2021年山东省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

2021年山东省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

1．已知椭圆C ：x 2

a +y 2

b =1(a ＞b ＞0)过点(1，√72)，且离心率e =√32．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A ，B ，点P 的坐标为（2，1），设直线P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，证明：α+β＝π．

【解答】解：（1）由题意得{ 1a 2+74b 2

=1，e =√1−b 2a 2=√32，

解得a 2＝8，b 2＝2，

所以椭圆的方程为C ：x 28+y 22

=1． （2）证明：设直线l ：y =−12x +m ，

由{y =12x +m ，x 28+y 22=1，消去y 得x 2+2mx +2m 2﹣4＝0，△＝4m 2﹣8m 2+16＞0， 解得﹣2＜m ＜2．

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

则x 1+x 2=−2m ，x 1⋅x 2=2m 2−4，

由题意，易知P A 与PB 的斜率存在，所以α，β≠π2．

设直线P A 与PB 的斜率分别为k 1，k 2，

则tan α＝k 1，tan β＝k 2，

要证α+β＝π，即证tan α＝tan （π﹣B ）＝﹣tan β，

只需证k 1+k 2＝0，

∵k 1=y 1−1x 1−2，k 1=y 2−1x 2−2

， 故k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1

x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)， 又y 1=12x 1+m ，y 2=12x 2+m ，

所以(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)=(12x 1+m −1)(x 2−2)+(12x 2+m −1)(x 1−2)=x 1⋅x 2+(m −2)(x 1+x 2)−4(m −1)=2m 2−4+(m −2)(−2m)−

4(m −1)=0，

∴k 1+k 2＝0，

故 α+β＝π．

2．已知离心率为12的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(−1，−32)，直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，其中x 1，x 2≠±a ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若A （﹣a ，0），且AM ⊥AN ，探究：直线l 是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）依题意，{ c a =121a 2+94b 2=1a 2=b 2+c

2，解得{a =2b =√3c =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；

（2）由（1）可知A （﹣2，0），联立{y =kx +m

x 24+y 23=1可得，（3+4k 2）x 2+8mkx +4（m 2﹣3）＝0，

则△＝（8mk ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＝16（12k 2﹣3m 2+9）＞0，即3+4k 2﹣m 2＞0， ∴x 1+x 2=−8mk

3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)

3+4k 2，

又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=

3m 2−12k 23+4k 2， ∵AM ⊥AN ，即AM →⋅AN →=0，

∴（x 1+2，y 1）•

（x 2+2，y 2）＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2＝0， ∴4m 2−12

3+4k +2×−8mk

3+4k +4+3m 2−12k 2

3+4k =0，

∴7m 2﹣16mk +4k 2＝0，

∴m ＝2k 或m =27k ，且均满足3+4k 2﹣m 2＞0，

当m ＝2k 时，直线l 的方程为y ＝k （x +2），直线恒过（﹣2，0），舍去；

当m =27k 时，直线l 的方程为y =k(x +27)，直线恒过(−27，0)；

综上，直线过定点(−27，0)．

3．已知动圆C 的圆心为点C ，圆C 过点P （3，0）且与被直线x ＝1截得弦长为4√2．不过