电磁学课件第八章

20 dt
0
dt
1
0r 2
r 2 d r 2
dt
1 C
q
dq dt
d dt
q2 2C
h
1。利用第二章§2 习题9和§3习题7的结果证明：在真空中
v c. 沿平行双线传输线传播的电磁波速度
平行导线之间的 单位长度电容为：c* 0 .
ln d a
平行导线之间的 单位长度的自感：L* 0 ln d a
k
2
f
t
t 2
dt 2
d 2ix
dx2
k
2ix
得：f ( A) A~e jt
it B sin n x
l
n 1,2,3...
再由 U L* i jL*~i 积分得：
x
t
U~
I~0 L*
j
l
n
cos n
l
xe jt
U~0
cos n
l
xe jt .
3。上题中若传输双线两端短路，情况如何？
求证：电磁场通过表面输入导线的功率
功率 I 2R.
E
H
I
d
等于焦耳热
由安培环路定理求解边界处
H 2r I
-
-
H I
-
2r
侧面处的能流密度s
E
H
-
由导体内E U s E H U I
-
l
l 2r
从侧面处流进总能量
s 2r l U I 2r l UI IR I I 2R. l 2r
(1)根据p E 2 0 4R2知：
u0
1
E2
p
4R 2
u0
0
4
106
4 3.14107
4 3.14 202 4 8.851012
2.72(V / m)
(2) H 2
p
4R 2
4
0 0
E2
0 0
2.72
8.85 1012 4 3.14107
7.33103( A / m)
4。设图8—19b或c中圆柱形导线长为l,电阻为R，载有电流强度I。
e
t
ds
t
ds
t
q
i I0R(t )
板间距中心r处 : B
B 2r u0
Ii
u0
ja
r 2
u0
Ia
R 2
r 2
B
u0Id r
2R 2
u0ir
2R 2
峰值B0
/ m)
8.4
H 2 s 60 1.91102 ( A / m) E 2 7.29
2。目前我国普及型晶体管收音机的中波灵敏度约为1 毫伏/米。设这收音机能清楚地收听到一千公里远某电 台的广播，假设该抬的发射是各向同性的，并且电磁 波在传播时没有损耗，问该台的发射功率最少有多大。
电台发射功率：
若短路，则满足波动方程，满足电压波动方程为：
2U x 2
Lc
2U t 2
0.
（再利用分离变量解之）
设U x,t U x f t 代入上式得：
{ d2f dt 2
k2
Lc
f t 0
d 2U1 dx2
k
2U1 ( x)
0
令 k
Lc
可得解为： f t Asint 0 利用边界条件：U1 |x0 0.得1 0
(d a).
代入平行双线传输的电磁波 v c.
切有数学物理方法导出的波速： v 1 1 c.
L*c*
00
l 2。利用电报方程证明：长度为 的平行双线（损耗可以忽略）两
端开起时电压和电流分别形成如下形式的驻波：
} U~
U~0
cos
px
l
e
jpt
,
I~
I~0
sin
px
l
e jpt ,
（p=1,2,3。。。）而谐振角频率为 p
U~0
coskx
e
jt
U~
U~0
c
os
2n
2l
1xe
jt
.
2。设电荷在半径为R的圆形平行板电容器极板上均匀分布，且
边缘效应可以忽略。把电容器接在角频率为 的简谐交流电路
中，电路中的传导电流为I0(峰值），求电容器极板间磁场强度 （峰值）的分布。
解： 板间的位移电流
Id
jd ds
p ds t
Lc
2I t 2
0.
同上述讨论：I I1x f t
可得：{
f x I1x
Asint B sink x
0 1
同理可得复解：
I~ I~1
~ f
I~0
sin
kx
e(
jt 0 )
I0 sin kx e jt
0 0
上式代入电极微分方程：U L I 0 得：U~
由于 U~x|xI~l cI~o0sckoxsx20n,2lk1tx2en2jlt .1.
l
p
. L*c*
电压，电流的波腹和波指出节的位置，以及波长的大小。[提示：假设电报方程的
解是入射波和反射波的叠加，利用两端的边界条件确定驻波的谐振频率。]
解：由电报方程满足的波动方程：2I L*c* 2I 0. （参照数学物理方法）
{ 用分离变量
法令I i(x) f (t)
L*c*
d
2
f
t
x 2
1。太阳每分钟垂直射于地球表面上每平方厘米的能量约为2卡
（1卡 4.2焦耳），求地面上日光中电场强值
s 0 E 2 u0 H 2 E 2 H 2
u0
0
E 2 4 u0
0
s
(
4 3.14107 8.851012
)
(
8.4 60
)
1 2
7.29(V
p s 4R2 Em2 in
0 4R2
u0
(103 )2
8.85 1012 4 3.14107
4 3.14(106 )2
3.3104 (W )
3。设100瓦的电灯泡将所有能量以电磁波的形式沿各方向 均匀地辐射出去，求：
（1）20米以外的地方电场强度和磁场强度的 方均根值；
（2）在该处理想反射面产生的光压。
E内 S内
H
- S外
-
-
E外
-
5。附图是一个正在充电的圆形平行板电容器，设边缘效应可以忽略i ，
且电路是似稳的。求证：
（1）坡印廷矢量 S E H 处处
S
与两极板间圆柱形空间的侧面垂直；
S
（2）电磁场输入的功率 E H d
2等1C于电ddqt容22 器, 式内中静电C能是的电增容加量率，，q是即极板上的电量。S
{ U1x Bsinkx1
得特解：U1x B
复形式特解：U~
sin n
U~l 1
x.
x
~f t
U~0
sin
n
l
U1 |xl 0.得kl n
k n
l
e jt0
n 1,2,3...
4。上题中，若传输双线一端开启，一端短路，情况若何？
可由电极方程再求导得电流的波动方程。 2 I x 2
S
S
S iS
(1)由于垂直两板面，而H由位移电流均匀分布，故H方向平行
两板而且在以中心轴为同心圆的圆周切向方向。故
方向总垂直柱形空间侧面。
EH
S
（2） r 2 d
H dt
r
d
2r 2 dt
E 0
S E H EH
r
d
20 dt
从侧面流进功率 p S 2r h r d 2r h r 2 h d