内切球和外接球例题
几何体的外接球与内切球的有关问题(含例题)
几何体的外接球与内切球的有关问题
一、外接球的问题
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键． （一） 由球的定义确定球心
在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
例1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为3,2,3，则此球的表面
积为 .
结论2：
正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
例2 若一个底面边长为3
2
，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶
点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21
212
OO BO BO +=，即222)2
(h
r R +=.） 例3 在直三棱柱111ABC A B C -中，22AB =,3BC =,14AA =,π
4
ABC ∠=
，则它的外接球体积为 . 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得．
B
C 222
a b c R ++=
（以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R . 在1
AOO Rt ∆中，21
2
1
2OO AO AO +=，即22
2)(33R h a R -+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=.） 例4 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。希望能对你有所帮助。
外接球内切球问题(含答案)
1
球的表面积和体积练习：
1. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条
棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 。
2．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 .
3.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为
4.（球内接正四棱锥问题）半径为R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为 ．
5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
2 1.已知正方体外接球的体积是π3
32，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3
34 2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A . 1∶3
B . 1∶3
C . 1∶33
D . 1∶9
3. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为4,5,6，则此球的表面积为 ．
4.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.
5设正方体的棱长为233
，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38
B ．2π
C ．4π
D ．π3
4
6．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长
(完整版)高考外接球内切球专题练习
高考外接球与内接球专题练习
（ 1）正方体，长方体外接球
1. 以下列图，已知正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，长为 2 的
线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD 1 上运动，另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动，则 MN 的中点的轨迹的面积为（
）
A. 4
B.
2
C.
D.
2
2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为（
）
A. 1: 3
B.
1: 3
C. 1: 3
3
D. 1: 9
3. 长方体 ABCD
﹣ A B C D 的 8 个极点在同一个球面上，且 AB=2 ， AD= 3 ， AA =1 ，
1
1 1
1
1
则该球的表面积为（
）
A. 4
B.
8
C. 16
D. 32
4. 底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各极点均在同一球面上，则该球的体积为
32 B. 4
C.
2
4
A.
D.
3
3
5. 已知正三棱锥
P ﹣ABC ，点 P ，A ，B ，C 都在半径为 3 的球面上，若 PA ，PB ，PC
两两垂直，则球心到截面
ABC 的距离为
_________ ．
6. 在三棱椎 A ﹣BCD 中，侧棱 AB ，AC ，AD 两两垂直，△ ABC ，△ ACD ，△ ADB 的 面积分别为
2 ，
3 ，
6
，则该三棱椎外接球的表面积为（ ）
2 2 2
A. 2
B.
6
C. 4 6
D. 24
7. 设 A 、B 、C 、D 是半径为
2 的球面上的四点，且满足
AB ⊥ AC 、AD ⊥ AC 、AB ⊥ AD ，
则 S △ ABC +S △ ABD +S △ACD 的最大值为（
）
A. 4
B. 8
C.
高考数学外接球与内切球十大模型(例题+练习共10个专题)(学生版+解析版)
专题一 墙角模型
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．
空间几何体的外接球与内切球十大模型
1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．
【方法总结】
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝
a 2＋
b 2＋
c 2．)，秒杀公式：R 2＝
a 2＋
b 2＋
c 2
4
．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
球的内切和外接专题练习与答案
球的内切和外接
知识点回顾：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
题型一：求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为？
题型二：求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为？
题型三：三棱椎构造法
例3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为1，则其外接球的表面积是？
题型四：正四面体的内切圆和外接圆
正四面体（棱长为a ）的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。 外接球半径：a R 46=。内切球半径：a r 12
6= 方法一：构造法外接圆
方法二：等体积法内切圆
A BCD O ABC O BCD O CDA O DA
B V V V V V -----=+++
课后练习：
1、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为？
2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为。
3、已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为
323
π，则正方体的棱长为
4、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） ππππ6)33)4)3)D C B A
立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)
圆梦教育中心
立体几何之内切球与外接球
一、球与棱柱的组合体问题
1. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π
2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A . 1∶3
B . 1∶3
C . 1∶33
D . 1∶9 答案 C
3.已知正方体外接球的体积是
π3
32
，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.
332 C.324 D.3
3
4 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为23
3，则它的外接球的表面积为（ ）
A ．π3
8 B ．2π C ．4π
D ．π3
4
答案C
5.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.
答案 2+6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9
8
，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案
3
4π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形
ABCD 是边长为形
.若,则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球
8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型
空间几何体的外接球与内切球经典类型
类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图1-1
图1-2
图1-3
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π
20 C ．π24 D ．π32
（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是
（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则
正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .
解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，
取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，
则H 是底面正三角形ABC 的中心，
∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，
BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC
⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，
(3)题-1(引理）
A
C
∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，
故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，
∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642
十种求外接球与内切球模型(解析版)
十种求外接球与内切球模型
【必备知识点】
模型一:墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.
外接球的直径等于长方体的体对角线长.
使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合
推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径
公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=a2+b2+c2,求出R.
例1.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直，且AB=3，AC=2，AD= 3，则球O的表面积为( )
A.64π
B.16π
C.4π
D.π
【答案】B
【详解】
四面体ABCD的外接球O即为以AB,AC,AD为长、宽、高的长方体的外接球，
∴球O的外接球半径R=12AB2+AC2+AD2=2，
∴球O的表面积S=4πR2=16π.
故选：B.
例2.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A,B,C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.3π
B.6π
C.6π
D.24π
【答案】C
【详解】
解：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF两两垂直，
故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.因为OD=2，OE=1，OF=1，
所以2R=OD2+OE2+OF2=6，所以R=
6
2，所以该三棱锥外接球的表面积为S表=4πR2=6π，
空间几何体外接球和内切球题型归纳
空间几何体外接球和内切球题型梳理一、求外接球半径的常用方法
题型1高过外心
例题1 正四棱锥P ABCD
-的所有顶点都在球O的球面上，2
PA AB
==，则球O的表面积为______
【解析】∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，P A＝AB＝2，
∵连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO∵面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD22
11
222
22
AC
==+=
OP22422
PB OB
=-=-=∵O是球心，球O半径r2
=∵球O表面积为S＝4πr2＝8π
变式1在三棱锥P ABC
-中.2
PA PB PC
===.1
AB AC
==，3
BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为______
【解析】因为1,3
AB AC BC
===，由余弦定理可求得
2
3
BAC
π
∠=
再由正弦定理可求得ABC
∆的外接圆的半径
1
2
2sin
3
BC
r
π
==
因为2
PA PB PC
===，所以P在底面上的射影为ABC
∆的外心D，且3
PD=
设其外接球的半径为R，则有222
13)
R R
=+，解得
23
R=
空间几何体（以ABCD
P-为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：
（1）先求底面ABCD的外接圆半径r，确定底面ABCD外接圆圆心位置O';
（2）把O'垂直上移到点O，使得点O到顶点P的距离等于到D
C
B
A、
、
、的距离相等，此时点O
是几何体外接球球心；
（3）连接OA，那么OA
R=, 由勾股定理得：2
2
2O
O
r
R'
+
=.
所以其表面积为2
4164433
S R πππ==⨯
= 题型2 高不过外心
例题2 （1）长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB =2，AD =√3，AA 1=1，则球的表面积为______．
空间几何外接球和内切球题目和套路大全
则 O 为该三棱锥的外接球的球心， 则半径 R OB 4 1 5 ．
该三棱锥的外接球的表面积为 4 ( 5)2 20 ．
故选： B ．
类型四：棱长即为直径 【例 3-4】已知底面边长为 ，各侧面均为直角三角形的正三棱锥 则此球的表面积为（ ）
【套路总结】 一．直棱柱外接球的求法-----汉堡模型 1. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理
二．底面外接圆的半径 r 的求法
1. 正弦定理 a 2r(通用） sin A
2. 直角三角形：半径等于斜边的一半 3. 等边三角形：半径等于三分之二高 4. 长（正）方形：半径等于对角线的一半 注意：球心应该是过底面外心的高上
【举一反三】 1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. ⺁π B. π C. π D. ⺁π
【答案】D
【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥 鐠
其中
，鐠 ⺁ 且 底面 鐠，∠鐠 ੁ°
根据余弦定理可知：
鐠 鐠
鐠 맰ੁ ੁ° ⺁
×⺁× ×
可知 鐠
⺁
，
ੁ ；故该球的表面积为 ⺁
必修二：球的内切和外接 例题讲解
∴ ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外
接圆的半径就是外接球的半径.
在 ASC中，由 SA SC 2, AC 2,得SA2 SC2 AC2.
A SC是以A C为斜边的R t.
AC 1 是外接圆的半径，也是外
接球的半径.故
2
V球
4
3
球的表面积与体积
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
半径
3h 4
，从而可以通过截面图中RtOBE建立棱长与半径之
间的关系。
(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．
(3)正V多四面 体S表内•切R球内半切 径• 1是3 高的
1 ，外接球半径是高的
4
.3
4
(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E
3 a
6
S表
3 2
a2
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
sin 3 cos 6
内切圆与外接球专题含答案
内切球与外接球专题（1）
1.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，
BC=√2，求球O的表面积．
2.已知四棱锥S−ABCD的底面是等腰梯形，AB//CD，AD=DC=BC=1，AB=
SA=2且SA⊥平面ABCD，则四棱锥S−ABCD的外接球的体积为_________．
3.正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
4.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个
球面上，且该六棱柱的高为√3，底面周长为3，求这个球的体积．
5.如图，正四棱锥P−ABCD底面的四个顶点A，B，C，
D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果
V P−ABCD=16
，则球O的表面积是______．
3
6.将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则三棱锥
B—ACD的外接球的表面积为________．
7.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，AB=1，PD=√2，
若点E为PB的中点，则四面体EPCD外接球的体积是_______．
8.直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=
60°，则此球的表面积等于________．
9.三棱锥D−ABC内接于球O，DC⊥平面ABC，∠ACB=30°，AB=2，DC=4，则
三棱锥D−ABC外接球的体积为________．
超全的外接球与内切球问题
第二章：外接球与内切球
1．空间几何体的内切球
几何体
示例图像
截面图
对应性质
圆柱r h 、分别为圆柱的底面圆
半径和高，R 为内切球半径．
R r =且2h R =；
正三棱柱
r h 、分别为柱体的底面三
角形内切圆半径和高，R 为内切
球半径．
R r =且2h R =；
正棱锥
PE 为锥体的斜高，h r 、分别
为锥体的高和底面内切圆半径，
R 为内切球半径．
1POF PEO △∽△可得
R OP h R r PE PE -==“钻石”
PE 为锥体的斜高，h r 、分
别为锥体的高和底面内切圆半
径，R 为内切球半径．
在Rt POE △中，满足
h r
R PE
⋅=
一般三棱锥
记R 为内切球半径，三棱锥的四个面面积分别为1234S S S S 、、、，则1234
V
R S S S S =
+++
【示例1】
1．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V =__________．【解析】记内切球半径为R ，底面圆半径为r ，圆柱高为h ；
则R r =且2h R =；
则23122V h s r r r ππ=⋅=⋅=，33244
33
V R r ππ==；
∴1232
V V =2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为__________．
【解析】轴截面如右图，记h r 、为圆锥的高和底面圆半径，
R 为内切球半径；
由题意，3h R =，同时由1POF PEO △∽△可得1
OP OF
PE EO =
高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____43π__________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三1,2,3，则此球的表面积为.
条棱长分别为
解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为
（ C ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
解析：长、宽、高分别为2，2，4
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为9
8，底面周长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1
,2936,38
4x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨
=⨯⎪⎪=⎩⎩．
∴正六棱柱的底面圆的半径
12r =
，球心到底面的距离3
立体几何内切球与外接球练习(含答案)-题型全面
几何体与球的切接
1.已知侧棱与底面垂直的三棱柱ABC−A1B1C1满足AA1=2AB=2BC=4，∠ABC=90∘，则其外接球的表面积为______．
2.正四棱锥P−ABCD的侧棱和底面边长都等于2√2，则它的外接球的表面积是()
A. 16π
B. 64π
C. 16π
3D. 64π
3
3、在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，P为△ABC外一点，满足PA=PB=PC= 5√5，则三棱锥P−ABC的外接球的半径为______．
4、如图所示，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC=1，AB=
3，BC=√7，PA=√6
3
，则该三棱锥外接球的表面积为______．
5.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )
A. 24π
B. 18π
C. 12π
D.
6π
6、已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，ΔPAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为( )
A. 56π
3B. 64π
3
C. 24π
D. 80π
3
7.三棱锥P−ABC的一条棱长为m，其余棱长均为2，当三棱锥P−ABC的体积最大时，它的外接球的表面积为()
A. 21π
4B. 20π
3
C. 5π
4
D. 5π
3
8、已知三棱锥S−ABC的三条侧棱SA.SB.SC两两互相垂直，且AC=√13，此三棱锥的外
接球的表面积为14π，设AB=m，BC=n，则m+n的最大值为()
A. √30
B. 4√2
C. √35
D. 3√5
9.在正三棱锥S−ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2√2，则正三棱锥S−ABC外接球的体积是()
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内切球和外接球例题 This manuscript was revised on November 28, 2020
高考数学中的内切球和外接球问
题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
______________ .27π.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为
24，则该球的体积为
______________.
.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个
顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球
的表面积为 .14π.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. C.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为9
8，底面周长为３，则这个球
的体积为 .
解设正六棱柱的底面边长为x，
高为h
，则有
2
63,1
,
2
9
6,
8
x
x
x h
h
=
⎧⎧
=
⎪⎪
∴
⎨⎨
=
⎪⎪=
⎩
⎩
∴正六棱柱的底面圆的半径
1
2
r=
，球心
到底面的距离2
d=
.
∴外接球的半径
1
R==.
4
3
V
π
∴=
球
.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱
锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是
_______________.9π
解据题意可知，该三棱锥的三条
侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补
的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有
(
)
222
2
29
R=++=
.∴2
9
4
R=
.故其外接球的表面积
2
49
S R
ππ
==.
小结一般地，若一个三棱锥的三
条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a b c
、、，则就可以将这个三棱锥补成
一个长方体，于是长方体的体对角线的
长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R=.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【例题】：在四面体
中，共
顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
，若该四面体的四个顶点在一
个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为
的长即：
所以
球的
表面积为
例 6.一个四面体的所有棱长都为
2，四个顶点在同一球面上，则此球
的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C.
33π D. 6π
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体A BDE -满足条件，即
AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==可求得正方体的棱长为1，体对角线为
33此球的表面积便可求得，故选A. 例7．在等腰梯形ABCD 中，
AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的
中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、
EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4327
B. 6
2 C. 6 D. 6
解析： 因为AE=EB=DC=1，
0DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以
AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.
例8 .已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
DA=AB=BC=3O 的体积等
于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于
DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，联想长方
体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体
积等于92π
.
2、构造长方体
例9.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，
若6,AB =，则球的体积是 .
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在Rt ABC ∆中，求出=4BC ，所以
0C=60BO ∠，故B 、C 两点间的球面距离
是43π.
三.多面体几何性质法
例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，
外接球的半径为R ，则有
2416x =，解得2x =.
∴
2R R ==∴= .∴
这个球的表面积是
2
424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线
的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例11.正四棱锥S ABCD -的底面边
，点
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为
1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得
1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在
1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆
中，由
2SA SC AC ===，得
222SA SC AC +=.∴
ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴1
2AC
=是
外接圆的半径，也是外接球的半径.故
43V π
=
球.
五 .确定球心位置法
例11.在矩形ABCD 中，
4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折
成一个直二面角B AC D --，则四面体
ABCD 的外接球的体积为
C
D A
S
O 1图3