线段成比例
线段成比例的定义
线段成比例的定义线段成比例的定义在数学中，线段成比例是一个重要的概念，其具有广泛的应用。
本文将介绍线段成比例的定义，性质以及使用方法。
一、线段成比例的定义两个线段a，b和两个正实数m、n，若放在同一直线上，使得$\frac {a}{b}=\frac{m}{n}$，那么线段a和线段b就成比例关系，且m和n为这个比例关系的比例因子。
也可以表示成$\frac {a}{b}：\frac {m}{n}$或$\frac {a}{m}=\frac {b}{n}$。
例如，若线段AB=4、BC=3，且CD=6，则线段AB、BC、CD成比例，其中AB与BC的比例因子为4：3，BC与CD的比例因子为3：6。
二、线段成比例的性质1.线段成比例必须在同一直线上。
2.对于线段成比例中的比例因子m、n，它们必须是正实数。
3.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例与线段AB、BC、CD的比例相同，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{CD}$。
4.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例因子为$\frac {AB}{BC}*\frac {CD}{BC}=\frac {AD}{BC}$。
三、线段成比例的使用方法1.判断是否成比例：通常先判断三个线段是否都在同一直线上，如果在同一直线上，再判断比例因子是否为正实数，如果都满足，则三个线段成比例。
2.求比例因子：如果知道三个线段成比例，可以通过求得其中两个线段的比例关系来求出第三个线段的长度。
3.求比例部分长度：可以利用线段成比例的性质来求解，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$。
四、线段成比例的应用线段成比例的应用非常广泛，包括测量和求解各种几何问题等。
1.测量：在线段成比例的情况下，可以通过已知线段的长度来计算未知线段的长度。
2.几何问题：在线段成比例的情况下，可以求解各种几何问题，比如求解直角三角形的斜边长、求解两个垂直平分线的交点等。
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
成比例线段练习题
成比例线段练习题成比例线段练习题在数学中，成比例线段是一个重要的概念。
它涉及到线段之间的比例关系，不仅在几何学中有应用，也在实际生活中有很多实用的场景。
本文将通过一系列练习题，帮助读者更好地理解和应用成比例线段的概念。
练习题一：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=6，CD=9。
求线段EF的长度，已知EF与CD成比例，且CD=15。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/CD将已知条件代入，得到：6/9 = EF/15通过交叉乘法，可以得到：9EF = 6 * 15解方程可得：EF = 10练习题二：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=5，CD=10。
线段EF与线段AB成比例，且EF=12。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/GH将已知条件代入，得到：5/10 = 12/GH通过交叉乘法，可以得到：5GH = 10 * 12解方程可得：GH = 24练习题三：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=8，CD=12。
线段EF与线段CD成比例，且EF=15。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = GH/EF将已知条件代入，得到：8/12 = GH/15通过交叉乘法，可以得到：8 * 15 = 12GH解方程可得：GH = 10通过以上练习题的解答，我们可以看出成比例线段的计算方法是非常简单的。
只需要根据已知条件，运用交叉乘法和解方程的方法，就可以求得未知线段的长度。
成比例线段的应用也非常广泛，例如在地图上测量距离时，可以利用已知线段与未知线段的比例关系，快速计算出未知线段的长度。
除了计算线段的长度，成比例线段还可以用来解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，如果我们知道某个建筑物的高度与宽度成比例，可以通过已知的比例关系，推算出其他未知尺寸，从而帮助进行设计和规划。
理解成比例线段的概念
室内设计
在室内设计中，家具、装饰品和 空间布局等也常常需要遵循一定 的成比例关系，以达到视觉上的
舒适和平衡感。
03 成比例线段的性质和判定 方法
成比例线段的性质
1 2
对应线段长度成比例
如果四条线段a、b、c和d成比例，则它们的长 度之间存在一定的比例关系，即a/b = c/d。
对应角相等
如果四条线段成比例，则它们所构成的三角形中， 对应的角相等。
黄金分割在艺术和设计中广泛应用，如建筑设计、绘画和摄影等，而成比例线 段是实现黄金分割的关键。
与等比数列的关联
等比数列
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中任何项都与它 前面的项成相同的比例。这与成比例线段的定义相呼应。
数学分析
通过成比例线段，可以进一步研究等比数列的性质，如公比 、项数等，以及它们在数学分析和实际生活中的应用。
3
相似图形
如果四条线段成比例，则由它们构成的两组相似 多边形也是相似的。
成比例线段的判定方法
定义法
如果四条线段满足a/b = c/d，则 它们成比例。
平行线法
如果两条线段平行且被一条横截线 所截，截得的对应线段成比例，则 原线段也成比例。
三角形法
如果两个三角形相似，则它们的对 应边成比例。
判定成比例线段的注意事项
分形几何
分形几何中的许多图形都是由成比例 线段构成的。例如，科赫雪花就是通 过不断将线段按照一定比例进行分割 和拼接而形成的。
建筑中的成比例线段
建筑设计
建筑设计中，成比例线段的运用 可以增强建筑的和谐感和美感。 例如，古希腊的帕台农神庙和罗 马的万神庙都是运用了成比例线
段的经典建筑。
建筑结构
建筑物的各个部分之间也存在成 比例关系，如梁和柱的尺寸、窗 户和门的高度等。合理的比例关 系可以使建筑物更加坚固和美观。
4.1成比例线段
得出结论
(1) a c
b d (2) a c b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
ace a c e （2）如果 b d f ，那么 b d f 与
.
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
你发现这些形状相同 的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同
• 2、图形之间的“放大、缩小”
• 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小” • 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用 相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
x y z x y 3z 2.已知 : , 求 的值. 2 3 4 3x 2 y
3、已知a : b : c 3 : 4 : 2, 且a 2b c 18, 求3a b 2c的值。
学以致用
1. x+y 5 x 已知 3y = 4 ，求 y .
学以致用
3.在
称比例线段．
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = ， 或 a：b=c：d， b d 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
成比例的四条线段是有次序的!
随堂练习
1．a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，求线段 d 的长．
人教版九年级数学比例线段
1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交DF 于K ，求KFDK的值。
2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ，交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。
求证：PN PF PM PE ⋅=⋅。
答案：一、填空题：1、32，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题：1、31； 2、证明PMPNPF PE =即可；课后作业一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。
2． 已知x y 52=，则y x :=______________。
3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则=+-++zy x zy x 2 。
5． =++===++222,753,10z y x zy x z y x 则且若 。
6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。
7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则EC= 。
8． 若==+yxy y x 则,38 。
9、若()0753≠==a c b a ，则ac b a ++=_________二、选择题： 1．如果32=b a ，则b ba +等于（ ） （A ）l 31 （B ）21（C ）53 （D ）352．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ）(A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c3．已知32==d c b a ，且d b ≠，则db ca --=（ ） （A ）32 （B ）52（C ）53 （D ）514．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ）（A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）65．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=21 6．已知0754≠==zy x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ）43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）167=++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1.线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段的比叫做这两条线段的比.2.比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的等于另外两条线段的，那么这四条线段叫做成比例线段，简称.在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的，b 、c 叫做比例的，称d 为a 、b 、c 的.3.比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么.特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即，则b 叫a ，c 的比例中项.(2)合(分)比性质：若dc b a =，则. (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且，则. 4.黄金分割(1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的比叫做.(2)黄金分割的作法【例题讲解】例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是.(2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z. (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且abc a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.例3.(1)已知线段AB ＝a ，在线段AB 上有一点C ，若AC ＝a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？【同步测试】一、选择题1.已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b 的值为（ ）(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,2cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm3.如果线段a ＝4，b ＝16，c ＝8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ）(A)8 (B)16 (C)24 (D)324.已知32=b a ，则bb a +的值为（ ） (A)23(B)34(C)35(D)53 5.已知x ∶y ∶z ＝1∶2∶3，且2x ＋y －3z ＝－15，则x 的值为（ ）(A)－2 (B)2 (C)3 (D)－36.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ）(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米(B)11米(C)10米(D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB ＝4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 －2)cm(B)(6－2 5 )cm (C)( 5 －1)cm (D)(3－ 5 )cm9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB ＝AE AC，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB ＝DE BC (B)AB AD ＝AE AC (C)DB EC ＝AB AC (D)AD DB ＝AE AC10.若ba c a cbc b a k 222-=-=-=，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为（ ） (A)－1 (B)21(C)1 (D)－12 二、填空题11.在x ∶6＝ (5 ＋x)∶2 中的x ＝；2∶3 ＝ ( 5－x)∶x 中的x ＝.12.若9810z y x ==, 则______=+++zy z y x . 13.若a ∶3 ＝b ∶4 ＝c ∶5 , 且a ＋b －c ＝6, 则a ＝，b ＝，c ＝.14.已知x ∶y ∶z ＝ 3∶4∶5 , 且x ＋y ＋z ＝12, 那么x ＝，y ＝，z ＝.15.若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a . 16.已知x ∶4 ＝y ∶5 ＝z ∶6 , 则①x ∶y ∶z ＝, ② (x ＋y)∶(y ＋z)＝.17.若322=-y y x , 则_____=yx . 18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是.19.如图，已知 AB ∶DB ＝ AC ∶EC ，AD ＝15 cm , AB ＝40 cm , AC ＝28 cm , 则 AE ＝；20.已知，线段a ＝2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是.三、解答题21.已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +-(2)z y x z y x +-++35432. 22.已知0≠-=-=-z a c y c b x b a ，求x ＋y ＋z 的值. 23.若ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3，求ΔABC 的三边之比.24.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a ＋b ＋c ＝60cm ，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求ΔABC 的面积.25.已知线段AB ＝10cm ，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考1、若k ca b c b a b a c =+=+=+＝k ，则k 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．－1 D ．12或－1 2、如图，△ABC 中，AG DE AH BC =，且DE ＝12，BC ＝15，GH ＝4，求AH ．3、 以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取 AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（1）求AM、MD的长；（2）你能说明点M是线段AD的黄金分割点吗？。
线段的长度与比例关系
线段的长度与比例关系在数学中，线段是由两个点确定的有限长的直线部分。
线段的长度是指这个直线部分的实际长度，而线段的比例关系则是指两个线段之间的长度比值。
在本文中，我们将探讨线段的长度与比例关系，并介绍一些相关的数学定理和概念。
一、线段的长度线段的长度是指由两个端点确定的直线部分的实际长度。
通常用字母l表示线段的长度。
对于平面上的线段，我们可以使用勾股定理来计算其长度。
假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的长度l可以通过以下公式计算得出：l = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]例如，如果线段的两个端点为A(1, 2)和B(4, 6)，则线段AB的长度为l = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5。
二、线段的比例关系线段的比例关系指的是两个线段之间的长度比值。
假设有两个线段AB和CD，其长度分别为l1和l2。
那么线段AB与线段CD的比例关系可以表示为l1:l2或者l1/l2。
在数学中，线段比例关系有如下三种情况：1. 线段比例关系为1:1，表示两个线段的长度相等。
例如，如果线段AB的长度为6，线段CD的长度也为6，则可以表示为AB:CD = 1:1。
2. 线段比例关系为1:n，表示其中一个线段的长度是另一个线段长度的n倍。
例如，如果线段AB的长度为4，线段CD的长度为8，则可以表示为AB:CD = 1:2。
3. 线段比例关系为m:n，表示两个线段的长度不成比例。
例如，如果线段AB的长度为3，线段CD的长度为5，则可以表示为AB:CD = 3:5。
根据线段的比例关系，我们可以推导出一些有关线段长度的性质和定理。
三、线段长度与比例关系的定理和性质1. 线段等分定理：当一个直线段由某个点O等分为两段时，各段的长度之比等于它们所对应的线段在直线上的投影的长度之比。
成比例线段练习题及答案
成比例线段练习题及答案成比例线段是初中数学中的一个重要知识点，它在几何图形的相似性质、比例关系以及实际问题的解决中起着重要的作用。
掌握成比例线段的求解方法，对于提高学生的数学能力和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍一些成比例线段的练习题及其解答，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 题目：已知线段AB与线段CD成比例，AB = 5，CD = 15，求线段EF的长度。
解答：根据成比例线段的定义，我们知道AB/CD = EF/15。
将已知条件代入，得到5/15 = EF/15。
通过交叉相乘法，我们可以得到EF = 5/15 * 15 = 5。
所以线段EF的长度为5。
2. 题目：已知线段AB与线段CD成比例，AB = 3/4，CD = 9/10，求线段EF的长度。
解答：根据成比例线段的定义，我们知道AB/CD = EF/(9/10)。
将已知条件代入，得到(3/4)/(9/10) = EF/(9/10)。
通过分数的除法，我们可以得到EF = (3/4)/(9/10) * (9/10) = 3/4 * 10/9 = 30/36 = 5/6。
所以线段EF的长度为5/6。
3. 题目：已知线段AB与线段CD成比例，AB = 2x，CD = 3x + 4，求线段EF的长度。
解答：根据成比例线段的定义，我们知道AB/CD = EF/(3x + 4)。
将已知条件代入，得到(2x)/(3x + 4) = EF/(3x + 4)。
通过交叉相乘法，我们可以得到EF =(2x)/(3x + 4) * (3x + 4) = 2x。
所以线段EF的长度为2x。
4. 题目：已知线段AB与线段CD成比例，AB = 3a + 2，CD = 5a - 1，求线段EF的长度。
解答：根据成比例线段的定义，我们知道AB/CD = EF/(5a - 1)。
将已知条件代入，得到(3a + 2)/(5a - 1) = EF/(5a - 1)。
通过交叉相乘法，我们可以得到EF = (3a + 2)/(5a - 1) * (5a - 1) = 3a + 2。
成比例线段课件成比例线段的概念
如果两个三角形有三组对应的边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形性质推论三
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，并且夹 角相等，则这两个三角形相似。
坐标系性质推论
坐标系性质推论一
在平面直角坐标系中，如果两个 点的横坐标之比等于纵坐标之比 ，则这两点连成的线段与x轴、y
成比例线段的性质
传递性
如果a/b = c/d且b/e = c/f，则a/b = c/d = e/f。
等比性质
如果a/b = c/d，则(a+b)/b = (c+d)/d。
成比例线段的应用
相似三角形
成比例线段是判断两个三 角形是否相似的重要依据 。
长度计算
利用成比例线段可以计算 难以直接测量的线段长度 。
角度问题
总结词
利用成比例线段解决角度问题
详细描述
通过成比例线段，可以推导出相关角 度的大小关系。例如，在相似三角形 中，如果两个三角形的对应边成比例 ，则它们的对应角也相等。
THANKS
感谢您的观看
作图
在几何作图中，成比例线 段可以帮助确定点的位置 。
Part
02
成比例线段的判定
平行线判定法
总结词
通过平行线的性质，利用线段的长度比例关系进行判定。
详细描述
在平面几何中，如果四条线段$a, b, c, d$满足$frac{a}{b} = frac{c}{d}$，并且线段$a$与线段$c$平行，线段$b$与线段 $d$平行，则这四条线段成比例。
(新华东师大版)成比 例线段课件
• 成比例线段的概念 • 成比例线段的判定 • 成比例线段的性质推论 • 成比例线段的综合应用
比例线段概念整理
比例线段概念整理
比例线段是数学中重要的概念之一，主要涉及比例、线段和比例线段的性质。
在学习比例线段时，我们需要了解以下几个关键概念：
1. 比例的概念：
比例是指两个量之间的对应关系。
如果两个量之间的比相等，我们就说它们成比例。
比例的基本性质是乘法性质，即如果a/b=c/d，则a×d=b×c。
比例在实际生活中有着广泛的应用，比如食谱中的配料比例、地图上的比例尺等。
2. 线段的概念：
线段是指两个端点之间的部分，它有固定的长度。
线段的长度可以用数值来表示，通常用单位长度来进行测量。
线段的性质包括长度、起点、终点等。
3. 比例线段的概念：
比例线段是指在同一直线上的几条线段，它们之间满足比例的关系。
比例线段的基本性质是比例性质，即如果两条线段成比例，那么它们的比相等。
比例线段的比例关系可以用比例式来表示，比如AB:CD=EF:GH，表示线段AB与线段CD的比等于线段EF与线段GH的比。
4. 比例线段的比例式性质：
比例线段的比例式有一些重要的性质，包括交叉相乘等于交叉相乘、比例线段的比例是对称的等。
其中，交叉相乘等于交叉相乘是比例线段的重要性质，它可以用来求解未知线段的长度。
比例线段的比例是对称的性质则表示比例线段的比例与线段的位置无关，只与线段的长度有关。
总的来说，比例线段的概念涉及比例、线段和比例线段的性质。
通过理解比例线段的概念和性质，可以帮助我们更好地应用比例线段的知识，解决实际生活和数学问题。
希望以上整理的内容对您有所帮助。
如果有任何疑问，欢迎继续咨询。
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（来自教材）
知2－讲
1知. 四识条点线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，
即 a c ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例
bd
线段，简称比例线段．
2. 要点精析：
(1)成比例线段是有顺序的，如果说a，b，c，d是成比
例线段，那么得到的比例式是
知1－导
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的 图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较 小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。 在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大” 或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两 个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们 的大小关系.
知1－讲
AD AB
的值应当是多少？
（来自教材）
知3－讲
解：根据题意可知，AB= am，AE= 1 am，AD=1m.
3
由
AE
AD ,
得
AD AB
1 3
a
1
,
1a
即 1 a2=1. 3
∴ a2=3.
开平方，得a= 3 (a=－ 3 舍去).
（来自教材）
1 (东营)若 y 3 ,则 x y 的值为( ) x4 x
D.
1
3
,
6 18 故不是成比例线段．
24
（来自《点拨》）
知识点
归纳
知2－讲
(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同， 若长度单位不同，应先统一单位再判断；
(2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段 按长短顺序排列起来，若两条较短线段的长度 的比等于两条较长的线段的比，则是成比例线 段，否则不是．
线段成比例
第1课时 成比例线段的概念【学习目标】1.理解成比例线段的概念及性质；2.对成比例线段能进行相关的计算，特别是比例中项的概念.【学习重点】对成比例线段，能完成相关的计算.【学习过程】一、学习准备1.线段的比：形如AB ：CD ，表示求这两条线段的长度之比，其中AB 、CD 分别叫这个比例的前项和后项. AB ：CD 也可以表示为CD AB . 例如：AB = 4，CD = 6，则AB ：CD = 4：6 = 2：3. 因为“比”相当于除法，所以，我们可以对两条线段之比进行约分. 约分后，这个值可能为整数、分数或小数.2．比值：如果AB ：CD = k ，则称k 为比值.变形式子有：AB = kCD ，CD =kAB . 例如：①AB = 4，CD = 6，则AB ：CD = 4：6 = 2：3 =32，即比值为32. ②AB = 6，CD = 2，则AB ：CD = 6：2 = 3，即比值为3.③AB = 2，CD = 10，则AB ：CD = 2：10 = 2.051=，即比值为2.051或. 思考：在求线段比时，长度单位是否要统一？比值的大小和采用的长度单位是否有关？请举例说明. .3．计算：（1）小颖身高1.60米，此时测得她影长为80厘米，则她的身高与影长之比为_______，比值为 .（2）已知线段a 与b 的比为10：3，a = 2cm ，则b = .二、教材解读1.成比例线段观察右面格点中的△ABC 和△EFG ，并回答下列问题：①=EF AB ，=GFBC ，则EF AB GF BC . ②图中还有线段之比等于这个比值吗？你是怎样算的？ 成比例线段概念：像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．也称这四条线段成比例．即有: dc b a =或d c b a ::=或d b c a =，………的等式成立. 概念解读：A B C E FG（1）dc b a =等价于d b c a =或a c b d =，即交叉项可以交换位置. 如由420210=，可得：422010=. （2）将d c b a = “交叉相乘”可得：bc ad =.如420210= ，可得202410⨯=⨯. 这是成比例线段的计算中常用的转化方法，即把除法转化为乘法.故：d c b a =dbc a =ac bd =bc ad =这四个等式都是等价的，可以互化.例1，已知a ＝2，b ＝152，c ＝5，d ＝35，判断线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段.解：方法一：∵ 52=c a ，523)5(352351522=⋅⋅==d b ，∴ d b c a =； 方法二：1511522==b a ，151351355=⋅==d c ，∴ d c b a =； 方法三：310352=⨯=ad ，31053525152=⨯⨯=⨯=bc .∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．你还有其他方法吗？即时练习1：判断线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段. 如果是，请写出形如d c b a =或bc ad =的等式.（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝0.8，b ＝3，c ＝1，d ＝2.4；（3）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； 例2，某城区地图上，新安大街与光华大街的图上长度分别为16cm 与10cm ，且新安大街实际长度为1440米，则光华大街的实际长度为多少米？1016=x1440， 即：16=x 解之得： x 答：光华大街实际长度为900米.即时训练2： （1）已知a ：b = c ：d ，其中a = 3cm ，b = 2cm ，c = 6cm ，则d = .（2）在1：50000的地图上，A 、B 两地的距离是15cm ，求A 、B 两地的实际距离.2. 比例中项 在成比例线段dc b a =中，特别地，如果c b =，即b a =d b ，则有 ad b =2 . 我们称即b 是a 、d 的比例中项.例3，若线段a = 4cm ，c = 9cm ，且b 是a 、c 的比例中项，求线段b 的长度. 解：∵b 是a 、c 的比例中项，∴________=________，即b 2 = ，∴b =________cm.即时训练3：（1）已知线段m = 10cm ，n = 20cm ，且h 是m 、n 的比例中项，求h 的长度.变式：已知线段m =10，n = 20，且n 是m 、h 的比例中项，求h 的长度.。
成比例线段的八种形式
成比例线段的八种形式成比例线段是指两个线段的比值相等。
在几何学中，成比例线段有八种形式，分别是：1. 相等线段：当两个线段的长度相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度相等，即AB = CD。
2. 同向线段：当两个线段的方向相同，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相同，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
3. 反向线段：当两个线段的方向相反，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相反，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
4. 互补线段：当两个线段的长度之和为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之和为常数m，且它们的长度之比为k，即AB/(m-AB) = CD/(m-CD) = k。
5. 互逆线段：当两个线段的长度之积为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之积为常数n，且它们的长度之比为k，即AB/CD = n/k。
6. 平方线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方之比为k^2，即AB^2/CD^2 = k^2。
7. 立方线段：当两个线段的长度之比等于它们的立方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的立方之比为k^3，即AB^3/CD^3 = k^3。
8. 平方根线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方根之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方根之比为√k，即√(AB/CD) = √k。
这八种形式的成比例线段在几何学中具有重要的应用价值，可以用于解决各种与线段长度相关的问题。
线段的比例与长度计算
线段的比例与长度计算线段是初中数学中的基础概念之一，它在几何图形的构造和计算中起着重要的作用。
在数学学习中，我们经常会遇到线段的比例和长度计算问题。
本文将以实例为基础，详细介绍线段的比例计算和长度计算的方法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
一、线段的比例计算在几何图形中，线段的比例计算是指给定两个线段的长度，求它们之间的比例关系。
下面我们通过一个例子来说明。
例1：已知线段AB的长度为6cm，线段CD的长度为12cm，求线段AB与线段CD的比例。
解：线段AB与线段CD的比例可以表示为AB：CD。
根据已知条件可知AB：CD = 6：12。
由于6和12都可以被2整除，所以可以简化比例为1：2。
因此，线段AB与线段CD的比例为1：2。
在实际问题中，线段的比例计算常常涉及到两个或多个线段之间的关系。
比如，在一条直线上，已知线段AB的长度为4cm，线段BC的长度为6cm，求线段AC的长度。
这个问题可以通过线段的比例计算来解决。
解：设线段AC的长度为x cm，则根据线段的比例计算可得4：6 = x：6。
通过交叉相乘得到4×6 = 6x，解得x = 4。
因此，线段AC的长度为4cm。
二、线段的长度计算线段的长度计算是指已知线段的两个端点的坐标，求线段的长度。
下面我们通过一个例子来说明。
例2：已知线段AB的坐标为A(2, 3)，B(5, 7)，求线段AB的长度。
解：根据坐标计算线段的长度需要使用到勾股定理。
设线段AB的长度为d，则根据勾股定理可得d² = (5-2)² + (7-3)²。
计算得d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此d = √25 = 5。
所以，线段AB的长度为5。
线段的长度计算在实际问题中也经常出现。
比如，在一个矩形中，已知矩形的两个对角线的端点坐标分别为A(1, 2)、B(4, 6)和C(3, 1)、D(6, 5)，求矩形的对角线长度。
九年级线段成比例知识点
九年级线段成比例知识点一、什么是线段成比例？线段成比例是指两个线段之间的比值相等。
即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。
二、线段成比例的判定方法1. 基于长度的判定方法：设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。
（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。
（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法：我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。
（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
三、线段成比例的性质1. 线段成比例的交叉乘积性质：设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：AB × GH = CD × EF这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。
2. 平行线段上的线段成比例性质：如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：AO/OD = BO/OC这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。
四、线段成比例的应用线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。
在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。
在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。
简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。
在学习几何学和代数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。
以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。
成比例线段练习题答案
成比例线段练习题答案
以下是成比例线段练习题的答案：
1. 已知线段AB与线段CD成比例，求线段AB的长度。
设线段AB 的长度为x，线段CD的长度为y，则有：
AB/CD = x/y
根据已知条件，可以得到以下方程：
x/y = 3/5
通过交叉相乘可以得到：
5x = 3y
因此，线段AB的长度为3/5倍线段CD的长度。
2. 已知线段PQ与线段RS成比例，且线段PQ的长度为4，线段RS的长度为10，求线段PQ的两倍与线段RS的三倍之和。
设线段PQ的两倍为2x，线段RS的三倍为3y，则有：
PQ/RS = 4/10
根据已知条件，可以得到以下方程：
2x/3y = 4/10
通过交叉相乘可以得到：
20x = 12y
求得 x = 12y/20 = 3y/5
因此，线段PQ的两倍与线段RS的三倍之和为：
2x + 3y = 2(3y/5) + 3y = 6y/5 + 3y = 21y/5
其中，y可以取任意实数。
3. 已知线段MN与线段PQ成比例，且线段MN的长度为7，当线段MN的长度减小2个单位时，线段PQ的长度减小3个单位。
求线段MN的长度。
设线段MN的长度为x，线段PQ的长度为y，则有：
MN/PQ = x/y
根据已知条件，可以得到以下方程：
x/y = 7/y-3
通过交叉相乘可以得到：
xy-3x = 7y
将式子移到一边后整理得到：
xy - 7y = 3x
通过因式分解可得：
y(x-7) = 3x
因此，线段MN的长度为7个单位。
成比例线段
b 与 a
练习1:
判断.已知 线段a=2cm , b=30mm那么a,b两条线 段的比是 a 2 1 = = b 30 15
对吗? 为什么? 答: 不对.根据定义, 在同一长度单位下, 两条线段的长度的比叫做这两条线段 的比
１、设线段ＡＢ＝２cm，ＡＣ＝４cm,
两条线段的长度比是 ２：４＝
1 2
a c b a 比例式分别是 = ， = b d c d
3.和一般的数构成的比例式不同，由线 段构成的比例式的各项均为正数。
比如，量得树AB的影长BC=20m，木 杆长A’B’=1.5m，影长B’C’=2.5m, 求:树AB的高
解:在相同时刻的物高与影长成比例
AB A'B' AB 1.5 ∴ = ' ' 即 = BC B C 20 2.5 3 ∴ AB= ×20=12(m) 5
或a:b=c:d，那么a、b、c、d叫做组成比例的 项。线段a、d叫比例外项，线段b、c叫比例 内项，线段d叫a、b、c的第四比例项。
两条线段的比是它们的长度的比，也就是 两个数的比.关于成比例的数具有下面的性
质.
比例式是等式，因而具有等式的各 个性质，此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 比例的内项乘积等于外项乘积.
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
如果作为比例内项的是相同的线段，即
或a:b=b:c，那么线段b叫线段a、c的比例中项。
a b = b c
说明：
a c 1.式子 = 或 a:b=c:d叫比例式 b d
2.比例式中，项的次序不可任意改变。如 d是a、b、c的第四比例项与d是b、c、a的 第四比例项的意义是不同的。
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1、了解线段的比和成比例线段的概念，并掌握 成比例线段的判定方法及比例的基本性质应用。 2、通过情景感受到学习线段的比的必要性，根 据比例线段探究比例基本性质，进一步熟练掌 握解决问题的能力。 3、通过有关比例计算，进一步提高学生从数学 角度分析问题和解决问题的能力。
第四章 图形的相似
1 成比例线段（1）
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)段的比是否相等。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两 条线段的积 。
例题讲析
例2 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，
按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形
彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原
AB k，或
n
CD
AB=k×CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。
思练考习：：线在段运A用C=线0.段1m的,A比B=时5c，m需,求要AC注:A意B什= 2么:1？
A
B
C
概念二：建立成比例线段的概念
BC B C
由下面的格点图可知， AB
AB
＝_________，
＝________，这样 AB 与 BC 之间有关系______．
探究活动：探索比例的基本性质
做一做：请指出下列比例式的比例内项和比
例外项,并比较它们的积.
(1) 0.3 0.6 (2) 2 1
24
63
讨论：利用等式性质，能从 a c 推导出
ad=bc吗？反过来呢？
bd
比例的两个外项之积等于两个内项之积
ac
ad=bc
bd ad=bc
ac bd
（a，b，c，d都不为零）
AB BC
成比例线段
四条线段a，b，c，d 中，如果a与b的比等于c
与d的比,即
a
c （或a∶b＝c∶d
)那么这四条线段a，
bd
b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项， d 叫做 a、b、c的第四比例项.
注意：四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关。
补充说明：若a:b=b:c，那么b2=ac,我们把b
叫做a,c的比例中项。
例题讲析
例1 已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm .
问：这四条线段是否成比例？为什么?
答：这四条线段成比例.
∵a=10mm=1cm
d31 b=6=2
ad c=b
即线段a、c、d、b成比例.
变式训练：已知线段a,b,c,d成比例，a=3cm , b=2cm, c=6cm,求线段d 的长。
必做题：书本P79 1题和2题 选做题：学习之友P31 9题
拓展练习
1、若
xy 7 y4
，则
x y
=
2、已知
a 2b 9 2a b 5
，则a:b=
• 3、已知1, √2 ,2三个数，请你再添上一 个数，写出一个比例式。
情景引入
实际生活中我们经常会看到许多形状相同的图形。
概念一：建立线段的比的概念
线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m、n，那么说这两条线段的比AB:CD=m:n或写
成 AB m .其中，线段AB,CD分别叫做这个线段比的前
CD n
项、后项.如果把
m表示成比值k,那么
绸布的长与宽的比相同，即
AE AD AD AB
,那么
a的值应当是多少？
解：根据题意可知，AB=am，AD=1m。
∵ AE AD AD AB
∴
1 3
a
1
1a
∴ a 3
∴ a 3
课本：学习之友 P30课内练习
1.通过这节课的学习 活动你有哪些收获？
2.你还有什么想法吗？
学习永远是件快乐而有趣的事！