东华大学卓越计划概率论第1章

⑹ P A B P A P AB 若 B A ，则 P A B P A P B
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§1.4 等可能概型 (古典概型)
一、古典概型
定义：具有下述两个特征的随机现象的数学 模型称为古典概型： ⑴ 试验E的样本空间是有限的，即
S={e1,e2,…,en}
(二) 运算规律 1、交换律：
A B B A
2、结合律：
AB BA
A B C A B C
3、分配律：
AB C A BC
A B C A C B C A B C A C B C
概率论与数理统计
绪 论
1
目前，数学在经济、金融、管理科学等领
域的应用越来越广泛，需要应用随机数学对这
些领域中的许多问题及大量数据建模、分析和 进行推断，为此，必须掌握随机数学的基础课 程——概率论与数理统计。 应 用
2
理论基 础
概率论是研究随机现象的数量规律的数学 分支，从近代博弈论逐步发展起来；数理统计
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例2：圆柱形产品，直径、长度都要合格，产
品才算合格。
规定A＝“长度合格”； B＝“直径合格”； C＝“产品合格”，描述A，B，C之间的关系。 例3： A1 ＝“2个样品中有一个次品”； A2 ＝“2个样品全是次品”； B ＝“2个样品中至少有一个次品”, 求 A2 , B 。
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例4：p.5，例题3。 例5：掷骰子，A=“掷出奇数点”；B=“点数不 超过3”；C=“点数大于2”； D=“掷出5点”。 求 A∪B；B∪C；AB；BD； A ； A C； A－B；B－A。
情况；
E3：抛一颗骰子，观察出现的点数；
E4：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次
数；
E5：在一批灯泡中任取一只，测试它的寿命；
E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
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§1.2 样本空间、随机事件 一、样本空间 定义：随机试验E的每一个基本结果，称为样
本点，样本点的全体组成的集合称为样本空间，
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例1：判断下列现象为随机现象还是决定性现
象？
(1) 扔一枚分币； (2) 从93个产品（其中90正3次）中抽取一个
产品；
(3) 在标准大气压下将水加热至100℃必沸腾； (4) 火箭速度超过第一宇宙速度就会摆脱地球 引力而飞出地球。
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§1.1 随机试验 定义：概率论中将对随机现象的观察或为观察 随机现象而进行的试验称为随机试验，它应具
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⑷ P A P A 1 ⑸ 加法公式：
P A B P A P B P AB
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
5
引例2：模型——捉小偷
已知：该小偷身高很高，躲进了咖啡馆。现馆内有顾客 4人，出于某种原因警察只能在馆外等待机会，判断 跟踪。 假设：1，2，3，4代表4个人从矮到高，即“4”为小偷，
求警察抓住小偷的概率。
1234 1 2 4 3√ 1 3 2 4 √ 1 3 4 2 √1 4 2 3 1432
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例6：某人连续三次购买体育彩票，每次一张， 令A、B、C分别表示其第一、二、三次所买的
彩票中奖事件，试用A、B、C表示下列事件：
(1) 第三次未中奖； (2) 只有第三次中了奖； (3) 恰有一次中奖； (4) 至少有一次中奖； (5) 不止一次中奖； (6) 至多中奖两次。
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§1.3 频率与概率
记为S。 例1：求上一节例2中随机试验Ek(k=1,2,…,6)的 样本空间Sk。
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二、随机事件
定义：在随机试验中可能会发生和可能不会发
生的事件称为随机事件，简称事件，用大写英
文字母A,B,C,Ai…等表示。
⑴ 事件是样本点的集合，它是样本空间
的子集；单点集又称基本事件。
⑵ 样本空间S～必然事件。 ⑶ 不包含任何样本点的空集φ～不可能 事件。
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⑸ ① 将一颗骰子连掷两次，求出现“点数之
后大家一看，飞机浑身上下都是窟窿，只有飞行员座
舱和尾翼两个地方几乎是空白。 沃尔德告诉大家：从数学家的眼光来看，这张图
明显不符合概率分布的规律，而明显违反规律的地方
往往是问题的关键。飞行员们一看就明白了：如果座
舱中弹，飞行员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡就
会坠落——这两处中弹，轰炸机多半回不来了，难怪 统计数据是一片空白。因此，结论很简单：只需要给 这两个部位焊上钢板就行了。
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⑶ 一口袋中有5红2白7个球，从袋中任取一
球，有放回地取2次，求：
① 均取红球的概率；
② 第一次取红球，第二次取白球的概率；
③ 取得一红一白的概率。
1 1 ⑷ 设事件A、B的概率分别为 和 ，求下列 3 2
三种情况下P BA 的值：
1 ① A与B互斥； ② A B ； ③ P AB 。 8
元素，共有 nr 种方法。
② 无放回选取，从n个元素中无放回选取r个
r 元素(r≤n)，共有 An Pnr 种方法。
n! A n n 1n r 1 n r !
r n
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⑶ 组合：从n个元素中取出r个元素，不必考
虑r个元素的前后顺序。设其结果为 C
r n
备以下三个特征：
⑴ 每次试验的可能结果不止一个，且事先明确 知道试验的所有可能性结果。 ⑵ 进行试验之前不能确定哪一个结果会发生。 ⑶ 试验可以在相同条件下重复进行。 随机试验简称试验，用英文字母E表示。
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例2：随机试验的相关例子。
E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的
fn(A)稳定在0.5附近摆动，但不是普通 的极限意义。
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二、概率的统计意义 1、定义：随机试验E中的事件A，在n次重复试
验中出现的频率为fn(A) ，当n很大时，fn(A) 稳
定地在某一数值p的附近摆动，且随着n的增 大，摆动幅度会减小，则称p为随机事件A发生 的概率，记为
P A p
以概率论为工具研究统计资料的收集、整理，
并依据收集现象的规律性作出科学的分析和推 断。 概率论与数理统计以随机现象的统计规律 性为研究对象，其最终目的在于用随机现象 的规律性指导我们的实践。
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引例1：钢板的故事
二战后期，美军对德国和日本法西斯展开了大规
模战略轰炸，每天都有成千架轰炸机呼啸而去，返回
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⑴ A（ A ）发生当且仅当 A （A）不发生； ⑵ 若两个事件A、B满足
① A B S
② AB 称A、B对立或称A、B互逆。
1 A, B互逆 A, B互斥，反之不成立； 于是有 2 A A, A S A 3 A B AB A AB
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一、频率
定义：对于随机事件A，若在n次试验中出现了
nA次，则称
fn(A)=nA/n 为事件A在n次试验中出现的频率。 例1：掷一枚硬币，A＝“正面向上”，几位数学 家的试验结果如下：
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试验次数 正面向上的次数 正面向上的频率 n nA fn(A)
De Morgen Buffon Pearson 2048 4040 12000 24000 1001 2048 6019 12012 0.488 0.5069 0.5016 0.5005
⑵ 每个样本点 ei (1,2,…,n) 出现的可能性 即发生的概率相同。
1 P e1 P e2 P en n
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概率的古典定义
设 S={e1,e2,…,en} 为古典概型，事件A 发生的概率定义为
k A所包含的基本事件总数 P A n 基本事件总数
可用数字表示出来。
2、利用高度来确定结果，这就是“随机过程”。
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概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念
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定义：在试验或观测之前，不能确切知道
哪个结果会发生，称此现象为随机现象。
相反，在一定条件下能够明确预知其结果，
称此现象为决定性现象。在大量重复试验
或观察中所呈现出的固有规律性，称为
统计规律性。
n 或 r 。
组合的计算是通过考虑一个组合可以产生多 少个排列而得到结果。
A r!C
r n
r n
rΒιβλιοθήκη Baidun
n! n C r r !n r !
r n Cn Cn r
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例1：某铁路线上共有20个车站，要为这条铁
路线准备多少种车票？ 例2：30个篮球队进行单循环比赛，要进行几
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2、概率的基本性质
⑴⑵⑶为基本性质
⑴ 非负性：对任一事件A，有0≤P(A)≤1。 ⑵ 规范性： P S 1, P 0 ⑶ 有限可加性：若事件A,B互斥，则
P A B P A P B
进一步，如果A1,A2,…,Am是两两互斥的事件，则
m m P Ai P Ai i 1 i 1
场比赛？
例3：袋中有5红2白7个球，有放回地每次从
袋中摸一球，共摸三次，问两次摸红球、一次
摸白球的试验结果有几个？
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2、具体例子
⑴ 设有20个某种零件，其中16个为一级品，
4个为二级品，现从中任取三个，求：
① 只有一个一级品的概率；
② 至少有一个一级品的概率。
⑵ 从0、1、2、3这4个数字中任取3个进行排 列，求“取得的3个数字排成的数是三位数且 是偶数”的概率。
n
A1 A2 An Ai
i 1
3、和事件： 事件A、B至少有一个发生，记为A∪B。
n
n个事件的和事件指A1,A2,…,An至少有一个发生：
A1 A2 An Ai
i 1
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4、差事件： 事件A发生而事件B不发生，记为 A B AB 。 5、互不相容或互斥： 事件A与事件B不可能同时发生，记 AB 。 当事件A、B互斥时，记A∪B＝A＋B。 6、对立事件： 对于事件A，称“事件A不发生”为事件A 的对 立 A 事件，记为 。
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三、事件间的关系与事件的运算 (一) 关系
1、包含(子事件)：
事件A发生必然导致事件B发生，称A是B的 子事件，记为A B。 若A B且A B ，则称事件A与事件B相等，
记为A＝B。
A S
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2、积事件：
事件A与事件B同时发生，记为A∩B或AB 。
n个事件的积事件指A1,A2,…,An同时发生：
2134
4123
2 1 4 3√ 2 3 1 4 √ 2 3 4 1 √2 4 1 3
4132 4213 4231 4312
2431
3421 4321
6
3 1 2 4√ 3 1 4 2 √ 3 2 1 4 √ 3 2 4 1 √ 3 4 1 2
解：
方法一：若事先确定第几个是小偷，则小偷被抓获的 6 概率为 。 24 方法二：若采用“过半选优”法，则小偷被抓获的概 率 10 为 24 。 1、上例反映了数学的精妙之处，每种可能性均
时往往损失惨重。美国空军对此十分头疼：如果要降
低损失，就要往飞机上焊防弹钢板；但如果整个飞机
都焊上钢板，速度、航程、载弹量等都要受影响。 怎么办？空军请来了数学家亚伯拉罕· 沃尔德。沃 尔德的方法十分简单。他把统计表发给地勤技师，让
他们把弹洞的位置报上来。然后自己铺开一张大白纸，
4
画出飞机的轮廓，再把小窟窿一个个添上去。画完之
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4、德摩根(De Morgen)律：
A B A B
⑴ 此律又称对偶律；
A B A B
⑵ 对于n个事件，甚至无限可列个事件，此律
亦成立。
A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An
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二、古典概型的计算 1、复习排列组合 ⑴ 两个基本原理 ① 乘法原理 进行A过程有n种方法，B过程有m种方法，则
进行AB过程有mn种方法。 ② 加法原理
进行A过程有n种方法，B过程有m种方法，则 进行A∪B过程有m+n种方法。
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⑵ 排列：从n个元素中取出r个元素进行有顺
序地放置。 ① 有放回选取，从n个元素中有放回选取r个