第18讲 等腰三角形与轴对称

(2)作CH⊥BQ交BQ于H,则PQ＝2HQ，
在Rt△BHC中，由已知和(1)得∠CBH＝∠CAO＝30°， ∴CH＝4. 在Rt△CHQ中，HQ＝ CQ2 CH 2 52 42 =3，
∴PQ＝2HQ＝6.
【对点训练】
7.(2011·茂名中考)如图，已知△ABC 是等边三角形，点B，C，D，E在同 一直线上，且CG＝CD，DF＝DE， 则∠E＝______度． 【解析】∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝ 1 ∠GDC.同理，
பைடு நூலகம்
特 折叠问题是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠 别 前后的图形全等. 提 醒
【例1】(2011·昭通中考)如图所示，将矩形纸片ABCD折叠， 使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若 ∠EFC′=125°，那么∠ABE的度数为( )
(A)15°
(B)20°
(C)25°
(D)30°
180 80 50 . 2
4.(2012·宁波中考)如图，AE∥BD，C是BD
上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB =________度. 【解析】∵∠ACD=110°,∴∠ACB=70°. ∵AB=BC,∴∠BAC=∠ACB=70°.
∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACD=110°,
2.等边三角形的性质和判定 相等 60° (1)性质：①等边三角形的三条边_____，三个角都等于_____. 三条 ②等边三角形是轴对称图形，有_____对称轴. ③三线合一. (2)判定：
等边 ①三个内角都是60°的三角形是_____三角形.
②有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【即时应用】
垂直且平分 (1)定义:___________一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平 分线.
MN AB PA=PB ⇒_______. AC BC
(2)性质定理:直线
(3)逆定理:_______⇒点P在线段AB PA=PB 的垂直平分线MN上.
2.角平分线
1 2 (1)性质定理:PD OA ⇒_______. PD=PE PE OB PD PE PD OA ⇒∠1=∠2. (2)逆定理: PE OB
线MN对称的△A'B'C'.
【解析】分别作出点A，B，C关于直线MN的对称点A'，B'，C'，
再依次连结即得到图形.如图所示：
等腰三角形的性质与判定 ◆中考指数： ★★★★★
知 识 点 睛 1.等腰三角形常用的“辅助线”——作底边的高. 2.证明三角形是等腰三角形的“两种方法” (1)证明三角形的两边相等； (2)证明有两个角相等，等角对等边. 1.“等边对等角”和“等角对等边”的前提条件是必须在同 特 别 提 醒 一个三角形中； 2.一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线三条线 段中，有两条重合，则该三角形为等腰三角形； 3.含有36°角的等腰三角形很特别，在其中可以构造出很多 等腰三角形.
(3)如果一个图形关于某一条直线做轴反射,能够与另一个图形
重合 _____，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个 轴对称 图形成_______.
2.性质
大小 形状 (1)轴反射不改变图形的_____与_____； (2)如果两点A，A′关于直线l对称,则l是线段AA′的
垂直平分线 __________;
对称 (3)如果l是线段AA′的垂直平分线,则点A,A′关于直线l_____.
【即时应用】
1.如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC 与△A′B′C′关于 90° 直线l对称，则∠B=_____．
四 2.正方形是轴对称图形，它有___条对称轴.
二、线段的垂直平分线与角平分线
1.线段的垂直平分线
【即时应用】
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一
点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为__. 5
2.如图，在△ABC中，AB=5 cm，AC=3 cm，BC的垂直平分线
8 分别交AB，BC于D，E，则△ACD的周长为__ cm．
三、等腰三角形、等边三角形
1.等腰三角形的性质和判定
∴AE=CE，DE⊥AC，∴AD=CD．△ABD的周长
=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=△ABC的周长-AC=308=22(cm).
【对点训练】
10.(2012·邵阳中考)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段 是__________.
2 (3)外接圆半径为 3 a ，内切圆半径为 3 a . 6 3
特别 等边三角形常转化为有一个角为30°的直角三角形. 提醒
【例3】(2011·綦江中考)如图，等边 △ABC中，AO是∠BAC的角平分线， D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE,连结BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
重合 相_____，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做它的
对称轴 ______. 翻折 (2)把图形(a)沿着直线l_____并将图形“复印”下来得到图形 直线l (b)，就叫做该图形关于_____做了轴反射，图形(a)叫做 原像 轴反射 _____，图形(b)叫做图形(a)在这个_______下的像.
3 2 a 4.边长为a的等边三角形面积为________ . 4
4 5.在△ABC中，AB=AC=4,∠A=60°，则BC=__.
【核心点拨】 1.等腰三角形的“三线合一”中的这条线段是解决等腰三角形 中的问题时常作的辅助线. 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，除具备等腰三角形的一切 性质外，还有一些其他性质. 3.利用三角形全等和等腰三角形的性质与判定是证明两边或两 角相等的常用方法.二者的区别主要看待证的线段或角是否在
【例4】(2011·济宁中考)如图，△ABC的
周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，
使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D， 交AC边于点E，连结AD，若AE=4 cm， 则△ABD的周长是( (A)22 cm 【思路点拨】 ) (C)18 cm (D)15 cm
(B)20 cm
【自主解答】选A.把△ABC的边AC对折，顶点C和点A重合，
9.(2012·湘潭中考)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将
△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合，得到△DCE，连
结BD，交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论 ； (2)求线段BD的长.
【解析】(1)AC⊥BD.
∵△DCE由边长为3的等边△ABC平移而成，
∴AC∥DE，DC=AB=BC=CE， ∴△BDE为直角三角形， ∴∠BDE=90°，∴∠BFC=90°， ∴AC⊥BD. (2)在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3， ∴BD=
∴∠EAB=110°-70°=40°. 答案：40
5.(2012·滨州中考)如图，在△ABC中，AB=AD=DC，
∠BAD=20°，则∠C=________．
【解析】∵∠BAD=20°，AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=80°. ∵AD=CD，∴∠C= ∠ADB =40°. 答案：40°
1 2
6.(2012·益阳中考)如图，已知AE∥
【例2】(2012·怀化中考)等腰三角形的底边长为6，底边上的 中线长为4，它的腰长为( (A)7 (B)6 (C)5 ) (D)4
【教你解题】
【对点训练】 3.(2012·江西中考)等腰三角形的顶角为80°，则它的底角 是( (A)20° ) (B)50° (C)60° (D)80°
【解析】选B.底角=
BE 2 DE 2 62 32 3 3
．
线段的垂直平分线的性质的应用 ◆中考指数：★★★★☆
线段垂直平分线与角平分线的区别与联系: 知 1.都有“平分、距离相等”的特点； 识 2.线段的垂直平分线是一条直线，角平分线是一条射线； 点 3.线段的垂直平分线是线段的对称轴，角的对称轴是角平分 睛 线所在的直线. 特 涉及线段垂直平分线时，利用线段垂直平分线上的点到线段 别 两个端点的距离相等求解，因此常构造线段的垂直平分线的 提 图形. 醒
BC，AE平分∠DAC.求证：AB=AC．
【证明】∵AE平分∠DAC, ∴∠1=∠2. 又∵AE∥BC，∴∠1=∠B,∠2=∠C, ∴∠B=∠C,∴AB=AC．
等边三角形的性质与判定 ◆中考指数： ★★★★☆ 1.等边三角形具有等腰三角形的所有性质，同时还具有自己 独特的性质：三条边相等，三个角都等于60°，有三条对称 知 轴. 识 2.有关等边三角形的计算：当一个等边三角形的边长为a时， 3 点 (1)它的面积为 a 2 ； 4 睛 (2)一边上的高为 3 a；
两底角 (1)性质：①等腰三角形的_______相等.简称“等边对等角”. 垂直平分线 ②等腰三角形关于底边上的___________轴对称，从而它是
轴对称 _______图形.
中线 ③等腰三角形的顶角平分线也是底边上的_____和底边上的 三线合一 高 ___(通常简称为“_________”) 相等 (2)判定：有两个角_____的三角形是等腰三角形，简称为“等 角对等边”.
(2)延长BE至Q，P为BQ上一点，连结CP， CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8时，求PQ的 长.
【思路点拨】
【自主解答】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC,CD＝CE且∠ACB＝∠DCE＝60°， 即∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE,∴△ACD≌△BCE.
【解析】选D.选项A，汉字“田”上下或左右对折能够互相重合，
是轴对称图形；选项B，汉字“中”左右对折能够互相重合，是