确定圆的条件
3.4 确定圆的条件
【例 2】 在△ABC 中，BC=24cm，外心 O 到 BC 的距离为 6cm，求△ABC 的外接圆半径．
【例 3】 如图，点 A、B、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线 长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．
【例 4】 阅读下面材料：对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这 个圆的半径，则称图形 A 被这个圆所覆盖． 如图 3-4-5 中的三角形被一个圆所覆盖，图 3-4-6 中的四边形被两个圆所覆盖．
22．已知点 P 在圆周上的点的最小距离为 5cm，最大距离为 15cm，求该圆的半径．
23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片 剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心 半径？
2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作 3．锐角三角形的外心在 二、选择题 4．下列说法正确的是（ ）
；直角三角形的外心在
A．三点确定一个圆 C．四边形都有一个外接圆 5．下列命题中的假命题是（ ）
B．三角形有且只有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上 D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心 6．下列图形一定有外接圆的是（ A．三角形 B．平行四边形 ） C．梯形 D．菱形
2
【例 5】 已知 Rt△ABC 的两直角边为 a 和 b，且 a，b 是方程 x －3x＋1=0 的两根，求 Rt△ABC 的外接圆面积．
【例 6】 如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．
3.1.2 确定圆的条件(教案）
浙教版数学九年级上册3.1.2确定圆的条件教学设计课题确定圆的条件单元 3 学科数学年级九学习目标情感态度和价值观目标形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神能力目标经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的方法知识目标了解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
重点掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论，并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
理解三角形外心的性质难点过不在同一直线上的三个点作圆的方法学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课问题：你有什么方法使得“破镜重圆”呢？学生：积极思考带着问题参与新课. 通过看似意外的实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程讲授新课类比确定直线的条件:经过一点可以作无数条直线；1.学生动手画过一点的直线，可以画无数条这样的直线。
“学生原有的知识和经验是教学活经过两点只能作一条直线.想一想经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？探索经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?经过两个已知点A、B能作无数个圆问题：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎2.学生动手画过一点的直线：学生动手画过一点的圆，并小组讨论交流。
得出结论：经过一个已知点能作无数个圆。
（圆心、半径均不确定）学生动手画过两个点的圆，并小组讨论交流得出结论：经过两个已知点能作无数个圆。
（圆心在两点所连线段的垂直平分线上，半径不确定）动的起点”通过复习确定直线的方法，启发学生用类比的方法探索确定圆的条件。
让学生动手实践，充分交流，通过探究、讨论、交流得到过一个已知点可以作无数多个圆重视学生的课堂参与。
圆的前提条件
圆的前提条件
圆是一个几何图形，它有一些前提条件，包括以下几点：
1. 圆心：圆的中心被称为圆心，圆心是确定圆的位置的点。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的线段被称为半径，半径的长度决定了圆的大小。
3. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段被称为直径，直径是圆中最长的线段，并且直径的长度是半径的两倍。
4. 相等的曲率：圆上任意一点的曲率都是相等的，这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都是相等的。
5. 闭合曲线：圆是一个闭合的曲线，它没有起点和终点，圆上的任意一点都与其他点相连。
6. 平面图形：圆是一个平面图形，它存在于二维空间中。
这些前提条件是定义一个圆所必需的。
只有满足这些条件，才能确定一个几何图形为圆。
圆的这些特性使得它在数学、几何、物理学等领域中都有广泛的应用。
初二数学知识点归纳：确定圆的条件
初二数学知识点归纳：确定圆的条件初二数学知识点归纳：确定圆的条件学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆． 3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（）A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心6．下列图形一定有外接圆的是（）A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在2．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）A．a=15，b=12，c=1B．a=5，b=12，c=12C．a=5，b=12，c=13D．a=5，b=12，．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（）A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）A．5cmB．6cmC．7cmD．．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．A． B． C． D．6．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（）A．2B．6C．12D．77．三角形的外心具有的性质是（）A．到三边距离相等B．到三个顶点距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（） A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心． 20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB 上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？。
3.5确定圆的条件(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对确定圆的条件的理解存在一些困难。在导入新课环节，当我问到大家在日常生活中是否遇到过需要确定圆的情况时，大部分同学能够联想到一些实际例子，但只有少数同学能够准确描述如何确定圆心和半径。这让我意识到，我们需要在课堂上加强基础知识的教学。
在新课讲授环节，我尝试通过理论介绍和案例分析来帮助学生理解确定圆的条件。从学生的反馈来看，这种方法还是有效的。然而，我也注意到，对于圆的方程推导这个难点，部分同学仍然感到困惑。在今后的教学中，我需要更加注重逐步引导，让学生能够循序渐进地掌握这个知识点。
1.培养学生的空间观念：通过学习确定圆的条件，使学生能够直观想象出圆在平面直角坐标系中的位置，提高对几何图形的认识和理解。
2.提升学生的逻辑推理能力：在教学过程中，引导学生运用逻辑推理方法，从圆的定义出发，推导出确定圆的条件，培养学生严密的逻辑思维。
3.增强学生的数学应用意识：通过解决实际例题，让学生将所学知识应用于实际问题中，培养学生在现实生活中发现数学问题、运用数学知识解决问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“确定圆的条件在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点解释：学生需要能够从实际问题中抽象出数学信息，并建立相应的数学模型。
-举例：提供实际问题背景，指导学生如何提取关键信息，建立数学关系式。
（3）逻辑推理能力的培养。
-难点解释：在推导圆的方程过程中，需要学生运用逻辑推理，理解每一步的推导依据。
初中数学知识点精讲精析 确定圆的条件
3·4确定圆的条件1.线段垂直平分线的性质及作法． 线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等．作法：如右图，分别以A 、B 为圆心，以大于21AB 长为半径画弧，在AB 的两侧找出两交点C 、D ， 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线， 直线CD 上的任一点到A 与B 的距离相等． 2.作圆的关键：由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．3.过一点、两点、三点做圆：（1）要经过已知点A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点A 所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图(1)．(2)已知点A 、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A 、B 的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB 的垂直平分线上．在AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A 、B 两点的距离相等，所以在AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A 、B 、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．，就是由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．不在同一直线上的三个点确定一个圆．1.外接圆、内接三角形：作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．这个三角：形叫这个圆的内接三角形．2.外心：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．外心是三角形三边中垂线的交点1.已知锐角三角形、直角-三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点?【解析】如下图．锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 O 为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．2.如下图，CD 所在的直线垂直平分线段AB ．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?【解析】因为A 、B 两点在圆上，所以圆心必与A 、B 两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．所以圆心在CD 所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．3.如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM=120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 与△ABC 的外接圆交于F,连接FB 、FC,且FC 与AB 交于E.(1)判断△FBC 的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB 、AC 和FA 的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.DEFCMBA【解析】(1)△FBC是等边三角形,由已知得:∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,∴△FBC是等边三角形.(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,从而∠BGC=∠FAC=120°,又∠CBG=∠CFA,BC=FC,故△BCG≌△FCA,从而BG=FA,又AG=AC,∴AC+FA=AG+BG=AB.4.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).【解析】(1)在残圆上任取三点A、B、C。
圆的定义确定基本要素
圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心。
(确定圆的位置）线段OA叫做半径.（确定圆的大小)记法：以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1)圆指的是“圆周”而不是“圆面"。
（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。
圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义:(1）角平分线上的点到角两边的距离相等.到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。
（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。
*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a。
图形上的每一点都满足某个条件,b.满足某个条件的每一个点,都在这个图形上。
（3）圆上各点到定点（圆心O)的距离都等于定长(半径r)，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
(圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上,圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有:点在圆内；点在圆上;点在圆外。
6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。
7。
会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。
8. 了解三角形外心的概念.9。
过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径(定长),确定圆的大小。
只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。
此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：(1)经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆;(3）以已知线段为直径的圆。
确定圆的条件
5.4确定圆的条件知识点1： 1、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2、三角形的外接圆．定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形3、三角形的外心:（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；（2）⊙O是的_________圆，2、.经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过的三点可以作个圆，并且只能作个圆。
3、Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为。
4、等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为 .练习2：判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）练习3：钝角三角形的外心在三角形（）（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。
5.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A 0个B 1个C 2个D 无数个6.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。
在图中画出水井P的位置。
巩固提高一、选择题1．三角形的外心是（）A．三条中线的交点B．三条边的中垂线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点2．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2010•大庆）在直角坐标系中，⊙P、⊙Q的位置如图所示．下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，-1）D．（3，1）4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块5．下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．23B ．33C ．3D ．37．在△ABC 中，I 是外心，且∠BIC=130°，则∠A 的度数是（ ）A ．65°B．115°C．65°或115°D．65°或130°8．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：39．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=42 ，则⊙O 的直径等于（ ）A ．225 B ．3 2 C ．52 D ．7二、填空题1．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm ．2．（2002•辽宁）△ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC=23 ，则∠A 的度数为 。
圆的定义确定基本要素
圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心。
（确定圆的位置）线段OA叫做半径。
（确定圆的大小）记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。
（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。
圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。
（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。
*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a.图形上的每一点都满足某个条件，b.满足某个条件的每一个点，都在这个图形上。
（3）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。
6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。
7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。
8. 了解三角形外心的概念。
9. 过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。
只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。
此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。
人教版第24章圆的知识点及典型例题
圆知识点总结一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；#2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．*3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．…圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．【圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． ：五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论：⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． \3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 相关题目： {1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径 2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <.》2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． ⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． —注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.|⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．、2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．：五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设O O、⊙⊙的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：|位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．—d R r>+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r=+⇔两圆外切相交#两个圆有两个公共点．R r d R r-<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含>两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆，1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．~3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，、1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。
圆的知识点
圆的知识点1、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径的长。
以点O为圆心的圆记作⊙O。
读作“圆O”。
（注意：圆指的是圆周，而非圆面）2、确定圆的两个条件是圆心和半径：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
3、圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的所有点组成的图形。
4、圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形。
5、点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.点在圆外，即这个点到圆心的距离>半径;点在圆上，即这个点到圆心的距离=半径;点在圆内，即这个点到圆心的距离<半径;由以上性质可知:如果设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d,那么（1）点在圆外⇔d > r（2）点在圆上⇔d = r（3）点在圆内⇔d < r6、圆内一点到圆上的最小距离为沿圆心与该点的射线方向与圆相交的点与该点间的线段长度．7、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（注意：不能说直径是它的对称轴，而应该说直径所在的直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条。
）8、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
9、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
(注意：直径是弦，但弦不一定是直径；直径等于半径的2倍。
)10、由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
11、圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆12、半径相等，圆心不同的两个圆叫做等圆（同圆或等圆的半径相等）13、在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。
（长度相等的弧不一定是等弧）14、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
（“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至是可以是过圆心的直线）推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧。
圆3
5、确定圆的条件【知识要点】1、确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.【典型例题】1. 判断题．（1）经过三个点一定可以作圆．（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．（）（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.（）2. 如图,已知一条直线L和直线L外两定点A、B，且AB在l两旁，则经过A、B两点且圆心在直线L上面的圆有（）A．0个B．1个C．无数个D．0个或1个或无数个3. 如图，A，B，C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置。
2、三角形的外接圆及外心（1）三角形的三个顶点确实一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（2）锐角三角形的外心在这个锐角三角形的内部，直角三角形的外心就是这个直角三角形的斜边的中点，钝角三角形的外心在这个钝角三角形的外部.【典型例题】1. 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．（保留作图痕迹）2. 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？3. 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120，求它的外接圆直径.【课堂练习】1. 判断题.经过三个点一定可以作圆（）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）2. 三角形的外心是（）（A）三条边中线的交点（B）三条边高的交点（C）三条边垂直平分线的交点（D）三条角平分线的交点3. 在同一个圆中画两条直径，依次连接四个端点得到的四边形是（）（A ） 菱形 （B ） 等腰梯形 （C ） 正方形 （D ）矩形 4. 如图，P 为正三角形ABC 外接圆上一点，则∠APB 等于（ ）（A ）150° （B ）135° （C ）115° （D ）120°5. 若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定 6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 三点可确定一个圆B. 三角形的外心是三角形三边中线的交点C. 一个三角形有且只有一个外接圆D. 三角形的外心必在三角形的内部或外部 7. 等腰直角三角形的外接圆的半径为 （ ）A. 腰长B. 腰长的2倍 C. 底边长的2倍 D. 腰上的高 8. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 ，AC ＝12 则其外接圆半径为 9. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是10. 等腰三角形ABC 内接于半径为5cm 的⊙O 中，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积是 11. 在Rt △ABC 中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt △ABC 的外接圆的面积为 12. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为13. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，BC =43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何？并证明你的结论.ABC14．如图，⊙O 的半径为4 cm ，点P 是⊙O 外一点，OP =6 cm ，求：（1）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 外切，小圆⊙P 的半径是多少？ （2）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 内切，大圆⊙P 的半径是多少？ (分别作出图形，并解答)6、直线与圆的位置关系命题人：陈汝佳审题人：【知识要点】1、直线与圆的位置关系【典型例题】1. 在ΔABC中，∠C为直角，AC=6 cm,BC=8cm,以C为圆心，4 cm长为半径的圆与斜边AB的位置关系为（）A、相切B、相交且交点在BC的延长线上C、相离D、相交且交点在BC边上2、切线的性质（1）当直线与圆相切时，圆的切线垂直于过切点的直径.（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点，③直线与圆的切线垂直.“见切点，连半径，见垂直”3、切线的判断：常用判断方法（1）圆心到直线的距离等于半径，这条直线是圆的切线（2）经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线“切线必须满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径”【典型例题】1. 如图所示，OA、OB是⊙Ｏ的半径，OA⊥OB，点C是OB延长线上一点，过点C作⊙Ｏ的切线，点D是切点，连结AD交OB于点E。
圆的定义确定基本要素---精品管理资料
圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心.(确定圆的位置)线段OA叫做半径。
（确定圆的大小）记法:以点O为圆心的圆，记作“⊙O"，读作“圆O”注意:（1)圆指的是“圆周”而不是“圆面”。
（2)半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径.圆的确定：(1）一个圆心一个半径(2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2。
圆的集合定义：（1)角平分线上的点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。
（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。
＊把一个图形看成是满足某种条件的点的集合,必须符合：a.图形上的每一点都满足某个条件，b。
满足某个条件的每一个点,都在这个图形上.(3）圆上各点到定点(圆心O）的距离都等于定长(半径r）,到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r,点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。
6。
理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。
7。
会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆.8。
了解三角形外心的概念。
9。
过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点)，确定圆的位置；半径（定长)，确定圆的大小。
只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定.此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；(3）以已知线段为直径的圆。
圆的检验公式
圆的检验公式判断是否为圆的公式：（x+a）^2+（y+b）^2=c（其中c≥0）。
有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
X²+Y²=1，圆心O（0，0）被称为1单位圆。
x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r。
（x-a）²+（y-b）²=r²，圆心O（a，b），半径r。
圆具有旋转不变性圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。
圆形规定为360°，是古巴比伦人在观察地平线太阳升起的时候，大约每4分钟移动一个位置，一天24小时移动了360个位置，所以规定一个圆内角为360°。
这个°，代表太阳。
圆的16个公式圆的16个公式：一.面积公式：1.圆的面积：S=πr²=πd²/4。
2.扇形弧长：L=圆心角（弧度制）*r=n°πr/180°（n为圆心角）。
3.扇形面积：S=nπr²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）。
4.圆的直径：d=2r。
5.圆锥侧面积：S=πrl（l为母线长）。
6.圆锥底面半径：r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）。
二.周长公式：圆的周长：C=2πr或C=πd。
三.圆的方程：1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2= r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
可变形为（x +D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4。
故有：a.当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；b.当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；c.当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
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A
B
C
不在同一直线上的三点确定一个圆
现在你知道了怎样要 将一个如图所示的破损的 A 圆盘复原了吗？
方法: 1、在圆弧上任取三点A、 B、C。 2、作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即为 圆心。 3、以点O为圆心，OC 长为半径作圆。 ⊙O即为所求。
B
C
O
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形。
某一个城市在一块空地新建了三个居 民小区，它们分别为A、B、C，且三个小 区不在同一直线上，要想规划一所中学， 使这所中学到三个小区的距离相等。请问 同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确 定这个位置呢？
●
A
●
B
●
C
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园 A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形 的面积最小，请你给出这个公园的施工图。（A、 B、C不在同一直线上）
作圆，使它经过已知点A,B,并且圆心在 已知直线l上， （1）当直线l与AB斜交时，可作几个 圆？平行时呢？ （2),当直线l与AB垂直但不经过AB的 中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是AB的垂直平分线时， 可作几个圆？
盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.
A O B 如图：⊙O是△ABC的 外接圆， △ABC是⊙O 的内接三角形，点O是 C △ABC的外心 外心是△ABC三条边的垂 直平分线的交点，它到三角 形的三个顶点的距离相等。
A A
●
A
●
O
C B ┐
O
C B
●
O
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外.
济 阳 县 创 新 中 学 马 红 梅
长沙马王堆一号汉墓的 发掘，在我国的考古界算得 上惊人的发现，在世界考古 学史上，也产生了深远的影 响。一位考古学家在马王堆 汉墓挖掘时，发现一圆形瓷 器碎片，你能帮助这位考古 学家将这个破损的圆形瓷器 复原，以便于进行深入的研 究吗？
1、过一点可以作几条直线？
植物园
动物园
人工湖
图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分 AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心。 A
B
· 圆心
C
D
四边形与圆的位置关系
如果四边形的四个顶点在一个圆, 这圆叫做四边形的外接圆.这个 四边形叫做圆的内接四边形. 我们可以证明圆内接四边的两个 重要性质: B 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等 于它的内对角.
已知：不在同一直线上的三点A、 B、C 求作： ⊙O使它经过点A、B、C
A
N
E O
B
作法：1、连结AB，作线段 F AB的垂直平分线MN； 2、连接AC，作线段AC的垂 C直平分线EF，交MN于点O； M 3、以O为圆心，OB为半径作 圆。所以⊙O就是所求作的圆。
过如下三点能不能做圆? 为什么?
中学数学网（群 英学科）提供
A
●
D C
O
四边形与圆的位置关系
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠BAD等于弧BCD所对圆心角 的一半,∠BCD等于弧BAD所对圆心 角的一半.
而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对 的圆心角=360°， ∴∠BAD＋∠BCD＝ 180°. 同理∠ABC＋∠ADC＝180°.
●
A
●
A
●
B
2、过几点可确定一条直线？
§3．4
确定圆的条件
经过一个已知点A能确 定一个圆吗?
A
点 能 作经 无过 数一 个个 圆已 知
经过两个已知点A、B能 确定一个圆吗?
●
O ●O
●
●、B能作无数个圆
●
其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？
经过三个已知点A， B，C能确定一个圆吗？
D
A
O
B
C
圆内接四边形的对角互补.
四边形与圆的位置关系
如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝ 180°. 又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°， ∴∠A＝∠DCE. B A
O
D
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我们 把∠A叫做∠DCE的内对角.
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.