均匀设计方法简介
均匀设计
1，3列பைடு நூலகம்
试验点划分越细，均匀性越好
1，4列
混合水平均匀设计表
均匀设计表适用于因素水平数较多的试验，但在具体的试 验中，往往很难保证不同因素的水平数相等，这样直接利 用等水平的均匀表来安排试验就有一定的困难。下面采用 拟水平法将等水平均匀表转化成混合水平均匀表。
采用拟水平法将等水平均匀表转化成混合水平均匀表
例： A，B，C三因素；A，B：3水平；C：2水平
均匀设计：可将U6*（64）改造成U6（32×21）
根据使用表，将A和B放在前两列，C放在第三列 ，并将前两列的水平进行合并：{1，2}→1， {3 ，4}→2， {5，6}→3。同时，将第三列的水平合 并为二水平：{1，2，3}→1，{4，5，6}→2，于 是就得到了下面的设计表。这是一个混合水平的 设计表 。
均匀设计
内容
均匀设计的定义及特点 等水平均匀设计表 混合水平均匀设计表 均匀设计与正交设计的对比
均匀设计 ：
一种试验设计方法，只考虑试验点在试验范围内均匀 散布的试验设计方法。 它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析 因试验，是在均匀性的度量下最好的析因试验。 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多水平时
均匀设计的基本步骤
1、明确试验目的，确定实验指标。 2、选因素。 3、确定因素的水平。 4、选择均匀设计表。 5、进行表头设计。 6、明确试验方案，进行试验。 7、实验结果统计分析。
均匀设计与正交设计的对比：
正交设计具有正交性。既可以估计出主效应，也
可估计出交互效应。均匀设计不可能估计出主效应和 交互效应，但是可以估计出回归模型中因素的主效应 和交互效应。 正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至 为水平数的平方。均匀设计的试验次数随水平数增加 连续增加。 正交设计的数据分析较简单，均匀设计的数据分析复 杂。
6 均匀设计
• 思考题：
• 正交设计和均匀设计各有什么特点？正 交试验设计的基本步骤有哪些？
• 有一组实验数据，用最小二乘法原理可 配置成一元线性回归方程和一元指数回 归方程，如何判断哪个方程更拟合实验 数据？
4 需要注意的问题
• • • • • 试验次数问题 设计表的选择 回归模型建立 回归模型优化 试验参数优化
4.1 试验次数问题
均匀设计的最大特点是试验次数等于 因素的最大水平数 试验次数与被考察的因素的个数有关， 建议试验次数选为因素数的３倍左右为 宜， 这样选择的均匀设计表的均匀性好， 也有利于以后的建模和优化。
第六章 均匀设计
Uniform Design
1 均匀设计的概念与特点 2 均匀设计表 3 均匀设计的基本步骤
4 均匀设计应注意的问题
1 均匀设计的概念和特点
1.1 均匀设计的概念
均匀设计是由中国数学家方开泰教授和王元教授 在1978年共同提出，是数论方法中的“维蒙特卡罗 方法”的一个应用，已得到国际上广泛承认。 只考虑试验点在试验范围内均匀分布的一种试验 设计方法。 它适用于多因素、多水平的试验设计，是部分实 施的试验设计。 试验次数等于因素的水平数,比正交设计更能减少 试验次数。
4.2 模型好坏的判断标准问题
Ｆ检验给出的显著性与否是判断回归模型是否有 效的重要依据，如在复相关系数或相关系数上，R2 数 值越大越好, 但模型的好坏，在数理统计中还有误差自由度 和离回归标准误进行判断。 模型一般应保持误差自由度≥5，前面有 “试 验次数选为因素数的３倍左右为宜” 观点就在于此。
1.2 均匀设计的特点
1）均匀设计具有试验设计方法的共性及本质
内容，从少量试验结果中获取带规律性的结 果,也可进行回归分析。
均匀设计法
第六章 均匀设计法
▪例如用U11(1110)的1，7 和1，2列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散 布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同， 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
第六章 均匀设计法
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。
▪均匀设计法与正交设计法的不同：
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从 如下三个角度来比较：
v 1.试验数相同时的偏差的比较
v 当因素s=2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；
若用均匀设计表
U
* 8
(88
)
，则偏差最好时要达0.1445。
显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得
U6(64)的使用表
s列
号
213
312 3
412 3 4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.1875 0.2656 0.2990
第六章 均匀设计法
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特 点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为 水平数的平方。例如一项试验，有五个因素，每个因素取31 水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设 计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
第三章 均匀设计
1 2 3 4 5 6 7
Ａ 1 2 3 4 5 6 7
Ｂ 2 4 6 1 3 5 7
Ｃ 3 6 2 5 1 4 7
mg/ml 11.60 10.30 9.70 9.20 8.40 8.10 5.70
进行回归分析,得回归方程:
2 2 y 8.14 13.4 X A 3.79X B 247.6 X C 18.46X B 3845 .9 X C
第三章 均匀设计
均匀设计就是只考虑试验点在试验范围内均匀散 布的一种试验设计方法。 第一节 均匀表的构造与原理
均匀设计与正交设计相似,也是通过一套精心设计的表来 * m n 进行试验设计的。用 U n n m 或 U n 来表示。其中 “U”表示均匀设计表; “n”表示试验次数和水平数; “m”表示该表的列数; U的右上角加“*”和不加“*”代表两种不同类型的均 匀设计表,通常加“*”的表有更好的均匀性,应优先选用。
U6*(64)
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 6 5 4 3 2 1
从表中可见均匀表的特 性： (1)每因素，每水平只 做一次试验。 (2)任两列试验方案一 般不等价。 (3)当实验水平增加1 个,试数次数就增加一 次。
U6(32×21) A (1)1 (2)1 (3)2 (4)2 (5)3 (6)3 B (2)1 (4)2 (6)3 (1)1 (3)2 (5)3 C (3)1 (6)2 (2)1 (5)2 (1)1 (3)2
1 2 3 4 5 6
第二节 均匀表应用和实例 利用均匀设计来安排试验的步骤如下： （１）明确实验目的,因素及各因素的变化 范围和水平。 （２）选择适当的均匀表;根据因素数,水平 数来选择。 （３）分析试验结果,这里有二种方法: a. 直观法:结果哪个大,哪个就优。这种方法 误差较大,一般不可靠。 b. 回归分析法:建立目标函数,进行回归分析, 选择最优试验条件组合。
均匀设计法的基本原理和应用范围
农业试验设计
总结词
在农业研究中，均匀设计法可用于优化种植密度、施肥量等农业措施，提高作物产量和 品质。
详细描述
在农业试验中，需要研究多种因素对作物生长的影响，如种植密度、施肥量、灌溉方式 等。通过均匀设计法，可以有效地安排试验条件，以最少的试验次数获得最佳的试验效
果。
产品制造工艺优化
总结词
在产品制造过程中，均匀设计法可用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
均匀设计法的基本原理和应用范围
目录
• 均匀设计法的基本概念 • 均匀设计法的基本原理 • 均匀设计法的应用范围 • 均匀设计法的优势与局限性 • 均匀设计法的实际应用案例
01 均匀设计法的基本概念
定义与特点
定义
均匀设计法是一种实验设计方法，旨在通 过合理地选择实验点和实验次数，最大限 度地获取所需的信息，并减少实验误差。
确定试验点数量
根据试验因素和水平，确定试 验点数量，以确保试验结果的 准确性和可靠性。
进行试验
按照生成的试验点进行试验， 收集数据。
确定试验因素和水平
根据研究目的和问题，确定试 验因素和水平，为后续的试验 设计提供基础。
生成试验点
根据均匀性准则和试验点分布 方法，生成试验点，确保每个 试验点具有代表性。
有限制条件
在满足一定限制条件下选择实验点。
均匀分散
在实验范围内，实验点均匀分散，避免集 中在某些区域。
高效性
通过合理设计，用较少的实验次数获取更 多信息。
与其他设计方法的比较
与正交设计法比较
均匀设计法的实验点分布更均匀，适 用于探索性实验和多因素多水平实验 。
与拉丁方设计法比较
拉丁方设计法适用于两因素实验，而 均匀设计法可应用于多因素实验。
均匀设计方法
均匀设计方法1均匀设计的特点化学化工实验多为多因素多水平的实验，对此，以往的设计方法通常有全面实验法和正交实验法。
全面实验法是让每个因素的每个水平都有配合的机会，并且配合的次数一样多。
一般地全面实验的次数至少是各因素水平数的乘积。
该法的优点是可以分析出事物变化的内在规律，结论较精确，但由于试验次数较多，在多因素多水平的情况下常常是不可想象的。
如5因素4水平的试验次数为45=1024次，而6因素5水平的试验次数为56=15625次，这在实际中很难做到。
正交实验法是在试验中使用一套规格化的正交表，排出最有代表性的试验，比较合理地节省试验次数，并能从仅做的少数试验中充分得到所需信息。
该法的优点是从方案设计到结果分析都完全表格化，试验具有均匀分散、整齐可比性，是安排多因素试验的有效方法，因此被广泛应用。
但是有些试验，由于影响因素很多，每个因素变化范围大，水平也多，即使采用正交设计法，试验次数仍嫌太多。
对于要求时间紧和昂贵的科学试验，亦不允许安排太多的试验。
对于这种情况，继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出了一种试验设计方法——均匀设计。
均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计等相辅相成。
均匀设计是通过一套精心设计的表来进行试验设计的，对于每一个均匀设计表都有一个使用表，可指导如何从均匀设计表中选用适当的列来安排试验。
每个表有一个代号U n（q s）或U*n（q s），其中U代表均匀设计；n表示试验次数；q表示水平数；s表示该表最多可安排的因素数。
U的右上角加“*”和不加“*”代表两种不同类型的均匀设计表。
通常加“*”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先应用。
例如U6*（64）表示要做6次试验，每个因素有6个水平，该表有4列，见表2-6。
均匀设计和正交设计的比较
均匀设计和正交设计的比较均匀设计（Uniform Design）和正交设计（Orthogonal Design）是两种常用的实验设计方法，用于确定影响因素和因变量之间的关系，以及确定最适合的因素水平。
下面将对这两种设计方法进行比较。
1.定义和原理：-均匀设计：均匀设计是一种实验设计方法，旨在通过选择一系列设计点，在全区间内均匀覆盖因素水平的组合，从而得到最优的判别能力和推断效果。
-正交设计：正交设计是一种实验设计方法，它通过将影响因素的各个水平进行组合，使得各个因素及其交互作用之间的关系得以均匀分布，从而有效地降低测量误差和背景干扰。
2.设计要素数量：-均匀设计：均匀设计要求设计点之间具有相似的分布规律，通常需要更多的设计点来达到均匀覆盖的目的。
-正交设计：正交设计要求因素水平之间的关系在各个方向上都是均匀分布的，因此设计所需的样本数量通常比均匀设计少。
3.因素水平组合：-均匀设计：均匀设计通过选择各个因素的水平组合来实现因素与因变量之间的关系研究，可以包含更多的因素和水平数，但样本点之间的因素水平组合可能会重复。
-正交设计：正交设计通过选择各个因素水平组合的方式来实现因素与因变量之间的关系研究，可以保证不同因素之间的水平组合均匀分布，从而减少重复度。
4.探索和解释能力：-均匀设计：均匀设计具有较高的探索性能，因为它能够覆盖全区间的因素水平组合，可用于快速筛选和发现影响因素。
-正交设计：正交设计具有较高的解释能力，因为它能够有效地区分主要因素和交互作用，从而更加精确地解释因果关系。
5.应用场景：-均匀设计：均匀设计适用于对影响因素的探索性研究、多因素筛选和较小样本量的试验设计。
-正交设计：正交设计适用于影响因素的优选、因素交互作用的分析、样本容量要求相对较高的试验设计。
总结来说，均匀设计和正交设计是两种不同的实验设计方法，各自具有不同的优势和适用场景。
均匀设计适用于探索性研究、多因素筛选等，而正交设计适用于因素优选和因素交互作用的分析。
均匀设计法名词解释
均匀设计法名词解释
均匀设计法是一种试验设计方法，它的设计点在试验范围内均匀散布。
该方法由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
在科学研究和技术开发中，常常需要进行试验设计来探究不同因素对试验结果的影响。
试验设计的目的在于最小化试验次数和最大化试验信息的收集。
均匀设计法是一种有效的试验设计方法，它可以在试验点均匀散布的条件下，最小化试验次数，同时收集到足够的试验信息。
均匀设计法的优点在于它可以减少试验次数，提高试验效率，同时还可以均匀散布试验点，使试验结果更具代表性。
此外，均匀设计法还可以筛选关键因素，帮助研究人员更好地理解试验结果。
在均匀设计法中，每个因素的水平都被均匀地分配到试验中的各个点。
这使得每个试验点的数据都能够提供关于该因素的信息，从而使得在较少的试验次数下获得足够的信息成为可能。
总的来说，均匀设计法是一种有效的试验设计方法，可以帮助研究人员在较少的试验次数下收集到足够的试验信息，同时还可以提高试验效率并筛选关键因素。
均匀设计方法简介
均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
第7章_均匀设计
Page 23
第7章 均匀设计
Uniform Design 用Excel“规划求解”工具寻求例7-2的最优方案
目标单元格输入回归方程： “=275.85－9.16*C3－21.90*C4 －21.14*C5＋1.40*C6＋ 1.16*C3*C4＋0.73*C5^2”
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例如：某试验有A，B，C三个因素；A,B为3水平；C为2水平。 若用正交设计：可用L18（21×37）或拟水平选L9（34）。 用均匀设计：可将U6*（64）改造成U6（32×21）。 改造方法：将A和B放在前两列，C放在第3列。然后将前两列 的水平合并为3水平，第3列的水平合并为2水平。即 前两列：{1，2}合并为1，{3，4}合并为2，{5，6}合并为3。 第3列：{1，2，3}合并为1，{4，5，6}合并为2。 于是可得一个混合水平的设计表：U6（32×21）。
0.986 0.973 0.964 2.047 9
由于x3,x4不显著，去掉x3,x4再进行回归分析，得回归方 程为： y＝20.393＋1.72x1－10.33x2 x1对应的P-value＜0.01，非常显著； x2对应的0.01＜P-value＜0.05，显著。 （3）优方案确定 据第一个回归方程，系数为正取上限 ，系数为负取下 限 ，故优方案为: A9B5C9D8
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第7章 均匀设计
Uniform Design
U 6 (32 21 )
试验号 1 2 3 4 5 6
列号 1
(1)1 (2)1 (3)2 (4)2 (5)3 (6)3
2
(2)1 (4)2 (6)3 (1)1 (3)2 (5)3
3
(3)1 (6)2 (2)1 (5)2 (1)1 (3)2
均匀设计
均匀设计（Uniform Design），又称均匀设计试验法（Uniform Design Experimentation）），或空间填充设计，是一种试验设计方法（Experimental Design Method。
它是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
它由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
1简介所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，方开泰、王元完成的“均匀试验设计的理论、方法及其应用”，首次创立了均匀设计理论与方法，揭示了均匀设计与古典因子设计、近代最优设计、超饱和设计、组合设计深刻的内在联系，证明了均匀设计比上述传统试验设计具有更好的稳健性。
该项工作涉及数论、函数论、试验设计、随机优化、计算复杂性等领域，开创了一个新的研究方向，形成了中国人创立的学派，并获得国际认可，已在国内外诸如航天、化工、制药、材料、汽车等领域得到广泛应用。
2提出均匀设计是继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出的一种试验设计方法。
均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计和贝叶斯设计等相辅相成。
我们知道，试验设计就是如何在试验域内最有效地选择试验点，通过试验得到响应的观测值，然后进行数据分析求得达到最优响应值的试验条件。
因此，试验设计的目标，就是要用最少的试验取得关于系统的尽可能充分的信息。
均匀设计即可以较好地实现这一目标，尤其对多因素、多水平的试验。
3原理分布理论均匀设计的数学原理是数论中的一致分布理论，此方法借鉴了“近似分析中的数论方法”这一领域的研究成果，将数论和多元统计相结合，是属于伪蒙特卡罗方法的范畴。
均匀设计
7.1 均匀设计表
7.1.1 等水平均匀设计表
（1）记号： ）记号： Un(rl)或 Un*(rl) 或 U——均匀表代号； 均匀表代号； 均匀表代号 n——均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数 r——因素水平数，与n相等； 因素水平数， 相等； 因素水平数 相等 l——均匀表纵列数； 均匀表纵列数； 均匀表纵列数 *——均匀性更好的表，优先选用Un*表 均匀性更好的表，优先选用 均匀性更好的表 表
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (1)1 (2)1 (3)2 (4)2 (5)3 (6)3 (7)4 (8)4 (9)5 (10)5
B (2)1 (4)2 (6)3 (8)4 (10)5 (1)1 (3)2 (5)3 (7)4 (9)5
C (5)1 (10)2 (4)1 (9)2 (3)1 (8)2 (2)1 (7)2 (1)1 (6)2
均匀设计（ design） 均匀设计（uniform design） ： 一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的 试验设计方法 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多 应用：试验因素变化范围较大， 水平时 例如： 因素31水平的试验： 31水平的试验 例如：5因素31水平的试验： 正交设计试验次数≥ 正交设计试验次数≥312＝961 均匀设计试验次数： 均匀设计试验次数：31
7.2 均匀Biblioteka 计基本步骤（1）明确试验目的，确定试验指标 ）明确试验目的， （2）选因素 ） （3）确定因素的水平 ） 可以随机排列因素的水平序号 （4）选择均匀设计表 ） 根据试验的因素数和水平数来选择 参考使用表 首选U 表 首选 n*表
7.2
均匀设计基本步骤
均匀设计法
2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3பைடு நூலகம்
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
xik
_
xi
xik
_
xj
Liy
N K 1
xik
_
xi
yk
_
y
Lyy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
_ 1 N
y N i1 yk 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
^
2mT
方程(8 9)化为 y b0 bl xl (T Cm2 ) (8 11)
l 1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表了
§9－2 应用举例
▪ 利用均匀设计表来安排试验的步骤：
• （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使
§6－1 基本原理
• 一、引言
• 正交试验设计利用：
▪ 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
▪ 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
第4章_均匀设计
U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应 该取1，2，3列安排试验。
24
由U7（76）均匀表的配套使用表可知，应选1， 2，3列，因而得下面的试验设计表:
制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果
No. 1 配比 （ A） 1.0(1) 吡啶量 （B） 13(2) 反应时 间（C） 1.5(3) 收率 （ Y） 0.330
18
19
• 均匀设计表特点
• （1）.任何一列，各水平仅出现一次；
• （ 2 ） . 使用表最多可安排的因素数都比均 匀表列数少。只能安排（s/2+1）个因素 • （s列数）
（3）每个因素的每个水平做一次且仅做一 次试验
20
四、用均匀表安排试验的步骤
• 1.根据试验的目的，确定考察的指标； • 2.选择合适的因素和因素的考察范围；
36
Coefficientsa Unstandardized Coefficients B Std. Error .202 .099 .037 .039 -.003 .005 .077 .028 .169 .080 .025 .032 .074 .025 .214 .053 .079 .024 Standardized Coefficients Beta .312 -.217 .807 .211 .778 .831
2
3
1.4(2)
1.8(3)
19(4)
25(6)
3.0(6)
1.0(2)
0.336
0.294
4
5
2.2(4)
2.6(5)
10(1)
16(3)
2.5(5)
0.5(1)
0.476
0.209
《均匀设计法》课件
均匀设计法的应用领域
化学与制药
用于寻找最佳反应条件 和优化化学合成路径。
生物与医学
用于研究生物体内各种 因素之间的相互作用和
最佳条件。
工程与制造
用于优化产品设计、工 艺参数和制造流程。
经济与社会
用于研究市场、消费者 行为和社会现象等复杂 系统的最佳策略和条件
。
均匀设计法的优势与局限性
高效性
通过减少实验次数提高效率，降 低实验成本。
代表性
选择的实验点应具有代表 性，能够反映实验范围内 的各种情况和变化趋势。
可行性
实验设计方案应具有实际 可行性，考虑到实验条件 、资源、时间等因素的限 制。
均匀设计法的实施步骤
确定因素和水平
选择影响实验结果的主要因素 ，并确定每个因素的取值范围 和水平。
实施实验
按照实验设计表进行实验，记 录实验数据和结果。
需要保证实验条件的一致性和稳定性 ，以确保实验结果的准确性和可靠性 。
需要建立准确的数学模型来描述实验 结果，并对模型精度有较高要求。
02
均匀设计法的基本原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
均匀设计法的数学基础
线性代数
均匀设计法涉及到线性代数中的 矩阵和向量运算，用于描述实验 设计中的各种关系和约束条件。
均匀设计法与拉丁方设计的比较
拉丁方设计是一种用于排列试验的方阵，而均匀设计法更注重试验点在参数空间中的均匀分布。
均匀设计法在交叉学科领域的应用探索
均匀设计法在生物医学领域的应用
在生物医学研究中，通过均匀设计法可以更有效地设计和实施实验，以探究不同因素对 生物系统的影响。
均匀设计法在环境科学领域的应用
均匀设计
4
均匀设计表 U*7（74） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 6 1 4 7 2 5 3 5 2 7 4 1 6 3 4 7 6 5 4 3 2 1
均匀设计表 U*7（74）的使用表 因素个数 2 3 列号 1，3 2，3，4 D 0.1582 0.2132
希望实验次数尽可能的少，问如何安排实验？
根据因素和水平，选取均匀设计表U*7(74)或 U7(74) 由它们的使用表中可以查到，当因素数为3时， 两个表的偏差分别为0.2132和0.3721，故应当选 用U*7(74)来安排该试验 根据U*7(74)表的使用表，将A、B、C三个因素 分别安排在该表的2、3、4列
Y3
18.33 22.62 32.87 37.87 33.75 31.18 40.80 43.79 25.05 50.54 59.69 67.12 33.70 30.66 67.04 56.52 78.48
某实验考察四个因素对农作物产量的影响， 四个因素中包含两个定量因素X1、X2和两 个定性因素A、B，希望尽可能的较少实验 次数，问如何安排实验
适用于原因变量取值范围大，水平多（一般不少 于5）的场合 主要用于全部因素为定量因素的实验研究场合
通常是对所研究的问题中诸因素及其交互作用的 重要性一概不知的大规模（或每做一次实验，费 用十分昂贵的）实验研究的场合，通过此设计进 行因素筛选 当因素和水平的数目缩小后，再改用正交设计或 析因设计，作详细研究
今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用） 对老鼠寿命的影响，观测指标为老鼠身上某种细 胞的死亡率
由于U*17(175)只有5列，最多能安排五个因素，故 选择U17(178)均匀表
第07章 均匀设计
b2、b4小于0，表明试验指标随x2、x4的增加而减 小，确定优方案时，因素x2、x4的取值应取下限， 即引发剂用量取0.3％、甲醛用量取0.20ml；
优方案为：
丙烯酸用量取32ml、中和度取92％；引发剂用
量取0.3％、甲醛用量取0.20ml。
将上述优化值代入回归方程可得：
y＝76.3
该结果好于第9号试验结果，但需要进行验证。
第3列 水平 x3/% 64.5 86.5 59.0 81.0 53.5 75.5 48.0 70.0 92.0 8 7 6 5 4 3 2 1 9
第5列 1.25 1.10 0.95 0.80 0.65 0.50 0.35 0.20 1.40
指标 34 42 40 45 55 59 60 61 63
(2)1
(4)2
(3)1
(6)2
3
4 5 6
(3)2
(4)2 (5)3 (6)3
(6)3
(1)1 (3)2 (5)3
(2)1
(5)2 (1)1 (4)2
改造要求：混合均匀表有较好的均
衡性，即两列表的任一列上，不同
水平出现次数是相同的，但出现次
数≥1
7.2
均匀设计基本步骤
第 7 章
均匀设计
均匀设计是指利用均匀设计表进行试验设计的
一种试验设计方法，它的设计原理是数论中的一致
分布理论，即只考虑试验点在试验范围内的均匀散 布；挑选试验代表点的出发点是“均匀分散”，而 不考虑“整齐可比”，它可保证试验点具有均匀分 布的统计特性，可使每个因素的每个水平做一次且 仅做一次试验，任两个因素的试验点在平面的格子 点上，每行每列有且仅有一个试验点。
试验点在积分范围内散布得十分均匀，并使分布点离被积函
均匀设计方法
U7(76)
列号
试验号
1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7
2 2 4 6 1 3 5 7
3 3 6 2 5 1 4 7
4 6 5 4 3 2 1 7
5 5 3 1 6 4 2 7
6 6 5 4 3 2 1 7
2
3
1.4(2)
1.8(3)
19(4)
25(6)
3.0(6)
1.0(2)
0.336
0.294
4
5
2.2(4)
2.6(5)
10(1)
16(3)
2.5(5)
0.5(1)
0.476
0.209
6
7
3.0(6)
3.4(7)
22(5)
28(7)
2.0(4)
3.5(7)
0.451
0.482
根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的 最后一列，其中以第7号试验为最好，其工艺 条件为配比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h。 我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据
^
(8 1)
令xik 代表因素xi 在第k次试验时取的值，yk 表示响应值 (8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
i 1, 2, , m
Lyy yk y i 1
N _
2
xi xi
i 1
_
N
i 1, 2, m
1 N y yk N i 1 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
_
y 0.3683 L1 y 0.2404 L2 y 0.5640 L3 y 0.5245
均匀设计
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
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均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
采用拟水平法，人们还得到一系列在实际中很有用的混合水平正交表，例如：L8(4×24)，L12(23×31)，L16(44×23)等，此处L16(44×23)表示要做16次试验，允许最多安排四个“4”水平因素，三个“2”水平因素。
在我们的示例中，可取L25(56)。
该正交表如下：6表1. L6十分明显，不计重复试验总共需做52=25次试验。
观察此表，可知有如下特点：1）每个因素的水平都重复了五次试验；2）每两个因素的水平组成了一个全面试验方案。
这两个特点反映了试验点在试验范围内排列规则整齐，人们称为“整齐可比”，另一方面，这些试验点在试验范围内散布均匀，人们称此特点为“均匀分散”。
正交设计的优点本质上来自“均匀分散，整齐可比”这两个特点。
4．均匀设计法1978年，我国七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验次数又不超过50。
为了解决这一问题，我国数学家方开泰和王元教授经过几个月的共同研究，应用数论方法，舍弃正交设计的“整齐可比”性，创造了只考虑试验点在试验范围内的均匀散布的一种试验设计方法，即所谓“均匀设计”，很好地解决了七机部的导弹设计问题。
均匀设计可按均匀设计表及相应的使用表安排试验。
所谓均匀设计表是根据均匀设计理论得到的，类比正交设计表，记为U n (q m )，n 总试验次数，q 各因素的水平数，m 可能安排的因素数。
例如，我们前面提到的Cu13X 分子筛的制备问题，就可以用如下的U 5(54)表来安排。
4由该表我们可以看到：该法有其独特的布点方式，其特点有： 1） 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验； 2） 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点； 3） 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。
此点要求每个均匀设计表必须有一个附加的使用表； 4） 当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。
二、 均匀设计表的构造均匀设计表是一个方阵。
设方阵有n 行m 列，每一行是{1，2，···,n }的一个置换（即1，2，···,n 的重新排列），表的第一行是{1，2，···,n }的一个子集，但不一定是真子集。
可以用好格子点法来构造符合上述定义的均匀设计表。
方法如下： 1. 给定试验次数n ，寻找比n 小的整数h ，且使n 和h 的最大公约数为1，符合这些条件的正整数组成一个向量h =（h 1，h 2，···,h m ） 例如：n=7，h =（1，2，3，4，5，6）；n=9，h =（1，2，4，5，7，8） 2. 均匀设计表的第j 列由下法生成u ij = ih j [mod n ]这里[mod n ]表示同余运算，若ih j 超过n ，则用它减去n 的一个适当倍数，使差落在[1，n ]之中。
ih j 可以递推生成： u ij = h j u i+1，j = u ij +h j 若u ij +h j ≤n u i+1，j = u ij +h j -n 若u ij +h j >n i = 1，2，···,n -1 例如，对于n=7，h=（1，2，3，4，5，6）而言，有： 若h 4=4，则u 14=4，u 24= u 14+ h 4-n=8-7=1，u 34=u 24+h 4=5 [mod n ] u 44=u 34+h 4-n=9-7=2，u 54=u 44+h 4=6，u 64=u 54+h 4-n=10-7=3 [mod n ] u 74=u 64+h 4=7 [mod n ] 依此类推，易得u ij （i=1，···，n ；j=1，2，3，4，5，6） ，於是得U 7(76)如下：6这样生成的均匀设计表特记作U n (n )，向量h 称为该均匀设计表的生成向量，有时为强调h 的作用，将U n (n m )记成U n (h )。
给定n ，相应的h 可如上述方便地求得，从而m 也即确定，故m 是n 的一个函数，其曾由欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n)。
由数论得出下列结论： 1） 当n 为素数（一个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1）时，E （n -1）=n -1。
2） 当n 为素数幂时，即n 可表成n=p L ，p 素数，L 正整数，有 E （n ）=n （1-p1）例，n=9，可表为n=32，于是E （9）=9（1-31）=6 3） 若n 不属于上述两种情况，n 一定可表为不同素数的方幂积，即 n=s ls llp p p ⋅⋅⋅2121这里s p p p ⋅⋅⋅,,21为不同素数，s l l l ⋅⋅⋅,,21为正整数。
这时E （n ）=n （1-11p ）（1-21p ） (1)sp 1）例如，n=12，可表为n=22×3，于是E （12）=12（1-21）（1-31）=4，即U 12最多只可能有4列。
上述三种情形中，以素数情形为最好，最多可能获得n -1列；非素数情形，上述表的结构中永远不可能有n -1列。
王元，方开泰（1981年）建议，对n=偶数情形，均匀设计表由n+1的U 表去掉最后一行来构造。
例如，可将U 7(76)表的最后一行去掉构造U 6表如下：6为和由好格子点法构造的U 6表[即U 6（66）]相区别，上述方法构造的U 6表记为)6(66*U ，两者关系和各自特点如下：1） 所有*n U 表是由U n+1表中划去最后一行而得2） U n 表的最后一行全部由水平n 组成，*n U 表的最后一行则不然 3） 若n 为偶数，*n U 表比U n 表有更多的列 4） 若n 为奇数，则*n U 表的列数通常少于U n 表 5） *n U 表比U n 表有更好的均匀性，应优先采用*n U 表 6） 若将U n 或*n U 的元素组成一个矩阵的秩最多分别为21)(+n E 及21)1(++n E 。
三、 均匀性准则和使用表的产生1、 均匀性准则—偏差（略）2、 均匀设计使用表的产生——整数同余幂法我们已经知道，产生均匀设计使用表，实际上就是从U n （n m ）中选出S 列，使其相应的均匀设计有最小的偏差。
当m 和S 较大时，从m 列中取出S 列的数目有)(m s 之多，要比较这么多组点集的均匀性，工作量很大。
故需有简化计算和近似求解的方法，这里介绍整数同余幂法。
令a 为小于n 的整数，且a ，a 2（mod n ），…，a t （mod n ）互不相同，a t+1=1（mod n ），则称a 对n 的次数为t 。
例如：21=2，22=4，23=3，24=1 （mod 5） 则2对5的次数为3。
31=3，32=9，33=5，34=4，35=1 （mod 11） 则3对11的次数为4。
一般若a 对n 的次数大于或等于S -1，且（a ，n ）=1，则可用 （a 0，a ，a 2，…，a S-1） (mod n)作为生成向量，故a 称为均匀设计的生成元。
在一切可能的a （最多n -1个）中去比较相应实验点的均匀性，工作量则大大减少，理论和实践都证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性。
于是，只要求得最优的a ，给定n 和S ，便可获得生成向量，从而获得相应的均匀设计表及使用表。
附录1给出了奇数n （5≤n ≤31及n=37）的U n 表生成元及其相应均匀设计的偏差。
同时对偶数n（6≤n ≤30）给出了*n U 表的生成元和相应均匀设计的偏差。
附录2给出了奇数n 的*n U 表的生成向量和相应均匀设计表的偏差。
由附录1和附录2，我们即可获得一系列均匀设计表*nU 或U n 及其使用表。
例如由试验需要构造U 9(95)均匀设计表及使用表，则根据附录1示知：n=9，m=4，a=2，故U 9(95)的第一行元素为1，2，4，8，7；按升幂排列成1，2，4，7，8。
利用前已述及的求U ij 的递推公式求算U ij ，即得到如下U 9(95)表:5综合考虑m=2，a=4及m=3，a=4的情况，易得到下列的相应使用表及偏差 5四、在多因素试验中，由于试验精度的限制，很多情况下各因素允许的水平数不同，有的因素水平多，有的少。
例如；微波加热离子交换法制备Cu13X 分子筛，微波加热功率，交换时间可以取8水平，而交换液浓度，在试验范围内，取8水平难于精确控制，所以取4水平，这时如何进行均匀设计呢？我们可以采用拟水平法，即在安排交换液浓度这个因素时，令1，2水平为1水平；3，4为2；5，6为3；7，8为4（也有不少人令1，5为1；2，6为2；3，7为3；4，8为4），这样形成一个混合水平的均匀设计表： 2可见，通过拟水平法，可以由*n U 或U n 表得到相应的混合水平表，只是通常偏差比原*nU 或U n 表的略大。