高二数学下期末测试题及答案
高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)
高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
2022-2023学年山东省滨州市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省滨州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是（ ） A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x2．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}3．函数y =sinxe x +e −x (x ∈[−2，2])的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若a =30.7，b =(13)0.8，c =log 312，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P （B |A ）＝（ ） A ．13B ．47C ．23D ．346．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．90种C ．125种D ．150种7．设a ∈R ，则“a ＜12”是“函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3．已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bC ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2D ．若b ＞a ＞0，则a+c b+c＞ab10．下列命题中正确的是（ ）A ．若X ～B （n ，p ），且E （X ）＝28，D （X ）＝24，则p =17B ．若ξ～N （0，1），且P （ξ＞1）＝p ，则P(−1＜ξ≤0)=12−p C ．若离散型随机变量X ，Y 满足Y ＝2X +1，则E （Y ）＝4E （X ）D ．对于任意一个离散型随机变量X ，都有D （X ）＝E （X 2）﹣（E （X ））211．袋内装有大小形状完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地随机取球，每次任取1个，直至取到白球后停止取球，则（ ） A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球3次的概率为110D ．取球次数ξ的期望为3212．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数．对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的是（ ）A ．f （2023）＝0B ．f （x ）是奇函数C ．f ′（2）＝0D ．f(−74)＜f(198)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝xe x ，则f ′（0）＝ ．14．已知(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则∑ 5i=1a i = ．15．已知0＜a ＜2，则42−a +1a 的最小值是 ．16．已知函数f(x)={−1x，x ＜0，4x x 2+1，x ≥0.函数g （x ）＝f （x ）﹣t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则实数t 的取值范围是 ；−1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=13x 3+x 2+ax(a ∈R)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于直线y ＝0． （1）求a 的值；（2）求函数f （x ）的极值．18．（12分）设n ∈N ∗，(2√x √x n 的展开式中前三项的二项式系数之和为22．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含x 2的项．19．（12分）已知函数f(x)=log 2(4x +a ⋅2x +16)，其中a ∈R ． （1）当a ＝﹣10时，判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＞x 恒成立，求实数a 的取值范围．20．（12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x 和年研发投入y （单位：亿元）的散点图，其中年份代码1﹣10分别对应年份2013﹣2022．根据散点图，分别用模型①y ＝bx +a ，②y =c +d √x 作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：表中t i =√x i ，t =110∑ 10i=1t i ．（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），其经验回归直线y =a +b x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．21．（12分）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如表：规定：将平均每天户外体育锻炼时间在[0，40）分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在[40，60]分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：（χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）22．（12分）已知函数f(x)=alnx+12x2−(a+1)x，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，判断函数f（x）的零点个数．2022-2023学年山东省滨州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是（ ） A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解：根据全称命题的否定是特称命题， ∴命题的否定是：∃x ∈R ，x 2＝x ． 故选：D ．2．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}解：N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}＝{x |﹣1≤x ≤2}， 所以M ∩N ＝{﹣1，0，1，2}， 故选：C ．3．函数y =sinxe x +e −x (x ∈[−2，2])的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：f （﹣x ）=sin(−x)e −x +e x =−sinxe x +e−x =−f （x ），所以f （x ）为奇函数，排除选项A ， 又f （π2）=sin π2e π2+e −π2=1e π2+e −π212√e π2⋅e −π2=12，所以f （π2）∈（0，12），排除选项C 和D ． 故选：B ．4．若a =30.7，b =(13)0.8，c =log 312，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b解：a ＝30.7＞30＝1，b =(13)0.8＜(13)0=1，又b =(13)0.8＞0， c =log 312＜log 31=0， 所以a ＞b ＞c ． 故选：C ．5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P （B |A ）＝（ ） A ．13B ．47C ．23D ．34解：由题意可得：事件A 基本事件数，C 42+C 32=9； 事件B 的基本事件数，C 32=3；所以P （B |A ）=39=13． 故选：A ．6．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．90种C ．125种D ．150种解：根据题意，分2步进行分析： 将5名交警分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法；将分好的三组全排列，对应3个路口，有A 33=6种情况， 则共有15×6＝90种分配方案． 故选：B ．7．设a ∈R ，则“a ＜12”是“函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，f(x)=12x 2−4ax +lnx ，其定义域为（0，+∞）， 其导数f ′(x)=x −4a +1x ，若函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数， 则f ′(x)=x −4a +1x ≥0在（0，+∞）上恒成立，即4a ≤x +1x在（0，+∞）上恒成立， 因为x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1x ，即x ＝1时，等号成立， 所以4a ≤2，解得a ≤12， 因为{a|a ＜12}⫋{a|a ≤12}，所以“a ＜12”是“函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数”的充分不必要条件． 故选：A ．8．李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3．已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6解：设事件A ：邻居记得浇水，事件B ：邻居忘记浇水，事件C ：花存活， 则有P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.4，P （C |A ）＝0.8，P （C |B ）＝0.3，由全概率公式可得P （C ）＝P （A ）P （C |A ）+P （B ）P （C |B ）＝0.48+0.12＝0.6． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bC ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2D ．若b ＞a ＞0，则a+c b+c＞ab解：对于选项A ，当c ≤0时，若a ＞b ，则ac ≤bc ，错误； 对于选项B ，若ac 2＞bc 2，故c 2＞0，则a ＞b ，正确；对于选项C ，若a ＜b ＜0，则a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＞0， 所以a 2＞ab ＞b 2，正确； 对于选项D ，a+c b+c−a b=(a+c)b−a(b+c)(b+c)b=(b−a)c (b+c)b，当b ＞a ＞0时，b ﹣a ＞0，但是c 的符号与b +c 的符号不确定， 所以a+c b+c与ab大小关系不确定，错误．故选：BC ．10．下列命题中正确的是（ ）A ．若X ～B （n ，p ），且E （X ）＝28，D （X ）＝24，则p =17B ．若ξ～N （0，1），且P （ξ＞1）＝p ，则P(−1＜ξ≤0)=12−pC ．若离散型随机变量X ，Y 满足Y ＝2X +1，则E （Y ）＝4E （X ）D ．对于任意一个离散型随机变量X ，都有D （X ）＝E （X 2）﹣（E （X ））2 解：对于A ：∵随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），∴E （X ）＝np ＝28，D （X ）＝np （1﹣p ）＝24，解得p =17，故A 正确； 对于B ：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，1）， ∴P(−1＜ξ≤0)=P(0＜ξ≤1)=12−p ，故B 正确； 对于C ：∵Y ＝2X +1，∴E （Y ）＝2E （X ）+1，故C 错误；对于D ：令P （X ＝x k ）＝p k ，k ＝1，2，⋯，n ，则D(X)=p 1(x 1−E(X))2+p 2(x 2−E(X))2+⋯+p n (x n −E(X))2=p 1x 12+p 2x 22+⋯+p n x n 2−2E(X)(p 1x 1+p 2x 2+⋯+p n x n )+(p 1+p 2+⋯+p n )E(X)2＝E （X 2）﹣2E （X ）•E （X ）+（E （X ））2＝E （X 2）﹣（E （X ））2，故D 正确． 故选：ABD ．11．袋内装有大小形状完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地随机取球，每次任取1个，直至取到白球后停止取球，则（ ） A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球3次的概率为110D ．取球次数ξ的期望为32解：设ξ 为取球的次数，则ξ的可能取值为1，2，3， 故P （ξ＝1）=35， P （ξ＝2）=25×34=310，P （ξ＝3）=25×14=110， 对于A ：抽取2次后停止取球的概率为P （ξ＝2）=310，故A 错误； 对于B ：停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P （ξ＝1）+P （ξ＝2）=35+310=910，故B 正确；对于C ：取球三次的概率为P （ξ＝3）=110，故C 正确； 对于D ：E （ξ）＝1×35+2×310+3×110=32，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数．对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的是（ ）A ．f （2023）＝0B ．f （x ）是奇函数C ．f ′（2）＝0D ．f(−74)＜f(198)解：因为f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，所以f （x ）的图象关于点（1，0）对称，且关于直线x ＝2对称， 所以f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），f （2+x ）＝f （2﹣x ），f （1）＝0， 所以f （2+x ）＝f （2﹣x ）＝f （1+1﹣x ）＝﹣f [1﹣（1﹣x ）]＝﹣f （x ）， 所以f （x +4）＝﹣f （2+x ）＝f （x ）， 所以f （x ）是周期函数，4是它的一个周期，对于A ：f （﹣1）＝f （﹣1+4）＝f （3）＝f （2+1）＝f （2﹣1）＝f （1）＝0， 所以f （2023）＝f （4×506﹣1）＝f （﹣1）＝0，故A 正确； 对于B ：因为f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ）， 所以f （2﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （﹣x ）＝﹣f （2+x ）＝﹣f （2﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，故B 错误； 对于C ：对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，即1＜x 1＜x 2＜2时，f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在（1，2）是单调递增，即f ′（x ）＞0， 又因为f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，所以f （x ）在（2，3）是单调递减，即f ′（x ）＜0，所以x ＝2是f （x ）的极大值点，因为导函数f ′（x ）的定义域均为R ，即f ′（2）存在， 所以f ′（2）＝0，C 正确； 对于D ：f(−74)=f(74)，f(198)=f(−198)=f(−198+4)=f(138)，2＞74＞138＞1，f(74)＞f(138)， 所以f(−74)＞f(198)，故D 错． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝xe x ，则f ′（0）＝ 1 ． 解：因f （x ）＝xe x ，所以f ′（x ）＝e x +xe x ＝（x +1）e x ， 所以f ′（0）＝（0+1）e 0＝1． 故答案为：1．14．已知(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则∑ 5i=1a i = ﹣2 ． 解：令x ＝0可得：（1﹣2×0）5＝a 0，所以a 0＝1， 令x ＝1可得：（1﹣2×1）5＝a 0+a 1+a 2+⋯+a 5， 即1+a 1+a 2+⋯+a 5＝﹣1， 所以a 1+a 2+⋯+a 5＝﹣2． 故答案为：﹣2． 15．已知0＜a ＜2，则42−a+1a的最小值是92．解：因为0＜a ＜2， 则42−a+1a=12（42−a +1a）（2﹣a +a ）=12（5+4a 2−a +2−a a ）≥12（5+2√4a 2−a ⋅2−a a ）=92，当且仅当4a 2−a =2−a a，即a =23时取等号故答案为：92．16．已知函数f(x)={−1x ，x ＜0，4x x 2+1，x ≥0.函数g （x ）＝f （x ）﹣t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则实数t 的取值范围是 （0，2） ；−1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是 （4，+∞） ． 解：当x ≥0时，f （x ）=4x x 2+1=4x+1x，由对勾函数的性质可知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x＝1时，f（x）max＝2，作出f（x）的图象，如图所示：若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有3个交点，由图可知，实数t的取值范围为（0，2），当y＝2时，x1=−12，x2＝x3＝1，此时−1x1+1x2+1x3=4，因为4x+1x =t（0＜t＜2），所以x2−4tx+1=0，所以x2+x3=4t，x2x3＝1，所以1x2+1x3=x2+x3x2x3=4t，又因为−1x1=t，所以−1x1+1x2+1x3=t+4t，由对勾函数的性质可知，y＝t+4t在（0，2）上单调递减，所以−1x1+1x2+1x3＞4，即−1x1+1x2+1x3的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（0，2）；（4，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=13x3+x2+ax(a∈R)，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值．解：（1）由题意得f′（x）＝x2+2x+a，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝0，即f′（1）＝0，∴12+2×1+a＝0，解得a＝﹣3；（2）由（1）得f(x)=13x3+x2−3x，f′（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣3）和（1，+∞），单调递减区间是（﹣3，1），∴当x＝﹣3时，f（x）取得极大值f(−3)=13×(−3)3+(−3)2−3×(−3)=9，当x＝1时，f（x）取得极小值f(1)=13+1−3=−53．18．（12分）设n∈N∗，(2√x√xn的展开式中前三项的二项式系数之和为22．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含x2的项．解：（1）因为展开式中前三项的二项式系数之和为22，所以C n0+C n1+C n2=22，即n2+n﹣42＝0，解得n＝6，或n＝﹣7（舍）．所以展开式中共7项，二项式系数最大的项为第4项，即T4=C63(2√x)31√x)3=−160．（2）由题意知展开式的通项为T r+1=C6r(2√x)6−r 1√x)r=(−1)r C6r26−r x3−r，r＝0，1，2，⋯，6．令3﹣r＝2，解得r＝1．所以展开式中含x2的项为T2=(−1)1×C61×25x2=−192x2．19．（12分）已知函数f(x)=log2(4x+a⋅2x+16)，其中a∈R．（1）当a＝﹣10时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当x∈[2，+∞）时，f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣10时，f(x)=log2(4x−10×2x+16)，由4x﹣10×2x+16＞0得（2x﹣2）（2x﹣8）＞0，故2x＜2或2x＞8，得x＜1或x＞3，故函数f(x)=log2(4x−10×2x+16)的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），因函数f （x ）的定义域不关于原点对称， 所以函数f （x ）为非奇非偶函数．（2）由f （x ）＞x ，得log 2(4x +a ⋅2x +16)＞x =log 22x ， 得4x +a •2x +16＞2x ， 即4x +（a ﹣1）•2x +16＞0， 设t ＝2x ，g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16 因x ∈[2，+∞），故t ＝2x ≥4，所以当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＞x 恒成立，即为g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16在t ∈[4，+∞）上最小值大于0， 函数g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16的对称轴为t =1−a2， 当1−a 2＜4，即a ＞﹣7时，函数g （t ）在[4，+∞）上单调递增，此时g （4）＝42+4（a ﹣1）+16＞0，得a ＞﹣7， 当1−a 2≥4，即a ≤﹣7时，函数g （t ）在对称轴取得最小值，此时g(1−a2)=(1−a2)2+(a −1)(1−a2)+16＞0， 得﹣7＜a ＜9（舍去），故a 的取值范围为（﹣7，+∞）．20．（12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x 和年研发投入y （单位：亿元）的散点图，其中年份代码1﹣10分别对应年份2013﹣2022．根据散点图，分别用模型①y ＝bx +a ，②y =c +d √x 作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：表中t i =√x i ，t =110∑ 10i=1t i． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），其经验回归直线y =a +b x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．解：（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜． （2）设t =√x ，所以y ＝c +dt ， 所以d =∑ 10i=1(y i −y)(t i −t)∑ 10i=1(t i −t)2=6.3，c =y −d t =60.825，所以y 关于x 的经验回归方程为y =60.825+6.3√x ， 令x ＝16，则y ＝60.825+6.3×4＝86.025，即预测该公司2028年的高科技研发投入86.025亿元．21．（12分）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如表：规定：将平均每天户外体育锻炼时间在[0，40）分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在[40，60]分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：（χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）解：（1）零假设为H0：性别与户外体育锻炼是否达标无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ2=100×(30×10−15×45)275×25×45×55=10033≈3.030＜3.841=χ0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联．（2）易知，所抽取的5名居民中男性为5×3075=2名，女性为5×4575=3名．X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=C33C53=110，P(X=1)=C21C32C53=35，P(X=2)=C22C31C53=310，所以X的分布列为所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65． （3）设所抽取的3名居民中“户外体育锻炼达标”的人数为ξ， 列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为25100=14，将频率视为概率则ξ～B(3，14)，所以P(ξ=2)=C 32×(14)2×34=964，所以从该市所有居民中随机抽取3人，其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为964．22．（12分）已知函数f(x)=alnx +12x 2−(a +1)x ，其中a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＞0时，判断函数f （x ）的零点个数． 解：（1）因为f(x)=alnx +12x 2−(a +1)x ， 所以函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′(x)=a x +x −(a +1)=x 2−(a+1)x+a x =(x−1)(x−a)x， 令f '（x ）＝0，得x ＝1或x ＝a ，①当a ≤0时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（0，1），令f ′（x ）＞0，得x ∈（1，+∞）， 所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ②当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（a ，1）， 令f ′（x ）＞0，得x ∈（0，a ）∪（1，+∞），所以函数f （x ）在（0，a ）和（1，+∞）上单调递增，在（a ，1）上单调递减；③当a ＝1时，f ′(x)=(x−1)2x≥0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④当a ＞1时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（1，a ）， 令f ′（x ）＞0，得x ∈（0，1）∪（a ，+∞），所以函数f （x ）在（0，1）和（a ，+∞）上单调递增，在（1，a ）上单调递减． 综上所述，a ≤0时，f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 0＜a ＜1时，f （x ）在（0，a ）和（1，+∞）上单调递增，在（a ，1）上单调递减；a＝1 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．（2）由（1）得f′(x)=(x−1)(x−a)x，因为a＞0，①若0＜a＜1，当0＜x＜a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当a＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；所以f（x）有极大值f(a)=alna+12a2−(a+1)a=a(lna−12a−1)＜0，极小值f(1)=−a−12＜0，又f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有1个零点．②若a＝1，则f′(x)=(x−1)2x≥0，所以函数f（x）单调递增，此时f(1)=−32＜0，f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有1个零点．③若a＞1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜a时，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减；当x＞a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；所以f（x）有极大值f(1)=−a−12＜0，显然极小值f（a）＜0，又f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有1个零点．综上所述，当a＞0时，函数f（x）的零点个数为1．。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
潍坊市高二数学下学期期末考试试题含解析
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均
标准差
数学
88
62
物理
75
63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是( ）
∴ 面 ,又 面 ，即有 ，故B正确
选项C中，点 运动到 中点时，即在△ 中 、 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有： ，故C错误
选项D中,由于 ，直线 与 所成角即为 与 所成角：
结合下图分析知：点 在 上运动时
当 在 或 上时， 最大为45°
当 在 中点上时， 最小为
∴ 不可能是30°，故D正确
故选:B
【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8. 在桌面上有一个正四面体 .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面,称为一次操作.如图，现底面为 ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 再度与桌面接触的概率为（ ）
二、多项选择题：
9。 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A。 B。 虚部为 C。 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先利用题目条件可求得 ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．
【详解】由 可得, ,所以 ， 虚部为 ；
高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)
高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
高二下学期期末考试数学试卷和答案
高二下学期期末考试数学试卷和答案一、 选择题：(每题4分，共48分) 将答案填图在答题卡上.1．复数31ii--等于（ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2．=-⎰π20)sin (dx x （ ）A ．0 C.－23．若复数i i z -=1，则=|z |( )A ．21B ．22C ．1D ．24．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（ ）A ．100 B ．90 C ．81 D ．725.若函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <6．在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 3的项的系数是（ ）7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．8．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．y y y10．设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（ ）Ａ．p Ｂ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p -- Ｄ．(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试（数学理）12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。
2022-2023学年山东省枣庄市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个质点运动的位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）的关系可用s （t ）＝3﹣2t +t 2表示，那么质点在t ＝2秒时的瞬时速度是（ ） A ．2米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒2．下列求导运算正确的是（ ） A ．(1x )′=1x 2 B ．(√x)′=12√xC ．(x e x )′=x−1e xD ．（cos x ）′＝sin x3．在对一组成对样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，⋯，n ）进行分析时，从已知数据了解到预报变量y 随着解释变量x 的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ） A ．y ＝kx +b （k ＞0） B ．y ＝﹣klnx +b （k ＞0） C ．y =−k √x +b(k ＞0)D ．y ＝ke ﹣x +b （k ＞0）4．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X 为其中有奖的瓶数，则E （5X +1）为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75．在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+⋯+（1﹣x ）10的展开式中，含x 2的项的系数为（ ） A ．165B ．﹣165C ．155D ．﹣1556．现将甲、乙、丙、丁4位老师安排到A ，B ，C 三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲、乙两人至少有1人到A 学校工作的分配方案数为（ ） A ．12B ．22C ．24D ．267．已知事件A ，B 满足P(A)=35，P(B|A)=23，P(B|A)=14，则P （B ）＝（ ） A ．12B ．35C ．710D ．458．已知a =79，b ＝0.7e 0.1，c =cos 23，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（ ）A ．A n m =n!m!B ．C n m=m+1n+1C n+1m+1C ．A n+1n+1−A n n =n 2A n−1n−1D ．C n 1+C n 2+⋯+C n n=2n10．下列结论正确的是（ ）A ．经验回归直线y =b x +a 恒过样本点的中心(x ，y)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B ．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C ．若散点图中所有点都在直线y ＝﹣x +1上，则相关系数r ＝1D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验P （χ2≥3.841＝0.05），则变量x 与y 独立11．随机变量X ～N （30，62），Y ～N （34，22），则下列命题中正确的是（ ） A ．若P （X ≤27）＝a ，则P （30≤X ＜33）＝0.5﹣aB ．随机变量X 的密度曲线比随机变量Y 的密度曲线更“瘦高”C ．P （X ≤34）＞P （Y ≤34）D ．P （X ≤24）＜P （Y ≤30）12．已知函数f(x)=x 2e x +e x−4−ax 有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则（ ） A ．x 1+x 2＞2B ．2e2＜a ＜1e+1e 3C ．ln （x 1x 2x 3x 4）﹣（x 1+x 2+x 3+x 4）＝﹣8D ．若x 2=2−√3，则x 4=2+√3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有 种．（用数字作答） 14．已知变量x 和y 的统计数据如下表：若由表中数据得到经验回归直线方程为y =−3.2x +a ，则x ＝9时的残差为 ．15．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式（1+x ）m （1+x ）n＝（1+x ）m +n利用算两次原理可得C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0= ．16．已知定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f ′（x ）﹣f （x ）＜0，f （2）＝e ，则不等式f （x ）＞e x﹣1的解集是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率．18．（12分）某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图： （1）根据已知条件，将如表2×2列联表补充完整：（2）根据（1）表中数据，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．（12分）已知f(x)=(2x −1x )n (n ∈N ∗)的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等． （1）求n 及展开式中各项系数的和； （2）求(1+1x 4)f(x)的常数项．20．（12分）已知函数f(x)=13x3−4x+4．（1）求曲线y＝f（x）在点（3，1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间（a，a+5）上既有最大值又有最小值，求a的取值范围．21．（12分）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为p （0＜p＜1）．（1）甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为X，求X的分布列；（2）若p=23，记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求E（Y）．22．（12分）已知函数f(x)=lnx+ax−1x ，g(x)=xlnx+(a−1)x+1x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）记f（x）的零点为x0，g（x）的极小值点为x1，当a∈（1，4）时，判断x0与x1的大小关系，并说明理由．2022-2023学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系可用s（t）＝3﹣2t+t2表示，那么质点在t＝2秒时的瞬时速度是（）A．2米/秒B．3米/秒C．4米/秒D．5米/秒解：因为函数s（t）＝3﹣2t+t2，所以s′（t）＝﹣2+2t，当t＝2时，s′（2）＝﹣2+2×2＝2，故物体在t＝2秒时的瞬时速度为2米/秒．故选：A．2．下列求导运算正确的是（）A．(1x )′=1x2B．(√x)′=12√xC．(xe x )′=x−1e xD．（cos x）′＝sin x解：对于A，(1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2，A错误；对于B，(√x)′=(x 12)′=12x−12=12√x，B正确；对于C，(xe x)′=e x−xe xe2x=1−xe x，C错误；对于D，（cos x）′＝﹣sin x，D错误．故选：B．3．在对一组成对样本数据（x i，y i）（i＝1，2，3，⋯，n）进行分析时，从已知数据了解到预报变量y随着解释变量x的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（）A．y＝kx+b（k＞0）B．y＝﹣klnx+b（k＞0）C．y=−k√x+b(k＞0)D．y＝ke﹣x+b（k＞0）解：当k＞0时，函数y＝kx+b为增函数，k＞0时，函数y＝﹣klnx+b、y=−k√x+b、y＝ke﹣x+b均为减函数，且当x→+∞，y＝﹣klnx+b→﹣∞，y＝﹣k√x+b→﹣∞，y＝ke﹣x+b→b，故选：D．4．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X 为其中有奖的瓶数，则E（5X+1）为（）A ．4B ．5C ．6D ．7解：依题意，X 的可能值为0，1，2，则P(X =0)=C 32C 52=310，P(X =1)=C 31C 21C 52=35，P(X =2)=C 22C 52=110， 因此E(X)=0×310+1×35+2×110=45， 所以E （5X +1）＝5E （X ）+1＝5． 故选：B ．5．在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+⋯+（1﹣x ）10的展开式中，含x 2的项的系数为（ ） A ．165B ．﹣165C ．155D ．﹣155解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+⋯+（1﹣x ）10的展开式中含x 2的项的系数为：C 52+C 62+C 72+C 82+C 92+C 102=C 53+C 52+C 62+C 72+C 82+C 92+C 102−C 53 =C 63+C 62+C 72+C 82+C 92+C 102−10=C 73+C 72+C 82+C 92+C 102−10=C 83+C 82+C 92+C 102−10=C 93+C 92+C 102−10=C 103+C 102−10=C 113−10=165−10=155．故选：C ．6．现将甲、乙、丙、丁4位老师安排到A ，B ，C 三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲、乙两人至少有1人到A 学校工作的分配方案数为（ ） A ．12B ．22C ．24D ．26解：若甲乙两人中的1人到A 学校工作，有C 21种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有C 32A 22安排种数， 故有C 21C 32A 22=12种；若甲乙两人中的1人到A 学校工作，有C 21种选择， 丙丁中一人也到A 学校工作，有C 21种选择，其余2人到另外两个地方工作，有A 22种选择，故安排种数有C 21C 21A 22=8种；若安排甲乙2人都到A 学校工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有A 22=2种， 故总共有12+8+2＝22种． 故选：B ．7．已知事件A ，B 满足P(A)=35，P(B|A)=23，P(B|A)=14，则P （B ）＝（ ） A ．12B ．35C ．710D ．45解：由题意可得：P(A)=1−P(A)=25，P(B|A)=1−P(B|A)=34，所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=23×35+34×25=710． 故选：C ．8．已知a =79，b ＝0.7e 0.1，c =cos 23，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解：∵a =79，b ＝0.7e 0.1， ∴lnb −lna =0.1+ln0.7−ln 79=110+ln 910=1−910+ln 910， 令f （x ）＝1﹣x +lnx ，则f ′(x)=−1+1x =1−xx ，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，即f （x ）在（0，1）上单调递增， ∴lnb −lna =f(910)＜f(1)=0， ∴b ＜a ；c =cos 23=1−2sin 213，由0＜sin 13＜13， ∴c =cos 23=1−2sin 213＞1−29=79， ∴c ＞a ＞b ． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（ ） A ．A n m =n!m!B ．C n m=m+1n+1C n+1m+1 C ．A n+1n+1−A n n =n 2A n−1n−1D ．C n 1+C n 2+⋯+C n n =2n解：对于A ，A n m =n!(n−m)!，故A 错误；对于B ，C n m =n!m!(n−m)!，m+1n+1C n+1m+1=m+1n+1×(n+1)!(n−m)!(m+1)!=n!m!(n−m)!，所以C n m=m+1n+1C n+1m+1，故B 正确；对于C ，A n+1n+1−A n n =(n +1)!−n!=n!(n +1−1)=n ⋅n!，n 2A n−1n−1=n 2(n −1)!=n ⋅n!， 所以A n+1n+1−A n n =n 2A n−1n−1，故C 正确；对于D ，当n ＝2时，C 21+C 22=3≠22，则C n 1+C n 2+⋯+C n n =2n 不成立，故D 错误．故选：BC ．10．下列结论正确的是（ ）A ．经验回归直线y =b x +a 恒过样本点的中心(x ，y)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B ．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C ．若散点图中所有点都在直线y ＝﹣x +1上，则相关系数r ＝1D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验P （χ2≥3.841＝0.05），则变量x 与y 独立解：经验回归直线y =b x +a 恒过样本点的中心(x ，y)，拟合效果与样本点在经验回归直线上的多少无关，故A 错误；在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量有关系的犯错概率越小，判断两个变量间有关联的把握就越大，故B 正确；若散点图中所有点都在直线y ＝﹣x +1上，则相关系数r ＝1，故C 正确；根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验P （χ2≥3.841＝0.05），∵χ2＝2.974＜3.841，∴依据小概率值α＝0.05的独立性检验，变量x 与y 独立，故D 正确． 故选：BCD ．11．随机变量X ～N （30，62），Y ～N （34，22），则下列命题中正确的是（ ） A ．若P （X ≤27）＝a ，则P （30≤X ＜33）＝0.5﹣aB ．随机变量X 的密度曲线比随机变量Y 的密度曲线更“瘦高”C ．P （X ≤34）＞P （Y ≤34）D ．P （X ≤24）＜P （Y ≤30）解：随机变量X ～N （30，62），Y ～N （34，22），对于A ，当P （X ≤27）＝a 时，P （30≤X ＜33）＝P （27＜X ≤30）＝P （X ≤30）﹣P （X ≤27）＝0.5﹣a ，A 正确；对于B ，由于6＜2，则随机变量X 的密度曲线比随机变量Y 的密度曲线更“矮胖”，B 错误； 对于C ，P （X ≤34）＝P （X ≤30）+P （30＜X ≤34）＞P （X ≤30）＝0.5＝P （Y ≤34），C 正确； 对于D ，P （X ≤24）＝0.5﹣P （30﹣6＜X ≤30），P （Y ≤30）＝0.5﹣P （34﹣2×2＜Y ≤34）， 而P （30﹣6＜X ≤30）＜P （34﹣2×2＜Y ≤34），因此P （X ≤24）＞P （Y ≤30），D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f(x)=x 2e x +e x−4−ax 有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则（ ）A ．x 1+x 2＞2B ．2e2＜a ＜1e+1e 3C ．ln （x 1x 2x 3x 4）﹣（x 1+x 2+x 3+x 4）＝﹣8D ．若x 2=2−√3，则x 4=2+√3 解：由题意知x 2e x+ex−4−ax =0有四个不同的根，显然x ≠0，则xe x+e x e 4x−a =0，令t =xe x ，则t +1e 4t−a =0，即e 4t 2﹣e 4at +1＝0， 另外y =x e x ，y ′=1−xex ， 当x ＜1时，y ′=1−xe x ＞0；当x ＞1时，y ′=1−xe x ＜0； 故y =xe x在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， 当x ＜0时，y =x e x ＜0，当x →+∞时，y =x e x →0，则y =x ex 的大致图像如图所示：根据题意知e 4t 2﹣e 4at +1＝0存在两根t 1，t 2，不妨设t 1＜t 2， 则满足0＜t 1＜t 2＜1e，t 1t 2=1e 4，即有t 1=x 1e x 1=x 4e x 4，t 2=x 2e x 2=x 3e x 3， 则由图象可知0＜x 1＜x 2＜1，所以x 1+x 2＜2，故A 错误； 由于方程e 4t 2﹣e 4at +1＝0的两根t 1，t 2满足0＜t 1＜t 2＜1e，所以{ Δ=(−e 4a)2−4×e 4×1＞00＜a 2＜1e e 4×(1e )2−e 4a ×1e+1＞0，解得2e 2＜a ＜1e +1e 3，故B 正确；由t 1=x 1e x 1=x 4e x 4，t 2=x 2e x 2=x 3e x 3，得x 1e x 1⋅x 2e x 2⋅x 3e x 3⋅x 4e x 4=(t 1t 2)2=1e 8， 两边取自然对数得ln(x 1x 2x 3x 4)−(x 1+x 2+x 3+x 4)=−lne 8=−8，故C 正确； 由t 1t 2=x 2e x 2⋅x 4e x 4=x 2x 4e x 2+x 4=1e 4，两边取自然底数得lnx 2+lnx 4＝x 2+x 4﹣4， 若x 2=2−√3，则ln(2−√3)+lnx 4=(2−√3)+x 4−4， 所以lnx 4−x 4=−ln(2−√3)−2−√3=ln(2+√3)−(2+√3)，令m （x ）＝lnx ﹣x ，x ＞1，则m(x 4)=m(2+√3)，m ′(x)=1x −1=1−xx ＜0恒成立， 所以m （x ）在（1，+∞）上单调递减，又2+√3＞1，x 4＞1，所以x 4=2+√3，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有 1280 种．（用数字作答）解：安排周一有5种方法，由于同一名班干部不连续值班2天，则前一天值班的不值相邻后一天， 因此安排后面每一天值班的都有4种方法， 所以可能的安排方法种数是5×4×4×4×4＝1280． 故答案为：1280．14．已知变量x 和y 的统计数据如下表：若由表中数据得到经验回归直线方程为y =−3.2x +a ，则x ＝9时的残差为 ﹣0.2 ． 解：依题意，x =9+9.5+10+10.5+115=10，y =11+10+8+6+55=8， 经验回归直线方程为y =−3.2x +a ， 则a =y +3.2x =8+3.2×10=40， 故y =−3.2x +40当x ＝9时，x ＝9时的残差为11﹣（﹣3.2×9+40）＝﹣0.2． 故答案为：﹣0.2．15．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式（1+x ）m （1+x ）n＝（1+x ）m +n利用算两次原理可得C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0= C m+n k． 解：C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0，表示（1+x ）m （1+x ）n 的展开式中的x k 的系数，即（1+x ）m +n展开式中的x k 的系数，可得C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0=C m+n k ． 故答案为：C m+n k ．16．已知定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f ′（x ）﹣f （x ）＜0，f （2）＝e ，则不等式f （x ）＞e x﹣1的解集是 （﹣∞，2） ．解：依题意，令g(x)=f(x)x ，求导得g ′(x)=f′(x)−f(x)x＜0，因此函数g （x ）在R 上单调递减，不等式f(x)＞e x−1⇔f(x)e x＞1e，由f（2）＝e，得1e=ee2=f(2)e2=g(2)，则有g（x）＞g（2），解得x＜2，所以不等式f（x）＞e x﹣1的解集是（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率．解：记A i＝“抽到第i袋”，i∈{1，2，3}，B＝“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，则P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，P(B|A1)=C61C41C102=2445，P(B|A2)=C71C31C102=2145，P(B|A3)=C51C51C102=2545，所以P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=13(2445+2145+2545)=1427．18．（12分）某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：（1）根据已知条件，将如表2×2列联表补充完整：（2）根据（1）表中数据，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）由等高堆积条形图知，男生保护动物意识强的有50×0.7＝35人，女生保护动物意识强的有50×0.4＝20人，于是2×2列联表如下：（2）零假设为H0：该校学生保护动物意识的强弱与性别无关，此时χ2=100(35×30−15×20)255×45×50×50=10011≈9.091＞7.879=x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．19．（12分）已知f(x)=(2x−1x)n(n∈N∗)的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等．（1）求n及展开式中各项系数的和；（2）求(1+1x4)f(x)的常数项．解：（1）由题意可知：C n4=C n2，解得n＝6，即f(x)=(2x−1x)6，令x＝1，可得展开式中各项系数的和为f（1）＝（2﹣1）6＝1．（2）因为(1+1x4)f(x)=f(x)+1x4f(x)，对于f(x)=(2x−1x)6，可知其展开式的通项为T r+1=C6r(2x)6−r(−1x)r=(−1)r⋅26−r⋅C6r x6−2r，r=0，1，⋯，6，令6﹣2r＝0，解得r＝3，此时T4=(−1)3⋅23⋅C63=−160；令6﹣2r＝4，解得r＝1，此时T2=(−1)2⋅24⋅C61⋅x4=96x4；所以(1+1x4)f(x)的常数项为T4+1x4T2=−160+96=−64．20．（12分）已知函数f(x)=13x3−4x+4．（1）求曲线y＝f（x）在点（3，1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间（a，a+5）上既有最大值又有最小值，求a的取值范围．解：（1）函数f(x)=13x3−4x+4，求导得f′（x）＝x2﹣4，则f′（3）＝5，所以所求切线方程为y﹣1＝5（x﹣3），即5x﹣y﹣14＝0．（2）由（1）知，f′（x）＝（x﹣2）（x+2），当x＜﹣2或x＞2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值f(−2)=283，当x＝2时，函数f（x）取得极小值f(2)=−43，由f(x)=283，即13x3−4x+4=283，得x3﹣12x﹣16＝0，即（x+2）2（x﹣4）＝0，解得x＝﹣2或x＝4，由f(x)=−43，即13x3−4x+4=−43，得x3﹣12x+16＝0，即（x﹣2）2（x+4）＝0，解得x＝2或x＝﹣4，作出函数f（x）的部分图象，如图，因为f（x）在区间（a，a+5）上既有最大值又有最小值，则有{−4≤a＜−22＜a+5≤4，解得﹣3＜a＜﹣2，所以a的取值范围是{a|﹣3＜a＜﹣2}．21．（12分）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为p （0＜p ＜1）．（1）甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为X ，求X 的分布列；（2）若p =23，记Y 为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求E （Y ）． 解：（1）记事件A i （i ＝1，2，3，4）为“第i 个题目回答正确”， 记事件B i （i ＝1，2，3）为“第i 个题目回答不正确”， 易知X 的所有取值为2，3，4， 此时P(X =2)=P(B 1B 2)=(1−p)2，P （X ＝3）＝P （A 1A 2A 3）+P （A 1B 2B 3）+P （B 1A 2B 3）＝p 3+2p （1﹣p ）2＝3p 3﹣4p 2+2p ， P （X ＝4）＝P （A 1A 2B 3）+P （A 1B 2A 3）+P （B 1A 2A 3）＝3p 2（1﹣p ）＝﹣3p 3+3p 2， 则X 的分布列为：（2）记事件Z 为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”， 易知Z 所有取值8，10， 若p =23，此时P （Z ＝10）＝P （A 1A 2A 3）+P （A 1A 2B 3A 4）+P （A 1B 2A 3A 4）+P （B 1A 2A 3A 4） ＝p 3﹣3p 2（1﹣p ）＝（23）3+3（23）2（1−23）=1627， P （Z ＝8）＝1﹣P （Z ＝10）=1127， 所以E （Z ）＝8×1127+10×1627=24827， 则E （Y ）＝9（E ）＝9×24827=2483．22．（12分）已知函数f(x)=lnx +ax −1x，g(x)=xlnx +(a −1)x +1x． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）记f （x ）的零点为x 0，g （x ）的极小值点为x 1，当a ∈（1，4）时，判断x 0与x 1的大小关系，并说明理由．解：（1）由f ′(x)=1x +a +1x 2=ax 2+x+1x 2，①若a ≥0，则f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②若a＜0，令f'（x）＞0，则0＜x＜−1−√1−4a2a，令f'（x）＜0，则x＞−1−√1−4a2a，∴f（x）在(0，−1−√1−4a2a)上单调递增，在(−1−√1−4a2a，+∞)上单调递减．（2）x0＞x1，理由如下：证明：由g′(x)=lnx−1x2+a(x＞0)，设ℎ(x)=lnx−1x2+a，则ℎ′(x)=1x+2x3＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，即g'（x）在（0，+∞）上单调递增．又g′(1)=a−1＞0，g′(12)=−ln2−4+a＜0，∴存在x2∈(12，1)，使g'（x2）＝0，∴g（x）在（0，x2）单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x2为g（x）的极小值点，故x2＝x1．由g'（x2）＝0，x1＝x2，∴lnx1−1x12+a=0，∴a=1x12−lnx1，∴f(x1)=lnx1+ax1−1x1=lnx1+x1(1x12−lnx1)−1x1=(1−x1)lnx1，又x1=x2∈(12，1)，∴f（x1）＝（1﹣x1）lnx1＜0＝f（x0），由（1）知a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x0＞x1．。
2022-2023学年广东省广州市执信中学高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|0＜x＜3}，N={x|13≤x≤6}，则（∁R M）∩N＝（）A．{x|0＜x≤6}B．{x|1≤x＜3}C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x≤6}32．复数z=4i，则z=（）1+iA．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2+2i D．2﹣2i3．函数y＝x（sin x﹣sin2x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长为（）A．2B．√5C．4D．2√55．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D（10，2）后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．决定系数R 2变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强6．已知函数f(x)=x(e x −e −x )2，则a =f(log 213)，b =f(2−34)，c =f(−243)的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b7．已知抛物线C 1：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与C 1及抛物线C 2：y 2=−4x 的所有公共点从左到右分别为点A 、B 、C ，则|BC |＝（ ） A ．4B ．6C ．8D ．108．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记P （a ，b ）．若斜坐标系中，x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2|(x 1−x 2)(y 1−y 2)|cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2|(x 1−x 2)(y 1−y 2)|cosθ二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是 （ ）A ．若随机变量X 服从两点分布，P （X ＝1）=12，则E （X ）=12 B ．若随机变量Y 的方差D （Y ）＝2，则D （3Y +2）＝8 C ．若随机变量ξ服从二项分布B （4，12），则 P （ξ＝3）=14D ．若随机变量η服从正态分布N （5，σ2），P （η＜2）＝0.1，则P （2＜η＜8）＝0.8 10．已知函数f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12，则下列说法正确的是（ ）A ．f(x)=sin(2x −π6) B ．函数f （x ）的最小正周期为πC ．函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =kπ+π12(k ∈Z)D ．函数f （x ）的图象可由y ＝cos2x 的图象向左平移π12个单位长度得到11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A ．事件A 1，A 2为互斥事件 B ．事件B ，C 为独立事件C ．P(B)=25D ．P(C|A 2)=3412．已知函数f （x ）＝sin x +lnx ，将f （x ）的所有极值点按照由小到大的顺序排列得到数列{x n }，对于正整数n ，则下列说法中正确的有（ ） A ．（n ﹣1）π＜x n ＜n πB ．x n +1﹣x n ＜πC ．{|x n −(2n−1)π2|}为递减数列D ．f （x 2n ）＞﹣1+ln(4n−1)π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝x •lnx 在x ＝e 处的切线方程为 ．14．(2x −1x)n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 ．15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程．若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种．（用数字作答） 16．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（F 1，F 2为焦点）上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2.已知双曲线C ：x 24−y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P(3，√102)处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则|OM |＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，满足a 1＝b 2＝2，S 5＝30，b 4+2是b 3与b 5的等差中项．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =(−1)n (a n +b n )，求数列{c n }的前20项和T 20．18．（12分）近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式．可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？（2）假设要计算某事件的概率P（B），常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|A)求解，现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B，求P（B）（用a，b表示P（B））附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．临界值表：19．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AC＝4，BC⊥CD．（1）若AB＝2，BC＝3，CD=√15，求△ACD的面积；（2）若∠B=2π3，∠D=π6，求(√36+12)AD−BC的最大值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，AB＝AP＝2，P A⊥平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．（1）求证：平面EFG⊥平面P AC；（2）若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为13，且G 点不是线段PC 的中点，求三棱锥E ﹣ABG 体积．21．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x 2﹣（2a +1）x ，其中a ＞0． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当0＜a ＜12时，判断函数f （x ）零点的个数．22．（12分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P （2，√3），且它的离心率e =12． （1）求椭圆的标准方程；（2）与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx +t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →+ON →=λOC →，求实数λ的取值范围．2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|0＜x＜3}，N={x|13≤x≤6}，则（∁R M）∩N＝（）A．{x|0＜x≤6}B．{x|13≤x＜3}C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x≤6}解：集合M={x|0＜x＜3}，N={x|13≤x≤6}，∴∁R M＝{x|x≤0或x≥3}，则（∁R M）∩N＝{x|3≤x≤6}．故选：D．2．复数z=4i1+i，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2+2i D．2﹣2i解：∵z=4i1+i=4i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i，∴z=2−2i．故选：D．3．函数y＝x（sin x﹣sin2x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x（sin x﹣sin2x）的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x[sin（﹣x）﹣sin2（﹣x）]＝﹣x（﹣sin x+sin2x）＝x（sin x﹣sin2x）＝f（x），则f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项BD；又f(π3)=0，f(π)=0，f(π2)=π2×(1−0)=π2＞0，则排除选项A．故选：C．4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长为（）A．2B．√5C．4D．2√5解：设圆台的母线长为l，∵该圆台的侧面积为3√5π，∴由圆台侧面积公式可得πl（1+2）＝3πl＝3√5π，解得l=√5，设截去的圆锥的母线为l′，由三角形相似可得l′l′+l =12，则2l′＝l′+√5，解得l′=√5，∴原圆锥的母线长为l′+l=√5+√5=2√5．故答案为：2√5．故选：D．5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D（10，2）后，下列说法正确的是（）A．相关系数r变小B．决定系数R2变小C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解：由散点图知，去掉点D（10，2）后，y与x的线性相关性加强，则相关系数r变大，∴A错误，决定系数R2变大，∴B错误，残差平方和变小，∴C 错误，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，∴D 正确． 故选：D ． 6．已知函数f(x)=x(e x −e −x )2，则a =f(log 213)，b =f(2−34)，c =f(−243)的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b解：由题意，得f （x ）的定义域为R ， ∵f(x)=x(e x −e −x )2， ∴f （﹣x ）=−x(e −x −e x )2=x(e x −e −x )2=f （x ），即f （x ）为偶函数， ∴a ＝f （log 213）＝f （﹣log 23）＝f （log 23），c ＝f （﹣243）＝f （243），当x ＞0时，f ′（x ）=(e x −e −x )+x(e x +e −x )2，∵x ＞0时，e x ＞1，0＜e ﹣x ＜1，∴e x ﹣e ﹣x ＞0，x （e x +e ﹣x ）＞0， ∴f ′（x ）＞0，即f （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵y ＝2x 在R 上单调递增，且−34＜0＜1＜43， ∴0＜2−34＜1＜2＜243，又y ＝log 2x 在（0，+∞）上为增函数，则0＜2−34＜log 23＜243，∴f （2−34）＜f （log 23）＜f （243），即b ＜a ＜c ．故选：A ．7．已知抛物线C 1：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与C 1及抛物线C 2：y 2=−4x 的所有公共点从左到右分别为点A 、B 、C ，则|BC |＝（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10解：抛物线C 1：y 2=4x 的焦点为F ，得F （1，0），过F 且斜率大于零的直线l ，设直线l 的方程为x ＝my +1（m ＞0）， 由题意可得直线l 与抛物线C 1必有2个交点，直线l 与C 1及抛物线C 2：y 2=−4x 的所有公共点从左到右分别为点A 、B 、C ，如图， 直线l 与抛物线C 2相切，联立方程组{x =my +1y 2=−4x ，可得y 2+4my +4＝0，所以Δ＝16m 2﹣16＝0，解得m ＝1，故直线l 的方程为x ＝y +1，与抛物线C 1方程联立{x =y +1y 2=4x，得x 2﹣6x +1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝6，所以|AB |＝x 1+x 2+2＝8． 故选：C ．8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记P （a ，b ）．若斜坐标系中，x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2|(x 1−x 2)(y 1−y 2)|cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2|(x 1−x 2)(y 1−y 2)|cosθ解：设与x 轴方向相同的单位向量为e 1→，与y 轴方向相同的单位向量为e 2→，则OM →=x x 1e 1→+x y 1e 2→，ON →=x 2e 1→+y 2e 2→，则NM →=OM →−ON →=（x 1﹣x 2）e 1→+（y 1﹣y 2）e 2→， 所以|NM →|2＝[（x 1﹣x 2）e 1→+（y 1﹣y 2）e 2→]2＝（x 1﹣x 2）2e 1→2+（y 1﹣y 2）2e 2→2+2（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）e 1→•e 2→＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2+2（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）cos θ，所以|MN |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ．故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是 （ ）A ．若随机变量X 服从两点分布，P （X ＝1）=12，则E （X ）=12B ．若随机变量Y 的方差D （Y ）＝2，则D （3Y +2）＝8C ．若随机变量ξ服从二项分布B （4，12），则 P （ξ＝3）=14D ．若随机变量η服从正态分布N （5，σ2），P （η＜2）＝0.1，则P （2＜η＜8）＝0.8 解：对A 选项，∵机变量X 服从两点分布，且P （X ＝1）=12， ∴E （X ）＝0×P （X ＝0）+1×P （X ＝1）=12，∴A 选项正确； 对B 选项，∵随机变量Y 的方差D （Y ）＝2， ∴D （3Y +2）＝9D （Y ）＝18，∴B 选项错误； 对C 选项，∵随机变量ξ服从二项分布B （4，12），∴P （ξ＝3）=C 43×(12)3×(1−12)=14，∴C 选项正确；对D 选项，∵随机变量η服从正态分布N （5，σ2）， ∴正态曲线的对称轴为η＝5，又P （η＜2）＝0.1，∴根据正态曲线的对称性可得：P （2＜η＜8）＝1﹣2P （η＜2）＝1﹣0.2＝0.8，∴D 选项正确， 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x)=sin(2x −π6)B．函数f（x）的最小正周期为πC．函数f（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+π12(k∈Z)D．函数f（x）的图象可由y＝cos2x的图象向左平移π12个单位长度得到解：f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12=√32sin2x−1+cos2x2+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，故A正确；函数f（x）的最小正周期为T=2π2=π，故B正确；由2x−π6=π2+kπ(k∈Z)，得x=π3+kπ2(k∈Z)，故C错误；由y＝cos2x的图象向左平移π12个单位长度，得y=cos2(x+π12)=cos(2x+π6)=cos[π2−(π3−2x)]=sin(π3−2x)=sin[π−(2π3+2x)]=sin(2x+2π3)，故D错误．故选：AB．11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）A．事件A1，A2为互斥事件B．事件B，C为独立事件C．P(B)=25D．P(C|A2)=34解：根据题意，依次分析选项：对于A，事件A1，A2不会同时发生，则两个事件是互斥事件，A正确；对于B，事件B发生或不发生时，事件C的概率不一样，则事件B，C不是独立事件，B错误；对于C，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=35×24+25×14=820=25，C正确；对于D，若事件A2发生，即第一次取出的是白球，此时袋中有3个红球和1个白球，若事件C发生，第二次必须为红球，则P（C|A2）=P(A2C)P(A2)=25×3425=34．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝sin x+lnx，将f（x）的所有极值点按照由小到大的顺序排列得到数列{x n}，对于正整数n，则下列说法中正确的有（）A ．（n ﹣1）π＜x n ＜n πB ．x n +1﹣x n ＜πC ．{|x n −(2n−1)π2|}为递减数列D ．f （x 2n ）＞﹣1+ln(4n−1)π2解：f （x ）的极值点为f ′(x)=cosx +1x在（0，+∞）上的变号零点， 即为函数y ＝cos x 与函数y =−1x 图象在（0，+∞）交点的横坐标，∵x ∈（0，+∞）时，−1x ＜0，k ∈N 时，cos （π+2k π）＝﹣1＜−1π+2kπ，k ∈N *， x ∈（0，π2）∪（−π2+2k π，π2+2kπ）时，cos x ＞0，据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如图，对于A ，k ∈N 时，f ′（π2+2k π）=1π2+2kπ＞0， f ′(π+2kπ)=−1+1π+2kπ＜0，f ′（3π2+2kπ）=13π2+2kπ＞0，结合图象得当n ＝2k ﹣1，k ∈N *，x n ∈（（n −12）π，n π）⊆（（n ﹣1）π，n π）， 当n ＝2k ，k ∈N *时，x n ∈（（n ﹣1）π，（n −12）π）⊆（（n ﹣1）π，n π），故A 正确； 对于B ，由图象可知x 3＞52π，x 2＜32π，则x 3﹣x 2＞π，故B 错误； 对于C ，|x 1−(2n−1)π2|表示两点（x n ，0）与（（n −12）π，0）间距离， 数形结合得随着n 的增大，两点间的距离越来越近，即{|x n −(2n−1)π2|}为递减数列，故C 正确； 对于D ，由A 选项分析得：x 2n ∈((2n −1)π，4n−12π)，n ∈N ∗， 数形结合得当x ∈（x 2n ，(4n−1)2π）时，cos x ＞−1x，此时f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（x 2n ，(4n−1)π2）上是单调递增函数， ∴f （x 2n ）＜f （(4n−1)π2）＝﹣1+ln(4n−1)π2，故D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝x •lnx 在x ＝e 处的切线方程为 y ＝2x ﹣e ． 解：因为f （x ）＝x •lnx ，则f （e ）＝e •lne ＝e ， 又f ′（x ）＝lnx +1，则f ′（e ）＝lne +1＝2，所以函数f （x ）＝x •lnx 在x ＝e 处的切线方程为y ﹣e ＝2（x ﹣e ），即y ＝2x ﹣e ． 故答案为：y ＝2x ﹣e ．14．(2x −1x )n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 ﹣160 ． 解：由二项式系数的性质，可得2n ＝64，解可得，n ＝6；（2x −1x ）6的展开式为T r +1＝C 66﹣r •（2x ）6﹣r •（−1x）r ＝（﹣1）r •26﹣r •C 66﹣r •（x ）6﹣2r，令6﹣2r ＝0，可得r ＝3， 则展开式中常数项为﹣160． 故答案为：﹣160．15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程．若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 36 种．（用数字作答） 解：根据题意，分2步进行分析：①小明必须选报“数学文化”课程，则小明的选法有C 41=4种， ②小明和小华两人所选课程至多有一门相同，有C 21C 31+C 32=9种选法，则有4×9＝36种选法． 故答案为：36．16．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（F 1，F 2为焦点）上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2.已知双曲线C ：x 24−y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P(3，√102)处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则|OM |＝ 2 ． 解：延长F 1M ，PF 2交于点Q ， 由题意可得△PF 1M ≌△PMQ ， 即|PF 1|＝|PQ |，且M 为F 1Q 的中点，由双曲线的定义可得|F 2Q |＝|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝4， 又∵O 为F 1F 2的中点， ∴|OM|=|F 2Q|2=2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=(−1)n(a n+b n)，求数列{c n}的前20项和T20．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，因为a1＝2，所以S5=10+5×42d=30，解得d＝2，所以a n＝2+2（n﹣1）＝2n，由题意知：2（b4+2）＝b3+b5，因为b2＝2，所以2（2q2+2）＝2q+2q3，解得q＝2，所以b n=2n−1；（2）由（1）得c n=(−1)n(2n+2n−1)=(−1)n⋅2n+(−1)n⋅2n−1，T20=(−2+4−6+8−⋯+40)+(−1+2−22+23−⋯+219)=2×10+−1×[1−(−2)20]1−(−2)=20+220−13=220+593．18．（12分）近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式．可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？（2）假设要计算某事件的概率P （B ），常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|A)求解，现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求P （B ）（用a ，b 表示P （B ））附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．临界值表：解：（1）根据列表得χ2=120×600602×9×30=409≈4.444＞3.841， 所以依据α＝0.05的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联， M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56，N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16，依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍， 所以品种M 、N 的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；（2）由已知上式知，P(A)=aa+b ，P(B|A)=a−1a+b−1，P(A)=ba+b ，P(B|A)=aa+b−1 则P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|A)， 所以P(B)=aa+b ⋅a−1a+b−1+ba+b ⋅a a+b−1， 所以P(B)=a(a+b−1)(a+b)(a+b−1)=aa+b ，所以P(B)=a a+b ．19．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝4，BC ⊥CD ． （1）若AB ＝2，BC ＝3，CD =√15，求△ACD 的面积； （2）若∠B =2π3，∠D =π6，求(√36+12)AD −BC 的最大值．解：（1）在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝2，BC ＝3，则cos ∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC=78， ∵BC ⊥CD ，∴sin ∠ACD =cos ∠ACB =78，∴△ACD 的面积为12AC ⋅CD ⋅sin∠ACD =12×4×√15×78=7√154； （2）设∠BCA ＝θ，0＜θ＜π3， 则∠ACD =π2−θ，∠BAC =π3−θ， 在△ABC 中，BC sin(π3−θ)=ACsin2π3，即BC =8√3sin(π3−θ)， 在△ACD 中，ADsin(π2−θ)=ACsinπ6，则AD ＝8cos θ，(√36+12)AD −BC =(4√33+4)cosθ83sin(π3−θ)=4√63sin(θ+π4)，当θ=π4时，(√36+12)AD −BC 的最大值为4√63．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，AB ＝AP ＝2，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段PB ，PD 的中点，G 是线段PC 上的一点． （1）求证：平面EFG ⊥平面P AC ；（2）若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为13，且G 点不是线段PC 的中点，求三棱锥E ﹣ABG 体积．（1）证明：连接BD ，∵E ，F 分别是线段PB ，PD 的中点，∴EF ∥BD ， ∵底面四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，而EF ∥BD ，得EF ⊥平面P AC ， 又EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面P AC ；（2）解：以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （1，0，1），F （0，1，1）， P （0，0，2），C （2，2，0）， 设PG ＝λPC ，（0＜λ＜1且λ≠12），则AG →=AP →+PG →=(0，0，2)+(2λ，2λ，−2λ)=（2λ，2λ，2﹣2λ）， AE →=(1，0，1)，AF →=(0，1，1)， 设平面AEF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +z =0n →⋅AF →=y +z =0，取z ＝﹣1，得n →=(1，1，−1)． 设直线AG 与平面AEF 所成角为θ， sin θ＝|cos ＜n →，AG →＞|＝|n →⋅AG→|n →||AG →|||√3×√4λ2+4λ2+(2−2λ)2|13， ∴√12λ2=√3，即3（6λ﹣2）2＝12λ2﹣8λ+4，∴12λ2﹣8λ+1＝0，解得λ=16（λ=12舍去）． ∴PG =16PC ，由已知可得BC ⊥平面P AB ，则G 到平面P AB 的距离为16BC =13．∴V E−ABG =V G−ABE =13×12×12×2×2×13=19．21．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x 2﹣（2a +1）x ，其中a ＞0． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当0＜a ＜12时，判断函数f （x ）零点的个数． 解：（1）f ′(x)=ax +2x −(2a +1)=(2x−1)(x−a)x(x ＞0)，令f′（x）＝0得x=12，x2=a，当a=12时，f′（x）≥0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当0＜a＜12时，0＜x＜a或x＞12时，f′（x）＞0，a＜x＜12时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a），(12，+∞)上单调递增，在(a，12)上单调递减，当a＞12时，0＜x＜12或x＞a时，f′（x）＞0，12＜x＜a时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在(0，12)，（a，+∞）上单调递增，在(12，a)上单调递减．综上所述，当a=12时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当0＜a＜12时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a），(12，+∞)，单调递减区间为(a，12)；当a＞12时，函数f（x）的单调递增区间为(0，12)，（a，+∞），单调递减区间为(12，a)．（2）当0＜a＜12时，函数f（x）仅有一个零点，理由如下：由（1）得当a∈(0，12)时，函数f（x）在（0，a），(12，+∞)单调递增，在(a，12)单调递减；则函数f（x）的极大值为f（a）＝alna+a2﹣（2a+1）a＝a（lna﹣a﹣1），且极小值为f(12)＜f(a)，令g（x）＝lnx﹣x﹣1，x∈(0，12)，则g′(x)=1x−1=1−xx＞0，x∈(0，12)，所以g（x）在x∈(0，12)上单调递增，所以g(x)＜g(12)=−ln2−32＜0，所以当a∈(0，12)时，f（a）＝a（lna﹣a﹣1）＜0，f（e2）＝alne2+e4﹣（2a+1）e2＝（e2﹣1）（e2﹣2a），因为a∈(0，12)，所以2a∈（0，1），e2﹣1＞0，e2﹣2a＞0，可得f（e2）＞0，如下图，作出函数f（x）的大致图象，由图象可得当0＜a ＜12时，函数f （x ）仅有一个零点．22．（12分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P （2，√3），且它的离心率e =12． （1）求椭圆的标准方程；（2）与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx +t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →+ON →=λOC →，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，a ＞b ＞0，由已知得：{ 4a 2+3b 2=1c a =12c 2=a 2−b 2，解得{a 2=8b 2=6，所以椭圆的标准方程为：x 28+y 26=1．（Ⅱ） 因为直线l ：y ＝kx +t 与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相切，所以√1+k 2=1，2k =1−t 2t ，t ≠0，把y ＝kx +t 代入x 28+y 26=1，并整理得：（3+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣24＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有x 1+x 2=−8kt 3+4k2，y 1+y 2＝kx 1+t +kx 2+t ＝k （x 1+x 2）+2t =6t 3+4k2，因为λOC →=（x 1+x 2，y 1+y 2）， 所以C （−8kt (3+4k 2)λ，6t(3+4k 2)λ），又因为点C 在椭圆上，所以8k 2t 2(3+4k 2)2λ2+6t 2(3+4k 2)2λ2=1，λ2=2t23+4k2=2(1t2)2+(1t2)+1，因为t2＞0，所以(1t2)2+(1t2)+1＞1，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为（−√2，0）∪（0，√2）．。
高二下学期期末数学试卷及答案
高二下学期期末数学试卷一、单项选择1、设，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知点A （2，-3），B （-3，-2），直线l 方程为kx+y-k-1=0，且与线段AB 相交，求直线l的斜率k 的取值范围为（ ）A或 B C D 3、直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知圆，直线l ：，若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．5、若直线被圆截得弦长为，则） A ． B ． C6、设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．7、已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0 8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间4k ≤-220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=494(0,1)k k k >≠的距离为,动点P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）ABD9、若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（）A．2 B．1 C．4 D．310、圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（）AB．C．2 D11、已知直线与圆相交，则的取值范围是（）A． B． C．D．12、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A．B．C．D．13、已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或214、我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( )A．B C D15、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．16、设数列满足,记数列的前项之积为，则2P22:(5)(1)4C x y-++=n4320x y+-=n 221x y+=224x y+=()11,A x y()22,B x y O1212x x y y+=2-:cos sin1()l x yααα+=∈R222:(0)C x y r r+=>r 01r<≤01r<<1r≥1r>)0(>>ba{}na21=a n n S{}1na+nS 122n+-3n2n31n-（ ） A ．B ．C ．D ．17、已知公比不为的等比数列满足，若，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 18、设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．19、在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）A ．22B ．-33C ．-11D ．1120、已知数列满足，数列前项和为，则( )ABCD21、已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）A ．B ．C ．数列是等差数列 D ．数列是等比数列22、已知等数差数列中，是它的前项和，若且,则当最大时的值为（ ）A ．9B ．10 C ．11 D ．1823、已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12 ）1{}n a 15514620a a a a +=210m a =m ={}n a nnS ()()201920212017201720171201912000a a a -++-=()()20192021202020202020-1+201912038a a a +-=4036S =2019202020214036{}n a 2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈n nS 12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅={}n a n S n 180S >190S <n S nABCD ．不存在24、的内角，，所对的边分别是，，.已知，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．25、已知，，为的三个内角，，的对边，向量，，若，且，则角( )A ．B ．C ．D ．二、填空题26、点到直线的距离的最大值为________.27、已知点和圆，过点 作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______28、已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 29、已知实数满足，则的取值范围为________.30、已知实数x ，y 满足6x+8y-1=0，则的最小值为______．31、等比数列的前n 项和为32、若等差数列满足，则数列的前项和取得最大值时_________ 33、已知数列满足，则数列的最大值为________.34、已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的，都有，则=_____35、已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则()1,2P 222:20C x y kx y k ++++=P C k {}n a n S {}n a 7897100,a a a a a ++>+<{}n a n n S =n {}n a 11a =n S {}n a n *,r t N ∈n a的最小值为_____．36、在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．37、在锐角中，角，，所对应的边分别为，，.则________；若，则的最小值为________. 38、若△ABC 的内角，则的最小值是 ． 39、已知分别是的内角的对边，，，则周长的最小值为_____。
高二下学期数学期末考试试卷及答案
高二下学期数学期末考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则下列选项中$f(x)$的图像是正确的是：- A. 开口向上的抛物线- B. 开口向下的抛物线- C. 与x轴有两个交点- D. 与x轴有三个交点答案：D2. 已知等差数列的前5项和为25，则第10项是：- A. 5- B. 10- C. 15- D. 20答案：B3. 设函数$g(x) = \sqrt{1+x^2}$，则下列选项中$g(x)$的性质正确的是：- A. 在$x=0$处取得最小值- B. 在$x=0$处取得最大值- C. 为奇函数- D. 为偶函数答案：A4. 若$a$，$b$是方程$x^2 - 2ax + a^2 + 1 = 0$的两个根，则下列选项正确的是：- A. $a=0$- B. $b=0$- C. $a+b=2$- D. $a^2+b^2=2$答案：C5. 已知复数$z=3+4i$，则$|z|$的值是：- A. 5- B. 7- C. 9- D. 25答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数$h(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像开口向上且顶点在y轴上，则满足的条件是______。
答案：$a > 0$，$b = 0$2. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则公比$q$是______。
答案：23. 函数$i(x) = \ln(x^2 + 1)$的定义域是______。
答案：$x \in \mathbb{R}$4. 若矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A$的行列式值是______。
答案：-25. 已知点$P(2, -1)$在直线$y=3x+1$上，则直线的斜率是______。
郑州市 2023-24 学年下期期末考试高二数学答案
郑州市2023—2024学年下期期末考试高中二年级数学评分参考一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CBCADDAB二、多选题：本题共3小题，每小题6分，18分.题号91011答案ADCDBC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.2e ；13.72；14.0.0485或972000；3097.四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）解：因为二项式2nx ⎛+ ⎝的二项展开式中各二项式系数之和为256，即01C C C 2256n nn n n ++⋅⋅⋅+==，可得8n =.（1）82x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项()()83882448122C C 0,1,2,8kkk k k k kT x k x ---+===⋅⋅⋅，令24443k -=得3k =，354484C 21792T x x =⋅⋅=，所以展开式中4x 项的系数是1792.----7分（2）由（1）可知，展开式中的第1,4,7项为有理项且088881C 2256T x x =⋅⋅=354484C 21792T x x =⋅⋅=62078C 2112T x =⋅⋅=----------------------.13分16．（15分）解:（1）由题知()11357955x =⨯++++=，()12537485872485y =⨯++++=，又5210()4i i x x =-=∑，5216(132i i y y ==-∑，511430i i i x y ==∑，所以()()5552300.999230.3041iii ix x y y x y x yr ---=≈≈∑∑，由样本的相关系数非常接近1，可以推断新能源汽车年销售量和充电桩数量这两个变量正线性相关，且相关程度很强，所以可以用线性回归模型拟合它们的关系．--------------------8分（2）()()()51521230 5.70ˆ54iii i i x x yybx x==--===-∑∑，48 5.7ˆˆ5519.25a y bx=-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为 5.759.5ˆ12yx =+．当24x =时， 5.752419.251ˆ57.25y=⨯+=，故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆．-----------15分17.（15分）解：()()224f x ax a x'=-++，定义域为()0,+∞（1）当1a =时，()()()2212225225x x x x f x x x x x---+'=-+==当()0f x '>时，得102x <<或2x >；当()0f x '<时，得122x <<故函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,4上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()444ln 2f =-+，()142f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭因此函数()f x 在(]0,4上的最大值为44ln 2-+.--------------------------------------------6分（2）()()()()()2242221224ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=-++==当04a <<时，()0f x '>时，得102x <<或2x a >；()0f x '<时，得122x a<<故函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞上单调递增，在12,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当4a =时，此时()()22210x f x x-'=故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当4a >时，()0f x '>时，得20x a <<或12x >；()0f x '<时，得212x a <<故函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞上单调递增，在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：当04a <<时，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞上单调递增，在12,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当4a =时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当4a >时，函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞上单调递增，在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.-----------15分18.（17分）解：（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件1，“有3个选项正确”为事件2，“小明该题得6分”为事件B ，则op =B 1=1×1=×1C 32=112，求得=14.-------------------------------6分（2）若小明选择方案①，则小强的得分为3分.若小明选择方案②，记小强该题得分为X ，则=0,3,6，且o =0)=+=512×23+712×13=1736，o =3)==712×23=1436=718，o =6)==512×13=536，所以，op =0×1736+3×1436+6×536=2，若小明选择方案③，记小强该题得分为Y ，则=0,6，且o =0)==512+712×23=2936，o =6)==712×13=736，所以，op =0×2936+6×736=76,因为<<3，所以小明应选择方案①.--------------------------------------------------15分19.（17分）解：（1）因为32()1f x x x =++，则2()32x f x x '=+，()1(1)1,11k f f '=-=-=，曲线()f x 在01x =-处的切线为1112y x x -=+⇒=-，且10||0.5x x -≥，()2(2)8,23k f f =-=-=-'，曲线()f x 在12x =-处的切线()2138382 1.63y x x +=+⇒=-≈-，且21||0.5x x -<，故用牛顿法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解为 1.63-.--------------5分（2）（ⅰ）设()11,0n n P x --，则()()111,n n n Q x g x ---，因为()2xg x =，所以()2ln 2x g x '=，则()()111,n n n Q x g x ---处切线为()1112ln 22n n xxn y x x ---=⋅-+，切线与x 轴相交得(),0n n P x ，11ln 2n n x x --=-，即11ln 2n n x x --=为定值.根据牛顿法，此函数没有零点.----------------11分（ⅱ）因为00x =得11ln 2n n x --=-，所以011121ln 2n n P P PP P P -==⋅⋅⋅==，()()211log ln 211122en n e n n g x ------===，所以0011111223111111112ln 2e e e e n n n P Q P PQ P P Q P n S S S ---⎛⎫++⋅⋅⋅+=⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，23111111111e 112ln 2e e e e 2ln 21en n --⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⋅ ⎪⎝⎭-，4111e 1e 1log e 2ln 2e e e e n n n n n n ----=⋅=--．故所得前n 个三角形，001P Q P △，112PQ P △，……，11n n n P Q P --△的面积和为41e 1log e e en n n ---.---------------------------------------------------------------------------------17分。
高二(下)期末数学试卷
高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数z 在复平面内对应点的坐标为(3,6)，则|2|(z i -= ) A ．3B ．4C ．5D ．62．（5分）5人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有( ) A ．24种B ．48种C ．72种D ．120种3．（5分）52()x x-的展开式中3x 的系数为( )66666666666666A ．10B ．10-C ．5D ．5-4．（5分）某铁球在0C ︒时，半径为1dm ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为C t ︒时铁球的半径为(1)at dm +，其中a 为常数，则在0t =时，铁球体积对温度的瞬时变化率为( )（参考公式：34)3V R π=球A ．0B ．a πC ．43a πD ．4a π5．（5分）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为( ) A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.46．（5分）正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( ) A ．33B ．63C ．22D ．237．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位．若质点移动6次，则回到原点O 的概率为( )A ．0B ．14C ．516 D ．588．（5分）已知函数()f x xlnx =，()24g x x =-，若12()()f x g x =，则21x x -的最小值为()A ．22e -B ．3e -C ．2e -D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）随机变量~(2,4)X N ，则( ) A ．()2E X =B ．()2D X =C ．(4)(1)P X P X >><D ．(1)(3)1P X P X >+>=10．（5分）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则(A ．12()()f x f x <B ．32()()f x f x <C ．()f x 在(,)a b 内有2个极值点D ．()f x 的图象在点0x =处的切线斜率小于011．（5分）把4个编号为1，2，3，4的球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，则()A ．不同的放法有64种B ．每个盒子放一个球的不同放法有24种C ．每个盒子放一个球，且球的编号和盒子的编号都不相同的不同放法有9种D ．恰有一个盒子不放球的不同放法有72种12．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别满足AE AB λ=，BF BC μ=，其中[0λ=，1]，[0μ∈，1]，则( )A ．当1μ=时，三棱锥11AB EF -的体积为定值 B ．当12λ=时，点A ，B 到平面1B EF 的距离相等C ．当12μ=时，存在λ使得1BD ⊥平面1B EF D ．当λμ=时，11A F C E ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若31iz i-=+，则z z += ． 14．（5分）已知(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若点(P x ，1，1)在平面ABC 内，则x = ．15．（5分）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数有 个．（用数字作答）16．（5分）函数,(),x xe x a f x x x a⎧=⎨>⎩，当0a =时，()f x 零点的个数是 ；若存在实数0x ，使得对于任意x R ∈，都有0()()f x f x ，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数32()f x x ax b =++在2x =处有极值2-． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[2-，3]上的最值．18．（12分）在国家政策扶持下，近几年我国新能源汽车产业迅速发展．某公司为了解职工购买新能源汽车的意愿，随机调查了30名职工，得到的部分数据如表所示：（1）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为“该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关”；（2）为进一步了解职工不愿意购买新能源汽车的原因，从不愿意购买新能源汽车的被调查职工中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名女职工的概率． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82819．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PBC ∆是正三角形，AC BC ⊥，D 是AB 的中点． （1）证明：BC PD ⊥；（2）若2AC BC ==，22PA =，求二面角D PA C --的余弦值．20．（12分）为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12组不同身高i x （单位：)cm 的未成年男性体重的平均值i y （单位：)(1kg i =，2，，12)数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值．xyω1221()ii xx =-∑121()()ii i xx y y =--∑121()()ii i xx ωω=--∑11524.3582.95814300 6300 286表中(1i i lny i ω==，2，，12)，112i i ωω==∑．（1）根据散点图判断y ax b =+和cx d y e +=哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y 与身高x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）． （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区的一位未成年男性身高为175cm ，体重为78kg ，他的体重是否正常？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-，20.693ln ≈． 21．（12分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数，Y 表示样本中黄球的比例． （1）若有放回摸球，求X 的分布列及数学期望；（2）（ⅰ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y 与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率．（ⅱ）比较（ⅰ）中所求概率的大小，说明其实际含义． 22．（12分）已知函数()(1)()f x ln x ax a a R =++-∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()x a f x xe ax -+，求a 的取值范围．高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数212iz i=-的实部与虚部之和为( ) A ．25-B ．25C ．45D ．652．（5分）已知函数32()2f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则f '（2）(= ) A ．24B ．26C ．32D ．283．（5分）函数()23x f x x =-在[0，2]上的平均变化率为( ) A ．32 B ．32-C ．1D ．2-4．（5分）4(23)x -展开式中的第3项为( ) A ．216-B ．216x -C ．216D ．2216x5．（5分）某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试．这次体能测试满分为100分，已知测试结果ξ服从正态分布2(70,)N σ．若ξ在[60，70]内取值的概率为0.2，则估计该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为( ) A ．160B ．200C ．240D ．3206．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的数是偶数”，事件B 为“第二次取到的数是偶数”，则(|)(P B A = ) A ．12B ．25 C ．37D ．387．（5分）已知复数1cos sin ()z i R θθθ=+∈，2z i =，且12z z 在复平面内对应的点在第一，三象限的角平分线上，则tan (θ= )A ．2-B ．2-+CD ．8．（5分）某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有()A ．86种B ．100种C ．112种D ．134种二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）已知复数(2)(1)z i i =+-，则( ) A ．1z i =+B ．||z =C ．z 在复平面内对应的点在第四象限D ．13zi i=- 10．（5分）已知~(4X B ，)(01)p p <<，则下列结论正确的有( )A ．若13p =，则8()9E X =B ．若13p =，则16(0)81P X ==C ．()1maxD X =D ．若(1)()3P x P X =>=，则102p <<11．（5分）下面四个结论中正确的有( )A ．43)+展开式中各项的二项式系数之和为16B ．用4个0和3个1可以组成35个不同的七位数C ．0.290.251()x x+的展开式中不存在有理项D ．方程10x y z ++=有36组正整数解12．（5分）已知函数2()(2)(2)f x x x a a =->，若函数()(()1)g x f f x =+恰有4个零点，则a 的取值可以是( ) A ．52B ．3C ．4D ．92三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）若随机变量ξ的分布列为．ξ0 1 2 Pa0.2a +0.3则a = ．14．（5分）写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x = ． 15．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了1张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．16．（5分）若221a lna c b d--==，则22()()a c b d -+-的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下： 跑步公里数 性别 [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35]男 4 6 10 25 10 5 女2581762（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5，15)，[15，25)，[25，35]的概率；（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关．附：2K =，n a b c d =+++．2)k18．（12分）已知函数()f x 的导函数是()f x '，且21()(1)24f x f x f '=+（1）4x -． （1）求()f x 的解析式；（2）求经过点(0,6)-且与曲线()y f x =相切的直线方程． 19．（12分）已知6621201212(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++⋯+．（1）求2221311a a a ++⋅⋅⋅+的值；（2）求2412a a a ++⋯+的值； （3）求46a a +的值．20．（12分）某小型企业在开春后前半年的利润情况如表所示：设第i 个月的利润为y 万元．（1）根据表中数据，求y 关于i 的回归方程ˆˆˆ(22)i yb i a =-+（系数精确到0.01)； （2）由（1）中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如98.1万元~98万元）（3）已知y 关于i 的线性相关系数为0.8834．从相关系数的角度看，y 与i 的拟合关系式更适合用ˆˆˆypi q =+还是ˆˆˆ(22)i y b i a =-+，说明你的理由． 参考数据：62221()1933.5,22523188,1418.5259ii yy =-=+=⨯=∑，1140.96109.44⨯=，取2005.4=．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n的相关系数()()nii xx y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的系数1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy b xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（12分）在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品．已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分． （1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X 表示游戏结束时所进行的取球次数，求X 的分布列及数学期望．22．（12分）已知函数234()sin 3f x x sin x m =-+．（1）求()f x 在[0，]π上的单调区间；（2）设函数4()2(2)(16)x g x x e ln x =--，若(0,)α∀∈+∞，[0β∀∈，]π，()()f g βα，求m 的取值范围．。
高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设103iZ i=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．243．已知(1,21,0),(2,,),a t t b t t b a =--=-则的最小值是( )A B C D4．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=则正三棱锥的体积为( )A ．4 B ．34C ．2D ．4 5．已知函数(),1,x xf x a b e=-<<且则( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b <C ．()()f a f b >D ．()()f a f b ，大小关系不能确定 6．若随机变量~(,),X B n p 且()6,()3,(1)E X D X P X ===则的值为( ) A ．232-• B ．42- C ．1032-• D ．82-7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成()f n 个区域，则()f n 的表达式为( )A ．1n +B ．2nC ．222n n ++ D ．21n n ++10．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =，则m =( )A ．5B ．6C ．7D ．811．已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)(1,)r s 与的残差相同，则有( )A ．r s =B ．2s r =C ．23s r =-+D ．21s r =+12．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则PQ 的最小值为( )A ．12ln - B2)ln - C ．12ln + D2)ln + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数5()12iz i i =+是虚数单位，则z =__________；14．直线21cos ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________； 15．二项式822x y 的展开式中，的系数为__________； 16．已知11()123f n =+++…*15(),(4)2,(8),(16)32n N f f f n +∈>>>经计算得，7(32),2f >则有__________(填上合情推理得到的式子)．三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知曲线C 的极坐标方程是2()3cos πρθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,()2x t t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数，设点(1,2)P -． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN •的值．18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽列联表：已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3．(Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（参考公式：其中）19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设123,,a a a 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数． (Ⅰ)求1232,1,0a a a ===的概率；(Ⅱ)记12,a a ξ=+求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．已知数列1111{},,21n n nx x x x +==+满足 其中n N *∈ . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，,,PA ABCD PA AB ⊥=底面点E PB 是的中点． (Ⅰ)证明：PC AE ⊥；(Ⅱ)若1,3,AB AD PA ==且与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值．22．已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()1,a +∞上是减函数，求实数的最小值；（Ⅲ）若21212,[,],()()(0)x x e e f x f x a a '∃∈≤+>使成立，求实数a 的取值范围.下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题二、填空题13．14． 15．70 16．*2(2)(2,)2n n f n n N +>≥∈ 三、解答题17．解：(Ⅰ) 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为：22x y x +=- ，即221()(122xy -++= ；直线l 20y ++= ．(Ⅱ) 直线l 的参数方程化为标准形式为11,2()22x m m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数，①将①式代入22x y x +=，得：23)60m m +++= ，②由题意得方程②有两个不同的根，设12,m m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：12PM PN m m •=•=6+． (Ⅱ)根据列联表数据，得到2260(1422618) 3.348 2.706,32282040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为111,,632．(Ⅰ) 由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，121233111(2,1,0)()()6336p p a a a C ====== ．(Ⅱ) 由题意知，ξ可能的取值是0，1，2，3 ．1231(0)(0,0,3),8p p a a a ξ======12121231233311113(1)(0,1,2)(1,0,2)()()()()32628p p a a a p a a a C C ξ=====+====+=123123123(2)(2,0,1)(1,1,1)(0,2,1)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===1231233311111113()()()()()()()62632328C A C =++=123123123(3)(0,3,0)(1,2,0)(2,1,0)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===+1231(3,0,0)8p a a a ====．故ξ的分布列为：期望()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ．20．解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得； 由232213,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113x x x ===+得； 由5658113,13121x x x ===+得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立.21． 解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．根据题设，可设(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)D a B b P b C c b ， （Ⅰ）证明：0,,22b b AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(,,)PC c b b =-， 所以0()022bb AE PCc b b ⋅=⨯+⋅+⋅-=， 所以AE PC ⊥，所以PC AE ⊥．（Ⅱ）解：由已知，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =． 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， 由0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,00,cx y z y z +-=⎧⎪+⋅-=令1z =，得11m ⎫=⎪⎭．而(0,0,1)AP =，依题意PA 与平面PCD 所成角的大小为45︒，所以||sin 45||||m AP m AP ⋅︒==，即=，解得32BC c =（32BC c ==去），所以2133m ⎛⎫=⎪⎪⎭． 设二面角A PD C --的大小为θ，则233cos ||||12133m ABm AB θ⋅===++， 所以6sin θ，所以二面角A PD C --的正弦值为6． 解法二（几何法）：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥． 又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，而AB AP A =，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ． 因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥． （Ⅱ）解：如图4所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ． 过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ， 即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒． 在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是2AG PG FG ===． 在直角三角形ADF 中，3AD ，所以2DF = 方法一：设二面角A PD C --的大小为θ， 则2232cos 13PDG APDS PG DF S PA AD θ⋅===⋅⨯△△，所以sin θ，所以二面角A PD C --方法二：过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角， 在直角三角形APD中，2PD =，PA AD AH PD ⋅===． 在直角三角形AGH中，sin AG AHG AH ∠===， 所以二面角A PD C --22．解：由已知，函数()g x ，()f x 的定义域为(0,1)(1,),+∞ 且()ln xf x ax x=-. （Ⅰ）函数221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -⋅-'==， 当01()0x e x g x '<<≠<且时，；当()0x e g x '>>时，.所以函数()g x 的单调减区间是(0,1),(1,),()e e +∞增区间是，. （Ⅱ）因()f x 在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤. 又222ln 111111()()(),(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+- 故当11,ln 2x =即2x e =时，max 1()4f x a '=-. 所以1110,,444a a a -≤≥于是故的最小值为.（Ⅲ）命题“若21212,[,],()()x x e e f x f x a '∃∈≤+使成立”等价于 “当2min max [,],()()x e e f x f x a '∈≤+时有” . 由（Ⅱ）知，当2max max 11[,],(),()44x e e f x a f x a ''∈=-∴+=时有.问题等价于：“2min 1[,],()4x e e f x ∈≤当时有” .① 当14a ≥时，由（Ⅱ）知，2()[,]f x e e 在上为减函数，则222min2111()(),2424e f x f e ae a e==-≤≥-故 .②当104a <<时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数，故21()(),(),4f x f e f e a a '''的值域为[],即[--] .由()f x '的单调性和值域知，200,,()0x e e f x '∃∈=唯一()使，且满足：当0,,()0,()x e x f x f x '∈<()时为减函数； 当20,,()0,()x x e f x f x '∈>()时为增函数； 所以，20min 00001()(),(,)ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈ . 所以，2001111111,ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-= 与104a <<矛盾，不合题意. 综上，得21124a e ≥-.高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合{}322+<=x x x M ，{}2<=x x N ，则=⋂N M ( )A ．(-1，2)B ．(-3，2)C ．(-3，1)D ．(1，2)2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。
高二数学下册试题及答案大全
高二数学下册期末试题（理科数学）（分值：150分 时间：120分钟）一、选择题（10×5分=50分）1、已知11mni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2 2、在相关分析中，对相关系数r ，下列说法正确的是A.r 越大，线性相关程度越强B.r 越小，线性相关程度越强C.r 越大，线性相关程度越弱，r 越小，线性相关程度越强D.1r ≤且r 越接近1，线性相关程度越强，r 越接近0，线性相关程度越弱3、某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是A.40.80.2⨯B.445C 0.8⨯ C.445C 0.80.2⨯⨯ D.45C 0.80.2⨯⨯ 4、3名教师和6名学生被安排到A 、B 、C 三个不同地方进行社会调查，每处安排1名教师和2名学生，则不同的安排方案有 A ．90种B ．180种C ．540种D ．3240种5、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为 A ．41004901C C -B ．4100390110490010C C C C C + C ．4100110C C D ．4100390110C C C ．6、探索以下规律：则根据规律，从2004到2006，箭头的方向依次是A.向下再向右B.向右再向上C.向上再向右D.向右再向下 7、在独立性检验中，统计量2χ有两个临界值：3.841和6.635．当2 3.841χ>时，有95%的把握说明两个事件有关，当2 6.635χ>时，有99%的把握说明两个事件有关，当2 3.841χ≤时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算220.87χ=．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（A ）有95%的把握认为两者有关 （B ）约有95%的打鼾者患心脏病 （C ）有99%的把握认为两者有关 （D ）约有99%的打鼾者患心脏病8、已知x 与y 之间的一组数据如右，5 7 9 10 11 …… ，3 4 8 0则y 与x 的线性回归方程为 y =bx +a 必过A ．点()2,2B ．点()0,5.1C ．点()2,1D ．点()4,5.19、将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于A ．9160 B ．21 C ．185 D ．21691 10、设连续函数0)(>x f ，则当b a <时，定积分()abf x dx ⎰的符号A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的，当0<<b a 时是负的D.以上结论都不对二、填空题（5×5分=25分）11、工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N (μ，σ2）．在一次正常的实验中，取1000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为 。
高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)
i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
2023北京密云区高二下学期期末数学试题及答案
2023北京密云高二（下）期末数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}{}1,0,1,(1)0A B x x x =−=−≤，则A B =（ ）A. ∅B. {0}C. {1}D. {0,1}2. 命题“x ∀∈R ，2230x x −+>”的否定为（ ） A. x ∀∈R ，2230x x −+< B. x ∀∈R ，2230x x −+≤ C. x ∃∈R ，2230x x −+<D. x ∃∈R ，2230x x −+≤3. 已知a b >，则下列不等式中成立的是（ ） A. 22a b >B. 2ab b >C. 22a b >D. 11a b<4. 5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数为（ ） A. 35B. 53C. 35AD. 35C5. 下列函数中，在()0,∞+上单调递增的奇函数是（ ）A. y =B. 1y x −=C. ln y x =D. 1y x x=−6. 某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ） A. 3B. 18C. 21D. 247. 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）A. B.C. D.8. “lg lg x y <”是“x y <”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=⋅.其中1m ，2m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量.0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为10km/s .则火箭发动机的喷气速度约为（ ）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈，ln4 1.4≈）A. 15km/sB. 25km/sC. 35km/sD. 45km/s10. 已知函数()2121x x f x −=+，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A. x ∀∈R ，()()f x f x −=B. x ∀∈R ，()0f x '<C. 若120x x <<，则()()1122x f x x f x <D. 若120x x <<，则()()()1212f x f x f x x +<+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中，x 的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答） 12. 已知1x >，那么11x x +−的最小值为__________． 13. 在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为______；在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______.14. 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间的关系为：2202200y x x =−+.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是______.15. 已知函数()3e ,1,x x x kf x x x x k⎧−≤=⎨−+>⎩.①若0k =，不等式()1f x <的解集为______；②若函数()()1g x f x =−恰有两个零点，则实数k 的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间[]85,100内为“体质优秀”，在[)75,85内为“体质良好”，在[)60,75内为“体质合格”，在[)0,60内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下：（1）若该校高二年级有600名学生，试估计高二年级“体质优秀”的学生人数______；（2）若从这6名学生中随机抽取3人，记X 为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求X 的分布列； （3）求（2）中X 的均值. 17. 已知函数()23ln f x x x x =−+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.18. 交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：TPI =实际行程时间畅通行程时间，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； （2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI 依次记为127,,,a a a ，将2022年同期TPI 依次记为127,,,b b b ，记(1,2,,7)i i i c a b i =−=，117ni i c c ==∑．请直接写出i c c −取得最大值时i 的值．19. 高尔顿钉板装置如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板底部的格子中，格子从左到右依次编号为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码.（1）当4X =时，求小球向右下落的次数； （2）求X 的分布列； （3）求()E X .20. 已知函数()()e xf x x ax a =−∈R ．（1）若()y f x =在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，判断0是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （3）判断()f x 的零点个数，并说明理由．21. 已知数列A ：1a ，2a ，⋯，n a ，⋯，满足10a =，11i i a a +=+()1,2,,,i n =，数列A 的前n 项和记为n S .（1）写出3S 的值；（2）若52a =−，求5S 的值；（3）是否存在数列A ，使得20221011S =?如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】D【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】解：{}{}{}(1)001,1,0,1B x x x x x A =−≤=≤≤=−，{0,1}A B =，故选：D 2. 【答案】D【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2230x x −+>”，则其否定为“x ∃∈R ，2230x x −+≤” 故选：D 3. 【答案】A【分析】A 选项可根据指数函数性质判断，BCD 选项可以举反例得出.【详解】A 选项，根据指数函数2()x y x =∈R 单调递增可知，22a b a b >⇔>，A 选项正确； BCD 选项，取1,1a b ==−，B 选项变成11−>，C 选项变成11>，D 选项变成11<−，BCD 均错误. 故选：A 4. 【答案】B 【分析】把不同的报名方法可分5步完成，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，不同的报名方法可分5步完成： 第一步：第一名同学报名由3种方法 第二步：第二名同学报名由3种方法 第三步：第三名同学报名由3种方法 第四步：第四名同学报名由3种方法 第五步：第五名同学报名由3种方法根据分步乘法计数原理，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种方法. 故选：B.【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分步求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 5. 【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义及对数函数与幂函数的性质即可求解.【详解】对于A ：y =[)0,∞+，不关于原点对称，所以y =A 错误；对于B ：1y x −=，定义域为()(),00,∞−+∞，因为()11x x −−=−−，所以1y x −=为奇函数，由幂函数性质可知1y x −=在()0,∞+上单调递减，故选项B 错误； 对于C ：ln y x =，定义域为()(),00,∞−+∞，因为ln ln xx −=，所以函数ln y x =为偶函数，且,()0x ∈+∞时，ln y x =，由对数函数的性质知函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，故选项C 错误； 对于D ：1y x x =−，定义域为()(),00,∞−+∞，因为11()x x x x ⎛⎫⎛⎫−−=−− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，所以1y x x =−为奇函数，又y x =与1y x=−都在(0,)+∞上单调递增， 由单调性的性质可知1y x x=−在(0,)+∞上单调递增，故选项D 正确. 故选：D. 6. 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得：“多人多足”有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场， 则“多人多足”有3种安排方法，将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有33A 6=种安排方法， 则有1863=⨯种安排方法．故选：B ． 7. 【答案】C【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数()f x 的单调性即可判断. 【详解】由导函数的图象可得当0x <时，0fx，函数()f x 单调递增；当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当2x >时，0fx，函数()f x 单调递增.只有C 选项的图象符合. 故选：C. 8. 【答案】A【分析】根据函数lg y x =的单调性化简lg lg x y <，得0x y <<，从而根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数lg y x =在()0,∞+上单调递增， 由lg lg x y <，可得0x y <<，而“0x y <<”是“x y <”成立的充分不必要条件. 所以“lg lg x y <”是“x y <”成立的充分不必要条件. 故选：A 9. 【答案】B【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，120110ln m m v m +=，其中122m m =， 则()000310ln ln 3ln 20.42v v v ==−= ，求得025v =. 故选：B 10. 【答案】C【分析】根据函数的奇偶性概念判断A ，根据导函数的符号判断B ，利用函数的单调性结合不等式的性质即可判断C ，利用特例法排除选项D.【详解】对于A ，函数定义域为R ，211221()211221x x x x xxf x −−−−−−===−+++，所以()()f x f x −=−，错误； 对于B ，因为()21212121x x x f x −==−++，所以222ln 2()(21)x x f x '⨯=+，由ln 20>知()0f x '>，错误； 对于C ，因为x ∀∈R ，()0f x '>，所以()f x 在(),−∞+∞上递增， 0x >时，()()00f x f >=，故对120x x <<，()()120f x f x <<，由不等式的性质可得()()11220x f x x f x <<，正确；对于D ，211(1)213f −==+，22213(2)215f −==+，2214(3)1533f −==+， 取121,2x x ==，则123x x +=，()()()1212144,155f x f x f x x +=+=， 此时，()()()1212f x f x f x x +>+，错误. 故选：C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】 ①. 10 ②. 32【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为1求出r ，再代入通项公式可求出x 的系数，令1x =可求出各项系数之和.【详解】51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式为5521551C C rr r r rr T x x x −−+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令521r −=，得2r =，所以x 的系数为25C 10=， 令1x =，则()51132+=，所以各项系数之和为32， 故答案为：10，32 12. 【答案】3【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为1x >，所以10x −>， 所以()11111311x x x x +=−++≥+=−−， 当且仅当111x x −=−，即2x =时取等号. 故答案为：313. 【答案】 ①.310##0.3 ②. 34##0.75 【分析】设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()P A 与()P AB ，再代入条件概率公式即可求解.【详解】设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则()1215C 2C 5P A ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()11231154C C 3C C 10P AB ==. 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3310245P AB P B A P A ===. 故答案为：310；34. 14. 【答案】摩托车数量在51到59辆【分析】根据题意可得220220060000x x −+>，解不等式，且x 取不等式解集中的正整数即可 【详解】由题意得220220060000x x −+>，化简得211030000x x −+<， 得(50)(60)0x x −−<，解得5060x <<， 因为x 取正整数，所以该工厂在这周内生成的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标. 故答案为：摩托车数量在51到59辆 15. 【答案】 ①. (0,1) ②. 11k −≤<【分析】（空1）0k =时，借助导数工具判断e 10x x −−≥，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式；（空2）结合上一空e 10x x −−≥进行零点个数的判断【详解】0k =时，()3e ,01,0x x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+>⎩，则()3e 1,01,0x x x f x x x x ⎧−−≤−=⎨−>⎩，令300x x x ⎧−<⎨>⎩，即(1)(1)00x x x x +−<⎧⎨>⎩，解得(0,1)x ∈，令()e 1(0)x h x x x =−−≤，()e 10(0)x h x x '=−≤≤， 即()h x 在(],0x ∈−∞上单调递减，于是()(0)0h x h ≥=， 即e 10x x −−≥，即e 10x x −−<无解， 综上可知，()1f x <的解集为(0,1)；()3e 1,()1,x x x kg x f x x x x k⎧−−≤=−=⎨−>⎩，根据上一空的分析可知，e 10x x −−≥，0x =取得等号，故0k <时，e 10x x −−=无解，30(1)(1)0x x x x x −=⇔−+=，=1x −，0或1，30−=x x 在x k >时有2个根，即=1x −这个根需排除在外，则1k ≥−，于是10k −≤<；当0k ≥时，e 10x x −−=有唯一解0x =，于是30−=x x 在x k >时有1个根， 即1x =这个根需恰好被包含在内，故1k <，即01k ≤<. 综上所述，11k −≤<. 故答案为：(0,1)；11k −≤<三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）300；（2）分布列见解析； （3）()1E X =.【分析】（1）先计算出优秀率的估计值，再由频率和频数的关系求频数； （2）可得X 的可能取值为0，1，2，求出X 取不同值的概率即可得出分布列； （3）根据随机变量的均值公式求解. 【小问1详解】高二年级随机抽取的6名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为12， 将此频率视为概率，估计高二年级“体质优秀”的学生人数为60030012⨯=（人）； 【小问2详解】高二年级抽取的6名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有4人. 所以X 的可能取值为0，1，2，032436C C 1(0)C 5P X ===，122436C C 3(1)C 5P X ===，212436C C 1(2)C 5P X ===，所以随机变量X 的分布列为：【小问3详解】随机变量X 的均值()0121555E X =⨯+⨯+⨯= 17. 【答案】（1）20y +=；（2）函数()f x 的单调递增区间有10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调递减区间有1,12⎛⎫⎪⎝⎭，极大值为5ln 24−−，极小值为2−. 【分析】（1）求函数()f x 的定义域和导函数，利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式求切线方程； （2）解方程()0f x '=求其根；由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【小问1详解】函数()23ln f x x x x =−+的定义域为()0,∞+，导函数()()2111()23x x f x x x x−−'=−+=， 所以(1)0,(1)2f f '==−, 故切线方程为20y +=； 【小问2详解】 由（1）()()2111()23x x f x x x x−−'=−+=， 令()0f x '=，可得12x =或1x =， 当102x <<时，0f x，函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当112x <<时，()0f x '<，函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1x >时，0fx，函数()f x 在()1,+∞上单调递增；所以函数()f x 的单调递增区间有10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调递减区间有1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以当12x =时，函数()f x 取极大值，极大值为15ln 224f ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，当1x =时，函数()f x 取极小值，极小值为(1)2f =−.18. 【答案】（1）27（2）答案见解析 （3）6i =【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；（2）结合题意先求出X 的分布列，再结合数学期望的公式求解即可； （3）结合题意先求得0.065c ≈−，进而即可求解. 【小问1详解】由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天， 所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为27. 【小问2详解】由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI 高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以()3537C 1020C 357P X ====， ()215237C C 2041C 357P X ====，()125237C C 512C 357P X ====，所以X 的分布列为：数学期望()0127777E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问3详解】由题意，111 1.908 2.0550.147c a b =−=−=−，222 2.081 2.3930.312c a b =−=−=−， 333 1.331 1.5290.198c a b =−=−=−， 444 1.202 1.3020.1c a b =−−=−=， 555 1.271 1.6420.371c a b =−−==−，666 2.256 1.8370.419c a b =−==−， 777 2.012 1.7550.257c a b =−==−，所以()1110.1470.3120.1980.10.3710.4190.2570.06577n i i c c ===⨯−−−−−++≈−∑，所以i c c −取得最大值时，6i =. 19. 【答案】（1）4 （2）分布列见解析 （3）5【分析】（1）根据试验即可求出； （2）分析得到110,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率； （3）利用期望公式求出期望. 【小问1详解】当4X =时，则小球最终落入4号格子，则在通过的10层中有4层需要向右，6层向左， 故小球向右下落的次数为4； 【小问2详解】设A =“向右下落”，A =“向左下落”，则()()12P A P A ==， 因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以110,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，所以010010111(0)C 221024P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9110115(1)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，282101145(2)C 221024P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，373101115(3)C 22128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4641011105(4)C 22512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，555101163(5)C 22256P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6461011105(6)C 22512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，737101115(7)C 22128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，828101145(8)C 221024P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9910115(9)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，100010111(10)C 221024P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：154515105631051545012345678102451210241285122565121281024EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5191055121024+⨯+⨯=. 20. 【答案】（1）21,e ⎛⎤−∞−⎥⎝⎦（2）是，理由见解析 （3）答案见解析【分析】（1）对函数求导，若()y f x =在R 上是增函数，即()0f x '≥恒成立，得()1e xa x ≤+，设()()1e x g x x =+，求导后利用单调性求得函数的最小值，即可求得结果；（2）()()1e 1xf x x '=+−，令()()11e xh x x =+−，对函数()h x 求导后求得()f x '的单调性即可判断出结果；（3）令()e 0xf x x ax =−=，即()e 0xx a −=，对a 分类讨论求解方程的根，从而得出答案．【小问1详解】()()e x f x x ax a =−∈R ，则()()1e x f x x a '=+−，若()y f x =在R 上是增函数，即()0f x '≥恒成立，得()1e xa x ≤+，设()()1e xg x x =+，()()2e xg x x '=+，()0g x '>得2x >−，()0g x '<得<2x −，即()g x 在(),2−∞−递减，在(2,)−+∞递增， 则()()212e g x g ≥−=−， 故21e a ≤−，即21,e a ⎛⎤∈−∞−⎥⎝⎦． 【小问2详解】当1a =时，()()1e 1xf x x '=+−，令()()11e xh x x =+−，()()2e xh x x '=+，当()2,x ∈−+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()f x '单调递增，又()00f '=， 当()2,0x ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，故0x =是函数()f x 的极小值点． 【小问3详解】令()e 0xf x x ax =−=，即()e 0xx a −=，当0a ≤时，e 0x a −>，故()0f x =的根有1个，即0x =，则()f x 有1个零点；当1a =时，由e 10x −=，得0x =，故()0f x =的根有1个，即0x =，则()f x 有1个零点； 当0a >且1a ≠时，由e 0x a −=，得ln x a =，故()0f x =的根有2个，即0x =或ln x a =，则()f x 有2个零点，综上，当0a ≤或1a =时，()f x 有1个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有2个零点． 21. 【答案】（1）1−或3 （2）2−（3）不存在，理由见解析【分析】（1）利用10a =与递推公式求出23,a a 的可能值，从而求出3S 的值； （2）由（1）23,a a 的值，分类讨论，结合52a =−求出4a 的值，从而求出5S 的值；（3）将11i i a a +=+两边平方后，推出2121n n a S n −=+−，从而求出220234044a =，结合n a 为整数，判断方程无解即可. 【小问1详解】因为10a =，()111,2,,,i i a a i n +=+=，所以12|1|||1a a +==，解得21a =−或21a =，当21a =时，由32|||2|1a a =+=，解得32a =或32a =−， 当21a =−时，由32|||0|1a a =+=，解得30a =，所以30(1)01S =+−+=−或301(2)1S =++−=−或30123S =++=， 【小问2详解】当30a =时，34|1|||1a a +==，则41a =−或41a =，此时由45|1|||2a a +==知41a =，41a =−不满足，舍去；当32a =−时，34|1|||1a a +==，则41a =或41a =−，41a =满足45|1|||2a a +==，41a =−不满足，舍去；当32a =时，由34|1|||3a a +==，得43a =−或43a =，由45|1|||2a a +==知43a =−满足题意，当43a =时，不满足题意，综上， 23451,0,21,a a a a =−==−=或42351,2,21,a a a a ===−=−，或43251,2,3,2a a a a ===−=−，所以()50(1)0122S =+−+++−=−或()()5012122S =++−++−=−或()()50123+22S =+++−−=−，故52S =−. 【小问3详解】 由()111,2,,,i i a a i n +=+=，10a =可得n a 为整数，221121,0i i i a a a a +++==，所以211222222121120(21)(21)(21)n n n a a a a a a a a a −−+++=++++++++++，则22222221212311123()2()1n n n a a a a a a a a a a a n −−+++=++++++++++−，所以2121n n a S n −=+−，若存在数列A ，使得20221011S =，则220232022220224044a S =+=，又2023a 为整数，所以方程无解， 故不存在数列A ，使得20221011S =.【点睛】思路点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。
福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)
漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，考生必须将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在原点处的切线斜率为（ ）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数 相关系数 相关系数 相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（ ）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（ ）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
高二数学2022-2023学年第二学期期末模拟卷(含答案)
2022-2023学年高二下学期期末模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：必修二第5章——必修三第6、7、8章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列说法，正确的是（）A ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大B ．在残差图中，残差点分布在以取值是0的横轴为对称轴的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1D ．数据－1，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是22．某校有演讲社团､篮球社团､乒乓球社团､羽毛球社团､独唱社团共五个社团，甲､乙､丙､丁､戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选篮球”，则()P A B =（）A ．332B ．316C ．34D ．253．82x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中，二项式系数最大的项是（）A ．第3项B ．第4顶C ．第5项D ．第6项4．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，则不同的站法有（）A ．1440种B ．2880种C ．4320种D ．3600种5．2023年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布()270.8,7.02X N ~（单位：mm /Hg ），且()82.80.1P X >=，若任意抽查该校大学生6人，恰好有k 人的舒张压落在()58.8,82.8内的概率最大，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．66．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（）A ．18B ．78C ．17D ．677．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种8．若不等式222e ln e ln 2e xaa x x a -+-≥-在[1,2]x ∈-有解，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．41,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知21nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式的各项系数之和为1024C ．展开式中常数项为45D ．展开式中含15x 项的系数为4510．下列说法正确的是（）A ．在一个2×2列联表中，计算得到2χ的值，则2χ的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大B ．随机变量()2~,N ξμσ，若函数()()2f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则1μ=C ．若回归直线方程为ˆ 1.22yx =+，则样本点的中心不可能为(5,7)D ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.91-和0.89，则甲组数据的线性相关性更强11．一个袋子中有编号分别为1,2,3,4的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件A ，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B ，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件C ，则下列说法正确的是（）A ．()516P C =B ．事件B 与事件C 相互独立C ．()12P CA =∣D ．事件A 与事件B 互为对立事件12．下列不等关系中正确的是（）A 32ln 3<B 344ln 3>C ．sin 33sin1cos1<D ．sin 33sin1cos1>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．2023年五一节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位：元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y1610865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为 3.544y x =-+，则m =________．14．某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有_________种．15．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有3件次品；第二箱内装有20件，其中有2件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为__________．16．已知函数()ln 20()a x x a f x =-≠，若不等式222e ()e cos(())a x x x f x f x ≥+对0x >恒成立，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．(1)求实数a 的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；(2)完成下列22⨯列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．优秀非优秀合计男女10合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．2()P k αχ=≥0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82818．（12分）已知()()52601261(1)(1)m x x a a x a x a x +=+-+-++- ，其中R m ∈，且13564a a a ++=，(1)求m 的值；(2)求4a 的值.19．（12分）已知0a >，函数()()2ln ln f x x a a x x e =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当a e =时，求函数()f x 的单调区间；(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.20．（12分）某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,2,,20)i y i = 如下表：学生编号i 12345678910数学成绩i x 100999693908885838077知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060270学生编号i 11121314151617181920数学成绩i x 75747270686660503935知识竞赛成绩iy 4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是75x =，知识竞赛成绩的平均值是90y =，并且()20216464i i x x =-=∑，()2021149450ii yy =-=∑，()()20121650i i i x x y y =--=∑．(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．(2)设*N N ∈，变量x 和变量y 的一组样本数据为(){},|1,2,,i i x y i N = ，其中(1,2,,)i x i N = 两两不相同，(1,2,,)i y i N = 两两不相同．记i x 在{},2|1,,n x n N = 中的排名是第i R 位，i y 在{},2|1,,n y n N = 中的排名是第i S 位，1,2,,i N = ．定义变量x 和变量y 的“斯皮尔曼相关系数”（记为ρ）为变量x 的排名和变量y 的排名的样本相关系数．（i ）记i i i d R S =-，1,2,,i N = ．证明：()221611Ni i d N N ρ==--∑．（ii ）用（i ）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）．(3)比较（1）和（2）（ii ）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．注：参考公式与参考数据．()()niix x y y r --=∑21(1)(21)6nk n n n k =++=∑31000≈．21．（12分）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.(1)当进行完3轮游戏时，总分为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若累计得分为i 的概率为()1,2,,9i p i =⋅⋅⋅，初始分数为0分，记01p =（i ）证明：数列{}()11,2,,9i i p p i --=⋅⋅⋅是等比数列；（ii ）求活动参与者得到纪念品的概率.22．（12分）已知函数()e ln xf x x a x =-在1x =处的切线方程为()()21,R y e x b a b =+-∈(1)求实数a ，b 的值；(2)设函数()()23xg x f x e x =--+，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的值域为区间()(),,Z m n m n ∈的子集，求n m -的最小值．2022-2023学年高二下学期期末模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：必修二第5章——必修三第6、7、8章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列说法，正确的是（）A ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大B ．在残差图中，残差点分布在以取值是0的横轴为对称轴的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1D ．数据－1，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是2【答案】B【分析】对选项A ，根据独立性检验的定义即可判断A 错误，对选项B ，根据残差图的性质即可判断B 正确，对选项C ，根据题意得到相关系数为1-，故C 错误，对选项D ，根据计算得到第25百分位数是32，即可判断D 错误.【详解】对于A ，由独立性检验可知，2χ值越大，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大，故A 错误；对于B ，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B 正确；对于C ，样本点都在直线23y x =-+上，说明是负相关，相关系数为1-，故C 错误；对于D ，8个数据从小到大排列，由于80.252⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数12322+=，故D 错误，故选：B 2．某校有演讲社团､篮球社团､乒乓球社团､羽毛球社团､独唱社团共五个社团，甲､乙､丙､丁､戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选篮球”，则()P A B =（）A ．332B ．316C ．34D ．25【答案】A【分析】分别求出事件AB 、事件B 的可能的种数，代入条件概率公式()()()P AB P A B P B =即可求解.【详解】事件AB ：甲同学选篮球且五名同学所选项目各不相同，所以其他4名同学排列在其他4个项目，且互不相同为44A ，事件B ：甲同学选篮球，所以其他4名同学排列在其他4个项目，可以安排在相同项目为44，故()()()44545A 354325P AB P A B P B ===.故选:A .3．8x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中，二项式系数最大的项是（）A ．第3项B ．第4顶C ．第5项D ．第6项【答案】C【分析】根据二项式确定展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题设，展开式中二项式1r T +对应二项式系数为8C r ，所以，二项式系数最大的项为4r =，即5T ：第5项.故选：C4．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，则不同的站法有（）A ．1440种B ．2880种C ．4320种D ．3600种【答案】C【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排，共有77A 5040=种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有3535A A 720=种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻的不同站法有50407204320-=种不同的站法.故选：C5．2023年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布()270.8,7.02X N ~（单位：mm /Hg ），且()82.80.1P X >=，若任意抽查该校大学生6人，恰好有k 人的舒张压落在()58.8,82.8内的概率最大，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用正态分布计算出()58.882.8P X <<，然后利用二项分布概率最大可得出关于k 的不等式组，解之即可.【详解】因为()270.8,7.02X N ~，则()()58.882.81282.80.8P X P X <<=->=，由题意知：抽查该校大学生6人，恰好有k 人的舒张压落在()58.8,82.8内的概率为()()()66C 0.20.81,2,,5kkk k -⋅⋅= ，要使此式的值最大，由6171666151664141C C55554141C C 5555kkk kk k kkk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即()()()()()()6176156!416!41!6!551!7!556!416!41!6!551!5!55k kk kk kk kk k k k k k k k ----+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅--⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⋅-+⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得232855k ≤≤，{}1,2,3,4,5k ∈ ，所以，5k =.故选：C.6．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（）A ．18B ．78C ．17D ．67【答案】C【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，记事件A 为“有一枚正面朝上”，则()78P A =，记事件B 为“另外两枚也正面朝上”，则AB 为“三枚都正面朝上”，故()18P AB =，故()()()118778P AB P B A P A ===.即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17.故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．7．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种.故选：D ．【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力．8．若不等式222e ln e ln 2e xaa x x a -+-≥-在[1,2]x ∈-有解，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．41,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先得到0a >，不等式变形得到()22e ln 21e exx a a ⎛⎫≥- -⎪⎝⎭，换元后令()()21ln 22e f t t t =--+，问题转化为存在2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥，求导后得到()f t 的单调性，结合()()21e 0f f ==，得到当21e t ≤≤时，()0f t ≥，比较端点值得到答案.【详解】由ln a 有意义可知，0a >，222e ln e ln 2e x a a x x a -+-≥-变形为()()22e ln 2e1x aa x --≥-，即()22e ln 21eexx a a⎛⎫≥- -⎪⎝⎭，令e xt a =，即有()2e 1ln 220t t --+≥，因为[1,2]x ∈-，所以2,e e e x t a a a ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()21ln 22e f t t t =--+，问题转化为存在2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥，因为()22e 1212e t f t t t---'=-=，令()0f t '<，即20e 21t --<，解得2e 12t ->，令()0f t '>，即20e 21t -->，解得2e 102t -<<，所以()f t 在2e 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2e 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()()222210,e e 1ln e 2e 20f f ==--+=，而221e e 1<2-<，所以当21e t ≤≤时，()0f t ≥，若存在2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立，只需22e e a ≤且e 1a ≥，解得4e 1e ,a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知21nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式的各项系数之和为1024C ．展开式中常数项为45D ．展开式中含15x 项的系数为45【答案】BCD【分析】先由已知条件得21024n =求出n 的值，然后求出二项式展开式的通项公式，再逐个分析判断即可【详解】解：因为2nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和为1024，所以21024n =，得10n =，所以二项式展开式的通项公式为5202102110101()rr rrr r T C x C xx --+==⋅，对于A ，展开式中奇数项的二项式系数和为110245122⨯=，所以A 错误，对于B ，因为2nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B 正确，对于C ，令52002r -=，解得8r =，所以展开式中常数项为81045C =，所以C 正确，对于D ，令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为21045C =，所以D 正确，故选：BCD10．下列说法正确的是（）A ．在一个2×2列联表中，计算得到2χ的值，则2χ的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大B ．随机变量()2~,N ξμσ，若函数()()2f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则1μ=C ．若回归直线方程为ˆ 1.22yx =+，则样本点的中心不可能为(5,7)D ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.91-和0.89，则甲组数据的线性相关性更强【答案】BCD【分析】由独立性检验的相关知识可判断A ；根据偶函数的对称性可判断B ；根据回归直线过样本点的中心可判断C ；根据线性相关性与相关系数的关系可判断D.【详解】对于A ，在一个2×2列联表中，由计算得2χ的值（可大于1），2χ的值越大，两个变量相关的把握越大，故A 错误；对于B ，()()2f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()22P x x P x x ξξ-≤≤-+=≤≤+，故可得212x x μ-++==，故B 正确；对于C ，7 1.252≠⨯+，所以样本点的中心不可能为()5,7，C 正确；对于D ，具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于1，x 和y 之间的线性相关程度越强，D 正确．故选：BCD.11．一个袋子中有编号分别为1,2,3,4的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件A ，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B ，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件C ，则下列说法正确的是（）A ．()516P C =B ．事件B 与事件C 相互独立C ．()12P CA =∣D ．事件A 与事件B 互为对立事件【答案】AC【分析】对于选项A ，由古典概型的概率公式得()516P C =，所以该选项正确；对于选项B ，由题得()()()P BC P B P C ≠⋅，事件B 与事件C 不相互独立，所以该选项错误；对于选项C,()12P C A =∣，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件A 与事件B 不是对立事件，所以该选项错误.【详解】对于选项A ，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5个，由古典概型的概率公式得()554416P C ==⨯，所以该选项正确；对于选项B ，由题得241()442P B ⨯==⨯,21()448P BC ==⨯,所以()()()P BC P B P C ≠⋅，事件B 与事件C 不相互独立，所以该选项错误；对于选项C,()()21()142P AC P CA P A ===⨯∣，所以该选项正确；对于选项D,如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A 和B 都没有发生，所以事件A 与事件B 不是对立事件，所以该选项错误.故选：AC12．下列不等关系中正确的是（）A 2ln 3<B 4>C ．sin 33sin1cos1<D ．sin 33sin1cos1>【答案】BC【分析】根据函数值的特征，构造函数()ln xf x x=，求出其导数，判断函数的单调性，可判断AB ；同理构造函数()sin xg x x=，判断CD.【详解】令()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()2f f>，即ln22>2ln 3>=，故A 错误，又ln 42ln 2=，所以ln 4ln242=>44ln >B 正确；令()sin x g x x =，π()0,x ∈，则2cos sin ()x x xg x x -'=，令()cos sin u x x x x =-，则()cos sin u x x x x =--'cos sin 0x x x =-<在(0,π)上恒成立，所以()u x 在(0,π)上单调递减，所以()(0)0u x u <=，所以()0g x '<在(0,π)上恒成立，所以()g x 在(0,π)上单调递减，所以(2)(3)g g >，即sin 2sin 323>，即3sin 2sin 32<=3sin1cos1，故C 正确，D 错误，故选：BC ．【点睛】关键点点睛：构造函数()ln xf x x=和()sin x g x x =，π()0,x ∈，是解决本题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．2023年五一节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位：元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y1610865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为 3.544y x =-+，则m =________．【答案】10【分析】计算变量的平均值,x y ，根据变量y 与x 之间有较强的线性关系，结合回归直线的性质即可求得m 的值.【详解】变量x 的平均值为89.510.512855m m x ++++==+，变量y 的平均值为161086595y ++++==，又销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，所以其线性回归直线方程 3.544y x =-+经过点(),x y ，所以9 3.58445m ⎛⎫=-⨯++ ⎪⎝⎭，解得10m =.故答案为：10.14．某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有_________种．【答案】30【分析】依颜色为出发点，分析可得必用3种颜色的鲜花，先安排1，2位置，再讨论第三种颜色的可能位置，分析运算即可.【详解】若只用两种颜色的鲜花，则1，3位置的颜色相同，2，4位置的颜色相同，即可得1，4位置的颜色不同，则5位置无颜色可选，不合题意；故必用3种颜色的鲜花，则1，2的栽植方案有23A 6=种，已用两种颜色，第三种颜色可能在3，4，5，可得：（i ）若第三种颜色在3或5，有如下两种可能：①3，5的颜色相同，则4的颜色有两种可能，栽植方案有12C 2=种；②3，5的颜色不相同，则4的颜色必和1的颜色相同，栽植方案有12C 2=种；栽植方案共有224+=种；（ⅱ）若第三种颜色在4，则3的颜色必和1的颜色相同，5的颜色必和2的颜色相同，栽植方案共有1种；综上所述：总的栽植方案有()64130⨯+=种.故答案为：30.15．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有3件次品；第二箱内装有20件，其中有2件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为__________．【答案】0.75/34【分析】利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.【详解】设事件i A 表示从第(1,2)i i =箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则121122()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅131241*********=⨯+==,所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为1113()3210(|)4()420P A B P A B P B ⨯===.故答案为：34.16．已知函数()ln 20()a x x a f x =-≠，若不等式222e ()e cos(())a x x x f x f x ≥+对0x >恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(0,2e]【分析】将不等式等价转化，构造函数()e 2cos t g t t t =--，并探讨其性质，再利用导数分类讨论()t f x =的值域即可求解作答.【详解】ln 2()22()cos[()]e 2()cos[()]0e 2()cos[()]0eaa x x f x x x f x f x f x f x f x f x --≥⇔--≥⇔--≥，令()t f x =，则()e 2cos t g t t t =--，()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时,e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，则()0g t '<恒成立，当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，则()0h t '>恒成立，则()g t '在(0,)+∞上单调递增，又因为(0)1,(1)e 2sin10g g ''=-=-+>，因此存在0(0,1)t ∈，使得()00g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时,()0g t '>，所以函数()g t 在()0,t -∞上单调递减，在(0t ,)∞+上单调递增,又(0)0g =，作出函数()g t的图像如下：函数()ln 2(0)f x a x x a =-≠定义域为(0,)+∞，求导得2()2a a x f x x x-'=-=，①当a<0时，()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，当01x <<时，ln y a x =的取值集合为(0,)+∞，而2y x =-取值集合为(2,0)-，因此函数()f x 在(0,1)上的值域包含(0,)+∞，当1x ≥时，ln y a x =的取值集合为(,0]-∞，而2y x =-取值集合为(,2)-∞-，因此函数()f x 在[1,)+∞上无最小值，从而函数()f x 的值域为R ，即()R t f x =∈，()00g t <，不合题意，②当0a >时，由()0f x '<得2a x >，由()0f x '<得02a x <<，函数()f x 在(0,)2a上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减，max ()()ln 22a af x f a a ==-，当01x <≤时，ln y a x =的取值集合为(,0]-∞，而2y x =-取值集合为(2,0]-，因此函数()f x 在(0,1]上的值域包含(,0]-∞，此时函数()f x 的值域为(,ln ]2aa a -∞-，即()(,ln ]2a t f x a a =∈-∞-，当ln 02aa a -≤时，即当02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意，当ln02a a a ->时，即当2e a >时，10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合图象可知，()10g t <，不合题意，所以实数a 的取值范围为(0,2e].故答案为：(0,2e]【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．(1)求实数a 的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；(2)完成下列22⨯列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．优秀非优秀合计男女10合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．2()P k αχ=≥0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)0.020a =，250（人）(2)填表见解析；没有【分析】（1）根据频率和为1求得a ，进而根据频率估计成绩优秀的人数；（2）根据题意结合分层抽样完善列联表，求2χ，并与临界值对比分析.【详解】（1）由题意可得：(0.0050.0150.0300.0250.005)101a +++++⨯=，解得0.020a =，样本中成绩优秀的频率为：0.0200.0051025(.)0+⨯=，以样本估计总体，全校1000名学生中成绩优秀的人数为：0.251000250⨯=（人）.（2）由题意，采用分层抽样，男生抽取人数450100451000⨯=人，女生抽取1004555-=人，且样本中优秀的人数为1000.2525⨯=人，故22⨯列联表如下：优秀非优秀合计男153045女104555合计2575100可得22100(15453010)1003.0304555257533χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.030 3.841<，故没有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关18．已知()()52601261(1)(1)m x x a a x a x a x +=+-+-++- ，其中R m ∈，且13564a a a ++=，(1)求m 的值；(2)求4a 的值.【答案】(1)2(2)25【分析】（1）分别令0x =，2x =，然后两式相减求结合13564a a a ++=即可得解；（2）()52x x +化为()()53111x x ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣⎦，求出()511x ⎡⎤-+⎣⎦展开式的通项，令()1x -的指数等于4和3即可得解.【详解】（1）当0x =时，()012345600m a a a a a a a +⋅=-+-+-+，①当2x =时，()5012345622m a a a a a a a +⋅=++++++，②②-①得，()()5135222m a a a +⋅=++，因为13564a a a ++=，所以()()5135222128m a a a +⋅=++=，解得2m =；（2）()()()5523111x x x x ⎡⎤⎡⎤+=+--+⎣⎦⎣⎦，()511x ⎡⎤-+⎣⎦展开式的通项为()515C 1kk k T x -+=-，令54k -=，则1k =，令53k -=，则2k =，所以124553C C 25a =+=.19．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当e a =时，求函数()f x 的单调区间；(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.【答案】(1)()212e e 0x y --+=(2)单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)(3)证明见解析，0x 的最小值是e ．【分析】（1）先求()f x 的导函数,再点斜式求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程（2）先求()f x 的导函数，根据()f x '的正负判定函数的增减即可；（3）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.【详解】（1）当1a =时，()()2ln e f x x x =-+-,()()()221ln11e 1e f ==-+--,()()12e f x x x'=-+-,()()1121e 12e f '=-+-=-,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程()()()21e 12e 1y x --=--,切线方程()212e e 0x y --+=.（2）当e a =时，2()eln (e)f x x x x =-+-，则2e 2(12e)e (21)(e)()12(e),(0)x x x x f x x x x x x+--+-+-='=-=>令()0f x '>，得e x >；令()0f x '<，得e x <；所以，函数()y g x =的单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)．（3）22(ln 2e)()ln 2(e)a x a x af x a x x x+--=-+'-=令2()2(ln 2e)0t x x a x a =+--=，因为2(ln 2e)80a a ∆=-+>，所以方程22(ln 2e)0x a x a +--=，有两个不相等的实根()1212,x x x x <，又因为1202ax x =-<，所以120x x <<，令02x x =，列表如下:x ()00,x 0x ()0,x +∞()f x '-0+()f x 减极小值增所以()f x 存在极值点0x .所以存在0x 使得2002(ln 2e)0x a x a +--=成立，所以存在0x 使得200022e ln x x a x a -=-，所以存在0x 使得2000ln 22e a x a x x -=-对任意的0a >有解，因此需要讨论等式左边的关于a 的函数，记0()ln u t t x t =-，所以0()1x u t t=-'，当00t x <<时，()0,()u t u t <'单调递减；当0t x >时，()0,()u t u t >'单调递增．所以当0t x =时，0()ln u t t x t =-的最小值为()0000ln u x x x x =-．所以需要200000022e ln ln x x a x a x x x -=-≥-，即需要200002(2e 1)ln 0x x x x -++≥，即需要002(2e 1)ln 0x x -++≥，即需要002ln (2e 1)0x x -+≥+因为()2ln (2e 1)v t t t =+-+在(0,)+∞上单调递增，且()0()0v x v e ≥=，所以需要0e x ≥，故0x 的最小值是e ．20．某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,2,,20)i y i = 如下表：学生编号i 12345678910数学成绩i x 100999693908885838077知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060270学生编号i 11121314151617181920数学成绩i x 75747270686660503935知识竞赛成绩iy 4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是75x =，知识竞赛成绩的平均值是90y =，并且()20216464i i x x =-=∑，()2021149450ii yy =-=∑，()()20121650i i i x x y y =--=∑．(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．(2)设*N N ∈，变量x 和变量y 的一组样本数据为(){},|1,2,,i i x y i N = ，其中(1,2,,)i x i N = 两两不相同，(1,2,,)i y i N = 两两不相同．记i x 在{},2|1,,n x n N = 中的排名是第i R 位，i y 在{},2|1,,n y n N = 中的排名是第i S 位，1,2,,i N = ．定义变量x 和变量y 的“斯皮尔曼相关系数”（记为ρ）为变量x 的排名和变量y 的排名的样本相关系数．。
(必考题)数学高二下期末经典测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,若将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x 图象,则()g x 的解析式为( )A ．2()2sin(2)3g x x π=+ B ．5()2sin(2)6g x x π=- C ．()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)3g x x π=-2．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．66B ．66±C ．62D ．62±3．已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．45 4．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A 3B ．3C ．6 D ．1525．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°6．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．37．设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( )A ．[)4,5ππB ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．已知函数()sin 3cos f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 10．若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（ ） A ．16B ．72C ．86D ．10011．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称12．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2cos ,2sin )CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+B ．23C ．4D ．1215．已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ）A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 17．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________. 18．实数x ，y 满足223412x y +=，则23x y +的最大值______． 19．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．20．已知角α的终边上一点)3,1A-，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．21．已知ABC ∆中角,,A B C 满足2sin sin sin B A C =且2sin cos cos 1242C Cπ+=,则sin A =__________.22．仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． （2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤． （3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=．请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）23．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________． 24．已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值为__________． 25．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________． 三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 27．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若c =，ABC 的面积为ABC 的周长.28．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 29．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图像经过点,412π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点5,412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像有一条对称轴为12x π=. （1）求()f x 的解析式及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.30．已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式； （2）写出函数()f x 的单调递增区间（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C11．A12．D13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OACB面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题25．【解析】由题意得三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式，再根据图象的平移变换得到()g x 的解析式即可. 【详解】 由图象可知，A =2,541264T πππ=-=, 2T ππω∴==,2ω∴=,又当512x π=时，52sin(2)212πφ⨯+=， 即5sin()16πφ+=， 2πφ<， 3πφ∴=-，故()sin()f x x π=-223，将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x ， ∴ ()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+，故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A4．D解析：D 【解析】 【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单5．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．7．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式.由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象， 又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈， 即ππ6m k =+，k Z ∈， 又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．C【解析】 【分析】 【详解】 令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.11．A解析：A 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【详解】 由题意，函数23111()3cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++， 当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确； 又由12x π=时，131()sin(2)612622f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．13．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．B解析：B 【解析】 【分析】将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】因为2222cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.15．B解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++； 因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-. 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】 【分析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】 由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+ =2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++. 故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy解析：【解析】分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．详解：根据题意，实数x ，y 满足223412x y +=，即22143x y +=，设2cos x θ=，y θ=，则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又由()15sin 1θα-≤+≤，则525x -≤≤，即2x +的最大值5； 故答案为：5．点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m 则由余弦定理把m 表示出来利用四边形OACB 面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC 为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m 则由余解析：5+ 【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABC m S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+)554πα=-+≤.当34απ=时取到最大值5+.故答案为5+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力【解析】分析：先根据三角函数定义得cos ,tan αα，再根据诱导公式化简求值.详解：因为角α的终边上一点)1A -，，所以cos tanαα===, 因此()sin tan 2παπα⎛⎫-++⎪⎝⎭cos tanαα=+== 点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本求解能力.21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力解析：12【解析】 分析：先化简2sincos cos 1242C C π+=得到2C π=，再化简2sin sin sin B A C =得到sin A =详解：因为2sincos cos 1242C C π+=，所以1-2cos 1222C C +=,所以cos(cos 0,cos 0(cos =222222C C C C -=∴=舍）或， 因为0C π<<,所以2C π=,所以A+B=2π.2sin sin sin B A C =因为，所以22cos sin ,sin sin 10,sin A A A A A =∴+-=∴=因为sinA>0,所以1sin 2A =.. 点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：解析：4()sin π3f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=⎪⎝⎭. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言 解析：24e x y -=【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e ee e xxx x y y y --=→=→==横坐标变为一半右移个单位点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题 解析：65【解析】 分析：由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得tan 2α=，化简()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，即可求得其值.详解：tan tantan 114tan ,tan 2,4tan 13tan tan 4παπαααπαα--⎛⎫-===∴= ⎪+⎝⎭+ 由()()22cos sin cos sin sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+⎪⎝⎭22222sin sin cos tan tan 6.sin cos tan 15αααααααα++===++ 即答案为65. 点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．25．【解析】由题意得解析：3-【解析】由题意得()1sin sin ,[,],cos 32ππαααπα-==∈∴==三、解答题 26． （1）34-（2）16【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-， 根据余弦定理得222332cos 224aca cb Bac ac -+-===-； （2）由3cos 4B =-，得sin B = ∴sin22sin cos BB B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816B B B πππ⎫⎛⎫+=+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．（1）3C π=（2）7+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到sin (2cos 1)0C C -=求解.（2）根据ABC 的面积为1sin 2ab C =12ab =，再利用余弦定理得()23a b ab =+-，求得+a b 即可. 【详解】（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 所以()2cos sin sin C A B C +=， 所以sin (2cos 1)0C C -=， 所以1cos 2C =， 又因为()0,C π∈， 所以3C π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ab C = 所以12ab =.由余弦定理得：若2222cos c a b ab C =+-，()23a b ab =+- 所以7a b +=所以ABC 的周长7【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.28．（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其单调增区间． (2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．29．（1）()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，23π；（2）22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】【分析】（1）由函数的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=， 可得最大值A ，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．【详解】（1）函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，2πϕ＜）在一个周期内的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=， 故最大值A ＝4，且5212123T πππ=-=, ∴2T 3π=， ∴ω2Tπ=＝3． 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.因为()f x 的图象经过点,412π⎛⎫⎪⎝⎭，所以44sin 312πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 所以24k ϕπ=+π，k Z ∈. 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=， 所以()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）因为()4sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以232242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 所以2243123k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 即()f x 的单调递增区间为22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +ϕ）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．30．（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）76π； 【解析】【分析】（1）根据函数的最值可得A ，周期可得ω，代入最高点的坐标可得ϕ，从而可得解析式；（2）利用正弦函数的递增区间可解得；（3）利用()2f x =-在(0,)x π∈内的解就是1x 和2x ，即可得到结果.【详解】（1）由函数()f x 的图象可得4A =， 又因为函数的周期72()1212T πππ=-=，所以22πωπ==， 因为函数的图象经过点(,4)12P π，即4sin(2)412πϕ⨯+=， 所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， 所以()4sin(22)4sin(2)33f x x k x πππ=++=+. （2）由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 可得函数()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈， （3）因为(0,)x π∈，所以72(,)333x πππ+∈， 又因为()2f x =-可得1sin(2)32x π+=-， 所以7236x ππ+=或11236x ππ+=， 解得512x π=或34x π=，、 因为12x x ≠且()12,0,x x π∈，12()()2f x f x ==-， 所以1253147124126x x ππππ+=+==. 【点睛】本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.。
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高二数学下期末测试题及答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2014高二数学下期末测试题2班别： 姓名：__________成绩： _____一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1、函数()22)(x x f π=的导数是A. x x f π4)(='B. x x f 24)(π='C.x x f 28)(π='D. x x f π16)(=' 2.已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是3．2(sin cos )x a x dx π+⎰＝2,则实数a 等于A 、－1B 、 1C 、－4、复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 6.已知命题12222112-=++++-n n 及其证明：（1）当1=n 时，左边＝1，右边＝1121=-所以等式成立； （2）假设k n =时等式成立，即12222112-=++++-k k 成立， 则当1+=k n 时，122121222211112-=--=+++++++-k k kn ，所以1+=k n 时等式也成立。
由（1）（2）知，对任意的正整数n 等式都成立。
经判断以上评述A ．命题、推理都正确B 命题不正确、推理正确C ．命题正确、推理不正确D 命题、推理都不正确7.小王通过英语听力测试的概率是31，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是A.94 B.92C.274D.272 8.给出下列四个命题，其中正确的一个是A ．在线性回归模型中，相关指数R 2=，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B ．在独立性检验时，两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D ．随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E （e ）=0 9.（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是A ．第n -1项B ．第n 项C ．第n -1项与第n +1项D ．第n 项与第n +1项10.随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于A. 32B. 31C. 1D. 011.若函数f (x ) = -x 2px p +在(1，+∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是A ．),1[∞+-B ．),1[∞+C ．]1,(--∞D ．]1,(-∞12.如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 A ．160种 B ．240种 C ．260种 D ．360种二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
将正确答案填在题中横线上 13.甲乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%，则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为__________. 14..曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是______.15．观察下列各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 .16.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种． 附加：16．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）： ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2003个圆中，有 个空心圆．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17．（本题满分12分）有6名同学站成一排，求： （１）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法： （２）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法： （３）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.18．（本题满分12分） 如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别是棱AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于G ． （１）求证：B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；（２）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （３）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.19．（本题满分12分）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为，，，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2. 20．（本小题满分12分）已知函数.),2,1()(3)(3l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-=（1）求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程；（2）求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =。
21．小题满分12分）设函数xe x xf 221)(=．（1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分14分）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABB 1A 1是∠A 1AB=60°的菱形，且平面ABB 1A 1⊥ABC ，M 是A 1B 1上的动点. （1）当M 为A 1B 1的中点时，求证：BM ⊥AC ；（2）试求二面角A 1－BM －C 的平面角最小时三棱锥M －A 1CB 的体积.高二（下）期末数学试卷答案（2）一 择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分). 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(N 1)(N 2)13. 0.6 14. 1315. ))(1(4)2(22+∈+=-+N n n n n三．解答题：本大题共6小题，满分74分．17. 解：（1）480A A 5514=种；…………………………………………………4分（2）504A A 2A 445566=+-种；或55A （甲在尾）+ 441414A A A （甲不在尾）=120+384=504；或504A A A 2A 44441466=--； …………………………………………8分 （3）144A A 3433=种． …………………………………………12分18. 证：（1）EF ⊂111B BDD EFB 面面⊥∴1G H D d 1=∴,sin ,1111111H B D B D H D HB D Rt ∠⋅=∆中解：分别记元件A 、B 、C 正常工作的事件A 、B 、C ， …………2分 由题设得：P 1 =P （A ·B ·C ）= P （A ）·P （B ）·P （C ） …………………………4分 = ××=∴系统N 1正常工作的概率为 ……………………………6分 P 2 = P （A ）·[1－P （)]C (P )B (P 1[)A (P )]C B ⋅-⋅=⋅ ………………………9分 = ×(1－× = × = ………………………11分∴系统N 2正常工作的概率为. ……………………………………12分20【解】（1）由)2,1(,33)(,3)(23--='-=P P x x f x x x f 且以过点得为切点的直线斜率0)1(='f 。
.2-=∴y 所求直线方程为 （6分）（2）设过33)(),,()()2,1(2000-='=-x x f y x x f y l P 由切于另一点与的直线知 即.4149)(+-==x x g y（12分）21、 【解】（1）)2(2121)(2+=+='x x e e x xe x f xx x ， 令0)2(>+x x e x ，得20-<>x x 或，∴)(x f 的增区间为)2,(-∞-和),0(∞+，………3分令0)2(<+x x e x ，得02<<-x ，∴)(x f 的减区间为)0,2(-．………………………………………………6分 （2）因为]2,2[-∈x ，令0)(='x f ，得2-=x ，或0=x ，又由（1）知，2-=x ，0=x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点， ………8分 ∵22)2(ef =-，22)2(e f =，0)0(=f ， ∴]2,0[)(2e x f ∈， ……………………………………………………………11分 ∴22e m >． ………………………………………………………………………12分22．解：（1）∵ABB 1A 1是菱形，∠A 1AB=60°，且M 为A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 1， …………２分 又A 1B 1∥AB ，∴MB ⊥AB.平面ABB 1A 1⊥平面ABC ， ∴MB ⊥平面ABC.又AC ⊂平面ABC ，∴BM ⊥AC ． …………6分（2）作CN ⊥AB 于N ，由于△ABC 为正三角形，知N 为AB 为中点，又平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∵CN ⊥平面A 1ABB 1，作NE ⊥MB 于E 点，连CE ，由三垂线定理可知CE ⊥BM ， ∴∠NEC 为二面角A 1—BM —C 的平面角．………9分 由题意可知CN=3，在Rt △CNE 中，,3NENEC tg =∠要∠NEC 最小，只要NE 取最大值．又∵△A 1B 1B 为正三角形，∴当M 为A 1B 1中点时，MB ⊥平面ABC ，即E 与B 重合． 此时NE 取最大值且最大值为1，∴3≥∠NEC tg ． ∴∠NEC 的最小值为60°， ……10分此时21331213111=⨯⨯⨯⨯==--B MA C CB A M V V ． ……14分。