人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)
人教版八年级下册数学知识点及典型例题总结
第十六章 二次根式
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。定义包含三个内容: Ⅰ必需含有二次根号 “
”；Ⅱ被开方数a ≥0；Ⅲ a 可以是数，也可以是含有字母的式子。
例1.下列式子中,是二次根式的有 _______(填序号)
（1）32 （2）6 （3）12- （4）m -（m ＞0）（5）xy （6）12+a （7）
3
5
2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。
例2.当x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义 ）
※二次根式中字母的取值范围的基本依据： （1）开方数不小于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。 3.二次根式的双重非负性：a ：0≥a ，0≥a
附：具有非负性的式子：
0≥a ；0≥a ；
02
≥a
|
例3.若,x y 为实数，且220x y +-=，则2009
x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
4.二次根式的性质：（1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧≤-≥==)
0()
0(2a a a a a a
例4.利用算术平方根的意义填空
例5.化简：2)4(-π=
5.二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （
ab a ·b a ≥0，b ≥0）；
a
b
a b a ≥0，b >0）
例6.计算：（1）9×27 （2）25×32 （3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 3
1
例7.计算：①54 ②2212b a ③4925⨯ ④64100⨯
1
)
5(31)4(3
《二次根式》期末复习知识清单及典型例题
二次根式期末复习知识清单及典型例题
知识点1：
二次根式的定义：形如
()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
a 才有意义．
【例1】下列各式()511，()52-，()232
+-x ，()44，()2
315⎪⎭
⎫ ⎝⎛-，()a -16，
()
1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．
变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、
a B 、10-C 、1a +D 、
2
1a
+
2、在a 、2a b 、1x +、2
1x +、3中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子
1
3
x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式
mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
3、使代数式2
21x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=
5-x +x -5+2009，则x+y=
变式：1、若11x x ---2
()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式
112++a 取值最小，并求出这个最小值。
【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求1
2
a b +
+的值。 变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y
人教版初中数学八年级下册第十六章二次根式知识清单(原卷版+解析)
第十六章二次根式知识清单
一、二次根式的概念
一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式，“____”称为二次根号. 【深度理解】
1.________________________________________________________
2.________________________________________________________
3.________________________________________________________
4.________________________________________________________
5.________________________________________________________
二、二次根式的有意义的条件
1.________
2....有意义的条件：_________
3.
有意义的条件：________
4.二次根式与分式的和如
B C
B
有意义的条件：_______________
三、二次根式的性质
性质一：一般地，__________________
即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.
注意：___________________________________________________________. 性质二：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的_________.
四、代数式及其写法
思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式的加减 课件(共29张)
3×2+ 3×1 = ( 2)2-12 = 6+ 3.
第十六章 二次根式
锦囊妙计 二次根式的混合运算技巧
(1)先化简各二次根式； (2)活用分数(式)的性质分母有理化； (3)类比整式进行运算； (4)运算结果化为最简二次根式.
第十六章 二次根式
题型三 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
考场对接
第十六章 二次根式
考场对接
题型一 二次根式的加减运算
x9 例题 1 计算：(1)4 8x- 50x-6 2+ 2x； (2)6 118- 24.5-( 4.5- 12.5+ 13).
第十六章 二次根式
分析
ห้องสมุดไป่ตู้
x y x2+y2 (x+y)2-2xy ( 7)2-2×12
(2) y+x= xy = xy =
1 =12.
2
第十六章 二次根式
锦囊妙计 二次根式的化简求值的“三点注意”
(1)求有条件限制的代数式的值时, 要先化简, 再求值.(2)能运用公式的尽 量运用公式简化运算, 充分发挥因式分解的作用.(3)运用整体思想将原代数 式进行恒等变形, 然后利用配方法及整体思想求代数式的值.
人教版八年级下册数学知识点归纳：第十六章二次根式
人教版八年级下册数学知识点归纳
第十六章 二次根式
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.
注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；
（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)
0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.
4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
6．商的算术平方根：
)0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
7．二次根式的除法法则：
（1）)0b ,0a (b
a b a
>≥=
；
（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；
（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
8．常用分母有理化因式：
a a 与，
b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为
八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(新版)新人教版
八年级数学下册：
第十六章二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（a）2=a（a≥0）；（2）=
=a
a2
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
a≥0，b≥0）；
=b≥0，a>0）．
a（a＞0）
a
-（a＜0）
0 （a=0）；
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
A. a>b
B. a<b
C. a ≥b
D. a ≤b
4、比较数值
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<。
例1、比较与的大小。
（2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
人教版八年级数学下第十六章二次根式专题一 二次根式的性质及其运算习题课件
2m＋1 m2－1
m
－1÷
m
，其中 m＝ 3＋1.
解：原式＝2m＋m1－m×（m＋1）m（m－1）
1 ＝m－1.
当 m＝
3＋1 时，原式＝
3＋11－1＝
3 3.
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xy 7．已知 x＝3＋2 2，y＝3－2 2，求y＋x－4 的值．
解：∵x＝3＋2 2，y＝3－2 2， ∴x＋y＝3＋2 2＋3－2 2＝6， xy＝(3＋2 2)(3－2 2)＝1.
∴yx＋yx－4＝x2＋yx2y－4xy＝（x＋yx）y2－6xy＝62－1 6＝30.
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8．设 a＝ 16 ，求 a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17 的值． 17＋1 16
解：∵a＝ 17＋1＝ 17－1， ∴a＋1＝ 17，a2＋2a＋1＝17， ∴a2＋2a－16＝0.
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3．已知实数 a 满足|2 018－a|＋ a－2 019＝a，求 a－2 0182 的值． 解：由题意得 a－2 019≥0， ∴a≥2 019，∴2 018－a＜0. ∴原式可以变形为 a－2 018＋ a－2 019＝a. ∴ a－2 019＝2 018. ∴a－2 019＝2 0182. ∴a－2 0182＝2 019.
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三、二次根式的化简求值 5．已知 a＝3＋2 2，b＝3－2 2，求 a2b－ab2 的值 解：由已知条件得 ab＝(3＋2 2)(3－2 2)＝9－8＝1， a－b＝(3＋2 2)－(3－2 2)＝4 2， ∴原式＝ab(a－b)＝4 2.
人教版数学八年级下册第16章课件：第十六章二次根式复习--课件
重点与难点
• 灵活运用二次根式的基本性质及运算法则进行 化简和计算。
知识梳理
三个 概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
二
次 三个
a 0 (a 0)
根 性质 ( a a (a 0)
式
( a2 a
四种 运算
a b ab(a 0,b 0)
例1．下列各式中哪些是二次根式？ 哪些不是？为什么？
① 15
② 3a
③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50 (4) 0.75
(2) a2bc (5) (a b)(a2 b2)
a a (a 0,b 0) bb
合并同类二次根式
概念解读
１．二次根式的定义：形如 a（a 0）的式子
叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
3.最简二次根式满足的条件： （1）被开方数不含分母；(即因数是整数，因式是整式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
1 b
知识小结
三个 概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
二
a 0 (a 0)
人教版八年级数学下册-第十六章 二次根式 知识清单
第十六章二次根式
思维导图
【二次根式】
(1)二次根式的概念
一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号,“a”称为被开方数.
(2)二次根式概念的理解
①“2”中一般把根指数2省略,写作“”,但不要误认为根指数是1或没有.
②二次根式a中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等。
③a≥0是a为二次根式的前提条件,如2，9，a2+b2，x-y (x>y)是二次根式，
而-2，-(x+1) (负数没有算术平方根)不是二次根式。
④形如b a (a≥0)的式子都是二次根式，如56是二次根式.
【二次根式有意义的条件】
(1)对于二次根式a 来说,被开方数a 必须是一个非负数,即a≥0,当a 是一个代数式时，可根据二次根式的概念来确定a 中字母的取值范围，如2-x 是一个二次根式，则2-x≥0，∴x≤2. (2)①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是使各个二次根式中的被开 方数都必须为非负数。例如:要使x-1 +3-x 有意义,则x-1≥0且3-x≥0, ∴1≤x≤3
②如果所给的式子中含有分母,那么式子有意义的条件是除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不能为零。
典例1 (中考)二次根式x-3中,x 的取值范围为 。
解析: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.则x-3≥0,解得x≥3 答案: x≥3
典例2 (中考)使代数式2x-1
3-x 有意义的x 的取值范围是 。
解析: 若要使代数式2x-1有意义,则x 需要满足2x-1≥0且3-x≠0,解得x≥1
人教版八年级数学下册16-18章 数学知识点梳理
八年级下册数学知识点梳理第十六章二次根式
1.二次根式的定义
（0
a≥）的式子叫做根式；
a叫做二次根号；
根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零
被开方数为0；
2.二次根式的性质：①
a≥0（双重非负性）
②
2= a（0
a≥）
运算顺序：先做开方运算，再做乘方运算；
③a（0
a≥）
a
=（0
a≥）
运算顺序：先做乘方运算，再做开方运算；
3.二次根式的乘法法则：
=
a b ab⇔a b
=（0,0
a b
≥≥）
（主要用于化简）
)()b a b a b
-==（0,0
a b
≥≥）
4.二次根式的除法法则：=⇔=（0,0
a b
≥＞）
（主要用于化简）
5.二次根式的2
=
a a a a a a
==（0
a≥）
2
= ()
a a a a
=（0
a≥）
6.最简二次根式：①被开方数不含有分母（小数）；
②被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；
7.同类二次根式：化简后的最简二次根式的被开方数相同；
8.二次根式的加减运算方法：①不是最简二次根式的要先化成最简
二次根式；
②是最简二次根式，只把二次根式系
数想加减，二次根式不变照写；9.二次根式乘除混合运算：把系数相乘除，被开方数相乘除，再把它
们的结果相乘。
10.运用：①二次根式概念运用；
字母有意义的取值范围。
两个字母组成的等式；（抓住被开方数≥0）
②几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0；
③分母有理化
④二次根式的化简求值；
第十七章勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
八年级数学(下)知识清单
八年级数学（下）知识清单
第十六章 二次根式
16.1 二次根式的概念
一般地，把形如____________的式子叫做二次根式，a 称为被开方数，“”称
为二次根号。
16.2 二次根式有意义、无意义的条件 （1）二次根式a 有意义的条件是________； 当被开方数为分式时，必须同时保证分母________; （2）二次根式a 无意义的条件是______。 16.3 最简二次根式
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数不含__________; （2）被开方数不含______________的因数或因式. 16.4 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果_________相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 16.5 二次根式的性质
（1）非负性：)0(≥a a 是一个_______数，即0≥a ;
（2）)0_____()(2≥=a a ; 逆用：)0______(
≥=a a . （3）_______2=a . 16.6 二次根式的乘法法则
)0,0_______(≥≥=⋅b a b a ;逆用：)0,0_______(≥≥=⋅b a b a 16.7 二次根式的除法法则
)0,0_______(>≥=b a b
a ;逆用：
)0,0_______(>≥=b a b
a
16.8 二次根式的加减
二次根式加减时，可先将二次根式化成______________，再将被开方数_______
的二次根式合并。其实质就是合并___________________的过程。 16.9 二次根式的混合运算
人教版八年级数学下册 第十六章 二次根式整理与复习(课件)
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
故：OD r , OC 2 r, OB 3 r .
2
2
2
DC B
O
A
拓广探索
【选自教材第20页 复习题16 第10题】
10. 如图，判断下列各式是否成立：
22 2 2 33
33 3 3
8
8
4 4 4 4 15 15
a b
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a)2=a(a≥0)；a2 =｜a｜= 0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
Βιβλιοθήκη Baidu
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
3x
x＜ 2
人教版八年级数学下册第十六章 ：二次根式 习题课 (共17张PPT)
1、已知：y x 4 4 x 2 求x+y的值。
解：由题意，得 x-4≥0
4-x≥0
∴y=2 ∴x+y=4+2=6
∴x=4
2、 (x 2)2 x 2
则Ｘ的取值范围是＿x＿ ＿2 。
3、实数p在数轴上的位置如图所示，化简。
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
小试牛刀
2、x取何值时，下列二次根式有意义？
(1) x3
x0
(2) 1 x2
x0
3、已知： x 4 + 2 y =0，求x-y的值。
x=4，y=-2 x-y=6
梳理二: 二次根式的双重非负性
二次根式 a
a≥0 a ≥0
小试牛刀
4.(１） ( 3)2 _π__3 _
（２） 2 x 2 _2_x__
梳理三: 二次根式的性质
a 2 aa 0
aa 0
a2 a aa 0
实战演练
1、 求 1 中x的取值范围。 1 x
解：要使 1 在实数范围内有意义，
1 x
则
1- x ≠0
源自文库
x≥0
解得x≥0且x≠1，
∴当x≥0且x≠1时，1
1
x
在实数范围内有意义。
2、已知函数y x 2 2 x x 1,求yx的值。
2019年八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结新版新人教版
第十六章 二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
a ≥0，
b ≥0）；
=b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
a （a ＞0）
a -（a ＜0）
0 （a =0）；
A. a>b
B. a<b
C. a ≥b
D. a ≤b
4、比较数值
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<。
例1、比较与的大小。
（2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
人教版八年级下册第16章二次根式题型总结和扩展(无答案)
二次根式的观点与性质
阅读与思虑
式子 a (a0) 叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1． a 0 ．说了然 a 与a、 a 2同样都是非负数．
2 a 2 0
）．解二次根式问题的基本门路——经过平方，去掉根号有理化．．＝ a （ a ≥
3．a2
a a 0
a
揭露了与绝对值的内在一致性．
a a
4 ab a g b
（0 b 0
）．
． a ≥，≥
5 ． a
a
（ a ≥，
b
＞）．给出了二次根式乘除法运算的法例．
b b
0 0
6 b 0 a
＞b 0
．若 a ＞＞，则＞，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既可以从等式的左侧变形到等式的右侧，也可以从等式的右侧变形到等式的左侧．
例题与求解
【例 1】设x，y都是有理数，且知足方程1 1
y 4 0，那么 x y 的值是2 3
x
3 2
____________ ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．
【例2】当1≤x≤2，经化简，x 2 x 1 x 2 x 1 ＝___________．
解题思路：从化简被开方数下手，注意 a 中 a ≥0的隐含限制．
【例 3】若 a ＞ 0， b ＞ 0，且
a a
b 3 b a 5
b ，求 2a 3b ab 的值．
a b
ab
（天津市比赛试题
）
解题思路： 对已知条件变形，求
a ，
b 的值或探究 a ， b 的关系．
【例 4】若实数 x ， y ， m 知足关系式：
八年级下册数学第十六章知识点
八年级下册数学第十六章知识点八年级下册数学第十六章的知识点主要包括：
1.二次根式的概念：二次根式是一种特殊的数学表达式，它表示一个数的平方根。例如，√4表示4的平方根，即2。
2.二次根式的性质：二次根式具有一些基本的性质，如非负性、唯一性等。这些性质在解题过程中非常重要。
3.二次根式的运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。在进行这些运算时，需要遵循一些基本的运算法则和步骤。
4.最简二次根式：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母。化简二次根式时，需要将其化为最简形式。
5.二次根式的乘法和除法：二次根式的乘法和除法运算有一定的法则和步骤。例如，在进行乘法运算时，需要将被开方数相乘，并将根指数相加；在进行除法运算时，需要将被开方数相除，并将根指数相减。
6.二次根式的加减法：对于同类二次根式，可以直接进行加减运算。但对于不同类的二次根式，需要先进行通分或化简，然后再进行加减运算。
以上是八年级下册数学第十六章的主要知识点。在学习过程中，需要充分理解这些概念和性质，掌握基本的运算法则和步骤，并通过大量的练习来巩固和提高自己的数学能力。
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二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________
1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。
)
)00x x ><中，二次根式有 个 二次根式有意义的条件： ①当__________时，
1
1
m +有意义；②当__________
x 有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-<
x x y ,化简
1
1--y y =_________.
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
练．下列式子为最简二次根式的是( )
3.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2
）
利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则
= ；2
= ；④若0xy ≠，=-成立的条件是 ；⑤若01x <<等于 ．
⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2112与
B ．2718与
C ．3
13与 D ．5445与 变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算：
（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
a （a ＞0）
==a a 2
a -（a ＜0）
0 （a =0）；
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab =a ·b （a≥0，b≥0）；
b b
a a =
（a>0，b≥0） （特别应注意a 、b 的取值） 练：①使等式
()()111
1x x x x +-=
-+成立的条件是 。
②当x __________时，
22
x x
x x =--有意义； ③计算：
(
)
483273_____________-÷=；33
23121418÷⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法）
比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65-
变式：设25,3223-=-=-=
c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系
7、在实数范围内分解因式
在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题
练：观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4
4
15
=_________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.
变式： 已知，则a _________
巩固练习：
1、下列根式中，最简二次根式为：（ ）
A 0.2b
B ．x 2
4-
C ．
x 4
D ．()x +42
2.
331
1
x x
x x --=
++成立的条件是（ ） A ．x ≥－1 B ．x ≤3 C ．－1≤x ≤3 D ．－1＜x ≤3
3．甲、乙两个同学化简
a b b a
a b
--时，分别作了如下变形：
甲：==；
乙：=。 其中（ ）。
A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确 4．已知下列命题：其中正确的有（ ） ①
(
)
2
25
25-=-； ②
()
2
336ππ---=；
③2)1(-x ＝2
)1(-x ； ④3－2的倒数是3＋2．
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
5．已知x ＋y ＝3＋2，xy ＝6，则x 2＋y 2的值为( ) A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 6. 计算：
()
()
2
2
2112a a -+
-的值是（ ）
A. 0
B. 42a -
C. 24a -
D. 24a -或42a - 7．如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所
表示的数是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
8. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005
_____________a b -=。
9．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
10．已知y x +=
50，
且0x y <<，则满足上式的整数对(),x y 有 ． 11．(7－52)2018·(－7－52)2017＝________．（235+-）（235--）= 12．计算：（1）423+= （2）526-= 13．已知16－x 2－4－x 2＝22，则16－x 2＋4－x 2＝________． 14．（1）48÷3－21
5
×30＋(22＋3)2 （2）