数列通项的求解方法归纳与练习题

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求数列通项公式的办法(教案+例题+习题)

求数列的通项公式的方法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数

列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.

解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴9123

a a a =， 32

n a f ++=经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3

12---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．

练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；

②数列{}n a 满足11154,3

n n n a S S a ++=+=，求n a ；

3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)

n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______；

4.累加法：

若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

例3.已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。解：由条件知：111121-===-+a a n n 21a a ⋅⋅⋅(n （1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

求数列的通项公式练习题

第一篇：求数列的通项公式练习题

求数列的通项公式练习题

一、累加法

例已知数列{an}满足an+1=an+2n-1,，求数列{an}的通项公式。

练习:已知数列{an}满足an+1=an+2⨯3n+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。

二、累乘法

例已知数列{an}满足a1=1,an+1=

练习:已知数列{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+通项公式。

三、公式法

例已知a1=1,an+1=

n+1an，求数列{an}的通项公式。n+2求{an}的+(n-1)an-1(n≥2)，1sn,求an 3

第二篇：求数列的通项公式

数列通项公式求法探究

求数列的通项公式是高中阶段经常遇到的问题，通常特殊数列：等差数列、等比数列，我们可以通过已有的公式求解，而其他一些数列往往可以转化为和它们有关的数列求解。在此仅根据自己的教学经验谈几种求数列通项的方法。

一、公式法：求已知等差数列或等比数列的通项公式

对于已知等差数列或等比数列的通项公式的求解，通常只需要由条件求出首项、公差或者公比，再代入公式即可。

例1（1）已知等差数列{

（2）已知等比数列{

二、由数列的前n和

例2（1）设数列{an}满足a=7，a+a35527=26，求an ann}中a1=1，a=-8a，a＞a52，求an s求数列的通项公式a}的前n和nsn+1，求a =n82

（2）已知数列{

求数列{a}的前n和ns=2nn2+2n，数列{bn}的前n和Tn= 2-bn，an}和{b}的通项公式。n

（3）设数列{

证明：数列{

an}的前n和为sn，已知a=1，s1n1=4an+2 an1-2an}是等比数列；求数列{an}的通项公式。

求数列通项公式的十种方法例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

数列通项公式的常用方法及例题

一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式

()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.

例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.

二、n s 与n a 的关系式法：⎩⎨

⎧≥-==-2

,1,11n S S n S a n n n 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .

例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=

+，其中11=a ，求n a .

三、累加法：()n f a a n n =--1，()的函数是一个关于n n f

例4：

12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a

四、累乘法：()1

n n a f n a -=，()的函数是一个关于n n f 例5：111,1

n n n a a a n -==

- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a

五、构造法：㈠、两边加常数：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形

式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

处理方法：设1n n a ka b λλ-+=++ 则1()n n b a k a k

λλ-++=+ b k λλ+=令 1

b k λ∴=- 111111n n n n b b a k a k k b a k k b a k --⎛⎫∴+

初中数学数列与数学归纳法练习题

初中数学数列与数学归纳法练习题数列与数学归纳法是初中数学中的重要概念，通过练习题的形式可以巩固对这两个知识点的理解和应用。本文将为大家提供一些初中数学数列与数学归纳法练习题，并附带详细解答，帮助读者加深对这两个概念的掌握。

1. 数列练习题

题目一：已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前5项。

解答：根据通项公式an = 3n + 2，将n依次代入1、2、3、4、5，求得数列的前5项为5、8、11、14、17。

题目二：已知数列{bn}的前n项和Sn的表达式为Sn = 2n^2 + 5n，求该数列的通项公式。

解答：根据已知的前n项和表达式Sn = 2n^2 + 5n，我们可以通过分析和推导来求解数列的通项公式。首先求出前几项的和，得到数列的差分，可以发现差分数列的通项为2n + 5。再对差分数列进行求和，得到原数列的通项公式为bn = n^2 + 5n + C，其中C为常数。通过代入前几项的值，可以得到C的值为0，所以数列的通项公式为bn = n^2 + 5n。

题目三：数列{cn}的通项公式为cn = 2^n，求该数列的前6项。

解答：将n依次代入1、2、3、4、5、6，求得数列的前6项为2、4、8、16、32、64。

2. 数学归纳法练习题

题目一：利用数学归纳法证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2，其中n

为正整数。

解答：首先，我们验证当n = 1时等式是否成立。代入n = 1，左边

的等式为1，右边的等式为1，所以当n = 1时等式成立。

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解讲解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

求数列的通项公式练习题

数列是数学中的重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。而

数列的通项公式则是指能够用一个公式来表示数列中任意一项的数学表达式。

求解数列的通项公式是数学中的一项基本技能，也是数学学习的重要内容之一。在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和提高对数列通项公式的理解和应用。练习题一：等差数列

首先，我们来看一个简单的等差数列的例子。假设有一个等差数列的前五项分

别是2、5、8、11、14，我们需要求解该等差数列的通项公式。

解答：对于等差数列，其通项公式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中an表示

第n项，a1表示首项，d表示公差。根据题目中给出的前五项，我们可以得到

以下等式：

a1 = 2

a2 = 5

a3 = 8

a4 = 11

a5 = 14

我们可以观察到每一项与前一项之间的差值都是3，因此该等差数列的公差d

为3。代入通项公式，我们可以得到：

an = 2 + (n-1)3

练习题二：等比数列

接下来，我们来看一个等比数列的例子。假设有一个等比数列的前四项分别是1、2、4、8，我们需要求解该等比数列的通项公式。

解答：对于等比数列，其通项公式可以表示为 an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。根据题目中给出的前四项，我们可以得到以下等式：

a1 = 1

a2 = 2

a3 = 4

a4 = 8

我们可以观察到每一项与前一项之间的比值都是2，因此该等比数列的公比r 为2。代入通项公式，我们可以得到：

an = 1 * 2^(n-1)

练习题三：斐波那契数列

数列的通项公式的求法以及典型习题练习

数列解题方法与研究顺序

一、累加法

累加法是最基本的两个数列解题方法之一，适用于广义的等差数列，即an+1=an+f(n)。

1.若an+1-an=f(n)（n≥2），且a2-a1=f(1)，则可得an+1-

a1=∑f(n)（k=1至n）。

例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2n+1，故an+1-an=f(n)=2n+1，且a2-

a1=f(1)=3.

根据累加法得an+1-a1=∑f(n)=∑(2n+1)=n(n+1)+n= n^2+2n，即an=n^2+2n。

所数列{an}的通项公式为an=n^2+2n。

2.若an+1-an=f(n)，则可得an+1/an=f(n)。

例2：已知数列{an}满足an+1=an+2×3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2×3+1=7，故an+1-an=f(n)=7.

根据累乘法得an+1/an=f(n)=7，即an=3×7^(n-1)。

所以数列{an}的通项公式为an=3×7^(n-1)。

二、累乘法

累乘法是最基本的两个数列解题方法之二，适用于广义的等比数列，即an+1=f(n)×an。

1.若an+1/an=f(n)，则可得an+1/an=∏f(k)（k=1至n）。

例3：已知数列an=an-1/n，a1=2，求数列的通项公式。

解：由题可知，f(n)=1/n，故an+1/an=f(n)=1/n。

根据累乘法得an+1/an=∏f(k)=∏(1/k)=1/n。即an=n!/n。

数列通项公式的完整求法,还有例题详解

一．

观察法之答禄夫天创作

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17

4,1093

42,2

11（3） ,5

2,2

1,3

1（4） ,5

,43,

32,21-- 解：（1）变形为：101

－1，102

―1，103

―1，104

―1，……∴通项公式为：110-=n n a

（2）;1

++=n n n a n

（3）;1

2+=

n a n （4）1

)1(1+⋅

-=+n n

a n n .点评：关键是找出各项与项数n

的关系。

二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式：

a n ＝1*

(1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。例1：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2

，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2

，a 3 = f (d +1)= d 2

，∴

a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，

∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2

，b 3

=f (q －1)=(q －2)2

，

∴2

13)2(q q b b -=

数列通项公式解法总结及习题(附详解答案)

数列通项公式解法总结及习题训练（附答案）

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：

{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==-≥。

3.作商法：已知12

()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

4.累加法：

若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

5.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121

n n n n n a a a

a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。

6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

1）递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足⎩⎨

⎧-==+q st p

t s

2）形如1

1n n n a a ka b

--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

7.数学归纳法先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明。 8.换元法换元的目的是简化形式，以便于求解。

9、不动点法对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求

10定系数法适用于1()n n a qa f n +=+

数列通项公式的多种妙解方式(十六大经典题型)(解析版)

数列通项公式的多种妙解方式

经典题型一：观察法经典题型二：叠加法经典题型三：叠乘法经典题型四：待定系数法经典题型五：同除以指数经典题型六：取倒数法经典题型七：取对数法

经典题型八：已知通项公式a n 与前n 项的和S n 关系求通项问题经典题型九：周期数列经典题型十：前n 项积型经典题型十一：“和”型求通项

经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型经典题型十三：因式分解型求通项经典题型十四：其他几类特殊数列求通项经典题型十五：双数列问题经典题型十六：通过递推关系求通项

(2022·全国·高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13

的等差数列．(1)求a n 的通项公式；

(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1

a n

<2．

【解析】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴

S 1a 1=1,又∵S n a n 是公差为13的等差数列，∴S n a n =1+13

n -1 =n +2

3,∴S n =n +2 a n 3,∴当n ≥2时，S n -1=n +1 a n -13，∴a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13

,整理得：n -1 a n =n +1 a n -1,即

a n a n -1=n +1n -1,∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n -1a n -2×a n a n -1=1×31×4

×⋯×n n -2×n +1

n -1=n n +1 2，显然对于n =1也成立，∴a n 的通项公式a n =n n +1 2；

数列的通项与求和练习题

数列是数学中一种常见的数学对象，涉及了数学中的许多重要概念

与方法。对于数列的通项与求和问题，我们需要通过理论知识与练习

来加深理解与熟练运用。本文将给出一些数列的通项与求和练习题，

帮助读者加深对数列的理解与应用。

一、等差数列

1. 设等差数列的首项为a1，公差为d。该等差数列的第n项是多少？

答案：an = a1 + (n-1)d

2. 设等差数列的首项为a1，公差为d。前n项的和是多少？

答案：Sn = n/2 * (a1 + an)

例题：

已知等差数列的前5项分别为2、5、8、11、14。求该等差数列的

通项公式与前20项的和。

解答：

首先，根据等差数列的定义可知，公差d=5-2=3。又已知a1=2，代

入等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可得通项公式为an = 2 + (n-1) * 3。

其次，利用等差数列前n项和的公式Sn = n/2 * (a1 + an)，代入已知条件，即可求得前20项的和。

二、等比数列

1. 设等比数列的首项为a1，公比为q。该等比数列的第n项是多少？

答案：an = a1 * q^(n-1)

2. 设等比数列的首项为a1，公比为q。前n项的和是多少？

答案：Sn = a1 * (q^n - 1)/(q-1)，当q不等于1时；Sn = n * a1，当

q=1时。

例题：

已知等比数列的第2项为3，公比为2。求该等比数列的通项公式

与前10项的和。

解答：

首先，设该等比数列的首项为a1，代入等比数列的通项公式an =

a1 * q^(n-1)，可得通项公式为an = a1 * 2^(n-1)。

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学xx、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其xx形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于： ----------这是xx 的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若，

则

两边分别相加得

例1 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)12

(1)(1)1

n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列的通项公式为。

例2 已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一：由得则

所以

解法二：两边除以，得，

则，故

112232112232111122122()()()()33333333

求数列通项公式的十种方法-例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关

系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：

1()

n n a a f n +=+ ----------这是

广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)

n ≥，

则

21321(1)(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-

两边分别相加得

111()

n k a a f n +=-=∑

例1 已知数列{}

n a 满足

11211

n n a a n a +=++=，，求

数列{}

n a 的通项公式。

解：由

121

n n a a n +=++得

121

n n a a n +-=+则

所以数列{}

n a 的通项公式为

n a n =。

例2 已知数列{}

n a 满足

112313

n n n a a a +=+⨯+=，，求

数列{}

求数列通项公式的十种方法-例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、

阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

)

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

;

例2 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

【典型例题】

[例1] b ka a n n +=+1型。

（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1

比较系数：b m km =- ∴

1-=

k b m

∴

}1{-+

k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a

∴

11)1(1-⋅-+=-+

n n k k b a k b a ∴

1)1(11--⋅-+=-k b

k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。

（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。

例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1

1+=

-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

解：

∵

1)1(11+-

=+=

-+n n n n a a n n

∴

n n a a n n 1111--=

-- 112121---=---n n a a n n

3132--

-=---n n a a n n ……

312123-=

-a a 21112-=-a a

对这（1-n ）个式子求和得：

n a a n 111-

=- ∴ n a n 1

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1