求三角函数的单调性的基本方法[推荐]

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三角函数的单调性1

三角函数的单调性一般是解答题的一个小问，

这里必须先对所给题进行化简，化为y=Asin(wx+b)的形式，然后利用

y=sinx的单调区间进行求解

一定要记住y=sinx或y=cosx的单调区间

三角函数求值域.最值和单调性的方法？？

设y=Asin（φx+b）+c

题中一般不会给出你说的那个形式，这要你先化简。在R上的最值为A+C。在闭区间内的最值求法，一般是先找出函数的周期，若闭区间包含的范围大于1个周期，则最大值和最小值直接写就是，若闭区间包含的范围小于1个周期，则可根据信息画出草图观察。不懂再追问。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；

2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；

4. cot(kπ+α)=(-1)kc otα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

高考数学专题讲解：三角函数的单调性

3
原创解法设计中心
5
2
2
当x [ 2k,2 2k]时：
函数 f (x) cos x单调递增
知识点储备
y

0
2

2
f (x) tan x的单调性
3
x
当x
(

2

k,
2

k )
时：
2
函数 f (x) tan x单调递增
计算三角函数单调性
A 振幅A 0 三角函数的单调性不发生改变振幅A 0 三角函数的单调性发生改变 A0
三角函数专题三角函数单调性
主讲：宁老师
目录
知识点储备
正弦函数的单调性余弦函数的单调性正切函数的单调性
计算三角函数单调性
决定三角函数单调性的因素三角函数单调性计算方法
知识点储备
y
1

2
0

3
2
2
1
x 2
f (x) sin x的单调性
当x [ 2k, 2k]时：
26
2 26
k 1 x 2 k
3
23
2 2k x 4 2k
3
3
x [ 2 2k, 4 2k] f (x) 单调递减

步步深入，突破含参的三角函数在区间上单调问题

步步深入，突破含参的三角函数在区间

上单调问题

三角函数是高中数学的一个重要板块，在高考中占有重要的地位，已知含参

的三角函数在区间上单调，求参数取值范围问题，则是这个板块中难以突破的一

个热点问题，其中2021年新课标理科第9题，为典型代表：

已知f(x)=sin(ωx+ )在（， )上单调递减，求正数ω的取值范围

从考试结果来看，此题的得分率非常低，此题的解法，也众说纷纭，百花齐放。笔者对此类题目的知识构架进行了深入的研究，形成了循序渐进的突破方案，期待能抛砖引玉，帮助考生从根本上解决此类问题。

解决此类问题所需要的基本知识网络

三角函数的单调性及单调区间

三角函数单调性与周期间的密切关系

正弦函数与余弦函数在区间D上单调，是指区间D是正弦函数或余弦函数的

完全单调区间I的子集。

复合函数的单调性：同增异减原理

在同一双向不等式中，k的值前后保持同步

步步深入，突破含参的三角函数在区间上单调问题

进阶一：增减区间无缝衔接型，可准确断定增减区间的分界点，从而找到函数图像的最值点，确定参数值

例一：f(x)=sin(ωx) 其中(ω>0)在（0， )单调递增，在（ )上单调递减，求ω的值

分析：两单调区间在处无缝衔接，先增后减，则必在处取到最大值，即sin(ω)=1，ω=

方法提炼：当增区间和减区间无缝连接，分界点清晰时，可直接找到函数的最值点，从而求出ω

（二）进阶二：给定单调区间的两个端点，其中有一端是零型。即给定区间为从0开始，或以0为终点时，把x=0代入函数可消掉参数，从而变成一个确定的角度，然后根据复合函数的单调性，精准确定另一个端点所对应的数值，利用给定单调区间是整个单调区间的子集这一关系，确立不等关系，求出参数范围。

三角函数基本题型及解题方法

对于三角函数的问题，特别是一些创新型问题，对大多数同学来说可能会感到陌生。这些问题主要考查学生对于重要数学思想和方法的掌握以及在考试时对自己心态的调整。但是，我们可以使用特殊化方法来解决这些问题。特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立。若不成立，则必然选项是错误的。特殊化方法一般有赋特殊值、特殊函数等。

一、单调性类问题

例1

1）若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则点

P(cosB-sinA。sinB-cosA)在哪个象限？选项为A、B、C、D。

2）设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是？选项为A、B、C、D。

分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目。常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜。对于（1），赋A=B=60°，可知选B；对于（2），赋α=β=30°，可知选D。

例2

若A、B、C是△XXX的三个内角，且A<B<C(C≠π/2)，

则下列结论中正确的是哪个？选项为A、B、C、D。

分析：赋A=30°，B=70°，C=80°，可知B、D错；赋

A=30°，B=50°，C=100°，知C错。故选A。

例3

函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数？选项为A、B、C、D。

分析：所给函数的定义域显然是R，又令f(x)=xcosx-sinx，则f(π/2)=f(3π/2)=-1，f(π)=-π，f(π/6)=1，f(2π)=2π。如对选项A，x从π/3到2π/3，y从-1，-π到1，不符合题意，同理可排

(完整版)求三角函数的单调性的基本方法[推荐]

求三角函数的单调性的基本方法：

函数 sin()y A x k ωϕ=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,2

k x k k z π

ππ-

≤≤+

∈和3

22,22

k x k k z π

πππ+

≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。

1、求函数)

3sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。

解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>）的形式：

)

321sin()213sin(π

π--=-=x x y

⑵把标准函数转化为最简函数（sin y A x =）的形式：

令123z x π

，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-

⑶讨论最简函数sin y z

=-的单调性：

从函数

sin y z

=-的图像可以看出，

sin y z

=-的单调增区间为

3[2,2]22k k π

πππ+

+，Z ∈K 。所以3

2222

K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K 即ππππ

π2

232122+≤-≤

K x K ， Z ∈K ∴ππππ311

4354+≤≤+K x K ， Z ∈K

⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：

当k=0时，ππ3

1135≤≤x

当k=1时，

2223

ππ

≤≤

当k=-1时，π

≤

-x

⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：

因为[2,2]

xππ

∈-，所以该函数的单调增区间为

三角函数的单调性

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，

递减区间是⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+

2322

2πππ

πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，

递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

题型5：三角函数的单调性 1．求下列函数的单调区间.

(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

324sin 21x y π (2) ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-=4cos πx y

解:(1).原函数变形为⎪⎭

⎫

⎝⎛--=432sin 21πx y 令432π-=

x u ,则只需求u y sin =的单调区间即可.2

243222sin π

ππππ+≤-=

≤-=k x u k u y 在 ,(Z k ∈)上即8

93833ππππ+≤≤-k x k ,(Z k ∈)上单调递增, u y sin =在)(,2

3243222Z k k x u k ∈+≤-=

≤+π

ππππ,上即)(,821

3893Z k k x k ∈+≤≤+ππππ,上单调递减故⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的递减区间为:,893,833⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-ππππk k ()k Z ∈ 递增区间为:)(,8213,893Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

++πππ.

(2)原函数的增减区间即是函数⎪⎭⎫ ⎝

第4课时三角函数的单调性、奇偶性、周期性

返回
能力·思维·方法
1.判断下列函数的奇偶性：
sin x cot x (1) y 1 cos x
(2) y lg sin x 1 sin x
2

1 sin x cos x (3) y 1 sin x cos x
【解题回顾】判断函数的奇偶性时，有些学生往往只注意：f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x).而不考虑该函数定义域是否关于原点对称，这是造成解题错误的重要原因.
返回
课前热身
1.下列函数中，在区间(0,π/2)上为增函数且以π为周期的是 ( ) D (A)y=sin(x/2) (B)y=sin2x (C)y=-tanx (D)y=-cos2x 2.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像向左平移2个 A 单位，图像关于原点对称，那么一定有( )
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
1 ①y sin 4 x 1 ②y sin x 3 3 x ③y tan 4 6 ④y 2
【解题回顾】若三角函数 y=f(x)的最小正周期为 T，则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判断函数的周期性的一个有效方法是作图

三角函数的单调性与值域课件

【变式 2】 (1)设 sin x＝5t－1，求实数 t 的取值范围； (2)求 y＝asin x＋b(a，b∈R，a≠0)的最值； (3)求 y＝cos2x－sin x，x∈－π4，π4的值域； (4)求 y＝3ssiinnxx＋＋21的最值．
解 (1)由－1≤5t－1≤1，得 0≤t≤25. ∴t 的取值范围是0，25. (2)若 a>0，则 sin x＝1 时，ymax＝a＋b；sin x＝－1 时，ymin＝ b－a. 若 a<0，则 sin x＝－1 时，ymax＝b－a；sin x＝1 时， ymin＝a＋b.
(3)对求含有三角函数的复合函数的单调性，如 y＝Asin(ωx＋φ) 其中 A>0，ω>0 的单调区间的确定，基本思想是把 ωx＋φ 看作一个整体．由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π，k∈Z，解出 x 的范围，所得区间即为增区间，若 A>0，ω<0，可用诱导公式将函数化简为 y ＝－Asin(－ωx－φ)，则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间．
【变式 1】求函数 y＝3cosπ3－2x的单调递增区间．解由已知函数为 y＝3cosx2－π3，欲求函数 y＝3cosπ3－2x的单调递增区间，只需求函数 y＝3cosx2－π3的单调递增区间．
由 2kπ－π≤2x－π3≤2kπ (k∈Z)，得 4kπ－43π≤x≤4kπ＋23π (k∈Z)，函数 y＝3cosπ3－2x的单调递增区间为 4kπ－43π，4kπ＋23π (k∈Z)．

高中数学三角函数的单调性知识分析

卢玉玺

(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)

摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以三角函数中的单调性类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.

关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性

中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５

作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.

㊀㊀

一㊁正弦函数的单调区间

在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.

例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π

３

－２ｘ)的单调区间.

思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ

＝－ｓｉｎ(２ｘ－π

３

)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ

－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.

之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以

得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋

第4课时三角函数的单调性、奇偶性、周期性

3.已知函数 f x 5sin x cos x 5 3 cos2 x 5
2
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)图象的对称轴，对称中心
3x R
【解题回顾】将函数y=f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式(即单一形式)，才能研究其图象及性质.
4.已知函数f(x)=log(1/2)(sinx-cosx)， (1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间； (3)判定它的奇偶性； (4)判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期
【解题回顾】函数的单调性，复合函数的增减性，可按增减为减、增增为增、减减为增的法则判断．
返回Baidu Nhomakorabea
延伸·拓展
2.对于形如y=2sin(π/3-2x)的单调区间，常因为没有注意到x 的系数为负，从而得出相反的结论
3.对于函数y=Asin(ωx+φ)的周期，如果说是2π/ω，则没有考虑ω的正负
返回
2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函数、奇函数.
3.周期性 (1)定义对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周期函数，T叫这个函数的周期
(2)所有周期中的最小正数叫最小正周期

求三角函数的单调性的基本方法[推荐]

求三角函数的单调性的基本方法[推荐] 三角函数的单调性是函数在其定义域内的特定区间内单调增加或减少的特性。

对于三角函数，如正弦函数(sine function)、余弦函数(cosine function)和正切

函数(tangent function)，它们的单调性取决于其角度或弧度的值。为了理解和确

定三角函数的单调性，我们可以采用以下的基本方法：

方法一：使用函数图像

对于三角函数，其图像是理解其单调性的直观且有效的方式。通过绘制函数的

图像，我们可以清晰地看到函数在哪些区间内是单调增加或减少的。例如，正弦函

数的图像呈现了周期性的变化，其在每个周期内都有一段上升和下降的区间，这就

是正弦函数的单调性。

方法二：利用三角恒等式和三角函数的性质

除了观察图像，我们还可以利用三角恒等式和三角函数的性质来理解和确定函

数的单调性。例如，我们知道正弦函数在任何角度下都有定义，但在0到π/2

（弧度）之间是单调增加的，而在π/2到π（弧度）之间是单调减少的。这是因

为正弦函数在这个范围内的导数（也就是变化率）是正的（增加）和负的（减

少）。

方法三：利用导数判断

对于一般函数，我们可以通过求导数来判断其单调性。对于三角函数，我们也

可以通过求导数来判断其单调性。例如，我们可以求正弦函数的导数，然后观察其

在哪个区间内为正（即函数在此区间内单调增加），在哪个区间内为负（即函数在

此区间内单调减少）。这种方法可以与第一种方法（使用函数图像）相互验证。

结论：理解和确定三角函数的单调性需要综合运用以上三种方法。通过绘制函

数图像、掌握三角恒等式和三角函数的性质、以及利用导数判断函数的单调性，我

三角函数的单调性的例题

3
≤ 2kπ + π , k ∈ Z ,
解法二：解法二： Z = 2x + π , 则y = cos Z 令 3
Q 2 x +
π
∴ y = cos(2 x +
3
为减函数
π
3 即为y = cos Z的递增区间 π ∴ π + 2kπ ≤ 2 x + ≤ 2kπ , k ∈ Z
3 2π π 解得： + kπ ≤ x ≤ + kπ , k ∈ Z 6 3
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ递减区间
例题：例题：
求 f (x) =sin x+2 3sin xcos xcos x 的最小正周期和最小值, 的最小正周期和最小值,并写出该函数在 [0, π ]上的单调递增区间. 区间.
2 2
递减区间。求 y = cos(2 x + ) 递减区间。
解：
π
Q y = cos(2x + ) = cos[(2x )] = cos(2x ) 3 3 3
π
3
π
π
∴当2kπ ≤ 2 x
π
π
2π 即 + kπ ≤ x ≤ + kπ , k ∈ Z时，函数为增函数， 6 3 π 2π 故原函数的单调递增区间为[kπ + , kπ + ], k ∈ Z . 6 3

求三角函数的单调性的基本方法推荐

求三角函数的单调性的基本方法：

k x k k z π

ππ-

≤≤+

∈和3

22,22

k x k k z π

πππ+

≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。

1、求函数)

3sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。

解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>）的形式：

)

321sin()213sin(π

π--=-=x x y

⑵把标准函数转化为最简函数（sin y A x =）的形式：

令123z x π

，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-

⑶讨论最简函数sin y z

=-的单调性：

从函数

sin y z

=-的图像可以看出，

sin y z

=-的单调增区间为

3[2,2]22k k π

πππ+

+，Z ∈K 。所以3

2222

K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K 即ππππ

π2

232122+≤-≤

K x K ， Z ∈K ∴ππππ311

4354+≤≤+K x K ， Z ∈K

⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：

当k=0时，ππ3

1135≤≤x

当k=1时，

2223

ππ

≤≤

当k=-1时，π

≤

-x

⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：

因为[2,2]

xππ

∈-，所以该函数的单调增区间为

高考数学复习三角函数的单调性与最值

第4讲三角函数的图象与性质

求复合三角函数的单调区间

求复合三角函数的单调区间复合三角函数是指由两个或多个三角函数通过数学运算得到的一个函数。为了求该函数的单调区间，首先需要将其拆分成多个三角函数的复合形式，然后分别分析每个三角函数的单调性，最后将其组合起来得到整个函数的单调区间。

例如，已知函数$f(x)=\sin(2x+\pi/3)$，我们可以将其拆分为$f(x)=\sin(2x)\cos(\pi/3)+\cos(2x)\sin(\pi/3)$。由于$\cos(\pi/3)$和$\sin(\pi/3)$都为正数，所以可以忽略掉它们，只需要考虑$\sin(2x)$和$\cos(2x)$的单调性即可。

根据三角函数的性质，$\sin(2x)$在$[k\pi,(k+1)\pi]$内单调递增或递减（$k$为整数），而$\cos(2x)$在$[k\pi+\pi/2, (k+1)\pi+\pi/2]$内单调递增或递减。因此，要求出$f(x)$的单调区间，只需要将$[k\pi,(k+1)\pi]$和$[k\pi+\pi/2,

(k+1)\pi+\pi/2]$分别代入$\sin(2x)$和$\cos(2x)$的单调性中，然后再组合起来即可。

总之，求一个复合三角函数的单调区间需要分步进行，首先拆分成多个三角函数的复合形式，然后分析每个三角函数的单调性，最后将其组合起来得到整个函数的单调区间。

第六讲三角函数的单调性及最值

第六讲三角函数单调性及最值

[学习目标] 1. 掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.

掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.

3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间． [知识链接]

1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期？

答由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，

所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，

即f ⎝

⎛

⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，

所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2π

就是它的一个周期．由于x 至少要增加

2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π

|ω|

是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．

2．观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？

答正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]

正弦函数的图象和性质

定义域 (－∞，＋∞)或R

经典例题

要点一求函数的单调区间

例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4－x 的单调递增区间．

解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －π4，

令z ＝x －π

4，则y ＝－2sin z .

因为z 是x 的一次函数，

所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋

求三角函数的单调性的基本方法[推荐]

三角函数的单调性1

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步步深入，突破含参的三角函数在区间上单调问题

三角函数基本题型及解题方法

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三角函数的单调性

第4课时三角函数的单调性、奇偶性、周期性

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第六讲 三角函数的单调性及最值

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