数学分析试卷及答案6套

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数学分析试卷及答案6套

一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.

二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a

g x b →=;

(2) 0()x U a ∀∈,有0

()()g x U b ∈ (3) lim ()u b

f u A →=

用εδ-定义证明, lim [()]x a

f g x A →=.

三. (10分)证明数列{}n x :

cos1cos 2

cos 1223

(1)

n n

x n n =

+++

⋅⋅⋅+收敛.

四. (12分)证明函数1

()f x x

在[,1]a (01)a <

七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞

-=.

八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15

[,]42

-的最大值与最小值.

九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使

()()()()f f b f a b a ζ''≥

--.

一. (10分)设数列{}n a 满足

: 1a =

, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的

正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.

二. (10分)设0

lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0

lim

()x x f x b

→=. 三. (10分)设0n a >,且1

lim

n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞

四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且

数学分析十讲习题册、课后习题答案_

数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）；

解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数；

解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解：

习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解：

（3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）；

解：原式（2）求；

解：原式（3）；

解：原式（4）；

解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得：

3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ；

解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。

又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明：

2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则

伍胜健《数学分析》(第1册)配套题库【考研真题+章节题库+模拟试题】【圣才出品】

第1章函数
一、填空题设 A．0 B．1 C． D．【答案】B 【解析】
（）．[浙江大学研]
二、解答题
1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。[天津大学研]
证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。
设为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，
存在。下面证该下确界就是的极限。
是收敛子列．
若 A 无相等的无穷多项，将[－M，M]等分为二则其中必有一区间含 A 中的无穷多项，令其为[a，b]，取
xn1∈[a，b]，再将[a，b]等分为二，则其中必有一区间含 A 中无穷多项，令其为
，
又再将[a1，b1]等分为二，令含 A 中无穷多项的为[a2，b2]取
且 n3>n2，如此下去，得一子列
④ ⑤
⑥ ，从而有
显然当
时，
，由⑤式及上面（i）的结论有
（iii）当
时，只要令
，则由上面（ii）可证
（2）
单调递减．因为
，所以
从而
（存在）．由
两边取极限有
此即
再求
，考虑
由⑨⑩两式将⑪代入⑧得
⑦
．即有下界， ⑧ ⑨ ⑩ ⑪
3．求极限解：解法 1
解法 2 设单调增，又
．[中国科学院研]
，则
有上界，故收敛．

数学分析试卷及答案6套

第一套试卷

一、选择题（共20题，每题4分，共80分）

1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？

A. -4

B. 4

C. 0

D. 1

2. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？

A. ln(1)

B. ln(0)

C. ln(-1)

D. 不存在最小值

3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.

（请写出证明过程）

4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。

A. x < -7

B. x > -7

C. x > -3

D. x < -3

5. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).

（请写出证明过程）

......

...

第一套答案

一、选择题

1. B

2. A

3. (证明过程略)

4. A

5. (证明过程略)

二、填空题（共5题，每题4分，共20分）

1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；

2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；

3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；

4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；

5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。

数学分析试题

测试题

第一章实数集与函数

（A ）

1．证明：n ≥1时，有不等式

)1(21)1(2--<<

-+n n n

n n .

然后利用它证明：当m ≥2时，有

)21)2(21

m n

m m

n <<-∑

2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.

3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.

4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？

5．证明：)0(sgn 2

cot arctan ≠=

+x x x arc x π

6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：（1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；

（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =

（B ）

1．设n 为正整数.

（1）利用二项式展开定理证明：

∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=⎪⎭⎫

⎝⎛+n

k k r n

n r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.

（2）若1 n ，证明：

∑=<+<⎪⎭⎫

⎝⎛+<n k n

k n 13!

11112

2．设{}为有理数

r r r E

,72<=，求E sup ，E inf

数学分析习题答案

习题 1-1

1．计算下列极限

（1）lim

x a

x a a x x a

→--,

0;a >

解：原式lim[

]x a a a

x a a a x a x a x a

→--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =

1ln a a a a a a --⋅=(ln 1)a a a -

（2）

sin sin lim

sin()

x a x a

x a →--；

解：原式sin sin lim x a x a

x a

→-=-(sin )'cos x a x a ===

（3

）2lim 2), 0;n n a →∞>

解：原式2

1()1/n n

=20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]p

n n n

→∞+

-，0;p > 解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n n

x =→∞

+-'===11

p x px p -== （5）1010

0(1tan )(1sin )lim

;sin x x x x

→+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1

lim lim tan sin x x x x x x →→+---=--

=99

010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=

（6）

x →，,m n 为正整数；

解：原式

x x →=-11

()'

x n

x x x ===n m

2．设

()f x 在0x 处二阶可导，计算0002

0()2()()

lim

h f x h f x f x h h →+-+-.

解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()

伍胜健《数学分析》配套题库

伍胜健《数学分析》配套题库本书是详解研究⽣⼊学考试指定考研参考书⽬为伍胜健《数学分析》的配套题库，具体来说分为以下三部分：第⼀部分为名校考研真题及详解。本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书⽬的名校历年考研真题中挑选具有代表性的部分，并对其进⾏了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；⼜对⼀些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进⾏详细阐释，以使学员不遗漏任何⼀个重要知识点。

第⼆部分为章节题库及详解。本部分严格按照伍胜健主编的《数学分析》教材内容进⾏编写，每⼀章都精⼼挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提⾼解题能⼒。第三部分为模拟试题及详解。参照伍胜健主编的《数学分析》教材，根据各⾼校历年考研真题的命题规律及热门考点精⼼编写了1套考前模拟试题，并提供详尽的解答。通过模拟试题的练习，学员既可以⽤来检测学习该考试科⽬的效果，⼜可以⽤来评估对⾃⼰的应试能⼒。

本书提供电⼦书及打印版，⽅便对照复习。

第⼀部分名校考研真题

第1章函数

第2章序列的极限

第3章函数的极限与连续性

第4章导数与微分

第5章导数的应⽤

第6章不定积分

第⼆部分章节题库

第1章函数

第2章序列的极限

第3章函数的极限与连续性

第4章导数与微分

第5章导数的应⽤

第6章不定积分

第三部分模拟试题

伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解

⽬录

试读（部分内容）

第⼀部分名校考研真题

说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书⽬的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进⾏了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；⼜对⼀些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进⾏详细阐释，以使学员不遗漏任何⼀个重要知识点。

数学分析试题库--判断题【精选】

数学分析题库（1-22章）

三判断题

1. 数列收敛的充要条件是数列有界.

( )

{}n a {}n a 2. 若, 当时有, 且, 则不存在. ( )

0N ∃>n N >n n n a b c ≤≤lim lim n n n n a c →∞

→∞

≠lim n n b →∞

3. 若, 则存在使当时,有.( )

lim ()lim ()x x x x f x g x →→>0

0(;)U x δ0

0(;)x U x δ∈()()f x g x >4. 为时的无穷大量的充分必要条件是当时,为无界函数.

()f x 0x x →0

0(;)x U x δ∈()f x ( )

5. 为函数

的第一类间断点. ( )0x =sin x

6. 函数在上的最值点必为极值点. ( )

()f x [,]a b 7. 函数在处可导.( )

21,0,()0,

0x e x f x x -⎧⎪

≠=⎨⎪=⎩0x = 8. 若在上连续, 则在上连续. ( )

|()|f x [,]a b ()f x [,]a b 9. 设为区间上严格凸函数. 若为的极小值点，则为在上唯一的极

f I 0x I ∈f 0x f I 小值点. ( )

10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )

11. . （）

00011lim sin

lim limsin 0x x x x x x x →→→=⋅=12. 数列存在极限对任意自然数, 有. （）

{}n a ⇔p lim ||0n p n n a a +→∞

-=13. 存在的充要条件是与均存在.

数学分析有标准答案套题

七章实数的完备性

判断题：

1. 1. 设

11,1,2,2H n n n ⎧⎫

⎛⎫==⎨⎬

⎪+⎝⎭⎩⎭L

为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖.

2. 2. 有限点集没有聚点.

3. 3. 设S 为闭区间

[],a b , 若,x S ∈则 x 必为S 的聚点.

4. 若lim n n a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.

5. 5. 非空有界点集必有聚点.

6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.

7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃=L , 则闭

区间套定理成立.

8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续.

9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.

10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.

答案: √√√√×××√√√ 证明题

1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.

2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常

数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c

-→=.

3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则存在数列

1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.

数学分析试题库--证明题

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数学分析题库（1-22章）

五．证明题

1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：

（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；

（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=，证明：

（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明

52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞

→lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列.

5.用δε-方法验证：

23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6．用M -ε方法验证：

1lim

=-+-∞

→x

x x x . 7 . 设a x x

x =→)(lim 0

ϕ，在0x 某邻域);(10δx U ︒内a x ≠)(ϕ，又.)(lim A t f a

t =→证明

A x f x x =→))((lim 0

ϕ.

8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ，

（1）)(0x U x n ︒∈，0x x n →，

（2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞

(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1—22章)

五．证明题

1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：

（1)对任何B b A a ∈∈,有b a <；

（2）对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y 。证明：.inf sup B A =

证由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法。若B A inf sup ，设

B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y 。

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=,证明：

（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf =

证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立。若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S =

（ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈

0sup .x A >

同理可证（2）. 3。按N -ε定义证明

52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3

232522---+n n n

)

23(34

32-+=

n n

≤

234n n

⋅ （n>4） n

32=

，取⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4,132max εN ，当n>N 时,

23252

2---+n n n 〈ε。注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式n

数学分析大一上学期考试试题 A

数学分析第一学期期末考试试卷（A 卷）

一、叙述题（共10分）

1.下确界；

2.叙述闭区间套定理。

二、计算题（共40分）（1）求]1

11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求x x x x 1

1(lim -+∞→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求1

111lim 30-+-+→x x x ；（5）求4202cos lim x e x x x -→-（提示：可先考虑泰勒公式）；（6）设4lim 221=-++→x

x b ax x x ，求b a 、；（7）求x x e x f x arcsin )log ()(3+=的一阶导及二阶导；（8）设)3()7()2()

3()6(41

3413>++-+=x x x x x y ，求y '；

（9）求)12(ln )(-=x x f x 的一阶导；

（10）求⎩⎨⎧==;

cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。三、讨论题（共20分）1.讨论函数)

2(1)(--=x x e x f x 的间断点，并指出其类型。2.讨论极限x

x 1sin lim 0→是否存在。四、证明题（共30分）

1.用“δε-”定义验证函数2

54)(2-+=x x x f 在点20=x 连续。

2.证明x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续。

3.设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得

[])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-