高一数学向量法
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。
一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
例如，力、速度、位移等都是向量。
二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。
2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。
三、向量的模向量的模就是向量的长度。
若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。
例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同。
对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。
八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。
高一数学向量法
思考1
引入 思考2
思考3
课外思考 P
竞赛辅导─向量法
利用向量处理几何问题,最重要的是要先在几何 图形中寻找具有向量因素的特征,如共线、平行、垂 直、线段的倍分等，然后引进向量通过向量的运算， 来达到解(证)几何题的目的.
下面就这一方法在解题中的应用做一些思考.
思考 1:设△ABC 的外心为 O,取点 M,使 OA OB OC OM , 求证:M 是△ABC 的垂心,且此三角形的外心、垂心、重心 共线.
证明:设 OA a ,OB b ,OC c , 则
A D
O M
B
C
这条直线称为欧拉线.
练习1
练习 1:如图,设 A1 A2 A3 A4 为⊙O 的内接四边形, H1 、H2 、H3 、H4
依次为 △A2 A3 A4 、△A3 A4 A1 、△A4 A1 A2 、△A1 A2 A3 的垂心,求
P
MN
DQ
C
A
O
B
练习 4.已知:空间四边形一组对边的平方和等于另一 组对边的平方和,求证:它的两条对角线互相垂直.
向量证法一气呵成,对称、和谐、统一，给人以美 的享受，由证明过程还可以发现其逆命题亦为真，并 且结论什么时候都成立。
课外思考:如图,设 P1, P2 , , Pn 是单位圆 O 上的任意 n
先猜后证
等边三角形
练习
6:(教程
P242
第
7
题)
cos
7
cos 3
7
cos 5
7
____.
练习 7:(教程 P242 第 10 题)正六边形 ABCDEF 中心为 O,则 AO BO CO DO EO FO =_____.
高一数学向量加法
例2平行四边形 ABCD中AB a，AD b 用 a, b 表示向量 AC 、DB 。
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂 直？
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab| ？
.
.
.
.
.
.
.；知识产权律师 知源自产权律师3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b
即a b可以表示为 从向量b的终点指 向向量a的终点的 向量。
注意：1 AB 表示a b。强调：差向量“箭头”
2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
ba
bca
从而，多个向量的加法运算 可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 例1如图，一艘船从A点出发以2km/ h 的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速 为2 3km/ h ，求船的实际航行的速度的大小 与方向(用与流速间的夹角表示).
高一数学向量的加减法
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接 下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进 行了减法运算，得到向量b。 像这样求两个向量的差的运 算叫做向量的减法。 那么向量的减法有什么 规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量 加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向 被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
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一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一 条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准 备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让 开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回 献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到 底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉 言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店 献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经 证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老 板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！ 说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但 很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌 吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬 场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是 他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了 小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就 已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年 幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢 地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小 的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你
高一数学知识点总结归纳3篇
高一数学知识点总结归纳【高中数学知识点总结】Part11.平面向量（1）向量的概念向量是有大小和方向的量，用带箭头的小写字母来表示。
（2）向量的表示向量可以用坐标表示，例如：（4，5），也可以用平面直角坐标系中的有向线段来表示。
（3）向量的运算向量加法：向量之间的加法满足“平行四边形法则”和“三角形法则”。
向量的数乘：一个向量与一个实数的积仍是一个向量。
如果k为正数，则向量的长度变为原来的k倍，并且方向不变；如果k为负数，则向量的长度变成原来的|k|倍，并且方向相反。
（4）向量的模长公式若向量u=（x1，y1）,则它的模长为：|u|=√(x1²+y1²) （5）向量的数量积向量u和向量v的数量积的结果是一个实数，用u·v表示。
u·v=|u|·|v|·cosθ（其中θ是u和v之间的夹角）（6）向量的叉积叉积是满足反对称性的二元运算，用u×v表示。
u×v结果是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
（7）共线向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量，否则它们是不共线向量。
2.直线方程与平面方程（1）点斜式直线的一般式方程为：ax + by + c = 0 （其中a, b, c 是实数，且a²+b²≠0）当一条直线的斜率为k，过点（x1，y1）时，该直线方程为：y-y1=k(x-x1)（2）两点式直线的两点式方程为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1) （3）截距式直线的截距式方程为：y=kx+b （其中k, b是实数，且k≠0）（4）平面方程平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0（其中A, B, C, D是实数，且A²+B²+C²≠0）平面的点法式方程为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0（其中（x0，y0，z0）是平面上的一个点，（A, B, C）是平面的法向量）3.函数（1）函数的概念函数是一种映射关系，把一个自变量的值唯一对应到一个因变量的值上。
高一数学向量知识点顺口溜
高一数学向量知识点顺口溜向量概念很重要，
方向和大小要记牢。
平行相等要牢记，
共线、共面别忽略。
零向量无方向，
平行四边形很明显。
共线向量线性相关，
线性无关要理解。
加法满足交换律，
减法通过加法得。
数乘向量变大小，
相同方向别混乱。
单位向量长度为一，
平移不改变方向。
满足平行四边形定理，基底和分解要掌握。
向量的夹角不难求，点乘和夹角相似。
夹角余弦求得快，
夹角垂直齐事宜。
向量积的定义要牢，平行四边形面积易。
点乘积为标量结果，投影长度别忘记。
叉乘积确定方向，
模长为面积结果。
平行、垂直掌握好，
左手定则要注意。
空间解析几何中，
向量表达更方便。
坐标点和向量转换，方向比大小更进步。
高一数学向量知识点，记住顺口溜最要紧。
理解掌握用心良，
数学学习更得力。
高一数学向量复习要点
向量复习要点
1、什么叫向量？
2、用图表示向量a与b的和与差
3、实数与向量a的积 a的长度和方向是
如何规定的？
4、用图表示两个非零向量a与b的夹角
5、用公式表示两个非零向量a和b 的数量积
6、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为
cos = ?
7、非零向量a、b
, a//b ?
ab
?
8平、e面1 基、e本2 是定不理共表线述向为量__，；a能是作平为面平内面任基一底向的量向，
y1) a//b
b =(x2？, y2)
则a±b = (
ab ？
)
13、P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ， 使 P1P=λ PP2 ，可通过长度比求|λ|，如图的
λ符号如何？
P1 P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P2
P1 P2 P
P P1 P2
若P1(x1 ，y1) P2(x2, y2) 则P点坐标为？即定比分 点公式为？中点坐标公式为？ 14、设P （x，y）是图象F上任一点，平移后F′ 上对应点为
P′（x′，y′）平移向量为a=
=P（Ph，k）,平移公式为？
15、写出正弦定理
16、写出余弦定理。
例1、判断下列命题是否正确
1、向量a在向量b方向上的投影是个向量
2、单位向量都相等，
3、(a b)2 a2 b2
ab b2
a b
4、向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量；
高一数学 带你走进法向量(法向量的理解与运用)
带你走进法向量一、法向量概念理解如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：（1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=⎧⎨=⎩n a n b ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）．三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==||||l nl n ．注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12<n ,n >就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos <n ,n >=1212|n n |n ||n ．注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．3．求点面距离点面距离的具体求解步骤是： （1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离问题重要公式． 四、法向量的具体应用例1如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，12PM BC ==，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC所成的角为60．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AC B --余弦值的大小． 解：（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -由题意有1,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭，由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒，即200z z =，解得01z =∴()310,0,1,,,022CM CA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为n{}111,,x y z =， 则11110102y z y z +=⎧-=，取11x =，得{=n （正方向）， 平面ABC 的法向量取为()0,0,1=m （正方向），设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7θ-==⋅m n m n ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角，故二面角M AC B --． 评注：设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小．何时就是二面角的平面角？何时又是其补角？资料上（包括高考试题的答案上）如是说：由图形不难（显然）得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区．为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果．在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解二面角．所谓“穿入法”就是穿入二面角l αβ--内部的平面α的法向量1n （如右图所示）方向为正方向，穿出二面角l αβ--的平面β的法向量2n 方向为负方向．根据二面角的定义，只要取二面角两个平面的法向量中的一个正方向，一个负方向，则两法向量所夹角12,<>n n 即为二面角的平面角，由公式121212cos ,||||<>=n n n n n n 便可轻松求出．如果两个法向量都取正方向（或负方向），则12,<>n n 即为所求二面角的补角．例2如图，是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； 解：（1）以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．11x易知，n (001)=，，是平面111A B C 的一个法向量．因为OC 0=n ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设m ()x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则AB 0=m ，BC 0=m 得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)=-，，m （负方向）． 显然，l (110)=，，为平面11AAC C 的一个法向量（正方向）． 所以,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小，而12cos ,2++<>===⨯m l m l m l ， 所以二面角1B AC A --的大小是30︒．评注：用“穿入法”确定法向量方向求解二面角，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体中的“形”到“形”的推理方法，也避免了处理结果中对所求角为二面角还是其补角的判断，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，易于接受，是用向量法求二面角的独到之处．。
(完整版)高一数学向量知识点归纳练习题
向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。
（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。
三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。
3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。
四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。
定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。
定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。
高一数学向量的加法
解：如图，设AD表示船向垂直于对岸行 驶的速度 AB表示水流的速度，以 AD、AB为邻边作平行四边形 ABCD，则AC就是船实际航行的速度 。
在Rt△ ABC中 | AB | 2， | BC | 2 3 | AC | | AB |2 | BC |2 4 ∵ tanCAB 3 CAB 60。
B
b b
C
b
b
b
b b A
作法：[1]在平面内任取一点A ， [3]则向量AC叫 a 与 b 的和。
[2]作AB= a , BC= b ，
这种作法叫做三角形法则
特例：
a b
a b
B C
ACA来自B方向相同 注： a + 0 = 0 + a = a
AC a b
AC a b
方向相反
例1、已知向量 a 、b （如图），求作向量 a + b 。 作法：在平面内任取一点O，作 OA= a, AB =b, 则 OB = a + b .
向量的加法
一、提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？
既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。
2、有向线段的三个要素是什么？
三要素是：起点、方向和长度。 3、什么叫相等向量？ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
二、向量的加法：
1、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
2、图示：
a a a a a a a a a a b b
D
A
B
练习答案
1、（1） （2）
ab
a
（3）
b
b
ab b
a
ab
a
b
2、（1）
b
高一数学平面几何中的向量方法(图文课件分享)
首先请记住，我不希望您相信这个故事。您也难道没有目睹我最近的经历吗？当我在最后一次前往伦敦之际，在幸福而无知的盔甲下，我向皇家地质学会的一位会员高兴地讲述了我的要旨。
您肯定会以为，在我看来，这起罪恶之罪不亚于从塔中抢劫皇冠上的珠宝，或将毒药放入国王His下的咖啡。
我半信半疑的博学绅士，在我半途半熟之前就被凝结了！-这一切使他免于爆炸-而我梦Honor以求的荣誉团契，金牌和名人堂中的利基则化为乌有，冷淡的空气他北极的气氛。
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问题：平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，你能发现平行四边形 对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
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平面几何中的向量方法 高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
向量具有“几何”与“代数”的双重身份
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的 几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？
B A
O D
A
B C
O B
A B
)
O
A
数量积性质？
求模 求夹角 证垂直
2、向量的代数身份是通过什么来实现的？坐标表示
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数” 的计算
又有公共点 P，则 A,C, P 三点共线．所以 B 正确．
故选：B
5．(多选)点 P 是ABC 所在平面内一点,满足
PB PC PB PC 2PA 0 ,则ABC 的形状不可能是
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【详解】∵P 是 ABC 所在平面内一点，且
，∴ ， | PB PC | | PB PC 2PA | 0
例 7．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点，求：
(1) DE CB 的值；(2) DE DC 的最大值．
（2）因为 DE 1, x, DC 0,1 ，所以 DE CB 1 0 x 1 x ， 因为0 x 1， 所以 DE DC 的最大值是 1.
例 8．如图，在
(1)当 a ， b 满足什么条件时，a b a b ? (2)当 a ，b 满足什么条件时， a b a b ?
（2）由（1）可得， a b AC, a b BD a b a b ，即 AC BD ，此时四边形 ABCD 为矩 形从而可得 AB AD a b 时， a b a b .
（5）、两向量垂直的充要条件：向量 a b a •b 0
高一数学人必修件向量的减法运算
区分共线向量
共线向量具有相同的方向或相反 的方向，因此在计算共线向量的 减法时要特别注意方向问题，避 免混淆。
避免漏掉负号
在向量减法中，负号表示方向相 反，如果在计算过程中漏掉负号 ，就会导致方向错误，从而得到 错误的结果。
向量减法的性质
向量减法满足交换律和结合律，即 a - b = -(b - a)，(a - b) - c = a - (b + c)。
向量减法几何意义
几何意义
向量减法在几何上表示两个向量之间的“差异”或“相对位 置”。通过向量减法，我们可以找到一个向量相对于另一个 向量的位置和方向。
示例
在平面直角坐标系中，如果有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) ，则向量 AB = (x2 - x1, y2 - y1) 表示点 B 相对于点 A 的位 置和方向。
的问题。
05
向量减法在物理中应用举 例
力的合成与分解
力的平行四边形法则
01
两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，
这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。
力的三角形法则
02
将两个分力首尾相接，从第一个分力的起点到第二个分力的终
点的向量就是这两个分力的合力。
力的分解
03
已知一个力和两个分力的方向，根据平行四边形定则可以作出
向量减法运算律
01
交换律
向量减法不满足交换律，即 a - b ≠ b - a。这是因为向量减法的结果是
一个新的向量，其方向和大小取决于被减数和减数。
9.2.1 向量的加减法-高一数学(苏教版2019必修第二册)(解析版)
9.2.1 向量的加减法知识点一、向量加法运算1.向量加法：已知向量和，如图所示，在平面内任取一点O，作，则向量就是向量与的和，即.这种通过几何作图构造三角形计算向量加法也叫做向量加法的三角形法则.规定：.2.向量加法的平行四边形法则如图所示，以点A为起点分别作向量，以AB、AD为邻边作，则以A 为起点的对角线表示的向量就是与的和，记作.3.向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，即.特别地，当与重合时，即形成一个封闭的多边形，此时有.4.向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：.5.向量的三角不等式（1）当不共线时，；（2）当同向且共线时，有；（3）当反向且共线时，若，则与；若，则与同向，.例：如图，正方形ABCD 的边长为1，则|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|＝（ ）A ．0B ．√2C ．2D ．2√2【分析】先化简可得|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|=|AC →+BD →|，再将|AC →+BD →|平方后计算即可得解． 【解答】解：|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|=|AC →+BD →|， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC →⊥BD →，即AC →⋅BD →=0，由正方形的性质可知，对角线|AC|=|BD|=√1+1=√2， ∴|AC →+BD →|2=AC →2+2AC →⋅BD →+BD →2=2+2=4， ∴|AC →+BD →|=2． 故选：C ．【点评】本题考查平面向量的加法，模长的计算，同时还涉及了两向量垂直的性质，属于基础题． 知识点二、向量减法1. 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－. （1）零向量的相反向量仍是零向量； （2）若互为相反向量，则有.2. 向量减法：若，则向量就叫做与的差，记作.两个向量的差仍是一个向量.3. 对向量减法的理解（1）两个向量的与的差可以理解为与的相反向量的和，即；（2）已知向量与，如图所示，在平面内任取一点O ，作，则.方法：把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量.（共起点，连终点，指向被减）. 例：化简AC →−AB →=（ ） A ．BC →B ．CA →C ．CB →D ．0→【分析】根据向量减法的几何意义即可得出AC →−AB →=BC →． 【解答】解：AC →−AB →=BC →． 故选：A ．【点评】考查向量减法的几何意义．巩固练习一．选择题（共7小题）1．在△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=（ ） A ．56AC →+23AB →B ．−16AC →+23AB →C ．56AC →+AB →D ．−56AC →+43AB →【分析】直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可． 【解答】解：如图：∵△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=DA →+AE →=−12AC →+AB →+BE →=−12AC →+AB →+13BC →=−12AC →+AB →+13（AC →−AB →）=−16AC →+23AB →； 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是向量加减运算及数乘运算的几何意义，向量加法和向量减法的三角形法则． 2．如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →=（ ）A ．AC →−AD →B ．2AC →−2AD →C ．AD →−AC →D ．2AD →−2AC →【分析】根据条件可得出CD ∥AB ，AB ＝2CD ，从而得出AB →=2CD →=2AD →−2AC →． 【解答】解：∵C ，D 是半圆弧的两个三等分点， ∴CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，∴AB →=2CD →=2(AD →−AC →)=2AD →−2AC →． 故选：D ．【点评】考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．3．如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点，设向量BC →=a →，BA →=b →，则CF →=（ ）A ．−14a →+32b →B ．34a →+32b →C ．−34a →+54b →D ．14a →+54b →【分析】由条件可得BD ∥AE ，且BD ＝2AE ，然后根据CF →=CB →+BA →+AF →=−BC →+BA →+12AE →可进一步将CF →用BC →和BA →表示．【解答】解：连接BD ，∵四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点， ∴BD ∥AE ，且BD ＝2AE ，∴CF →=CB →+BA →+AF →=−BC →+BA →+12AE →=−BC →+BA →+14BD →=−BC →+BA →+14(BC →+BA →)=−34BC →+54BA →．∵向量BC →=a →，BA →=b →，∴CF →=−34a →+54b →．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量基本定理和向量的运算，考查了运算能力，属基础题． 4．如图，△ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG →=（ ）A ．12AB →+12AC →B ．13AB →+23AC →C ．13AB →+13AC →D ．23AB →+13AC →【分析】根据题意即可知道，G 为△ABC 的重心，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义即可得出AG →=13AB →+13AC →．【解答】解：据题意得，G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AE →=13AB →+13AC →．故选：C ．【点评】考查重心的性质，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义．5．△ABC 所在平面上一点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →，则△P AB 的面积与△ABC 的面积比为（ ） A ．2：3B ．1：3C ．1：4D ．1：6【分析】如图所示，由于点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →，可得PA →+PC →=AB →−PB →=AP →，化为PC →=2AP →．即可得到△P AB 的面积与△ABC 的面积比＝AP ：AB ． 【解答】解：如图所示，∵点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →， ∴PA →+PC →=AB →−PB →=AP →， ∴PC →=2AP →．∴△P AB 的面积与△ABC 的面积比＝AP ：AC ＝1：3． 故选：B ．【点评】本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于中档题．6．在△ABC 中，AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（ ）A ．23b →+13c →B ．12b →+12c →C ．13b →+23c →D ．13b →+43c →【分析】由AD →=AB →+BD →，BD →=12DC →=13BC →，BC →=AC →−AB →，代入化简即可得出．【解答】解：∵AD →=AB →+BD →，BD →=12DC →=13BC →，BC →=AC →−AB →，∴AD →=23AB →+13AC →=23c →+13b →，故选：C ．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AB →+AC →=AD →B ．AB →−AC →=BC →C ．AB →+DC →=AD →D ．AB →−DC →=BC →【分析】利用平面向量的三角形法则对选项分别分析选择． 【解答】解：由已知及图形得到AB →+AC →=2AD →，故A 错误； AB →−AC →=CB →；故B 错误；AB →+DC →=AB →+BD →=AD →；故C 正确； AB →−DC →=AB →−BD →≠BC →故D 错误； 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则的运用；注意向量的起点与终点位置；属于基础题． 二．多选题（共3小题）8．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB →=DC →B ．AD →+AB →=AC →C ．AB →−AD →=BD →D ．AD →+CB →=0→【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A 和D 答案，B 符合平行四边形法则．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，根据向量的减法法则知AB →−AD →=DB →， 所以结论中错误的是C ． ABD 均正确． 故选：ABD ．【点评】数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB →+AD →=AC →B ．AC →+CD →+DO →=OA →C ．AB →+AD →+CD →=AD →D ．AC →+BA →+DA →=0【分析】根据向量加法的平行四边形法则、向量加法的几何意义以及相反向量的定义即可判断每个选项的正误．【解答】解：根据向量加法的平行四边形法则知AB →+AD →=AC →，∴A 正确； AC →+CD →+DO →=AO →，∴B 错误；AB →+AD →+CD →=AC →+CD →=AD →，∴C 正确； AC →+BA →+DA →=BC →+DA →=0→，∴D 错误． 故选：AC ．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，AD 与BC 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →−AC →=12AB →B ．AB →+BC →+CD →+DA →=0→C ．|OA →+2OD →|=0D ．OA →=23DC →+13DB →【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量的模的应用求出结果． 【解答】解：如图所示：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，所以：对于选项A ：AD →−AC →=CD →=12AB →，故选项A 正确．对于选项B ：利用向量的线性运算AB →+BC →+CD →+DA →=0→．故选项B 正确． 对于选项C ：由于DO AO=12，所以OA →+2OD →=0→，故|OA →+2OD →|=|0→|=0，故选项C 正确．对于选项D ：OA →=23DA →=23(DC →+CA →)=23(DB →+2DC →)=23DB →+43DC →，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 三．填空题（共4小题）11．在矩形ABCD 中，|AB →|＝2，|BC →|＝4，则|CB →+CA →−DC →|＝ 4√5 ．【分析】可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则即可得出CB →+CD →=CA →，从而得出CB →+CA →−DC →=CB →+CD →+CA →=2CA →，在R t △ABC 中，根据条件可求出|CA →|=2√5，从而可求出|CB →+CA →−DC →|=4√5． 【解答】解：如图，CA →=CB →+CD →；∴CB →+CA →−DC →=CB →+CB →+CD →+CD →=2(CB →+CD →)=2CA →； ∵|AB →|=2，|BC →|=4； ∴|CA →|=√20=2√5；∴|CB →+CA →−DC →|=2|CA →|=4√5． 故答案为：4√5．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念，以及勾股定理． 12．计算 4（a →+b →）﹣3（a →−b →）−b →= a →+6b →． 【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出【解答】解：4（a →+b →）﹣3（a →−b →）−b →=（4﹣3）a →+（4+3﹣1）b →=a →+6b →， 故答案为：a →+6b →【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题 13．AB →+DA →+BD →−BC →−CA →= AB →．【分析】首先利用平面向量的三角形法则，将各向量的顺序调整为首尾相连，然后进行运算即可． 【解答】解：AB →+DA →+BD →−BC →−CA →=AB →+BD →+DA →−(BC →+CA →)=0→−BA →=AB →； 故答案为：AB →．【点评】本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题．14．已知OM →=23OA →+13OB →，则AM →= 13AB →．【分析】设AM →=k AB →，化为OM →=(1−k)OA →+k OB →，与OM →=（1−13）OA →+13OB →比较，可得k ．【解答】解：设AM →=k AB →， 则OM →−OA →=k(OB →−OA →)，化为OM →=(1−k)OA →+k OB →，与OM →=（1−13）OA →+13OB →比较，可得k =13，∴AM →=13AB →． 故答案为：13．【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四．解答题（共4小题）15．如图，已知向量a →，b →，请化简并求作出向量：（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）．【分析】根据向量的数乘运算去括号，再由加减运算化简即可．【解答】解：（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）＝3a →−2b →−2a →−b →=a →−3b →． 作出向量（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）如下图：【点评】本题考查平面向量的线性运算．16．计算下列各式：（1）3（2a →−b →）﹣2（4a →−3b →）；（2）13（4a →+3b →）−12（3a →−b →）−32b →； （3）2（3a →−4b →+c →）﹣3（2a →+b →−3c →）．【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：（1）3（2a →−b →）﹣2（4a →−3b →）=6a →−3b →−8a →+6b →=−2a →+3b →；（2）13（4a →+3b →）−12（3a →−b →）−32b →=43a →+b →−32a →+12b →−32b →=−16a →； （3）2（3a →−4b →+c →）﹣3（2a →+b →−3c →）=6a →−8b →+2c →−6a →−3b →+9c →=−11b →+11c →．【点评】本题考查了向量的线性运算，属于基础题．17．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →=a ，BC →=b ，OD →=c ，证明：c +a −b =OB →．【分析】利用平行四边形ABCD 的性质找出相等的向量，再利用向量的运算性质：MN →+BP →=MP →和 MN →=−NM →，化简等式的左边．【解答】解：∵O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，AB →=a ，BC →=b ，OD →=c ， ∴c →+a →−b →=OD →+AB →+CB →=OD →+DC →+CB →=OC →+CB →=OB →，∴c +a −b =OB → 成立．【点评】本题考查2个向量加减法的混合运算及其集合意义，注意利用：MN →+BP →=MP → 和 MN →=−NM →．18．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →=a →，AC →=b →，试用a →，b →表示向量AO →．【分析】延长AO 交BC 于点E ，利用重心定理及其向量的平行四边形法则可得：点E 为BC 的中点，AO →=23AE →，AE →=12(AB →+AC →)，即可得出． 【解答】解：延长AO 交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点．∴AO →=23AE →，AE →=12(AB →+AC →)． ∴AO →=23×12×(a →+b →)=13a →+13b →． 【点评】熟练掌握重心定理及其向量的平行四边形法则是解题的关键．。
高一下数学投影向量知识点
高一下数学投影向量知识点投影向量是高中数学中的一个重要概念。
在几何学中，投影指的是将一个向量投射到另一个向量上的过程。
而投影向量则是由这个过程得到的向量。
在数学上，我们可以利用向量的投影来解决各种问题。
下面，我们将探讨一些高一下学期的数学中常见的投影向量知识点。
一、向量的定义与运算首先，我们需要了解向量的基本概念与运算。
向量可以表示为有方向和大小的量，通常用箭头表示。
例如，向量AB可以记作→AB。
在向量的运算中，我们可以进行加法、减法和数乘操作。
向量的加法满足交换律和结合律；向量的减法可以通过取负和加法来实现；数乘操作即将向量的大小乘以一个实数。
二、向量的模与方向角向量的模指的是向量的长度，记作|→AB|或AB。
在二维空间中，向量的模可以通过勾股定理求得。
而在三维空间中，向量的模可以通过勾股定理的拓展形式计算。
另外，向量的方向角表示向量与某一坐标轴的夹角。
三、向量的投影接下来，我们来介绍向量的投影概念。
给定两个非零向量→a和→b，我们可以将向量→a在→b上投影，得到一个新的向量→p。
投影向量→p的大小等于向量→a在→b上的投影长度，方向与→b相同。
投影向量可以用几何和代数的方法进行求解。
几何方法中常用的是正投影和斜投影，而代数方法中常用向量的数量积进行求解。
例如，待求投影向量→p的大小可以通过将→a与→b的数量积除以→b的模求得。
四、向量的正交与平行正交和平行是向量中的重要性质。
两个向量正交指的是它们的夹角等于90度。
两个向量平行指的是它们的方向相同或相反。
当两个向量正交时，它们的数量积为0；当两个向量平行时，它们的向量积为0。
五、向量的垂直分解与单位向量向量的垂直分解是指将一个向量投射到两个相互垂直的向量上的过程。
给定一个向量→a和两个相互垂直的单位向量→u和→v，我们可以将向量→a分解为两个分量，分别在→u和→v方向上。
垂直分解可以通过向量的投影运算实现。
单位向量是指模为1的向量，我们可以通过将向量除以其模得到单位向量。
高一数学空间向量及其加减运算
㈦巩固： 1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别 是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量 A （1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC） （3）AG – ½（AB+AC）
解： （1）AB+BC+CD =AD
B （2）AB+1/2（BD+BC）=BG （3）AG – ½ （AB+AC）= MG M C
B1
C1 F D C
2 B
A
2
； 红包群 / 红包群 ；
更为恐怖の战斗力/疯狂の冲杀而去/ 马开战咯抪知道多久/它进入咯壹种可怕の境地/整佫人身上光华璀璨/额头青莲颤动/疯狂の与之对决/马开の身体内血气鼓荡/都有着雷霆轰鸣/ 马开周身多处有着伤势/血液流淌出来/但这丝毫没有影响马开の战斗力/马开の气势越来越强/ 五只雄狮也越来越恐 怖/它们终于按耐抪住/动用咯圣术/这只壹种恐怖の圣术/金色の光华闪烁/它们の气势冲击舞动/如同天地圣兽/气势逼人/力量浩瀚无边/ 恐怖の力量腾起/覆盖这壹片虚空/滂湃の力量把这里壹切都给摧毁/ 这确定恐怖の圣术/纹理闪动符文璀璨/强大而非凡/都镇压马开而下/ 此刻五只雄狮/真の有 战少年至尊の实力/它们同时攻击而来/马开身体绷紧/眼睛射出璀璨の光华/整佫人如同壹柄出鞘の天剑/浑身上下无敌の气势暴动而出/元灵颤动/血液沸腾浩瀚如雷/青莲颤动/气海中の力量疯狂の冲向马开の肉身/混沌青气此刻凝聚成青精/冲上马开の手臂/ 即使以此刻达到咯极限の肉身/这时候也 感觉手臂要炸裂开来/元灵和各种力量交织到壹起/恐怖の战意灌输到其中/壹股无可匹敌の刚猛从其中爆射而出/ 这确定何等の恐怖/马开の肉身都难以承受/有血液从手臂渗透出来/ 所有の壹切都黯然失色/天地间只有马开の拳头
高一数学向量知识点
第五章知识点回顾一、本章知识1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.3.向量的运算 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的 减法 三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积a b •是一个数1.00a b ==或时，0a b •=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=且时，1212a b x x y y •=+a b b a •=•()()()a b a b a b λλλ•=•=•()a b c a c b c +•=•+•2222||||=a a a x y =+即||||||a b a b •≤4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+ 二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。
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短短一月中，从全国奔赴疫区的医者，已逾三万。加上武汉、湖北自己的从业者，这是多么庞大的一个医者作战军团哪！并且还在集结，还在驰援。灾害面前，我们再一次看得如此真切：大爱是医 者。人间也需要大爱自己的医获曹禺戏剧文学奖，文华编剧奖，茅盾文学奖。创作有《迟开的玫瑰》《大树西迁》《西京故事》等戏剧作品数十部，出版长篇小说《西京故事》《装台》《主角》。 2007~2009年，在《美文》写作《说秦腔》专栏。
尤其是护士这个“提灯天使”职业，听医界的朋友讲，几乎家家医院都有大量缺口。“女孩子们都不愿干这个了！”而这次疫情，有那么多美丽天使，在毅然向前。镜头前，我们看到大量的巾帼， 在慷慨赴难。这是怎样一种泪崩的场面哪！泪崩在一个高度“自恋”的年代，还有这么多青年在舍己“怜他”，仁者爱人。中国最知名的大医林巧稚，一生像天使一样迎接来五万多个新生命，被誉为 “万婴之母”。她最温暖的动作，就是每次进病房前，都要把听诊器在手心捂热，然后才搭在患者的胸口和肚皮上。这个动作已成为千千万万从医者的“下意识”动作，它也应该成为患者——我们所有 人的“下意识”行为：在面对他人时，先捂热自己的手心。博狗体育官网