高中数学归纳法上课用

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高中数学数学归纳法的使用技巧

在高中数学中，数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明一些关于自然数的命题。它的基本思想是通过证明命题在某个特定条件下成立，并且在该条件下，命题在下一个自然数也成立，从而推导出该命题对于所有自然数都成立。数学归纳法的使用技巧对于高中数学学习者来说至关重要，本文将从基本原理、典型例题以及解题技巧三个方面进行论述。

一、基本原理

数学归纳法的基本原理可以概括为以下两点：

1. 基础步骤：证明当n等于某个特定值时，命题成立。

2. 归纳步骤：假设当n等于k时，命题成立，然后证明当n等于k+1时，命题也成立。

基于这两个原理，我们可以使用数学归纳法证明一些关于自然数的命题。接下来，我们通过几个典型例题来说明数学归纳法的具体应用。

二、典型例题

例题1：证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。

解析：首先，在n=1时，等式左边为1，右边也为1，等式成立。接下来，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。根据归纳步骤，我们可以得到：

1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)

= (k^2 + k + 2k + 2) / 2

= (k^2 + 3k + 2) / 2

= (k+1)(k+2) / 2

由此可见，当n=k+1时，等式也成立。因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。

例题2：证明2^n > n^2，其中n为正整数且n≥4。

数学归纳法在高中数学中的具体应用

数学归纳法是一种常用的证明方法，在高中数学中具有广泛的应用。它是一种

通过已知的条件来证明一般情况的方法，通过对一系列情况进行递推，从而得出结论。在高中数学中，数学归纳法常常用于证明数列的性质、等式的成立以及不等式的推导等各个方面。

首先，数学归纳法在数列中的应用非常常见。数列是高中数学中重要的概念之一，它是一系列有规律的数按照一定次序排列而成的集合。通过数学归纳法，我们可以证明数列的一些性质。例如，对于一个递推数列，可以通过数学归纳法证明递推关系的成立，从而得到数列的通项公式。另外，数学归纳法还可以用于证明数列的性质，如数列的单调性、数列的极限等。

其次，数学归纳法在等式的证明中也有着重要的应用。在高中数学中，等式的

成立是一个常见的问题，有时候我们需要证明某个等式对于所有的自然数都成立。这时候，数学归纳法就是一个非常有效的证明方法。通过数学归纳法，我们可以首先证明等式对于某个特定的自然数成立，然后再假设等式对于某个自然数n成立，利用这个假设，推导出等式对于n+1也成立，从而证明等式对于所有自然数成立。

最后，数学归纳法还可以应用在不等式的证明中。不等式在高中数学中也是一

种常见的题型，有时候需要证明某个不等式对于所有的自然数都成立。这时候，数学归纳法可以帮助我们完成证明。通过数学归纳法，我们可以首先证明不等式对于某个特定的自然数成立，然后再假设不等式对于某个自然数n成立，利用这个假设，推导出不等式对于n+1也成立，从而证明不等式对于所有自然数成立。

需要注意的是，数学归纳法的正确使用需要满足两个条件，即基本情况的证明

高中数学中的数学归纳法应用全面总结与演绎

高中数学中的数学归纳法应用全面总结与演

绎

数学归纳法（Mathematical Induction）是一种常用于数学证明的方法，在高中数学中也得到广泛应用。它是通过证明一个基本情况成立，并证明如果某个情况成立，则下一个情况也必然成立，从而得出整个

数列或命题的正确性。本文将对高中数学中常见的数学归纳法应用进

行全面总结与演绎。

一、数列的数学归纳法

数列是高中数学中常见的一个概念，在数学归纳法中也得到了广

泛的应用。通过数学归纳法可以证明数列的某种性质对任意项都成立。

以斐波那契数列为例，其定义为：F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n-1)

+ F(n-2)，其中n≥3。

首先，我们证明F(1)成立，即n=1时，F(1) = 1，显然此时该数列满足斐波那契数列的定义。

其次，我们假设F(k)成立，则F(k+1)也成立，即，在假设F(k)成

立的情况下证明F(k+1)成立。

F(k+1) = F(k) + F(k-1)

根据假设，F(k) = F(k-1) + F(k-2)

将上式代入F(k+1)的表达式中，得到

F(k+1) = (F(k-1) + F(k-2)) + F(k-1) = 2F(k-1) + F(k-2)

由于假设F(k)成立，所以F(k-1)也成立，故2F(k-1)也成立。而根

据斐波那契数列的定义，F(k-2)也成立，故F(k+1)也成立。

综上所述，通过数学归纳法我们证明了斐波那契数列的定义在任

意项上都成立。

二、命题的数学归纳法

数学归纳法不仅可以用于证明数列的性质，还可以用于证明一般

高中数学中的数学归纳法详细解释与应用

高中数学中的数学归纳法详细解释与应用数学归纳法是高中数学中一个重要的证明方法，它可以用来证明关于整数的命题的真实性。数学归纳法包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。本文将详细解释数学归纳法的原理和应用。

一、数学归纳法的原理

数学归纳法是一种直观且有效的证明方法。它的主要思想是从一个已知命题在整数集中的某个整数成立开始，证明该命题在整数集中的所有满足一定性质的整数上成立。

1. 基础步骤：

首先，我们需要证明命题在某个整数上是成立的。通常，这个整数是最小的可能值，例如0或者1。

2. 归纳假设：

接下来，我们假设命题在一个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。

3. 归纳步骤：

通过归纳假设，我们将证明命题在下一个整数k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。这一步通常需要运用数学方法，如代数运算、推导或其他定理的应用等。

通过以上三个步骤，我们可以得出结论：命题P(n)对于所有大于等于基础步骤中所选择的整数n成立。

二、数学归纳法的应用

数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，下面举例说明其中几个重要的应用领域。

1. 数列与数和：

数学归纳法可以用来证明数列的性质。例如，我们可以通过数学归纳法证明等差数列的通项公式。首先，证明当n=1时命题成立；然后假设当n=k时命题成立，即得到通项公式的正确性；最后，通过归纳步骤证明当n=k+1时命题也成立，从而得到通项公式的普遍性。

2. 数学恒等式的证明：

数学归纳法可以用来证明数学恒等式的正确性。例如，我们可以通过数学归纳法来证明n个自然数的和公式：1+2+3+...+n = n(n+1)/2。首先，证明当n=1时恒等式成立；然后假设当n=k时恒等式成立；最后通过归纳步骤证明当n=k+1时恒等式也成立，从而证明了恒等式的普遍性。

【新教材】高中数学课件之数学归纳法

一、教学内容

本节课选自新教材高中数学必修三，主要涉及第十二章第一节

“数学归纳法”。详细内容包括数学归纳法的定义、应用步骤、以及

数学归纳法在数列和不等式证明中的应用。

二、教学目标

1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的应用步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明数列的通项公式和不等式。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点

教学难点：数学归纳法证明过程中逻辑关系的理解，特别是递推

关系的建立。

教学重点：数学归纳法的定义、应用步骤，以及其在数列和不等

式证明中的应用。

四、教具与学具准备

1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

2. 学具：教材、练习本、笔。

五、教学过程

2. 新课导入：讲解数学归纳法的定义，阐述其基本思想。

3. 例题讲解：以数列通项公式的证明为例，详细讲解数学归纳法

的应用步骤，强调递推关系的建立。

4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一个简单的不等式。

5. 知识拓展：介绍数学归纳法在数学竞赛中的应用。

六、板书设计

1. 数学归纳法

2. 定义：数学归纳法的概念及递推关系。

3. 步骤：数学归纳法的应用步骤。

4. 例题：数列通项公式证明。

5. 练习：简单不等式证明。

七、作业设计

1. 作业题目：

（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2。

（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。

2. 答案：

八、课后反思及拓展延伸

1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握情况，教学中存在的问题，以及改进措施。

23数学归纳法课件

23 数学归纳法课件

一、教学内容

本节课将深入探讨数学归纳法，该部分内容位于高中数学教材第三章第二节。详细内容包括数学归纳法的定义、原理以及应用；重点讲解如何使用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

二、教学目标

1. 理解数学归纳法的概念、原理及应用范围。

2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

3. 能够分析并解决实际问题，运用数学归纳法进行逻辑推理。

三、教学难点与重点

难点：理解数学归纳法的原理，并能灵活运用。

重点：掌握数学归纳法的证明步骤，能够熟练运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

四、教具与学具准备

1. 教师准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学生准备：笔记本、教材、练习本。

五、教学过程

1. 实践情景引入（5分钟）

展示一个与自然数有关的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。

2. 例题讲解（15分钟）

讲解数学归纳法的定义、原理以及应用。通过讲解例题，让学生了解数学归纳法的证明步骤。

3. 随堂练习（10分钟）

让学生独立完成一道与自然数有关的数学命题证明，巩固所学知识。

5. 答疑环节（5分钟）

针对学生在练习中遇到的问题进行解答，巩固知识点。

6. 课堂小结（5分钟）

对本节课所学内容进行回顾，强调数学归纳法的重要性。

七、作业设计

1. 作业题目：

（1）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。

（2）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2。

高中数学人教A版选修课件：4.1 数学归纳法

【例2】已知{an}是由非负整数组成的数列,满足
a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,….
(1)求a3;
(2)证明:an=an-2+2,n=3,4,5,….
分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题关键是第二步,
要注意当n=k+1时,等式两边的式子与当n=k时等式两边的式子的
若 a3=1,则 a4=10,a5 = , 与题设矛盾;
若
若
所以 a3=2.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)证明:用数学归纳法证明:
当n=3时,a3=a1+2,等式成立.
假设当n=k(k≥3)时,等式成立,
即ak=ak-2+2.
因为ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2),ak=ak-2+2≠0,
即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数
因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技
巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一
题型二
题型三
题型四

高中数学数学归纳法的应用

数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，广泛应用于数论、集合论、代数学等领域。它的核心思想是通过证明某个命题在第一个情形

成立，并且在一个情形成立的前提下，能够推导出它在下一个情形也

成立，从而推导出该命题在一切情形下成立的结论。本文将以具体例

子来展示高中数学归纳法的应用。

一、数列的通项公式

数列是数学中一个重要的概念，其中的每一项按照一定的规律排列。数学归纳法在数列的问题中起到了重要的作用。例如，我们来考虑一

个简单的等差数列：1，4，7，10，...

首先，我们要证明当n = 1时，命题成立。显然，当n = 1时，数列

的第一项是1，满足等差数列的规律。

接下来，我们假设当n = k时，即数列的第k项满足等差数列的规律。我们要证明当n = k + 1时，数列的第k + 1项也满足等差数列的规律。

根据等差数列的规律，第k项可以表示为a₁ + (k - 1)d，其中a₁为

等差数列的首项，d为等差数列的公差。而第k + 1项可以表示为a₁ + kd。

根据归纳假设，我们知道当n = k时，第k项满足等差数列的规律，即为a₁ + (k - 1)d。那么，我们可以把第k + 1项表示为a₁ + (k - 1)d + d，即a₁ + kd，符合等差数列的规律。

因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于等差数列1，4，7，10，...，其第n项可以表示为1 + 3(n - 1)，其中n为正整数。

二、不等式的证明

数学归纳法不仅可以用于数列的问题，还可以用于不等式的证明。

下面我们以一个简单的例子说明数学归纳法在不等式中的应用。

高中数学归纳法教案

教学目标：

1. 了解数学归纳法的基本概念和原理

2. 掌握如何运用数学归纳法证明数学命题

3. 培养学生的逻辑推理能力和解决问题的方法

教学重点和难点：

重点：数学归纳法的基本原理和具体应用

难点：如何正确运用数学归纳法证明数学命题

教学准备：

1. PowerPoint课件

2. 归纳法证明的例题

3. 板书和彩色粉笔

教学过程：

一、导入环节（5分钟）

教师介绍数学归纳法的概念及其在数学证明中的重要性，并引出今天的学习内容。

二、理论讲解（15分钟）

1. 教师讲解数学归纳法的基本原理和步骤，如归纳基石、归纳假设和归纳步骤等。

2. 通过具体的数学问题，说明数学归纳法的运用方法和逻辑推理过程。

三、实例分析（20分钟）

1. 老师通过归纳法证明一些数列或等式的性质，让学生从实例中了解归纳法的具体应用。

2. 学生逐步跟随老师的引导，尝试自己用归纳法解决一些简单的数学问题。

四、练习演绎（15分钟）

1. 学生在小组或个人完成若干道数学归纳法证明的练习题目，加深对归纳法的理解和运用能力。

2. 学生互相交流、讨论和解答疑惑，提高学生的解决问题和合作能力。

五、课堂总结（5分钟）

1. 教师对今天的学习内容进行总结，并强调数学归纳法的重要性和实用性。

2. 学生对自己在课堂上的学习和掌握情况进行自我评价。

六、课后作业（5分钟）

布置适量的作业，让学生复习梳理今天所学的知识，并提醒学生勤加练习和思考。

教学反思：

通过本次教学，学生对数学归纳法的原理和应用有了更深刻的理解，增强了解决数学问题的信心和能力。在未来的课堂教学中，教师可以增加更多的实例和练习，让学生进一步熟练掌握数学归纳法的运用方法和技巧。

高中数学中的数学归纳法

数学归纳法是一种重要的证明方法，在高中数学中也是一个重要的概念。它是

一种通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立的方法，常用于证明自然数性质。本文将介绍数学归纳法的基本原理、应用以及一些相关的数学问题。

一、数学归纳法的基本原理

数学归纳法的基本原理是：如果能够证明以下两个条件成立，那么对于任意自

然数n，命题P(n)都成立。

1. 基础情况：证明P(1)成立。

2. 推理过程：假设P(k)成立，证明P(k+1)也成立。

数学归纳法的基本思想是通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立，从而

得出结论。它的证明过程类似于搭积木，每一块积木都依赖于前一块的存在，最终搭建出一个完整的结构。

二、数学归纳法的应用

数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，特别是在数列和不等式的证明中常常

用到。

1. 数列的证明：数学归纳法可以用来证明数列的递推公式成立。首先证明基础

情况，即证明当n=1时递推公式成立；然后假设当n=k时递推公式成立，即P(k)

成立；接着证明当n=k+1时递推公式也成立，即证明P(k+1)成立。通过这样的证

明过程，可以得出结论：递推公式对于任意自然数n都成立。

2. 不等式的证明：数学归纳法也可以用来证明不等式的成立。首先证明基础情况，即证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立，即P(k)成立；

接着证明当n=k+1时不等式也成立，即证明P(k+1)成立。通过这样的证明过程，

可以得出结论：不等式对于任意自然数n都成立。

三、数学归纳法的相关问题

除了基本原理和应用，数学归纳法还与一些相关的数学问题密切相关。

数学归纳法公开课课件

一、教学内容

本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过典型例题引导学生掌握数学归纳法的证明方法。

二、教学目标

1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和应用方法。

2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

三、教学难点与重点

教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳假设的运用。

教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤和证明方法。

四、教具与学具准备

1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：学生用书、练习本、文具。

五、教学过程

1. 实践情景引入

通过一个实际问题，如“如何计算1+2+3++100的结果”，引导学生思考，激发学生兴趣。

2. 知识讲解

（1）讲解数学归纳法的定义和基本步骤。

（2）通过例题讲解，展示数学归纳法的证明过程。

3. 例题讲解

选取一道典型例题，如“证明：对于任意正整数n，都有1+2+3++n=n(n+1)/2”。

（1）验证基础情况。

（2）归纳假设。

（3）归纳步骤。

4. 随堂练习

让学生独立完成一道类似例题的题目，巩固所学知识。

5. 课堂小结

六、板书设计

1. 板书数学归纳法

2. 板书内容：

（1）数学归纳法的定义

（2）数学归纳法的基本步骤

（3）例题及证明过程

七、作业设计

1. 作业题目：

（1）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有

1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。

（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有

1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)。

数学归纳法在高中数学中的应用

数学归纳法在高中数学中的应用非常广泛，可以用来解决各类问题。

1、推理问题：使用数学归纳法可以快速地推理出数学问题的解决方案。例如：设f(n)表示一个函数，若f(1)=2，f(2)=6，f(3)=3；则可使用数学

归纳法推出f(n)=2n+1，注意n≥1。

2、极限问题：对于极限问题，利用数学归纳法可以更快捷地得到结果。例如：当n→+∞时，求函数f(n)的极限：f(n)=n^2+2n，可使用数学归

纳法推出极限为+∞

3、方程组求解问题：数学归纳法可以用来解决方程组的求解问题。例如：有n个方程，每个方程有m个未知数，可以利用数学归纳法快速

地求出这n个方程的解。

4、数列问题：可以利用数学归纳法求解等差、等比等数列的通项公式、和、最大项和最小项等属性。

很多高中数学问题都可以应用数学归纳法解答，并且数学归纳法是高

效的，易于理解，使用方便，广泛应用于学习和科学研究。

数学归纳法高中教案

课题：数学归纳法

教学目标：

1. 了解数学归纳法的定义和基本原理；

2. 掌握数学归纳法的三条基本步骤；

3. 能够运用数学归纳法证明一般性的数学问题。

教学重点和难点：

重点：数学归纳法的定义和基本原理

难点：能够熟练掌握数学归纳法的三条基本步骤

教学准备：

1. 教材：高中数学教材

2. 教具：黑板、粉笔

教学过程：

一、导入（5分钟）

教师通过一道生活中的例子引入数学归纳法的概念，让学生了解数学归纳法的重要性和应用场景。

二、讲解（15分钟）

1. 讲解数学归纳法的定义和基本原理；

2. 介绍数学归纳法的三条基本步骤：基础情况、归纳假设、归纳步骤。

三、例题演练（20分钟）

1. 教师通过一些简单的例题，让学生掌握数学归纳法的具体运用方法；

2. 学生跟随教师一起完成例题，并讨论解题思路和方法。

四、课堂练习（15分钟）

教师在课堂上布置几道练习题，让学生独立完成，并相互交流讨论解题过程。

五、总结（5分钟）

教师对本节课所学内容进行总结，强调数学归纳法在解决数学问题中的重要性和灵活运用。教学反思：

通过本节课的教学，学生对数学归纳法有了初步的了解和掌握，但也发现在运用数学归纳

法解决问题时，需要更加深入地理解问题的本质，加强逻辑推理能力。在以后的教学中，

需要多让学生进行实践操作，提高对数学归纳法的应用能力。

高中数学中的数学归纳法应用案例全面总结与演绎

高中数学中的数学归纳法应用案例全面总结

与演绎

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在解决数学问题时起到了至关重要的作用。在高中数学教学中，数学归纳法是必不可少的

一部分。本文将全面总结高中数学中的数学归纳法应用案例，并进行

演绎和讨论。

1. 自然数的性质证明

数学归纳法常用于证明自然数的一些通用性质。以证明某个性质对所有自然数成立为例，首先需要证明该性质对最小的自然数成立，即

证明基本步骤；然后假设该性质对某个自然数 n 成立，即归纳假设；

最后证明该性质对自然数 n+1 也成立，即归纳递推。下面给出一个具

体案例。

案例1：证明 1+2+...+n = n(n+1)/2 成立，其中 n 为正整数。

解答：基本步骤，当 n=1 时，等式左边为 1，右边为 1(1+1)/2=1，

两边相等。假设等式对 n=k 成立，即 1+2+...+k = k(k+1)/2 成立，现证

明对 n=k+1 也成立。

左边：1 + 2 + ... + k + (k+1) = [(1+2+...+k) + (k+1)] = [k(k+1)/2 +

(k+1)] = (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2

右边：(k+1)(k+2)/2，经展开可得 k(k+1)/2 + (k+1) = k(k+1)/2 + 1(k+1) = (k+1)(k/2 + 1)，与左边相等。

由基本步骤和归纳递推的证明，可以得出对于所有正整数 n，

1+2+...+n = n(n+1)/2 成立。

2. 不等式的证明

除了证明数列等式，数学归纳法也常用于证明一些不等式。同样地，需要证明基本步骤成立，即不等式对于最小的自然数成立；然后假设

数学归纳法完整版课件

一、教学内容

本节课将深入探讨数学归纳法，这是高中数学的一个重要部分。教学内容基于教材第四章第四节“数学归纳法”，详细内容包括：

1. 数学归纳法的定义与基本思想；

2. 数学归纳法证明步骤；

3. 数学归纳法在实际问题中的应用。

二、教学目标

1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤；

2. 能够运用数学归纳法证明等式和不等式；

3. 培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点

重点：数学归纳法的定义、证明步骤及在实际问题中的应用。

难点：如何引导学生从具体问题中发现规律，并运用数学归纳法进行证明。

四、教具与学具准备

1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程

1. 实践情景引入（5分钟）

利用PPT展示一个与数学归纳法相关的生活实例，引发学生思考，激发学习兴趣。

例：有一堆砖，第1块砖摞1厘米，以后每增加1块砖，摞的

高度增加2厘米。求第n块砖摞的高度。

2. 知识讲解（10分钟）

详细讲解数学归纳法的定义、证明步骤，通过例题解释如何运

用数学归纳法。

例题：证明1+2+3++n = n(n+1)/2。

3. 随堂练习（10分钟）

让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

练习题：证明2+4+6++2n = n(n+1)。

4. 互动讨论（5分钟）

邀请几名学生分享解题思路，共同讨论解决方法。

六、板书设计

1. 板书左侧：数学归纳法的定义与证明步骤；

2. 板书右侧：例题及解题过程。

七、作业设计

1. 作业题目：证明1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^2。

高中数学讲义：数学归纳法

数学归纳法

一、基础知识：

1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明

2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立

（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：

（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始

（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性

（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系

4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立

（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立