第四节 用描述函数法分析非线性系统2003
非线性系统的描述函数分析
12
（3）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
a点对应自持振荡
G( j)
b
1
a
A N ( A)
-20 -200°
-160°
-120°
-80°
13
（4）
b、d点对应Biblioteka 定自持振荡dB20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
-20
-200°
a
cb
d
点轨迹线 1 ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
自持振荡。
4
Im
1 N ( A)
A
0
G( j)
非线性系统稳定 不产生自持振荡
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
5
（2） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
始终位于曲线 G( j) 的右侧，即曲线 G( j)包围临界
9
注释
自持振荡的振幅
A0
是两条曲线交点处函数
1 N ( A)
的自变元 A 的值；
自持振荡的角频率 0 是两条曲线交点处函数 G( j)
的自变元 的值。
对应于自持振荡（极限环）的交点！
10
Nichols图中的非线性系统稳定性判据
（1）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
即系统存在一个振幅为 A0、角频率为0 的等幅振荡，
或者说非线性系统的自持振荡。
这相当于线性系统开环频率特性 G( j) 通过其
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数
非线性特性的描述函数的共同点
1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数：
2）非线性的描述函数可叠加、即
y y1 y2
设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）
N(A) N1(A) N2 (A)
N1 N2
N1( A) N 2 ( A)
非线性系统与线性系统的差异
b点为稳定自振交点。
a点:不稳定自振交点 b点:稳定自振交点 c点:不稳定自振交点
典型非线性系统的稳定性
具有饱和特性的非线性系统 具有死区特性的非线性系统 具有间隙特性的非线性系统 具有理想继电器特性的非线性系统 具有滞环继电器特性的非线性系统
具有饱和特性的非线性系统
1
N ( A) 2k[sin 1 a a 1 ( a )2
ImG( j) 0
2
ReG( j) |
2
3K
4 52 4 |
2
1 N ( A)
Re G( j) |
0.5
2
K=3
非线性系统的校正
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
！改变G(j ) ！改变N(A)
① K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l，试分析系统稳定性； ②如果系统出现自持振荡，如何消除之？
b Ab
具有理想继电器特性的非线性系统
1 A N(A) 4M
负倒描述函数轨迹为整个负实轴
1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点
2）如有数个交点 必有稳定的自振交点
具有滞环继电器特性的非线性系统
1 A (180 0 sin1 h )
N ( A) 4M
自动控制原理(黄家英)第二版课后答案-10
1 x 1 的t值，因此上式 1 不存在使x x x 1 ，并当： 0 1，x
0 t 定的也可能是不稳定的； e x 1 0 x 0 即：t ln 时,x 。 平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与 x0 1 7 系统的初始条件有直接的关系。
14
(4) 继电器特性
y (t ) y (t )
x(t)
x(t)
具有滞环的继电器
M x 0: y 0 M M . x 0: y 0 M
.
x h2 h2 x h1 x h1 x h1 h1 x h2 x h2
2.等倾线法
（3）α取不同值时，画 出若干不同的等倾线，在 每条等倾线上画出表示斜 率为α的小线段，构成相 轨迹的切线方向场 （4）从相轨迹的初始状 态点按顺序将各小线段连 接起来，就得到了所求的 相轨迹 。
10.1.2非线性控制系统的特点
• (3)可能存在自持振荡（极限环）现象
– 自持振荡：指没有外界周期变化信号的作用时，系统 内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。 – 线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳 定的情况下才能产生周期运动。而这一周期运动是物 理上不可能实现的 – 非线性系统，在没有外作用时，可能会发生一定频率 和振幅的稳定的周期运动，即自持振荡，这个周期运 动在物理上是可以实现的。 长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多 数情况下不希望系统有自振发生 自持振荡是某些非线性系统的重要特征，也是研究非线性 8 系统的一个重要内容
相轨迹的基本特征： (3)相轨迹的运动方向
0 — 向右移动 上半平面: x 0 — 向左移动 下半平面: x
江苏省自学考试大纲 27235 自动控制原理
高纲0945江苏省高等教育自学考试大纲27235自动控制原理苏州大学编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一、课程性质及其设置目的与要求（一）课程性质和特点《自动控制原理》课程是我省高等教育自学考试电气工程及自动化等专业的主要技术基础课之一。
它紧密围绕自动控制系统的基本理论与应用，介绍控制系统的物理概念和分析设计方法，是一门理论性和实用性较强的课程。
通过本课程的学习，要求学生掌握自动控制的基本概念；对自动控制系统的基本工作原理、数学模型有明确的了解；熟练掌握自动控制系统的分析方法，包括时域法、频域法和根轨迹法；能够根据对系统提出的性能指标要求进行系统综合与校正；对非线性系统和离散系统具有基本的分析与综合能力。
为我国培养专业的控制工程技术与管理人才。
（二）本课程的基本要求掌握自动控制的一般概念，包括负反馈控制原理、自动控制系统的基本控制方式、控制系统的组成、分类以及对控制系统的基本要求。
掌握建立控制系统的数学模型的主要方法。
包括传递函数的定义和性质；传递函数与微分方程间的关系，求出系统传递函数的主要方法等。
线性系统的时域分析法。
掌握控制系统稳定性概念，稳定性分析与应用的基本方法；控制系统稳态误差的分析与计算方法；二阶系统时域分析与计算方法，高阶系统时域分析与估算方法。
线性系统的根轨迹分析法。
掌握根轨迹的基本概念、绘制法则与应用；广义根轨迹的概念，了解应用根轨迹对控制系统性能进行分析与估算的方法。
线性系统的频域分析法。
掌握线性控制系统频率特性的基本概念和主要表示方法，掌握奈氏稳定判据的原理和应用，控制系统的相对稳定性概念，以及相位裕度、幅值裕度的分析和计算方法；用频域法分析系统的稳定性和其它特性；了解频域指标与时域指标的对应关系等。
线性系统的校正。
领会控制系统串联校正、反馈校正的原理和方法；了解常用校正网络的频率特性及其作用；掌握用频率响应法设计串联校正的原理和方法。
线性离散系统的分析。
了解离散系统的基本概念、采样系统与连续系统的区别与联系；掌握离散控制系统的数学模型---脉冲传递函数的定义和求法；了解离散系统稳定性、稳态误差及动态性能的分析方法。
非线性系统的描述函数法126页PPT
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
非线性系统的分析
带死区的继电特性，将会增加系统的定 位误差，对其他动态性能的影响，类似 于死区、饱和非线性特性的综合效果。
式中
a — —继电器吸合电压； ma — —继电器释放电压； M — —常值输出。
当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦 称零值切换，又称理想继电器特性，如 图7-1-5a所示。
增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也 是稳定系统 。
当x0 1时， 线性系统的响应仍与 x0 1时一样。
但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散
到。系统呈不稳定状态。
2、系统的自持振荡
在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定 振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。
例 7-1-2 范德波尔方程是
如图7-1-4c所示，其数学描述是
kxt a
yt kxt a
c sgn xt
•
y(t) 0
•
y(t) 0
(7-1-5)
•
y(t) 0
式中 a — —间隙宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
间隙（回环）特性的影响
降低了定位精度，增大了系统的静差。
使系统动态响应的振荡加剧，稳定性 变坏。
图 7-1-1 b) 弹簧力的非线性特性
考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：
m
d2y dt 2
fv
dy dt
kyy
F
(7-1-1)
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为
m
dn dt
y
n
h t, yt, dyt
dt, d 2 yt
分析非线性系统的方法
非线性系统稳定性问题的判定方法和发展趋势任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。
所以，当系统承受干扰之后，能否稳妥地保持预订的运动轨迹或者工作状态，即系统的稳定性是首要考虑的。
一个系统的稳定性，包括平衡态的稳定性问题和任一运动的稳定性问题。
而对于给定运动的稳定性可以变换成关于平衡点的稳定性问题。
对平衡点的稳定性进行分析可将平衡点的稳定性定义为李雅普诺夫稳定、一致稳定、渐进稳定、一致渐近稳定、按指数渐进稳定和全局渐进稳定，除了全局渐进稳定，其他都是局部的概念。
非线性系统的数学模型不满足叠加原理或其中包含非线性环节。
包括非本质非线性（能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性）和本质非线性（用小偏差线性化方法不能解决的非线性）。
它与线性系统有以下主要区别：1．线性控制系统只能有一个平衡点或无穷多的平衡点。
但非线性系统可以有一个、二个、多个、以至无穷多个平衡点。
非线性系统与线性定常系统明显不同，其稳定性是针对各个平衡点而言的。
通常不能说系统的稳定性如何，而应说那个平衡点是稳定的或不稳定的。
2．在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。
非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。
由于非线性控制系统与线性控制系统有很大的差异，因此，不能直接用线性理论去分析它，否则会导致错误的结论。
对非线性控制系统的分析，还没有一种象线性控制系统那么普遍的分析、设计方法。
现代广泛应用于非线性系统上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性，还有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等。
这些方法分别在一定的假设条件下，能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息。
而计算机技术的迅速发展为分析和设计复杂的非线性系统提供了有利的条件。
另外，在工程上还经常遇到一类弱非线性系统，即特性和运动模式与线性系统相差很小的系统。
对于这类系统通常以线性系统模型作为一阶近似，得出结果后再根据系统的弱非线性加以修正，以便得到较精确的结果。
03非线性分析要点
第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。
如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。
2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。
C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。
2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。
结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。
A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。
C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。
D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。
应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。
3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。
非线性系统
４.逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并 以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究 非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系 统控制研究的一个发展方向。
三、常见非线性特性及其对系统运动的 影响
• 死区特性一般是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区所 造成的。死区特性如图７-１所示。
• １.描述函数的定义 • 若含有非线性环节的控制系统经过适当的变换，简化成一 个非线性环节Ｎ（Ａ）和线性部分Ｇ（ｓ）串联连接的典 型结构形式，如图７-５所示
• ２.描述函数的求取步骤
• １）取输入信号为ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ，根据 非线性环节的静态特性绘制出输出非正弦周期信号 的曲线形式，根据曲线形式写出输出ｙ（ｔ）在一 周期内的数学表达式 • ２）据非线性环节的静态特性及输出ｙ（ｔ）的 数学表达式，求相关系数Ａ１、Ｂ１。 • ３）用式（７-８）计算描述函数。
2 2 2M m h h 1- ＝ 1- A A
• 3） 死区滞环继电特性的描述函数为
2 2 2M mh 2Mh h 1- N ( A)＝ 1 - j 2 (m - 1) A A A A≥h A • 取h=0可得理想继电特性的描述函数为
A1
1
2 0
y (t )costdωt
2பைடு நூலகம்
2
1
Mcostd t
2Mh (sin 2 sin 1 ) (m-1) A
2M
B1
2
0
y (t )sintdt
2M
2
自控理论 8-4用描述函数法分析非线性系统
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。 非线性系统如图8 27（ 所示。
（ 1） 当 K=15时， 判断自振荡的性质 ， 求出自 15时 判断自振荡的性质， 振荡的振幅及频率。 振荡的振幅及频率。 （2）线性部分的放大倍数K取何值时，该系统 线性部分的放大倍数K取何值时， 处于稳定状态。 处于稳定状态。
−
N
G (s )
c (t )
图8-24 非线性系统的典型结构
对于非线性系统的分析， 对于非线性系统的分析，首先考虑和关心的是 系统的稳定性及能否产生自振荡。 系统的稳定性及能否产生自振荡。而描述函数法对 系统的稳定性、产生自振荡的条件、 系统的稳定性、产生自振荡的条件、自振荡的振幅 及频率、消除自振荡的途径等问题， 及频率、消除自振荡的途径等问题，都给出较为符 合实际的结果。 合实际的结果。 自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡，与 自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡， 外加的给定信号及干扰信号无关，因而可以认为。 外加的给定信号及干扰信号无关，因而可以认为。 假设自振时非线性元件的输入信号为一正弦信号， 假设自振时非线性元件的输入信号为一正弦信号， 则其输出信号是一非正弦信号， 则其输出信号是一非正弦信号，其中包括基波及高 次谐波。但是一般来说，高次谐波的幅值较小， 次谐波。但是一般来说，高次谐波的幅值较小，且 通过具有低通滤波特性的线性部分后， 通过具有低通滤波特性的线性部分后，高次谐波将 进一步被衰减。 进一步被衰减。
因此， 因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 恰与前面的假定相吻合。因此， 恰与前面的假定相吻合。因此，自振荡时可认为系 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 在上述的条件下， 在上述的条件下，可以用非线性环节的描述函 数近似表示非线性环节的特性， 数近似表示非线性环节的特性，线性环节的特性可 用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图8用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图 25所示。 所示。 所示
自动控制原理第七章复习进程
y B
-c
0
c
x
-B
图7-01 饱和非线性
死区非线性
一般的测量元件、执行机构均具有不灵 敏区特性。某些检测元件对于小于某一值的 输入量没有输出信号；某些执行机构在输入 信号小于特定范围时不会有输出动作，只有 在输入信号大于特定范围时才会有与输入成 线性关系的输出。这种只有当输入量超过一 定值后才有输出的特性称为死区非线性或不 灵敏区非线性，如图7-02所示。
y B
- c - mc 0 mc c x -B
y B
-c 0 c
x
-B
图7-03 三位置继电非线性与两位置继电非线性
y B
-c
0c
x
-B
y B
0பைடு நூலகம்
x
-B
图7-04 理想三位置继电非线性与理想两位置继电非线性
间隙非线性
对于某一控制环节，当其输入量的变化 方向改变时，其输出量保持不变，直到输入 量的变化超出一定数值后，输出量才跟随输 入量线性变化，这就是间隙非线性的特性， 如图7-05所示。一般机械传动中的齿轮传动 总存在间隙非线性。
二、典型非线性特性
实际自动控制系统中的非线性特性是各 种各样的。工程中常见的典型非线性特性有 以下几种：
饱和非线性 死区非线性 死区饱和非线性 继电非线性 间隙非线性
饱和非线性
在实际工程中应用的比例环节，如果在 一定的输入范围内可保持输出量与输入量之 间的线性比例关系；当输入超出规定的范围 时，其输出保持为一个常值。这种特性我们 称为饱和非线性特性，如图7-01所示。所规 定的输入范围区域叫做线性范围，线性范围 以外的区域叫做饱和区。
西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数
B 若某非线性为 y(t ) y1(t ) y2 (t )
y1(t) f1[ x(t)]
N1( A)
y2(t) f2[ x(t)]
N2 ( A)
则有 N ( A) N1( A) N2( A)
五、典型非线性特性的描述函数
非线性环节特性描述函数的特点
例 如图的非线性特性是理想继电特性和线性特性K 之和。
A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
0
1
2
2 0
1 2
Asint
1 4
(
Asint
)3
costdt
0
1
B1
2
y(t ) s intdt
0
1
2 0
1 2
Asint
1 4
(
Asint
)3
sintdt
4
2 0
1 2
Asin2 tdt
2 0
非线性系统的分析方法
coskwtd(wt)
(2 3)
G( jw)具有低通率波性,
x2 B1 sin wt C1 coswt
(2 4)
即:x2 (t) x2 sin(wt N )
(2 5)
其中: x2
B12 C12
N
tg 1 C1 B1
在此意义上,可用频率特性方法表示N ( A)特性,即：
N ( A)
当x1 Asin wt, 则x2 f ( Asin wt). 将x2展成傅里叶级数：
n
x2 x0 (Bk sin kwt ck coskwt) k 0
(2 1)
则: x0
x2 (t)dt
0
(关于原点对称)
(2 2)
Bk
2
0
x2
(t)
sin
kwtd(wt
)
2
Ck
0
x2
(t)
(3) 李亚普诺夫方法：只能分析系统稳定性，但非线性系 统的李亚普诺夫函数很难找，使用受到限制。
(4) 频率特性法：只适用于一类特殊的非线性系统，类似 (1).
2 描述函数法
2.1 描述函数及其求法 一、 确定非线性元件描述函数的要求与方法。 二、典型非线性元件的描述函数。
2.2 利用描述函数法研究非线性系统 一、自振的判定 二、怎样确定自振点的A和W.
x2
(t
)
kk
a As
in
wt
ka
kAsin wt
0 wt wt , wt wt 2 2 wt 2
③ 按公式计算B1、C1(x2和N )
4) 系统结构实例：
5) 影响的定性分析：（考虑特殊的的情况）
使 ess增加，即这种情况下，一般ess 不可能为零。
非线性控制系统分析讲解
HEFEI UNIVERSITY自动控制原理小论文项目名称：非线性控制系统分析制作人：程康 1205012023 12电子2班指导教师：储忠完成时间：2015年7月1号一、主要内容（1）典型非线性特性（2）描述函数（3）描述函数法二、基本要求（1）了解几种典型非线性特性、非线性系统的特点以及分析方法。
（2）理解描述函数的应用条件、定义和求法。
（3）熟练掌握几种典型非线性环节的描述函数，并会运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数。
（4）掌握运用描述函数法分线性系统的稳定性和自振荡的方法，并能计算自振荡的振幅和频率。
三、内容提要1、典型非线性特性（1）非线性系统的特点①叠加原理无法应用于非线性微分方程中。
②非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。
③线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态无关，而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。
④有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的自激振荡或极限环。
（2）典型非线性特性2、描述函数（1）描述函数的定义类似于线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用)(A N 来表示。
11212111)(B A arctgAB A e AYA N j ∠+==ϕ （2）描述函数的应用条件①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N 和一个线性环节)(s G 串联的闭环结构。
②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即)()(x y x y --=，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。
③系统的线性部分)(s G 具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。
（3）描述函数的求法描述函数求解的一般步骤是：①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的)(t y 的数学表达式。
第四节 非线性回归模型的参数估计 (赵)
（2）利用NLS命令也可以估计可线性化的非线性回归 模型；例如，对于倒数变换模型和对数函数模型，可 以直接键入： NLS NLS Y＝C(1)＋C(2)／X Y＝C(1)＋C(2)*log(X)
但迭代估计是一种近似估计，并且参数初始值和误差 精度的设定不当还会直接影响模型的估计结果。因此， 对于可线性化的非线性模型，最好还是将其转化成线 性模型进行估计。
我国国有工业企业生产函数（ ）。例 例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾估计 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数，现建立 Cobb-Dauglas）生产函数： C-D（Cobb-Dauglas）生产函数： 转化成线性模型进行估计： （1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数， 在模型两端同时取对数，得： lny=lnA+αlnL+βlnK+ε 因此， Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令 软件的命令窗口中依次键入以下命令： 因此，在Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令： GENR LNY = log(Y) GENR LNL = log(L) GENR LNK = log(K) LS LNY C LNL LNK
例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾 估计出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 现建立C-D（Cobb-Dauglas）生产函数：
Y = ALα K β eε
（方法1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数，得：
ln y = ln a + α ln 窗口中点击Procs\ Make Equation； （2）在弹出的方程描述对话框中输入非线性回归 模型的具体形式： Y= C(1)*(X-C(2))/(X-C(3)) （3）选择估计方法为最小二乘法后点击OK。 说明： （1）在方程描述窗口中点击按纽Options，可以设置迭 代估计的最大迭代次数（Max Iterations）和误差精度 （Convergence），以便控制迭代估计的收敛过程。
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2. 非线性系统的稳定性分析
r(t)=0
x(t)
y( t ) N (X) G(jw)
c( t )
由结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性为
( j ) C ( j ) N ( X )G( j ) R( j ) 1 N ( X )G( j )
而闭环系统的特征方程为
或
G ( j )
G( j) 扰动使X M1移到a 进入稳定区X 回到M1点 M1点 : 扰动使X M1移到b 进入不稳定区X 回到M1点
扰动使X M 2移到c 进入不稳定区X 移到M1点 M 2点 : 扰动使X M 2移到d 进入稳定区X 左移
1 G ( j 0 ) ( 2q 1)
( q 0,1)
1 即 N ( X 0 )G ( j 0 ) 1 或 G ( j 0 ) N(X0 )
Im
M1点是稳定的自振荡。M2 是不稳定的振荡点。
a -1/N(X) d M2
M1
0
Re
b
c
对于稳定的自振荡，其振幅和频 率是确定的，并可以测量得到。 计算时: 振幅可由1/ N(X)曲线的自变量 X 的大小来确定， 振荡频率由G( j)曲线的自变量 来确定。
存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡
的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。
对图8-32所示的非线性系统，多个线性环节与非
线性环节相间排列，一般难于变换成典型结构，对 此类系统的分析比较麻烦，在此不再赘述。
作业
8-A-2
8 - A - 11
A(g)
Im
-1
c
0
Re
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s) Re [G( j)] =1.414= 1.66
1 X 1.66 N(X ) 4
G( j)
X=2.1
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
（1）当K=15时，判断自振荡的性质，求出自
k 15 50
1
在交点处有
1 N(X )
-1/N（X）=Re[G(jω)]
4[sin 1 1 1 1 1 ( )2 ] X X X 1
得：X≈2.5 当K=15时，自振荡的振幅X≈2.5，
振 荡 角 频 率 50 7.05 ( s 1 )
频率特性在非线性系统 中的推广
2
非线性系统方框图 r(t)=0 x
描述函数
频率特性
y N(X) G(jw)
c
前提条件
（1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N和一个 线性部分G(s)串联的闭环结构。 （2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
1 N( X )G( j) 0
1 N(X )
式中1/N(X)叫做非线性特性的负倒描述函数(负倒特性曲线)。
对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足G( j) = 1 时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然， 1/N(X)相当于线性系统中的(1, j0)点。区别在于，线性系统的 临界状态是(1, j0)。而非线性系统的临界状态是1/N(A)曲线。
50
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统
是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
在讨论自振荡及稳定性时，只研究由系统内部造成的 周期运动，并不考虑外作用。因此，在对系统方框图进行 变换时，可以认为所有的外作用均为零。 非线性系统方框图的简化仍然遵循等效变换的原则， 下面举例说明简化的一般方法。 图8-28所示系统的两个非线性特性，可先进行叠加再 求描述函数，也可以对两个非线性特性分别求描述函数， 然后相加得总描述函数，结果相同。
解：理想继电器特性的描述函数为
4M 4 N(X ) X X1 X N(ຫໍສະໝຸດ ) 4Im -1/N(X)
10 G ( j ) j (1 j )( 2 j )
0
Re
30 10(2 2 ) 4 j 2 5 4 ( 4 5 2 4)
Im Re G( j) Im Re
-1/N(X) G( j)
0
0
-1/N(X)
6
(3) 若G(s)曲线与1/N(X)曲线相交，则在理论上将 产生等 幅振荡或称为自振荡。
Im
M1
0
Re
-1/N(X) M2 G( j)
7
在应用中为了作图方便，常采用相对描述 函数N0(x)
即
特征方程
N(x)=K0N0(x)
线性部分的频率特性为
K K [0.3 j (1 0.02 2 )] G ( j ) j (0.1 j 1)( 0.2 j 1) (1 0.05 2 0.0004 4 )
0.3 K Re [G( j )] 1 0.05 2 0.0004 4
振荡的振幅及频率。
（2）线性部分的放大倍数K取何值时，该系 统处于稳定状态。
解: (1)饱和非线性特性的描述函数
2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) ( X a) sin ( ) X X X 1 将a 1 k 2代 入 N(X ) 1 1 2 1 1 4[sin 1 ( ) ] X X X
值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知 ，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是非线 性环节的输入信号x(t)=Asint的振幅和频率，而不是系 统的输出信号c(t)。 例 具有理想继电器特性非线性系统如图所示，试确 定其自振荡的幅值和频率。
1
r(t)=0
0
c( t ) 10 s( s 1)( s 2)
K (1 0.02 2 ) Im[G( j )] (1 0.05 2 0.0004 4)
作 出 -1/N(x) 及 K=15 时 的 G(j)曲线，交点b2为稳定 的自振点，振荡的振幅及 频率可按如下方法求出：
令 得 Im[G(j)]=0
50
将 50代入 Re[G ( j )] 0 .3 K Re[G ( j )] 1 0.05 2 0.0004 4
第四节 用描述函数法分析非线性系统
内容提要 1. 2. 3. 4. 系统的典型结构及前提条件 非线性系统的稳定分析 自振荡分析 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
典型结构
r(t)=0
x
y N
G(s)
c( t )
非线性系统的分析：
稳定性 自振荡
奈奎斯特判据在非线性 系统中的推广
输出 x ( t ) X N ( X ) G ( j ) sin t 1 G ( j )
X N ( X ) G ( j ) sin t 1 G ( j )
自振荡的条件： N ( X 0 )G ( j 0 ) 1
10
Im M1
0 Re
判断自振荡的稳定性 有一个简便方法：
a
b
-1/N(X) d M2 c G( j)
若在交点处，被 G(j) 包围的 -1/N(x) 部分对应
的振幅 X 值小于未包围部分对应的 X 值，则该交点
为稳定自振点 (M1 点 ) 。若在交点处，被 G(j) 包围 的 -1/N(x) 部分对应的振幅 X 值大于未包围部分对应 的X值，则该交点为不稳定自振点(M2点) 。
(2)若使系统稳定，不产生 自振荡，可减少线性部分 的K。由图8-27(b)得知,本 系统-1/N(x)曲线位于(-∞, -0.5)区段， 当G(j)曲线通过(-0.5, j0) 点时,求kmax
0 .3 K Re[G ( j )] 1 0.05 2 0.0004 4 得 k max 7.5 0 .5
1 K 0 N 0 ( X )G ( j ) 0
1 或 K 0 G ( j ) N0(X )
图中的曲线则分别换成－1/N0(x) 与
K0G(j)，判别稳定性的方法不变。
3. 自振荡分析
x ( t )
x( t )
N ( X ) 1
-1
G( j ) G( j )
输入 x ( t ) Xsin t
综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性 判别方法：首先求出非线性环节的描述函数N(X)，然后在极坐 标图上分别画出线性部分的G( j)曲线和非线性部分的1/N(X) 曲线，并假设G(s)的极点均在s 左半平面。
(1) 若G(s)曲线不包围1/N(X)曲线，则非线性系 统是稳定的。 (2) 若G(s)曲线包围1/N(X)曲线，则非线性系统是 不稳定的。
N(X)=N1(X)+N2(X)
当两个非线性环节串联时，因为第一个环节 的输出就是第二个环节的输入，所以可以将两个
环节等效为一个环节，然后求出总的描述函数。
N(X) ≠N1×N2
图8-30所示的系统中，非线性环节被线性环节
局部反馈所包围，可将G1、G2简化成一个线性环节，
即变成典型结构形式。
图8-31所示的系统中，非线性环节位于反馈 通道之中，同样也可以将线性部分进行简化，变 成典型结构形式。