圆锥曲线最值、取值范围问题
圆锥曲线中的最值、范围
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
y
求与 y x 2 3平行的椭圆
的切线
o
x
切线与直线 y x 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点.
圆锥曲线的最值问题
方法三:
参数法
根据曲线方程的特点，用适当的参数表示 曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关 于这个参数的函数的最值的方法.
圆锥曲线的最值问题
方法一:
圆锥曲线的定义转化法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
关键：用好圆锥曲线的定义
圆锥曲线的最值问题
例1、已知点F是双曲线 x2 y2 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA
Biblioteka Baidu
y
思维导图：
把所求距离表示为椭圆
上点的横坐标的函数
A
P
x MF B
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
1．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点， 为线段 的中点，则（）
A．以线段 为直径的圆与直线 相离B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．当 时， D． 的最小值为4
例2．
2．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_______， 的最小值为______．
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
（3）不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明．
二、思维导图
求解圆锥曲线最值的思维导图如下：
最大最小为最值，单调二次不等式，几何有界也有用，具体问题再审视．
三、典型题型精析
题型一、与点的坐标、线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解．线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解．
圆锥曲线中的最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.
几何特征法
几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.
例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C 上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为.
解析：圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C 点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.
设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17
≤16，解得≤x≤.
所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.
点评：解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C
相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x 为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.
例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.
解析：如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.
与圆锥曲线有关取值范围与最值问题
与圆锥曲线有关取值围与最值问题
一、利用圆锥曲线定义求最值
.
)1,3(,14
5,.122
221的最小值求在双曲线上，为双曲线内一点，点右焦点，的左是双曲线已知AF AP A P y x F F +=-
.
19
25)2,2(),0,4(.22
2的最大值和最小值求是椭圆上的动点，内的两个点，是椭圆已知MB MA M y x B A +=+
.
)2,3()2(.)2,0()1(.
2.32的最小值，求点和的最小值到抛物线准线的距离之的距离与到点求点为焦点上的一个动点，是抛物线已知PF PA A P P F x y P +=
.5
3)2,9(1169.42
2值的值最小，并求此最小使，点，在这个双曲线上求一，点的右焦点为已知双曲线MF MA M A F y x +=-
二、单变量最值问题——化为函数最值
.)2(;123),()1(.,,,123)07.(520
200021212
2的面积的最小值求四边形，证明
点的坐标为设，垂足为两点，且的直线交椭圆于过两点，的直线交椭圆于，过的左、右焦点分别为已知椭圆全国ABCD y x y x P P BD AC C A F D B F F F y x <+⊥=+
.
012,,,.62
2
值的面积的最小值与最大，求四边形共线，且与共线，与知轴正半轴上的焦点，已为椭圆在上，四点都在椭圆PMQN MF PF FN MF FQ PF y F y x N M Q P =⋅=+
.24
3,2tan 12
11.
1)0(1.722
22方程的最小值，并写出椭圆时，求，当）设（的取值范围；，求的夹角为与，向量）若（，且的面积为记△为椭圆上的点，的焦点，为椭圆如图，OQ c c S c OF FQ OF S FQ OF S OFQ Q b a b
圆锥曲线最值与范围问题
• (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确 的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函 数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判 别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
思考题1
•
已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q
在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx ＋3m2－3＝0.
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11. ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km2＋2－11 ＝12k2＋13k23＋k21＋21－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1 ＝3＋9k4＋126kk22＋1
点O到直线l的距离为 23，求△AOB面积的最大值．
【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意ac＝ 36， a＝ 3，
∴b＝1，∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)①当AB⊥x轴时，|AB|＝ 3. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知 1|m＋| k2＝ 23，得m2＝34(k2＋1)．
(1)求点C的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q， 且满足|A→P|＝|A→Q|，试求k的取值范围．
圆锥曲线的范围、最值问题
圆锥曲线的最值、范围问题
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．
一、利用圆锥曲线定义求最值
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆22
1259
x y +
=内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值．
【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有MA MB AB +>,故取不到等
号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．
【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化． 【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线
x y 42=上一个动点,Q 为圆
1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标
为（）
A ．
8179-B ．8
9
C ．817
D ．17
【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P 到点Q 的距离与点P 到准线距离之和的最小值就是点P 到点Q 的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.
圆锥曲线中范围与最值问题
§9.10 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝
⎛⎭⎫1，32，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的取值范围． 解 (1)由题意，椭圆短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形，
故c ＝3b ，a ＝b 2＋c 2＝2b ， 即椭圆C ：x 24b 2＋y 2b
2＝1， 代入P ⎝⎛⎭
⎫1，32， 可得b ＝1，a ＝2.
故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)分以下两种情况讨论：
①若直线l 与x 轴重合，
则|MA |·|MB |＝(a －1)(a ＋1)＝a 2－1＝3；
②若直线l 不与x 轴重合，
设直线l 的方程为x ＝my ＋1，
设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，
x 24＋y 2＝1，
消去x 可得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， 则Δ＝4m 2＋12(m 2＋4)＝16(m 2＋3)>0恒成立，
由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4
， 由弦长公式可得|MA |·|MB |＝
1＋m 2·|y 1|·1＋m 2·|y 2| ＝(1＋m 2)·|y 1y 2|
＝3(1＋m 2)m 2＋4
＝3(m 2＋4)－9m 2＋4
＝3－9m 2＋4
， 因为m 2＋4≥4，则0<
圆锥曲线中的取值范围及最值问题归纳通关
圆锥曲线中的取值范围及最值问题归纳通关
一、椭圆中的参数范围及几何量的最值
1．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长和焦距都等于2，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于1-的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D ．
（1）证明：直线BD 的斜率为定值；
（2）求ABD ∆面积的最大值，并求此时直线BD 的方程．
2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率是3
2，且椭圆经过点()0,1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线1l ： 220x y +-=与圆2
2
:640D x y x y m +--+=相切： （ⅰ）求圆D 的标准方程；
（ⅱ）若直线2l 过定点()30，，与椭圆C 交于不同的两点,E F ，与圆D 交于不同的两点,M N ，求·EF MN 的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，两焦点与
短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点21,2M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线1l （斜率存在且不为0）交椭圆C 于,A B 两点，过右焦点作直线2l 交椭圆C 于,D E 两点，且21//l l ，直线AD 交x 轴于点P ，动点Q （异于,A D ）在椭圆上运动． ①证明： AB AD k k ⋅为常数；
②当1AB k =时，利用上述结论求PDQ ∆面积的取值范围．
高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)
圆锥曲线与最值问题
【知识点分析】
方法一、圆锥曲线的的定义转化法
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。
【相似题练习】
1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值
为 ．
【知识点分析】 方法二、函数法
二次函数2
y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫
-- ⎪，
1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+
＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，
1•
2的最大值、最小值分别
为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8
【知识点分析】
方法三、利用最短路径
【问题1】“将军饮
马”
作法
图形
原理
在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．
作B 关于l 的对称点B ＇
连A B ＇，与l 交点即为
P ．
两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．
【问题2】 作法
图形
原理
在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．
分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇
解圆锥曲线最值与范围问题的方法
解圆锥曲线最值与范围问题的方法
方法1：定义法
例1、已知点F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，
则|PF |＋|PA |的最小值为________．
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5， 即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9. 方法2：几何法
例2、已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，
且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中
a
c
的取值范围是________． 解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a
3
.
根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a ，即c a ≤53，即e ≤5
3.又e ＞1，
故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，53.故填⎝⎛⎦
⎤1，53. 例3 已知P 点在圆x 2
+(y-2)2
=1上移动，Q 点在椭圆2
219
x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。 解：故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题知识点梳理
的取值范围．
[解] (1)因为直线l：x－my－m22＝0经过F2( m2－1，0)， 所以 m2－1＝m22，得m2＝2.
又因为m>1，所以m＝ 2，
故直线l的方程为x－ 2y－1＝0.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由mxx＝22＋myy2＋＝m12，2，
消去x，得2y2＋my＋m42－1＝0，
|AB|＝
1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2
x1＋x22－4x1x2＝2
21＋k2 1＋2k2 .
同理可求得|CD|＝
21＋4k2 1＋2k2
，则|AB|·|CD|＝
44k4＋5k2＋1 1＋2k22
＝
4
1＋k12＋41k2＋4
≤
9 2
，当且仅当k＝±
2 2
时等号成立．故|AB|·|CD|
的最大值为92.
3.[考点三]如图，已知点F1，F2是椭圆C1：x22 ＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：x22＋y2＝λ经过 点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意 一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设 AB，CD的斜率分别为k，k′. (1)求证：k·k′为定值； (2)求|AB|·|CD|的最大值．
圆锥曲线中的最值、 范围、证明问题知识点梳理
本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.
高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)
圆锥曲线与最值问题
【知识点分析】
方法一、圆锥曲线的的定义转化法
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。
【相似题练习】
1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值
为 ．
【知识点分析】 方法二、函数法
二次函数2
y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫
-- ⎪，
1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+
＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，
1•
2的最大值、最小值分别
为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8
【知识点分析】
方法三、利用最短路径
【问题1】“将军饮
马”
作法
图形
原理
在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．
作B 关于l 的对称点B ＇
连A B ＇，与l 交点即为
P ．
两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．
【问题2】 作法
图形
原理
在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．
分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型
①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；
②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
(2)两种解法
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
[典例] (2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．
(1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 的面积的最大值． [思路演示]
解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2
＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.
设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1
y ＝kx ，x 24＋y 2
＝1得(1＋4k 2)x 2＝4， 解得x 2＝－x 1＝
2
1＋4k 2
.① 由ED ―→＝6DF ―→
，得x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， ∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2
.
由点D 在直线AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝2
1＋2k
. ∴
21＋2k ＝1071＋4k
2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝3
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
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考点❷圆锥曲线中的范围问题☆☆☆ 【典例】 (2020·烟台模拟)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1， F2，M 为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，若△MF1F2 的周长为 4＋2 3，且面积的最 大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 A，B 是椭圆 C 上两动点，线段 AB 的中点为 P，OA，OB 的斜率分别为 k1， k2(O 为坐标原点)，且 k1k2＝－14，求|OP|的取值范围．
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第14页
|OP|2＝16mt22＋＋m422t2＝16t22＋t2m2 2t2 ＝164＋t2m2＝16＋42tt22－4 ＝12＋t32∈12，2， |OP|∈ 22， 2. 综上，|OP|的取值范围为 22， 2.
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第15页
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圆锥曲线中范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形 性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或不等关系，或 已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的取值范围．
6· 1＋2k2 3＋4k2 .
令 1＋2k2＝t.
∵k2≥0，∴t≥1，∴S△ABO＝22t2＋6t1＝22t＋61t .
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第5页
易证 y＝2t＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，
40 圆锥曲线(解答题)最值与范围专项训练
专题40 圆锥曲线（解答题）最值与范围专项训练
【方法总结】
1．最值问题的常用方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
2．范围问题常用方法
(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围．
【高考真题】
1．(2022·浙江) 如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0, 1)P 的两点，且点0, 21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在线段AB 上，直线, PA PB 分别交直线1
32
y x =-+于C ，D 两点．
(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求||CD 的最小值．
2．(2022·全国甲理) 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(), 0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当 直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．
圆锥曲线中的最值及范围问题(201911整理)
圆锥曲线中的最值及 范围问题
高三数学备课组
考试内容：
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线 的位置关系.
高考热点：
解析几何与代数方法的综合.
新题型分类例析 热点题型1：重要不等式求最值 热点题型2：利用函数求最值 热点题型3：利用导数求最值 热点题型4：利用判别式法求参数范围
双曲线的焦距为4时，求
椭圆C的方程及离心率；
（2）若 FA AP ，求的最大值.
热点题型2：利用函数求最值
（05上海•理19）点A、B分别是椭圆
x2 36
y2 20
1
长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P
在椭圆上，且位于x轴上方，PA PF .
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上 的一点，M到直线AP的距离 等于 MB ，求椭圆上的点到 A 点M的距离d的最小值.
变式新题型1：
已知椭圆C的方程是
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0，) 双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的两条渐近线为 l1,l，2 过椭圆C的右
焦点F作直线 l ，使l l1 ，又 l 与l2 的交于P点， 设 l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.
（1）当l1 与l2 的夹角为60，
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例1、（2016年新课标一卷）设圆22
2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
例2、(2014年新课标一卷） 已知点(0,2)A -,椭圆E:22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2；
F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为
3
，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；
（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.
例3、（2016年新课标二卷）已知椭圆:E 22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．
（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．
例4、（2015年天津卷）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b
>>的左焦点为(,0)F c ,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆4
22
+4b x y =截得的线段的长为c ，
(I)求直线FM 的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.