第九章 半群与群(Semigroups and Groups)
半群的名词解释
半群的名词解释
半群是抽象代数学中的一个基本概念，属于半群论的范畴。在群论中，群是一
个由具有运算的集合所构成的代数结构，满足一系列的公理。而半群则是群的一种特殊情况，它在运算上的要求相对较宽松。
半群是一个非空的集合，其中定义了一个二元运算，通常用符号"⋅"来表示。
对于半群中的任意两个元素a和b，它们的运算结果仍然是集合中的元素，即a⋅b
属于半群的集合。半群的运算满足结合律，也就是对于半群中的任意三个元素a、
b和c，有(a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c)。
半群的定义并没有要求其元素必须拥有唯一的逆元，也没有要求其存在单位元。因此，半群在某些情况下可能无法满足群的所有公理。但正是因为这种宽松的要求，半群的应用范围更加广泛。从代数到计算机科学，半群都扮演着重要的角色。
半群的例子很多，其中一个经典的例子是自然数集合上的加法运算。自然数集
合就是由0、1、2、3等非负整数构成的集合。加法运算是一个二元运算，对于任
意两个自然数a和b，其和仍然是自然数，满足结合律。因此，自然数集合配上加
法运算构成了一个半群。
另一个例子是矩阵的乘法运算。矩阵是一个二维的数组，它可以表示线性变换
或者是用于解方程组。矩阵乘法也是一个二元运算，对于任意两个矩阵A和B，
它们的乘积仍然是一个矩阵，满足结合律。因此，矩阵集合配上乘法运算构成了一个半群。
除了这些基础的例子，半群还可以应用在抽象代数、自动机理论、编程语言和
密码学等领域。在抽象代数中，半群是研究其他代数结构的基础。在自动机理论中，半群可以用来描述状态转移。在编程语言中，半群可以被应用在函数组合和程序验证等方面。在密码学中，半群可以用来构建加密算法和验证密码安全性。
半群和群
又一个群的例子
已知(S, o)是群，u是S中一个特定的元素，定义S上一 个新运算*如下： a*b = a o u-1 o b (S, *)是群：
结合律： (a*b)*c = a*(b*c) = a o u-1 o b o u-1 o c 单位元素： 对任意x, x*u = x o u-1 o u =x, 而u*x = u o u-1 o x = x 逆元素： 对任意x, x*(u o x-1 o u)=x o u-1 o(u o x-1 o u) 其中x-1是(S, o)中x的逆元素
满足交换律的半群称为“可换半群”
独异点（单元半群） 独异点（单元半群）
系统公理：
结合律 有单位元素
例子：
a 0 S = 0 d a, d ∈ R a 0 T = 0 0 a ∈ R
S与矩阵乘法构成独异点，T与矩阵乘法也构成 独异点。T是S的子半群，但不是子独异点。
结合律 因此：群也是半群 有单位元素 因此：群也是独异点 每个元素均有逆元素 将元素a的逆元素记为a-1 幂的扩展：定义a-k =(a-1)k (k为正整数)
如果还满足交换律：可交换群(阿贝尔群)
群的例子
整数加群: (Z,+) 加法可结合；单位元素0；a的逆元素为(-a) 剩余加群: (Zn, +n) (其实这一类群，含无穷多个群) Zn={0,1,2,...,n-1}, a+nb=<a+b除以n的余数> 剩余加可结合；单位元素0；a的逆元素为n-a 非零实数乘法群: (R-{0},•) 乘法可结合；单位元素1；x的逆元素为1/x 注意：实数集与乘法不构成群 不 每行每列恰好有一个1，其它元素均为0的所有n×n阶矩阵 以及 矩阵乘 法构成群 矩阵乘法可结合；单位元是主对角元素全为1而其它元素全为0的矩 阵；根据线性代数知识可知这样的矩阵是可逆矩阵。
离散数学群与半群-PPT
下面考虑存在负整数次幂得情况。
设n<0,m≥0,令n＝-t,t∈Z+,则
anam＝a-tam＝(a-1)tam＝
a-(t-m)＝am-t＝an+m am-t＝an+m
t≥m t<m
对于n≥0,m<0以及n<0,m<0得情况同理可证。
<P(B),>为半群,也就是独异点,其中为集合得对称差运算 。
<Zn,>为半群,也就是独异点,其中Zn＝{0,1,…,n-1},为模 n加法。
半群中元素得幂
由于半群V＝<S,>中得运算就是可结合得,可以定义元素 得幂,对任意x∈S,规定:
x1＝x
xn+1＝xn x,
n∈Z+
用数学归纳法不难证明x得幂遵从以下运算规则:
xn xm＝xn+m
(xn)m＝xnm
m,n∈Z+
普通乘法得幂、关系得幂、矩阵乘法得幂等都遵从这个 幂运算规则。
独异点中得幂
独异点就是特殊得半群,可以把半群得幂运算推广到独异点 中去。
由于独异点V中含有单位元e,对于任意得x∈S,可以定义x得 零次幂,即
x0＝e
xn+1＝xn x
n∈N
半群与独异点得直积
群G得基数称为群G得阶,有限群G得阶记作|G|。 (2)只含单位元得群称为平凡群。 (3)若群G中得二元运算就是可交换得,则称G为交换群或阿贝尔
离散数学半群与群
2
三、子半群与子独异点
1. 定义与判别方法 半群的子代数叫做子半群，独异点的子代数叫做子独 异点. 子半群的判别方法： V=<S,◦>是半群，T⊆ S，T 非空，如果T 对V 中的运算 ◦封闭，则<T,◦>是V 的子半群. 子独异点的判别方法： V=<S,◦,e>是独异点，T⊆ S，T 非空，如果 T 对 V 中的运 算◦封闭，而且 e∈T，那么<T,◦,e>构成 V 的子独异点.
6
2．实例 设半群V1=<S,·>，独异点V2=<S,·,e>. 其中·为矩阵 乘法，e为2 阶单位矩阵,
a 0 S | a, d R 0 d
令Baidu Nhomakorabea
a 0 a 0 ( ) ， 0 d 0 0
ϕ 是半群 V1 的自同态， ϕ 不是独异点 V2 的自同态， 因为它 没有将 V2 的单位元映到 V2 的单位元.
7
第二节
群的定义与性质
一、群的定义、实例与术语
1．群的定义 定义11.4 设<G,◦>是代数系统，◦为二元运算. 如果◦ 运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G 中的任何元 素x 都有x− 1∈G，则称G 为群. 2．群的实例 例 （1）<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群；<Z+,+>和<N,+>不是 群. （2）<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群. （3）<P(B),⊕>是群，⊕为对称差运算. （4） <Zn,⊕>， 也是群. Zn={0,1,…,n− 1}， ⊕为模 n 加. 8
离散数学-半群
（2）当S中元素均可约时，称 S为可约半群
（cancelable semigroups）．
（3）称S中元素a是b的因子（factor），如果
有S中元素c，d，使 b = ac，b＝da． （4）在可约交换独异点<S,•,e>中，若a是b的
因子，同时 b又是 a的因子，那么称a, b相伴
x,
f
(w))
其中wS,xA 。
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
✓定理11.5
设<S,•,e1>和<T,,e2>为两个自由独异点， A,B分别为它们的生成集， 且 A = B ，那么<S,•,e1>和<T,,e2>同构。
.
半群
1.3 半群及高斯半群
➢定义11.3
设<S，>为一半群，那么
（l）当 满足交换律时，称<S，>为交换半群
（相伴关系等价类）． （3）S的相伴类具有相同的基数．
.
半群
1.3 半群及高斯半群
✓ 定理11.8 可约交换独异点
<S，, e>的商半群 <S/～，, [e]~>（～为 相伴关系）为一可 约交换独异点，且 S/～ = S /[e]~ .
➢ 定义11.4 设<S,, e>为可
半群与幺半群
近世代数
幂运算
在幺半群(S,∘,e)中可以定义非负整数次幂的运算. a S， a0=e , an+1=an ∘a , n≥0.
定理3 设 (S,∘,e)是一个幺半群，m, n是任意的非负整 数，则 (1)aS，am ∘ an =am+n , (am)n =amn . (2)若(S,∘,e)是可交换的，则 a,bS，(a ∘ b)n =an ∘ bn.
近世代数
子(幺)半群的性质
性质1 一个幺半群S的任意多个子幺半群的交集还 是S的子幺半群. 问题：“一个半群S的任意多个子半群的交集还是S 的子半群”成立吗？ 例： (Z, ×)是半群，奇数半群？偶数半群？ 性质2 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集，则S 的一切包含A的子半群的交集也是S的子半群. 设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集，则S的 一切包含A的子幺半群的交集也是S的子幺半群.
14/25
近世代数
性 质
定理1 如果半群(S,∘)既有左单位元素又有右单位元 素，则左单位元素与右单位元素相等，从而半群S有 单位元素(即半群S成为幺半群)且单位元素是唯一的. 定理2 有限半群(S,∘)为一个幺半群存在x,yS使得 xS=S，Sy=S. [注 ] (1) 半群的正式研究始于二十世纪初. (2) 自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科 学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动 机之间有自然的联系. 15/25
半群与群的基本概念
第一节 半群与群的基本概念
定义1.1 设代数系统<S,*>，其中*为二元运算。如果*是可结合的,则称<S,*>为一个半群（semigroup ），如果半群的二元运算有单位元，则称此半群为独异点（含幺半群）。如果独异点的每个元素都是可逆的，则称它为群(group)。
根据定义，代数系统<G ,*>为成一个群当且仅当二元运算*满足下述条件： (1)适合结合律
(*
)**(*),,,a b c a b c a b c G =∀∈。
(2)有单位元e G ∈
∀∈==，**a G a e e a a 。
(3)a G ∀∈
,有逆元1a G −∈，使得11**a a a a e −−==
群<G ,*>可简记作G ，a*b 可略去*，简记作ab 。
如果半群，独异点和群中的运算是可交换的，则分别称作为交换半群，交
换独异点和交换群。交换群又称作阿贝尔（Abel ）群。如果群中的运算不是可交换的，则称它为非交换群。习惯上，常将群中的二元运算叫作乘法，记做 。
定义1.2 若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群,否则称G 是无限群。群G 中元素个数称作群的阶。当G 是有限群时，用|G|表示它的阶。 例1.1，,Z +<
+>是半群，但不是独异点，因为它没有单位元，,N <+>
是独异点，但不是群,因为除0外其它元素无逆元。而,Z +是一个群，并且是一个交换群，叫作整数加法群。 例
1.2
模
n
剩余类加法群
<⊕>,n Z 是阿贝尔群,这里
半群与群
第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群
定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=称为半群。
例2－1.1 ,,<2I
+,+>和<2I
+
,×>都是半群。
例2－1.2
m ,+
m
>和
m
,×
m
>都是半群。
例2－1.3
2(I),+>和
2
(I),·>都是半群。
定义2－1.2含幺元e的半群U=称为含幺半群，常记作U=。
在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I
+,+>和<2I
+
,×>外都是含幺半群。
例2－1.4 设S是任意非空集合，则和都是含幺半群。
例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。长度为0的字符串称为空串，用来表示。如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。
设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然是半群，是含幺半群。
定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。
在例2－1.1～例2－1.3中，除
2(I),·>外都是交换半群，除
关于半群和群课件
半群和独异点
定义： 给定代数< S, ⊙>，若< S, ⊙>是半群，且存在么元e， 则称<S,⊙>为独异点(monoid)，（或含么半群）， 通常记作<S,⊙,e> 若<S, ⊙, e>为独异点，T S且关于运算⊙封闭，并且 e T，则称<T, ⊙, e>是<S, ⊙, e>的子代数， 称为子独异点
半群和独异点
代数< [0, 1], ×>、< [0, 1), ×>和< N, ×> （N是自 然数集合，×是普通乘法）都是半群 并且都是< R,×>（R是实数集合）的子半群 < [0, 1], ×, 1>和< N, ×, 1>都是独异点 并且都是< R,×, 1>的子独异点 < [0, 1), ×>不是独异点，因为它不含关于×的么元
可交换半群
三、可交换半群 定义： < S, ⊙>是半群，若⊙是可交换的， 称< S, ⊙>为可交换半群(commutative semigroups) < S, ⊙, e>是独异点，若⊙是可交换的， 称< S, ⊙, e>为可交换独异点(commutative monoid)
可交换半群
例7.1.2 代数<P(S), >和<P(S), > （P(S)是集合S的幂集， 和是集合上的并运算和交运算）都是可交换半群 并且<P(S), , >和<P(S), , S >都是可交换独异点
第5-2讲 半群与群
3、群的定义（2）
例3 设G={a,b,c,d}, G上的二元运算*由下表给出，证 明<G,*>是群。
由运算表可以看出： 运算*是封闭的； 容易验证运算*可结合； e为幺元； G中任何元素的逆元就是它自己。 所以<G,*>是群。 另外， 群<G,*>的运算*是可交换的；并且在a，b，c三者中，任何 两个元素运算的结果都等于另一个元素。该群特称为Klein四元群， 简称四元群。
3
1、半群（3）
例如：设N5={0,1,2,3,4}，运算*定义如下表，则<Nk,*> 是半群。 从运算表可以看出： 0*0=0，0是等幂元； 1*1=1，1是等幂元； 21=2 26=2*2=4 22=2*2=4 27=4*2=3 23=4*2=3 28=3*2=1 24=3*2=1 29=1*2=2 25=1*2=2 210=2*2=4 可取定理2证明中的b=2,i=5,j=9。p=j-i=9-5=4。那么 2i=2p*2i,即25=24*25,三次右*2得：28=24*28(p=4,k=2) 即22p=2p*22p=2p*(2p*22p)=22p*22p,令a=22p=28=1,a*a=a。
素多于一个，假设群G有零元，可以证明零元无逆元。事实上，对 任意xG，x*=*x=e(幺元)，这说明G中任何x都不是的逆元， 即无逆元。与<G,*>是群相悖。所以群无零元。 (2) 记a的逆元为a-1，如果a*x=b，则a-1*(a*x)=a-1*b，由结合律得： (a-1*a)*x=a-1*b，即e*x=a-1*b,亦即x=a-1*bG。可验证该x满足方 程a*x=b。 下面证唯一性：设x’G,且a*x’=b。则a-1*(a*x’)=a-1*b,进而可得 (a-1*a)*x’=a-1*b，即e*x’=a-1*b,亦即x’=a-1*b=x。
离散数学-11半群与群-2(课件模板)
子群就是群的子代数
子群的定义
子群的三个判定方法 重要子群的实例 –生成群、中心 找到有限群的全部子群的方法
子群的定义
定义11.8 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成 群，则称H是G的子群(subgroup)，记作 H≤G。 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群(proper subgroup) ，记作 H＜G。 说明：对任何群G都存在子群。 G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群(trivial subgroup) 。 举例：
中心的说明
对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中心 就等于G。 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}。
例11.14
例11.14 设G是群，H,K是G的子群。证明 (1) H∩K也是G的子群。 (2) H∪K是G的子群当且仅当 HK 或 KH。 证明：(1) 由e∈H∩K 知 H∩K非空。
第1层
第0层
<2>＝<4>＝{0,2,4}, <3>＝{0,3}
{0}
如何找到有限群的全部子群
设G为群，令S＝{H|H是G的子群}，在S上定义关系R如下： A,BS,ARB A是B的子群 那么<S,R>构成偏序集，称为群G的子群格。 Klein四元群G与模12加群Z12的子群格如图所示。
7.5半群和群
半群
独异点
群
群的基本性质
• 定理7.8 设G为群,则G中适合消去律,即对任 定理7.8 为群, 中适合消去律, 意a,b,c∈G 有 (1)若ab=ac,则b=c。 (1)若ab=ac,则b=c。 (2)若ba=ca,则b=c。 (2)若ba=ca,则b=c。 • 证明略。 证明略。 为群, 中的幂运算满足： 定理 设G为群,则G中的幂运算满足： 为群 中的幂运算满足 对∀x , y∈G， ∈ ， (1) (x-1)-1=x； ； 进而(x (2) (xy)-1=y-1x-1,进而 2)-1=(x-1)2;
上的二元运算, 【例】设G={a,b,c,e},·为G上的二元运算,它由下 , 为 上的二元运算 表给出,不难证明G是一个群 是一个群。 表给出,不难证明 是一个群。 · e a b c c b a e
由表中可以看出G的 由表中可以看出 的 e e a b 运算具有以下的特点： 运算具有以下的特点： (1) e为G中的单位元； 中的单位元； 为 中的单位元 a a e c (2) 运算是可交换的； 运算是可交换的； b b c e (3) G中任何元素的逆元 中任何元素的逆元 c c b a 就是它自己； 就是它自己； (4)在a,b,c三个元素中,任何 三个元素中, 在 三个元素中 两个元素运算的结果都等于另一个元素。 两个元素运算的结果都等于另一个元素。 称这个群为Klein四元群,简称四元群。 四元群, 称这个群为 四元群 简称四元群。
11半群与群
}
28
例8、如果 G中的每一个元素 a 都满足 a 2 e，
则 G 是阿贝尔群。
证明：a, b G ， 由题设知，a
1
a， b
1
b，(ab)
1
ab
从而 ab (ab)1 b1a 1 ba ， 所以 G是阿贝尔群。
}
29
§11.3 子群
1、定义： 设群 G, ，H 是 G 的非空子集，
一、循环群 1、定义：群 G中若存在 a G使得 G a k k Z ， 则称 G为循环群，记 G a ，称 a为G的生成元。 在循环群G a 中，生成元 a 的阶与群G 的阶一样。
n阶循环群 a n 循环群 无限阶循环群(a的阶无限)
循环群都是阿贝尔群。循环群的子群都是循环群。
}
14
例3、定义 R R 上的二元运算 如下：
x, y a, b x a, y b
其中+是实数集 R上的普通加法。
(1) R R, 是群吗？ 解： x, y R R ，
x, y x, y 0, 0 x, y x, y
故 x, y 是 x, y 的逆元， 所以 R R, 是群。
1
u) a
1
aa
1
u u
}
18
离散数学课件 第9章 半群和群
第9章半群和群semigroup and group
§9.1 二元运算复习binary operation revisited
A上二元运算
f：A×A→A
f处处有定义的函数。
Dom（f）＝A×A，
对任意a，b∈A，f(a，b)∈A，唯一确定。
二元运算常记做＋，－，×，*，◦，等等
对任意a，b∈A，a◦b∈A
说成A对◦封闭。
A＝{a1,a2,……,a n}时，二元运算可以用运算表给出。
二元运算的性质
1可换commutative
a*b=b*a
2 结合associative
a*(b*c)=(a*b)*c
3 幂等idempotent
a*a=a
特殊元素
单位元
对任意a∈A，e*a=a*e＝a. 单位元也叫恒等元
零元
对任意a∈A，0*a=a*0＝0
逆元
对任意a，b∈A，a*b=b*a＝e a,b互为逆元
代数结构
(A,*)A上定义了二元运算满足
1)封闭性
2)结合律-----------半群
3)有单位元---------独异点
4)有逆元-----------群
5)可交换-----------交换群例子：
1)(Z n +), (Z n, )
2)(A*, *) 字符串的连接Homework P323－324
16，20，22，24，25，26
§9.2 半群semigroup
半群定义：
(S,*) *是S上乘法，满足结合律。
半群的例
(Z，＋），（Z，×），
（N，×），（N，＋），
（Q，＋），（R，×），
（P(S),∪），（P(S), ∩），
（M n，＋），（Mn，×），
S上全体映射，对于复合，
（L，∧），（L，∨），L是格
半群、幺半群和群的关系[课堂学习]
![半群、幺半群和群的关系[课堂学习]](https://img.taocdn.com/s3/m/fbc0079f50e2524de4187e21.png)
例 9 一种重要的群：我们应该能回忆得起第 3 讲
中曾出现过的模 n 的剩余类集合
Z n {[0],[1],[2], ,[n 1]}
特选材料
28
为便于掌握，现令 n 4 ，我们期望能使 Z4 成为一个群. 第一步：在 Z4 中定义代数运算，使其成为一个代数体 系。在 Z4 {[0],[1],[2],[3]} 中规定加法“+”：
p q
.
同理 R (非零实数全体), C (非零复数全体)在数的乘法下都
成群.
特选材料
14
例 6 设G {A A是有理数上的 n 阶矩阵, A 0}, G 关于 矩阵的乘法构成一个群,但不是交换群.
例 7 设 G 为整数集．证明：G 对运算 a ob a b 1作 成一个群.
证明 a,b G ，显然 a b 1为由 a 与 b 唯一确定的整
构成群，因为，除了土 1 的其他任何整数在 Z 中都没有左逆
元．
例 5 有理数全体 Q 在通常的数的加法下也是一个加法群.
同理实数全体 R 及复数全体 C 在数的加法下都成群. Q 在数
的乘法下不构成群,但是如果用Q 表示非零有理数全体,则Q
在数的乘法下成为一个交换群,左单位元为
1,
q p
的左逆元为
个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，
即 a,b, c G,有(a b) c a (b c) ，那么代数体系
半群和群
半群的同态与同构
2018年11月11日星期日
定理：若f是从< S, ⊙>到< T, >的半群同态映射，对于 任意a S 有 a ⊙ a=a，则有：f(a) f(a)=f(a) 证明：因为f是从< S, ⊙>到< T, >的半群同态映射，对于 任意a S且 a ⊙ a=a ，都有： f(a) = f(a ⊙ a) = f(a) f(a) 这个定理能否说明：半群同态保持等幂律？
第七章 半群和群
第一节 半群和独异点
半群与群是具有一个二元运算的抽象代数
2018年11月11日星期日
半群与群在形式语言、快速加法器、纠错码制定等理论中 有着广泛而有成效的应用
半群和独异点
一、半群与独异点ห้องสมุดไป่ตู้定义 定义：
2018年11月11日星期日
给定代数< S, ⊙>，若⊙满足结合律，即对任意a,b,cS， 都有a⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c，则称< S, ⊙>为半群 (semigroups) 若< S, ⊙>为半群，T S且关于运算⊙封闭，则
半群的同态与同构
设f为< S, ⊙>到< T, >的半群同态映射
2018年11月11日星期日
若f为单射，称f为从< S, ⊙>到< T, >的半群单一同态映射 若f为满射，称f为从< S, ⊙>到< T, >的半群满同态映射 若f为双射，称f为从< S, ⊙>到< T, >的半群同构映射 若f为< S, ⊙>到< S, ⊙>的半群同态映射, 称f为半群自同态映射； 若f为< S, ⊙>到< S, ⊙>的半群同构映射, 称f为半群自同构映射 代数结构之间满同态映射保持运算的各种性质 对于半群满同态也完全适用
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第九章半群与群（Semigroups and Groups）
本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群
定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=
例2－1.1
+,+>和<2I
+
,×>都是半群。
例2－1.2 m ,+ m >和 m ,× m >都是半群。 例2－1.3 2(I),+>和 2 (I),·>都是半群。 定义2－1.2含幺元e的半群U= 1.1～例2－1.3中，除<2I +,+>和<2I + ,×>外都是含幺半群。 例2－1.4 设S是任意非空集合，则 例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。字母表中字符的n 重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m的字符串。长度为0的字符串称为空串，用来表示。如对V={a,b}, =aa和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab 和δ=bab都是长度为3的字符串。我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。 设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然 定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。 在例2－1.1～例2－1.3中，除 2(I),·>外都是交换半群，除 2 (I),·>，<2I + ,+> 和<2I + ,×>外都是交换含幺半群。 例2－1.4的含幺半群也都是交换含幺半群。 定义2－1.4设 素a表示成a=g n n∈I + ,(n∈N)，则称 注意在含幺半群中，我们规定任意元素的零次幂为幺元。 例2－1.6 <2I + ,+>=<2>是循环半群。 例2－1.7<{i,-1,-i,1},×>==<-i>, 4,+ 4 >=和<{1,2,3,4},× 5 >=<2>=<3>都是 循环含幺半群。 可见循环半群（循环含幺半群）的生成元不一定是唯一的，但它们一定是可交换的。 定理2－1.1两个半群（含幺半群）的积代数是半群（含幺半群）。 证明设 1,t 1 > 2 ,t 2 >和 3 ,t 3 >，因为( 1 ,t 1 > 2 ,t 2 >) 3 ,t 3 > =<(s 1*s 2 )*s 3 ,(t 1 t 2 ) t 3 >= 1 *(s 2 *s 3 ),t 1 (t 2 t 3 )>= 1 *t 1 > ( 2 ,t 2 > 3 ,t 3 >)故 是半群。 设 s 和e T ，则显然 s ,e T >是半群 ×T, >的幺元,故 很明显，可交换半群（含幺半群）的积代数也是可交换的。 2－2 子半群与子含幺半群 子含幺半群的概念是子代数系统概念在（含幺）半群这种代数系统中的具体体现。 定义2－2.1 设 定义2－2.2 设 易知子半群必是半群；子含幺半群必是含幺半群。 例2－2.1对任意正整数m， 例2－2.2 设集合S={e,0,1}，若在S中规定二元运算*（见表2－2.1）， * e 0 1 e e 0 1 00 0 0 1 1 0 1 表2－2.1 则 定理2－2.1 设T是可交换含幺半群 证明因e2=e，故e∈T，即T非空。又对T中任意元素a和b，因 (a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=a2*b2=a*b 故a*b∈T。这就证明了 2－3 半群与含幺半群的同态和同构 本节中，将把代数系统运用的同态与同构的概念应用于半群（含幺半群），有关定义与性质，几乎是代数系统部分的平行照搬。 定义2-3.1 设U= f(a*b)=f(a) f(b) 则称f是U到V的一个半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。 特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。 定义2－3.2 若半群U= 定义2－3.3设U= T >是两个含幺半群。若存在映射（满射，单射，双射）f: S→T，对S中任意元素a和b，有 f(a*b)=f(a) f(b) f(e s )=e T 则称f是U到V的一个含幺半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。 特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。 定义2－3.4若含幺半群U= s >到V= T >存在一个满同态（同构），则称U 同态（同构）于V，记作U～V(U≅V)。 例2－3.1 我们已知例2－1.1中的U= 是半群U到V U到V的同态。 例2－3.2对半群（含幺半群）U＝ 4,+ 4 >,N到M 4 的映射 f: a→〔a(mod 4)〕 即是半群U到V的同态，也是含幺半群U到V的同态。 2－4 群 对子群再附加一些性质就可成为群。 群是代数“系统中研究得比较完美的一类，目前已有许多群的专著。在计算机科学中，群在快速加法器设计和纠错码理论等方面有广泛应用。 定义2－4.1每个元素都有逆元的含幺半群U＝