平稳时间序列模型
第四章平稳时间序列模型的建立
xt 1xt1 p xtp 0 at 1at1 2at2 qatq
此时，所要估计的未知参数有p+q+1个.
第二节 模型识别与定阶
一、模型识别 二、模型定阶
一、模型识别
• 基本原则
ˆk
拖尾 q阶截尾
拖尾
ˆkk
P阶截尾 拖尾
拖尾
选择模型 AR(P) MA(q)
ARMA(p,q)
• 序列的非平稳包括均值非平稳和方差非 平稳.
• 均值非平稳序列平稳化的方法：差分变 换.
• 方差非平稳序列平稳化的方法：对数变 换、平方根变换等.
• 序列平稳性的检验方法和手段主要有： 序列趋势图、自相关图、单位根检验、 非参数检验方法等等.
一、平稳性检验—图检验方法
（一）时序图检验
–根据平稳时间序列均值、方差为常数的性 质，平稳序列的时序图应该显示出该序列 始终在一个常数值附近随机波动，而且波 动的范围有界、无明显趋势及周期特征.
–检验1949年——1998年北京市每年最高气温 序列的平稳性
例1 时序图
例1 自相关图
例2 时序图
例2 自相关图
例3 时序图
例3 自相关图
二、纯随机性检验
（一）纯随机序列的定义
• 纯随机序列也称为白噪声序列，它 满足如下两条性质
(1)EX t , t T
(2)
(t,
s)
2,t
s
,
例5、对1950年—1998年北京市城乡居民定期储
蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验
自相关图
白噪声检验结果
延迟阶数 6 12
LB统计量检验
LB检验统计 量的值
75.46
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
平稳时间序列模型的建立概述
平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。
该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。
以下是平稳时间序列模型的建立概述。
第一步是数据的预处理。
在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。
去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。
去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。
第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。
这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。
通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。
第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。
常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。
第四步是模型参数的估计与诊断。
对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。
这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。
估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。
常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。
第五步是模型预测与评估。
通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。
预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。
若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。
总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。
通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。
平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。
第二章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF
第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。
所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。
当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。
ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。
（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
2-平稳时间序列模型
海军航空工程学院基础部数学教研室
第二章 平稳时间序列模型
4.2 ARMA(n,n-1)模型
X t 1 X t 1 n X t n 1at 1 n1at n1 at X t 1 X t 1 n X t n at 1at 1 n1at n1
X t j ( j 3,4,) 无关。
(2) at 是一个白噪声序列。 结构： AR(2)模型由三部分构成， 依赖于 X t 1的部分， 依赖于 X t 2 的部分，独立于前两部分的白噪声。AR(2) 模型可以等价地写成
at X t 1 X t 1 2 X t 2 。
2无关； , )
(2) at 为白噪声。
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第二章 平稳时间序列模型
一个关于产科医院的例子 设 at 是第 t 天新住院的病员人数， 假设 at 是白噪声序 列，即某一天住院人数与第二天住院人数无关。再假设 典型的情形是：10％的病人住院 1 天，50％的病人住院 2 天，30％的病人住院 3 天，10％的病人住院 4 天，那 么第四天住院的病人数 X t 将由下式给出
即通过把 X t 中依赖于 X t 1和 X t 2 的部分消除之后，使得 具有二阶动态性的序列转化为独立的序列。
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第二章 平稳时间序列模型
2.2 AR(n)模型
X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n
X t at 0.9at 1 0.4at 2 0.1at 3 。
平稳时间序列模型及其特征 (1)
第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（常记作AR(1)。
其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。
P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。
设B为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。
利用这些记号，（X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt ( 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q ( 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。
相应的序列X t称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号，（X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt ( 三、自回归滑动平均模型如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q( 简记为ARMA(p, q)。
平稳时间序列模型的性质概述
平稳时间序列模型的性质概述平稳时间序列模型是一种描述时间序列数据的统计模型，它的核心假设是数据在时间上的统计特性不发生变化。
具体而言，平稳时间序列模型具有以下性质：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值不随时间变化而变化，即序列的均值是恒定的。
这意味着序列的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差不随时间变化而变化，即序列的方差是恒定的。
这意味着序列的波动性是稳定的，不存在明显的波动增长或缩减。
3. 自协方差稳定性：平稳时间序列的自协方差（序列任意两个时间点之间的协方差）仅依赖于时间点之间的间隔，而不依赖于特定的时间点。
这意味着序列的相关性结构是稳定的，不存在明显的季节性或周期性变化。
4. 纯随机性：平稳时间序列被认为是纯随机的，没有系统性的模式或规律可寻。
这意味着序列的未来值无法通过过去的观察值来准确预测。
根据这些性质，我们可以使用平稳时间序列模型来进行时间序列的建模和预测。
常见的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA 模型）以及季节性模型等。
总而言之，平稳时间序列模型具有均值稳定性、方差稳定性、自协方差稳定性和纯随机性等性质，这使得它们成为分析和预测时间序列数据的常用工具。
通过运用这些模型，我们可以揭示序列的短期和长期特征，提供数据的统计属性并进行未来值的预测。
平稳时间序列模型是时间序列分析中非常重要的方法之一，它能够帮助我们理解和预测一系列观测值之间的关系。
在实际应用中，平稳时间序列模型常被用于金融市场分析、经济学研究、气象预测等领域。
首先，均值稳定性是平稳时间序列模型的一个重要性质。
这意味着序列的长期平均水平是恒定的，不随时间变化而变化。
例如，在金融市场中，股票价格的均值稳定性意味着股票价格的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
通过建立平稳时间序列模型，我们可以更好地理解价格的平均水平，并预测未来的价格走势。
平稳时间序列分析-ARMA模型
1 0 1 2
所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
0
1 2 (1 2 )(1 1 2 )(1 1
2
)
2
1
1 0 1 2
k
1 k1 2 k2，k
2
4、自相关系数
（1）自相关系数的定义：
k
k 0
特别
0 1
（2）平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式：
k 1k 1 2 k 2 p k p
例3.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例3.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数不规则衰减
6、偏自相关函数
自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-k的总体 相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全 不同的相关关系。
例如，在AR(1) 中，Xt与Xt-2间有相关性可 能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来 的:
对于非中心化序列
xt 0 1xt1 2 xt2
p xt p t
作变换
1 1
0
p
yt xt
则原序列即化为中心化序列
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p t
所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。
AR模型的算子表示
令 (B) 11B 2B2 p B p
则 AR( p) 模型可表示为
平稳AR(1)模型的传递形式为
xt
t 1 1B
i0
(1B)i t
1i ti
i0
Green函数为 Gj 1 j , j 0,1,
平稳AR(1)模型的方差为
Var(xt )
G2jVar(t )
j0
第二章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性
第⼆章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性1⽩噪声过程:零均值，同⽅差，⽆⾃相关（协⽅差为0）以后我们遇到的efshow如果不特殊说明，就是⽩噪声过程。
对于正态分布⽽⾔，不相关即可推出独⽴，所以如果该⽩噪声如果服从正态分布，则其还将互相独⽴。
2各种和模型p阶移动平均过程：q阶⾃回归过程：⾃回归移动平均模型：如果ARMA(p,q)模型的表达式的特征根⾄少有⼀个⼤于等于1，则{y(t)}为积分过程，此时该模型称为⾃回归秋季移动平均模型（ARIMA）时间序列啊，不就是求个通项公式，然后求出⼀个⾮递推形式的表达式吗？（这个公式和⾃变量t有关，然后以后只要知道t就能得到对应的y的预测值）3弱平稳/协⽅差平稳：均值和⽅差为常数（即同⽅差），协⽅差仅与时间间隔有关4⾃相关系数：5AR(1)模型（带⽩噪声的⼀阶差分⽅程）的平稳性：（1）如果初始条件为y0：则其解为（我们通过其解来判断其是否平稳）此时{y(t)}是不平稳的。
· 但是如果|a1|<1，其t⾜够⼤，则{y(t)}是平稳的。
均值：⽅差：等于协⽅差：等于所以有结论：（2）初始条件未知：则其通解为：{y(t)}平稳的条件为：1 |a1|<12 且齐次解A(a1)^t为0：序列从很久前开始（即t很⼤，且结合1，则为0），或该过程始终平稳（A=0）所以说，解的稳定性和序列的平稳性是不⼀样的。
这两条对所有的ARMA(p,q)模型都适⽤。
（对于任意的ARMA(p,q)模型，齐次解为0是平稳性必要条件）（ARMA(p,q)模型的齐次解为或）6对于ARMA(2,1)模型的平稳性：模型表达式为：（2.16）（截距项不影响平稳性，略去）设其挑战解为：（⽤待定系数法）则系数应当满⾜⽅程：（2.17）序列{阿尔法i}收敛的条件是⽅程（2.16）对于的齐次⽅程的特征根都在单位圆之内（因为2.17中的差分⽅程对于的特征⽅程和⽅程2.16对于的特征⽅程是⼀模⼀样的）我们之所以只考虑特解，是因为我们让齐次解为0.此时该挑战解/特解：均值为：⽅差为：（t很⼤时⽤级数求和）协⽅差为：等于所以其平稳性条件为（t很⼤）：1模型对应的齐次⽅程的特征⽅程的特征根在单位圆内2齐次解为0。
线性平稳时间序列模型
第二节 建立线性时序模型旳原理 ——动态性
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动态性：就是指时间序列各观察值之间旳 有关性。
从系统旳观点看：动态性即指系统旳记忆 性，也就是某一时刻进入系统旳输入对 系统后继行为旳影响，图示如下：
输入
系统
输出（响应）
例
（1）某人在某一天打了一针，假如当日旳反应 是疼痛 0 ，而后来没有其他反应，那么系统 旳输入、输出如下：
假如一种时间序列是纯随机旳，得到一种 观察期数为 n旳观察序列，那么该序列旳 延迟非零期旳样本自有关系数将近似服 从均值为零，方差为序列观察期数倒数 旳正态分布
ˆ k
~
N (0, 1 ) n
,k 0
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2.假设条件
原假设：延迟期数不大于或等于m 期旳序 列值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
这种情况可用模型概括为：xt 1at1
（3）假如当日旳反应是疼痛 0 ，第二天 出现了红肿 1 ，那么：
时间 输入 输出
t ：1 2 at: 0 1 xt：0 0
3 45 0 00 1 0 0
这种情况可用模型概括为：xt 0at 1at1
（4）假如打针后来各个时刻都存在相应旳反 应，那么，有关该刺激旳总旳概括为：
原则正态白噪声序列纯随机性检验
样本自有关图
返回例题
检验成果
延迟
延迟6期 延迟12期
Q统计量检验
Q统计量值
P值
4.3435
0.63
14.171
0.29
因为P值明显不小于明显性水平 ，所以该序列不能
拒绝纯随机旳原假设。
返回例题
平稳时间序列模型预测
解: (2)预测方差旳计算
计算Green函数: 根据递推公式
方差
G0 1
G1 1G0 0.6 G2 1G1 2G0 0.36 0.3 0.66
var[e3 (1)] G02 2 36 var[e3 (2)] (G02 G12 ) 2 48.96 var[e3 (3)] (G02 G12 G22 ) 2 64.6416
设目前时刻为t，已知时刻t和此前时刻旳观察值xt-1,
xt-2, …，对观察值xt+l进行预测，用 xˆt l 表达时间序
列Xt旳第l步预测值(l>0)。
最小均方误差预测
用et(l)衡量预测误差： et l Xtl xˆt l
显然，预测误差越小，预测精度就越高。
最小均方误差预测原则：
var[e4 (1)] var[e3(1)] G02 2 36 var[e4 (2)] var[e3(2)] (G02 G12 ) 2 48.96
l步预测销售额旳95%置信区间为：
xˆ4 l 1.96 var e4 l , xˆ4 l 1.96 var e4 l
修正预测
预测时期 修正前置信区间 修正后置信区间 四月份 （85.36，108.88） 五月份 （83.72，111.15） （87.40，110.92） 六月份 （81.84，113.35） （85.79，113.21）
修正预测
定义
所谓旳修正预测就是研究怎样利用新旳信息去取得 精度更高旳预测值
措施
在新旳信息量比较大时——把新信息加入到旧旳信 息中，重新拟合模型；
在新旳信息量很小时——不重新拟合模型，只是将 新旳信息加入以修正预测值，提升预测精度。
修正预测原理
在旧信息旳基础上，Xt+l旳预测值为
3.1-平稳时间序列模型的基本概念解析
被{Xt}的一维分布族所决定。均值表示随机过程在
各个时刻的摆动中心。
• 3. 时间序列的自协方差函数 (t, s) E( Xt t )(X s s )
aa
a a (x t )(y s )dFt,s (x, y)
由此可见，时间序列的自协方差函数是 随机变量间协方差推广差. 时间序列自协方差函数具有对称性：
nk t 1
( xt
x )(xt k
x)
(2)
ˆˆk
1 nk
nk
( xt
t 1
x)(xtk
x)
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• 通过证明有如下结论：
• 上述样本自协方差函数 ˆk ˆˆk 都是总体自协方 差函数 k的渐近无偏估计，且ˆk比 ˆˆ的k 偏差 要 况大下。（n但很是大，）ˆk比，ˆˆ二k的者方差差别小不，大且，在因大此样我本们情
二、平稳时间序列
• （一）两种不同的平稳性定义 • （二）时间序列的分布、均值和协方差函数 • （三）平稳序列的自协方差和自相关函数 • （四）白噪声序列和独立同分布序列 • （五）独立增量随机过程、二阶矩过程 • （六）线性平稳序列 • （七）偏自相关函数
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（一）两种不同的平稳性定义
• 1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有：
• Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s)
第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
平稳时间序列模型
作业一：时间时间序列模型主要包括自回归模型（Auto Regressive Model ）简称AR 模型，移动平均模型（Moving Average Model ）简称MA 模型，自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving Average Model ）简称ARMA 模型。
下面的t X 为零均值（即中心化处理的）平稳序列。
（1）一般自回归模型AR(n ) 假设时间序列t X 仅与n t t t X X X ---,,,21 有线性关系，而在n t t t X X X ---,,,21 已知条件下，t X 与),2,1( ++=-n n j X j t 无关，ta 是一个独立于n t t t X X X ---,,,21 的白噪声序列，),0(~2a t N a σ。
t n t n t t t a X X X X ++++=---ϕϕϕ 2211上式还可以表示为n t n t t t t X X X X a -------=ϕϕϕ 2211特点，)(AR n 系统的响应t X 具有n 阶动态性。
)(AR n 模型通过把t X 中的依赖于n t t t X X X ---,,,21 的部分消除掉之后，使得具有n 阶动态性的序列t X 转化为独立的序列t a 。
因此，拟合)(AR n 模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。
)(AR n 系统的特征是系统在t 时刻的响应t X 仅与其以前时刻的响应n t t t X X X ---,,,21 有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关。
（2）移动平均模型)(MA m如果一个系统在t 时刻的响应t X ，与其以前时刻 ,2,1--t t 的响应 ,,21--t t X X 无关，而与其以前时刻m t t t ---,,2,1 进入系统的扰动m t t t a a a ---,,,21 存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为)(MA m 系统。
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(1) 系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也
就是说系统在相邻时刻的响应，除随机扰动外完全
一致；
(2)
t
1时刻系统的一步预测为
Xˆ
(1) t 1
X
；
t 1
(3) 系统的行为是一系列独立随机变量的和，
即 Xt at j 。 j0
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第二章 平稳时间序列模型
2. 一般自回归模型
at
~
NID(0,
2 a
)；
(3) at与 Xt j ( j 2,3,L )独立。
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第二章 平稳时间序列模型
1.1.3 相关序列的独立化过程
由于许多经典的统计方法是以资料独立为基础
的，所以需要对相关序列 X t 进行独立化。将(2.1.1) 改写成
at
Xt
1
X
t
。
1
上式说明：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立
数据的变换器。事实上，由于 AR(1)模型仅有一阶
动态性，所以只要把
X
t
中依赖于
X
t
的部分消除以
1
后，剩下的部分at
Xt
1
X
t
自然就是独立的了。
1
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第二章 平稳时间序列模型
1.2 AR(1)模型的特例——随机游动 X t X t1 at ，或 X t : X t X t1 at 。 随机游动的特性：
AR(n)模型通过把 X t 中依赖于 X t1, X t2,L , X tn 的部 分消除之后，使得具有 n 阶动态性的序列 X t 转化为独立 的白噪声序列at 。因此拟合 AR(n)模型的过程也就是使 相关序列独立化的过程。
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第二章 平稳时间序列模型
3. 移动平均模型(Moving Average Model)
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第二章 平稳时间序列模型
4.1 ARMA(2,1)模型
X t 1X t1 2 X t2 1at1 at
X t 1X t1 2 X t2 at 1at1
基本假设： X t 除了对 X t1,
X
t
2
和
at
存在依存关系之外，
1
在 X t1和 X t2 已知的条件下对其他的 Xt j ( j 3,4,L ) 和
模型可以等价地写成
at X t 1X t1 2 X t2。
即通过把
X
t
中依赖于
X
t
和
1
X
t
2
的部分消除之后，使得
具有二阶动态性的序列转化为独立的序列。
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第二章 平稳时间序列模型
2.2 AR(n)模型
X t 1X t1 2 X t2 L n X tn at X t 1X t1 2 X t2 L n X tn at at X t 1X t1 2 X t2 L n X tn
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第二章 平稳时间序列模型
3.1 一阶移动平均模型 MA(1)
基本假设：
X t at 1at1
(2.3.1)
(1) 系统在t 时刻的响应 X t 仅与其前一时刻进入系
统的扰动
at
存在着一定的依存关系；
1
(2) at为白噪声。
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第二章 平稳时间序列模型
AR 系统的特征：系统在t时刻的响应 X t 仅与其以前 时刻的响应 X t1, X t2, L , X tn有关，而与其以前时刻进入 系统的扰动无关。
MA 系统的特征：X t 与其以前时刻的响应 X t1, X t2, L 无关，而与其以前时刻进入系统的扰动at1, at2, L 存在着 一定的相关关系。
第二章 平稳时间序列模型
一个关于产科医院的例子 设at是第 t 天新住院的病员人数，假设at是白噪声序
列，即某一天住院人数与第二天住院人数无关。再假设
典型的情形是：10％的病人住院 1 天，50％的病人住院
2 天，30％的病人住院 3 天，10％的病人住院 4 天，那
么第四天住院的病人数 X t 将由下式给出
ARMA 系统的特征：系统在t时刻的响应 X t 不仅与其 以前时刻的响应有关，而且与其以前时刻进入系统的扰 动存在着一定的依存关系。
对于 ARMA 系统来说，要使响应 X t 转化为独立序列 at，不仅要消除 X t 依赖于t时刻以前的自身部分，还必须 消除 X t 依赖于t时刻以前进入系统的扰动部分。
第二章 平稳时间序列模型
一阶自回归模型(Auto Regressive model) (2.1.1)
记作 AR(1)，其中 X t 为零均值平稳序列，1为 X t 对
X
t
的依赖程度，
1
at
为随机扰动。
1.1.2 一阶自回归模型的基本假设
(1)
X
t
对
X
t
有直线相关关系；
1
(2) at为正态独立同分布序列，记作
at j ( j 2,3,L ) 不存在相关关系。此时， at 一定独立于
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第二章 平稳时间序列模型
AR(2)模型的假设与结构
基本假设：(1)
X
t
仅与
X
t
和
1
X
t
2
有关，与
Xt j ( j 3,4,L )无关。
(2) at是一个白噪声序列。
结构：AR(2)模型由三部分构成，依赖于
X
t
的部分，
1
依赖于 Xt2的部分，独立于前两部分的白噪声。AR(2)
2.1 AR(2)模型
对于自回归系统来说，当
X
t
不仅与
X
t
有关，
1
而且与 Xt2有关时，就不符合 AR(1)模型的基本假
设。若 X t 与 Xt j ( j 3,4,L )无关，则系统模型是
AR(2)：
X t 1X t1 2 X t2 at X t 1X t1 2 X t2 at
(2.2.3a) (2.2.3)
Xt
at
0.9at1
0.4at2
0.1at
。
3
由于上式的各项是随机变化的，故 Xt ~ MA(3)。因此，
我们可以预测一天、两天、三天后的住院人数。四天以
后，各天住院人数的预测值均为序列的均值。
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第二章 平稳时间序列模型
4. 自回归移动平均模型(Auto Regressive Moving Average Model)
3.2 一般移动平均模型 MA(m)
X t at 1at1 2at2 L matm
基本假设：
(2.3.3)
(1) X t 仅 与 at1, at2, L , atm 有 关 ， 而 与 at j ( j m 1m, L 2无, 关；)
(2研室