七年级数学下册9.3多项式乘多项式教案(新版)苏科版

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七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.3多项式乘多项式教案1新版苏科版

9.3多项式乘以多项式【学习目标】1.理解多项式乘以多项式运算的算理2.会进行多项式乘以多项式的运算教学重点：会进行多项式乘以多项式的运算教学难点：计算的正确程度第一次集体备课（通案）第二次备课（个案）【导入新课】这节课学习多项式乘以多项式【板书课题】9.3多项式乘以多项式【学习目标】1.理解多项式乘以多项式运算的算理2.会进行多项式乘以多项式的运算【自学指导】1.回忆单项式与多项式的乘法法则计算：①②③④2.交流课本习题9.2第4题引入新课多项式的乘法就是形如（a+b）(c+d)的计算．这里a、b、c、d都表示单项式，因此表示多项式（a+b）(c+d)相乘，那么如何对（a+b）(c+d)进行计算呢？请同桌同学互相讨论，并试着进行计算．尝试从多角度理解多项式与多项式乘法：（1）把看成一单项式时，（a+b）(c+d)= （a+b）c+（a+b）d =ac+bc+ad+bd．（2）把(c+d)看成一单项式时，（a+b）(c+d)= a (c+d)+b (c+d) =ac+ad +bc +bd．．（3）利用面积法（a+b）(c+d)=ac+ad +bc +bd．．通过复习引起学生回忆引导学生用文字表述多项式乘法法则：3．总结规律，揭示法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．自学指导: 时间：8分钟看书第73页例1、例21.老师巡视指导学生看书仔细看例解题格式注意结果的形式（时间8分钟）检测题1：计算：(1) (a +4)(a +3) (2) (2x －5y )(3x －y )检测题 2：计算（1）n (n +1)(n +2) (2) )168()4(2--+x x结合例题讲解，提醒学生在解题时要注意：(1)解题书写和格式的规范性；(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏【堂清知识】1.多项式乘多项式的法则是什么？2.要注意什么？【当堂检测】计算：（1） )32)(1(-+x x （2）（3）（4）)12)(2(++n n n按法则的文字叙发“一步步”解题，注意最后要合并同类项．学生进行小结，不足之处由同小组的同学进行补充。

【精品】苏科初中数学七年级下册《9.3 多项式乘多项式》教案 (1)

也可能把此图看成是由 4 个小长方形组成，
a
bHale Waihona Puke c一个多项式看作一个整体，转化为单项式乘多项式，再利用乘法分配率将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式，理解多项式乘多项式的运算法则，从而经历合情推理——演绎推理的过程，感悟数学的严谨性．
d
则此图面积为： ac ad bc bd ．
（2）观察两组式子提出自己对
(a b)(c d ) 的想法．
2．活动二．（1）引导学生发现运算过程，也可以表示为：
(a b)(c d ) ac ad bc bd
（2）思考：多项式乘多项式应该如何计算？（3）得出法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
参考答案：1．（1）2x2 x 3 ；（2）49 9x2 ；（3） 21m2 4mn 12n2 ；（4） 2n3 5n2 2n ． 2． (ab 2a 2b 4)cm2 ．
1．小组内相互交流收获； 2．集体交流； 3．跟着教师体会多项式乘多项式的实质．
这两题巩固了多项式乘多项式的计算，由学生独立完成，能检测全体学生对知识点的掌握情况，借助实物投影，可以展示多位学生有问题的解答，集体纠错，提高实效．最后由小组内互助纠错，能有效帮助后进生，培养学生的合作意识．
1．学生尝试解答，投影纠错．对于第二问解答过程不唯一，可能有学生先将 n 与（n＋1）相乘，再与（n＋2）相乘，也可能有学生先将（n＋1）与（n＋2）相乘，再把结果与 n 相乘，应投影多种解答的方法．
借助算式图展示
ac ad bc bd 的
得出过程，可以直观感知多项式乘多项式的运算方法，便于学生思考并得出法则．在学生相互补充的过程中不断完善法则，加深学生对法则的理解．

新苏科版七年级数学下册《9章整式乘法与因式分解 9.3 多项式乘多项式》公开课教案_8

9.3多项式乘多项式教学目标：1、理解和掌握单项式与多项式的乘法法则，并会用其推导多项式乘多项式的乘法法则.2、会进行多项式乘多项式的运算（其中多项式仅指一次式）3、经历探索多项式乘多项式运算法则的过程，发展有条理的思考及语言能表达能力。

4、通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力。

教学重点：多项式乘法法则的把握和领悟教学难点：法则的探索及运用教学过程：一、前提测评1、单项式乘多项式的法则是什么？2、计算（1）)3()2(2bc c a -•- （2）)3(6b a a --二、探索新知现有若干块长方形纸片，你们能用它们拼大长方形吗？交流你们的拼法，并计算你所拼图形的面积。

由此得到 bd bc ad ac d c b a +++=++)(）（那么有没有同学能利用我们前面学习过的单项式乘多项式的知识来推导这一结论呢？一般的，对于任意的a 、b 、c 、d ，把（c+d ）看成一个整体，利用单项式乘多项式法则bd bc ad ac d c b d c a +++=+++=)()(（上面的运算也可以表示为bd bc ad ac d c b a +++=++)(）（仿照上述式子，你能计算)(e d c b a +++）（吗？下面我们来总结一下如何进行多项式乘多项式的运算：多项式与多项式想乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、例题解读例1、计算)32)((3)3)(52(1+++--b a b a y x y x ）（）（ 2)2(4)2)(1(2b a n n n +++）（）（注意：多项式与多项式相乘的结果中，要合并同类项。

练一练：)37)(37(2)22)(2(1x x x x +--+）（）（例2、计算 )3)(2(3)3)(2(2)3)(2(1---+++x x x x x x ）（）（）（上述式子中，在等号左边的两个多项式有什么特点？观察字母部分和数字部分等号右边的多项式中，它的一次项系数、常数项跟左边的数字有什么联系。

苏科版数学七年级下册《9.3 多项式乘多项式》教学设计

苏科版数学七年级下册《9.3 多项式乘多项式》教学设计一. 教材分析《苏科版数学七年级下册》中的《9.3 多项式乘多项式》一节，是在学生已经掌握了整式的乘法、单项式乘以单项式的基础上进行学习的。

本节内容主要让学生掌握多项式乘多项式的计算法则，并能灵活运用这些法则进行计算。

教材通过例题和练习，帮助学生理解和掌握多项式乘多项式的运算规律，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了整式的乘法、单项式乘以单项式的方法，对于新的学习内容有一定的接受能力。

但同时，多项式乘多项式的计算法则相对复杂，需要学生进行更深入的理解和掌握。

在学生的学习过程中，可能会遇到以下问题：1.对多项式乘多项式的计算法则理解不深，导致在实际计算过程中出现错误。

2.在进行多项式乘法运算时，容易忽视括号的作用，导致计算错误。

3.对于一些特殊的多项式乘法运算，学生可能不知道如何下手。

三. 教学目标1.让学生掌握多项式乘多项式的计算法则。

2.培养学生进行多项式乘法运算的能力。

3.帮助学生理解和掌握多项式乘法的运算规律，提高学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：多项式乘多项式的计算法则。

2.难点：理解并掌握多项式乘法的运算规律，进行复杂的多项式乘法运算。

五. 教学方法1.采用讲解法，让学生明确多项式乘多项式的计算法则。

2.采用练习法，让学生在实际计算中掌握多项式乘法运算的技巧。

3.采用问题解决法，引导学生思考和探索多项式乘法的运算规律。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示多项式乘多项式的计算法则。

2.准备一些练习题，让学生在课堂上进行练习。

3.准备一些复杂的多项式乘法题目，用于拓展学生的思维。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的多项式乘法题目，引导学生进入本节内容的学习。

例如：计算（x+2）（x+3）。

2.呈现（15分钟）讲解多项式乘多项式的计算法则，让学生明确计算步骤。

3.操练（15分钟）让学生在课堂上进行多项式乘法运算的练习，巩固所学知识。

9.3多项式乘多项式-苏科版七年级数学下册教案

9.3 多项式乘多项式【教学目标】1.理解多项式与多项式相乘的法则，能熟练运用法则进行计算；2.经历探索多项式乘多项式运算法则的过程，体会转化思想，发展语言表达能力；3.通过探索过程，进一步促进学生感悟数与形的关系，知道数学符号可以进行运算。

【教学重难点】1.教学重点：理解多项式与多项式相乘的法则，能熟练运用法则进行计算。

2.教学难点：多项式与多项式相乘的法则的灵活运用，以及符号的处理。

【教学过程】一、课堂导入如图所示的长方形，计算它的面积？（1）如果把图形看成一个大长方形，他的长为 b a + ，宽为 d c + ，那么它的面积为 ()()d c b a +⋅+ ；（2）如果把图形看成两个竖着的长方形，那么它们的面积分别为()()d c b d c a ++、，大长方形的面积为()()d c b d c a +++；（3）如果把图形看成是由4个小长方形组成的，那么每个小长方形的面积分别为 ac 、bd ad bc 、、，大长方形的面积为 bd ad bc ac +++ 。

（4）由此我们可以得出结论：()()d c b a +⋅+=()()d c b d c a +++=bd ad bc ac +++ 。

二、预习交流1.想一想问题一：通过观察()()d c b a +⋅+=()()d c b d c a +++，我们有什么发现？问题二：通过观察()()d c b d c a +++=bd ad bc ac +++ ，我们有什么发现？小组讨论、学生代表发言、教师补充总结（问题的目的在于让学生发现式子的变形使用了两次单项式乘多项式的法则，理解把“c+d ”看成一个整体这一重要思想）2.归纳总结：多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

用式子表示：()()d c b a +⋅+=bd ad bc ac +++。

3.例题讲解：（1）()()32-+x x=()()3223-⨯+⋅+-⋅+⋅x x x x=62--x x 注意正负号的处理（2）()()213--x x=()()()()211233-⨯-+⋅-+-⋅+⋅x x x x=2732+-x x 注意负号的处理（3）()()22232--+x x x=()()()()222222323322-⋅+-⋅+⋅+-⨯+-⋅+x x x x x x x=610223---x x x 注意在乘的过程中做到不重不漏三、课堂巩固1.已知()()q px x x x ++=--22122，那么q p 、的值分别为（ B ） A. 5，2 B. -5，2 C. 5，-2 D. -5，-22.已知()()m x x -⋅+243的结果中不含有x ，那么m 的值是（ C ）A. 0B. 38-C. 38D. 83 3.已知,0172=+-a a 则()()=--43a a 11 ；4.计算（1）()()()13312+-+-x x x x （2）()()264232x x x -+- 31052--=x x =1620-x5.先化简，再求值：()()()()341122382+-++--a a a a a ，其中1-=a 。

数学初一下苏科版9.3多项式乘多项式教案

(前两个是单项式乘以多项式，第三个是多项式乘以多项式、)
如何进行多项式乘以多项式的计算呢？请同学们对比课本先研究一下我们在课堂上所要探讨的问题
合
作
探
究
【一】新知探究：师生共同研究多项式乘法的法那么
看图回答：
(1)长方形的长是______
(2)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
四个小长方形面积分别是_____
(3)由(1)，(2)可得出等式______、
四、提炼总结：启发引导学生归纳本节所学的内容：
1、多项式的乘法法那么
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
2、注意点〔1〕步骤；〔2〕符号、字母、指数。
当
堂
达
标
1.计算：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
1.计算：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
1.(1)m2+2mn+n2(2)ax-bx+ay-by其余省略
2.(1)2n2-18(2)6x2+7x-3(3)2a2+7ab+10b2其余省略
如此得出了和上面一致的结论，即
(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bD、
上述运算过程能够表示为
引导学生观看式特征，讨论并回答：
(1)如何用文字语言表达多项式的乘法法那么？
(2)多项式与多项式相乘的步骤应该是什么？
引导学生归纳出：
(1)一般地，多项式与多项式相乘，①先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项；②再把所得的结果相加
学习重点
多项式的乘法法那么及其应用
学习难点
多项式的乘法法那么

初中数学七年级下册苏科版9.3多项式乘多项式教学设计

五、作业布置
为了巩固学生对多项式乘法知识的掌握，培养他们独立解决问题的能力，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第9.3节后的习题1、2、3，这些题目旨在帮助学生熟悉多项式乘法的基本步骤，加强他们对分配律运用的熟练度。
2.应用提升题：从生活中选取两个实际情境，要求学生将问题转化为多项式乘法运算，并求解答案。这样的题目可以帮助学生将理论知识与生活实际相结合，提高数学应用能力。
2.情境导入：向学生展示一个与生活相关的情境，如计算一个长方形花园的面积（长和宽分别为多项式表达式），引导学生思考如何解决这类问题，为新课的学习提供实际背景。
3.问题导入：提出一个具有挑战性的问题，如“如何计算两个多项式的乘积？”，激发学生的好奇心，引导学生进入新课的学习。
（二）讲授新知
1.演示与讲解：利用多媒体课件或黑板，直观地展示多项式乘以多项式的运算过程。详细讲解分配律在多项式乘法中的应用，解释每一步的运算规则。
3.思考探究题：针对本节课学习的多项式乘法，提出一个具有挑战性的问题，要求学生在课后进行思考和探究。例如：“如何将一个三项式与一个四项式相乘？请尝试给出一个通用的解题步骤。”
4.小组合作题：布置一道需要小组合作完成的题目，要求学生在课后分组讨论，共同解决。这样的题目有助于培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
4.能够在解决混合运算题目时，识别并优先执行多项式乘法步骤，理清运算顺序。
（二）过程与方法
1.探究与发现：鼓励学生通过小组合作，自主探究多项式乘多项式的运算规律，培养学生的观察能力和归纳总结能力。
2.理解与运用：通过例题讲解和课堂练习，让学生理解和掌握多项式乘法的具体步骤，提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
7.评价与反馈阶段：通过课堂提问、作业批改、小测验等形式，全面评估学生的学习效果。针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和建议，促进学生的全面发展。

(春)七年级数学下册 9.3 多项式乘多项式教案2(新版)苏科版

……
……
例2：……
……
……
习题……
……
……
作业布置
课后随笔
(1)(a+4)(a+3)
(2)(2x－5y)(3x－y)
例2计算
（1）n(n+1)(n+2)
(2)
五、课堂练习
1．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．判断题：
(1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc；( )
(2)(a+b)(c+d)=ac+ad+ac+bd；( )
(3)(a+b )(c+d)=ac+ad+bc+bd；( )
9.3多项式乘多项式
教学目标
1、使学生掌握多项式的乘法法则；
2、会进行多项式的乘法运算；
3、结合教学内容渗透“转化”思想，发展学生的数学能教学难点
多项式的乘法法则
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
我们在上一节课里学习了单项式与多项式的乘法，请口算下列练习中的(1)、(2)：
(1)3x(x+y)=____ __．
(2)(a+b)k=______．
(3)(a+b)(m+n)=______．
共同研究多项式乘法的法则
看图回答：
ⅠⅡ
ⅢⅣ
(1)长方形的长是______
(2)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个小长方形面积分别是_____
(3)由(1)，(2)可得出等式______．
这样得出了和上面一致的结论，即
(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd．

苏科版初中数学七年级下册9.3多项式乘多项式word教案(1)

三、例题讲解例1 计算．（1）)3)(2(-+x x （2）)2)(13(--x x 学生口答，教师板书．参考答案：（1）62--x x ；（2）2732+-x x ．在此例题书写完整解题步骤的过程中，巩固学生对法则的理解，教师的板书能即时给学生以示范作用．例2 计算．（1）)2)(3(n m n m -+；（2）)2)(1(++n n n1．学生尝试解答，投影纠错．对于第二问解答过程不唯一，可能有学生先将n 与（n ＋1）相乘，再与（n ＋2）相乘，也可能有学生先将（n ＋1）与（n ＋2）相乘，再把结果与n 相乘，应投影多种解答的方法．2．小组纠错．参考答案：（1）22253n mn m --；（2）n n n 2323++．此例题由学生自己尝试解答，在解答的过程中进一步巩固对法则的理解，且规范地书写解题格式．第二问将多项式乘多项式与单项式乘多项式加以结合，在解题的过程中让学生体会到最终都是向单项式乘单项式转化，且交流多种计算方法，进一步达到活用法则的目的．小组内互助纠错，能有效帮助后进生，培养学生的合作意识．（2）注意点：①运用法则进行计算时不能“漏项” ．②每一项都要能减少计算的错误，且培养了学生一种反思的习例3 填空．（1）若n mx x x x ++=+-2)7)(4(，则____,==n m ．（2）若2,1-==-ab b a ，则________)1)(1(=-+b a ．学生思考后举手回答．参考答案：（1）m ＝3，n ＝－28；（2）－4．此例题的设置旨在训练学生思维，提高学生灵活运用法则的能力，第二问在法则运用的同时还体现了整体思想的渗透．四、练习巩固课本P73“练一练”第1、2小题．1．学生独立完成；2．实物投影学生的解答，学生点评纠错； 3．小组内相互检查纠错．参考答案：1．（1）322--x x ；（2）2949x -；（3）2212421n mn m --；（4）n n n 25223++． 2．2)422(cm b a ab +-- ．这两题巩固了多项式乘多项式的计算，由学生独立完成，能检测全体学生对知识点的掌握情况，借助实物投影，可以展示多位学生有问题的解答，集体纠错，提高实效．最后由小组内互助纠错，能有效帮助后进生，培养学生的合作意识．通过今天的学习，你学到了什么？说出来与大家分享． 2．集体交流；总结归纳本节知识的目的，形成完整的印象，最。

七年级数学下册9.3多项式乘多项式一教案新版苏科版

多项式乘多项式（一）教学目标：让学生利用面积计算和乘法的分配律得出多项式乘多项式的法则掌握多项式乘多项式的法则会准确熟练地用法则进行计算教学重、难点：会利用多项乘多项式的法则准确熟练地进行计算教学过程情境创设计算：m·(c+d)得到m·(c+d)=mc+md若将m 换成（a+b ）,你会计算（a+b ）·(c+d)吗？——引出课题：（板）多项式乘多项式课前要求学生制作边长分别为a,b,c,a·d,b·d 的长方形，课堂上由学生动手拼大长方形，能的拼法有①、②等。

二、探索新知问题—、如何表示这个大长方形的面积？学生先动手动脑独立思考，然后归纳（用启发式提问）若把这个图形看一个大长方形，则它的长和宽分别是多少？（a+b,c+d ）它的面积是多少？(a+b)·(c+d);若把这个图形看成由4个小长方形组成的，则每个小长方形的面积分别是多少？（ac,ad,bc,bd ）这个图形的面积是多少？(ac+ad+bc+cd)大长方形可以看成是长分别a 、b,宽都是(c+d)的2个小长方形，（如图①）组成的这个图形的面积为a(c+d)+b(c+d)4、大长方形可以看成是长分别为c 、d,宽都是(a+b)的2个小长方形组成的，其面积是c(a+b)d(a+b );这四种方法表示同一图形的面积，因此，它们是相等的，所以（a+b ）(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=c(a+b)+d(a+b)=ac+ad+bc+bd.问题二、如果把（c+d ）看成整体，你能将（a+b ）·(c+d)转化成单项式乘多项式吗？或[如果把（a+b ）·（c+d ）转化成单项式乘多项式吗？]从代数运算的角度解释，用乘法分配律：(a+b)·(c+d)=a(c+d)+b (c+d)把其中的一个多项式看成一个整体[（a+b ）·(c+d)]=(a+b)c+(a+b)d]问题三、如何计算（a+b ）(c+d)?（a+b ）(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd则(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd问题四、你能用文字描述多项式乘多项式的运算法则吗？（板）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得① c d c d的积相加三、例题分析：例1、计算（1）(a+4)(a+3) (2) (2x-5y)(3x-y)注：在多项式乘多项式的结果中，应对同类项进行合并。

苏科版数学七年级下册9.3(教学设计)《多项式乘多项式》

《多项式乘多项式》
略
【知识与能力目标】
1、理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程。

2、熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算。

【过程与方法目标】
3、通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力。

4、通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力。

【情感态度价值观目标】
5、渗透公式恒等变形的和谐美、简洁美
【教学重点】
多项式乘法法则。

【教学难点】
利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则。

多媒体课件
一．创设情境，复习导入
（1）回忆单项式与多项式的乘法法则。

（2）计算：①②③④学生活动：学生在练习本上完成，然后回答结果。

二．探索新知，讲授新课
今天，我们在以前学习的基础上，学习多项式的乘法，计算图形面积（图见课件）。

多项式的乘法就是形如的计算，这里都表示单项式，因此表示多项式相乘，那么如何对进行计算呢？若把看成一个单项式，能否利用单项式与多项式相乘的法则计算呢？请同桌同学互相讨论，并试着进行计算．
学生活动：同桌讨论，并试着计算（教师适当引导），学生回答结论．
推导过程
对于的计算过程可以表示为：
教师引导学生用文字表述多项式乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
如：计算：看成公式中的；－1看成公式中的；看成公式中的；3看成公式中的．运用法则中的每一项分别去乘中的每一项，计算可得：．
4．运用知识，尝试解题
例1 计算：（1）（2）（3）
例2 计算：（1）（2）。

[推荐学习]七年级数学下册 9.3 多项式乘多项式(二)教案 (新版)苏科版

最新K12 多项式乘多项式（二）教学目标：通过练习进一步巩固单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式法则。

利用多项式乘多项式的法则推导公式：(x+a)(x+b)=(a+b)x+ab,并能利用上式公式准确地进行计算。

会用法则对代数式进行化简，解决相关问题教学重、难点：利用所学法则准确、熟练地进行计算、化简。

教学过程：一知识回顾：说出单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式法则。

计算（1）（-5a 2b 3）·(-3a) (2)(2x)3(-5x 2y 3) (3)(-4x)(2x 2+3x-1)(4)（ab b ab 21)2322⋅- (5)(x+2y)(5a+3b) (6)(3x+y)(x-2y) 二探索新知例1、计算（1）（x+2）(x+3) (2)(y+5)(y-6)(3)(a-4)(a-1) (4)(m-8)(m+12)这四个式子的结果为：（1）x 2+5x+6;(2)y 2-y-30; (3)a 2-5a+4;(4)m 2+4m-96认真观察上面四个式子，然后提问：某个式子左边的两个因式所含的字母有什么关系？字母的系数是多少？答：它们是多项式乘多项式，两个因式都是一次二项式，且所含字母相同，字母的系数为1。

2、结果中的二次项系数是多少？一次项系数与左边两个因式中的常数项有何关系？右边的常数项与左边两个因式中的常数项有何关系？答：结果为二次三项式，且二次项系数为1，一次项的系数是原来常数项相加，常数项为原来常数项的积。

通过观察，我们把发现的规律用字母表示为：（x+a ）(x+b)=x 2+(a+b)x+a b(板)三、知识巩固例2、直接用上述公式说出答案(1)（x+10）(x+8) (2)(y-7)(y+5) (3)(a+b)(a-1) (4)(m-11)(m-6)(5)(ab+5)(ab+10) (6)(a 3-4)(a 3-5) (7)(x+30)(x+40) （8）(x+30)(x-40) (9)(x-y)2例3、计算：1、（4×105）2·（5×106）3·（3×104）（2）（－0.25）10·(－4)11例4、先化简，再求值：1、（－2xy 2）3·(3x 2y 2)+4x 3y 2·20x 4y 6,其中x=32，y=23- 2、(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中x=-2例5、解下列方程：2(x2-2)-6x(x-1)=4x(1-x)16(2x+3)(x-1)-28=(1+x)(2x+11)例6、试说明不论x为何值时，代数式（x+3）2+(x-3)-2(x+3)(x-3)恒为定值。

初中数学七年级下册苏科版9.3多项式乘多项式优秀教学案例

为了提高教学效果，我运用了多媒体教学手段，以形象、直观的方式展示多项式乘多项式的计算过程，激发学生的学习兴趣。此外，我还设计了一系列具有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解决问题的能力。
在教学评价方面，我采用多元化的评价方式，既关注学生的知识掌握程度，也关注他们的学习过程、态度、合作精神等方面的发展。通过这一系列的教学活动，旨在使学生在掌握多项式乘多项式计算方法的同时，培养他们的数学素养，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
初中数学七年级下册苏科版9.3多项式乘多项式优秀教学案例
一、案例背景
初中数学七年级下册苏科版9.3多项式乘多项式优秀教学案例，是在学生掌握了多项式的基本概念、单项式的乘法法则等基础知识后，进行的一项实践活动。该章节内容主要介绍了多项式乘多项式的计算方法，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
在本章节的教学中，我以实际问题为载体，引导学生通过观察、分析、归纳、总结等数学活动，掌握多项式乘多项式的计算法则。在教学过程中，我充分关注学生的个体差异，针对不同程度的学生制定合适的教学策略，使他们在原有基础上得到提高。同时，我注重培养学生的合作意识，让学生在小组讨论、交流中取长补短，共同进步。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握多项式乘多项式的计算方法，能够正确计算两个多项式的乘积。
2.使学生理解多项式乘多项式的运算规律，能够运用规律进行简便计算。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，能够运用多项式乘多项式的方法解决一些生活中的问题。
在教学过程中，我将以具体例题为载体，引导学生通过观察、分析、归纳、总结等数学活动，掌握多项式乘多项式的计算方法。针对不同程度的学生，我会设置不同难度的题目，让他们在原有基础上得到提高。同时，我会设计一些实践性较强的题目，让学生在实际问题中运用所学知识，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

新苏科版七年级数学下册《9章整式乘法与因式分解 9.3 多项式乘多项式》公开课教案_25

9.3多项式乘多项式1．通过同一图形面积的不同算法的比较，理解多项式乘法法则的几何背景．2．在理解多项式与多项式乘法法则的基础上，通过典例分析，学会根据这一法则进行计算．3．在掌握多项式乘法法则的基础上，通过实例理解“不含”问题的本质，学会解决这一类问题．例1 如图9－3－1，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a＋b、宽为a＋2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张．图9－3－1目标二根据多项式乘法法则计算例2 教材例1变式计算下列各题：(1)(－3x－2y)(4x＋2y)；(2)(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)；(3)(3x－2)(x＋3)(2x－1)．[全品导学号：98584067]【归纳总结】多项式乘多项式的“三点注意”：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于原多项式的项数的积；(3)相乘后，若有同类项应合并．目标三单项式与多项式中的“不含”问题例3 [教材补充例题]若(x2＋ax＋b)(x2－5x＋7)的展开式中不含有x3与x2的项，求a，b 的值．[全品导学号：98584068]知识点多项式乘多项式法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子可表示为＝ac＋ad＋bc＋bd.[注意] (1)要用一个多项式中的每一项分别乘另一个多项式的每一项，勿遗漏；(2)注意多项式乘法运算过程中的符号问题．多项式中的每一项都包括它前面的符号，应带着符号相乘；(3)若展开后的多项式中有同类项，则要合并同类项，使结果最简，并且最终结果一般都按照某个字母的降幂(或升幂)排列．计算：(2a－b)(a＋3b)．解：(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋6ab－ab＋3b2＝2a2＋5ab＋3b2.上面的计算正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确的解题过程．课堂反馈(十八)9.3多项式乘多项式(建议用时：10分钟)1.若(x＋3)(x＋4)＝x2＋px＋q，则p，q的值是()A．p＝1，q＝－12 B．p＝－1，q＝12C．p＝7，q＝12 D．p＝7，q＝－122．计算(2x－1)(5x＋2)的结果是()A．10x2－2 B．10x2－5x－2C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－23．计算：(2x＋1)(x－3)＝________．4．有若干张如图18－1所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为2a＋b，宽为a ＋b的长方形，那么需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．图18－15．计算：(1)(2x－7y)(3x＋4y－1)；(2)(x－y)(x2＋xy＋y2)．课时作业(十八)[9.3多项式乘多项式]一、选择题1．2017·武汉计算(x＋1)(x＋2)的结果为()A．x2＋2 B．x2＋3x＋2C．x2＋3x＋3 D．x2＋2x＋22．下列算式的计算结果等于x2－5x－6的是()A．(x－6)(x＋1) B．(x＋6)(x－1)C．(x－2)(x＋3) D．(x＋2)(x－3)3．已知a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是()A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m4．若(x＋t)(x－6)的积中不含有x的一次项，则t的值为()A．0 B．6C．－6 D．－6或0二、填空题5．计算：(3x－1)(2x＋1)＝________．6．在(x＋1)(2x2＋ax＋1)的运算结果中，x2的系数是－1，那么a的值是________．7．已知(x－1)(x＋2)＝ax2＋bx＋c，则代数式4a－2b＋c的值为________．三、解答题8．计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2)．9．[教材习题9.3第3题变式]先化简，再求值：6x2－(2x－1)(3x－2)＋(x＋2)(x－2)，其中x＝2.10．[教材习题9.3第4题变式]一块长方形草坪的长是2x m，宽比长少4 m．如果将这块草坪的长和宽都增加3 m，那么面积会增加多少？求出当x＝3时，面积增加的值．数形结合我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图K－18－1①②等图形的面积表示．(1)请你写出图③所表示的一个等式：________；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2；(3)请仿照上述方法另写一个只含有a，b的等式，并画出与之对应的图形．图K－18－1详解详析【目标突破】例1解：∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2a2＋5ab＋2b2，∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．例2解：(1)原式＝－3x·4x－3x·2y－2y·4x－2y·2y＝－12x2－6xy－8xy－4y2＝－12x2－14xy－4y2.(2)原式＝－4x2－6xy＋10x＋6xy＋9y2－15y＋2x＋3y－5＝－4x2＋(－6xy＋6xy)＋(10x＋2x)＋9y2＋(3y－15y)－5＝－4x2＋12x＋9y2－12y－5.(3)原式＝(3x2＋9x－2x－6)(2x－1)＝(3x2＋7x－6)(2x－1)＝6x3＋14x2－12x－3x2－7x＋6＝6x3＋11x2－19x＋6.例3[解析] 缺某项指展开式中合并同类项后该项的系数为0，列出一个方程即可求得字母的值．解：在(x2＋ax＋b)(x2－5x＋7)的展开式中，x2项有7x2，－5ax2，bx2，x3项有－5x3，ax3.因为不含x2与x3的项，故有－5＋a＝0，7－5a＋b＝0，解得a＝5，b＝18.备选目标有关多项式乘多项式的规律探索型问题例分别计算出下列各题的结果：①(x＋2)(x＋3)＝________；②(x－2)(x－3)＝________；③(x－2)(x＋3)＝________；④(x＋2)(x－3)＝________．(1)仔细分析比较所得的结果，你能发现什么规律？并把你的发现用文字叙述出来．文字叙述：________________________________________________________________________；规律：(x＋a)(x＋b)＝________．(2)运用你发现的规律计算下列各题：①(x＋2y)(x－4y)；②(a－2)(a＋2)(a2＋4)．[解析] 利用多项式乘多项式的法则进行计算，总结归纳出规律．解：①x2＋5x＋6②x2－5x＋6③x2＋x－6④x2－x－6(1)文字叙述：两个一次项系数为1的一次二项式相乘时，其积是一个二次三项式，其中二次项系数为1，一次项系数是两个常数的和，常数项是两个常数的积；规律：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.(2)①(x＋2y)(x－4y)＝x2－2xy－8y2.②(a－2)(a＋2)(a2＋4)＝a4－16.[归纳总结] 利用多项式乘多项式的法则进行计算，利用从特殊到一般的思路，总结归纳出规律，再加以应用．【总结反思】[反思] 不正确．在确定积中的每一项时，符号出错，－b乘3b时，积应该是－3b2，而不是3b2.正确解答：(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋6ab－ab－3b2＝2a2＋5ab－3b2.课堂反馈(十八)1．C 2.D 3.2x2－5x－34．213[解析] 长为2a＋b，宽为a＋b的长方形的面积为(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab ＋b2，A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．5．解：(1)原式＝6x2＋8xy－2x－21xy－28y2＋7y＝6x2－2x－13xy－28y2＋7y.(2)原式＝x3＋x2y＋xy2－x2y－xy2－y3＝x3－y3.【课时作业】[课堂达标]1．[解析] B原式＝x2＋2x＋x＋2＝x2＋3x＋2，故选B.2．[解析] A A．(x－6)(x＋1)＝x2－5x－6；B.(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6；C.(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6；D.(x＋2)(x－3)＝x2－x－6.故选A.3．[解析] D∵a＋b＝m，ab＝－4，∴(a－2)(b－2)＝ab＋4－2(a＋b)＝－4＋4－2m＝－2m .故选D.4．[全品导学号：98584264][解析] B∵(x＋t)(x－6)＝x2＋(t－6)x－6t，又∵不含有x的一次项，∴t－6＝0，∴t＝6.故选B.5．6x2＋x－16．[答案] －3[解析] (x＋1)(2x2＋ax＋1)＝2x3＋ax2＋x＋2x2＋ax＋1＝2x3＋(a＋2)x2＋(1＋a)x＋1，∵运算结果中x2的系数是－1，∴a＋2＝－1，解得a＝－3.7．[全品导学号：98584265][答案] 0[解析] (x－1)(x＋2)＝x2－x＋2x－2＝x2＋x－2＝ax2＋bx＋c，则a＝1，b＝1，c＝－2，故原式＝4－2－2＝0.8．解：(1)原式＝a·a2＋a·a＋a×1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.9．解：原式＝6x2－(6x2－4x－3x＋2)＋(x2－2x＋2x－4)＝6x2－6x2＋4x＋3x－2＋x2－2x ＋2x－4＝x2＋7x－6.当x＝2时，原式＝22＋7×2－6＝12.10．[全品导学号：98584266][解析] 该题取材于现实生活，体现了数学来源于生活，又服务于生活的特点，只要根据题意列出式子并化简即可．解：面积会增加(2x＋3)(2x－4＋3)－2x(2x－4)＝(2x＋3)(2x－1)－(4x2－8x)＝4x2－2x＋6x－3－4x2＋8x＝(12x－3)m2.当x＝3时，面积增加12×3－3＝33(m2)．[素养提升][全品导学号：98584267]解：(1)(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋5ab＋2b2(2)画法不唯一，如图所示：(3)答案不唯一，例如：(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2可以用下图表示：。

七年级数学下册教案-9.3 多项式乘多项式1-苏科版

9.3 多项式乘多项式学习目标：1、理解多项式乘多项式运算的算理；2、会进行多项式乘多项式的运算（仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）；3、经历探索多项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，知道使用符号可以进行运算和推理，得到结论具有一般性学习重点：会进行多项式乘多项式的运算（仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）学习难点：正确运用法则，做到不漏项，不出现符号问题学习过程：一、情境创设：计算下图的面积，你有哪些方法？请列出代数式，并把你的算法与同学交流.二、探索活动：1、通过计算上图的面积，你有什么发现？2、（新知识）多项式乘多项式法则：三、例题教学例1：计算（1）(x+2)(x-3) (2)例2：计算：（1）n (n+1) (n+2)（2）)2)(13(--xx)2)(3(nmnm-+四、练一练：五、知识延伸：（1）若，则m ＝___， n ＝_______ ．（2）若 a – b = 1, ab = -2 ，则（a ＋1）（b －1）＝ _____．(3)一块长方形地砖的长、宽分别为 a cm 、b cm ( a ＞ 2 , b ＞ 2 ) .如果长、宽各裁去 2 cm ，那么剩余部分的面积是多少？六、课堂小结:通过今天的学习，你学到了什么？说出来大家分享．七、课后作业1.（作业本）课本P74第1、2、3题2．补充习题： 9.3n mx x x x ++=+-2)7)(4(9.3 多项式乘多项式反馈测试卷一、计算：(1) (2x-5y)(3x-y)(3) (2m+3)(2m-3)(4) (2x+y)(x-y)二、先化简，再求值：)23)(12(62-+-xxx12x=-其中2(2)(32)x-。

七年级数学下册93多项式乘多项式教案1(新版)苏科版.docx

9.3多项式乘多项式一、教学目标1.理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程.2.熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算.3.通过用文字概括法则.，提髙学生数学表达能力.4.通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知•识的能力.5.渗透公式恒等变形的和谐美、简洁美.二、学法引导1.教学方法：讨论法、讲练结合法.2.学生学法：木节主要学习了多项式的乘法法则和一个特殊的二项式乘法公式，在学一习时应注意分析和比较这一法则和公式的关系，事实上它们是一般与特殊的关系.当遇到多项式乘法吋，首先要看它是不是(x+a) (x+b)的形式，若是则可以用公式直接写出结果，若不是再应用法则计算.三、重点、难点及解决办法(一)重点多项式乘法法则.(二)难点利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则.(三)解决办法在用面积法推导多项式与多项式乘法法则过程中，应让学生充分理解多项式乘法法则的儿何意义，这样既便于学生理解记忆公式，又能让学生在解题过程中准确地使用.四、课时安排一课时.五、教具，学具准备投影仪或电脑、自制胶片、长方形演示纸板.六、、师生互动活动设计1.设计一组练习，以检查学生单项式乘以多项式的掌握情况.2.尝试从多角度理解多项式与多项式乘法：(1)把@询看成一单项式时，《•锁•”(2)把看成一单项式吋，■(3)利用面积法I"抵询匕3.在理解上述过程的基础之上，引导学生归纳并扌旨出多项式乘法的规律.4.通过举例，教师的示范，学生的尝试练习，不断巩固新学的知识.对于遇到的特殊二项式相乘可利用特殊的公式加以解决，并注意一般与特殊的关系.七、教学步骤(一)明确目标本节课将学习多项式与多项式相乘的乘法法则及其特殊形式的公式的应用.（二）整体感知多项式与多项式的相乘关键在于展开式中的四项是如何得到的，这里教师应注重引导学生细心观察、品味法则的规律性，实质就在于让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项遍乘既不能漏又不能重复.对特殊的多项式相乘可运用特殊的办法去处理（三）教学过程1.创设情境，复习导入（1）回忆单项式与多项式的乘法法则.（2）计算：①Off ②32*）③加«4讣④住勺学生活动：学生在练习本上完成，然后回答结果.【教法说明】多项式乘法是以单项式乘法和单项式与多项式相乘为基础的，通过复习引起学生回忆，为本节学习提供铺垫和思想基础.2.探索新知，讲授新课今天，我们在以前学习的基础上，学习多项式的乘法.多项式的乘法就是形如的计算.这里■ h ■ r都表示单项式，因此《•劲表示多项式相乘，那么如何对61♦砍■■叩进行计算呢？若把■★氏看成一个单项式，能否利用单项式与多项式相乘的法则计算呢？请同桌同学互相讨论，并试着进行计算.学生活动：同桌讨瞥并试着计算（教师适当引导），学生回年结论.=«bi【教法说明】多项式乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的.这里的关键在于让学生理解，将*•**看成一个单项式，然后运用单项式与多项式相乘的法则进行计算，让学生讨论并试着计算，目的是培养学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生积极探索知识、善于发现规律、主动•参与学习.3.总结规律，揭示法则对于的计算过程可以表示为：(a b) (m n) - am an bm bn▼▼V/ a + 6丿(m + 几丿=am an bm + bn教师引导学生用文字表述多项式乘法法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.如计算: 2才看成公式中的么；一1看成公式中的直；-•看成公式巾的庾；3看成公式中的川.运用法则f2r -®中的每一项分别去乘中的每一项, 计算可得:学牛活动：在教师引导下细心观察、品味法则.【教法说明】借助算式图，指出的得出过程，实质就是用一个多项式的“每一项”.乘另一个多项式的“每一项”，再把所得积相加的过程.可以达到两个目的：一•是直观揭示法则，有利于学生理解；二是防止学生出现运用法则进行计算吋“漏项” 的错误，强调法则，加深理解，同时明确多项式是单项式的和，每一-项都包括前面的符号.这个法则还可利用一个图形明显地表示出来.（1） ________________________________________ 这个长方形的而积用代数式表示为・（2） ________________ I 的面积为 ___________ ； II 的面积为 _______ ； III 的面积为； IV 的面积为结论：即《•蚁二.学生活动：随着教师的演示，边思考，边回答问题.【教法说明】利用图形的直观性，使学生进一步理解、常握这一法则，渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析图形的能力..4.运用知识，尝试解题例1 计算：（1）知•划（2）G*-双（3）zw-m解：(1)原式n县皿♦如♦n<r ■碣(2)原式= 2^*fa-3x-12= 2x a +5i-12(3) 原式・X-卸【教法说明】例1的目的是熟悉、理解法则.完成例1时，要求学牛紧扣法则，按法教师演示:并提问:则的文字叙发“一步步”解题，注意最后要合并同类项.让学生参与例题的解答，旨在强化学生的参与意识，使其主动思考.例2 计算：(I) (2) aS学生活动：在教师引导下，说出解题过程.解：(1)原式孕-尸(2)原式弋力x1 4-v+V*/1【教法说明】例2的两个小题是后面•要讲到的乘法公式，但目前仍按多项式乘法法则计算，无需说明它们是乘法公式，此题的目的在于为后面的学习做准备.5.强化训练，巩固知识(1)计算：①0••町4询②■助③（2 ④0-游⑥i為対. (2)计算：①3%呵④Q—WpzZ力⑤ZJQCZa ■巧⑥3时⑦sb ⑧3疔学生活动：学生在练习本上完成.【教法说明】本组练习的冃的是：①使学生进一步理解法则，熟练运用法则进行计算.② 训练学生计算的准确性，培养计算能力.③对乘法公式先有一个模糊印象，为以后的学习打下基础.(四)总结、扩展这节课我们学习了多项式乘法法则，请同学们回答问题：1.叙述多项式乘法法则.2.谈谈这节课你的学习体会.学生活动：学生分别冋答上述问题.【教法说明】通过让学生自己谈学习体会，既可以达到总结归纳本节知识的目的，形成完整印象，又可以提高学生的总结概括能力.八、布置作业参考答案1.(1)原式=3^*^*<*2=313*7*43(3)原式=2・如72尸3=8^7“虫(5)原式*««-« =Zl«J-7«■俗(7)原式・9<-252.( 2)原式・X4KkU5r-a・血皿7》= 5x?«10i a«5x-2p*10i ・3x*l, C .2 W$(3)原式・3v+X-,・-lv-QfixUlNF-l2v-?^)■吻・-尸-啊»■❺・-7Q3.(1)原式■ I—引匕一包■^11收一收4!6・/1・lK4»lfi (3)原式=x J -•=£.里•聖・止=£ ■匹.X• (8)原式68 U M «1»20。

苏教科版初中数学七年级下册《9.3 多项式乘多项式》学案

苏教科版初中数学
苏科版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！
TB:小初高题库
苏科版初中数学
《9.3 多项式乘多项式》学案
学习目标
1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程．
2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算．
3．通过用文字概括法则，提高数学表达能力．
（2）计算（1）(x-1)(2x-3); (2)(3m+2n)(7m-6n)
相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维可以让他们更理
性地看待人生
TB:小初高题库
a
b
c
一般地，多项式与多项式相乘 :① 先用一个多项式的每一项乘以
______________________；②再把所得的结果____ _ ______.
d
4.例 1：(尝试练习) (1) (a+4)(a+3)
(2) (x+2)(x-3)
(3) (x-2)(x-3)
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一般的，(x a)(x b) ________________。 5.例 2：计算（1）n(n+1)(n+2) (2) (2x 5y)(3x y)
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解题时要注意：(1)解题书写和格式的规范性；(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏． 6.练习 A：（1）填空(1)(2 x+y)(x-y)=________.(2)(m+2n)(m-2n)=_______.(3)(2m+5)(2m-3)=__________ ( 4)(1-x)(0.6-x)=____________.(5)(x+2y)(x+8y)=____________.