2投影ppt课件
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2 投影的基本知识
建筑识图与构造
图2.16 三面投影图的规律 建筑识图与构造
2.3.4 三面投影图的方位
形体在三面投影体系中的位置确定后， 形体在三面投影体系中的位置确定后，相对 于观察者，它的空间就有上、 于观察者，它的空间就有上、下、左、右、前、 后六个方位，如图2.17所示。 所示。 后六个方位，如图 所示 • 水平面上的投影反映形体的前、 水平面上的投影反映形体的前、后、左、右 关系，正面投影反映形体的上、 右关系， 关系，正面投影反映形体的上、下、左、右关系， 侧面投影反映形体的上、 后关系。 侧面投影反映形体的上、下、前、后关系。
图2.12 形体的三面投影 建筑识图与构造
图2.13 三面投影体系的建立 建筑识图与构造
图2.14 三面投影图的形成 建筑识图与构造
2.3.2 三面投影图的展开
• 三个投影面分别位于三个互相垂直的平面 为了作图方便，将水平投影面绕OX轴向 上，为了作图方便，将水平投影面绕 轴向 下旋转90° 与正立投影面在一个平面内； 下旋转 °，与正立投影面在一个平面内；将 侧立投影面绕OZ轴向后旋转 轴向后旋转90° 侧立投影面绕 轴向后旋转 °，使其与正 立投影面也在一个平面内。 立投影面也在一个平面内。 • 这样， 这样，三个投影面被摊开在一个平面内的 方法，叫做三面投影图的展开 如图2.15所示。 三面投影图的展开， 所示。 方法，叫做三面投影图的展开，如图 所示
2 投影的基本知识
本章提要
本章主要介绍投影的概念与分类、 本章主要介绍投影的概念与分类、正 投影的特性、三面投影体系的建立及形体在 投影的特性、 三面投影体系中的投影规律以及形体在三面 投影体系中投影的作图方法。 投影体系中投影的作图方法。
建筑识图与构造
本章内容
第2章 投影基础
长
宽
长
主视图、俯视图长相等且对正
主视图、左视图高相等且平齐
宽
俯视图、左视图宽相等且对应
主、俯视图——长对正；
主、左视图——高平齐；
俯、左视图——宽相等。
4.三视图之间的方位对应关系
上
上
左
右后
前
下
下
后
左
右
前 主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
主视图 由前向后投射所得的视图 俯视图 由上向下投射所得的视图 左视图 由左向右投射所得的视图
d'
d"
e'
e"
b
c
a ed
2、棱锥
（1）棱锥的三视图
s'
s"
s
（2）棱锥面上取点
s'
s"
c'
b' a'
(c")
b" a"
k'
a
sc k b
例2.补画四棱台的侧面投影，并作出表面上各点的其余 投影。
c' (b') a' d'
(c") b" (a")
d"
b
c
d
a
二、回转体的三视图及表面取点
画曲面立体视图的 实质是画围成曲面 立体的平面和回转 面的投影。
8
5
a
8.重影点的投影
a'
d'(c')
b'
A
C
B
D
a (b)
c d
2-2投影的基本知识三视图的介绍
物体左右主、俯见。物体上下主、左见。 俯视、左视显前后，远离主视是前面。
三视图画法
1、物体的摆放
原则： 使体上尽量多的面与 投影面平行或垂直 并让形体结构特征 明显的方向为主视 方向。
2、画图
定位、布置图。 打底稿。先从主视开始。
三 视 图 作 图 过
A
程
B
a’ a”
b’ b”
b
a
C
A
c’
三视图的必要性
• 举例：将下列不同物体向同一投影面投射，得到 举例： 同样的视图。
结论： 结论：一个视图不能反映空间物体的真实形状，需 用多个视图，常用三视图。
三视图的形成 1.建立三投影体系 1.建立三投影体系
用三个互相垂直的平面组 成三个投影面，即正面（V表 示）、水平面（H表示）、侧 面（W表示）。三面的交线称 为投影轴，OX轴是V和H面交线， OY轴是H和W面交线，OZ轴是V 和W面交线，三轴交于O点。
建立三投影体系用三个互相垂直的平面组成三个投影面即正面v表示水平面h表示侧面w表示
[过
渡]
投影是人眼观物得到的图形，眼光被称作视线，因此，
投影图也叫作视图。
三视图的形成及其投影规律 要点： 要点：
1、清楚三视图的由来。 清楚三视图的由来。 2、重点了解三视图的三个对应关系（位置、三等、方 重点了解三视图的三个对应关系（位置、三等、 位）。 3、会画简单物体的三视图。 会画简单物体的三视图。
三视图之间的对应关系
1、位置关系
• 以主视图为准，俯视 图在它的正下方，左 视图在它的正右侧， 位置固定，不必标注。
2、三视图之间的“三等”关 三视图之间的“三等” 系
• 主、俯视图长对正。 俯视图长对正。 • 主、左视图高平齐。 左视图高平齐。 • 俯、左视图宽相等。 左视图宽相等。
三视图画法
1、物体的摆放
原则： 使体上尽量多的面与 投影面平行或垂直 并让形体结构特征 明显的方向为主视 方向。
2、画图
定位、布置图。 打底稿。先从主视开始。
三 视 图 作 图 过
A
程
B
a’ a”
b’ b”
b
a
C
A
c’
三视图的必要性
• 举例：将下列不同物体向同一投影面投射，得到 举例： 同样的视图。
结论： 结论：一个视图不能反映空间物体的真实形状，需 用多个视图，常用三视图。
三视图的形成 1.建立三投影体系 1.建立三投影体系
用三个互相垂直的平面组 成三个投影面，即正面（V表 示）、水平面（H表示）、侧 面（W表示）。三面的交线称 为投影轴，OX轴是V和H面交线， OY轴是H和W面交线，OZ轴是V 和W面交线，三轴交于O点。
建立三投影体系用三个互相垂直的平面组成三个投影面即正面v表示水平面h表示侧面w表示
[过
渡]
投影是人眼观物得到的图形，眼光被称作视线，因此，
投影图也叫作视图。
三视图的形成及其投影规律 要点： 要点：
1、清楚三视图的由来。 清楚三视图的由来。 2、重点了解三视图的三个对应关系（位置、三等、方 重点了解三视图的三个对应关系（位置、三等、 位）。 3、会画简单物体的三视图。 会画简单物体的三视图。
三视图之间的对应关系
1、位置关系
• 以主视图为准，俯视 图在它的正下方，左 视图在它的正右侧， 位置固定，不必标注。
2、三视图之间的“三等”关 三视图之间的“三等” 系
• 主、俯视图长对正。 俯视图长对正。 • 主、左视图高平齐。 左视图高平齐。 • 俯、左视图宽相等。 左视图宽相等。
第2章 投影理论2(直角投影定律、平面、平面的倾角)
一 线 两 面
正垂面
（V）
侧垂面 （W）
2、平面上的直线和点
P54~55
点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则 此点必在该平面上 。
直线在平面上的条件： 1、通过平面上的两个点。
2、通过平面上的一个点， 且平行于平面上的一条直线 。
［例1］已知三棱锥SAB面上一点K的V投影k′， 试求其H投影k 。
b
H
AB
ab
ΔZ
作图步骤：
V
AB
ΔZ
b
AB
ΔZ
b
B
ΔZ
ab a
X
ΔZ
ab
a X
A a
O C b H a
b
AB
ΔZ
求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。
方法一
ห้องสมุดไป่ตู้AB
ΔY
AB
ab ΔY
b
a b
X
ab ΔY a
AB
方法二
已知直线AB的β=30º ，试求其另一投影。
2）连接b、ｄ，bｄ交ac于e；
X
a e b
c′
ｄ
3）由e在a′c′上求出e′；
4）连接b′e′， 在b′e′上求出ｄ′； 5）分别连接a′ｄ′及
c′ｄ′，即为所求。 c
3、平面上的特殊位置直线
平面上的投影面平行线
P55
平面上的投影面平行线，有平面上的水平 线、正平线和侧平线三种
平面上的投影面平行线： 正平线AE， 水平线CD。
2） 当直线的两个 投影都相交，且其 中一直线平行于第 三个投影面时，一 般应观察投影面平 行线所平行的那个 投影面上的投影， 或按线上点的等比 关系，来判断两直 线是否相交。
制图-正投影法PPT课件
例9：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影后可知 AB与CD不平行
要用两个投影判断空间两直线是否平行时，其中应包括反映实长的投影。
a
b
c
d
b
a
c
d
k
k
⒉ 两直线相交
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必须符合点的投影规律。
Abc为平面内的任一直线
试想:可作多少条这样的直线MN?
无数条!
●
●
正平线
例16：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
c
●
b
a
m
a
b
c
m
●
●
●
试想:可作多少条这样的直线MN?
唯一的一条!
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。
A、B为V面的重影点
重影点
被挡住的投影加( )
例2：已知各点的两个投影，求其第三投影。
(2)
b
a’
b’
c’
(1)
a(c)
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB
二、直线上的点
判别方法：
A
B
C
V
H
b
c
c
b
a
a
定比定理
例6：判断点C是否在线段AB上。
点C在直线AB上
点C不在直线AB上
②
求出侧面投影后可知 AB与CD不平行
要用两个投影判断空间两直线是否平行时，其中应包括反映实长的投影。
a
b
c
d
b
a
c
d
k
k
⒉ 两直线相交
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必须符合点的投影规律。
Abc为平面内的任一直线
试想:可作多少条这样的直线MN?
无数条!
●
●
正平线
例16：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
c
●
b
a
m
a
b
c
m
●
●
●
试想:可作多少条这样的直线MN?
唯一的一条!
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。
A、B为V面的重影点
重影点
被挡住的投影加( )
例2：已知各点的两个投影，求其第三投影。
(2)
b
a’
b’
c’
(1)
a(c)
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB
二、直线上的点
判别方法：
A
B
C
V
H
b
c
c
b
a
a
定比定理
例6：判断点C是否在线段AB上。
点C在直线AB上
点C不在直线AB上
2-投影的基本知识及点的投影
三 面 投 影 体 系 的 展 开
点的三面投影的规律
点
的
投
影
的
点的三面投影的表示方法
画
法
各种位置的点及点的相对位置
1. 点的三维坐标的含义及应用 2. 各种位置的点的坐标 3. 点的相对位置
空 间 点 的 坐 标 的 意 义
点 的 坐 标 的 意 义 及 应 用
各种位置的点的投影
两重影点的投影
两 空 间 点 的 投 影例 题1Fra bibliotek例 题
2
练 习
1
练 习
2
2~1 投影的基本知识
一、投影的概念及分类 1. 举例说明投影的形成所必须具备的三个条件
2. 投影的分类
投影的形成及分类
二、园林工程中常见的投影图 1. 正投影图 2. 轴测投影图 3. 透视投影图 4. 建筑阴影图
杯型基础的正投影
杯型 基础 的轴 测投
影
杯 型 基 础 的 透 视 投 影
台阶透视投影
门 洞、 雨 棚 的 阴 影
2~2 点的投影
一、点在三面投影体系第一角中的投影 的形成及规律 1. 三面投体系的组成及三面投影体系的 第一角 2. 点在三面投影体系第一角中的投影的 形成、表示方法及规律
三 面
投影面 投 投影轴 影 正方向 体
系 及 其 第 一 角
点 的 投 影 的 形 成
第二章投影的基本知识
相应空间点的投影
2.1.2.2 平行投影法
如果把中心投影法的投影中心移至无穷远处， 则各投影线成为相互平行的直线，这种投影法称为 平行投影法。
S S
H
H
正投影法 投影方向S 垂直于投影面H
斜投影法 投影方向S 倾斜于投影面H
2.1.3 工程上常用的几种图示法
1.正投影
2.轴测投影 3.透视投影
4.标高投影
中心投影法： 投影线均通过投影中心。 投影特性：
投影中心
S A B a b c
投影线
C
如改变△ABC与投影中心 投影面H 或投影面之间的距离，则其 投影△abc的大小也随之改 变，度量性较差。
在投影中心确定的情况下，空 间的一个点在投影面上只存在唯 一一个投影。
投影
规定
大写字母表示空间点 小写字母表示
2.2.1.5相仿性
一般情况下，平面形的投影都要发生变形，但投影形状总 与原形相仿，即平面投影后，其投影形状与原形的边数相同 、平行性相同、凸凹性相同及边的直线或曲线性质不变。
伸缩系数k：投影长与线段原长之比
k=ab/AB=cosα
特殊情况下，平行投影还具有以下性质
1.积聚性： 当直线平行于投影方向S时，直线的投影 为点；当平行图形平行于投影方向S时，其投 影为直线。
第二章 投影的基本知识
§2－1 投影概念
2.1.1 影子和投影 物体在光源的照射下会出现影子。
投影的方法就是从这一自然现象 抽象出来，并随着科学技术的发展 而发展起来的。
2.1.2 投影的分类
常用的投影法有两大类：
中心投影法和平行投影法。
投影法
中心投影法
平行投影法 正投影法
斜投影法
二投影的基本知识
（2）从属性 点在直线上，点的正投影一定在该直线的正投 影上。点、直线在平面上，点和直线的正投影一定 在该平面的正投影上，这种性质称为正投影的从属 性。如图I-4所示。
（a）
图I-4从属性
（b）
（3）定比性 点在直线上，点分该直线成一定比例的两段， 那么，点的投影也分直线的投影成相同比例的两段。 这一特性称为定比性。
图2-2-1作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）
（二）各种位置直线的投影特性 空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系 可分为三种：投影面平行线、投影面垂直线和投影面 倾斜线。前两种称为特殊位置直线，后一种称为一般 位置直线。 投影面平行线 1．定义：指平行于一个投影面，而倾斜于另外两 个投影面的直线。 2．分类及投影图：投影面平行线可分为：正平线、 水平线、侧平线。这三种平行线的投影图如表2-1所示。
（a）中心投影 （b）斜投影 （c）正投影
图I-2投影的分类
二、正投影的基本性质 （1）同素性 点的正投影仍然是点，直线的正投影一般仍为直 线（特殊情况例外），平面的正投影一般仍为原空间 几何形状的平面（特殊情况例外），这种性质称为正 投影的同素性。如图I-3所示。
（a）点的投影 （b）直线的投影 （c）平面的投影 图I-3同素性
图I-15形体的三面正投影图
2、轴测投影图 图I-16是形体的轴测投影图（也称立体图）。它 是用平行投影的正投影法绘制的单面投影图。 优点：立体感强，非常直观。 缺点：作图较繁，表面形状在图中往往失真，度 量性差，只能作为工程上的辅助性图样。
图I-16形体的轴测图
3、透视投影图 图I-17是形体的透视投影图。它是用中心投影法绘 制的单面投影图。 优点：图形逼真，直观性强。 缺点：作图复杂，形体的尺寸不能直接在图中度量 ，故不能作为施工依据，仅用于建筑设计方案的比较及 工艺美术和宣传广告画等。
第二章投影法的基本知识
X
c a
O
b
例 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
X
a
C
A
O
X
a
b
a
c
c
b
H
a
cb ac
O
五、两直线的相对位置
1.平行两直线
d b
c
D
a
B
a
X A
X CO
b
b
a
c
d b c
O d b c
a
（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直 线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
2.3点的直角坐标表示法
侧面投影反映Y、 Z值。
水平投影反映X、Y值。 正面投影反映X、Z值。
特殊点的投影 投影面上的点
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
3.两点相对位置 上
下
后前
左
右
3.1两点的相对位置（续）
V
P B
铅垂面
c a
W
b
c a
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线
2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
V
b
QV
a
A
c
C
正垂面
W a
c a
O
b
例 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
X
a
C
A
O
X
a
b
a
c
c
b
H
a
cb ac
O
五、两直线的相对位置
1.平行两直线
d b
c
D
a
B
a
X A
X CO
b
b
a
c
d b c
O d b c
a
（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直 线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
2.3点的直角坐标表示法
侧面投影反映Y、 Z值。
水平投影反映X、Y值。 正面投影反映X、Z值。
特殊点的投影 投影面上的点
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
3.两点相对位置 上
下
后前
左
右
3.1两点的相对位置（续）
V
P B
铅垂面
c a
W
b
c a
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线
2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
V
b
QV
a
A
c
C
正垂面
W a
第2章 投影基础
2.1.3 工程中常用的投影方法和投影图
(1)透视投影 图
(2)轴测投影图
S
Z
O X Y
(3)正投影图
（3）正投影图
（4）标高投影图
25 20 1 5 25 20 1 5
25
20 1 5
§2.2 正投影特性
研究投影的基本性质，旨在研究空间几 何元素本身与其落在投影面上的投影之间的 一一对应关系。其中最主要的是要弄清楚哪 些空间几何特征在投影图上保持不变；哪些 空间几何特征发生了变化和如何变化。 由于正投影具有较好的度量性，因此工 程制图的基础主要是正投影法，所以必须先 掌握正投影的基本性质（以后除特别指明外， 所有投影均指正投影）。
2.3 三面正投影图
三面投影图是采用正投影法将空间几何 元素或几何形体分别投影到相互垂直的三个 投影面上，并按一定的规律将投影面展开成 一个平面，把获得的投影排列在一起，使多 个投影互相补充，以便确切地、唯一地反映 表达对象的空间位置或形状。这种图又称正 投影图。
三面投影体系的建立
Z 正立投影面 （V面） V 侧立投影面 （W面）
B 空间点
2.1.1投影的形成
投影的概念
形体——空间物体。 投影中心──光源。 投射线──投下影子的光线。从投影中心发出的射线。
投影面──获得投影的平面。
投影图——通过投射线将物体投射到投影面所得到的图形。 即产生的影子。
2.1 投影概念
投影三要素：
①投射线
②形体（空间几何元素或几何形体） ③投影面（不通
一 、 三 投 影 面 体 系 的 建 立
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
二投影基础PPT课件
必在直线上？ 是
第四节 平面的投影
平面的任一投影，由围成该平面的各条边线（直线或曲 线）的同名投影组成。对平面多边形而言，由于其各边线均 为直线，则求平面多边形的投影，即为求其各顶点的同名投 影的连线。
一、平面的三面投影
V
a' X
b' B
A b
a
Z
c' b"
Ｗ
O
C
a" c"
先画出各顶点的投 影,后将各点同名 投影依次连接，即 为平面的投影。
（2）正平线
V
c'
C
Z
c′d′=CD
d'
D d"
c'
c" W X
Z
d'
O
d"
c"
YW
X
c
O
d
c
d
Y cd ⊥OYH、
YH
c″d″⊥OYW
都不反映实长
（3）侧平线
V
e' E
f'
X
e
H
Z e'
e" W f'
X
F f" e
O
f
f
Y ef⊥OX
e′f′⊥OX
不反映实长
e″f″=EF
Z
e"
f"
O
YW
YH
总结 投影面平行线的投影特性：
(1) a'a⊥OX
(2) a'a"⊥OZ
(3) aax=a"az
Yw
Z
V
a'
YH 45°辅助线
2投影的基本知识
Z V W
X
W
ＹW
H Ｙ H ＹH 剪开
Z V
X
ＹＷ
H ＹＨ
三个投影面展开以后，三条投影轴成了两条相交的直线；原X、Z 轴位置不变，原Y轴则分成ＹＨ，ＹＷ 两条轴线。
3、三面正投影图的分析
Z
三面正投影图之间的规律：
高 高
长对正，
宽 ＹＷ
长 X 长 宽
高平齐， 宽相等。
ＹＨ
一般来说，用三个相互垂直的平面做投影面，用形体在这三个 投影面上的三个投影，才能充分地表示出这个形体的空间形状． 三个相互垂直的投影面，称为三面投影体系． 形体在这三面投影体系中的投影，称为三面正投影图．
Z
V（正立投影面）
（侧立投影面）
V
Z
X
O
W
X
W
H （水平投影面）
H Y
Y
２、三个投影面的展开
二、投影的分类
S心投影 投影
平行投影
斜投影
正投影
平行投影
正投影: 投影线垂直于投影面
斜投影：投影线倾斜于投影面
三、土建工程中常用的几种投影图
土建工程中常用的投影图是: 正投影图、轴测图、透视图、标高投影图
1、正投影图 2、轴测图
特点:能反映形体的真实形状和大小,
度量性好,作图简便,为工程制图 中经常采用的一种.
1）平面垂直于投影面，投影积聚为直线。 2）平面平行于投影面，投影反映平面的实形。 3）平面倾斜于投影面，投影变形，图形面积缩小。
五、形体的三面正投影
１、三面投影图的形成
左图为空间3个不同形状的形体，它 们在同一投影面上的投影却是相同的。由 图可以看出：虽然一个投影面能够准确的 表现出形体的一个侧面的形状，但不能表 现出形体的全部形状。 那么，需要几个投影才能确定空间 形体的形状呢？
X
W
ＹW
H Ｙ H ＹH 剪开
Z V
X
ＹＷ
H ＹＨ
三个投影面展开以后，三条投影轴成了两条相交的直线；原X、Z 轴位置不变，原Y轴则分成ＹＨ，ＹＷ 两条轴线。
3、三面正投影图的分析
Z
三面正投影图之间的规律：
高 高
长对正，
宽 ＹＷ
长 X 长 宽
高平齐， 宽相等。
ＹＨ
一般来说，用三个相互垂直的平面做投影面，用形体在这三个 投影面上的三个投影，才能充分地表示出这个形体的空间形状． 三个相互垂直的投影面，称为三面投影体系． 形体在这三面投影体系中的投影，称为三面正投影图．
Z
V（正立投影面）
（侧立投影面）
V
Z
X
O
W
X
W
H （水平投影面）
H Y
Y
２、三个投影面的展开
二、投影的分类
S心投影 投影
平行投影
斜投影
正投影
平行投影
正投影: 投影线垂直于投影面
斜投影：投影线倾斜于投影面
三、土建工程中常用的几种投影图
土建工程中常用的投影图是: 正投影图、轴测图、透视图、标高投影图
1、正投影图 2、轴测图
特点:能反映形体的真实形状和大小,
度量性好,作图简便,为工程制图 中经常采用的一种.
1）平面垂直于投影面，投影积聚为直线。 2）平面平行于投影面，投影反映平面的实形。 3）平面倾斜于投影面，投影变形，图形面积缩小。
五、形体的三面正投影
１、三面投影图的形成
左图为空间3个不同形状的形体，它 们在同一投影面上的投影却是相同的。由 图可以看出：虽然一个投影面能够准确的 表现出形体的一个侧面的形状，但不能表 现出形体的全部形状。 那么，需要几个投影才能确定空间 形体的形状呢？
数学课件-2平行投影
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．
精讲点拨
例 画出如图摆放的正方体在投影面V上的正投影。 （1）正方体的一个面ABCD平行于投影面V； （2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面V,上底面
ADEF垂直于投影面V.
A’
D’
F ’ A’ D’
B’
C’
A
D
B
C
V
从正面看
G’ E
C’ B’
F
D
A
H
G
C
V
B 从正面看
课堂小结
通过本节课的学习，谈谈你的收获？
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月25日星期一下午12时21分45秒12:21:4522.4. 25
• 读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月下午12时21分22.4.2512:21April 25, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月25日星期一12时21分45秒12:21:4525 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第八章 投影与识图
平行投影
复习回顾
中心投影
平行投影
平行投影
在平行投影中，当投影线与投影面垂 直时，几何体在投影面内的投影，称为 正投影
平行投影（正投影）
探究新知
把一条线段AB放在三个不同的位置：
A
B
B
A
A
B
H
A’
B’ A’
B’
A’(B’)
（1）线段平 （2）线段倾 （3）线段垂 行于投影面. 斜于投影面. 直于投影面.
（1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面.
精讲点拨
例 画出如图摆放的正方体在投影面V上的正投影。 （1）正方体的一个面ABCD平行于投影面V； （2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面V,上底面
ADEF垂直于投影面V.
A’
D’
F ’ A’ D’
B’
C’
A
D
B
C
V
从正面看
G’ E
C’ B’
F
D
A
H
G
C
V
B 从正面看
课堂小结
通过本节课的学习，谈谈你的收获？
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月25日星期一下午12时21分45秒12:21:4522.4. 25
• 读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月下午12时21分22.4.2512:21April 25, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月25日星期一12时21分45秒12:21:4525 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第八章 投影与识图
平行投影
复习回顾
中心投影
平行投影
平行投影
在平行投影中，当投影线与投影面垂 直时，几何体在投影面内的投影，称为 正投影
平行投影（正投影）
探究新知
把一条线段AB放在三个不同的位置：
A
B
B
A
A
B
H
A’
B’ A’
B’
A’(B’)
（1）线段平 （2）线段倾 （3）线段垂 行于投影面. 斜于投影面. 直于投影面.
（1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面.
9-2 投影定理
d ( x, M ) = inf x − y
y∈M
(1)
问题 是否存在 y ∈ M ,使得
d ( x, M ) = x − y ?
如果存在这样的
(2)
y ,是否唯一? 是否唯一?
定义1 是线性空间, 定义1 设 X 是线性空间, x , y 是 X 中 的两点, 的两点,称集合
{ z = α x + (1− α ) y | 0 ≤ α ≤ 1}
2
2
= 2 y − x + 2 y0 − x − (y − x) + (y0 − x)
2 2
2
1 = 2δ + 2δ − 4 ( y + y0 ) − x . 2 由 M 的凸性, ( y0 + y ) ∈ M , 所以 2
1 2 2 || ( y0 + y ) − x || ≥ δ 2
(4)
1 ( yn + ym ) − x = yn + ym − 2x = 2 2
1 是凸集, 因为 M是凸集,所以 ( yn + ym )∈M,由此可得 2
vn + vm ≥ 2δ ,又因为 yn −ym =vn −vm ,所以有
yn − ym
2
= vn − vm
2
2 2 2
= − vn + vm + 2( vn + vm )
§2 投影定理
主要内容 一 极小化向量定理 二 投影定理
一
极小化向量定理
是度量空间, 的非空子集, 设 X 是度量空间, M 是 X 的非空子集,
x 是 X 中的一点, 中的一点, 一点
称
inf d ( x , y )
投影(2) 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形 的周长比等于________，面积比等于________； (4)两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的
1 2
1 4
14 cm， 周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长为________
一、复习引入 1．回忆复习平行投影、中心投影的概念． 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影；太阳光线可以 看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影． 2． 下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影， 其中哪个是平行投影， 哪个是中心投影？
图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)、(3)中，投影线互相 平行，形成平行投影．
重点 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积 比等于相似比的平方． 难点
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于 相似比的平方．
一、复习引入
1．回顾相似三角形的概念及判定方法． 2．复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应 角的性质．
二、新课教授 探究 1：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两 个相似多边形呢？ 学生小组自由讨论、交流，达成共识． 设△ABC∽△A1B1C1，相似比为 k， AB BC CA 那么A B ＝B C ＝C A ＝k 1 1 1 1 1 1 ⇒AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1 AB＋BC＋CA kA1B1＋kB1C1＋kC1A1 ⇒ ＝ ＝k. A1B1＋B1C1＋C1A1 A1B1＋B1C1＋C1A1 由此我们可以得到： 相似三角形的性质 2：相似三角形周长的比等于相似比． 用类似的方法，还可以得出： 相似多边形的性质 1：相似多边形周长的比等于相似比．
1 2
1 4
14 cm， 周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长为________
一、复习引入 1．回忆复习平行投影、中心投影的概念． 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影；太阳光线可以 看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影． 2． 下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影， 其中哪个是平行投影， 哪个是中心投影？
图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)、(3)中，投影线互相 平行，形成平行投影．
重点 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积 比等于相似比的平方． 难点
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于 相似比的平方．
一、复习引入
1．回顾相似三角形的概念及判定方法． 2．复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应 角的性质．
二、新课教授 探究 1：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两 个相似多边形呢？ 学生小组自由讨论、交流，达成共识． 设△ABC∽△A1B1C1，相似比为 k， AB BC CA 那么A B ＝B C ＝C A ＝k 1 1 1 1 1 1 ⇒AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1 AB＋BC＋CA kA1B1＋kB1C1＋kC1A1 ⇒ ＝ ＝k. A1B1＋B1C1＋C1A1 A1B1＋B1C1＋C1A1 由此我们可以得到： 相似三角形的性质 2：相似三角形周长的比等于相似比． 用类似的方法，还可以得出： 相似多边形的性质 1：相似多边形周长的比等于相似比．
2(平面投影)
m′ m e k l 2．连接两个共 有点， 有点，画出交 KE。 线KE。 k′ l′ e QV 两一般位置 平面相交， 平面相交，求交 线步骤： 线步骤： 1．用求直线与 平面交点的方法， 平面交点的方法， 作出两平面的两 个共有点K 个共有点K、E。
2
1
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
一般位置平面
b' b"
a' c' b c a c"
a"
投影特性
在H、V、W面上的投影皆为 空间平面图形的类似形
2.2 平面上的点、直线 平面上的点、
1. 平面上取点和直线 直线在平面上的几何条件是： 直线在平面上的几何条件是：
①通过平面上的两点； 通过平面上的两点； ②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
第2章 平面 章
第一节
平面的投影 平面上的点和直线 直线、平面与平面 直线、 的相对位置
第二节
第三节
2.1 平面的投影
1. 用几何元素表示平面
b' a' b a b' a' b a a' c' c a b a' c' c a b' c' c b b' c' c a a' b b' c' c
2. 平面的迹线表示法
B M
K
A L
F N
C 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点， 连线即为两平面的交线。 连线即为两平面的交线。
两平面相交，判别可见性 两平面相交，
2
1
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
一般位置平面
b' b"
a' c' b c a c"
a"
投影特性
在H、V、W面上的投影皆为 空间平面图形的类似形
2.2 平面上的点、直线 平面上的点、
1. 平面上取点和直线 直线在平面上的几何条件是： 直线在平面上的几何条件是：
①通过平面上的两点； 通过平面上的两点； ②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
第2章 平面 章
第一节
平面的投影 平面上的点和直线 直线、平面与平面 直线、 的相对位置
第二节
第三节
2.1 平面的投影
1. 用几何元素表示平面
b' a' b a b' a' b a a' c' c a b a' c' c a b' c' c b b' c' c a a' b b' c' c
2. 平面的迹线表示法
B M
K
A L
F N
C 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点， 连线即为两平面的交线。 连线即为两平面的交线。
两平面相交，判别可见性 两平面相交，
第2章--投影法及点、直线、平面的投影PPT课件
Y
a
投影规律：
点的空间位置与投影的关系：
H
YH
aa′OX 长对正
点距H面的距离: a′ax和a〞ayw
aa〞OZ 高平齐
点距V面的距离：a ax和 a〞az
aax=a〞az 宽相等
点距W面的距离: a′az和 a ayH
举例：投影规律的应用
已知点A的正面投影a′和水平投影a，求其侧面投影a〞。
a'
相平行，但它们的第三组同面 三组同面投影相交，但它们的
投影是不平行的。
交点不符合点的投影规律。
例1：判断空间两直线AB、CD的相对位置。
1’
1 1′d′
1′c′
结论：
直线AB、CD是 两交叉直线。
例2 判断直线的空间相对位置
a’ c’
b’ c’
b’
d’
a’
d’
X
X
a d
d b a
c
b
c
( 交叉 ) ( 相交 )
一、三投影面体系的建立
B1
A
B2
V
b
a
H
单面投影：
点不定位，
体不定形。
三投影面体系
三个投影面：
V
水平投影面（H 面）
正立投影面（V 面）
侧立投影面（W 面）
X
三个投影轴：
两投影面相交，其交线称为投影轴。
H
V ∩ H = OX 轴
H ∩ W = OY 轴
V ∩ W = OZ 轴
Z W
O Y
二、立体三面投影的形成
a’
c’
c’
b’
d’
X
X
d
b a
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谢谢大家
再 谢见 谢
再见
2、同样的实验在手电筒下再做一次试试。
平行投影与中心投影的区别与联系
平行投影 中心投影
区别
光线
物体与投影面
联系
平行时的投影
平行的投射 线
从一点出发 的投射线
全等 放大(位似变换)
都是物体在光线 的照射下，在某 个平面内形成的 影子。(即都是投
影)
（1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。 ①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什 么图形？并画出投影示意图；
（2）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为1cm,左上方有一小 灯泡作出标杆的影子,如果标杆向右移动影子会如何变化?
（3）两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在 图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心 投影？并说明理由。
⑵有人说，在同一路灯下，如果甲物体比乙物 体的影子长，那么就说明甲物体比乙物体高. 你认为这种说法正确吗？
太阳光与影子
C
D
A
C′ B
D′
下图是两棵小树在同一时刻的影子.请你在 图中画出形成树影的光线.它们是太阳的光线下 形成的还是灯光下形成的?画出同一时刻旗杆的 影子,并与同伴交流这样做的理由.
手电筒、路灯和台灯的光线可以看 成是从一点出发的.
由同一点（点光源）发出的光线 形成的投影叫做中心投影．
例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影．
思考:平行投影和中心投影有什么区别和联系呢?
1、以小组为单位，观察在太阳光线下，木杆 和三角形纸板在地面的投影。 不断改变木杆和三角形纸板的位置， 1）、什么时候木杆的影子成为一点，三角形 纸板的影子是一条线段？ 2）、当木杆的影子与木杆长度相等时，你发 现木杆在什么位置？ 3）、三角形纸板在什么位置时，它的影子恰 好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况 吗？
在下列各图中，两根木棒的影子是在同一时刻、 一盏灯下形成的中心投影吗？
在下列各图中，两根木棒的影子是在同一时刻、 一盏灯下形成的中心投影吗？
同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中 另一根木棒的影子．
P
C
A
M
E BF D
N
Q
灯光与影子
议一议 下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影
子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的，哪幅图 是太阳光下形成的吗？
（3）小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中
他发现在地上双杠的两横杠的影子 ( )
(A)相交．
(B)平行．
(C)垂直．
(D)无法确定．
（4）身高相同的小明和小华站在灯光下的不同位置，
如果小明离灯较远，那么小明的投影比小华的
投影
.
（1）
（2）如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图， 试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是
上有一盆花和一棵树.晚上,幕墙反射路灯灯光形成了那 盆花的影子,树影是路灯灯光形成的。你能确定此时路 灯光源的位置吗？
P
例5：贝贝和他爸爸在阳光下的沙滩上漫步，他不想让爸
爸看到他的影子，那么你能画出贝贝的大致活动的范围吗？
只要贝贝 的影子与他 爸爸的影子 完全重叠他 爸就看不见 他的影子了！
A
B
贝贝大致活动范围：线段AB
PPT素材：./sucai/ PPT图表：./tubiao/ PPT教程： ./powerpoint/ 范文下载：./fanwen/ 教案下载：./jiaoan/
PPT课件：./kejian/ 数学课件：./kejian/shuxue/ 美术课件：./kejian/meishu/ 物理课件：./kejian/wuli/ 生物课件：./kejian/shengwu/ 历史课件：./kejian/lishi/
练习
把下列物体与它们的投影用线连接起来：
探究一
观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？
太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成 平行光线，像这样的由平行的投射线（如太阳 光线）所形成的投影叫做平行投影。
有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的 一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影。
应用举例:
例1:（1）下图是两棵小树在同一时刻的影子. 请你在图中画出形成树影的光线.
它们是太 阳的光线还是 灯光的光线?
它们是发散光它线们不是平行光 线
它们是灯光的光线！
议一议 5
“挑战”自我
• (2)下图是两棵小树在同一时刻的影子.请你在图中画出形成树 影的光线.它们是太阳的光线下形成的还是灯光下形成的?画出 同一时刻旗杆的影子,并与同伴交流这样做的理由.
（3） 一个人离开灯光的过程中人的影长（ ） 不变 B、变短 C、变长 D、不确定
（4） 同一灯光下两个物体的影子可以是（ ） 同一方向 B、不同方向 C、相反方向 D、以上都是可能
（1）将一个三角形放在太阳光下，
它所形成的投影是
，也可能是
；
（2）平行投影中的光线是（ ） A、平行的 B、聚成一点的 C、不平行的 D、向四面八方发散的
A
B
线段AB即为旗杆的影子
例2：确定图中路灯灯泡所在的位置.
O
怎样确定一个点？
解：过一根木杆的顶端作一条直线， 再过另一根木杆的顶端作一条直线， 两直线交于一点O.点O就是路灯灯泡 所在的位置.
例3: 同一时刻，两根木棒的影子如图，
请画出图中另一根木棒的影子。
例4：与一盏路灯相对,有一玻璃幕墙,幕墙前面的地面
（3）两个不同长度的的物体在同一时刻同一地 点的太阳光下得到的投影是（ ） A、相等 B、长的较长 C、短的较长 D、不能确定
（4） 在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光 之下，但它们的影长相等，那么这根竿子的 相对位置是（ ）
A、两根都垂直于地面 B、两根平行斜插在地上 C、两根竿子不平行 D、一根倒在地上
你会画出在路灯下树 和人的影子吗？
A
B
C B1
A1 C1
路
灯
光
可
路 灯 杆
以 看 成 点
束
光
线
△ABC与△A1B1C1相似吗？
不相似
想一想：
你会画出在路灯 下树和人的影子吗？
A
A1
路 灯 杆
B
C
B1
路 灯 光 可 以 看 成 点 束 光 线
C1
△ABC与△A1B1C1相似吗？
不相似
练习
北
西
东
南
（2）
（3）在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，
发现自己的身影向左偏，你知道小颖当时所处的时
间是
(A)上午．
(B)中午．
(C)下午．
(D)无法确定．
（4）下列图中是太阳光下形成的影子是（ ）
Ａ
ＢＣLeabharlann Ｄ（1） 中心投影形成的影子和原物体比较起来变 ______（大、小）
（2） 同一灯光下两个物体的影子可以是（ ） Ａ、同一方向 B、不同方向 C、相反方向 D、以上都是可能
平行光线
太阳光线
光与影子
太阳光可以看成平行光线。
平行投影：
有时光线是一组互相平行的射线， 例如太阳光或探照灯光的一束光 中的光线，由平行光线形成的投 影是平行投影．
灯光可以看成点束光线。
中心投影：
手电筒、路灯和台灯的光线看成 是从一点（点光源）出的，像这 样的光线所形成的投影叫做中心 投影。
想一想：
投影线
投影
投影面
活动一：日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪
器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷 上时，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移， 晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显 示时刻．
PPT模板：./moban/ PPT背景：./beijing/ PPT下载：./xiazai/ 资料下载：./ziliao/ 试卷下载：./shiti/ PPT论坛： 语文课件：./kejian/yuwen/ 英语课件：./kejian/yingyu/ 科学课件：./kejian/kexue/ 化学课件：./kejian/huaxue/ 地理课件：./kejian/dili/
F DE
2. 如果此时小刚的影子与 姐姐小丽的影子一样长， 你能在图中画出表示小 刚身高的线段吗？
请画出图中双胞胎姐妹在路灯下的影子．
小结：发光点、物体上的点及其影子上的对应点 在一 条直线上．
某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木 棒的影子如图（短木棒的影子是玻璃反光形成的）， 请确定图中路灯灯泡所在的位置.
如图(1),中间是一盏路灯,周围有一圈栏杆,图(2)是其 两幅俯视图(图中只画出了部分情形),其中一幅是白天阳 光下的俯视图,另一幅是这盏路灯下的俯视图.你认为哪 个是其白天的俯视图?哪个是其晚上的俯视图?
(2) (1)
A
B C
1.一天晚饭后，姐姐小丽 带着弟弟小刚出去散步， 经过一盏路灯时，小刚 突然高兴地对姐姐说： “我踩到你的‘脑袋’ 了”。你能确定小刚此 时所站的位置吗？
.-.
你知道物体与影子有什么关系吗？
物体在日光或灯光的照射下，会在地面、 墙壁等处形成影子，可见影子与物体的形状有 密切的关系．
物体和它的影子如此密切，在数学中影子 是物体的什么呢?
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子 叫做物体的投影（projection）
照射光线叫做投影线 投影所在的平面叫做投影面．
灯光与影子
⑴如果两棵小树的影子方向相同，能判断它们是平行 投影吗？与同伴进行交流．
⑵如果两棵小树的影子方向相反，能判断它们是中心 投影吗？与同伴进行交流．