初中数学锐角三角函数的基础测试题附答案

A． 8 3 3
【答案】A 【解析】 【分析】
B． 4 3 3
C．8
D． 8 3
根据折叠性质可得 BE= 1 AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠ 2
EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在 Rt△ABM 中，利用∠ABM 的余弦求出 BM 的长即可. 【详解】 ∵对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，AB=4，
∴tan40°= DG 167 0.84 AG y 120
解得：y=78.8 故选：C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
3．如图，△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则∠A 的正切值等 于（ ）
A． 3 5
B． 4 5
∴四边形 EGBM 是矩形，
∴ EM BG 100 米， BM EG 20.8 米．
在 RtAEM 中，
∵ AEM 27 ，
∴ AM EM • tan 27 100 0.51 51米，
∴ AB AM BM 51 20.8 71.8米．
故选 B．
【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三 角形是解答此题的关键．
∴BE= 1 AB=2，∠BEF=90°， 2
∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A’处，并使折痕经过点 B， ∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′， ∴∠EA′B=30°， ∴∠EBA′=60°， ∴∠ABM=30°，
∴在 Rt△ABM 中，AB=BM cos∠ABM，即 4=BM cos30°，
A．1
B． 1
C． 3
D． 3
2
2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意过点 C 作 CF⊥BD 与点 F 可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到 AE＝CF＝1，EF＝
3- 3 = 2 3 ，即可求出答案 33
【详解】 过点 C 作 CF⊥BD 与点 F． ∵∠BAE＝30°， ∴∠DBC＝30°， ∵BC＝2，
设 AE=BGΒιβλιοθήκη Baidux，则 BE=AB－AE=AB－x
∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB
∴S 阴影=S△GDE＋S△EGF
= 1 DE·GN＋ 1 GF·EM
2
2
= 1 DE·（x·sinB）＋ 1 DE·[（AB－x）·sinB]
2
2
= 1 DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB] 2
8．如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 为直径， AD CD ，过点 D 作 DE AB于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F .若 sin CAB 3 ， DF 5 ，则 AB 的长为( )
5
A．10
B．12
C．16
D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 BD ，如图，先利用圆周角定理证明 ADE DAC 得到 FD FA 5 ，再根据正 弦的定义计算出 EF 3，则 AE 4 ， DE 8 ，接着证明 ADE∽DBE ，利用相似比得
2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔 A 离河边的距离 AB ，采取了如下措施：如 图在江边 D 处，测得信号塔 A 的俯角为 40，若 DE 55米， DE CE ， CE 36米， CE 平行于 AB ， BC 的坡度为 i 1: 0.75，坡长 BC 140 米，则 AB 的长为( )（精确 到 0.1 米，参考数据： sin 40 0.64 ， cos 40 0.77 ， tan 40 0.84 ）
C． 3 4
D． 4 3
【答案】C
【解析】
试题分析：如答图，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 OB，OC，
∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得 BD=4.
∵∠A= 1 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. 2
∴tanA=tan∠BOD= BD 4 . OD 3
故选 D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
∴CF＝1，BF＝ 3 ，
易证△AEB≌△CFD（AAS） ∴AE＝CF＝1， ∵∠BAE＝∠DBC＝30°，
∴BE＝ 3 AE＝ 3 ，
3
3
∴EF＝BF﹣BE＝ 3 ﹣ 3 ＝ 2 3 ， 33
在 Rt△CFE 中，
1 tan∠DEC＝ CF 2 3 3 ，
EF 3 2 故选 C．
【点睛】 此题考查了含 30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等
1
= DE·AB·sinB
2
∵DE、AB 和∠B 都为定值
∴S 阴影也为定值
故选 B．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和
三角形的面积公式是解决此题的关键．
6．如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为 E，∠BAE＝30°，则 tan∠DEC 的值是 （）
（）
A．一直减小
B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 GE，过点 E 作 EM⊥BC 于 M，过点 G 作 GN⊥AB 于 N，设 AE=BG=x，然后利用锐角三
角函数求出 GN 和 EM，再根据 S 阴影=S△GDE＋S△EGF 即可求出结论． 【详解】
解：连接 GE，过点 E 作 EM⊥BC 于 M，过点 G 作 GN⊥AB 于 N
在 Rt△AMN 中,tan∠MAN= MN ， AN
∴tan30∘= x =3√3， 16 x
解得：x=8( 3 +1)，
D．16( 3 1) m
则建筑物 MN 的高度等于 8( 3 +1)m；
故选 A. 点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的长.
∵BC 的坡度为 1:0.75 ∴设 CF 为 xm，则 BF 为 0.75xm ∵BC=140m
∴在 Rt△BCF 中， x2 0.75x2 1402 ，解得：x=112
∴CF=112m，BF=84m ∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG 是直角三角形
∵DE=55m，CE=FG=36m ∴DG=167m，BG=120m 设 AB=ym ∵∠DAB=40°
质可得到 BED CDF ，设 CD 1， CF x ，则 CA CB 2 ，再根据勾股定理即可求
解．
【详解】
解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，
长．由矩形的判定定理得出四边形 EGBM 是矩形，故可得出 EM BG ， BM EG ，再
由锐角三角函数的定义求出 AM 的长，进而可得出结论．
【详解】
解：过点 E 作 EM AB 与点 M，延长 ED 交 BC 于 G， ∵斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4， BC CD 52 米，
质，涉及面较广，但难易适中．
5．如图，点 E 从点 A 出发沿 AB 方向运动，点 G 从点 B 出发沿 BC 方向运动，同时出发 且速度相同， DE GF AB （ DE 长度不变， F 在 G 上方， D 在 E 左边），当点 D 到 达点 B 时，点 E 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是
到 BE 16 ，所以 AB 20 ．
【详解】
解：连接 BD ，如图，
AB 为直径，
ADB ACB 90 ， AD CD，
DAC DCA，
而 DCA ABD ，
DAC ABD ， ∵DE⊥ AB ， ABD BDE 90 ，
而 ADE BDE 90 ， ABD ADE ， ADE DAC ，
4．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 的中点，将△ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，EF 为折痕，则 sin∠BED 的值是（ ）
A． 5 3
B． 3 5
C． 2 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得到 DEF AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性
所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的
弦是直径．也考查了解直角三角形．
9．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，若矩形纸片的宽 AB=4，则折痕 BM 的长为( )
初中数学锐角三角函数的基础测试题附答案
一、选择题
1．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 点出 发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，
DC BC ．在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶 端 A 点的仰角 AEF 为 27 （点 A，B，C，D，E 在同一平面内）．斜坡 CD 的坡度（或坡 比） i 1: 2.4，那么建筑物 AB 的高度约为（ ） （参考数据 sin 27 0.45， cos 27 0.89 ， tan 27 0.51）
7．如图，为了测量某建筑物 MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30°，向 N 点方向前进 16m 到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45°，则建筑物 MN 的高度等于( )
A． 8( 3 1) m
B．8( 3 1) m
C．16( 3 1) m
【答案】A 【解析】 设 MN=xm， 在 Rt△BMN 中,∵∠MBN=45∘， ∴BN=MN=x，
∴∠BED＝∠CDF，
设 CD＝1，CF＝x，则 CA＝CB＝2，
∴DF＝FA＝2﹣x，
∴在 Rt△CDF 中，由勾股定理得，
CF2+CD2＝DF2，
即 x2+1＝（2﹣x）2，
解得： x 3 ， 4
sin BED sin CDF CF 3 ． DF 5
故选：B．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性
A．65.8 米
B．71.8 米
C．73.8 米
D．119.8 米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 E 作 EM AB 与点 M，根据斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4可设 CD x ，则
CG 2.4 x ，利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 CG 与 DG 的长，故可得出 EG 的
∴设 DG x ，则 CG 2.4 x ．
在 RtCDG 中，
∵ DG2 CG2 DC2 ，即 x2 (2.4x)2 522 ，解得 x 20 ，
∴ DG 20 米， CG 48 米，
∴ EG 20 0.8 20.8 米， BG 52 48 100 米．
∵ EM AB ， AB BG ， EG BG ，
解得：BM= 8 3 ， 3
故选 A. 【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
FD FA 5 ， 在 RtAEF 中， sin CAB EF 3 ，
AF 5 EF 3 ，
AE 52 32 4 ， DE 5 3 8， ADE DBE ， AED BED ，
ADE∽DBE ， DE : BE AE : DE ，即 8: BE 4 :8 ， BE 16 ， AB 4 16 20． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
A．78.6 米
B．78.7 米
C．78.8 米
D．78.9 米
【答案】C
【解析】
【分析】
如下图，先在 Rt△CBF 中求得 BF、CF 的长，再利用 Rt△ADG 求 AG 的长，进而得到 AB 的长
度
【详解】
如下图，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 延长线于点 F，延长 DE 交 AB 延长线于点 G