1.1 探索勾股定理(1)
1.1探索勾股定理第一课时
582 462 5480
∵ 742 5476
742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 46厘米
∴售货员没搞错
58厘米
a 平方形式:
a2+b2=c2是勾股定理的基本表
Байду номын сангаас
达式,你可以写出那些它基本
的变化形式呢?把你的想法写
c
在草稿上,与同学交流一下.
a2+b2=c2
b
a2=c2-b2
b2=c2-a2
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵ 582 462 5480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米） 的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现 屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你 能解释这是为什么吗？
A
B
或AC2 AB2 BC2
勾
弦
股
三、简单应用
如图所示，一棵大树在一次强烈台 风中于离地面10米处折断倒下，树顶落 在离树根24米处. 大树在折断之前高多少 米？
B
C
A
P6
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的 顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
问题解决4。书写
直角三角形
1.直角三角形记 Rt△ABC.
2.名称
3.角 4.边
角判定直角三角形
1.A B C
2.A B 1 C 45 , 45 ,90 , 2
3.A 1 B 1 C 30 ,60 ,90 ,
1-1探索勾股定理(1)
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
1、一个圆桶，底面直径为24厘米，高为32厘米，则 桶内所能容下的最长木棒是（ 40厘米 ） 2、等腰三角形的腰长为25，底为48，则它的 面积是（ 168 ）. 3、甲轮船以每小时16海里的速 度离开港口向东南方向航行，乙 O 轮船在同时同地向西南方向航行， 已知 他们离开港口一个半小时后 相距30海里，问乙轮船每小时航 B 行多少海里？ 12海里 A 4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三 边长分别为 . 6、8、10
2.一天，小明买了一张底面是边长为260cm正 方形，厚30cm的床垫回家。到了家门口， 才发现门口只有242cm高，宽100cm。你认 为小明能拿进屋吗，为什么？
242
30
260
100
小结
由学生从以下方面进行总结：
1. 对自己本节课的学习情况进行评价。 2. 在探索问题过程中遇到挫折，你会怎么办？ 3.对于本节课你还有疑问的地方吗?
八年级数学（上册）
探索勾股定理
大望学校 钟锋声
探索勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于 离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根 12米处. 大树在折断之前高多少米？
在直角三角形中，任意两边确定了，另 外一条边也就随之确定，三边之间存在 着一个特定的数量关系。让我们一起去 探索吧。
（1）观察图1-1
A
C
B
图1-3
C
A
B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
1.1探索勾股定理1
一、情景导入
如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条 钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电 线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边 确定了，另外一条边也随之确 定，三边之间存在着一种特定 的数量关系，事实上，古人发 现，直角三角形的三边长度的 平方存在着一种特殊的关系.
（一）新知引入
黑 白 相 间 的 地 砖
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古希 腊著名的哲学家、数学 家、天文学家.
数学小故事
相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥 拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽 情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发 起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形 形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人 看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他， 谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个 正方形存在某种数学关系。
2 2
2
1.1 探索勾股定理(1)
八年级数学
张晓姣
伟大的公式
No.1 麦克斯韦方程组 Maxwell's equations No.2 欧拉公式 Eulers formula No.3 牛顿第二定律Newton's Second Law of Motion No.4 勾股定理、 毕达哥拉斯定理 Pythagorean theorem No.5 质能方程 mass-energy equation No.6 薛定谔方程 Schrodinger equation No.7 1+1=2 No.8 德布罗意方程组 No.9 傅里叶变换 No.10 圆的周长公式
请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表 格，探究规律。
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
八年级上数学.1探索勾股定理(1)
第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理〔1〕学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。
预习案课前导学一、自主预习〔感知〕1、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差.2、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：〔1〕画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； 〔2〕猜测：直角三角形的三边满足什么关系? 尝试练习〔１〕直角三角形两直角边为３和４，那么另一边为. 〔２〕求出x 的值.学习案知识点拔 二、课堂探究如果以下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系图1-1 图1-2 图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理:直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°假设BC=a ，AC=b ，AB=c ，那么上面的定理可以表示为： 。
课内训练1、求以下图中字母所代表的正方形的面积2、求出以下各图中x 的值。
反应案根底训练1．在△ABC 中，∠C=90°，直角三角形1直角边a 直角边b 斜边c 三边关系满足关系3 4a 2b 2C 2直角三角形2直角边a 直角边b斜边c 三边关系满足关系513a 2b 2C 2图1.1-1〔1〕假设BC=5，AC=12，那么AB=；〔2〕假设BC=3，AB=5，那么AC=；2．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,那么BC=,该直角三角形的面积为。
3.假设直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，那么斜边上的高为。
拓展提高1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，那.么正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2C2.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，假设AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.。
1.1 探索勾股定理(第一课时题)
其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形．若正
方形A、B、C、D的面积分别为2、
5、1、2，则最大的正方形E的面
积是
10
．
6．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC
边上的高是 8 cm．
7．如图1-1-8，在△ABC中，∠ACB=90°， AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB交AB于点D．
基础过关精练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10,AC=6，则BC为( C )
A．4
B．6
C．8
D．16
2．一个直角三角形中,两直角边长分别为3
和4,下列说法正确的是( C )
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．下列说法正确的是( D )
解：∵在Rt△ABC中，AC=30cm， BC=40cm，∴AB=50cm． 由折叠知AE=AC=30cm，CD=DE， ∠AED=90°,∴BE=50-30=20(cm)． 在Rt△DEB中，设DE=xcm， 则DB=(40-x)cm， ∴DE2+BE2=DB2，即x2+202=(40-x) 2，解得x=15． ∴S =1/2×15×20=150(cm2)．
第一章 勾股定理
1．1 探索勾股定理 (第一课时)
典型例题精析
例1 如图1-1-1,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A、∠B、∠ACB所对的 边分别为a、b、c．
(1)若a：b=3：4,c=15,求b； (2)若a=6,b=8,求c的长及斜边上的高．
解:(1)设a=3x,b=4x, 在Rt△ABC中，c2=a2+b2, ∴(3x) 2+(4x) 2=152, 解得x=3． ∴a=9,b=12．
1.1 勾股定理学案
1.1 探索勾股定理（1）一、课前预习1、正方形面积的计算公式，边长为5时，面积为多少？2、三角形两边分别是2,5第三边是c ，求第三边的取值范围.3、直角三角形两直角边为3、4求则第三边斜边的取值范围，斜边与这两条直角边的长度之间还有什么关系？二、新课学习 1、观察下面两幅图：2、填表：A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？ 【小结】求面积常用方法： ____________________________（4）你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？【结论】：以_______三角形两_______边为边长的小正方形的面积的和，等于以______边为边长的正方形的面积．AB CC BA思考：（1）若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？★【勾股定理】如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_________________ 即_______三角形两_____边的______和等于斜边的_______． 几何语言：∵在△ABC 中，∠____＝900∴____2＋____2＝____2三、典型例题及练习：例1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？ 解：∵在△ABC 中，∠____ ＝900 ∴____2＋____2＝____2 即92 ＋122＝AB 2∴AB 2＝____ ∴AB ＝____∴大树在折断之前高 。
【跟踪练习】：1、如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.弦股勾ACBabc2、求图形中未知正方形的面积：3、若△ABC 中，∠C =90°，（1）若a =5，b =12，则c =________；（2）若a =6，c =10，则b =________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =________，b =________.4.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为多少？5.底边长6cm ，底边上的高为4cm 的等腰三角形的腰长为多少？6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是_________cm 2．1.1 探索勾股定理（2）一、课前复习：1、勾股定理：直角三角形_________________________ 几何语言：在△ABC 中，∵∠____ ＝900∴____2＋____2＝____22、在直角三角形ABC 中, ∠C =900,BC =12,CA =5,AB = ______.3、 如果直角三角形的一条直角边长为40，斜边长为41，那么另一条直角边的长为______.?2251002572577cmDACB二、典型例题：例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？(提示：方程思想)三、课堂练习：1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为多少？2．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？6米5000m4000mC B A500m400m C B A“路”4m3m3、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30cm 2 B ．130cm 2 C ．120cm 2 D ．60cm 25、轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6、如图学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开 拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅 少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花 草．7、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？A BOCD3米9km AB9km 4km6km9km 2km8、△ABC中，∠C=900,AC=6,BC=8,沿AD折叠，使C点与AB边上的E点重合，求CD的长。
探索勾股定理(第1课时)课件
知
探
索
新
知
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，
得E = M + N ，
而M = A + B ，N = C + D ，
∴ E = A + B + C + D
= 122 + 162 + 92 + 122 = 625.
知
二 利用勾股定理进行计算
例1：分别以直角三角形三边为边长的正方形的面积如下
图，问另外一个正方形的面积.
81
∟
625
A
∟
400
144
B
225
225
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积
和等于以斜边长的正方形面积。
探
索
新
例2：如图，图中所有的三角形都是直
角三角形，四边形都是正方形.已知正方
形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，
你是如何得到呢？
探
索
新
知
思考：等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
斜边的平方等于两直
a
b
c
角边的平方和.
c2=a2+b2
你能说一形有上述性质，其他的直角三角形也有这
个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，
请分别算出图中正方形A，B，C，
A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13,
∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52,
∵CD=5.BC=14,
修改版：1.1探索勾股定理(1)雒萍
换个角度来看呢？
A B
C
你 发 现 了 什 么 ？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
SA+SB=SC C
B B 图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
A
图乙
A
C C
？
图甲 c
Aa
C
A a
A B C B C
A
“割”
分割为四个直角三角 形和一个小正方形
“补”
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积
两个图的启示
a
c
b
C C
C
你可以用边长分别为a、b、c的四个直 角三角形纸片和一个边长为c的正方形纸片 拼接成上面图案吗？并且表示它的面积。
？
验证a、b、c 之间的关系？
启示1
a2 +b2 =c2
用拼图法证明1： a2+b2=c2 ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
a
b
a b c
b c
a
a
1 =4〃 ab+c2 2
=c2+2ab
c b
2 2 2+2ab 2 2 a +b +2ab c ∴ =c2+2ab
2 ∴a
2 +b
如图,折叠长方形的一边，使点D落 在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D
1.1 探索勾股定理(1)教学课件(共23张PPT) 八年级数学上册北师大版
探究新知
数格子法探索勾股定理
A
B
图1
C
C A
B
图2
16
9
25
4
9
13
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的大正方形的面积． 也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
C A
B SA SB SC
随堂练习
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8
cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且
与AE重合，求CD的长．
A
解：由勾股定理，得
E
AB
10 ，S△ABC
1 68 2
24 ，
CD
B
S△ABC
S△ABD
S△ACD
1 10DE＋ 1 6CD
2
2பைடு நூலகம்
24．
(3)三个正方形的面积之间有什么关系?
探究新知
数格子法探索勾股定理
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的大正方形的面积．
也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
AB
C SA SB SC
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个 单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.
问题思考：(1)运用此定理的前提条件是什么? (2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
1.1 探索勾股定理(1)
课题：1.1探索勾股定理 (1)【教学目标】(1) 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展学生的推理能力.(2)掌握勾股定理,并能运用它解决一些实际问题1、课前练习：1、三角形的三个内角的比为1:2:3, 则这个三角形是____________ 三角形.2、一个三角形的其中两边为5和8 , 则第三边x 的取值范围是_______________3、等腰三角形的其中两边为5和1, 则这个三角形的周长为___________4、已知a = 3, b = 4, 则a 2 + b 2=______, ( a + b ) 2=________。
5、如果a 2 = 25, 则 a = _____2课前预习：（阅读书本P 1—5页）（1） 直角三角形三边有什么关系？你是怎样得到的? （2）勾股定理的内容？勾、股各是什么？【知识点一】出示投影（课本 P3 图1一2 1--3）并回答：1、观察图1一2中的左上图，正方形A 中有 个小方格，即A 的面积为个 面积单位。
正方形 B 中有 个小方格．即B 的面积为 个面积单位。
正方形 C 中有 个小方格，即C 的面积为 个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？3、图 l 一2中，A 、B 、C 之间的面积之间有什么关系？_______________4、图1一 3中，A 、B 、C 之间有什么关系？【练习一】1、右图中字母所代表的正方形的面积,A=_____________B=______________【知识点二】小结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积_____，等于以_____为边的正方形面积。
勾股定理: 直角三角边的________的平方和等于______的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c 。
那么a 2+____=______【练习二】2、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=6 ,b =8 ,则c 2=__________a3、若一个直角三角形的的两条直角边长分别为3、4，以第三边的长向外作正方形，则这个正方形的面积是（ ）A 、25B 、49C 、 7D 、25或74、 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理(第1课时)课件
(píngfāng)
么
a2+b2=c2 .
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长的平方为(
A.2 B.24 C.74 D.12
为
第四页，共九页。
.如果(rúguǒ)
)
B
1.若直角三角形的三边(sān biān)长分别为6,8,m,则m2的值为( D
A.10
C.28
)
B.100
2
即阴影部分(bùfen)的面积为72π cm2.
第八页，共九页。
内容(nèiróng)总结
第一章 勾股定理。A.2 B.24
C.74
D.12。1.若直角三角形的三边长分别为
6,8,m,则m2的值为(
)。2.如图,在边长为1个单位(dānwèi)长度的小正方形组成的网格中,点
A,B都是格点,则线段AB的长度为(
C.76
D.80
C
第六页，共九页。
4.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,求△ABC的周长(zhōu chánɡ).
解:∵AB2=AC2+BC2,
∴BC2=AB2-AC2=252-202=152.
∴BC=15.
∴△ABC的周长(zhōu chánɡ)是25+20+15=60.
第七页，共九页。
5.求下列图中阴影(yīnyǐng)部分的面积:
(1)
(2)
解:(1)由题图,得132-122=25(cm2),则阴影部分的面积为25 cm2.
(2)设半圆的直径(zhíjìng)为d cm,由勾股定理,得d2=252-72=576,则d=24,
S
1
2
半圆= π
1.1 探索勾股定理 教案学案练习测试全
第一章勾股定理1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级：A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：________ 姓名：________1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.图12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边△ABC 中BC =12 cm ，AB =AC =10 cm作AD ⊥BC ，垂足为D ，则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm 在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2－BD 2=102－62=64 ∴AD =8 cm ∴S △ABD =21BC ·AD =21×12×8=48(cm 2)3.解：(1)∵△ABC 中，∠C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm ∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25 ∴AB =3.5 cm ∵S △ABC =21AC ·BC =21AB ·CD∴AC ·BC =AB ·CD ∴CD =ABBC AC ⋅=5.38.21.2⨯=1.68(cm)(2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得： AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2－CD 2=2.12－1.682 =(2.1+1.68)(2.1－1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21∴AD =2×3×0.21=1.26(cm)∴BD =AB －AD =3.5－1.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m 2)5.解：根据题意得：Rt △ADE ≌Rt △AEF∴∠AFE =90°,AF =10 cm,EF =DE设CE =x cm ，则DE =EF =CD －CE =8－x 在Rt △ABF 中由勾股定理得： AB 2+BF 2=AF 2，即82+BF 2=102， ∴BF =6 cm∴CF =BC －BF =10－6=4(cm)在Rt △ECF 中由勾股定理可得： EF 2=CE 2+CF 2，即(8－x )2=x 2+42 ∴64－16x +x 2=x 2+16 ∴x =3(cm),即CE =3 cm参考例题［例1］如下图所示，△ABC 中，AB =15 cm ，AC =24 cm ，∠A =60°，求BC 的长.分析：△ABC 是一般三角形，若要求出BC 的长，只能将BC 置于一个直角三角形中. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D 在Rt △ACD 中，∠A =60° ∠ACD =90°－60°=30° AD =21AC =12(cm)CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432， DB =AB －AD =15－12=3. 在Rt △BCD 中，BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441BC =21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.因为B ′D =DB .所以B ′D =AC .∠B ′DO =∠OCA =90°， ∠B ′=∠CAO所以△B ′DO ≌△ACO (SSS ) 则OC =OD =21AB =21×6=3米.连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2 所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.。
探索勾股定理练习题
1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为米．2．如图1-1-1，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为m．3．如图1-1-2，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为．（π不取近似值）4．底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为cm．5．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距km．提高训练6．一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端滑动m．7．如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是cm2．8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若14=+ba cm，10=c cm，则Rt△ABC的面积为（）．（A）24cm2（B）36cm2（C）48cm2（D）60cm29．如图1-1-4，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）．（A）321SSS>+（B）321SSS=+（C）321SSS<+（D）无法确定10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝. 他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km．知识拓展12．如图1-1-7，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．BAE5米3米31．斜边为cm 17，一条直角边长为cm 15的直角三角形的面积是（ ）(A) 60 (B) 30 (C) 90 (D) 120 2. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）（A ）25 （B ）14（C ）7 （D ）7或25 4. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______.5. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .6. 如图1-1-8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.提高训练7. 如图1-1-9，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.8. 如图1-1-10，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.9．伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用两个全等的三角形拼成如图图形，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线，证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．知识拓展10．如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.12. 已知，如图1-1-22，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90积。
第一章《勾股定理》(全章)
第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理（一）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等，即_________________________化简可得_______________________三、合作探究bbbccccaabbbaaccaabcc1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c= 。
1.1 探索勾股定理(1)(含答案)
1.1 探索勾股定理（1）【学习目标】了解勾股定理的探索过程,掌握勾股定理． 【基础知识演练】1．在△ABC 中，若∠C =90°，则它的三边满足关系式a 2+b 2=c 2. 在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”. (1)若a =3，b =4，则c =_________； (2)若 c =10，b =6，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =20，则a =_________，b =_________. 2．已知等腰ABC ∆的腰AB ＝AC ＝10cm ，底边BC=12cm,则A∠的平分线的长是 cm.3．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，AD=10cm ，AC=8cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm. 4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25B.14C.7D.7或256．若线段a ，b ，c 能组成直角三角形，则它们的长度之比可能是（ ） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶77．在Rt △ABC 中，∠B ＝9O°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝12，b ＝13，求c .D C BA8．请你取两个同样的直角三角板，并按如图所示摆放.(1)连结AE ，请你判断△ACE 和四边形ABDE 的形状.(2)设AB =CD =a ,BC =DE =b ,AC =CE =c ,请用两种不同的方法求四边形ABDE 的面积. （3）由（2）你能得到什么结论？DC B AE【思维技能整合】9．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．10.如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S 1 ＝S 2 B ．S 1 ＜S 2 C ．S 1＞S 2 D ．无法确定11．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则以第n 个三角形的斜边长为边长的正方形的面积为 .12．请你作一个直角三角形ABC ，使它的两条直角边AB =6 cm,AC =8 cm.(1)请你先测量斜边BC 的长.（2）你能用其他方法探索这个直角三角形斜边的长吗？这个直角三角形的三边长有什么关系吗？（3）若使AB =AC =3 cm ，请你探索这个直角三角形的三边长有什么关系？A A A A O01231111【发散创新尝试】13.有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？请说明理由.【回顾体会联想】14.直角三角形三边之间有怎样的关系？生：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a ，b, c 的关系是 .即直角三角形两直角边的平方和等于 的平方.参考答案1． (1) 5.(2) 8.(3) 12,16 2．8 3．6 4．4 5．D 6．C 7．5 8．(1)∵△ABC ≌△CDE ,∴∠ACB =∠DEC ,而∠DCE +∠DEC =90°,∴∠ACB +∠DCE =90°,∴∠ACE =90°, ∴△ACE 为直角三角形.又∵∠ABC －90°=∠EDC , ∴四边形ABDE 为直角梯形. (2)方法一：S 梯形=21(AB +DE )·(BC +CD )=21(a +b )(a +b )=21(a +b )2.方法二：S 梯形=S △ABC +S △ECD +S △ACE =21ab +21ab +21c ·c =ab +21c 2.(3)∵S 梯形相等，∴21(a +b )2=ab +21c 2,∴a 2+b 2=c 2.9．30 10.A 11．n+112．(1)10 cm (2)AB2+AC2=BC2,另参考课本方法(3)AB2+AC2=BC2，探索方法同(2) 13.由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′，△AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.14.a2+b2=c2，斜边.。
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自主学习：
前的内容，解决问题；
1、自学课本P2“做一做”
2、解决自学课本P2“做一 做”中的三个问题； 3、在“做一做”的（2）中， 你是如何求每一个正 方形的面 积的？
自主学习： 4、P3勾股定理是 怎么叙述的，字母表达 式是如何表示的？ 5、完成P3的“想一 想”
练习
１、勾股定理是怎么叙述的？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。 如果直角三角形两直角边分别为
2 2
2
a
c
b
２、完成课本P3随堂练习1、2
3、在ΔABC中，∠A＝90°， 三边分别为a、b、c，且b＝3，c＝4， 5。 则a＝__
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北 京 欢 迎 您 ！
请大家观察右图，我 国科学家曾向太空发射如 右图所示的图形试图与外 星人沟通。2002年在北京 召开的国际数学家大会上 也采用此图作为会标。它 为什么有如此大的魅力呢？ 它蕴含着怎样迷人的奥妙 呢？这节课我们大家一起 来探索这个问题。
1.1 探索勾股定理（1）
学习目标：
4、求斜边长25厘米、一 条直角边长20厘米的直角三角 形的面积.
课堂小结：
本节课你学到了什么？
练习
（1）在图1、2中， 正方形A，B，C中各 含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？ （2）你能发现图1中 三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关 系吗？图2中呢？
A的面 积
图（1） 图（2）
B的面 积
C的面 积
A的面积+B的面积=C的面积
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积