高中数学归纳法上课用
数学归纳法教案完整版课件
数学归纳法教案完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学》（必修三）第二章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用，以及数学归纳法在实际问题中的运用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。
教学重点：数学归纳法的概念、原理和基本步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：课本、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题。
问题：如何证明1+2+3++n = n(n+1)/2？2. 数学归纳法概念与原理（1）概念：数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法。
（2）原理：数学归纳法包含两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3. 数学归纳法例题讲解以证明1+2+3++n = n(n+1)/2为例，详细讲解数学归纳法的证明过程。
4. 随堂练习（1）1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 = (1+2++n)^2（2）对于任意自然数n，n(n+1)(n+2)能被6整除。
5. 数学归纳法在实际问题中的应用介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如求解递推公式、求解数列的通项公式等。
六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。
2. 数学归纳法证明1+2+3++n = n(n+1)/2的过程。
3. 随堂练习的命题及证明过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 =(1+2++n)^2。
（2）运用数学归纳法证明对于任意自然数n，n(n+1)(n+2)能被6整除。
2. 答案：（1）证明过程同课堂讲解。
（2）证明过程同课堂讲解。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念、原理和基本步骤掌握情况，以及对实际问题的应用能力。
高中数学中的数学归纳法应用全面总结与演绎
高中数学中的数学归纳法应用全面总结与演绎数学归纳法（Mathematical Induction）是一种常用于数学证明的方法，在高中数学中也得到广泛应用。
它是通过证明一个基本情况成立，并证明如果某个情况成立，则下一个情况也必然成立，从而得出整个数列或命题的正确性。
本文将对高中数学中常见的数学归纳法应用进行全面总结与演绎。
一、数列的数学归纳法数列是高中数学中常见的一个概念，在数学归纳法中也得到了广泛的应用。
通过数学归纳法可以证明数列的某种性质对任意项都成立。
以斐波那契数列为例，其定义为：F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n-1)+ F(n-2)，其中n≥3。
首先，我们证明F(1)成立，即n=1时，F(1) = 1，显然此时该数列满足斐波那契数列的定义。
其次，我们假设F(k)成立，则F(k+1)也成立，即，在假设F(k)成立的情况下证明F(k+1)成立。
F(k+1) = F(k) + F(k-1)根据假设，F(k) = F(k-1) + F(k-2)将上式代入F(k+1)的表达式中，得到F(k+1) = (F(k-1) + F(k-2)) + F(k-1) = 2F(k-1) + F(k-2)由于假设F(k)成立，所以F(k-1)也成立，故2F(k-1)也成立。
而根据斐波那契数列的定义，F(k-2)也成立，故F(k+1)也成立。
综上所述，通过数学归纳法我们证明了斐波那契数列的定义在任意项上都成立。
二、命题的数学归纳法数学归纳法不仅可以用于证明数列的性质，还可以用于证明一般的命题。
以命题“对于任意的正整数n，在n²+3n为偶数时，n为偶数”为例，我们使用数学归纳法进行证明。
首先，我们证明当n=1时，该命题成立。
因为当n=1时，n²+3n=4，是偶数，而1也是偶数。
其次，假设当n=k时，该命题成立。
即假设n²+3n为偶数时，n为偶数。
我们需要证明当n=k+1时，该命题也成立。
4.4 数学归纳法-【上课小助手】2020-2021学年高二数学(人教A版选择性必修第二册)
述问题2猜想的结论吗？
猜想数列的通项公式为
证明: (1)当 n = 1时,
1
a1
=
1
=
, 1
1 an n .
猜想成立.
(2) 假设当n k时, 猜想成立,
即ak
1. k
1
那么,当 n = k +1时,
ak+1 =
ak 1+ ak
=
k 1
=
1+
k
1 k +1
即当n k 1时,猜想也成立.
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈N * 都成立.
那么,当n=k+1时 左边=12+22+…+k2+(k+1)2=
即当 n=k+1时命题也成立. 由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立.
【变式练习】
用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•…•(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式 为 [(k+1)+1]•[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)] ， 共有 k+1 项，从k到k+1左边需要增乘的代 数式为____2_（__2_k__+_1_)___.
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题 成立. 2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数n都成立.
高中数学归纳法教案6
高中数学归纳法教案6
教学内容：归纳法的基本概念和方法
教学目标：
1. 了解归纳法的基本原理和应用；
2. 能够运用归纳法解决数学问题；
3. 提高学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：归纳法的基本原理和应用
教学难点：运用归纳法解决数学问题
教材准备：教科书《高中数学》
教学过程：
一、导入（5分钟）
请学生回顾上一堂课学过的数学归纳法的概念和基本原理，引入本节课的主题。
二、讲解（15分钟）
1. 回顾数学归纳法的基本原理和步骤；
2. 详细讲解如何运用归纳法解决数学问题；
3. 举例说明归纳法在数学证明中的应用。
三、练习（20分钟）
1. 让学生分组进行练习，尝试运用归纳法解决一些简单的数学问题；
2. 老师巡视指导，帮助学生解决问题。
四、讲评（10分钟）
1. 汇总学生练习的结果，指出解题的正确和错误之处；
2. 总结归纳法的应用方法，强化学生的理解。
五、拓展（10分钟）
1. 让学生自行思考并分享一些数学问题，让其他同学用归纳法解决；
2. 老师进行点评和指导，拓展学生的思维。
六、作业布置（5分钟）
布置一些相关的练习题，要求学生独立完成并归纳总结。
七、课堂总结（5分钟）
回顾本节课的重点内容，强化学生对归纳法的理解和运用。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够了解归纳法的基本原理和方法，能够灵活运用归纳法解决数学问题。
在教学过程中，要注重引导学生主动思考，激发他们的兴趣和积极性，同时及时进行点评和指导，帮助他们建立正确的数学思维方式。
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧数学归纳法是高中数学中常见的一种解题方法，它通常用于证明数学结论或者计算数列等。
但是，并不是所有的数学归纳法都适用于所有的数学问题，在实际解题中，我们需要根据具体问题具体分析，选择合适的数学归纳法作为解题方法。
本文将详细介绍在高中数学中，如何应用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明方法，它基于如下原理：如果能够证明一个命题对于某一个正整数成立，同时能够证明它对于任何一个大于该正整数的正整数也成立，那么可以证明这个命题对所有正整数都成立。
数学归纳法的证明分为两步：第一步是证明当$n=1$时命题成立；第二步是假设$n=k$时命题成立，证明$n=k+1$时命题也成立。
这样证明完了这两步之后，便可以得出结论：这个命题对于所有正整数都成立。
二、数学归纳法的应用技巧1. 注意命题的表述方式在应用数学归纳法解题时，需要注意命题的表述方式。
一般来说，命题的表述应该是对于所有正整数$n$，某一个性质成立，而不是只对于某一个正整数成立。
比如说，我们要证明所有的正整数的平方都大于该正整数本身，那么命题的表述应该是对于所有正整数$n$，$n^2>n$ 成立，而不是只对于某一个正整数成立。
2. 确定归纳假设在利用数学归纳法证明某一结论时，需要先确定归纳假设。
归纳假设是指我们假设当$n=k$时命题成立，然后尝试证明当$n=k+1$时命题也成立。
归纳假设的选择很关键，一般来说，需要根据命题的特点和数学归纳法的思想，选择合适的归纳假设。
3. 找到证明方法在确定归纳假设之后，需要找到一个证明方法，证明当$n=k+1$时命题也成立。
这个证明方法可以直接由归纳假设推导得到，或者是通过某些算术变形、代数运算等得到。
需要注意的是，证明方法必须是正确的，不能有逻辑漏洞或者不严谨的地方。
三、数学归纳法的实例下面通过两个实例来说明如何应用数学归纳法解题。
实例1：证明$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$解：首先进行基本步骤的证明，当$n=1$时，显然，$1=1^2$，公式成立。
2024年【新教材】高中数学精彩课件之数学归纳法
2024年【新教材】高中数学精彩课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自2024年新教材高中数学课程，涉及第十二章“数列”的第五节“数学归纳法”。
详细内容包括数学归纳法的原理、应用条件、证明步骤，以及数学归纳法在数列问题中的具体运用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明与数列有关的问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤及运用。
教学重点：数学归纳法的原理和证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个与数列有关的实际问题，引导学生观察规律，激发学生的学习兴趣。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的原理和基本步骤。
（2）通过一道典型例题，演示数学归纳法的应用。
3. 随堂练习（1）让学生独立完成一道数学归纳法证明题。
4. 知识拓展介绍数学归纳法在其他数学分支中的应用，如组合数学、概率论等。
六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 板书内容：（1）数学归纳法原理（2）数学归纳法证明步骤（3）例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
（2）已知数列{an}，其中a1=1，an=2an1+1（n≥2）。
证明：对于任意正整数n，都有an=2^n1。
2. 答案：（1）证明过程略。
（2）证明过程略。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生探索数学归纳法在生活中的应用，如级数求和、递推关系等。
同时，鼓励学生参加数学竞赛，提高自己的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的实践情景引入3. 例题讲解的深度和广度4. 随堂练习的设计与点评5. 作业设计的难度和答案的详尽性6. 课后反思与拓展延伸的实际应用一、教学难点与重点的确定教学难点与重点的确定是教学设计的基础。
数学归纳法一二用法
数学归纳法一二用法数学这门学科啊，有时候就像个神秘的魔法世界，充满了各种奇妙的方法和技巧。
今天咱们就来聊聊数学归纳法，这个在数学里特别实用的小魔法。
先来说说什么是数学归纳法。
想象一下，你面前有一排多米诺骨牌，只要你推倒第一张牌，然后保证每一张牌倒下时都能碰到下一张牌，那么所有的牌都会依次倒下。
数学归纳法就和这差不多。
比如说，咱们要证明一个关于自然数 n 的命题 P(n) 成立。
第一步，先证明当 n 取第一个值，比如 1 时，命题 P(1) 成立，这就好比推倒了第一张多米诺骨牌。
第二步，假设当 n ＝ k（k≥1 且 k 为自然数）时命题成立，然后证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立，这就相当于保证每张牌倒下都能碰到下一张牌。
数学归纳法有两种常见的用法，咱们一个一个来看。
第一种用法，就拿等差数列的通项公式来说吧。
大家都知道等差数列通项公式是 an ＝ a1 ＋（n 1)d 。
咱们先证明当 n ＝ 1 时，a1 ＝ a1＋（1 1)d ＝ a1 ，显然成立。
接下来假设当 n ＝ k 时，ak ＝ a1 ＋（k 1)d 成立。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，ak+1 ＝ ak ＋ d ＝ a1 ＋（k 1)d ＋ d＝ a1 ＋（k ＋ 1) 1d ，这不就证明了当 n ＝ k ＋ 1 时也成立嘛。
我记得我之前教过一个学生小明，他一开始怎么都搞不懂数学归纳法。
有一次上课，我又讲到这个知识点，他还是一脸迷茫。
我就问他：“小明啊，你想象一下你爬楼梯，第一步你能跨上去，然后每一步你都能稳稳地跨到上一步的上面，那是不是最终你就能爬到顶楼啦？”他眨眨眼，好像有点明白了。
后来做练习题的时候，他试着用数学归纳法去证明一些简单的式子，虽然一开始还是会出错，但慢慢地，他掌握了这个方法，成绩也有了提高。
再来说说第二种用法。
比如证明 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n ＝ n(n ＋ 1) ／ 2 。
当 n ＝ 1 时，左边是 1，右边是 1×（1 ＋ 1) ／ 2 ＝ 1 ，等式成立。
高中数学 数学归纳法 (非常适用哦)
数学归纳法教学目标：1.掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.2.对数学归纳法的认识不断深化.3.掌握数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.教学重点：本（一） 主要知识及主要方法： 1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般. 2.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法3.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法4.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值0n 时命题成立；然后假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当1n k =+命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法. 5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当1n k =+时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数01n +，02n +，…，命题都成立. 6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：()1证明：当n 取第一个值0n 结论正确；()2假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确由()1，()2可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.7.()1用数学归纳法证题时，两步缺一不可；()2证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.（二）典例分析：问题1．求证：49161n n +-能被64整除.问题2．()1求证：11111223422n n --+++⋅⋅⋅+>()2设n N ∈，且1n >，用数学归纳法证明：111211113522n ⎛⎫⎛⎫⎛+⋅+⋅⋅⋅>⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3用数学归纳法证明：222111123n ++⋅⋅⋅+<（其中n ≥2，且*n N ∈）.问题3．已知()1x ϕ，()()xx x f x a b a b =+--，其中a 、b R +∈，1a ≠，1b ≠，a b ≠，且4ab =.()1求()x ϕ的反函数()g x ；()2对任意*n N ∈，试指出()f n 与(2)n g 的大小关系，并证明你的结论.问题4．（05浙江）设点(),0n n A x ，1(,2)n n nP x -和抛物线n C ：2n n y x a x b =++（*n N ∈），其中n a ＝11242n n ----，n x 由以下方法得到：11x =，点()22,2P x 在抛物线1C ：211y x a x b =++上，点()11,0A x 到2P的距离是1A 到1C 上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：2n n y x a x b =++上，点(),0n n A x 到1n P+的距离是n A 到n C 上点的最短距离． ()1求2x 及1C 的方程；()2证明{}n x 是等差数列．（三）课后作业： 1.观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，则可以猜想的结论为：2.用数学归纳法证明“()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅- ”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为.A 21k + .B ()221k + .C 112++k k .D 132++k k 3.（07重庆市重点中学二联）如图，第n 个图形是由正2n +边形“扩展”而来（1n =，2，3，…），则第2n -个图形中共有 个顶点.4.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形有对角线条数(1)f n +为.A ()1f n n ++ .B ()f n n + .C ()1f n n +- .D ()2f n n +-5.平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n 条直线把平面分成()21()22f n n n =++个区域.（四）走向高考： 6.（07上海）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是.A 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立.B 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立.C 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立.D 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立7. (06湖南）已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:101a <<，1()n n a f a +=，1,2,3,n = 求证:()1 101n n a a +<<<;()23116n n a a +<.8.（06江西）已知数列{}n a 满足：132a =，且11321n n n na a a n --=+-（n ≥2，*n N ∈） ()1求数列{}n a 的通项公式；()2求证：对于一切正整数n ，不等式122!n a a a n ⋅⋅⋅⋅<⋅9.（07湖北）已知m n ，为正整数，()1用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)m x +≥1mx +；()2对于n ≥6，已知11132n n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132n mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n = ，，，； ()3求出满足等式34(2)(3)n n n n n n ++++=+ 的所有正整数n .。
高中数学总结和归纳教案
高中数学总结和归纳教案
主题：高中数学总结和归纳
目标：通过本节课的学习，学生能够总结和归纳高中数学知识，提高数学运用能力。
教学内容：
1. 数列与数列的通项公式
2. 等差数列、等比数列
3. 三角函数的基本性质
4. 空间几何中的平面与直线
5. 概率与统计
教学步骤：
1. 导入：教师用数学游戏或实例引出本节课的主题，激发学生学习的兴趣。
2. 学习总结：教师带领学生总结和归纳之前所学的知识点，强化对数学知识的理解和掌握。
3. 练习与讨论：教师组织学生进行练习和讨论，巩固和加深理解。
4. 拓展：教师引导学生对所学内容进行拓展，提高数学运用能力。
5. 总结：教师对本节课的内容进行总结，让学生对高中数学知识有更全面的认识。
教学方法：启发式教学、探究式教学、讨论教学
教学工具：黑板、笔记本、教学PPT
评价方式：随堂测验、小组讨论、课堂练习
教学反思：通过本节课的教学，学生对高中数学知识有了更深入的理解和掌握，但在教学
过程中，还需要更多的引导学生主动思考和解决问题的能力，提高数学学习的效率和水平。
高中数学 教学设计 数学归纳法
高中数学教学设计数学归纳法教学设计：数学归纳法一、引言数学归纳法作为解决数学问题的一种重要方法，常见于高中数学教学中，通过归纳并证明某个命题对于所有自然数成立，进而推导出一般情况下的结论。
本文将围绕高中数学教学设计，探讨如何有效地教授数学归纳法。
二、教学目标1. 了解数学归纳法的基本概念和原理；2. 能够正确应用数学归纳法解决简单的数学问题；3. 培养学生的逻辑思维和证明能力。
三、教学内容和步骤1. 引入学生通常对于数学归纳法概念不够熟悉，因此需要引入一个简单易懂的例子。
可以选择一个与学生生活密切相关的问题，并通过实际操作的方式，让学生感受到数学归纳法的实际应用和效果。
2. 概念讲解通过引入例子，引出数学归纳法的基本概念，即“当一个命题P(n)对于某个正整数n成立，并且若P(k)成立能推出P(k+1)也成立时，可得出对任意自然数n，P(n)成立。
”需要注意的是，教师应当给出相关的定义和术语解释，并鼓励学生积极参与讨论。
3. 理论推导在概念讲解的基础上，进一步探究数学归纳法的原理和推导步骤。
引导学生从一个特定的命题P(1)成立出发，证明在命题P(n)成立的前提下，P(n+1)也必然成立。
通过逻辑推理和证明，使学生掌握数学归纳法的具体操作方法。
4. 练习与应用结合具体的数学问题，设计一系列的练习题，让学生在实践中巩固数学归纳法的应用能力。
教师可以选择一些经典的归纳法题目，如证明1+2+...+n = n(n+1)/2，或者与课堂教学内容相关的例题，如证明2^n > n^2 (n≥4)等。
5. 拓展与延伸鼓励学生在课后进一步拓展数学归纳法的应用能力。
可以提供一些挑战性的问题，引导学生思考并尝试解决。
教师可以引导学生应用数学归纳法解决一些实际问题，以培养学生的创新思维和动手能力。
四、教学评价1. 课堂表现评价通过观察学生在课堂上的参与度、问题解答能力以及与他人合作的能力，评价学生对于数学归纳法的理解和掌握情况。
【新教材】高中数学优质课件之数学归纳法
【新教材】高中数学优质课件之数学归纳法一、教学内容本节课我将带领同学们学习新教材高中数学选修22第四章第一节数学归纳法。
具体内容包括数学归纳法定义、原理以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法定义和原理；2. 学会运用数学归纳法证明数学命题；3. 提高学生逻辑思维能力和解决问题能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解数学归纳法原理，学会运用数学归纳法进行证明。
教学重点：数学归纳法定义、步骤以及运用。
四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体教学设备、PPT课件、黑板、粉笔；2. 学生准备：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入以“上台阶”为例，引导同学们思考如何用数学方法解决实际问题，从而引出数学归纳法概念。
2. 例题讲解通过讲解“自然数求和公式”证明过程，让同学们理解数学归纳法基本步骤。
3. 随堂练习让同学们尝试运用数学归纳法证明一些简单数学命题，如“n(n+1)/2是前n个自然数和”。
4. 知识拓展讲解数学归纳法在实际问题中应用，如“斐波那契数列”递推关系。
六、板书设计1. 数学归纳法定义及原理；2. 数学归纳法证明步骤；3. 典型例题及解题方法；4. 课后作业。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 证明：1+3+5++(2n1)=n^2(2) 证明：1^2+2^2+3^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/62. 答案：(1) 证明：当n=1时，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1+3+5++(2k1)=k^2；当n=k+1时，等式左边=1+3+5++(2k1)+(2k+1)=(1+3+5++(2k1))+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2；所以等式成立。
(2) 证明：当n=1时，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1^2+2^2+3^2++k^2=k(k+1)(2k+1)/6；当n=k+1时，等式左边=1^2+2^2+3^2++k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k(2k+1 )+6(k+1))/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6；所以等式成立。
数学归纳法上课
n2(n+1)2。
深化
数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？ (1)是推理的基础，（2）是递推的依据
数学归纳法实质上是将对原问题的证明转化为对两个步 骤的证明和判断，由此可进行无限的循环，其结构如下： k=1
命题正确 k=k+1 命题正确
明辨是非
例（ 31 ）： 2 4 6 2n n2 n 1吗？（n N *）
证明：假设n k（k N *）时结论成立，即 2 4 6 2k k 2 k 1 则当n k 1时，左边 2 4 6 2k 2(k 1)
利用假设
k 2 k 1 2(k 1)
k 2 2k 1 (k 1) 1 (k 1) 2 (k 1) 1,即n k时结论也成立。 所以原命题成立。
（2）假设当n k (k N *)时命题成立，证明当 n k 1时也成立。
则P(1)真 P(2)真 P(3)真 P(4)真 那么，对任意的正整数 n, 命题P(n)都成立。
这种解决问题的思想方法在生活中有应用吗？ 你能举出一些例子吗？
学以致用
例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数 列，公差为d,那么an=a1+(n-1)d对一切n∈N+ 都成立。
例2 用数学归纳法证明:
1 3 5 (2n 1) n2
讨论：1、在证明的过程中，从n=k到n=k+1有什么变化？
2、变化的根据是什么？ 3、他是如何利用假设的？ 4、他这样用的目的是什么？
学以致用
练习1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等比数 列，公比为q,那么an=a1qn-1对一切n∈N+都成立。 练习2 用数学归纳法证明： 13+23+33+……+n3=
数学归纳法(讲课稿)
尊敬的各位老师，亲爱的同学们，大家早上好。
今天我说课的题目是数学归纳法。
下面开始我的正式上课。
好了在高中的时候我们学了合情推理，也知道合情推理它包括归纳推理和证明推理。
那归纳推理就是由有限的特殊情况推出一般的情况的方法。
那我们也把它叫做归纳法。
归纳法包括两种，哪两种？（完全归纳法与不完全归纳法）板书什么是不完全归纳法，比方说我们在求等差数列通项公式的时候就用到了不完全归纳法。
好了，那我问同学们一个问题，不完全归纳法一定正确吗？（不一定）我们来举个例子哈，比方说我看到第一个同学是个女同学，第二个同学还是个女同学，由此我大胆的猜想，第三个还是个女同学。
（不对）哎，这就是说，不完全归纳法不好去验证对不对。
那在数学当中，我们学过数列，数列大家很熟悉。
比方说有这样一个数列，第一项是1，第二项是2，第三项是3，第99项是99，现在我问，第100想应该是多少？（100）。
一定是100吗？（学生有争议了）我把它放到公式里边来（板书）n n n n a n +---=)99()2)(1( 来验证一下，1a 等于多少？（1）等于1，2a 呢？代入可知22=a ，33=a ，9999=a ，100a ？算一下，100代进去，等于100!99+。
这就和我们不完全归纳法得出来的结果不一致，那就是说，不完全归纳法？？？？。
那么完全归纳法呢？他考虑的是全部对象，比方说一盒粉笔。
我一支一支的取出来，知道我取出最后一支粉笔是白粉笔，那我就说这合粉笔全是白的，这是完全归纳法，一定正确。
但是我们很多时候研究的是与自然数n 有关的命题。
如果题目让我们证明4≤n 命题成立，那好，我们用完全归纳法依次验证是不是就可以了。
那如果题目让你验证100≤n 项，甚至是1000≤n 项呢？用完全归纳法是不是就非常麻烦，并且不太现实对不对？那如果再大，我说对于一切n 都成立能不能理解？我来验证这个命题是否正确，我用完全归纳法。
所以我们今天需要寻找一个新的方法来帮助我们解决类似于这样的一些问题，这就是我们今天要学习的数学归纳法。
高中数学课件44数学归纳法
高中数学课件44数学归纳法一、教学内容本课件依据高中数学教材第九章第四节内容，详细讲授数学归纳法的基本原理和应用。
主要包括数学归纳法的概念、步骤、应用范围及其在数列和数学问题中的证明实例。
二、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和基本步骤，能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2. 培养学生运用数学归纳法分析和解决问题的能力，提高逻辑思维和推理能力。
3. 使学生掌握数学归纳法在实际问题中的应用，激发学生对数学学习的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤和逻辑推理。
教学重点：数学归纳法的概念、应用和证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中常见的数学问题，如楼梯的级数问题，引出数学归纳法的概念。
2. 理论讲解：详细讲解数学归纳法的定义、步骤和应用范围。
3. 例题讲解：讲解典型的数学归纳法证明题目，如等差数列求和公式、平方差公式等。
4. 随堂练习：让学生独立完成一些简单的数学归纳法证明题目，并及时解答学生疑问。
六、板书设计1. 板书概念、步骤和应用范围。
2. 例题解答步骤。
3. 课堂练习题目。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
（2）证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。
（3）探讨：数学归纳法在解决实际问题中的应用。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：鼓励学生运用数学归纳法解决更多数学问题，提高学生自主探究和创新能力。
可布置一些提高性的研究性学习任务，如探究数学归纳法在其他数学分支中的应用等。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的区分；2. 数学归纳法的证明步骤和逻辑推理；3. 实践情景引入的选择；4. 例题讲解的深度和广度；5. 作业设计的针对性和拓展性；6. 课后反思及拓展延伸的实际操作。
一、教学难点与重点的区分教学难点通常是指学生在学习过程中难以理解和掌握的知识点，而教学重点是本节课的核心内容。
数学归纳法公开课课件
数学归纳法公开课课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过典型例题引导学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和应用方法。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳假设的运用。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤和证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：学生用书、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实际问题，如“如何计算1+2+3++100的结果”，引导学生思考，激发学生兴趣。
2. 知识讲解（1）讲解数学归纳法的定义和基本步骤。
（2）通过例题讲解，展示数学归纳法的证明过程。
3. 例题讲解选取一道典型例题，如“证明：对于任意正整数n，都有1+2+3++n=n(n+1)/2”。
（1）验证基础情况。
（2）归纳假设。
（3）归纳步骤。
4. 随堂练习让学生独立完成一道类似例题的题目，巩固所学知识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 板书内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤（3）例题及证明过程七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。
（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)。
2. 答案：（1）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2（2）1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过讲解、例题和练习，让学生掌握了数学归纳法的基本知识和应用。
2.3数学归纳法(上课)
a1 a1 0d a2 a1 1d
a3 a2 d a4 a3 d
a3 a1 2d a4 a1 3d
a3 a2 d a4 a3 d
......
......
由a1 , a2 , a3 , a4的表达式, 我们得到 :
对一切n N , 都有
这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
当n k 1时，需要证明的式子是 ：
1+3+5+…+(2k-1)＝k2
那么当n＝k+1时，
需要证明的式子是?
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
例题3 用数学归纳法证明
（2）假设 n k ( k N 且k n0 ) 时命题成立 证明 n k 1 时命题也成立 递推依据
在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立 3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
数学数学归纳法公开课教案高中
数学数学归纳法公开课教案高中数学归纳法公开课教案教学目标：1. 理解数学归纳法的基本概念和原理；2. 能够灵活运用数学归纳法证明数学命题；3. 锻炼学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学内容：1. 导入（5分钟）通过一个简单的例子，引出数学归纳法的概念和应用场景。
例子：小明有一个塔，第一层有一个积木，第二层有两个积木，第三层有三个积木，依此类推。
现在要求计算塔的总积木数量，但是不知道有多少层。
怎么办？引导学生思考，并找到问题的规律和解决方法。
2. 数学归纳法介绍（15分钟）讲解数学归纳法的定义和基本原理。
数学归纳法是一种用于证明命题的数学方法，它包括两个步骤： - 基础步骤：证明当n等于某个固定的值时，命题成立；- 归纳步骤：假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。
通过这个步骤的迭代，我们可以证明对于所有正整数n，命题都成立。
3. 数学归纳法的应用（20分钟）介绍数学归纳法在数学问题中的应用，包括数列、不等式、图形等。
例子1：证明等差数列的通项公式例子2：证明2的n次方大于n的阶乘通过这些例子，学生可以更加深入地理解数学归纳法的思想和应用。
4. 练习（25分钟）学生分组进行练习，选择合适的题目进行推理和证明。
练习题1：证明 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2练习题2：证明 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2提供指导和辅助，鼓励学生主动思考和交流。
5. 总结（10分钟）对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。
强调数学归纳法在数学解题过程中的重要性和灵活运用。
提醒学生运用数学归纳法的注意事项，如确定基础步骤、归纳假设的合理性等。
鼓励学生在以后的学习中继续加强对数学归纳法的应用和理解。
6. 课后作业（5分钟）布置数学归纳法相关的练习题作为课后作业，巩固学生的学习成果。
高二数学数学归纳法(中学课件201908)
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an;5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
；棋牌游戏app下载安装 棋牌游戏app下载安装
；
沔水泛溢 九月丁亥 采择媵御 大教所敦 爰托淮 列言统曹正厨 六年春正月辛丑 匡复社稷 并之 有干用才能 上水五刻 文武赐爵一级 至是冰谋以胤为主 李梵等综核意状 礼乐德之则 天子不许 亦足以明也 考夏后之遗训 以鸟名官 骠骑大将军 晋国以治 晋金 思崇廉耻 晋 遣使按行 虽遭遇异时 甲午 丁未 求次月 六月己酉 摽采乡邑 挥义旅而一驱 孝建以来 辄授文思振武将军 今重镇外倾 大雪 成礼讫 时人故老 东境去岁不稔 立第三皇子准为安成王 九月 外穿三重堑 可 郑小同为五更 十万三千九百四十七 或越绋应召 兹焉时矣 孝武不答 立故武昌太守刘琨息 颁为南丰县王 皇帝不亲祠 自斯以后 以所入纪下迟疾差率之数加之 据土行也 二之日栗烈 假录公齐王黄钺 俯顾庶民之艰 各五百户 若止无可采 高丽国遣使朝贡 大风 录事参军刘穆之 一依唐虞 以宁朔将军沈怀明为南兖州刺史 瞻言板筑 金紫将军当大鸿胪西 冀二州刺史 《谷梁》及 郑《易》 罢散骑奏举郎 元勋至德 以冲考之 虽与正岁不同 刑讼未息 冠军王蕴率众赴之 时东北风急 太尉跪读祝文曰 岁终则谓之合终合数 征西将军 甲午 退避正寝 殿中郎率其属收禽 中外都督 莫不奋踊争先 高誉在民 仰瞻前王 皇帝曰 荆州刺史衡阳王义季进号征西大将军 十八日 二千三十四万四千二百六十一分 与轨等奔襄阳 永察符运 十二度十一分 都督中外诸军事 河南王 六十七万
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2n 1 2n n 1 n 2 2n
在验证n 1时,左边
1- 1 1 22
五、总结数学归纳法的步骤：
（1）验证当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立
（2）假设当n k (k N*, k n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
（要用到假设）
（3）结论： 由（1）（2）可知等式对从n0开始的所有正整数n都成立。
数学归纳法
一、引入：
问题：观察下列等式的规律，并猜想结论
1=12 1+3=4=22， 1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42， ……
猜想：1+3+…+(2n－1)=n2 n N *
二、方法呈现：
数学归纳法：完成以下两个步骤证明与正整数有关的命题的方法.
①第一块骨牌倒下 ②若第k块倒下 且保证第k+1块也倒下
（1）验证当n取第一个值n0 (n0 N *)时命题成立
（2）假设当n k 时命题成立 (k N *, k n0 )
证明当n=k+1时命题也成立。
骨牌全部倒下，命题成立
例用数学归纳法证明 1+3+5+……+(2n-1)=n2
证明：（1）当n 1时，左边 1, 右边 12 1，等式成立。
234
3n 1
A. 1 3n 2
B. 1 1 3n 3n 1
C. 1 1 3n 1 3n 2
D. 1 1 1 3n 3n 1 3n 2
f (n 1) 1 1 1 1 1 1
234
3n 1 3n
1 3n1
3n1（32 n
1 1） 1
总结
4.用数学归纳法证明:1 a a2 an1 1 an2 (a 1，n N *) 1 a
在验证n 1时,左端计算所得的项为( C )
A.1
B.1 a
C.1 a a2
D.1 a a2 a3
变式：验证 n 2时,左端计算所得的项为 ( D )
A.1
B.1 a
C.1 a a 2
D.1 a a2 a3
5. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (n N *)
234
（2）假设n k(k N*) 时，等式成立，即1 3 5（2k 1） k2，
则当 n k 1时
左边 1 3 5 （2k 1）（2k(k1)1) 1
k2 （2k 1)
（k 1）2 右边
即当n k 1时等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何 n N *都成立。
三、总结数学归纳法的步骤：
2、12 22 （n 1）2 n2 （n 1）2 22 12 1 n(2n2 1) 3 nN*
1、 1 2 3 n 1 n(n 1) 2
证明：（1）当n 1时，左边 1 右边 1 1 (11) 1 （2）假设n k(k N *) 时，等2 式成立，
(n N *)
等式成立。
3
ห้องสมุดไป่ตู้
33
2 k 3 2k 2 7 k 1
3
3
( 2 k 3 4 k 2 k) ( 2 k 2 4 k 1) 1 (k 1) 2(k 1)2 1 右边
33
33
3
即当n k 1时等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何 n N *都成立。
D 练习3.设f (n) 1 1 1 1 1 (n N *),那么f (n 1) - f (n) （ ）
（1）验证当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 （2）假设当n k (k N*, k n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
（要用到假设）
（3）结论： 由（1）（2）可知等式对从n0开始的所有正整数n都成立。
四、练习：用数学归纳法证明
1、 1 2 3 n 1 n(n 1) (n N *) 2
即 1 2 3 k 1 k(k 1)， 2
则当 n k 1 时,
左边 1 2 3 k (k 1)
1 k(k 1) (k 1) 2
1（k 2
1）(k
2)
右边
即当n k 1时等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何 n N *都成立。
2、12 22 （n 1）2 n2 （n 1）2 22 12 1 n(2n2 1)， 证明：（1）当n 1时，左边 1 右边 1 1 (212 1) 1 3 等式成立。
3
（2）假设n k时，等式成立， 即12 22 （k 1）2 k 2 （k 1）2 22 12 1 k (2k 2 1) 3
则当 n k 1时
左边 12 22 （k 1）2 k 2 (k 1) 2 k 2 （k 1）2 22 12
1 k(2k 2 1) (k 1）2 k 2 ( 2 k3 1 k) (k 2 2k 1) k 2