二-逬2史M 2图 L 33EI218.5REIL 2N 2图“ X 2=1—丄咒 LX535.17咀一(535.17 +317.14 )咀咒 L 丄〕=-694.29tEI El I 2 l L 2 丿二、支座移动下超静定结构的内力解：1）两次超静定结构，取基本结构如图示。
超静定结构的计算
一. 用力法计算超静定结构（一）复习重点1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数2. 理解力法原理3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构）4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构）5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）（二）小结1. 超静定结构、多余约束、超静定次数（1）超静定结构从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
（2）多余约束多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。
（3）超静定次数多余约束的个数是超静定次数。
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理力法是计算超静定结构最基本的方法（1）将原结构变为基本结构（2）位移条件：（3）建立力法方程3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（3）绘弯矩图4. 用力法计算超静定桁架和组合结构注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。
例：超静定组合结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（4）绘弯矩图5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算（1）温度变化时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件力法方程（2）支座移动时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件二. 用位移法计算超静定结构（一）复习重点1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）3. 掌握计算对称结构的简化方法（二）小结1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）例：求连续梁的内力解：（1）确定基本未知量及基本体系基本未知量是结点B的角位移。
支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算 从以上分析可以看到，选不同形式的基本结构，建立的力法方
程的形式不同。但各种形式的力法方程表达的物理意义的实质是相 同的。在力法方程的等号左边表示的是：基本结构上在各种因素作 用下引起的某一多余力方向上的位移；而等号右边表示的是：原结 构在此方向上的位移。
度升图高a所t2 示C，为用两力次法超计静算定其刚内架力，的设方各法杆与外支侧座温移度动升时高的t1情C，况内相侧类温似。 首先选取基本结构，设去掉支座C处的两个多余约束，代之以多余 未知力X1、X2，得到基本结构如图b所示。列出力法方程为
11X1 12 X 2 1t 0 21X1 22 X 2 2t 0
式中系数计算和前面相同。
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
自由项 it（i = 1，2）表示基本结构上C点处由温度改变所引起 的Xi方向上的位移，可按十三章中介绍的位移计算公式求得，即
it
() l FNilt0ds
() Mil tds
lh
(a)
当t0、t 、h、 l 为常数时，则上式可写成
侧截温面度形降心低轴5为C对，称各轴杆，材截料面的高线度膨h胀= 0系.4数m。为试用l ，力弯法曲计刚算度，E并I为绘常制数，
内力图。
【解】 此刚架为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。建
立力法方程为
11Χ 11t 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
绘出 M1 、FN1 图，分别如图c、d所示。
it
lt0 ANi
l
t h
AMi
超静定结构的内力计算
针对基本体系讨论B点的竖直位移： △1＝－a，负号表示支座位移a与X1 所设方向相反。 δ11X1＋ △1c ＝－a
由图6.13(c)知： △1c=－θl ，负号表示△1c 与X1 假设方向相反。 由基本结构 M 1 图(如图6.13(d)所示)得到：
代入力法方程，得：
1 1E 1 I M 1 2d xE 1 I1 2 l l2 3l3 lE 3I
用力法计算超静定结构可按下列步骤进行： (1) 确定超静定次数，去掉多余约束并以多余未知力代替，得到原结构的基本体系。 (2) 根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下，在所去掉各多余约束处的位移与原结构 相应位移相等的条件，建立力法的典型方程。 (3) 依次做出基本结构在各单位未知力和荷载单独作用下的内力图，然后利用积分法(或图乘 法)计算典型方程中的各个系数以及自由项。 (4) 求解典型方程，得出各多余未知力。 (5) 按照分析静定结构的方法，由平衡条件和叠加原理绘制结构的内力图。 6.11 (6) 校核。
6.5
超静定结构的内力计算
力法
(2) 去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束(如图6.7(c)、(d)所示)。 (3) 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件，相当于解除三个约束(如图6.7(e)、(f)所示)。 (4) 将固定支座改为固定铰支座或将梁式杆件中某截面加一单铰(刚结改成铰结)，相当于解 除一个约束(如图6.7(g)、(h)所示)。 注意：(1)不能去掉必要约束，使剩余结构成为几何可变体系；(2)应把多余约束全部去掉，不能 只是去掉其中的一部分。运用该方法确定超静定结构的超静定次数时，应尽量使解除多余约束 后的静定结构为我们所熟悉的简支梁、悬臂梁等形式。
七、超静定结构的特性
超静定结构有不同于静定结构的一些特性： (1) 由于存在多余约束，超静定结构的内力仅由静力平衡条件不能确定，必须同时考虑变形 条件才能求出，因此超静定结构的内力与材料性质和截面尺寸有关，即与杆件的刚度有关。 6.18
哈工大结构力学题库3
第四章 力 法一 判 断 题1. 图示结构，据平衡条件求出B 点约束力，进而得图示弯矩图，即最后弯矩图。
（ ）（X ）题1图 题2图2. 图示结构用力法求解时，可选切断杆件2，4后的体系作为基本结构。
（ ）（X ）3. 图a 结构，支座B 下沉a 。
取图b 中力法基本结构，典型方程中1C a ∆=-。
（ ） （X ）题3图 题4图4. 图a 所示桁架结构可选用图b 所示的体系作为力法基本体系。
（ ）（√）5. 图a 结构，取图为力法基本结构，1C l θ∆=。
（ ） （X ）题5图 题6图6. 图a 结构的力法基本体系如图b ，主系数3311/(3)/()l EI l EA δ=+。
（ ）（X ）7. 图示结构用力法解时，可选切断1，2，3，4杆中任一杆件后的体系作为基本结构.（ ）（X ）题7图 题9图 8. 图示结构受温度变化作用，已知α，h ，选解除支杆B 为力法基本体系(设B X 向上为正)，典型方程中自由项2121()/(4)t a t t l h ∆=--。
（ ）（X ）9. 图a 结构，力法基本体系如图b ，自由项412/(8)P ql EI ∆=-。
（ ）（X ）题10图 题11图10.图示超静定梁在支座转动1A ϕ=时的杆端弯矩26.310AB M KN m =⨯⋅，22( 6.310)EI KN m =⨯⋅。
（ ）（√） 11. 图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线胀系数，典型方程中2121()/(2)t a t t l h ∆=--。
（ ）（X ）题12图 题13图 12. 图a 结构，取力法基本体系如图b 所示，则1/C l ∆=∆（ ）。
（X ）13. 超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
（ ）（√）14. 图示结构的超静定次数为4。
（ ）（X ）题15图 题16图15. 图示结构，选切断水平杆为力法基本体系时，其3112/(3)h EI δ=。
7.4 用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力
(6)作最后弯矩图和剪力图
ql2/12 （ql2/8） A ql2/24 B ql2/12
M图
ql/2
B
A
F Q图
ql/2
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【例7-3】试计算图示刚架，并作内力图。EI=常数 。
解： (1)确定基本未知量数目
8kN
D
C
E 2m
F
n=2
A 2m D X1 X2 F A 2m X1
作出M图以及FQ图、FN :
5 kN 4
6 kN 7 5
4
D 8kN F
C
E 2m
24
kN
24
8kN 2m B 2m 2m 130
6 kN 7 59
A
1 M图( kN m 14
46
)
5 4 27 4
6 7
5 4
6 7
5 4
6 7
FQ图(kN)
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B
MR 1
A1 C 1 A
M C
M 1图
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M图
B
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B
7.4.2 超静定桁架
桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：
FN FN1 X 1 FN2 X 2 FN n X n FNP
B F D a A 2a E C a FP X1 X1 FP
130 / 14 59 / 14 59 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 46 / 14
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解超静定结构是指在静力学计算中具有过多约束的结构体系，其问题在于不能通过传统的静力学方法直接计算出结构体系的内力以及位移的分布情况，需要利用力法或者位移法来求解超静定结构。
力法是指将结构体系的内力分配给各个构件，然后根据各个构件的受力情况和变形情况，逐步推导出结构体系的内力和位移分布情况的一种方法。
其基本思想是通过外部荷载作用下的内力分配，将超静定结构分解成多个静定结构分析，同时通过协调各个分析时的界面条件，进行内力和位移的匹配，最终得到了超静定结构的内力和位移分布情况。
具体实现步骤如下：1. 选定一个自由图，并对该自由图进行划分，将超静定结构分成多个静定结构，其中每个静定结构的节点数均满足有一个自由度。
分割完毕后，确定每个静定结构的支座反力，然后由每个静定结构自己采用传统的静力学原理分析，并得到各自的内力和位移。
2. 对于静定结构之间的相互配合，需要根据结构体系的受力变形情况建立相互之间的协调关系。
最常用的协调方法是确定静定结构之间的界面条件，如节点位移和节点荷载的相等，以及弹簧刚度之和等于零。
3. 在确定了静定结构之间的界面条件后，就可以获得超静定结构的结构内力分布，接下来需要计算出结构的位移分布。
这一步可以通过位移影响系数法进行求解，具体来说，先在静定结构中确定一个位移分量，然后根据约束条件求得其余节点的位移分量，最终获得超静定结构的位移分布。
相比于力法，位移法的思路更加简洁明了，具体步骤如下：1. 建立超静定结构的初始刚度方程，包括构件中的整体刚度和节点位移自由度的边界条件等。
2. 将超静定结构受到的外载按照一定的规律进行分配，使得该结构从受力变形的点出发经过一系列刚度修正后，其总体刚度等于原结构的刚度。
这个修正过程是迭代的，一般采用迭代矩阵求逆的方式进行求解。
3. 当总体刚度修正后，结构的总位移就变为了一个已知量。
根据节点位移自由度的边界条件，可以直接解出各节点的位移分量。
结构力学(专升本)试题(2)
结构力学(专升本)试题（2）1. (单选题) 有关力法求解超静定的结构的问题，下列说法正确的是（）(本题3.0分)A、力法的基本体系可以是瞬变体系B、静定结构可以用力法求解C、超静定结构可以作为力法的基本体系D、结构的超静定次数不一定等于多余约束个数标准答案：C2. (单选题) 超静定结构在荷载作用下的内力和位移计算中，各杆的刚度应取（）(本题3.0分)A、均用绝对值B、均用相对值C、内力计算用绝对值，位移计算用相对值D、内力计算可用相对值，位移计算须用绝对值标准答案：D3. (单选题) 力法方程实质上是（）条件(本题3.0分)A、位移协调B、平衡C、位移D、变形标准答案：A解析：得分： 34. (单选题) 超静定结构在支座移动，温度变化等非荷载因素作用下进行内力和位移计算时，各杆的刚度应取（）(本题3.0分)A、相对B、对内力相对，对位移绝对C、绝对D、对内力绝对，对位移相对学生答案： C标准答案：C解析：得分： 35. (单选题) 在图示结构中，若减小拉杆的刚度EA，则梁内D截面弯矩如何？(本题3.0分)A、不变B、增大C、减小D、大于学生答案： B解析：得分： 36. (单选题) 图示各结构在图示荷载作用下，不计轴向变形影响，产生弯矩的是(本题3.0分)A、B、C、D、学生答案： B标准答案：B解析：得分： 37. (单选题)位移法的适用范围：(本题3.0分)A、不能解静定结构；B、只能解超静定结构；C、只能解平面刚架；D、可解任意结构。
学生答案： D标准答案：D解析：得分： 38. (单选题) 单元刚度矩阵中元素的物理意义是：(本题3.0分)A、当且仅当时引起的与相应的杆端力；B、当且仅当时引起的与相应的杆端力；C、当时引起的与相应的杆端力；D、当时引起的与相应的杆端力。
学生答案： C标准答案：C解析：得分： 39. (单选题) 矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系：（）(本题3.0分)A、杆端力与结点位移；B、杆端力与结点力；C、结点力与结点位移；D、结点位移与杆端力。
江苏开放大学《工程力学》期末复习资料
江苏开放大学《工程力学》期末复习资料一填空题1.平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形（）。
答案：自行闭合2.荷载按作用的范围大小可分为（）和（）。
答案：分布荷载；集中荷载3.在两个力作用下处于平衡的构件称为（），此两力的作用线必过这两力作用点的（）。
答案：二力构件；连线4.系统外物体对系统的作用力是物体系统的（）力，物体系统中各构件间的相互用力是物体系统（）力。
画物体系统受力图时，只画（）力，不画（）力。
（填写“内”或“外”）答案：外；内；外；内1.弯曲变形梁上有均布荷载作用的部分，剪力图为（）线，弯矩图为（）线。
答案：斜直；抛物2.一次截取一个结点为研究对象,来计算杆件内力的方法称（）。
答案：结点法3.在剪切变形中，发生相对错动的截面称为（）。
答案：剪切面4.以弯曲变形为主要变形的杆件称为（）。
答案：梁5.内力概括起来有（）、（）、（）、（）四种。
答案：剪力；扭矩；轴力；弯矩6.梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形，这种平面弯曲称为（）弯曲。
答案：横力7.梁和刚架的主要内力是（），桁架的主要内力是（）。
8.梁上集中力作用处，剪力图有（），弯矩图上在此处出现（）。
答案：突变；尖角9.基本变形包括（）、（）、（）、（）。
答案：轴向拉伸；剪切；弯曲；扭转10.当梁受力弯曲后，某横截面上只有弯矩无剪力，这种弯曲称为（）。
答案：纯弯曲11.弯曲变形梁上集中力偶作用处，剪力图（），弯矩图上在此处出现（）。
答案：不变；突变12.弯曲变形梁上没有均布荷载作用的部分，剪力图为（）线，弯矩图为（）线，答案：平直；斜直1.材料确定容许应力时，对于脆性材料以（）为极限应力，而塑性材料以（）为极限应力。
答案：强度极限；屈服极限2.由于杆件外形的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象称（）。
答案：应力集中3.如果安全系数取得过大，容许应力就（），需用的材料就（）；反之，安全系数取得太小，构件的（）就可能不够。
答案：小；多；强度4.工程当中的悬臂梁，材料为钢筋混凝土(此材料钢筋主要用来抗拉，混凝土用来抗压)，一般情况下钢筋布置在梁的（）侧。
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l a X1 q 3EI l
第三种解法
4l a X 1 2(q ) 0 3EI l
一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数 都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座 位移参数都出现在左边的自由项中。
(5)特例 1）若a = 0，则原体系如图示，相应的M图如图所示。 A 点的 M AB 3EI q ,若引入符号
一、支座移动时的内力计算
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为
j 1
n
ij
X j Δic C i
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ， 右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
l
q
A
EI i l
q
EI l
B
称为杆件的线刚度则
3iq/3
A B 3iq/3
M AB 3iq
3iq
M图
2）若q = 0，并令DAB = a，则原体系如图7-26a所示，相应的 M图如图7-26b所示。A点的 M AB 3EI ΔAB ，若再引入符 l l 号 EI B ΔAB A 弦转角 DAB l 称为杆AB的弦转角，则
j 1
n
ij
X j Δit Δi
式中， Dit表示基本结构在温度变化作用下沿Xi方向 的位移；Di表示原结构沿Xi方向的位移（在温度变 化问题中，一般D i=0）。
例7-10】试作图示刚架在温度改变时所产生的M图。各杆 截面为矩形，高度h=l/10，线膨胀系数为a。设EI=常数 解 :此结构为一次超静定刚架，取基本体系 如图所示。力法方程为
X1=1
Dt Δ1t AM t 0 AFN h
M 1图
A
1
C
D
B
2 1 l l
AB段 BC段 CD段 AB段 BC段 CD段
t0=0℃ t0=2.5℃ t0=10℃ Dt=30℃ Dt=25℃ Dt=10℃
Δ1t
FN 1图
C
2 l
D
10 1 1 30 ( 1 l ) 10 ( 1 l ) l 2 2
q
X1
q
基本体系之三
a
q
q
q
FRA 2
a
4l 11 3EI
D1c
X1=1
力法方程为
4l a X 1 2(q ) 0 3EI l
2
M1 图
X1
1
FRB
由此可得
X1
2 l
3EI a (q ) 2l l
3EI a (q ) l l
M图
以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程： 第一种解法 第二种解法
代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由 项计算公式
ΔiZ FN Dl
可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起 的结构的自内力有很大的影响。
11 X 1 Δ1t 0
A +15℃ -15℃ B A l +15℃ -15℃ B
-10℃ +15℃
+15℃ +5℃ l
-10℃ +15℃
X1 +15℃ +5℃
C l
D
C X1
D
基本体系
分别作 M 1图和 FN 1图，如图7-27c、d所示。
A B
1
11
2 EI
2 1 l 2 l 1 ( 1 l ) ( 1) ( 1 ) ( 1) 2 3 2 2 3 EI
1 2 2.5 ( l ) 10 ( l ) l l 100 22 .5 77 .5
代入典型方程，可得
X1 Δ1t
A
77.5EI/l B
77.5EI/l 77.5EI/l
11
77 .5 EI l
(
)
C
D
杆件的制作误差、材料的收缩和徐变所引起超静定结构 自内力的计算，其基本原理与上述温度变化时相同。
在计算自由项时，须注意将基本结构中因轴线平 均温度变化t0而引起的杆长变化量a t0l，代之以杆件制 作长度的误差或材料的收缩量Dl，亦即将温度变化时 的自由项计算公式
Δit t 0 AFN FNt 0 l
77.5EI/l
最后弯矩图 M M 1 X 1 ，如图所示。
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。
1 X1
M 1图
FRB
1 l
与第一种解法所作M图完全相同。
3EI a (q ) l l
M图
(3)第三种解法
将梁AB中点截面C改为铰结，取该截面上的 弯矩作为多余未知力X1，其力法典型方程为 11 X 1 Δ1c 0
其中
2 a Δ1c FR c (2 q ) ( a) 2(q )（m） l l
M图
FRA 1
l
M1 图
X1=1பைடு நூலகம்
(2)第二种解法
X1
取支座A的反力偶作为多余未知力X1， 其力法方程为
q
基本体系之二
a
11 X 1 Δ1c q
其中
1 a Δ1c FR c ( a) l l l 11
3EI
X1=1
D1c
a
力法方程
l a X1 q 3EI l 3EI a X1 (q ) l l
1 l M 12 dx EI 3EI
3
FRA 1
l
M1 图
X1=1
q
得 由此求得
l X 1 q l a 3EI
3
A
q
l/2 l
C
B
a
l/2
X1
3EI a (q ) l l2
q
弯矩叠加公式为：
q
X1
a
M M1 X1
基本体系之一
q
q
X1
D1c
3EI a (q ) l l
第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 当取有移动的支座约束力为基本未知力时，Di≠0，而是 Di=Ci 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最 后弯矩叠加公式为
M M i xi
7.5
用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称 为自内力。
用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项不同。 这里的自由项，不再是荷载引起的DiP，而是由支座移 动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上 的位移Dic或Dit等。
此梁为一次超静定，以下分别采用 三种基本体系求解 。
q
A C B
q
l/2 l
a
l/2
(1)第一种解法 :
取支座B的竖向反力为多余未知力X1，其 力法方程为
q
q
11 X 1 Δ1c a
q
X1
a
基本体系之一
其中
q
D1c
Δ1c FR c (l q ) q l
11
M AB ΔAB 3i 3i l
l
(6)上述计算结果表明：在支 座位移时，超静定结构将产生 内力和反力，其内力和反力与 各杆件刚度的绝对值成正比。
3iD AB 3i l
B
A
3iD AB l2
M图
3iD AB l2
二、温度变化时的内力计算
在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第i个 方程的一般形式为