高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明 大招总结定理1曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222x y a b +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(,)a b ±,或(,)a b ±-.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是()(000,x y x ≠±a ,且)0y b ≠±,所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠. 由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,得 ()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=由其判别式的值为0,得()()222222200000200xa k x y k yb x a --++=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 由此,得2222001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+进而可得欲证成立.定理2（1）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222x y a b +=-; （2）抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线PA,PB,则.PA PB ⊥证明:设P 点坐标()00x y由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--= 由其判别式的值为0, 得()()222222200000200x akx y k y b x a --+-=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 22222200220,1,PA PBy b x y a b k k PA PB x a -+=+⋅==-⊥- 定理4设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,交椭圆于点A,B,O 为原点,则OP,AB 的斜率乘积为定值22OP AB b k k a⋅=-定理5设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,O 为原点,则OA,PA 的斜率乘积为定值22OA PA b k k a ⋅=-,且OB,PB 的斜率乘积为定值OB k ⋅22(PB b k a=-垂径定理)定理6过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,O 为原点,则PO 平分椭圆的切点弦AB.证明:P 点坐标()00,x y ,直线OP 斜率00OP y k x =由切点弦公式得到AB 方程200022201,AB x x y y b x k a b a y +==-22OP ABb k k a⋅=-,由点差法可知,OP 平分AB,如图M 是中点定理7设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,延长PA,PB 交伴圆O 于两点C,D,则//CD AB . 证明:由性质2可知,M 为AB 中点.由蒙日圆性质可知,90APB ︒∠=,所以MA MB MP ==. 同理OP OC OD ==.因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠, 所以//AB CD .典型例题(例1.)(2020春-安徽月考)已知点P 为直线40ax y +-=上一点,PA,PB 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两条切线,若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥,则椭圆C 的离心率为 解方法1:设(,)P m n ,过点P 的切线方程为()y n k x m -=-,联立222()1y n k x m x y a-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22222212()()10k a x ka n km x a n km ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 直线与椭圆相切,()24222224()41()10k a n km a k a n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()2222210am k mnk n -++-=,若切线PA,PB 的斜率均存在,分别设为12,k k ,212221,1n PA PB k k a m-⊥∴⋅==--,即2221m n a +=+, ∴点P 在以(0,0)为圆心,即(0,0)到直线40ax y +-=d ∴==,解得a =1,a a >∴=若切线PA,PB 分别与两坐标轴垂直,则(,1)P a 或(,1)a -或(,1)a -或(,1)a --, 存在点(,1)P a ,将其代入直线40ax y +-=中,解得a =综上所述,a =又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===. 故答案为. 方法2:在方法1中,实际上证明了一遍蒙日圆,如果知道结论,可得P 的轨迹2221x y a +=+,且此圆与40ax y +-=相忉.其中(0,0)到直线40ax y +-=的距离d =d ∴==,解得a =1,a a >∴=又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===.故答案为. (例2.)(2020春-安徽月考)已知两动点A,B 在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上,动点P 在直线3410x y +-0=上,若APB ∠恒为锐角,则椭圆C 的离心率的取值范围为解由结论可知:椭圆2221x y a+=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是冡日圆2221x y a +=+,若APB ∠恒为锐角,则直线34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离,>,又1,1a a >∴<<,.c e a ⎛∴=== ⎝⎭故答案为:⎛ ⎝⎭.例3.已知22:1O x y +=.若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是解(,1][1,-∞-⋃+∞).在下图中,若小圆(其圆心为点O ,半径为r )的过点A 的两条切线AB,AD 互相垂直（切点分别为E,F ）,得正方形AEOF,所以|||OA OE ==,即点A 的轨迹是以点O 为圆心为半径的圆.由此结论可得:在本题中,点P 在圆222x y +=上.所认本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点,进而可得答案.例4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y +=. （2）当两条切线的斜率存在时,设过()00,P x y 点的切线为()00y y k x x -=-. 联立()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222004918360k xk y kx ++--=判别式()()()222222000018364940x k y kx k y kx ⎡⎤∆=+--+--=⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()2220000924x k x y k y --+-.依题意得201220419y k k x -⋅==--,即220013x y +=(可由222200x y a b +=+直接可得答案) (例5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的标准方程;（II ）记线段OP 与椭圆交点为Q ,求|PQ|的取值范围;（III ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切,l 与圆M 相交于另一点A ,点A 关于原点O 的对称点为B ,试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系,并证明你的结论.解（I）由题意可知:c c e a ===,则2223,4a b a c ==-=,∴椭圆的标准方程:22194x y +=; （III ）由题意可知:||||||||PQ OP OQ OQ =-=,设()221111,,194x y Q x y +=, ||OQ ∴===由1[3,3]x ∈-,当10x =时,min ||2OQ =,当13x =±时,max ||3OQ =,||PQ ∴的取值范围2]; （III ）证明:由题意,点B 在圆M 上,且线段AB 为圆M 的直径,所以PA PB ⊥.分3种情况讨论,（1）当直线PA x ⊥轴时,易得直线PA 的方程为3x =±,由题意,得直线PB 的方程为2y =±, 显然直线PB 与椭圆C 相切.（2）同理当直线//PA x 轴时,直线PB 也与椭圆C 相切. （3）当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时,设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ,则0k ≠,直线PB 的斜率1k-, 所以直线()00:PA y y k x x -=-,直线()001:PB y y x x k-=--, 由()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()()()220000941892360.k x y kx kx y kx ++-+--=因为直线PA 与椭圆C 相切,所以()()()22210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦, 整理,得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦ 同理,由直线PB 与椭圆C 的方程联立,得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦.（2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,所以220013x y +=,即220013y x =-.代入（1）式,得()()22200009290x k x y k x --+-=, 代入（2）式,得()()()2222200000002214414492492(9x x y k y k x x y k k k⎡⎤⎡∆=--++-=--++-⎣⎦⎣)220x k ⎤⎦, ()()222000021449290x k x y k x k⎡⎤=--+-=⎣⎦. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上,直线PB 与椭圆C 相切. 例6.(2021-安徽模拟)已知圆22:5O x y +=,椭圆2222:1(0)x y a b aΓ+=>>的左,右焦点为12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和.（I ）求椭圆的标准方程;（II ）如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点. （i ）若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；（ii ）作PQ AB ⊥于点Q ,求证:12QF QF +是定值.解（I）由题意可得2,21b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2,1,a b c ===所以椭圆的方程为2214x y +=.（II ）（I ）设()00,P x y ,切线()00y y k x x -=-,则22005x y +=, 由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,化简得()()()2220000148440,k x k y kx x y kx ++-+--=,由0∆=得()2220004210x kx y k y -++-=,设切线PA,PB 的斜率分别为12,k k ,则()2200122200111445y y k k x y --===----, 又直线PA 的斜率为2,则直线PB 的斜率为12-. （II ）当切线PA,PB 的斜率都存在时,设()()1122,,,A x y B x y ,切线PA,PB 的方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=, 由（1）得()2224210,1,2,(*)i i i i i x k x y k y i -++-==又A,B 点在椭圆上得,221,1,2,(*)4i i x y i +== 得2202i i i x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即,1,24i i i x k i y =-=,氻线PA,PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +==,又过,点P ,则001,1,24i i x xy y i +==,所直线AB 的方程为0014x xy y +=,(可直接代㔹点弦方程)由PQ AB ⊥的直线PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-,联立直线AB 方程为0014x xy y +=,解得()()22000000222200004131341,165165Q Q x y y y x x y y x y x y ++====++, 由22005x y +=得,点Q 轨迹方程为2255116x y +=,且焦,点恰为12,F F ,故122QF QF +==,当切线PA,PB 的斜率有一个不存在时,易得12QF QF +=.综上,125QF QF +=. 自我检测1.(2021-全国二模)已知双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA,MB,若0MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是(）A.B.C.)+∞D.)+∞ 答案：方法1:双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若MA0MB =,可知MAOB 是正方形,MO =,所以a ∈.故选B.方法2:过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若0,MA MB M ⋅=点轨迹即为蒙日圆222x y +=,且此圆与双曲线2221(1)4x y a a -=>有公共点M ,所以a ∈.故选B2.给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,称圆心在原点O ,C 的“准圆”.已知椭圆C 的一个焦点为F ,其短轴的一个端点到点F （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程（II ）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆C 上的相异两点,且BD x ⊥轴,求AB AD ⋅的取值范围;（III)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(,)P s t ,过点P 作两条直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,且12,l l 分别与椭圆的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线MN 过原点O .答案：（I ）解:由题意知c a ==,解得1b =,∴椭圆C 的方程为2213x y +=,其“准圆”为224x y +=.（II ）解:由题意,设((,),(,),B m n D m n m -<<则有2213m n +=, 又A 点坐标为(2,0),故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--,2222(2)4413m AB AD m n m m ⎛⎫∴⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,又243[0,732m m ⎛⎫<<∴-∈+ ⎪⎝⎭.AB AD ∴⋅的取值范围是[0,7+. （III ）设(,)P s t ,则224s t +=,当s =,1t =±,则12,l l 其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,12l l ∴⊥.当t ≠,设过(,)P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k , 则l 的方程为()y t k x s -=-,代人椭圆C 的方程,得:223[()]3x k x s t +-+=,即()222316()3()30k x k t ks x t kt +--+--=,由()222236()4313()30k t ks k t kt ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,得()2223230tkstk t -++-=,其中230t -≠,设12,l l 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 分别是上述方程的两个根,12121,k k l l ∴=-∴⊥.综上所述,12l l ⊥,MN ∴是准圆的直径,∴直线MN 过原点O .3.已知A 是圆224x y +=上的一个动点,过点A 作两条直线12,l l ,它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N（1）若(2,0)A -,求直线12,l l 的方程;（2）（1）求证:对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; （2）求AMN 面积的取值范围.答案：(1)解:设直线的方程为(2)y k x =+,代人椭圆2213x y +=,消去y ,可得()222213121230k x k x k +++-=由0∆=,可得210k -=设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-= ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+;(2)(1)证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l的方程为x =,此时1l与圆的交点坐标为1±),所以2l 的方程为1y =(或)121,y l l =-⊥成立,同理可证,当1l的方程为x =,结论成立;当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(,)A m n ,且224m n += 设方程为()y k x m n =-+,代人椭圆方程,可得()22136()3()230k xk n km x n km ++-+--=由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=224m n +=()2223230m k mnk m ∴-++-=设12,l l 的斜率分别为121212,,1,k k k k l l ∴=-∴⊥成立 综上,对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; (2)记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,22124,d d AMN +=∴面积()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈4]S ∴∈.4.过P 点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直,设圆心到切点弦的距离为1,d P 到切点弦的距离为2d 证明12d d 之积为常数.答案：证明:如图所示,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,那么在椭圆上A,B 两处切线的交点P 在圆2222(\neq )a x y a b x +=+,现设)Pθθ,那么AB 的直线方程为220xb ya a b θθ+-=.原点到切点弦AB 的距离221d =切线交点P 到切点弦AB 的距离是42422d==所以221222a b d d a b=+(常数).5.(2021贵州模拟)已知椭圆22:1,2x C y M +=是圆223x y +=上的任意一点,MA,MB 分别与椭圆切于A,B.求AOB 面积的取值范围.答案：设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得1212:1,:122x x x x MA y y MB y y +=+=,且2203x y += 由()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得010201021,122x x x x y y y y +=+=,从而00:12x xAB y y +=将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,得 ()22200034440y x x x y +--+=. 所以,20012122200444,33x y x x x x y y -+==++, 因此,)202013y AB y +=+.又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||22OABS AB d =⋅=令[1,2]t =,得到21222,2332OABt St t t⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+6.(2021河北模拟)设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA,PB 交于点P ,且与C 分别切于A,B 两点,求PA PB ⋅的最小值.答案：设两切线为12,l l(1)当1l x ⊥轴或1//l x 轴时,对应2//l x 轴或2l x ⊥轴,可知(2)P ±; (2)当1l 与x 轴不垂直且不平行时,x ≠设1l 的斜率为k ,则20,k l ≠的斜率为11,l k-的方程为y -()00y k x x =-,联立22154x y +=, 得()()()222000054105200k x y kx kx y k ++-+--=,因为直线与椭圆相切,所以0∆=,得()()()2222000055440y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,()220020440k y kx ⎡⎤∴-+--=⎣⎦,()22200005240x k x y k y ∴--+-=,所以k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根, 同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根, 2020415y k k x -⎛⎫∴⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=,其中x ≠所以点P的轨迹方程为229(x y x +=≠, 因为(3,2)P ±±满足上式,综上知:点P 的轨迹方程为229x y +=.设,PM PB x APB θ==∠=,则在AOB 与APB 中应用余弦定理知,2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠ 222cos PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠,即()3322\38cdo 3233cos 102c s t o x x x x θθ︒+-⋅⋅-=+-⋅,即 29(1cos )1cos x θθ+=-||||cos cos PA PB PA PB APB x x θ⋅=⋅∠=⋅9(1cos )cos 1cos θθθ+=-令1cos (0,2]t θ=-∈,则cos 1t θ=-. ()29329(2)(1)293t t t t PA PB t t t t -+--⎛⎫⋅===⋅+ ⎪-⎝⎭9233)t ⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭且仅当2t t=,即t =时,PA PB ⋅取得最小3).7.(衡水中学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy,设点()00,M x y 是椭圆22:12412x y C +=上一点,从原点O 向圆()()22008M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q .（1）若M 点在第一象限,且直线OP,OQ 互相垂直,求圆M 的方程; （2）若直线OP,OQ 的斜率存在,分别记为12,k k .求12k k ⋅的值;（3）试问22||||OP OQ +是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.答案：(1)由圆M的方程知圆M的半径r=因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆M相切,所以||4OM==,即220016x y+=又点R在椭圆C上,所以2212412x y+=联立(1)(2),解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以,所求圆M的方程为22((8x y-+-=.(2)因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R相切,(3)==化简得212288yk kx-⋅=-,因为点()00,R x y在椭圆C上,所以2212412x y+=,即22001122y x=-,所以2122141282xk kx-⋅==--(3)(1)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设()()1122,,,P x y Q x y,由(2)知12210k k+=,所以121221y yx x=,故2222121214y y x x=,因为()()1122,,,P x y Q x y,在椭圆C上,所以222211221,124122412x y x y+=+=即222211221112,1222y x y x=-=-,所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;整理得221224x x+=,所以222212121112121222y y x x⎛⎫⎛⎫+=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2222221122241236OP OQ x y x y+=+++=+=.(2)当直线OP,OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=.综上:2236OP OQ +=结论：设点()00,M x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上任意一点,从原点O 向圆()20:(M x x y -+-)222022a b y a b=+作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为12,k k .8.(2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟)已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率e =且经过点⎛ ⎝⎭,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合. （I ）过F 的直线与抛物线2C 交于M,N 两点,过M,N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ,求直线12,l l 的交点Q 的轨迹方程;（II)从圆22:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线,切点为A,B,证明:AOB ∠为定值,并求出这个定值.答案：（I ）设椭圆的半焦距为c ,则c a =,即a =,则b =,椭圆方程为2222132y x c c +=,将点⎛ ⎝⎭的坐标代人得21c =,故所求的椭圆方程为22132y x +=焦点坐标(0,1)± 故抛物线方程为24x y =.设直线()()1122:1,,,MN y kx M x y N x y =+, 代人抛物线方程得2440x kx --=, 则12124,4x x k x x +==-,由于214y x =,所以12y x '=, 故直线1l 的斜率为111,2x l 的方程为 ()22111111111, ?´ 2224y x x x x y x x x -=-=-同理2l 的方程为2221124y x x x =-,令22112211112424x x x x x x -=-,即 ()()()12121212x x x x x x x -=-+,显然12x x ≠,()1212x x x =+,即点Q 的横坐标是()1212x x +,点Q 的纵坐标是()221111*********124244y x x x x x x x x x =-=+-==-即点(2,1)Q k -,故点Q 的轨迹方程是1y =-.(阿基米德三角形)（II ）证明：(1)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点P 在第一象限,则此时P ,代人圆的方程得P此时两条切线方程分别为x y ==此时2APB π∠=若APB ∠的大小为定值,则这个定值只能是2π. (2)当两条切线的斜率都存在时,即x ≠, 设()00,P x y ,切线的斜率为k , 则切线方程为()00y y k x x -=-, 与椭圆方程联立消元得()()()2220000324260k xk y kx kx y ++-+--=.由于直线()00y y k x x -=-是椭圆的切线,故()()()222200016432260ky kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()22200002230x k x y k y -++-=.切线PA,PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根,故2012232y k k x -=--, 点P 在圆225x y +=上,故220032y x -=-,所以121k k =-,所以2APB π∠=综上可知:APB ∠的大小为定值2π,得证.。
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
蒙日圆的定义与方程及结论(全了)
三、蒙日圆的性质
23Biblioteka 456【例题】已知两动点
A、B
在椭圆 C
:
x2 a2
+
y2
=
1(a
> 1)
上，动点 P 在直线 3x+4y－10=0 上，若∠APB 恒为锐角，则
椭圆 C 的离心率的取值范围为_ (0, 6 ) 3
3x+4y－10=0 与蒙日圆 x2+y2=a2+1 相离，∴d>r即 | −10 | =2 > a2 +1 ⇒ a2 < 3 32 + 42
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蒙日圆的定义与方程及结论
蒙日是法国数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做蒙日圆
筷子夹汤圆 圆锥曲线蒙日圆， 切线垂直要齐全。 交点轨迹有两种， 椭双成圆抛准线。
一、蒙日圆的定义 过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆。 二、蒙日圆的方程
高中数学蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220a x b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以： 2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii 所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线.得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
圆锥曲线专题：蒙日圆在高考及模拟中的应用
蒙日圆结论的证明
（点评：消元，整式化）
（点评：①增强主元意识；②按照主元降幂排列；③按层次分别找准主元的二次项、一次项的系数及常数项；④若与主元无关，则视为常数项，不必展开；⑤按照先正后负顺序排列）
（点评：公因式化简（公因式4a2），能相约，则必相约（先约去4a2）
（点评：暂时不展开(n−mk)2，因为可以相消）
（点评：(n−mk)2为整体，则为两个含有两项的多项式乘法展开，可相消）
（点评：先约去b2）
（点评：主元为斜率k，按照斜率k降幂排列）
一、什么是蒙日圆
在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于长半轴（实半轴）与短半轴（虛半轴）平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。
蒙日圆问题的拓展变式研究
48中学数学研究2020年第8期(上)蒙日圆问题的拓展变式研究*广东省中山市中山纪念中学(528454)鞠火旺摘要本文以蒙日圆问题为切入点,将两条切线从垂直约束条件(即斜率之积为定值−1),推广到它们的斜率之和差积商分别为定值的情况,求出了椭圆的“伴随曲线”的轨迹方程并对其性质进行了研究.关键词圆锥曲线;蒙日圆;伴随曲线;Geogebra蒙日圆问题的一般情形为:椭圆x2a2+y2b2=1的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a2+b2,2014年广东高考卷文、理第20题就是以此问题为背景命制的.文[1]对蒙日圆问题作了详尽的证明,文[2]借助信息技术对蒙日圆的性质作了详尽的探讨,并将约束条件“两条垂直的切线”拓广到“两条切线夹角为定角θ”的情形,文[3]将椭圆中的蒙日圆问题平行地推广到了双曲线和抛物线中.受文[4]研究思路的启发,我们将蒙日圆问题的约束条件“两条垂直的切线”改为“两条切线的斜率之和差积商为定值”,并称切线交点的轨迹为相应圆锥曲线的伴随曲线,通过在Geogebra实验环境中探究,我们发现了伴随曲线的性质并给出了证明.结论1过椭圆C:x2a2+y2b2=1外一点P引椭圆的两条切线P A和P B,若k P B·k P A=δ,其中δ为常数且δ=0,则两切线的交点P的轨迹方程为δx2−y2=δa2−b2,且OA、OB的斜率之积为定值,即k OA·k OB=1δ·b4 a4.证明设点P(x0,y0),切线P A、P B的斜率分别为k1和k2,切线方程为y−y0=k(x−x0).联立x2a2+y2b2=1y−y0=k(x−x0)得(a2k2+b2)x2−2a2(kx0−y0)kx+a2((kx0−y0)2−b2)=0,由于直线与椭圆相切,于是∆=(−2a2(kx0−y0)k)2−4(a2k2+b2)a2((kx0−y0)2−b2)=0,化简整理得(a2−x20)k2+2x0y0k+(b2−y20)=01⃝因为k1、k2为1⃝式的两根,由韦达定理得k1k2=b2−y20 a2−x20=δ,从而两切线交点P的轨迹方程为δx2−y2=δa2−b2,该伴随曲线的类型取决于δ的取值范围.当δ=−1即两条切线互相垂直时,伴随曲线为x2+y2=a2+b2,这就是蒙日圆.当δ<0且δ=−1时,伴随曲线x2a2−b2δ+y2b2+δa2= 1是椭圆,见图1.当δ=b2a2时,伴随曲线为两条直线y=±bax在椭圆C 外的部分,见图2.当δ>0且δ=b2a2时,伴随曲线为双曲线,其中,当δ∈(0,b2a2)时,伴随曲线是双曲线y2b2−δa2−x2b2δ−a2=1在椭圆C外的部分;当δ∈(b2a2,+∞)时,伴随曲线是双曲线x2a2−b2δ−y2δa2−b2=1在椭圆C外的部分,分别见图3和图4.图1.δ<0且δ=−1的情形图2.δ=b2a2的情形图3.δ∈(0,b2a2)的情形图4.δ∈(b2a2,+∞)时的情形下证OA、OB的斜率的乘积为定值,为此不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H,切点弦方程为x0xa2+y0yb2=1,即y=−b2x0a2y0x+b2y02⃝又A(x1,y1)∈l,于是k P A=−b2x1a2y1,又k OA=y1x1,因此k P A·k OA=−b2a23⃝*本文是中山市2018年教育科研课题“新课标下高中数学课本例题与习题的变式教学策略研究”的研究成果,课题编号:B2018123.同理k P B ·k OB =−b 2a 2,于是k P A ·k OA ·k P B ·k OB =b 4a 4,而k P A ·k P B=δ,故k OA ·k OB =1δ·b 4a4.结论2过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1外一点P 引椭圆的两条切线P A 和P B ,若k P Bk P A=δ,其中δ为常数且δ=±1,则两切线的交点P 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=1+[(1−δ)xy (1+δ)ab]2,且OB 、OA 的斜率之比为定值,即k OBk OA=δ.证明因为k 1、k 2为1⃝式的两根,于是由韦达定理得k 1+k 2=−2x 0y 0a 2−x 20,k 1k 2=b 2−y 20a 2−x 20,由于k 2k 1=δ,于是 (1+δ)·k 1=−2x 0y 0a 2−x 20,δk 21=b 2−y 20a 2−x 20,消去k 1整理得x 20a 2+y 20b 2=1+[(1−δ)x 0y 0(1+δ)ab]2,于是两切线的交点P 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=1+[(1−δ)xy (1+δ)ab]2,δ=±1.(∗)注意到方程(∗)是x 、y 的幂都是偶数,因此伴随曲线关于x 轴,y 轴是轴对称的.又由问题的实际意义可知,当δ=1时轨迹不存在,当δ=−1即k P B =−k P A 时,轨迹是椭圆外与坐标轴重合图5.δ=−1的情形的四条射线,见图5.由于方程x 2a 2+y 2b 2=1+(1−δ)2x 2(1+δ)2a 2·y 2b 2可以变形为x 2a 2−1=[(1−δ)2x 2(1+δ)2a 2−1]·y2b 2,解得y =b |1+δ|√x 2−a 2√(1−δ)2x 2−(1+δ)2a2,于是y ′=−4δa 2b |1+δ|·x√x 2−a 2[(1−δ)2x 2−(1+δ)2a 2]324⃝当x →1+δ1−δa 时,由4⃝式知y ′→∞,此时无论δ→−∞还是δ→+∞都有1+δ1−δa →−a ,这表明伴随曲线有垂直渐近线x =−a ;又由于它关于y 轴轴对称,于是x =a 也是其垂直渐近线.再注意到伴随曲线的方程中x 、y 是对称的,于是y=±b 是其水平渐近线.借助Geogebra 软件我们可以清晰地看到该伴随曲线的图像,见图6∼图9.图6.δ<0且δ=−1的情形图7.δ→−∞时的情形图8.δ>0的情形图9.δ→+∞的情形结论3过椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1外一点P 引椭圆的两条切线P A 和P B ,若k P B +k P A =δ,其中δ为常数且δ=0,则两切线的交点P 的轨迹方程为δx 2−2xy =δa 2,且OA 、OB 的斜率的倒数之和为定值,即1k OA +1k OB =−δa 2b2.证明由1⃝式结合韦达定理知k 1+k 2=−2x 0y 0a 2−x 20=δ,从而两切线交点P 的轨迹方程为δx 2−2xy =δa 2,注意到该方程可以化为y =δ2x −δa 22x,这是常见的“双刀型”函数.当δ<0时,伴随曲线在(−∞,0)及(0,+∞)都是单调递减的;当δ>0时,伴随曲线在(−∞,0)及(0,+∞)都是单调递增的,即两切线交点所形成的椭圆的伴随曲线是“双刀型”函数y =δ2x−δa22x在椭圆C 外的那一部分,其图像见图10和图11.图10.δ<0的情形图11.δ>0的情形由3⃝式知k P A =−b 2a 2·1k OA ,同理k P B =−b 2a 2·1k OB,于是k P A +k P B =−b 2a 2(1k OA +1k OB),故1k OA+1k OB=−a 2b 2(k P A +k P B )=−δa 2b2.结论4过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1外一点P 引椭圆的两条切线P A 和P B ,若k P B −k P A =δ,则两切线的交点P的轨迹方程为δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2−4a 2y 2+a 2(a 2δ2+4b 2)=0,且OA 、OB 的斜率的倒数之差为定值,即1k OB−1k OA=−δa 2b2.证明将k 2−k 1=δ代入2⃝式得 2k 1+δ=−2x 0y 0a 2−x 2,k 1(k 1+δ)=b 2−y 2a 2−x 20,消去k 1并化简整理得δ2x 40−2(a 2δ2+2b 2)x 20−4a 2y 20+a 2(a 2δ2+4b 2)=0,于是两切线的交点P 的轨迹方程为δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2−4a 2y 2+a 2(a 2δ2+4b 2)=05⃝将y 用x 表示出来(为方便起见,我们只研究y >0的情形),得到函数y =f (x )=12a √δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2+a 2(a 2δ2+4b 2),该函数的定义域为D =(−∞,min (√a 2δ2+4b 2δ,min (−a,−√a 2δ2+4b 2δ)))∪(max (−a,√a 2δ2+4b 2δ),min (a,−√a 2δ2+4b 2δ))∪(max (√a 2δ2+4b 2δ,max (a,−√a 2δ2+4b 2δ)),+∞),由f ′(x )=x (δ2x 2−a 2δ2−2b 2)a √δ2x 4−2(a 2δ2+2b 2)x 2+a 2(a 2δ2+4b 2)=0,得x =−√a 2δ2+2b 2δ或x =0或x =√a 2δ2+2b 2δ,结合函数的定义域及单调性可得函数y =f (x )的图像如图12所示,因此由5⃝式确定的伴随曲线的图像如图13所示,这与直接作图产生的轨迹曲线是相吻合的;此外,定值的证明与结论3中的方法类似,这里略去.图12.函数y =f (x )的图像图13.伴随曲线的图像至此,我们对椭圆的伴随曲线作了较详细的研究,在双曲线及抛物线中也有类似的性质,限于篇幅,我们就不再一一赘述.参考文献[1]甘志国.蒙日圆及其证明[J],河北理科教学研究,2015(5):11-13.[2]张志勇.GeoGebra 环境中圆锥曲线的两定夹角切线交点轨迹探求[J],中国数学教育,2016(5):60-64.[3]陈经纬.不畏浮云遮望眼只因“背景在心中—–探究一道圆锥曲线小题的命制背景[J],中学数学研究(华南师范大学版),2019(6):21-22.[4]鞠火旺,马建.探究圆锥曲线中一类动直线的性质[J],中学数学研究(华南师范大学版),2019(7):41-45.。
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。
= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。
=k(x —x。
)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明
甘志国
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2015(000)005
【摘要】高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆
C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的一个焦点为(51/2,0),离心率为51/2/3.（1）求椭圆C的标准方程;（2）若动点P（x0,y0）为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.答案:（1）x2/9+y2/4=1;（2）x2+y2=13.这道高考题的背景就是蒙日圆.
【总页数】3页(P11-13)
【作者】甘志国
【作者单位】北京丰台二中 100071
【正文语种】中文
【相关文献】
1.蒙日圆以及应用
2.蒙日圆中的几个优美结论及推广
3.蒙日圆的一组推广结论
4.巧用蒙日圆妙解一类题
5.蒙日圆问题的拓展变式研究
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一道“蒙日圆”背景下的题目分析与探究
一道 蒙日圆 背景下的题目分析与探究谷红亮(银川市第六中学ꎬ宁夏回族自治区银川７５００１１)摘㊀要:对试题所涵盖知识点进行分析讨论ꎬ有助于学生掌握所学知识的本质ꎬ而且通过抽象出一般的解题思路ꎬ还可以有效地提升学生的逻辑推理㊁数学运算等数学核心素养.而 蒙日圆 搭建起了圆与圆锥曲线间的桥梁ꎬ很好地体现了这一过程.关键词:蒙日圆ꎻ切线方程ꎻ面积范围中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００６２－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:谷红亮(１９９１.１０－)ꎬ男ꎬ河南省驻马店人ꎬ本科ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀ 蒙日圆 曾出现于２０１４年广东卷ꎬ随后在各省份的模考题中以此为背景被反复创新.本文以 蒙日圆 为背景的一道试题为例进行探究ꎬ呈现出了问题的分析路径ꎬ进而探索找到了涉及该问题的试题特点ꎬ如定点问题㊁三点共线问题及面积范围问题等ꎬ希望起到抛砖引玉的作用.１题目呈现题目㊀(郑州市２０２２年高三一模理科数学)在圆(ｘ－３)２＋(ｙ－４)２＝ｒ２(ｒ>０)上总存在点Ｐꎬ使得过点Ｐ能作椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１的两条相互垂直的切线ꎬ则ｒ的取值范围是.表面平平无奇的题目ꎬ仔细思考可以发现其中丰富的内涵.初看题目是一个存在性问题ꎬ涉及了圆的知识㊁椭圆的切线等ꎬ但是该题的题眼是 两条切线相互垂直 ꎬ所以需要进一步思考如何利用这一条件才能顺利解决该题目[１].下面从椭圆的切线方程谈起.２椭圆切线方程问题２.１椭圆上某点处的切线方程定理１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ设点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为Ｃ上任意一点ꎬ则过点Ｐ的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.证明㊀当点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)位于ｘ轴上方时ꎬｙ＝ｂ１－ｘ２ａ２ꎬ则ｙᶄ＝－ｂｘａ２ １１－ｘ２/ａ２.此时点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)处的切线斜率为ｋ＝ｙᶄｘ＝ｘ０＝－ｂｘ０ａ２ １１－ｘ２０/ａ２.而１－ｘ２０ａ２＝ｙ０ｂꎬ所以ｋ＝ｙᶄｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０.故切线方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).整理ꎬ得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.２６同理ꎬ当点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)位于ｘ轴下方时ꎬ切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.当点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)位于ｘ轴上时ꎬ此时切线方程为ｘ＝ʃａꎬ仍满足ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上所述ꎬ椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上任意一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)处的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.２.２切点弦方程定理２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ设点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为Ｃ外一点ꎬ过点Ｐ作椭圆Ｃ的两条切线ＰＡꎬＰＢꎬ则切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由定理１可知ꎬ切线ＰＡ的方程为ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１ꎬ切线ＰＢ的方程为ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１.又直线ＰＡꎬＰＢ均过点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ代入得ｘ１ｘ０ａ２＋ｙ１ｙ０ｂ２＝１ꎬｘ２ｘ０ａ２＋ｙ２ｙ０ｂ２＝１.ìîíïïïï也即点Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)均在直线ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１上ꎬ又两点确定一条直线ꎬ所以切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.运用椭圆的切点弦方程ꎬ可以扩展出两种题型 定点问题和三点共线问题.例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ在直线ｌ:ｘ－ｙ＋１＝０上任取一点Ｐ(ｍꎬｎ)ꎬ且点Ｐ满足ｍ２４＋ｎ２３>１ꎬ过点Ｐ作椭圆Ｃ的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ证明:直线ＡＢ过定点.证明㊀由定理２可知ꎬ切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｍｘ４＋ｎｙ３＝１ꎬ也即３ｍｘ＋４ｎｙ－１２＝０.又点Ｐ(ｍꎬｎ)在直线ｌ:ｘ－ｙ＋１＝０上ꎬ所以ｎ＝ｍ＋１.则ｌＡＢ:３ｍｘ＋４(ｍ＋１)ｙ－１２＝０.整理ꎬ得ｍ(３ｘ＋４ｙ)＋４ｙ－１２＝０.所以直线ＡＢ过定点(－４ꎬ３).例２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ过椭圆外一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)作椭圆Ｃ的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ证明:ＯＰ平分弦ＡＢ.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＡＢ的中点为Ｍꎬ由定理２可知ꎬ切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ与椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１联立ꎬ消ｙ得ꎬｂ２(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０)ｘ２－２ａ２ｂ４ｘ０ｘ＋ａ４ｂ２(ｂ２－ｙ２０)＝０.所以ｘ１＋ｘ２＝２ａ２ｂ２ｘ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.同理可知ｙ１＋ｙ２＝２ａ２ｂ２ｙ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.则Ｍａ２ｂ２ｘ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ꎬａ２ｂ２ｙ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０æèçöø÷.所以ｋＯＭ＝ｙ０ｘ０ꎬ而ｋＯＰ＝ｙ０ｘ０ꎬ即ｋＯＰ＝ｋＯＭ.所以ＯꎬＭꎬＰ三点共线ꎬ也即ＯＰ平分弦ＡＢ.３蒙日圆定理３㊀椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的两条相互垂直的切线ＰＡꎬＰＢ的交点Ｐ的轨迹为圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２.证明㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由定理２可知ꎬ切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ与椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１联立ꎬ消ｙ得ꎬｂ２(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０)ｘ２－２ａ２ｂ４ｘ０ｘ＋ａ４ｂ２(ｂ２－ｙ２０)＝０.３６所以ｘ１ｘ２＝ａ４ｂ２－ａ４ｙ２０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.同理可知ｙ１ｙ２＝ａ２ｂ４－ｂ４ｘ２０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.又ＰＡʅＰＢꎬ所以ｋＰＡ ｋＰＢ＝－１.由定理１可知ꎬｌＰＡ:ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１ꎬｌＰＢ:ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１ꎬ所以ｋＰＡ ｋＰＢ＝－ｂ２ｘ１ａ２ｙ１æèçöø÷ －ｂ２ｘ２ａ２ｙ２æèçöø÷＝ｂ４ａ４ ｘ１ｘ２ｙ１ｙ２ꎬ把ｘ１ｘ２ꎬｙ１ｙ２代入得ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｂ４ａ４ ａ４ｂ２－ａ４ｙ２０ａ２ｂ４－ｂ４ｘ２０＝ｂ２－ｙ２０ａ２－ｘ２０＝－１ꎬ也即ｘ２０＋ｙ２０＝ａ２＋ｂ２.综上所述ꎬ点Ｐ的轨迹为圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２.结合以上归纳的定理ꎬ解决最初的 郑州市２０２２年高三一模理科数学第１０题 就会感觉轻而易举ꎬ也即题目中所给的圆(ｘ－３)２＋(ｙ－４)２＝ｒ２(ｒ>０)需与椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１所对应的 蒙日圆 ｘ２＋ｙ２＝４相交.当以上两圆相交时ꎬ３ɤｒɤ７.４以 蒙日圆 为背景的面积问题定理４㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ设点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为Ｃ外一点ꎬ过点Ｐ作椭圆Ｃ的两条切线ＰＡꎬＰＢꎬ且ＰＡʅＰＢꎬ则ＳәＰＡＢɪｂ４ａ２＋ｂ２ꎬａ４ａ２＋ｂ２[].证明㊀由题意易得ꎬ点Ｐ在椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１所对应的 蒙日圆 ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上ꎬ也即ｘ２０＋ｙ２０＝ａ２＋ｂ２.设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｌＡＢ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ与椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ消ｙ得ꎬｂ２(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０)ｘ２－２ａ２ｂ４ｘ０ｘ＋ａ４ｂ２(ｂ２－ｙ２０)＝０.所以ｘ１＋ｘ２＝２ａ２ｂ２ｘ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ꎬｘ１ｘ２＝ａ４ｂ２－ａ４ｙ２０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.代入弦长公式ＡＢ＝１＋ｋ２ｘ１－ｘ２ꎬ整理得ＡＢ＝２(ａ４ｙ２０＋ｂ４ｘ２０)(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２)ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.又点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)到直线ＡＢ距离为ｄ＝ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２ａ４ｙ２０＋ｂ４ｘ２０.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑＡＢˑｄ＝ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ˑａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２.令ｔ＝ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ꎬ则ｔａ２ｂ２＝ｙ２０ｂ２＋ｘ２０ａ２>１.也即ｔ>ａ２ｂ２ꎬ所以ＳәＰＡＢ＝(ｔ－ａ２ｂ２)３２ｔ.又因为ｘ２０＋ｙ２０＝ａ２＋ｂ２ꎬ则ｔ＝ａ４＋ａ２ｂ２＋(ｂ２－ａ２)ｘ２０.又０ɤｘ２０ɤａ２＋ｂ２ꎬ所以ｔɪ[ｂ４＋ａ２ｂ２ꎬａ４＋ａ２ｂ２].而Ｓᶄ＝(ｔ－ａ２ｂ２)１２ １２ｔ＋ａ２ｂ２æèçöø÷ｔ２>０ꎬ所以ＳәＰＡＢ为单调递增函数ꎬ故当ｔ＝ｂ４＋ａ２ｂ２时ꎬ此时点Ｐ位于ｘ轴上ꎬＳｍｉｎ＝ｂ４ａ２＋ｂ２ꎻ当ｔ＝ａ４＋ａ２ｂ２时ꎬ此时点Ｐ位于ｙ轴上ꎬＳｍａｘ＝ａ４ａ２＋ｂ２.综上所述ꎬＳәＰＡＢɪｂ４ａ２＋ｂ２ꎬａ４ａ２＋ｂ２[].本文对以 蒙日圆 为背景的模考题进行了解题分析和思考探究ꎬ希望学生能够学会分析题目ꎬ教师能够在已知的题目下ꎬ引导学生多加思考ꎬ真正做到举一反三.此过程可以很好地锻炼学生的逻辑思维能力和运算求解能力ꎬ从而跳出 题海战术 的怪圈ꎬ适应新高考对考生的要求.参考文献:[１]陶煜瑾.例谈椭圆的蒙日圆命题角度[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２２(１４):１２－１３.[责任编辑:李㊀璟]４６。
蒙日圆定理（解析几何证法）
蒙日圆定理（纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。
如图，设椭圆的方程是22221x y a b+=。
两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。
求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。
证明：若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是：(),special P a b ±±(1)它必定在圆2222x y a b +=+上。
现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。
可设两条切线方程如下： :PM y kx m =+ (2)1:PN y x n k=-+ (3)联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为：()222,11n m k nk m P k k -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭(4)从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为：()2222222222111n m k nk m OP k k n k m k -⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+=+(5)现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得：22222221210k km m x x a b b b ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(6)由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：()22222211b m m b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(7)对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得：()2222221b n k n b a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(8)为方便起见，令：22222,,,,a A b B m M n N k K =====(9)这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出： M B AK =+(10)AN B K=+(11)将(10)和(11)代入(5)，就得到： 2221NK MOG A B a b K +==+=++(12)证毕。
蒙日圆专题课件-2024届高三数学二轮复习
2 r2
易得直线 AB 的方程为 x y1 y2 y y1 y2 0 ，
由点 C2 (1, 0) 到直线 AB 的距离为 r，得
1 y1 y2
1 y1 y2
2
2 2 1 r2
1 3r 2
2
2
1
r
r
所以
2 r2
2
从而可得标准方程;
(2)①利用△=0 以及韦达定理可得结论;
②先求出直线过定点 (1,0) ,将问题转化为
S
S
PAB
PCD
1
d | AB |
| AB |
| AB |
2
,即求
得最小值,
1
| CD |
|
CD
|
d | CD |
2
当直线 AB 的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出 | AB | 和 | CD | ,然后求比值,
2
a x0
b 2 y02
2
2
2
2
所以 2
1
,
即有
x
y
a
b
.
0
0
2
a x
斜率不存在情形显然成立
2014年高考广东卷文科、理科第20题
•
2
已知椭圆C： 2
2
+ 2
= 1( > > 0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为
5
．
3
➢(1)求椭圆C的标准方程；
➢(2)若动点P (0 , 0 )为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨
第9讲 蒙日圆问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线
第9讲蒙日圆问题一、解答题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2．给定椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)，称圆心在原点O C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F ，0)，其短轴上的一个端点到F （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）若点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交“准圆”于点M ，N .证明：l 1⊥l 2，且线段MN 的长为定值．3．给定椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的圆是椭圆C 的“伴随圆”.若椭圆C 的一个焦点为F ,0)，其短轴上的一个端点到F 1（1）求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；（2）若倾斜角45°的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的伴随圆相交于M .N 两点，求弦MN 的的长；（3）点P 是椭圆C 的伴随圆上一个动点，过点P 作直线l 1、l 2，使得l 1、l 2与椭圆C 都只有一个公共点，判断l 1、l 2的位置关系，并说明理由.4．已知抛物线1C ：22y px =（0p >），圆2C ：222(1)x y r -+=（0r >），抛物线1C 上的点到其准线的距离的最小值为14.（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）如图，点0(2,)P y 是抛物线1C 在第一象限内一点，过点P 作圆2C 的两条切线分别交抛物线1C 于点A ，B （A ，B 异于点P ），问是否存在圆2C 使AB 恰为其切线？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()1,e （e 为椭圆C 的离心率）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，P 为直线2x =上任一点，过点P 椭圆C 上点处的切线为PA ，PB ，切点分别A ，B ，直线x a =与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，求mn 的值.6．已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S △P AB ，S △PCD 分别是△PAB ，△PCD 的面积，试问：PAB PCDS S 是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.7．已知椭圆C 的方程为2212x y +=.（1）设(,)M M M x y 是椭圆C 上的点，证明：直线12M M x x y y +=与椭圆C 有且只有一个公共点；（2）过点N 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A ､B ，点N 在直线AB 上的射影为点Q ，求点Q 的坐标；（3）互相垂直的两条直线1l 与2l 相交于点P ，且1l ､2l 都与椭圆C 只有一个公共点，求点P 的轨迹方程.8．已知椭圆()2222:10x y O a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若PAB △面积的最大值为O 的离心率为12.（1）求椭圆O 的标准方程；（2）过B 点作圆E ：()2222x y r +-=，()02r <<的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2：22x a ＋22y b＝1(a >b >0)，C 2与C 1的长轴长之比为∶1，离心率相同．(1)求椭圆C 2的标准方程；(2)设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PA PB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．10．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离02PF x =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆()(222:30M x y r r -+=<≤的两条切线PA PB 、，切线PA PB 、与抛物线C 的另一交点分别为A B 、，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围.11．如图，已知00(,)M x y 是椭圆C :13622=+y x 上的任一点，从原点O 向圆M ：()()22002x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P 、Q ．（1）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；（2）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．12．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +-=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点．（1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若直线MN 的斜率为P 的坐标．。
蒙日圆的定义与方程及结论
蒙日圆的定义与方程及结论【引子】在数学领域，圆的几何概念是普遍的，而蒙日圆是其特殊形式之一。
本文将探讨蒙日圆的定义、方程以及结论，希望能为读者解析这一有趣而又美妙的数学概念。
【定义】蒙日圆是指由四个正圆排列而成的特殊形状。
这四个正圆都是相等的，并且彼此相切，形成一个整体。
蒙日圆的轮廓呈现出四个弓形，分别与四个正圆相切于一点。
【方程】要明确蒙日圆的方程，我们需要从几何的角度出发。
首先，取一个正圆的半径为r，那么这个正圆的圆心到蒙日圆的中心的距离为r。
假设这个蒙日圆的半径为R，那么蒙日圆的中心到其中一个正圆的圆心的距离为R-r。
因此，我们可以得到蒙日圆的方程为：(x-(R-r))^2 + y^2 = r^2【结论】蒙日圆作为一种特殊的几何形状，拥有一些独特的性质和结论。
首先，蒙日圆是一个封闭曲线，围绕圆心连续而不间断地运行，具有优美的对称性。
其次，四个正圆的相切点构成蒙日圆的顶点，这四个弓形也构成了一个平行四边形。
蒙日圆还有一些特殊的性质，例如它的内接正方形和外接正方形与蒙日圆的边界相切于一点。
这意味着蒙日圆的外接正方形的边长是其内接正方形的边长的两倍。
此外，蒙日圆还具有自相似性，即如果将蒙日圆放大或缩小一定的比例，其形状仍然保持不变。
除此之外，蒙日圆还有一些与角度和弧度相关的特点。
例如，蒙日圆的一个四分之一弧度等于一个内切正圆的半周长。
这种关系可以通过对蒙日圆的弧度进行研究得出。
在实际应用中，蒙日圆在物理、几何、工程和艺术等领域得到了广泛的应用。
它的对称性和美学价值使得它成为设计中的一个重要元素，同时它也是一些复杂问题的数学模型。
总结起来，蒙日圆是一种由四个相切正圆构成的特殊曲线，在几何和数学中具有一些独特的性质和结论。
它的方程可以用来描述其形状和特征。
蒙日圆的研究不仅拓展了我们对圆的认识，也为我们理解其他复杂的几何形状提供了一种思路。
无论是在学术研究中，还是在实际应用中，蒙日圆都具有非凡的价值和重要性。
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题及蒙日圆
公众：数学其实没那么难
例题剖析:
例 1.已知圆 O： x2 + y2 = 1， 若直线 y=kx+2 上总存在点 P，使得过点 P 作圆 O 的两条切线相互垂
直，则实数 k 的取值范围是______________．
【解析】由前述蒙日圆概念可知,P 点轨迹为圆: x2 + y2 = 2 , 由于点 P 又在直线 y=kx+2 上，即点 P
公众：数学其实没那么难
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题
北京大学 钟老师 我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题,该点可能
是定点也可能是动点,题目也可能给出两条切线的斜率的关系,此类双切线问题常常采用
同构的思想来解题.
数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的两个表达式.
1. 若实数 a、b 分别满足 f (a) = 0 和 f (b) = 0 ，则它们呈现同构特征，由此 a、b 可视为方
既在圆上又在直线上，也就是说直线与圆恒有公共点，即直线与圆相切或相交，依据点到直线间的 距离 d≤r 可得 k≥1 或 k≤－1.
例 2.(2014 东北师大附中四模.20)给定椭圆 C:
x2
+
y
2
=
a2 b2
1 (a > b > 0) ,称圆心在原点 O,半径为
a2 + b2 的圆时椭圆 C 的”准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离
②
过双曲线
x2 a2
−
y
2
=
b2
1 (a > b > 0) 上任意不同两点 A、B 作椭圆的切线，若切线垂直且相
2025年高考数学一轮复习-重难专攻(十)圆锥曲线中的证明、探究性问题【课件】
定，再证明结论符合题意.
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高中总复习·数学（提升版）
位置关系的证明
【例1】
2
2
（2021·新高考Ⅱ卷20题）已知椭圆 C 的方程为 2 ＋ 2 ＝1
（ a ＞ b ＞0），右焦点为 F （ 2 ，0），且离心率为
6
.
3
（1）求椭圆 C 的方程；
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＝ 2，
解：由题意知ቐ
m 2＝0，Δ＞0，
1 ＋2
−
9
故 xM ＝
＝ 2 ， yM ＝ kxM ＋ b ＝ 2 .
2
+9
+9
9
于是直线 OM 的斜率 kOM ＝ ＝－ ，即 kOM ·k ＝－9.
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.
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（2）若 l 过点（ ， m ），延长线段 OM 与 C 交于点 P ，四边形 OAPB
1
4
1
4
2 ＋ −（2 ＋
−
）
＝ a ＋ b ＝ m ＜0，
1
同理令 kBC ＝ b ＋ c ＝ n ＞0，且 mn ＝－1，则 m ＝－ ，
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设矩形周长为 L ，由对称性不妨设｜ m ｜≥｜ n ｜， kBC － kAB ＝
1
c－a＝n－m＝n＋ ，
1
则 L ＝｜ AB ｜＋｜ BC ｜
2
2 −1
2
2
（x－
22
2
），
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2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。
蒙日圆几何证明
蒙日圆几何证明蒙日圆几何证明引言蒙日圆，又称“内切圆”，是指一个圆与三角形的三边都相切。
它在数学中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学和三角测量中。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及证明。
定义蒙日圆是指一个圆与三角形的三边都相切。
它可以通过以下步骤构造：1. 连接三角形的任意两个顶点，得到一条边；2. 以这条边为直径，画一个圆；3. 分别作出从另外两个顶点到这个圆的切线；4. 这两条切线所交于的点就是蒙日圆的圆心。
性质1. 蒙日圆与三角形外接圆、内心、垂心共线。
2. 蒙日圆半径等于周长除以2减去半周长。
3. 蒙日圆是唯一一个同时与三角形三边相切的圆。
4. 任意一条直线与其相交于A、B两点的两个不同射线AB和AC所成夹角等于该直线上以A为端点且在同侧于BC的射线所成夹角的充要条件是AC是蒙日圆的切线。
证明下面将分别对蒙日圆的四个性质进行证明。
1. 蒙日圆与三角形外接圆、内心、垂心共线。
证明过程如下：（1）连接三角形垂心H和内心I，并连接AH、BH、CH。
（2）根据垂心定理可知，AH=2RcosA，BH=2RcosB，CH=2RcosC。
（3）根据内心定理可知，AI=r/tan(A/2)，BI=r/tan(B/2)，CI=r/tan(C/2)。
（4）设蒙日圆的圆心为O，半径为r'。
则根据相似三角形可得：AH/OH = BH/OH = CH/OH = r'/rAI/OI = BI/OI = CI/OI = r/r'（5）由于AH+BH+CH=2s，其中s为三角形半周长，则有：2R(cosA+cosB+cosC)=AH+BH+CH=2sR=(a+b+c)/4sinA=(a+b+c)/4sinB=(a+b+c)/4sinCr=s/a=s/b=s/c=tan(A/2)/a=tan(B/2)/b=tan(C/2)/c（6）代入上式中可得：OH=R-2rOI=R+2rcosA=AH/cosA=2RcosB=2RcosCOH+OI=2R因此，蒙日圆与三角形外接圆、内心、垂心共线。
蒙日圆定理结论
蒙日圆定理结论引言蒙日圆定理是由19世纪的法国数学家Pierre Ossian Bonnet提出的。
这个定理描述了在任何平面三角形的外接圆上，三个各角的正弦值的和恒等于1。
定理表述对于任意平面三角形ABC，其外接圆的半径为R，则有以下等式成立：sin(A) + sin(B) + sin(C) = 1推导过程步骤1：定义外接圆外接圆是与三角形的每条边都相切的圆。
在三角形ABC中，外接圆的圆心与三角形的垂直平分线相交，且半径为R。
步骤2：引入辅助量为了方便推导，我们引入以下两个辅助量： 1. 假设点O为三角形ABC的外接圆的圆心。
2. 点D、E、F分别为圆心O到边BC、CA、AB的垂直平分线与三角形ABC 的交点。
步骤3：推导定理根据辅助量的定义，我们可以得到以下结论： 1. 四边形AOBD是一个矩形，因为AO和BD是外接圆的直径。
2. 三角形AOF和ABC全等，因为它们具有共边AO，边角对应相等。
由于AO和BD是外接圆的直径，根据圆的性质可知，角AOB为直角。
因此，我们可以得到以下等式：sin(A) = sin(AOB) = sin(ODA) = sin(ODF)同样地，我们也可以得到以下等式：sin(B) = sin(BOC) = sin(OEB) = sin(OEA)sin(C) = sin(COA) = sin(OFC) = sin(OFB)将以上等式代入定理表述中的等式，我们可以得到：sin(A) + sin(B) + sin(C) = sin(ODA) + sin(OEB) + sin(OFC) = sin(ODA) + sin(OEA) + sin(OFB) = 1因此，定理得证。
应用和意义几何问题求解蒙日圆定理在解决几何问题时有着重要的应用。
通过该定理，我们可以确定外接圆的半径，并利用外接圆的性质解决各种三角形相关的问题，如确定三角形的内心、外心以及垂心等。
教育与科普意义蒙日圆定理作为基础几何学的重要内容，对于培养学生的逻辑推理能力和数学思维具有重要作用。
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蒙日圆及其证明
高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的一个焦点为
(1)求椭圆的标准方程；
C (2)若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P C 的轨迹方程．
答案：(1)22
194
x y +=；(2)2213x y +=． 这道高考题的背景就是蒙日圆.
普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是
定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆1:22
22=+Γb
y a x .
2222b a y x +=+定理1的结论中的圆就是蒙日圆.
先给出定理1的两种解析几何证法：
定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是，或.
),(b a ±),(b a -±当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是且，所以可设曲线的过点P 的切线方程是
,)(,(000a x y x ±≠)0b y ±≠Γ.由，得
)0)((00≠-=-k x x k y y ⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+)(10022
22x x k y y b y a x
0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a 由其判别式的值为0，得 )0(02)(220220002220≠-=++--a x b y k y x k a x 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 PB PA k k ,k 220220a x b y k k PB
PA -+=⋅ 由此，得进而可得欲证成立.
2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可。