(完整)高考数学选择题专项训练(二)

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2020高考数学专项训练《2 函数f(x)=Asin(ωx+φ)中的求值问题》(有答案)

例题1设函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，且A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值； (2)设θ为锐角，且f(θ)＝－353，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值．例题2设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．变式1函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝__________，φ＝__________．变式2已知函数 f(x)＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6(A ＞0，x ∈R )的最小值为－2.(1)求f (0)；(2)若函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，求φ的最小值．串讲1已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)，若f(0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，且f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的值是________________．串讲2把函数f(x)＝sin 2x 的图象向右平移φ2(φ>0)个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)≤|g ⎝⎛⎭⎫π6|对x ∈R 恒成立，且g ⎝⎛⎭⎫π2>g (π)，则g (x )的单调递增区间是________________．(2018·南通三模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2在一个周期内的图象如图所示．已知点P (－6，0)，Q (－2，－3) 是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)记∠RPO ＝α，∠QPO ＝β(α，β 均为锐角)，求tan(2α＋β)的值．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．答案：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6；(2)f (x )∈[]－3，2.解析：(1)由图象知，A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.3分所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.6分所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.7分(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，10分所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，即f (x )∈[]－3，2.14分例题1答案：(1)A ＝3，ω＝2，φ＝π3；(2)12－3310.解析：(1)由图象，得A ＝3，最小正周期T ＝43×⎝⎛⎭⎫7π12＋π6＝π，所以ω＝2πT＝2，所以f(x)＝3sin (2x ＋φ)，由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－3，得2×⎝⎛⎭⎫7π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－5π3＋2k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由f (θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－353，得sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－35，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3，又sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3<0，所以2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ 3sin2θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π3＝3⎣⎡sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3cos π3－⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3sin π3＝3×⎝⎛⎭⎫－35×12＋45×32＝12－3310.例题2答案：(1)ω＝2；(2)－32.解析：(1)因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f(x)＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k∈Z ，解得ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12，因为－π4≤x ≤3π4，所以－π3≤x －π12≤2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.变式联想变式1 答案：2；π6. 解析：由题意得，T ＝π＝2πωω＝2，又因为f(0)＝2sin φ＝1sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.变式2答案：(1)1；(2)π3.解析：(1)因为函数f(x)＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6(A ＞0，x ∈R )的最小值为－2，所以A ＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，所以f (0)＝2sin 5π6＝1.(2)函数f (x )的图象向左平移 φ(φ＞0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋5π6，因为y＝2sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋5π6的图象关于y 轴对称，所以2(0＋φ)＋5π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，因为φ＞0，所以φ的最小值为π3.点拨：本题及变式重点考查三角函数的图象变换，要注意以下几点：(1)首先要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，将不同名函数转化为同名函数；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，若先伸缩后平移，则要注意平移的单位，即无论哪种变换，每一个变换总是对自变量而言．(2)根据平移后的函数解析式以及y ＝sin x ，y ＝cos x 奇偶性进行判断若平移后解析式为 y ＝sin(ωx ＋φ)，φ＝⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π2 （平移后为偶函数）；k π （平移后为奇函数）；若平移后解析式为y ＝cos(ωx ＋φ)，φ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π2 （平移后为奇函数）；k π （平移后为偶函数）.串讲激活串讲1 答案：143.解析：由f(0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2得π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z ，因为函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上有且仅有三个零点，所以T <π2<3T 2，故4<ω<6，因此k ＝1，ω＝143.串讲2答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．解析：由题意g (x )＝sin(2x －φ)，且g ⎝⎛⎭⎫π6为函数g (x )的最大值或最小值，故2×π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝－k π－π6(k ∈Z )，又g ⎝⎛⎭⎫π2>g (π)，即sin(π－φ)>sin(2π－φ)，故sin φ>0，不妨取k ＝－1，φ＝5π6，满足sin φ>0.令2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，则g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．新题在线答案：(1)f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4；(2)7736. 解析：(1)因为图象在一个周期内的最低点为Q (－2，－3)，与x 轴的交点为P (－6，0)，所以A ＝3，T ＝4×(－2＋6)＝16.又T ＝2πω，所以ω＝π8，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8＋φ.将点Q (－2，－3)代入，得－3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－2×π8＋φ，所以－π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，又|φ|≤π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4.(2)点R 的横坐标x R ＝x Q ＋12T ＝－2＋8＝6，所以R (6，3)．又因为α，β均为锐角，从而tanα＝14，tan β＝34，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×141－⎝⎛⎭⎫142＝815，所以tan(2α＋β)＝tan2α＋tan β1－tan2αtan β＝815＋341－815×34＝7736.。

高考数学难点2充要条件的判定习题与答案

高考数学难点2充要条件的判定习题与答案●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n}、{b n}满足：,求证：数列{a n}成等差数列的充要条件是数列{b n}也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.即有(2)必要性：∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，答案：充要条件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是、(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)。

高一数学专项训练：集合二(高考真题)

高一数学专项训练：集合二（高考真题）一、单选题1．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,72．若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B = A ．{x |–2<x <–1} B ．{x |–2<x <3} C ．{x |–1<x <1} D ．{x |1<x <3} 3．设集合则 A ．B ．C ．D ．4．设集合{}{}0,2,4,6,8,10,4,8A B ==，则AB =A ．{4,8}B ．{02,6}，C ．{026,10}，，D ．{02468,10}，，，， 5．设集合{}1,3,5,7A =，{|25}B x x =≤≤，则A B ⋂= A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}6．“1x =”是“2210x x -+=”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}2|23x x x P =-≥，{}Q |24x x =<<，则Q P ⋂=A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3- 8．已知集合{}{|32,},6,8,10,12,14A x x n n N B ==+∈=，则集合A B ⋂中的元素个数为 A ．5B ．4C ．3D ．29．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为 A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=10．设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件11．若集合{}|52x x A =-<<，{}|33x x B =-<<，则A⋂B = A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<12．命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（） A ．()**,n N f n N ∀∈∉且()f n n >B ．()**,n N f n N ∀∈∉或()f n n >C ．()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n >D ．()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >13．已知集合{}{}|12,|03,A x x B x x =-<<=<<则A B =（）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,314．已知集合()(){|120}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}2,1,0,1--D ．{}1,0,1,2-15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则“”a b ≤是“sin sin ?A B ≤的A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件16．若集合{|24},{|3},P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 A ．{|34}x x ≤< B ．{|34}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|23}x x ≤≤17．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥18．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．5D ．719．已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N ⋂=20．已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ⋃= A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,121．设集合{}22,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,则A B ⋂= A ．∅B ．C ．{}0D ．{}2-22．设命题p ：x R ∀∈，210x ，则p ⌝为A ．0x R ∀∈，2010x +> B ．0x R ∃∈，2010x +≤ C ．0x R ∃∈，2010x +<D ．0x R ∀∈，2010x +≤23．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．， 24．已知全集，集合，则 A ．B ．C ．D ．25．设,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件26．“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 27．已知U ＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则()U C A B ⋃ 等于 A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8}28．若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N 等于 A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2} D ．{﹣1，0，1，2}29．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A∩B=A ．｛1,4｝B ．｛2，3｝C ．{9，16}D ．｛1,2}30．已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是： A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝31．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B ⋂= A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]32．已知集合A B 、均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且{}()4UA B ⋃=,{}1,2B =,则UA B ⋂=A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．∅33．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是 A ．1B ．3C ．5D ．934．已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= A ．｛-2，-1，0,1｝B ．｛-3，-2，-1，0｝C ．{-2，-1，0}D ．{-3，-2，-1 }35．已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x∈R}，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N ＝ A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}36．设集合{}1,2,3,4,5,U =集合{}1,2A =，则uA =A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅37．已知集合，，则是的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件38．若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B A B ⋂，，则的子集个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．16二、填空题39．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________40．已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则AB =___________.高一数学专项训练：集合二（高考真题）参考答案1．C【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II 卷）【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}AB =.详解：{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==,{3,5}A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 2．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x ⋂=-<<-，故选A. 【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 3．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷）【详解】由已知{|02},{|14},A x x B y y =<<=≤≤所以，[1,2),A B ⋂=选C. 考点：不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算. 4．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析：由补集的概念，得{}0,2,6,10AB =，故选C ．【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． 5．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【考点】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解. 6．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷）【详解】试题分析：1x =时，2210x x -+=成立，故是充分的，又当2210x x -+=时，即2(1)0x -=，1x =，故是必要的的，因此是充要条件．故选A ．考点：充分必要条件． 7．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）【详解】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q ⋂=，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.8．D【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）【详解】由已知得A B ⋂中的元素均为偶数，n ∴ 应为取偶数，故{}8,14A B ⋂= ，故选D. 9．C【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 10．C【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷）【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】∈:3p x <，:13q x -<<∈q p ⇒，但，∈p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型. 11．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）【详解】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B ⋂为图中阴影部分，即{}|32x x -<<，故选A. 考点：集合的交集运算. 12．D【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷）【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >故选D.考点：命题的否定 13．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）【详解】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<故选A. 14．D【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷）【详解】试题分析：{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-≤=-≤≤，所以A B ⋂={}1,0,1,2-，故选D.考点：集合的交集运算. 15．A【分析】利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果. 【详解】由正弦定理得2sin sin a bR A B==（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），则2sin a R A =，2sin b R B =，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤，因此“”a b ≤是sin sin A B ≤的充分必要必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 16．A【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）【详解】试题分析：由已知，{|34},P Q x x ⋂=≤<选A. 考点：集合的运算. 17．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.考点：全称命题与存在性命题. 18．B【详解】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算. 19．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷）【详解】试题分析：由{|0,}[0,)M x x x R =≥∈=+∞，，所以[0,1)M N ⋂=，故选B.考点：集合间的运算. 20．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷）【详解】试题分析：由题意知{}1,0,1,2M N ⋃=-，故选B. 【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题. 21．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷）【详解】试题分析：由已知得，{}21B =-，，故{}2A B ⋂=，选B ．考点：集合的运算． 22．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷）【详解】试题分析：全称命题的否定是特称命题,所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤,故选B.考点：命题否定全称命题特称命题23．D【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷）【详解】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“，”，故选D.考点：含有一个量词的命题的否定，容易题.24．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷）【详解】试题分析：依题意，，故选C. 考点：补集的运算，容易题.25．D【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）【详解】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分；若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.26．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（安徽卷）【详解】试题分析：因为，所以ln(1)ln1x +<，即10x -<<，因而“”是“”的必要而不充分条件考点：1.对数的运算；2.充要条件.27．A【来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷）【详解】试题分析：由已知中U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，我们根据集合并集的运算法则求出A∈B ，再利用集合补集的运算法则即可得到答案．解：∈U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}∈A∈B={1，2，3，4，5，7}，∈C u （A∈B ）={6，8}故选A点评：本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”28．A【来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷）【详解】试题分析：根据集合M 和N ，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}．故选A点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题．29．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）【分析】依题意，，故{}1,4A B ⋂=【详解】依题意，，故{}1,4A B ⋂=.【学科网考点定位】本题考查集合的表示以及集合的基本运算，考查学生对基本概念的理解.30．B【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）【详解】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．考点：命题的真假判断．31．D【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）【详解】因为集合A={}|22x x -≤≤，所以，故选D.【考点定位】本小题结合绝对值不等式，主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握绝对值不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键.32．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷）【详解】{}1,2,3A B ⋃=,因为{}1,2B =，所以A 中必有元素3，{}3.U A C B ⋂=【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于{}1,2,3A B ⋃=，{}1,2B =这两个条件，可以判断集合A 中的元素有三种情形，而指出A 中必有元素3，简化了运算，使结果判断更容易.33．C【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷）【详解】∈A={0，1，2}，B={x ﹣y|x∈A ，y∈A}，∈当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∈B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∈集合B={x ﹣y|x∈A ，y∈A}中元素的个数是5个．故选C ．34．C【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）【详解】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C.【考点定位】本小题主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键.35．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）【详解】试题分析：求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．解：由（x ﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x ＜3，即M={x|﹣1＜x ＜3}，∈N={﹣1，0，1，2，3}，∈M∩N={0，1，2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．36．B【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国大纲卷）【详解】由题意得{}3,4,5U C A =.故选B.【考点定位】补集的概念37．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）【详解】当3a =时{}13A =，显然是B 的子集，但A B ⊆时，32a a ==或者故为充分不必要条件，此题也属于简单题．【考点定位】本题将集合与条件的判断有机的结合，属于小点小考的命题方法．38．C【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）【详解】{}1,3A B ⋂=其子集个数为224=个.【考点定位】考查集合的运算及子集个数的算法，属于简单题.39．1【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版）【详解】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．40．{}1,3-【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）【详解】由题意得{}1,3A B =-．.故答案为：{1,3}。

高考数学大一轮复习数学思想专项训练(二)转化与化归

数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量4．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924B ．2 2 C.322D. 2 5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞) 二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．8．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.9．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m ＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．答案1．选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.7．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞34，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 8．解析：sin 2αcos 2β＝sin[α＋β＋α－β]cos[α＋β－α－β]＝ sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βcos α＋βcos α－β＋sin α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－β1＋tan α＋βtan α－β＝1.答案：19．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5)11．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －1≥0，g1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞) 12．解：设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.。

高考逆袭卷02-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新高考新题型专用)(原卷版)

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知一组数据m ，4，2，5，3的平均数为n ，且m ，n 是方程2430x x -+=的两根，则这组数据的方差为（）A ．10B C ．2D2．{(1,1)(1,2),}∣P m m R αα==-+∈ ，{(1,2)(2,3),}∣Q n n R ββ==-+∈ 是两个向量集合，则P Q 等于（）A ．{(1,2)}-B ．{(13,23)}--C ．{(2,1)}-D ．{(23,13)}--3．在ΔABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A 、B 、C 成等差数列，3a 、3b 、3c 成等比数列，则cos A cos B =（）A ．12B ．14C ．23D ．164．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．2C ．2D ．5．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有种A ．10B ．48C ．60D ．806．设1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b =，20c c +=，则()A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a 7．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．43B ．53C ．83D ．28．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+ ，则双曲线的离心率的平方为A BC 1D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i+>+C ．若()212i z =+，则复数z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足2i 3z -=，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆10．设直线系M ：()()cos 2sin 102x y θθθπ+-=≤≤，则下面四个命题正确的是（）A ．点()0,2到M 中的所有直线的距离恒为定值B ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上C ．对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()35f x f x -=-，当[]0,1x ∈时，()2f x x =.设函数()5log 1g x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．()f x 的图象在72x =处的切线方程为174y x =-+C ．()()()()20212022202320242f f f f +++=D ．()f x 的图象与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为10第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-，命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是.13．已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=.14．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B F 平面1A BE .以下命题正确的有.①侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒③平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为④设正方体棱长为1，则过点,,E F A 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.(1)求a 的值：(2)求证：2A B =；(3)πcos 212B ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值16．（15分）如图1，在平面五边形ABCDE 中，//AE BD ，且2DE =，60∠=︒EDB ，CD BC ==，5cos7DCB ∠=，将BCD △沿BD 折起，使点C 到P 的位置，且EP =得到如图2所示的四棱锥P ABDE -．(1)求证；PE ⊥平面ABDE ；(2)若1AE =，求平面PAB 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值．17．（15分）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n 格的概率为()1,2,3,,25n P n =⋅⋅⋅．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X ，求X 的分布列和期望；(2)证明：数列{}()12,3,,24n n P P n --=⋅⋅⋅为等比数列．18．（17分）焦点在x 轴上的椭圆22214x y b+=的左顶点为M ，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为椭圆上不同三点，且当OB OC λ= 时，直线MB 和直线MC 的斜率之积为14-．(1)求b 的值；(2)若OAB 的面积为1，求2212x x +和2212y y +的值；(3)在（2）的条件下，设AB 的中点为D ，求OD AB ⋅的最大值．19．（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xn x x x x n =++++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：e 1x x ≥+；(2)设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；(3)设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.。

精选高考数学的复数选择题专项训练附答案

精选高考数学的复数选择题专项训练附答案一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 答案：B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】，. 故选：B.解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．i=（） A．i -B．iCi -Di +答案：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B.解析：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】()211ii i i+==--. 故选：B.3．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限答案：C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-，则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】由已知得，所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限，故选：D.解析：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--，所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选：D.5．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（） A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦答案：B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】设，，则，是实数，，则，，则，解得，故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠，则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=，22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.6．若复数1z i =-，则1zz=-（）A B ．2C ．D ．4答案：A 【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由，得，则，故选：A.解析：A 【分析】将1z i =-代入1zz-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由1z i =-，得2111z i i ii z i i---===---，则11zi z=--=-故选：A.7．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i答案：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+，其虚部为35，故选：A.8．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案：B 【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-，故z 对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1zz =+（） A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -答案：A 【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可.由题意得，则. 故选：A解析：A 【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-. 故选：A10．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（）． A ．1-B ．3C ．3iD ．i -答案：B 【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B 【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3 故选：B12．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案：A 【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：A.解析：A 【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i iii i i i ++++======+-----+，所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限. 故选：A.13．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（）A ．1B C D ．2答案：B 【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B 【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．14．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（） A ．4B ．2C ．0D ．1-答案：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．【详解】，故选：A解析：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+3,1a b ==，4a b +=故选：A15．3（）A ．i -B ．iC ．iD ．i -答案：B 【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i=-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】3133i ii====.故选：B二、复数多选题16．已知复数z满足220z z+=，则z可能为（）.A．0 B．2-C．2i D．2i+1-答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i,z a b a b R=+∈，代入原式，解出,a b的值，结合选项得出答案．【详解】令()i,z a b a bR=+∈，代入220z z+=，得222i0a b ab-+=，解得ab=⎧⎨=⎩，或2ab=⎧⎨=⎩，或2ab=⎧⎨=-⎩，所以0z=，或2iz=，或2iz=-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-答案：ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项. 【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.18．已知复数12z =-（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】计算出，即可进行判断. 【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD 【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断. 【详解】122z =-+，221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.19．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC 【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考解析：BC 【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】()234z i i +=+，34232iz i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.20．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：BD 【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD 【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.21．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2答案：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围22．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（） A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数答案：AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin 3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=，则12z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.23．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z =A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.24．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1+D ．24z =答案：AB 【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出，再验算每个选项得解. 【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB 【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1(1)+3(1)+3(1)8-=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =-选项D : 222(1)(1)+2()2-=--=-- 故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解． 25．以下命题正确的是（）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=答案：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 26．给出下列命题，其中是真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数答案：AD 【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A ．根据共轭解析：AD 【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题； D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD 【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 27．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12答案：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当0a =时,1b =,此时zi 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.28．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =答案：AB 【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB 【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB 【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题. 29．下列命题中，正确的是（） A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD 【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题． 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

2.(本小题满分12分）已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。

3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值；（2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。

5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。

高考数学复数多选题专项训练之知识梳理与训练附解析(2)

高考数学复数多选题专项训练之知识梳理与训练附解析(2)一、复数多选题1．下列说法正确的是（） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD 【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD 【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 2．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（）A ．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则m C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=答案：BD 【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD 【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题. 3．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围 4．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 5．已知复数z ，下列结论正确的是（） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件答案：BC 【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.6．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z答案：AC 【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是. 【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC 【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC 【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题. 7．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈，则220z z a b ⋅=+=，所以0ab ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.8．以下命题正确的是（）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=答案：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．若复数z 满足()1z i i +=，则（）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =答案：BC 【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC 【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC 【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC 【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题 10．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >答案：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.11．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC 【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考解析：BC 【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】()234z i i +=+，34232iz i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.12．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】计算出，即可进行判断. 【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD 【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断. 【详解】122z =-+，221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.13．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为2答案：ACD 【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD 【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性. 【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.14．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.15．若复数351i z i-=-，则（）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限答案：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选：AD.16．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =答案：AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.17．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 答案：BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.18．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限答案：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误，复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.19．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 答案：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1答案：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确；对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>，所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的()A ．充分条件B ．必要条件C ．无法判断D ．既不充分又不必要条件2．“x ＝3”是“x 2＝9”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．使x >3成立的一个充分条件是()A ．x >4B ．x >0C ．x >2D ．x <24．设集合A ＝{1，a 2，－2}，B ＝{2,4}，则“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．a <0，b <0的一个必要条件为()A.a b >1 B.ab <－1C ．a ＋b <0D ．a －b >06．已知a ，b ∈R ，则ab >0是b －a a >b －ab 的()A ．无法判断B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，是真命题的为()A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件8．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是()A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3二、填空题9．“a 和b 都是偶数”是“a ＋b 是偶数”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)10．“x >3”是“x <－2或x >2”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)三、解答题11．判断下列各项中，p 是否是q 的必要条件，并说明原因．(1)p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除；(2)p ：x >1，q ：x >1或x <－1；(3)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形．12．设p ：实数x 满足a <x <4a (a >0)，q ：实数x 满足2<x ≤5.若q 是p 的充分条件，求实数a 的取值范围．13．设A ，B ，C 三个集合，则A B 是A (B ∪C )的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．无法判断D ．既不充分也不必要条件14．(多选题)给出四个条件：①xt 2>yt 2；②xt >yt ；③x 2>y 2；④0<1x <1y .其中能成为x >y 的充分条件的有()A ．①B ．②C ．③D ．④15．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的条件(填“充分”或“必要”)．16．已知p ：－1<x <3，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的(A)A．充分条件B．必要条件C．无法判断D．既不充分又不必要条件解析：由题意可知，好货⇒不便宜，故选A.2．“x＝3”是“x2＝9”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝3时，有x2＝9.当x2＝9时，x＝3或x＝－3.故“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．3．使x>3成立的一个充分条件是(A)A．x>4B．x>0C．x>2D．x<2解析：∵x>4⇒x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．4．设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2,4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝2时，A＝{1,4，－2}，A∩B＝{4}．当A∩B＝{4}时，a 可以为－2，故不能推出a ＝2.由此可知“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．5．a <0，b <0的一个必要条件为(C )A.a b >1 B.ab <－1C ．a ＋b <0D ．a －b >0解析：a <0，b <0⇒a ＋b <0，故选C.6．已知a ，b ∈R ，则ab >0是b －a a >b －ab 的(B )A ．无法判断B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查充分条件与必要条件、不等式的性质．因为b －aa －b －a b ＝(a －b )2ab ，当ab >0，且a ＝b 时，b －a a －b －a b ＝0；当(a －b )2ab >0时，ab >0，且a ≠b ，所以ab >0是b －a a >b －ab 的必要不充分条件，故选B.7．任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，是真命题的为(B )A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析：>bc ，>0⇒a >b >bc ，<0⇒a <b ，∴ac >bc ⇒/a >b ，而a >b ⇒/ac >bc ，∴“ac >bc ”既不是“a >b ”的充分条件，也不是其必要条件，故A ，C 错误．又＝bc ，≠0⇒/a ＝b ＝bc ，＝0⇒a ＝b ，∴由ac ＝bc ⇒/a ＝b ，而由a ＝b ⇒ac ＝bc ，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．故选B.8．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是(A) A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：要求使a>b成立的充分条件，必须满足由选项推出a>b.A 中，a>b＋1能使a>b成立，故A正确．B中，a>b－1时，a>b不一定成立，故B错误．C中，a2>b2时，a>b也不一定成立，因为a，b 不一定均为正值，所以C错误．D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D错误．二、填空题9．“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的充分不必要条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)解析：当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．10．“x>3”是“x<－2或x>2”的充分不必要条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)解析：令集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x<－2或x>2}，∵A B，∴x>3是x<－2或x>2的充分不必要条件．三、解答题11．判断下列各项中，p是否是q的必要条件，并说明原因．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x>1或x<－1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．解：(1)数a能被3整除时，不一定能被6整除，即q⇒/p，∴p 不是q的必要条件．(2)∵x>1或x<－1⇒/x>1，∴q⇒/p.∴p不是q的必要条件．(3)∵正三角形三个角都相等，故当△ABC为正三角形时，必有两个角相等，即q⇒p，∴p是q的必要条件．12．设p：实数x满足a<x<4a(a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．解：因为q是p的充分条件，所以q对应的集合是p对应集合的子集，所以{x|2<x≤5}⊆{x|a<x<4a}，≤2，a>5，≤2，>54，得54<a≤2，即实数a的取值范围是54<a≤2.13．设A，B，C三个集合，则A B是A(B∪C)的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．无法判断D．既不充分也不必要条件解析：A B⇒A(B∪C)，但A(B∪C)⇒A B，例如A＝Z，B ＝N，C＝R，所以A B是A(B∪C)的充分不必要条件，故选A.14．(多选题)给出四个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<1x<1y.其中能成为x>y的充分条件的有(AD)A．①B．②C．③D．④解析：①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y；②当t>0时，x>y，当t<0时，x<y，故xt>yt⇒/x>y；③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2⇒x>y；④由0<1x<1y⇒x>y.故选AD.15．若“a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题，则“c≤d”是“e≤f”的充分条件(填“充分”或“必要”)．解析：由题意知a≥b⇒c>d，类比集合中由A⊆B⇒∁U B⊆∁U A，利用补集思想可推知c≤d⇒a<b，又有a<b⇒e≤f，故c≤d⇒e≤f，故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．16．已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．解：因为－a<x－1<a是p：－1<x<3的一个必要条件，且－a<x －1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)，所以{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a，a>0}，－a≤－1，＋a≥3，>0.解得a≥2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}．。

高中数学选择性必修一高考训练练习习题章末质量检测(二)

章末质量检测(二) 圆锥曲线一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 212－y 2b2＝1(b >0)的一条渐线为2x ＋3y ＝0，则b ＝( ) A ．3 B ．2 C. 3 D ．2 22．抛物线y ＝4ax 2的准线方程是( )A ．y ＝aB ．y ＝－aC ．y ＝116aD ．y ＝－116a 3．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )A ．8 3B ．2 3C ．4 3D ．44．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 220－3y 25＝1 D.3x 25－y 220＝1 5．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，过M 的右焦点F (3,0)作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为( )A.x 29＋y 26＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 212＋y 23＝1 D.x 218＋y 29＝1 6．曲线x 216＋y 225＝1与曲线x 216－k ＋y 225－k＝1(k <16)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 24－y 22＝1的渐近线相交于A 、B 两点，若△ABF 的周长为42，则p ＝( )A ．2B ．2 2C ．8D ．48．已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.－2＋12B.2＋1C.5－12D.5－1 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．双曲线C ：x 29－y 216＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法不正确的是( ) A ．焦点坐标不变 B ．顶点坐标不变C ．渐近线不变D ．离心率不变10．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的是( )A ．a ＝2b 时，满足∠F 1PF 2＝90°的点P 有2个B ．a >2b 时，满足∠F 1PF 2＝90°的点P 有4个C ．△PF 1F 2的周长小于4aD ．△PF 1F 2的面积小于等于a 2211．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1 B ．双曲线C 的离心率为63C ．曲线y ＝e x ＋2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点12．已知斜率为3的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( )A.1|AF |＋1|BF |＝1 B ．|AF |＝6 C ．|BD |＝2|BF | D ．F 为AD 中点三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________． 14．过椭圆x 216＋y 29＝1的焦点F 的弦中最短弦长是________． 15．椭圆y 225＋x 29＝1与双曲线y 215－x 2＝1有公共点P ，则点P 与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为________．16．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线，与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC →＝3FB →，则直线AB 的方程________．|AB |＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．18．(本小题满分12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线C 过点(1,2)．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，点M (3，2)是线段AB 的中点，求直线l 的方程，并求线段AB 的长．19．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，A (2,0)是椭圆的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线l 与椭圆交于另一点B ，垂直于l 的直线l ′与直线l 交于点M ，与y 轴交于点N ，若FB ⊥FN 且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．(本小题满分12分)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点，且|MF |＝5.(1)求抛物线E 的方程．(2)直线l 与抛物线E 相交于两点A ，B ，过点A ，B 分别作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，原点O 到直线l 的距离为1.求1|AA 1|＋1|BB 1|的最大值．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 为左焦点，A 为上顶点，B (2,0)为右顶点，若7|AF →|＝2|AB →|，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F .(1)求C 1的标准方程；(2)是否存在过F 点的直线，与C 1和C 2交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得S △OPQ ＝12S △OMN ？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．。

高考数学二项式定理专项训练

高考数学二项式定理专项训练（二）1.【2012高考真题重庆理4】821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为（）A.1635 B.835 C.435D.1052.【2012高考真题四川理1】7(1)x +的展开式中2x 的系数是（） A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D【解析】由二项式定理得252237121T C x x ==g g ，所以2x 的系数为21，选D.3.【2012高考真题安徽理7】2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3[【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=，第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=． 4.【2012高考真题天津理5】在的二项展开式中，的系数为（）（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-4052)12(xx -x5.【2012高考真题陕西理12】5()a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a 的值为 . 【答案】1．【解析】根据公式rr n r n r b a C T -+=1得，含有3x 的项为22325310x x a C T ==，所以1=a .6.【2012高考真题上海理5】在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

【答案】160-【解析】二项展开式的通项为k kk k k k k x C xx C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T 。

7.【2012高考真题广东理10】62)1(xx +的展开式中x ³的系数为______．（用数字作答）8.【2012高考真题湖南理13】( 2x -x)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】-160【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.9.【2012高考真题福建理11】（a+x ）4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a=_________. 【答案】2．【解析】根据公式rr n r n r b a C T -+=1得，含有3x 的项为333448x ax C T ==，所以2=a .10.【2012高考真题全国卷理15】若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.。

高中数学选择性必修一高考训练练习习题章末质量检测(二)

章末质量检测(二) 直线和圆的方程考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．直线 2 x － 6 y ＋1＝0的倾斜角为( )A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π62．已知直线l 过点P(1，1)，且其方向向量v ＝(1，2)，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝03．如果AB >0，BC >0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．“a ＝14”是直线l 1：(2a －1)x －ay ＋1＝0与直线l 2：x ＋2ay －1＝0平行的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若圆(x －1)2＋y 2＝2与直线x －y ＋λ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－1±22B ．－1或3C ．1±22D ．1或－36．已知圆C 过点A (－2，0)，B (0，4)，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －1)2＋y 2＝9C ．(x －3)2＋y 2＝25D ．x 2＋y 2＝167．已知两圆相交于两点A (1，3)，B (t ，－1)，两圆圆心都在直线x ＋2y ＋c ＝0上，则t ＋c 的值为( )A ．－3B ．－2C ．0D ．18．若直线x －y ＋2＝0将圆(x －a )2＋(y －3)2＝9分成的两段圆弧长度之比为1∶3，则实数a 的值为( )A ．－4B ．－4或2C ．2D ．－2或4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知直线l 1：3x ＋2y －m ＝0，l 2：x sin α－y ＋1＝0，则( )A ．当m 变化时，l 1的倾斜角不变B ．当α变化时，l 2过定点C ．l 1与l 2可能平行D ．l 1与l 2不可能垂直10．已知曲线C 的方程为ax 2＋ay 2－2x －2y ＝0(a ∈R )，则( )A ．曲线C 可能是直线B ．当a ＝1时，直线3x ＋y ＝0与曲线C 相切C ．曲线C 经过定点D ．当a ＝1时，直线x ＋2y ＝0与曲线C 相交11．垂直于直线3x ＋4y ＋10＝0且与圆x 2＋y 2＝16相切的直线的方程是( )A ．4x －3y ＋18＝0B ．4x －3y ＋20＝0C ．4x －3y －18＝0D ．4x －3y －20＝012．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，直线l ：mx ＋4y －m －4＝0(m ∈R )，则下列结论正确的有( )A ．当m ＝3时，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离等于2B ．对于任意实数m ，直线l 恒过定点(1，1)C ．若直线l 交圆C 于A ，B 两点，则弦长AB 的最小值为4D ．D 是圆C 上的动点，点E (2，4)，若动点M 满足DM → ＝2DE → ，则点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －8)2＝9三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．若直线x ＋ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________．14．一条直线l 经过P (3 ，－3)，并且倾斜角是直线y ＝3 x 的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________．15．已知直线l ：2x ＋y ＋2＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，过直线l 上一点P 作圆C 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为12，设点P 的轨迹为C ，则轨迹C 的方程为________；若轨迹C 上有且只有四个点到直线l ：y ＝－x ＋m 的距离为1，则实数m 的取值范围是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，4)，C (6，3).(1)求边AC 上的中线所在直线方程；(2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)在三角形ABC 中，A (－1，0)，B (3，0)，AB 边上的中线所在直线的方程为x ＝1，AC 边上的高所在直线的方程为y ＝－2x ＋6.(1)求C 的坐标；(2)若D (1，－4)，试判断A ，B ，C ，D 四点是否共圆，并说明理由．19．(本小题满分12分)已知直线方程为y＋2＝k(x＋1).(1)若直线的倾斜角为135°，求k的值；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．20．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l 交圆C于A，B两点．(1)当P为弦AB的中点时，求直线l的方程；(2)若直线l与直线3x－4y－1＝0平行，求弦AB的长．21．(本小题满分12分)已知圆C经过A(0，－1)和B(2，3)两点，圆心在直线x＋y－1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)点P在圆C上，若|AP|＝2，求直线AP的方程．22．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m为任意实数．(1)求证：直线l必与圆C相交；(2)m为何值时，直线l被圆C截得的弦长AB最短？最短弦长是多少？(3)若直线l被圆C截得的弦AB的中点为点M，求点M的轨迹方程．。

新高考数学高考数学压轴题等差数列选择题专项训练分类精编及答案(2)

一、等差数列选择题1．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22解析：C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15 B ．30C ．3D ．64解析：A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==，所以12a 的值是15，故选：A3．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021解析：B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B4．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36 B ．48 C ．56 D ．72解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.5．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A6．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（） A ．13 B ．26C ．52D ．56解析：B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=，可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B.7．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 解析：D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++，()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 10．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A11．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10 B ．9C ．8D ．7解析：A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（） A ．32B ．7059C ．7159D ．85解析：C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a k b k ⨯-==⨯-，故选：C ．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（）A ．21B ．20C ．19D ．19或20解析：B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0解析：A 【分析】转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解.二、等差数列多选题16．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-，化为：112111n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 18．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD19．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.20．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.21．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k kk aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项解析：ACD 【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（） A ．2n S n = B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

高考数学二轮复习题型专项训练—客观题12+4标准练(2)

高考数学二轮复习题型专项训练—客观题12+4标准练(2)一、单项选择题1.设集合M={x||x|≤2},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N=()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|-2<x≤3}D.{x|-2≤x<3},则z的共轭复数在复平面内对应的点位于()2.已知i为虚数单位,复数z=2−i1+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知y=f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 021)=()A.-1B.0C.1D.24.某工厂生产一批医疗器械的零件,每个零件生产成型后,得到合格零件的概率为0.7,得到的不合格零件可以进行一次技术精加工,技术精加工后得到合格零件的概率是0.3,而此时得到的不合格零件将不能再加工,只能成为废品,则生产时得到合格零件的概率是() A.0.49 B.0.73 C.0.79 D.0.915.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=W log2(1+SN).它表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式,若带宽W增大到原来的1.1倍,信噪比SN从1 000提升到16 000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.3)()A.21%B.32%C.43%D.54%6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知一对兔子每个月可以生一对小兔子(一雄一雌),而每一对小兔子在它们出生后的第3个月里,又能生一对小兔子.假如没有发生死亡现象,那么从第1个月开始,每月末的兔子总对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,如果用a n表示第n个月的兔子的总对数,那么a n=a n-1+a n-2(n∈N*,且n≥3),这就是著名的斐波那契数列,其中,a1=1,a2=1.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为()A.13B.23C.12D.347.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如,堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=√2,AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1中异面直线A1C与AB所成角的大小是()A.π6B.π4C.π3D.π28.已知拋物线y2=2px(p>0)上有两点A,B,O为坐标原点,以OA,OB为邻边的四边形为矩形,且点O到直线AB距离的最大值为4,则p=()A.1B.2C.3D.4二、多项选择题9.某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态,选取了他们最近10场常规赛得分如下,则从最近10场比赛的得分看()甲:8,12,15,21,23,25,26,28,30,34乙:7,13,15,18,22,24,29,30,36,38A.甲的中位数大于乙的中位数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的竞技状态比乙的更稳定D.乙的竞技状态比甲的更稳定10.已知函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (ω>0)的零点构成一个公差为π2的等差数列,把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,关于函数g (x ),下列说法正确的是( )A.在区间[π4,π2]上单调递减B.其图象关于直线x=π2对称 C.函数g (x )是偶函数D.当x ∈[π6,2π3]时,g (x )∈[-√3,2]11.如图,在直角三角形ABC 中,A=90°,|AB|=√5,|AC|=2√5,点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上,则( )A.点P 所在圆的半径为2B.点P 所在圆的面积为4πC.PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为14D.PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为16 12.已知a>0,b>0,且a+2b=2,则下列说法正确的是 ( )A.5a +25b ≥15B.4a +12b 2≥6 C.b+√a 2+b 2≥85D.b ln a2+a ln(2b)≤0三、填空题13.已知双曲线x2-y 2m=1的一个焦点与抛物线8x+y2=0的焦点重合,则m的值为.14.有5名医生被安排到两个接种点进行新冠疫苗的接种工作,若每个接种点至少安排两名医生,且其中一名负责接种信息录入工作,则不同的安排方法有种(数字作答).15.在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC边的中点,沿中线AD折起,使∠BDC=60°,连接BC,所得四面体ABCD的体积为√3,则此四面体内切球的表面积为.16.在一个三角形中,到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.如图,在△ABC中,P为△ABC的费马点,经证明它也满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,因此费马点也称为三角形的等角中心.在△ABC外作等边△ACD,再作△ACD的外接圆,则外接圆与线段BD的交点P即为费马点.若AB=1,BC=2,∠CAB=90°,则PA+PB+PC=.答案及解析1.B 解析 M={x||x|≤2}={x|-2≤x ≤2},N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3},则M ∩N={x|-1<x ≤2}.2.A 解析 ∵z=2−i1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2−1−3i 2=12−32i,∴z =12+32i,故z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限.3.C 解析因为y=f (x )是定义在R 上的奇函数,x ∈[0,1]时,f (x )=log 2(x+a ),所以f (0)=log 2(0+a )=0,所以a=1.又因为y=f (x )的周期为4, 所以f (2 021)=f (4×505+1)=f (1)=1.4.C 解析设事件A :“第一次就得到合格零件”,事件B : “第一次得到不合格零件,进行一次技术精加工后得到合格零件”,所以P (A )=0.7, P (B )=(1-0.7)×0.3=0.09,所以生产时得到合格零件的概率是P (A )+P (B )=0.7+0.09=0.79.5.D 解析由题意1.1Wlog 216 000Wlog 21 000-1=1.1×lg16 000lg1 000-1=1.1×3+4lg23-1≈0.54,所以C 大约增加了54%.6.A 解析因为奇数加奇数结果是偶数,奇数加偶数结果是奇数,偶数加奇数结果是奇数,所以数列中任意相邻的三项,其中一项为偶数,两项为奇数,所以前120项中偶数有40项,所以这个数是偶数的概率为40120=13.7.C 解析在堑堵ABC-A 1B 1C 1中, AA 1⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥BC.又AC ⊥BC ,且AA 1∩AC=A ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1 ,所以阳马B-A 1ACC 1的体积V=13S 矩形ACC 1A 1·BC=13·AC·AA 1·BC=√23AC·BC ,在直角三角形ABC 中,4=AB 2=AC 2+BC 2≥2AC·BC , 即AC·BC ≤2,当且仅当AC=BC=√2时取得等号. 所以当AC=BC=√2时,阳马B-A 1ACC 1的体积取得最大值2√23. 又A 1B 1∥AB ,所以∠CA 1B 1(或其补角)为异面直线A 1C 与AB 所成的角,连接B 1C (图略),则B 1C=√BC 2+BB 12=√2+2=2,A 1C=√AC 2+AA 12=√2+2=2,即A 1B 1=B 1C=A 1C=2,所以∠CA 1B 1=π3,即异面直线A 1C 与AB 所成角为π3.8.B 解析由题意,设直线AB 的方程为x=my+b (b ≠0),与抛物线方程联立,消去x 可得y 2-2pmy-2pb=0.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-2pb.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(my 1+b )(my 2+b )+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+mb (y 1+y 2)+b 2=(m 2+1)(-2pb )+2pm 2b+b 2=b 2-2pb=0,解得b=2p 或b=0(舍去),即直线AB 的方程为x=my+2p ,则原点O 到直线AB 的距离d=√1+m 2,当m=0时,d 取最大值,且d 最大值=2p=4.所以p=2. 9.AC 解析由题意可得,甲、乙中位数分别为23+252=24,22+242=23,即甲的中位数大于乙的中位数,A 正确;甲的平均数8+12+15+21+23+25+26+28+30+3410=22.2,乙的平均数7+13+15+18+22+24+29+30+36+3810=23.2,甲的平均数小于乙的平均数,B 错误;甲的方差s12=110×[(8-22.2)2+(12-22.2)2+…+(34-22.2)2]=61.56,乙的方差s22=110×[(7-23.2)2+(13-23.2)2+…+(38-23.2)2]=92.56,即s12<s22,甲的竞技状态比乙的更稳定,C正确,D错误.10.AD解析因为f(x)=sin ωx+√3cos ωx=2sin(ωx+π3),由于函数f(x)的零点构成一个公差为π2的等差数列,则该函数的最小正周期为π.因为ω>0,所以ω=2ππ=2,所以f(x)=2sin(2x+π3).将函数f(x)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)=2sin[2(x-π6)+π3]=2sin 2x的图象.对于A选项,当x∈[π4,π2]时,π2≤2x≤π,则函数g(x)在区间[π4,π2]上单调递减,A选项正确;对于B选项,g(π2)=2sin π=0≠±2,所以函数g(x)的图象不关于直线x=π2对称,B选项错误;对于C选项,函数g(x)的定义域为R,g(-x)=2sin(-2x)=-2sin 2x=-g(x),函数g(x)为奇函数,C选项错误;对于D选项,当π6≤x≤2π3时,π3≤2x≤4π3,则-√32≤sin 2x≤1,所以-√3≤g(x)≤2.所以当x∈[π6,2π3]时,g(x)∈[-√3,2],D选项正确.11.ABC解析如图,设BC的中点为M,过A作AH⊥BC于点H,连接PM,PA,AM.因为A=90°,|AB|=√5,|AC|=2√5,所以|BC|=5,|AM|=52,所以由12|AB||AC|=12|BC||AH|,得|AH|=|AB||AC||BC|=2,所以圆的半径为2,即点P 所在圆的半径为2,所以点P 所在圆的面积为4π,所以选项A 正确,B 正确;因为PB⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以当P ,M ,A 三点共线,且P ,M 在点A 的两侧时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值,且(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =2|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×2×52=10,所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为4+10=14,所以选项C 正确,D 错误.12.BCD 解析因为a>0,b>0,且a+2b=2,对于A,5a +25b =5a +52b ≥2√5a ·52b =2√5a+2b =10,当且仅当5a =52b ,即a=1,b=12时取等号,故A 错误;对于B,因为a+2b=2,所以a=2-2b (0<b<1), 所以4a +12b 2=42−2b +12b 2=21−b +12b 2, 令f (b )=21−b +12b 2, 则f'(b )=2(1-b)2−1b 3=2b 3-(1-b)2b 3(1-b)2,因为0<b<1,所以b 3(1-b )2>0,令g (b )=2b 3-(1-b )2,0<b<1,则g'(b )=6b 2-2b+2>0,所以g (b )在区间(0,1)上单调递增,又g (12)=0,所以当b ∈(0,12)时,g (b )<0,即f'(b )<0,f (b )在区间(0,12)上单调递减,当b ∈(12,1)时,g (b )>0,即f'(b )>0,f (b )在区间(12,1)上单调递增,所以f (b )min =f (12)=6,故4a +12b 2≥6,即B 正确;对于C,b+√a 2+b 2=b+√(2-2b)2+b 2=b+√5b 2-8b +4, 令h (b )=b+√5b 2-8b +4,则h'(b )=1+√5b 2-8b+4=1+√5(b-45)√(b-45)2+425,当b>45时,h'(b )>0,所以h (b )在区间(45,+∞)上单调递增;当0<b<45时,h'(b )=1-√5√1+425·1(b-45)2,所以h'(b )在区间(0,45)上单调递增,又h'(35)=0,所以在区间(0,35)上,h'(b )<0,在区间(35,45)上,h'(b )>0,即在区间(0,35)上,h (b )单调递减,在区间(35,45)上,h (b )单调递增,所以b=35时h (b )取得最小值,且最小值为h (35)=85,所以b+√a 2+b 2≥85,故C 正确;对于D,b ln a 2+a ln(2b )=2b ln a+a ln(2b )=(2-a )ln a+a ln(2-a ), 令p (x )=(2-x )ln x+x ln(2-x ),0<x<2,则p (1)=0, p'(x )=-ln x+2x -1+ln(2-x )-x2−x =ln(2-x )-ln x+2−x x −x2−x ,当1<x<2时,ln(2-x )<0,-ln x<0,0<2−x x<1,x2−x >1,所以p'(x )<0,所以p (x )在区间(1,2)上单调递减,当0<x<1时,ln(2-x )>0,-ln x>0,2−x x>1,0<x2−x <1,所以p'(x )>0,所以p (x )在区间(0,1)上单调递增,所以x=1时p (x )有最大值,且p (x )max =p (1)=0,所以p (x )≤0在区间(0,2)上恒成立,所以p (a )≤0,故D 正确.13.3解析设抛物线的焦点为F,由8x+y2=0得y2=-8x,所以F(-2,0).由题意得m>0,所以1+m=22,得m=3.14.120解析根据题意,分两步进行安排:第一步,将5名医生分为两组,一组3人,另一组2人,每一组选出1人,负责接种信息录入工作,有C52·C21·C33·C31=60种分组方法;第二步,将分好的2组,安排到两个接种点,有2种情况,则共有60×2=120种安排方法.15.(84-48√3)π解析如图,由题意得BD=CD=2,AD⊥平面BCD,四面体A-BCD的体积V A-BCD=13×(12×2×2sin60°)·AD=√3,得AD=3,所以AB=√AD2+BD2=√32+22=√13,设BC的中点为E,连接AE,DE.因为BD=DC=2,∠BDC=60°,所以DE⊥BC,BC=BD=DC=2,DE=√3,所以AE⊥BC.所以AE=√AB2-BE2=√13−1=2√3.所以四面体A-BCD的表面积S=(12×2×3)×2+12×2×√3+12×2×2√3=6+3√3.设内切球的半径为R,由V A-BCD=13×S·R=(2+√3)R=√3,得R=√32+√3=2√3-3,所以内切球的表面积为4πR2=12(7-4√3)π=(84-48√3)π.16.√7 解析根据题意有,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则∠PAB+∠PBA=60°.因为AB=1,BC=2,∠CAB=90°,所以∠ABC=60°,即∠PBC+∠PBA=60°,所以∠PAB=∠PBC ,从而有△PAB ∽△PBC ,则PA PB =PB PC =AB BC =12,则PC=2PB=4PA ,在△PAB 中,由余弦定理,可得PA 2+PB 2-12=2PA·PB cos 120°,解得PB=2√77,PA=√77,则PC=4√77,故PA+PB+PC=√7.。

高考数学选择、填空题专项训练(共40套)[附答案]之欧阳文创编

三基小题训练一时间：2021.03.12创作：欧阳文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y=2x+1的图象是（）2.△ABC 中，cosA=135，sinB=53,则cosC 的值为（）A.6556B.－6556C.－6516D.6516 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a,0）和(0,b)，且a,b∈N*，则可作出的l 的条数为（）A.1B.2C.3D.多于34.函数f(x)=logax(a ＞0且a≠1)对任意正实数x,y 都有（）A.f(x·y)=f(x)·f(y)B.f(x·y)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（）A.b∥α,c∥βB.b∥α,c⊥βC.b⊥α,c⊥βD.b⊥α,c∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为（）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B地，则路程最短的走法有（）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l，则下列命题中是真命题的为（）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b中的一条相交9.设F1，F2是双曲线42x －y2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（）A.2B.22C.4D.810.f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n(m,n∈N*)的展开式中x 的系数为13，则x2的系数为（）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形.已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（）A.P点B.Q点C.R点D.S点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y2=2x上到直线x－y+3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=1,且当x∈［1,2］时，f(x)=2－x,则f(8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________.答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B8.D 9.A10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15.21 三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA 共线的向量共有（）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ．21 B ． 1 C ． 2D ． 4 3．若(3a2－312a )n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（）A ．4B ．5C ． 6D ． 84．从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率E FD O C BA为（）A ．203B ．103C ．201D ．101 5．抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（）A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（）A.（a ，－b ）B.（－a ，b ）C.（b ，－a ）D.（－b ，－a ）7. 如果S=｛x ｜x=2n+1,n∈Z｝,T=｛x ｜x=4n±1,n∈Z｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则α∥β;(3)若α⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log2(x2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cosα的值等于 A.6162- B.6162+ C.4132+ D.3132- 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．在等差数列｛an ｝中，a1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A1B1C1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB1与CA1所成的角为。

高中数学选择性必修一高考训练练习习题课时作业(二)

课时作业(二) 空间向量的数量积运算[练基础]1．已知空间向量a ，b ，c 两两夹角均为60°，其模长均为1，则|a ＋b －2c |＝( )A ．2B ．3C ．2D ．52.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG → ·AB → ＝( )A ．34B ．14C ．12D ．323．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对4．已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝45°，∠DAB ＝90°，则|BD 1|＝( )A ．3B ．2 －1C ．2D ．2 ＋15．(多选)已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积可以为0的是( )A ．AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC →C ．AB → ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC →6．已知空间中单位向量a 、b ，且〈a ，b 〉＝60°，则|a －3b |的值为________．7．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________． 8.如图，四面体OABC 各棱的棱长都是1，D ，E 分别是OC ，AB 的中点，记OA → ＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，(1)用向量a ，b ，c 表示向量DE → ；(2)求证DE ⊥AB .[提能力]9．(多选)四面体A BCD 中，各棱长均为a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA → ·AC →B ．2AD → ·BD →C ．2EF → ·CB →D ．2FG → ·AC →10．(多选)已知ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列说法正确的有( )A ．(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2＝3(A 1B 1)2B ．A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0C ．A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°D ．在面对角线中与直线A 1D 所成的角为60°的有8条11．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC 1的长为________；异面直线BD 1与AC 夹角的余弦值为________．12.如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝45°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求BB ′→ ·AC ′→ ；(2)求线段AC ′的长．[培优生]13．(多选)定义空间两个向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin〈a ，b 〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗bC ．(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )D ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|。

2022年新高考数学压轴小题专项训练专题2 三角函数压轴小题(原卷版+解析版)

专题2三角函数压轴小题一、单选题1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（） A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (x x +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（）A ．B ．172C ．6D ．4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sinsin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（）AB ．C ．D ．5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A ．11B ．9C ．7D ．56．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，点M ，N 在半径为10m 的小⊙O 上，点O ，点P 在弦MN 的同侧.设2(0)2MON παα=<<∠，当PMN 的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cos α=（）A ．12B C D 8．（2021·北京八中高三月考）已知()()3sin 2f x x ϕ=+（ϕ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为（） A ．πB ．2πC ．4π D ．8π 9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（） A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π 10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A 5B C D 11．（2021·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B b a c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．D ．13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,314．（2021·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且22CD BD ==，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（）A ．14B C D 15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（）A ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()2sin 1(0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①若f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f (x )的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦.其中，所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④17．（2021·浙江·高三专题练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（） A ．0B ．1C ．2D ．318．（2021·天津市天津中学高三月考）函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．119．（2021·山西太原·三模（理））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且2CD BD =，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（）A ．14BC D ．(3620．（2021·山西太原·一模（理））已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，且06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的所有取值的个数是（） A ．3B ．4C ．1D ．221．（2021·江西鹰潭·一模（理））函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（） A ．125 B ．85C ．165D ．18522．（2021·山东·模拟预测）函数()sin 24cos f x x x =-的最大值为（）A B ．C D二、多选题23．（2021·全国·模拟预测）已知函数()44sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-⎭+在区间(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，令()()()h t M t m t =-，则下列结论中正确的是（）A ．2h π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()h tC ．()h t 的最小值为1D ．当()1h t =时，()5Z 6t k k ππ=+∈ 24．（2021·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD ，()AE AB λλ=∈R ，P 为以A 为圆心、AB 为半径的四分之一圆弧上的任意一点，设向量AC xDE y AP =+，x y +，则λ可取（）A B C ．3 D ．2+25．（2021·湖北·石首市第一中学高三月考）已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中错误的是（）A ．若f （x ）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f （x ）在[0，2π]有且仅有2个极小值点B ．若f （x ）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f （x ）在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．若f （x ）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若f （x ）图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为1126．（2021·江苏扬州·高三月考）已知函数()|||cos |f x x x =+，下列说法正确的有（） A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减 B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点27．（2021·江苏·南京市第二十九中学高三月考）已知ABC 中，角A ，B 满足cos sin 2A A B B π⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭，则下列结论一定正确的是（） A ．sin cos B A <B ．sin cos A B >C ．sin sin A C >D ．sin sin C B >28．（2021·重庆八中高三月考）设函数()cos()f x x =+ωϕ（ω，ϕ是常数，0>ω，02πϕ<<），若()f x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且511242424f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的单调递减区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的对称轴为()122k x k Z ππ=+∈ D ．()f x 的图象可由()sin g x x ω=的图象向左平移512π个单位得到 29．（2021·山东省平邑县第一中学高三开学考试）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（）A ．2AB =B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭30．（2021·辽宁实验中学二模）设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（）． A ．若sin sin sin a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 B ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 C ．若tan tan tan a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 D ．若a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 31．（2021·江苏扬州·模拟预测）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（） A ．3cos34cos 3cos x x x =-B ．存在1x ≤时，使得3431x x ->C ．给定正整数n ，若1i x ≤，()1,2,,i n =，且310n i i x ==∑，则13ni i nx =∑≤D ．设方程38610x x --=的三个实数根为1x ，2x ，3x ，并且123x x x <<，则()2232312x x x x -=-32．（2021·湖北·黄冈中学三模）已知sin 21()sin cos 2x f x x x +=++，则（）A ．()f x 的图像关于直线4x π=对称B ．()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增C ．()f x的值域是[0,2D ．若方程8()3f x =在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有实根按从小到大的顺序分别记为12,,,n x x x ，则1231222115n n x x x x x π-+++++=33．（2021·全国全国·模拟预测）已知点(,0)6π是函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的图象的一个对称中心，且()f x 的图象关于直线3x π=对称，()f x 在[0,]3π单调递减，则（） A ．函数()f x 的最小正周期为23π B ．函数()f x 为奇函数C ．若()[]()10,23f x x π=∈的根为()1,2,,i x i n ==⋅⋅⋅，则16ni i x π==∑D ．若()()2f x f x >在(),a b 上恒成立，则b a -的最大值为29π三、双空题34．（2021·浙江·舟山中学高三月考）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==，P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．35．（2021·浙江浙江·模拟预测）如图，已知四边形ABCD 的面积为6，点O 为BD 的中点，AB AD >，2AO CO ==2tan 3ABD ∠=，则CD =______，sin CBD ∠=______.36．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知向量2cos ,2cos 12B m C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),4n b c a =-且0m n ⋅=.D 为AC 边上一点，BD =2AD CD =.则cos B =_______，ABC 面积的最大值为________.37．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 分别为三角形的三个内角，且sin sin BC A=，则6B π+的取值范围是______，sin sin sin sin C AA C+的取值范围是______． 38．（2021·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．四、填空题39．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在ABC 中，120A ∠=︒，以AB 、BC 、AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O 、2O 、3O ，若123O O O 的面积为ABC 的周长的取值范围为__________．40．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相邻交点．．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______.41．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知函数()sin ||cos |f x x x =-，则下列说法正确的有________．（将所有正确的序号填在答题卡横线上） ①π是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；③()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减④()f x 的值域为[1,2]-．42．（2021·山西吕梁·高三月考（理））为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O 为圆心，半径为一个单位，现规划在OCD 区域种花，在OBD 区域养殖观赏鱼，若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=____________.43．（2021·辽宁实验中学高三期中）在锐角ABC 中，1cos 4A =，若点P 为ABC 的外心，且AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为___________.44．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________.45．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知函数()sin 2sin 3f x a x x b πωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x R ∀∈恒有()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若存在()()()123123,,0,,2x x x f x f x f x π⎡⎤∈+≤⎢⎥⎣⎦成立，则b的取值范围为________．46．（2021·四川成都·高三月考（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.47．（2021·浙江丽水·高三月考）如图，在ABC 中，12BM MC =，1AB AC ==，BM =点D 在线段BM 上运动，沿AD 将ADB △折到ADB '，使二面角B AD C '--的度数为60︒，若点B '在平面ABC 内的射影为O ，则OC 的最小值为_______．48．（2021·全国·高三专题练习）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________.49．（2021·宁夏中卫·一模（理））在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______50．（2021·四川·成都实外高三开学考试（文））在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90C ∠=︒，BC CD ==则四边形ABCD 的对角线AC 的最大值为______.51．（2021·吉林·白城一中模拟预测（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 52．（2021·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．专题2三角函数压轴小题一、单选题1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据给定条件求出函数()y f x =的解析式，再借助函数性质即可判断作答. 【详解】依题意，正ABC 的高为1，则其边长BC =如图，连接OF ，OG ，过O 作ON ⊥l 1于N ，交l 于点M ，过E 作EH ⊥l 1于H ，因OF =1，弧FG 的长为x (0)x π<<，则FOG x ∠=，又12////l l l ，即有1122FON FOG x ∠=∠=，于是得cos cos 2x OM OF FON =⋅∠=，1cos 2x EH MN ON OM ==-=-，2cos )sin 6032EH xEB ==-，因此，2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-+=，即()2xf x=，0πx<<，显然()f x在(0,)π上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而2312432fππ+⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选：D【点睛】方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin,A y y n n Zωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A．27πB．25πC．2πD．23π【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在ϕ符合题意即可.【详解】解：对A，当2=7πω，27siny nϕπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期为22727Tπππω===在一个周期内，对n赋值当0n=时，sinyϕ=；当1n=时，27sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当2n=时，47sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当3n=时，67sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当4n=时，867s n si7i nyϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当5n=时，10s4n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；当6n=时，12s2n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；令2ϕπ=时，sin sin12πϕ==sin sin cos27722227πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 47724247πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 67726267πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在ϕ使得1n =时的y 值等于6n =时的y 值，2n =时的y 值等于5n =时的y 值，3n =时的y 值等于4n =时的y 值.但是当n 等于0、1、2、3时，不存在ϕ使得这个y 值中的任何两个相等所以当2=7πω时，集合A 中至少有四个元素，不符合题意，故A 错误；对B ，当2=5πω，25sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22525T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，25sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当2n =时，45sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当3n =时，645s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当4n =时，825s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；令2ϕπ=，sin 12π= sin sin cos 25522225πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 45524245πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当2=5πω时，符合题意，故B 正确；对C ，当=2πω，2sin y n πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为2242T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，sin cos 2y πϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；当2n =时，()sin sin y ϕπϕ=+=-；当3n =时，sin os 3c 2y πϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；令0ϕ=，则sin0sin00=-=，cos01=，cos01-=-所以当=2πω时，符合题意，故C 正确；对D ，当32=πω，23sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22323T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，23sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当2n =时，43sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令0ϕ=，sin00=，2sin 3π=4sin 3π= 所以当32=πω时，符合题意，故D 正确.故选：A. 【点睛】方法点睛：本题一共有三个变量：ω，n ，ϕ.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (xx +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（） A ．B ．172C ．6D ．【答案】B 【分析】先将sin 2x 展开，提公因式并结合拼凑法可得())()21sin 24f x x x =++-，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭放缩，联立辅助角公式化简，即可求解. 【详解】()))sin 24cos 2sin 2sin cos 4cos 2sin f x x x x x x x x ++=++()())()sin 22sin 2421sin 24x x x x x =+++-=++-，由sin 20x +>可知，要求()f x最大值，只需10x +>即可，结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得())()222sin 3321sin 242442x f x x x π⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-≤⋅-=-⎝⎭172≤，当且仅当1sin 2sin 13x x x π+=+⎨⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，即62,x k k Z ππ=+∈时等号成立，因此当62,x k k Z ππ=+∈时()f x 的最大值为172. 故选：B4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sinsin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（）AB．C．D．【答案】D 【分析】根据已知条件及正弦定理可得3A π=，由内切圆的面积可得内切圆半径3r =，最后根据()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==及余弦定理，并结合基本不等式求bc 的范围，进而求△ABC 面积的最小值. 【详解】由题设，sin sin sin sin 2B C B A B +=，而sin 0B ≠且222B C Aπ+=-， ∴cos sin 2sin cos 222A A A A ==，022A π<<，则1sin 22A =，∴3A π=，由题设△ABC 内切圆半径3r =，又()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==，∴)a b c bc ++=，而222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即a ≥∴bc ≥108bc ≥，当且仅当a b c ===.∴1sin 2ABCSbc A =≥故选：D5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5【答案】D 【分析】结合正弦函数的最值，对称性求ϕ的值，再结合单调性确定ω的最大值. 【详解】∵||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3sin x x f ωϕ=+，∴32k ππωϕπ+=+，k Z ∈，又对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6m πωϕπ-+=，m Z ∈，∴3(2)2k m πϕπ=++，又2πϕ<，∴6π=ϕ或6πϕ=-，当6π=ϕ时， 31w k =+，k Z ∈且61w m =-+，当7w =时，()3sin 76f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，若52,369x，则4131736618x πππ≤+≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 错误，当6πϕ=-时， 32w k =+，k Z ∈且61w m =--，当11w =时，()3sin 116f x x π⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，若52,369x，则49411136618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 错误，当5w =时，()3sin 56f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，若52,369x ，则1917536618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，D 正确，故选：D. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.6．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB b c C⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos B C b c +=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+203A π<<∴5666A πππ<+<)6A π+≤a c <+≤故选：A . 【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边： ①利用正弦定理：sin 2aA r =，sin 2b B r=，sin 2cC r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，点M ，N 在半径为10m 的小⊙O 上，点O ，点P 在弦MN 的同侧.设2(0)2MON παα=<<∠，当PMN 的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cos α=（）A ．12 B C D ．2【答案】C 【分析】用α表示出PMN 的面积为()S α，求导()S α'，令()0S α'=求得极值点，从而求得PMN 面积最大时对应的cos α值. 【详解】如图所示，等腰PMN 中，2(0)2MON παα=<<∠设PMN 的面积为()S α，则()2OPNOMNS SSα=⨯+1122010sin()1010sin 222παα⎡⎤=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦200sin 50sin 2,(0)2πααα=+<<求导()200cos 250cos 2200cos 100cos 2S ααααα'=+⨯=+ 22200cos 100(2cos 1)100(2cos 2cos 1)αααα=+-=+-令()0S α'=，即22cos 2cos 10αα+-=，解得：1cos 2α=-（舍去负根）记01cos 2α=-+， 00,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,αα∈，()0S α'>，函数单调递增；当 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0S α'<，函数单调递减；故当0αα=时，即1cos 2α=-， ()S α取得极大值，即最大值.故选：C8．（2021·北京八中高三月考）已知()()3sin 2f x x ϕ=+（ϕ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为（） A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 【答案】C 【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可. 【详解】可设0ϕ满足00,22ππϕπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 且02t ϕπϕ=+（t Z ∈）,则()()03sin 2f x x ϕ=+,注意到五点作图法的最左边端点为0,02ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭,而22T π=,44T π=,故有0000min ,min ,2222m ϕπϕϕπϕ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭,002244n ϕππϕ-=-+=, 当002πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，02m ϕ=，024n πϕ-=，此时4m n π+=；当0,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02m πϕ-=，024n ϕπ-=，此时002244m n πϕϕππ--+=+=, 故选：C ．9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ. 【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤ ∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件，综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+， ∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， ∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A 5B C D 【答案】D 【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出2320tan 225x x θ-=+，利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ+=+，可得当454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '220tan 225x x θ-∴+令y ，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '220tan 225x x θ+∴+令22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =.．11．（2021·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅=△，从而得2S r a b c ==++．又()1122p a b c a c -=+-=()22a abc a ca c c ==+++⋅a a c=+，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c=+-．代入②式，得()()1212a b c ba c a cb +-=++-，此式恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．法二：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．故选：B12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（） A．)+∞ B．C．(6D．6【答案】C 【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵22a c bc -=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-= sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C +-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C-+-+-+=-+=+113sin 3sin 2sin cos sin A A C C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,),(0,),(0,)22222A A A C B A ππππ∈=∈=--∈，∴(,)32A ππ∈∴sin A t =∈，1+3t t 在t ∈上单调递增，∴1113sin +34)tan tan A t C A t -+=∈，故选：C13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3【答案】C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.14．（2021·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且22CD BD ==，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（）A ．14BCD【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t++++===-++-，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠，1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =，所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+，所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k cb bc BAC =++∠，即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-，令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，下面采用基本不等式和导数两种方法求解：方法一：利用基本不等式求解：222211426()4212411311()24t t t t t k t t t t t ++-++===+-++--+，要使k 最大，需2k 最大，当2k 取最大值时，必有102t ->，2216()6244441313()()12424()2t k t t t -=+=+≤+=+-+-+-当且仅当13124()2t t -==-t =所以t =时，2224211t t k t t ++=-+有最大值4+k的最大值为1c b =所以)1b c =，解得a =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==即sin ACD ∠=下面采用导数的方法求解：求导得()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t =当0t <<()0f t '>，当t >时，()0f t '<，所以当t =()f t取得最大值，此时c b =所以)1b c =，解得a =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==即sin ACD ∠=故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（）A ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由函数图象的平移可得()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知1<，即可得解. 【详解】由条件可得，()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出两个函数图象，如图：A ，B ，C 为连续三交点，(不妨设B 在x 轴下方)，D 为AC 的中点，.由对称性可得ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2π2AC T CD ω===，由πcos cos 3x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得cos x x ωω=，得cos x ω=则C B y y =-=2B BD y == 要使ABC 为钝角三角形，只需π4ACB ∠<即可，由tan 1BD ACB DC ∠==<，所以0ω<<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于ω的不等式，运算即可.16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()2sin 1(0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，给出下列结论： ①若f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f (x )的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；③若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ④若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，所有正确结论的编号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】D【分析】对函数()f x 化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】 ∵22()2sin 1cos 2sin 2336f x x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期为22ππωω=. 对于① ：因为f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，所以()f x 的最小正周期为T =2π，122ππωω∴=⇒=. 故① 错误；对于② ：图象变换后所得函数为sin 236y x ωππω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若其图象关于y 轴对称，则362k ωππππ+=+，k ∈Z ，解得ω=1+3k ，k ∈Z ，。

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