平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理 课件
1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线 上截得的线段也等. 名师点拨对平行线等分线段定理的理解 (1)符号表示:已知a∥b∥c,直线m,n分别与a,b,c交于点A,B,C和 A',B',C',如果AB=BC,那么A'B'=B'C'. (2)图形表示:在定理中,直线m,n可以平行,也可以相交,且它们的 交点可以在平行直线之外,也可以在平行直线之内,还可以在其中 的某条直线上,因此图形可有以下几种情况.
2.推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 名师点拨对推论1的理解 (1)符号表示:在△ABC中,D为AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于 点E,则点E平分AC. (2)图形表示:
(3)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等 于第三边的一半.
3.推论2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. 名师点拨对推论2的理解 (1)符号表示:在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,过点E作 EF∥BC,交CD于点F,则点F平分CD. (2)图形表示:
(3)平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线 成相等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(如 图)
【做一做1】 如图,已知a∥b∥c,直线AB分别与a,b,c交于点A,E,B,直 线CD分别与a,b,c交于点C,E,D.若AE=EB,则( )
平行线等分线段定理
F
D
B
E
C
● 如图，ΔABC中，M为AC的中点，E为AB上 一
1 点，且 AE AB ，连结EM并延长交BC的延长线 4 于D.求证：BC=2CD.
A E M
F
A E
E
A
F
B
M
F
M
B
C
D
C
wenku.baidu.comD B
C
D
解答题 ●如图CA⊥AB，DB⊥AB，AD 与BC相交于点E，EF⊥AB，垂足 为F，又AC=p，BD=q，EF=r， AF=m，FB=n C r (1)用m、n表示 p E p (2)用m、n表示 r
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A B C A1 B1 C1 l1
定理：如果一组平行线在一条直线上 截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段 也相等.
已知：直线 l1∥l2∥l3，AB=BC， 求证：A1B1=B1C1. A A1 l1 证明： 连结AB1、A1B、 H BC1、B1C， B B1 l2 ∵AB=BC， ∴S△ABB =S△CBB ； （等底同高） C C1 l3 ∵l1∥l2∥l3， （同底等高） ∴S△ABB =S△A BB ， S△CBB =S△C BB ， ∴S△A BB =S△C BB ， ∴A1B1=B1C1.
平行线等分线段定理
D O
F
其它直线上截得
相等的线段.
B
C
证明1：连结BE交AF于点O，
∵四边形ABDE是平行四边形，∴BO=OE；
∵AF∥BC， ∴EF=FC.
三、证明题6：
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，
ABDE是平行四边形，
AD的延长线交EC于F，
求证：EF=FC.
A
分析：需证明AF、BC在
其它直线上截得
E DF
∴∠CAB=90°，∠DBA=90°，
∴∠CAB=∠OEA=∠DBA，
∴AC∥OE∥DB；
O
∵O是CD的中点，
∴E是AB的中点， A ∴OE是AB的垂直平分线，
∟
∟ ∟
E
B
∴OA=OB.
C
三、证明题9：
已知：AD为△ABC的中线，
M为AD的中点，
直线CM交AB于点P，
求证：AP= —31 AB.
Q
三、证明题2：
已知：直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90°，
A
E是DC边的中点，
求证：AE=BE.
F
∟
D
.E
分析：需证E在AB的中垂线上.
证明：作EF∥BC交AB于F， B
C
∵E是梯形ABCD的腰DC的中点，
∴F是AB的中点；
一平行线等分线段定理 (2)
G
F
E M
D
ＡI
N
P
JK
LＢ
Ｃ
例3： 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB
于又点∵E在梯形ABCD中，MD有=M线C段A 中点时E ，常B过
该点作平行线，构造
∴AE=EB
平行线等分线段定理
易证ME是AB的垂直平分线及推论的基本图形。
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC ( )
M
F G C D
N
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 B
的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。 ( )
A
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
B
AB=BC=DE=EF ( )
C
C
D l1
E l2 F l3
A1A2=B1B2
图1
A2A3B3B2
A2A3=B2B3 A1A2=A2A3
B1B2=B2B3
已知：直线l1∥l2∥l3,l,l’不平行,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3 分析
l l’
A1 A2 A3
B1
C2
平行线等分线段定理
AH=HG 同理CG=HG
AH=HG=CG
练习题
A 1) 如图：AD是三角形ABC的中线， E为AD的中点， BE的延长线交 （1题） AC于F， 求证：AF=1/3AC 证明 ：（一）过D做DH//BF交AC于H BD=CD DH//BF FH=CH 同理 AF=FH B AF=FH=CH D E F H C AF=1/3AC
B
C H
E
F ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
Ａ A
Ｅ E
Ｄ D
Ｆ F
Ａ A
Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
Ｂ B
Ｃ C
推论１：
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线 ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于 点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
例２：
如图，平行四边形ABCD中， C BC与AD的中点分别为E、F， 且BF、DE、与对角线AC交于H、G。 E 求证：AH=HG=GC
平行线等分线段定理 课件
证明 过D作DG∥AE交BC于G. 在△ABE中，∵AD＝BD， DG∥AE，∴BG＝GE， ∵E是BC的三等分点， ∴BG＝GE＝EC， 在△CDG中， ∵GE＝CE，DG∥EF， ∴DF＝CF. 即F是CD的中点． 反思感悟 解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段．
反思感悟 证明不在同一条直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等或者根据全等三角 形对应边相等来证明．
题型三 平行线等分线段定理的综合应用 【例3】 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.
求证：AF＝BF.
[ 思 维 启 迪 ] 延 长 AE 交 BC 于 M ， 由 于 CD 是 ∠ACB 的 角 平 分 线 ， 所 以 ∠ACE ＝ ∠ECM ， 并 且 AM⊥CE，因此容易得到△ACE≌△MCE.则AE＝ME，又EF∥BM，则AF＝BF.
3．在几何证明中添加辅助线的方法 (1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形； (2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线．
题型一 平行线等分线段定理及其应用 【例1】 如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE与CD交于点F.求证：
F是CD的中点． [思维启迪] 过D作DG∥AE交BC于G， 再用平行线等分定理证明．
平行线等分线段定理 课件
∴由①②知，EF 是 DC 的垂直平分线， ∴△ECD 为等腰三角形． ③ ∵BC＝AB，∠B＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 又∵E 是 AB 中点， ∴CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°. ④ 由③④知，△ECD 为等边三角形．
1．解答本题的关键是通过证明△ABC 是等边三角形来 证明∠BCE＝30°.
2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构 造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形，进而进行几何 证明或计算．
如图 1－1－6 所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC， DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E 为 AB 的中点．
图 1－1－6 求证：△ECD 为等边三角形．
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【思路探究】 过 E 作 EF∥BC，先证明 EC＝ED，再 连接 AC，证明∠BCE＝30°，从而∠ECD＝60°.
【自主解答】 过 E 作 EF∥BC 交 DC 于 F，连接 AC， 如图所示．
如图 1－1－2，已知 AC⊥AB，DB⊥AB，O 是 CD 的中点，求证：OA＝OB.
图 1－1－2
【思路探究】 由于线段 OA 和 OB 有共同端点，则转 化为证明△OAB 是等腰三角形即可．
4.10 平行线等分线段定理
【基础知识精讲】
本节内容是平行线等分线段定理及其两个推论，两个推论实际上是定理的特例，也是重要的定理.
1.平行线等分线段定理.
一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.
定理的证明：借助梯形常见的辅助线，把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形，三角形的相关知识进行证明(见教材P180页的证明过程).
定理的变式图形：(图4.10-1)
2.平行线等分线段两个定理推论
推论1 经过梯形一腰中点的直线必平分另一腰
推论2 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线平分第三边
3.定理及推论的应用
任意等分线段
通过中点的证明，从而转换为梯形或三角形的中位线进行解题，同时作为三角形、梯形中位线定理证明的根据.
【重点难点解析】
重点：平行线等分线段定理及推论
难点：平行线等分线段定理的证明及变式图形的理解
例1 已知线段AB，求作AB的五等分点.
分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB 于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等分了.
作法：(1)如图4.10-2作射线AM；
(2)在射线AM 上截取AA 1＝A 1A 2＝A 2A 2＝A 3A 4＝A 4A 5
(3)连结A 5B ，分别过A 1、A 2、A 3、A 4作A 5B 的平行线A 1C 、A 2D 、A 3E 、A 4F ，分别交AB 于C 、D 、E 、F ，那么C 、D 、E 、F 就是所求作的线段AB 的五等分点.
平行线等分线段定理
例2：
. . 如图，平行四边形ABCD中，
D
BC与AD的中点分别为E、F，
F
且BF、DE、与对角线AC交于H、G。
求证：AH=HG=GC
H A
G. . C E B
例3：
D
如图，在三角形ABC中，在CA的延 长线上取一点D，使DA=1/2CA，E 为BC的中点，DE交AB于F，过F引 FG垂直于DE与CB的延长线交于G。 求证：GD=GE
3、数学思想方法 ---转化思想
A AD
？
E
F
E ？F
？
？
B
CB
C
思考与练习
一、如图：有块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知 张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例， 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所 以点P 必须是三家地的交界地
1）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC A ∴AE=EB
B E
易证ME是AB的垂直平分线
2）如图 ，已知AC AB，DB AB，O为CD中点，
求证：OA=AB
D
平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：
平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：
3平行线等分线段定理
D
N
C
A B
D E
l1 l2 F l 3
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线 ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于 点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
D1
l3
l4Βιβλιοθήκη Baidu
C
D
∴B1C1 =C1D1
思考：我们学过有关平行线 的哪些知识？
1 ）平行线的三线八角 2）平行线间的平行线段
。 。
已知：直线a//b//c,AB=BC. 求证：DE=EF D
分析过程： ＤＥ＝ＥＦ
a b c
A
G
ＥＧ＝ＥＨ
B
C H
E
F ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
Ａ A
Ｅ E
l1 l2
图3
F
请同学们自己完成下面两图的证明
A B
A1 B1
l1 l2
A（A1） B C
图5
B1 C1
∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
l3
C
【数学教案-平行线等分线段定理】 平行线等分线段定理
【数学教案－平行线等分线段定理】平行线等分线
段定理
教学建议
1．平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．
注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．
定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．
2．平行线等分线段定理的推论
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．
推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．
重难点分析
本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.
本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.
教法建议
平行线等分线段定理的引入
生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：
①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；
②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.
教学设计示例
一、教学目标
1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.
平行线等分线段定理
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
对应线段是指：①一条直线上截得的两条线段；②两条平行线之间的两条线段。
如图，已知三条直线a 、b 、c ，且a // b // c ，直线AB 与a 、b 、c 分别相交于点A 、D 、B ，直线GN 与a 、b 、c 分别相交于点G 、P 、N ， 求证：PN
GP DB AD = 证明：过点A 作直线AC//GN ，连接CD 、BE ，作BK ⊥AC 于K ，CH ⊥AB 于H ， 设直线DE 和BC 之间的距离为h ，
∵ AD AB CH AD CH AB S S ADC
ABC
=⋅⋅=∆∆2121 ， AE AC BK AE BK AC S S AEB ABC =⋅⋅=∆∆2121 ∵ EBC DBC S h BC S ∆∆=⋅=2
1 (同底等高) ∴ AEB EBC ABC D BC ABC AD C S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=-=-=
即：AEB ADC S S ∆∆=
∴ AEB
ABC ADC ABC S S S S ∆∆∆∆= ∴ AE
AC AD AB = 即：AE
EC AE AD BD AD +=+ 即：AE EC AD BD +=+
11
∴
AE
EC AD BD = 即：
EC AE BD AD =
∴ PN
GP DB AD =
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线
段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
平行线等分线段定理
例01．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N .
求证：.2
1
CN AN =
证明：过点D 作BN DE //，交AC 于E . ∵D 为BC 中点， ∴EC NE =.
∵M 为AD 中点，DN MN //， ∴NE AN =.
∴EC NE AN ==， 即CN AN 2
1
=
说明：本题考查平行线等分线段定理的推论，解题关键是过中点D 作BN 的平行线DE 交AC 于E ，证出E 是NC 的中点.
例02．如图，已知：在梯形ABCD 中，BC AD //，BE AE =，BC EF //交DC 于F ，AF 、BC 延长线交于点G .
求证：BC AD BG +=.
分析：因为CG BC BG +=，所以为了证明BC AD BG +=只需证明CG AD =就可以了. 那么由GCF ADF ∆≅∆很容易得到这点.
证明 ∵BC EF BC AD //,//（已知），
∴ BC EF AD ////（如果两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行） 又∵ BE AE =（已知）
∴ FG AF =（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边） FC DF =（经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰） 又∵GFC AFD ∠=∠， ∴ GCF ADF ∆≅∆ ∴GC AD =
∴ AD BC CG BC BG +=+=
例03．如图，已知：在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 交AC 于G 、H 两点.
平行线等分线段定理
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
来自百度文库A O B D F C E
填空题：
已知AD∥EF∥BC， 且AE=BE， 那么DF=
A E F D
CF
.
C
B
已知△ABC中，AB=AC， AD⊥BC， M是AD的中点， CM交AB于P， DN∥CM交AB于N， 如果AB=6厘米， P
A
则PN=
2
厘米.
N
.
D
M
B
∟
C
已知△ABC中，CD平分∠ACB， AE⊥CD交BC于E， DF∥CB交AB于F， F D AF=4厘米， 则AB= 8 厘米.
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
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平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：